1

6. LINEAARNE PLANEERIMINE

Sissejuhatus

Lineaarse planeerimise (LP) uurimisobjekt on lihtsaim tinglik ekstreemumülesanne, kus tuleb

leida võrratuste või võrrandite kujul olevate kitsenduste korral lineaarse funktsiooni maksimum

või miinimum. Erinevalt eelmisest osast, kus maksimeeriti enamasti ühe muutuja funktsiooni, on

lineaarse planeerimise ülesandes palju muutujaid, tõsisemates praktilistes ülesannetes tuhandeid.

Viimastel aastakümnetel on lahendatud isegi miljonite muutujatega LP ülesandeid. Nende

lahendamine osutus võimalikuks alles eelmise sajandi keskel, kui võeti kasutusele

elektronarvutid. Kui aga muutujaid ja kitsendusi on vähe, saab LP ülesande lahendada

graafiliselt, mida näitame järgmises osas.

Paljude asjatundjate arvates on lineaarne planeerimine rakendusmatemaatika kõige

efektiivsemaks osutunud valdkond. Mitmed juhtimise, praktilise majandustegevuse kui ka

igapäevase elu probleemid on oma olemuselt tegelikult variantide valiku ülesanded. Sõltuvalt

tegevuse eesmärgist tuleb näiteks maksimeerida summaarset kasumit või raketiga sihtmärgi

tabamise tõenäosust, minimeerida tootmisjääke või transpordikulusid. LP rakendusvaldkond on

väga lai alates tootmise juhtimisest ja toodangu planeerimisest, insener-tehnilistest ülesannetest,

sõjaasjandusest, varude juhtimisest ja lõpetades halvaloomuliste kasvajate raviga.

6.1. Näiteid LP ülesannete koostamise kohta

Näide 6.1.1. Tootmise planeerimise (ressursside kasutamise) ülesanne.

Ettevõtja saab valmistada kaht liiki võrku. Ühe ruutmeetri esimest liiki võrgu valmistamiseks

kulub aega 1 tund ja 6 kg traati, teist liiki võrgu jaoks vastavalt 2 tundi ja 5 kg. Nädalas on 40

töötundi ja võimalus kasutada 150 kg traati. Ühe ruutmeetri võrgu eest saadav kasum on

vastavalt 2 ja 3 eurot. Koostada tegevusplaan, mille korral summaarne kasum z on maksimaalne.

2

Lahendus.

Selle ülesande tingimused esitame tabeli kujul, milles esinevaid suurusi nimetatakse

kulunormideks.

Tabel 6.1.1. Võrgu valmistamiseks vajalike ressursside karakteristikud.

x1 (I liiki võrk) x2 (II liiki võrk) ressursi kogus

1 1 2 40

2 6 5 150

kasum 1 ühiku eest 2 3

Otsustusmuutujaid tähistame x1 ja x2, need on planeeritavad võrkude kogused ruutmeetrites. Sel

juhul avaldub summaarne kasum lineaarse funktsioonina 21 32 xxz . Seda maksimeeritavat

funktsiooni nimetatakse sihifunktsiooniks. Koostatava esimese võrratuse vasak

pool 21 2xx võrdub planeeritava võrkude valmistamise ajaga, mis ei tohi ületada 40 tundi. See

võrratus on ülesande esimene kitsendus. Sarnaselt sellega on olemas teine kitsendus traadi kohta.

Koostame vastava matemaatilise mudeli ehk lineaarse planeerimise ülesande. Saame süsteemi

21 32 xxz → max

402 21 xx

15056 21 xx

.0,0 21 xx

Kaks viimast kitsendust esinevad enamikes LP ülesannetes, sest otsustusmuutujate sisulise

tähenduse järgi ei saa need olla negatiivsed. Selles ülesandes vastavad ridadele ressursid “aeg” ja

“traat”, veergudele tooted “esimest liiki” ning “teist liiki” võrk. Lahendusest tuleneb, et

summaarse kasumi maksimum 7/470max z saavutatakse siis, kui esimest liiki võrku

valmistada 7/1001 x ja teist liiki 7/902 x ruutmeetrit. Selle kahe muutuja ja nelja

kitsendusega ülesande saab lahendada graafiliselt, mida teeme järgmises punktis. #

Näide 6.1.2. Tootmise planeerimise (ressursside kasutamise) ülesanne

3

Kappide ja riiulite valmistamiseks kasutatakse puitu, vineeri ja klaasi vastavalt Tabeli 6.1.2.

ridadele (toodud on kulunormid, näiteks ühe riiuli valmistamiseks on vaja 3 kuupmeetrit puitu).

Veergudele vastavad tooted: kapid ja riiulid. Leida summaarse kasumi maksimum.

Lahendus.

Võtame kasutusele täisarvulised mittenegatiivsed otsustusmuutujad x1 ja x2, nendega tähistame

planeeritavaid kappide ja riiulite arvu.

Tabel 6.1.2. Toodete valmistamise kulunormid ja vajalikud ressursid.

x1 (kapid) x2 (riiulid) ressursi kogus

1 2 3 19 (m3

puitu)

2 2 1 13 (m2

vineeri)

3 0 3 15 (m2

klaasi)

kasum 1 ühiku eest 7 5

Koostame ülesande kujul

21 57 xxz → max

21 32 xx ≤ 19

212 xx ≤13

153 2 x

täisarvulised .0, 21 xx

Erinevalt eelmisest näitest on selles ülesandes otsustusmuutujate täisarvulisuse nõue. Seetõttu on

lahendamine oluliselt keerulisem. Ülesande optimaalne lahend

1x = 5 (kappi) ja

2x = 3 (riiulit),

nende väärtuste korral saavutab summaarne kasum maksimumi zmax = 50. Selle ülesande

lahendame arvuti abil punktis 6.2.2. #

Näide 6.1.3. Postiljonide töögraafik

4

Järgnevas tabelis on toodud täiskohaga töötavate postiljonide minimaalne arv iga nädalapäeva

kohta. Kõik postiljonid peavad töötama 5 päeva järjest, siis saavad nad kaks puhkepäeva.

Koostada selline töögraafik, mille korral summaarne postiljonide arv z on minimaalne.

Tabel 6.1.3. Postiljonide minimaalsed arvud nädalapäevade kohta.

Esmaspäev Teisipäev Kolmapäev Neljapäev Reede Laupäev Pühapäev

17 13 15 19 14 16 11

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x

Lahendus.

Selles ülesandes ei saa võtta muutujateks vastaval nädalapäeval töötavate postiljonide arvu, sest

need arvud ei määra üheselt töögraafikut. Tähistame 721 ,...,, xxx vastavalt esmaspäeval,

teisipäeval, …, pühapäeval tööd alustavate postiljonide arvu. LP ülesanne tuleb kujul

min7654321 xxxxxxxz

.0

11

16

14

19

15

13

17

76543

65432

54321

74321

76321

76521

76541

jxsedtäisarvuli

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

Esimese kitsenduse vasak pool võrdub sel esmaspäeval tööd alustavate ja eelmise nädala lõpus

alustanud postiljonide üldarvuga. Teisipäeval ja kolmapäeval tööd alustavad postiljonid

puhkavad sel päeval. Sarnaselt koostatakse ka ülejäänud kitsendused. Lahendades selle

täisarvulise planeerimise ülesande saame esmaspäeval, teisipäeval jne tööd alustavate

postiljonide arvudeks 2, 4, 2, 8, 0, 4, 5. Vastus: minimaalne postiljonide arv .25min z #

Näide 6.1.4. Transpordiülesanne

5

Vaatleme vaid lihtsamat üht liiki kaubaveo ülesannet.

Tabel 6.1.4. Kauba transportimise kulud ja vajalikud ressursid.

Veomaksumused 1 2 3 4 varud ai

1 6 3 2 0 a1=20

2 4 9 5 6 a2=10

3 2 1 7 5 a3=10

vajadused bj b1= 5 b2= 5 b3=15 b4=15

Tabeli ridades on toodud konkreetse kauba varu kolmes laos, milledeks on 20, 10 ja 10 ühikut.

Veergudes on esitatud nelja kaupluse vajadused vastavalt 5, 5, 15 ja 15 ühikut. Samuti on antud

veo maksumused, näiteks esimese rea teine arv 3 võrdub 1 ühiku kauba veo maksumusega

esimesest laost teise kauplusse. Siinkohal eeldame, et maksumus on võrdeline veetava kauba

kogusega, sest siis on vaadeldav ülesanne lineaarne. Koostada selline veoplaanijx , mille korral

summaarne veomaksumus z on minimaalne.

Lahendus.

Koostame nendele tingimustele vastava LP ülesande.

min572

6594

236

34333231

24232221

131211

xxxx

xxxx

xxxz

.0

15

15

5

5

10

10

20

342414

332313

322212

312111

34333231

24232221

14131211

ijx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

Selle ülesande esimese kolme kitsenduse järgi peab väljavedu vastavast laost võrduma seal oleva

kauba kogusega. Neli järgmist kitsendust on kauplustesse veetava kauba koguse kohta, mis

peavad võrduma etteantud suurustega. Selles näites on summaarne varu 20 + 10 + 10 = 40 ja

summaarne vajadus 5 + 5 + 15 + 15 = 40, mis on võrdsed.

6

Kerge on tõestada, et transpordiülesandel on olemas lahend parajasti siis, kui summaarne varu on

suurem või võrdne kui summaarne vajadus. Transpordiülesanne on erikujuline LP ülesanne, kus

kitsenduste vasakute poolte kõik kordajad võrduvad nulli või ühega. Sellise ülesande korral LP

ülesande lahendusmeetod lihtsustub olulisel määral ja seda lihtsat varianti nimetatakse

potentsiaalide meetodiks. Lahendades ülesande selle meetodiga saame Tabelis 6.1.5. toodud

optimaalse veoplaani, mille korral minimaalne veomaksumus on

.75515210515052

Tabel 6.1.5. Transpordiülesande optimaalne lahend.

Veoplaan 1 2 3 4

1 5 15

2 10

3 5 5

Esitame optimaalse lahendi ka valemi abil

.5,5,10,15,5 3231231413 xxxxx

Ülejäänud muutujad võrduvad nulliga. Selline lahend rahuldab kõiki kitsendusi, kusjuures

väljavedude summa esimesest laost on 5 + 15 = 20, teisest 10 ja kolmandast 10 ning sissevedu

kauplustesse vastavalt 5, 5, 15 ja 15. #

Näide 6.1.5. Suunamisülesanne

Kolm inimest: Lepp, Tamm ja Kuusk peavad ära tegema kolm tööd A, B ja C. Kuidas suunata

inimesed töökohtadele nii, et summaarsed kulutused z oleksid minimaalsed?

Lahendus.

Järgmises tabelis on toodud kulutused vastavalt sellele, millist tööd teeb konkreetne töötaja.

Tabel 6.1.6. Töö tegemise kulud vastava töötaja kohta

A B C

7

Lepp 1 6 7

Tamm 3 8 2

Kuusk 4 2 5

Selles ülesandes on vaid 3! = 6 varianti, kuidas keegi tööle panna, ja kerge on veenduda, et

.5min z Sel juhul teeb Lepp tööd A, Tamm ja Kuusk vastavalt töid C ja B. #

Ekstreemumülesande lahendamise lihtsaim meetod on kõikide variantide läbivaatamine.

See lahendamisviis on põhimõtteliselt rakendatav ainult siis, kui variante on lõplik arv. Selle

paragrahvi esimeses ja neljandas näites on neid lõpmatu, teises ja kolmandas lõplik arv. Kahjuks

on kõikide variantide läbivaatamine harva rakendatav, sest nende arv on tõsistes ülesannetes

väga suur, suunamisülesandes võrdne ....321! nn Näiteks, ,101,2!100,106,3!10 1586

.104!1000 2567 Suure töömahu tõttu pole kõikide variantide läbivaatamise meetod rakendatav

ei kaasaegsete ega lähima tuleviku arvutite abil, sest lahendamiseks vajalike sammude arv

kasvab nii kiiresti kui eksponentfunktsioon.

Koostame suunamisülesande matemaatilise mudeli. Võtame muutuja ,1ijx kui inimene i

hakkab tööle j-ndal kohal, vastasel korral xij = 0. Selliseid muutujaid nimetatakse Boole’i

muutujateks.

Minnes tagasi näiteülesande 6.1.6 juurde, saame süsteemi

.1,0

3,2,1,1

3,2,1,1

min52...376

321

1321

333221131211

ijij

jjj

ii

xx

jxxx

ixxx

xxxxxxz

Muutujate summa igas reas peab võrduma arvuga 1, sest vaid üks liidetav ei võrdu nulliga. Sama

kehtib muutujate summa kohta veergudes. Formaalselt on suunamisülesanne üks

transpordiülesande erijut, kus kõik varud ja vajadused võrduvad ühega. Optimaalne lahend on

kujul ,1,1,1 322311 xxx

ülejäänud muutujad võrduvad nulliga, seega .5min z #

Suunamisülesanne on klassikaline variantide valiku ehk kombinatoorse optimeerimise

8

ülesanne, kus muutujad võtavad ainult kaks väärtust (1 või 0) sõltuvalt sellest, kas vastav variant

valitakse või ei valita.

6.2. LP ülesannete lahendamine

Praktilist tähtsust omavate sadade või tuhandete muutujate ja kitsendustega LP ülesanded

lahendatakse simpleksmeetodiga. See on lineaarse võrrandisüsteemi elimineerimismeetodi

üldistus juhuks, kui muutujate arv ületab kitsenduste arvu. Siis on võrrandisüsteemil üldjuhul

lõpmatult palju lahendeid. Nende hulgast tuleb leida selline, mille korral maksimeeritav või

minimeeritav lineaarne sihifunktsioon saavutab optimaalse väärtuse. Simpleksmeetodi jaoks on

koostatud LP ülesande lahendamise arvutiprogrammid.

6.2.1. LP ülesande graafiline lahendamine

Selleks tuleb esmalt määrata piirkond, kus on täidetud kõik ülesande kitsendused.

Lubatavate lahendite hulgaks nimetatakse sellist hulka, kus on üheaegselt täidetud kõik

ülesande kitsendused.

Ülesande 6.1.1. graafiline lahendus.

Olgu vaja lahendada LP ülesanne:

21 32 xxz → max

402 21 xx

15056 21 xx

.0,0 21 xx

I graafilise lahendamise meetod.

Esmalt joonestame näiteks kahe vabalt valitud punkti abil esimesele kitsendusele vastav sirge

402 21 xx (vt Joonis 6.2.1). Selgituseks: kuna LP ülesannetes on tihti tegemist rohkem kui

kahe muutujaga ülesandega, siis tähistatakse muutujaid vastavalt x1, x2, … xn. Seega kasutame

joonestamisel x1x2-teljestikku. Sirgel asuvate punktide jaoks on esimene kitsendus täidetud kui

võrdus, väljaspool seda sirget asuvates punktides on see kitsendus täidetud kui võrratus. Võttes

suvalise sirgest eemal oleva punkti saame määrata, kummal pool sirget on täidetud nõutav

võrratus. Meie näites rahuldab koordinaatide algpunkt O (0;0) esimest võrratust, seega võrratus

on täidetud esimesest sirgest vasakul ja all. Analoogiliselt teeme teise kitsendusega, mis on

9

täidetud teisest sirgest vasakul ja all. Kolmas ja neljas kitsendus määravad esimese veerandi, seal

on mõlemad muutujad mittenegatiivsed. Nüüd leiame lubatavate lahendite hulga, kus kõik neli

kitsendust on korraga täidetud. See on viirutatud nelinurk OABC.

Joonis 6.2.1. Ülesande 6.1.1. lahendipiirkond

Maksimumpunkti leidmiseks anname sihifunktsioonile 21 32 xxz kaks vabalt valitud

väärtust. Need väärtused määravad sirged, mida nimetatakse nivoojoonteks ehk

samaväärtusjoonteks. Nivoojoone võrrandis 21 32 xxz on z fikseeritud, seega selle

muutmisel saame üksteisega paralleelsed sirged. Graafiliseks lahendamiseks joonestame esmalt

koordinaatide alguspunkti läbiva nivoojoone 032)( 21 xxz . Seejärel valime vabalt punkti,

näiteks x1 = 0 ja x2 = 40. Tõmbame läbi selle punkti nivoojoone, mis on paralleelne

koordinaatide alguspunkti läbiva nivoojoonega. Selle joone sihifunktsiooni väärtus

.804020 z

Sihifunktsiooni miinimumi- ja maksimumipunkti määravad nivoojoonte äärmised

asendid lubatavate lahendite (viirutatud) hulgas.

10

Selles näites ei läbi nivoojoon lubatavate lahendite piirkonda, kui .032 21 xxz Kui z

kasvab, siis liigub nivoojoon paremale ja üles. Ühe äärmise asendi korral viirutatud piirkonnas

läbib see joon punkti O, teise korral punkti B. Koordinaatide alguspunktis on sihifunktsiooni

miinimum .0,0,0 21min xxz Teisele äärmisele asendile vastavas punktis B on

sihifunktsiooni maksimum. Selles punktis lõikuvad kaks sirget, kusjuures lõikepunkti

koordinaadid leiame süsteemist

.15056

402

21

21

xx

xx

Lahendades süsteemi saame, et punkti B koordinaadid on 7/1001 x ja 7/902 x . Kuna

vastavat liiki võrkude pindalad on antud ruutmeetrites, siis summaarne maksimaalne kasum on

.7/4707

903

7

1002max z #

Kui lubatavate lahendite hulk on tõkestatud, siis kahe muutuja korral on see hulknurk, kolme

muutuja korral aga hulktahukas. Sihifunktsiooni nivoopinnad on paralleelsed tasapinnad

erinevate z väärtuste korral. Nende äärmised asendid hulktahukas määravad miinimum- ja

maksimumpunkti.

II graafilise lahendamise meetod.

See meetod põhineb järgmisel teoreemil:

Lineaarse planeerimise ülesande sihifunktsiooni optimaalne väärtus on ühese lahendi

korral alati mingis lubatavate lahendite hulga tipus. Mitteühese lahendi korral on optimaalsed

kõik mingi külje (tahu) punktid.

Lahendame veel kord näite 6.1.1. arvutades sihifunktsiooni väärtused tippudes. Saame:

.60)20;0()(,7/470)7/90;7/100()(,50)0;25()(,0)0;0()( zCzzBzzAzzOz

Neid väärtusi omavahel võrreldes veendume veelkord, et miinimum on punktis O ja maksimum

punktis B.

Näide 6.2.1. Dieediülesande graafiline lahendus.

Ülesandes tuleb valida sellised toiduainete kogused, mis sisaldavad etteantud hulga teatud

komponente ja mille summaarne maksumus z on minimaalne. Vaatleme ülesannet lihtsustatud

kujul, kui on vaid kaks toiduainet, näiteks leib ja juust. Võtame arvesse nende toiteväärtuse

11

kilokalorites ja valgusisalduse 25 g-stes ühikutes. Olgu päevanorm 3 kcal ja 100 g valku. Leiva

ja juustu kaaluühikuteks võtame 1 kilogrammi.

Tabel 6.2.1. Dieediülesande algandmed

leib juust päevanorm

1 1 2 3 (kcal)

2 1 4 4 (ühikut valku)

1 ühiku hind 6 21

planeeritav kogus 1x 2x

Veergudele vastavad Tabelis 6.2.1. toiduained ja ridadele komponendid. Tabelis toodud arvud

iseloomustavad toiduainete toiteväärtusi ja valgusisaldust. Näiteks üks ühik juustu annab 2

kilokalorit ja 4 ühikut valku. Saame LP ülesande

.0,0

44

32

min216

21

21

21

21

xx

xx

xx

xxz

Selle ülesande lahendamiseks teeme vajaliku joonise (vt Joonis 6.2.2.).

12

Joonis 6.2.2. Dieediülesande lahendipiirkond

Joonisel 6.2.2. on viirutatud lubatavate lahendite hulk. Koordinaatide alguspunkt ei rahulda

esimest ega teist kitsendust, seega asub lubatavate lahendite hulk vastavatest sirgetest paremal ja

ülal. Nivoojoonte äärmised asendid viirutatud piirkonnas on läbi punkti A ja teine lõpmatuses.

Nivoojooned liiguvad z kasvamisel ülespoole, seega on miinimum punktis A, mille koordinaadid

määrame süsteemist

.44

32

21

21

xx

xx

Lahendades selle saame 21 x (ühikut leiba) ja 5,02 x (ühikut juustu), sellise tarbimise korral

on kulutused minimaalsed .5,225,02126min z Asendades muutujate optimaalsed

väärtused ülesande kitsendustesse veendume, et mõlemad on täidetud kui võrdused. #

Esitatud kujul koostatakse dieediülesanne enamasti loomakasvatuses Samuti, sarnane LP

ülesanne tekib ka toornaftast bensiini, diislikütuse ja õli valmistamisel..

13

Kui dieediülesande sihifunktsiooni maksimeerida samadel kitsendustel, siis võib see võtta kui

tahes suuri väärtusi. See tähendab, et sihifunktsioon on tõkestamata.

Kolmandaks võib LP ülesandel lubatavaid lahendeid mitte olla, selline olukord on esitatud

järgmises näites.

Näide 6.2.2. Olgu LP ülesanne kujul

.0,0

12

32

max23

21

21

21

21

xx

xx

xx

xxz

Selle ülesande kitsendused on vastuolulised, sest avaldis 21 2xx ei saa olla suurem või võrdne

kui 3 ja samal ajal väiksem või võrdne kui 1. Soovitame lugejatel iseseisvalt teha joonis ja

veenduda, et lubatavaid lahendeid pole. #

Lineaarse planeerimise ülesandes on alati kolm võimalust. Esiteks, ülesandel on optimaalne

lahend. Teiseks, sihifunktsioon on tõkestamata (võib maksimeerimisel võtta kui tahes suuri või

minimeerimisel kui tahes väikesi väärtusi). Kolmandaks võivad kitsendused olla vastuolulised,

siis ülesandel pole ühtki lubatavat lahendit.

Näide 6.2.3. Mahla valmistamine

Apelsinimahla on võimalik maksimaalselt müüa 15 000 tonni, puhastulu 1 tonni eest on 1500

eurot. Mahla saab valmistada kontsentraadist lisades sellele samasuguse koguse vett.

Kontsentraadi 1 tonn maksab 1600 eurot. Veel saab mahla valmistada apelsinidest, neid on

saadaval 10 000 tonni hinnaga 200 eurot tonn. Mahla kaal moodustab 20% apelsinide kaalust.

Kui palju ja mil viisil valmistada mahla, et summaarne puhastulu z oleks maksimaalne?

Lahendus.

Tähistagu 1x , 2x ja 3x vastavalt apelsinide, kontsentraadi ja mahla kogust. Saame

.0

022,0

00015

00010

max15001600200

321

3

1

321

x

xxx

x

x

xxxz

14

Selgitame, miks sihifunktsiooni kordajad on erimärgilised. Puhastulu arvutamisel saame 1500

eurot tulu 1 tonni mahla eest, aga apelsinide ja kontsentraadi ostmine tekitab kulu, seetõttu peab

sihifunktsioonis nendele vastavate muutujate ees olema negatiivne kordaja. Kolmanda

kitsenduse saame võrrandist ,22,0 213 xxx mille järgi mahla koguse leidmiseks tuleb liita

20% apelsinide ja 200% kontsentraadi kaal. Selle ülesande saab samuti lahendada graafiliselt,

kusjuures viimasest kitsendusest avaldame 213 22,0 xxx

ja asendame selle muutuja x3

sihifunktsioonis ja teises kitsenduses. Saame

.0

0001522,0

00010

max1400100

21

1

21

x

xx

x

xxz

Soovitame lahendada ülesande iseseisvalt ja veenduda, et 00015,7500,0 321 xxx . See

tähendab, et puhastulu on suurim, kui 7500 tonnist kontsentraadist valmistada 15 000 tonni

mahla. Maksimaalne puhastulu .0000501max z #

Kui LP ülesandes on kitsendusi võrduse kujul, siis iga võrrand võimaldab vähendada muutujate

arvu ühe võrra.

Iga võrduse kujul olev lineaarse planeerimise ülesande kitsendus võimaldab vabaneda ühest

muutujast.

6.2.2. LP ülesande lahendamine MS Exceli abil

Ülesande 6.1.2. lahendus.

Vaatleme esmalt ülesande lahendamist programmi MS Excel (2010) abil. Algandmed kanname

töölehele, kusjuures muutujate x1 = “toode 1” ehk kapid ja x2 = “toode 2” ehk riiulid väärtused,

mis asuvad lahtrites B3 ja C3 on algselt 0-id (ehk ühtegi toodet ei toodeta) (vt Joonis 6.2.2.1.).

15

Joonis 6.2.2.1.

Sihifunktsiooni väärtus leitakse lahtrisse 10B , mis matemaatiliselt arvutatakse

skalaarkorrutisena .434357 21 CCBBxxz Selleks kirjutame lahtrisse B10 valemi

“ )4:4;3:3( CBCBSUMPRODUCT “ või valime selle funktsiooni “funktsiooni”-nupu valikust.

Edasi vaatleme ülesande esimese kitsenduse sisestamist. Planeeritav puidu kasutamise kogus

21 32 xx arvutatakse kui ,5353 CCBB selle arvutamiseks sisestatakse lahtrisse D5 valem

).5:5;3:3( CBCBSUMPRODUCT Niimoodi sisestame ka ülejäänud kitsendused. Et saaks

ülesande lahendamiseks kasutada Exceli rakendust Solver, tuleb see kõigepealt lisada. Toimime

järgnevalt: „File“ – „Options“ – „Add-Ins“ - „Solver Add-in“. Seejärel käivitame ülesande

lahendamiseks Solveri ehk valime „Data“ ja „Solver“ (vt Joonis 6.2.2.2). Esimese kitsenduse

sisestame kujul ,55 FD sisuliselt on see võrratus .1932 21 xx Muutujate mittenegatiivsuse

eeldusel märgime aktivseks valiku „Make Unconstrained Variables Non-Negative“,

lahendusmeetodiks valime simpleksmeetodi ehk “Simplex LP” ning vaikimisi arvestatakse, et

lahendid peavad olema täisarvulised.

16

Joonis 6.2.2.2.

Kui täisarvulisuse nõue ei pea olema täidetud, siis valime „Option“i alt „Ignore Integer

Constraints“ (vt Joonis 6.2.2.3.).

17

Joonis 6.2.2.3.

Joonisel 6.2.2.4 on esitatud leitud optimaalne lahend, millest ilmneb, et x1 = 5 (lahtris B3), x2 = 3

(lahtris C3) ja z = 50 (lahtris B10).

Joonis 6.2.2.4.

ÜLESANDED

18

6.2.1. Järgnevas tabelis on toodud andmed tootmise planeerimise ülesande koostamiseks.

Ridadele vastavad toorained, veergudele tooted. Koostada tootmisplaan, mille korral summaarne

kasum on maksimaalne.

kapid riiulid ressursi kogus

1 6 10 672 (tundi)

2 0,25 0,15 24 (m2puitu)

3 0 1,5 42 (m2klaasi)

kasum 1 ühiku eest 40 5

6.2.2. Tootmise planeerimise ülesandes on kolm ressurssi ja saab valmistada tooteid A, B ja C.

Koostada plaan, mille korral summaarne kasum on maksimaalne.

A B C tooraine kogus

1 18 15 12 360

2 6 4 8 192

3 5 3 3 180

kasum 1 ühiku

toote eest

9 10 16

6.2.3. Tsehh jõuab ühe vahetuse jooksul valmistada kas 100 esimest või 300 teist tüüpi aparaati.

Lisaks valmistamisele on vaja aparaate veel häälestada ja sõltumata tüübist jõutakse seda teha

ühe vahetuse jooksul 150 aparaadile. Kasum ühe esimest tüüpi aparaadi eest on kaks korda

suurem kui teist tüüpi aparaadi eest. Koostada tootmisplaan, mille korral summaarne kasum on

maksimaalne.

19

6.2.4. Järgnevas tabelis vastavad veergudele kaht tüüpi detailide valmistamiseks vajalike

toorainete kulunormid (kg/tk). Koostada selline tootmisplaan, mille korral detailide summaarne

arv on maksimaalne.

1 2 tooraine kogus

1 0,4 0 14 000 (kg vaske)

2 0,2 0,2 9000 (kg erisulamit)

3 0 0,3 9000 (kg kapronit)

6.2.5. Pank võib välja laenata 12 miljonit eurot arvestades järgmises tabelis toodud erinevate

laenude intresse ja kadusid. Jaotada antud summa viit tüüpi laenudeks nii, et summaarne kasum

oleks maksimaalne. Põllumajandus- ja kommertslaenude üldsumma peab olema vähemalt 4,8

miljonit eurot. Elamuehituse soodustamiseks ei tohi kinnisvaralaen olla väiksem kui autoostu ja

personaalsete laenude summa. Lisaks ei tohi mittetagastuvate laenude summa ületada 4%

üldsummast.

Laen Personaalne Autoostu Kinnisvara Põllumajandus Kommerts

Intress 0,140 0,130 0,120 0,125 0,100

Kadu 0,10 0,07 0,03 0,05 0,02

6.2.6. Toornafta, mida ostetakse Saudi Araabiast ja Norrast, töötlemisel läheb 10% naftast kaotsi.

Araabia toornafta barrelist saab 0,3b bensiini, 0,4b masuuti ja 0,2b määrdeaineid. Norra

toornaftast on võimalik samu tooteid valmistada vastavalt 0,4b, 0,2b ja 0,3b. Araabia naftat saab

päevas 9000b hinnaga 20 dollarit barreli eest. Norras on need näitajad vastavalt 6000 ja 15.

Lepingute järgi tuleb toota bensiini 2000, masuuti 1500 ja määrdeaineid 500 barrelit päevas.

Koostada tootmisplaan, mille korral on lepingulised kohustused täidetud ja summaarsed

kulutused minimaalsed.

6.2.7. Firma kasutab kaht tüüpi lennukeid. Esimesed võtavad peale kuni 40 reisijat ja 30 tonni

kaupa, teised 60 reisijat ja 15 tonni kaupa. Firmal on leping 480 reisija ja 180 tonni kauba veoks.

Üks reis esimest tüüpi lennukiga maksab 5000, teisega 6000 eurot. Kuidas kasutada lennukeid

nii, et summaarne kasum oleks maksimaalne?

6.2.8. Esimeses partiis on 50 ja teises 200 vineeritahvlit pikkusega vastavalt 6,5 ja 4 m. Iga

komplekt koosneb kahest 2m-sest ja ühest 1,25m-sest tükist. Kuidas saagida tahvlid katki nii, et

20

komplektide üldarv oleks maksimaalne. Näpunäide: loetleda mõlemat tüüpi tahvlite

kõikvõimalikud katkisaagimise viisid ja võtta muutujateks antud viisil saetud tahvlite arv.

6.2.9. Varda pikkus on 6,5m, see tuleb saagida tükkideks pikkustega 2,4m; 2,2m; 1,6m ja 1,2m.

Nende maksumused on vastavalt 10, 9, 6 ja 4 eurot. Saagida varras katki nii, et tükkide

summaarne maksumus oleks maksimaalne.

6.2.10. Viie eseme maksumused on 2, 4, 6, 10 ja 3. Ranitsa ruumala on 6 ühikut. Milliste

esemete asetamisel ranitsasse on nende summaarne maksumus maksimaalne? Esemete ruumalad

on vastavalt 2, 3, 2, 1 ja 5 ühikut.

Lahendada LP ülesanded antud sihifunktsiooni ja kitsenduste korral.

6.2.11.

.0

22

3

minmax,2

21

21

21

x

xx

xx

xxz

6.2.12

.0

2

5

minmax,

1

21

1

x

x

xx

xz

6.2.13.

.0

42

42

minmax,33

21

21

21

x

xx

xx

xxz

6.2.14.

.0

22

2

minmax,2

21

21

21

x

xx

xx

xxz

6.2.15.

21

.0

4

2

minmax,3

21

21

21

x

xx

xx

xxz

6.2.16.

.0

632

0

minmax,2

21

21

21

x

xx

xx

xxz

6.2.17.

.0

22

3

minmax,42

21

21

21

x

xx

xx

xxz

6.2.18.

.0

4

62

minmax,3

21

21

21

x

xx

xx

xxz

6.2.19.

.0

1243

2

minmax,2

21

21

21

x

xx

xx

xxz

6.2.20.

.0

63

minmax,

321

2

x

xxx

xz

KIRJANDUST LUGEMISEKS

Übi, E. Lineaarne planeerimine ja selle rakendused. Tallinn: Külim, 2007.

Kaasik, Ü., & Kivistik, L. Operatsioonianalüüs. Tallinn: Valgus, 1982.

ÜLESANNETE VASTUSED

22

ese.neljasjakolmasteine,võttaTuleb.10.2.6.tükkliikikolmandatüksjaesimest

kakstehaTuleb.9.2.6.poolekssaetaksemeetrised4kõik,212.8.2.6lennukit.

tüüpiteistkuusjaesimestKolm.7.2.6Norrast.tonni3500jaAraabiastSauditonni2000.6.2.6

.miljonit8,4enukommertslaja2,7laenuKinnisvara.5.2.6.00045.4.2.6

.50,100.3.2.6.20,8,0,400.2.2.6.4230.1.2.6

max

max

21321maxmax

z

z

xxxxxzz

.3,6.11.2.6 maxmin zz .5,1.12.2.6 maxmin zz .8,0.13.2.6 maxmin zz

.4,atõkestamatMiinimum.14.2.6 max z ne.Vastuoluli.15.2.6 .0,0.16.2.6 maxmin zz

.6,12.17.2.6 maxmin zz .6,4.18.2.6 maxmin zz ne.Vastuoluli.19.2.6

.6,0.20.2.6 maxmin zz