Matemáticas Generales Carlos Maza

1) Demuestra que a toda expresión decimal periódica mixta le corresponde una expresiónfraccionaria.

2) Enuncia cuánto vale el área de un exágono regular y demuéstralo.

3) Sabiendo que 25 x) + 154 x) = 212 x) Demuestra cuál es el valor de x. A partir de ély utilizando el algoritmo encelosía, calcula el producto 125 x) x 35 x)

25 x) + 154 x) = 212 x) Significa, por su expresiónpolinomial, que

(5 + 2 x) + (4 + 5 x + x2 ) = 2 + x + 2 x2

x2 + 7 x + 9 = 2 + x + 2 x2

x2 - 6 x - 7 = 0 obteniéndose las soluciones x = -1 (no válida) y x = 7

4) El máximo común divisor de dos números es 12 y su suma es 84. Hallar dichos números.

Al ser el mcd (a,b) = 12, existirán dos números enteros L y R tales que12 L = a12 R = b Que sustituimos en la suma:12 L + 12 R = 84 De donde 12 (L + R) = 84 L + R = 84/12 = 7

Así, habrá que considerar las siguientes parejas de valores posibles:

L 1 2 3R 6 5 4

que son las únicas cuyos integrantes son primos entre sí. A estas tres parejas lescorresponden los valores:

a 12 24 36b 72 60 48

5) Se tiene un trapecio isósceles de bases 12 y 20, siendo su lado oblicuo 5. Se prolonganlos lados del trapecio hasta converger en un punto y formar un triángulo con la base

ExámenesAño 2005

mayor del trapecio. Hallar la altura de este triángulo.

Consideremos la siguiente figura:

Si trazamos el segmento CE, altura del trapecio, el segmento AE tendrá como longitudla mitad de la diferencia entre la base mayor y la menor, por ser el trapecio isósceles. Enconsecuencia, AE = ½ (20 - 12 ) = 4.

Podemos aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo AEC, de manera que 42 + h2 = 52 de donde se deduce que h = 3.

Prolongamos los lados oblicuos hasta formar el triángulo AFB y también el CFD, en elque nos fijamos. El segmento CG es la mitad de la base menor, ½ 12 = 6. Así, para obtener porPitágoras h’ sólo nos queda saber cuánto vale el segmento CF.

Dado que estamos ante los triángulos semejantes CFD y AFB, se cumplirá, por laconsecuencia del teorema de Tales, que

FC / FA = CD / ABFC / FC + 5 = 12 / 20 = 3 / 5

5 FC = 3 FC + 152 FC = 15FC = 7,5

Entonces, por Pitágoras, 7,5 2 = 6 2 + h’ 2 de donde h’ = 4,5así que la altura total será Altura AFB = h + h’ = 3 + 4,5 = 7,5

1) Demuestra el teorema de Pitágoras.

2) Un frutero tiene x naranjas. Inicialmente, vende 1/3 de las mismas y, a continuación,vende 3/4 de las que le quedan. Luego añade 2. Más tarde, vende 2/5 de las naranjas quele quedaban quedándose finalmente con 3 en la bolsa. ¿Cuántas tenía al principio?.

Paso 1: Vende 1/3 x Quedan 2/3 xPaso 2: Vende 3/4 2/3 x = ½ x Quedan 2/3 x - ½ x = 1/6 x — 1/6 x + 2Paso 3: Vende 2/5 (1/6 x + 2) = 1/15 x + 4/5

Quedan (1/6 x + 2) - (1/15 x + 4/5) = (3x + 36)/30(3x + 36)/30 = 3 — x = 18 naranjas

3) Un traductor cobra 16 euros por página cuando el espaciado entre lineas es de 1. Recibeel encargo de traducir un texto de 150 páginas a espaciado 1,5 y otro de 180 páginas aespaciado 2. ¿Cuánto debe cobrar?.Si emplea 3 horas de trabajo por cada 10 páginas a espaciado 2, ¿cuánto tardará en hacerel trabajo?.

Pasando el encargo al equivalente a espaciado 1:150 — 1,5 x — 1 x = 150 / 1,5 = 100 páginas a espaciado 1.180 — 2 x — 1 x = 180 / 2 = 90 páginas a espaciado 1En total: 100 + 90 = 190 páginas a espaciado 1190 x 16 = 3040 euros

Emplea 3 horas por 10 páginas a espaciado 2, equivalentes a 5 páginas a espaciado 1. Portanto, 190 / 5 = 38 grupos de 5 páginas a espaciado 1, en los que tardará 38 x 3 = 114 horas.

4) Sea el triángulo rectángulo ABC de forma que sus catetos miden AB = 4, BC = 8. Seescoge un punto H de la hipotenusa AC trazándose paralelas a los catetos cortándolos enlos puntos R (de AB) y T (de BC). Si AR = 1, hallar la longitud de los dos segmentos enque queda dividida la hipotenusa por H.

AR/RH = AB/BC = 1/RH = 4/8 — RH = 2de donde AH = Raíz (5) por Pitágoras.

HT/TC = AB/BC = 3/TC = 4/8 — TC = 6de donde HC = Raíz (45)

1) Enuncia y resuelve por métodos numérico y gráfico un problema de multiplicación defracciones.Explica los procedimientos numéricos para resolver la división 3/5 : 4/9

2) Calcular dos números tales que su suma sea 144 y su mínimo común múltiplo 420.

3) Tres socios invierten un dinero en un negocio: A pone 150.000 euros, B 120.000 y C30.000 euros. Se tienen unos beneficios del 18 % de lo invertido. Acuerdan pagar el 15% del beneficio a un ayudante contratado y repartirse el resto de los beneficios más elcapital inicial entre los tres pero de forma proporcional a la inversión inicial de cada uno.¿Cuánto tendrá finalmente cada uno?.

4) Las medianas BD y CE relativas a los lados iguales del triángulo isósceles ABC (con AB= AC) se cortan en el punto I. Demostrar que los triángulos BIC y DIE son isósceles.