6 . STABILNOST KONSTRUKCIJA

3. Stabilnost konstrukcija 1

6. STABILNOST KONSTRUKCIJA

VI čas


6.8 Metoda početnih parametara Osnovne

jednačine štapa: Linearizovana

teorija II reda-tačno rešenje

Linearizovana teorija II reda-aproksimativno rešenje

R K q Q

0 g R K K q Q


Matrice krutosti po K i Kg linearizovanoj Teoriji II reda, tačno i aproksimativno rešenje, znamo da odredimo.

Treba odrediti vektor ekvivalentnog opterećenja po linearizovanoj Teoriji II reda, tj, Q = ?


Vektor ekvivalentnog opterećenja ćemo odrediti primenom metode početnih parametara iz nehomogene diferencijalne jednačine šapa.

Vrednost partikularnog integrala ćemo odrediti u zavisnosti od zadatog opterećenja.


Metoda početnih parametara6.8.1 Pritisnut štap

Pritisnut štap – homogena dif.jednačina i rešenje

Ci su integracione konstante koje se određuju iz graničnih uslova štapa

IV 2 2

1 2 3 4

Sv k v 0 ( k )

EIv( x ) C C kx C sinkx C cos kx


Integracione konstante se određuju iz graničnih uslova na početku štapa:

- ugib

- nagib

- momenat savijanja

- transverzalna sila

0 (0)v v)0(0 v

)0(0 vEIM

0 (0) (0)V EIv Sv


Diferenciranjem se dobija

kxkCkxkCxv

kxkCkxkCxv

kxkCkxkCkCxv

sincos)(

cossin)(

sincos)(

34

33

24

23

432


Unošenjem dobijenih izraza u granične uslove, dobija se sistem jednačina po konstantama Ci

0 1 4

0 2 3

0 4

0 3 2 3 2

(0)

(0)

(0) (0)

(0) (0) (0) ( )

v v C C

v C k C k

M EI v M C S

V EI v Sv V C kS S C k C k SkC

gde je S=k2EI


Rešavanjem sistema jednačina dobija se:

02

04

01 0

0 03

,

,

,

,

VC

SkM

CS

MC v

SV

Ck Sk


Rešenje homogene dif. jednačine pritisnutog štapa Metodom početnih parametara glasi:

gde su v0, , M0 i V0 početni parametri (ugib, nagib, momenat savijanja i transverzalna sila na početku štapa)

EIk

kxkxV

EIk

kxM

kkx

vxv302000sincos1sin

)(


Opterećenje duž ose štapa py(x)=p(x)

d

p(x)

v0

V0

SM0

v(x)0

p( )d

x

x-

Nehomogena dif. jednačina:

2 ( )( ) ( )IV II p x

v x k v xEI

x

y


Rešenje nehomogene diferencijealne jednačine je zbir rešenja homogenog dela vh(x) i partikularnog integrala vp(x) :

Partikularan integral pretpostavljamo u obliku:

x

p dpEIk

xkxkxv

03

)()(sin)(

)(

( ) ( ) ( )h pv x v x v x

silapomeranje usled sile


Partikularan integral za pritisnut štap opterećen raspodeljenim opterećenjem p(x)=const je:

0

2

0

( ) ( ) sin ( )

cos ( )( )

2

x

p

x

p

pF x k x k x d

kS

p k xF x kx k

kS k


Za konstantno opterećenje partikularan integral je:

2 2

2

2 2

2

( ) (cos 1 ) 0 ( .)2

( ) ( 1 ) 0 ( .)2

p

p

p k xF x kx za S prit

k S

p k xF x chkx za S zat

k S


)()()()()(

)(sin

cossin)()(

)(cos1sin

cos)()(

)(sincos1sin

)(

2

00

000

2000

302000

EIS

kdpVxvSxvEIxV

xvEIkkx

VkxMkxkEIxvEIxM

xvEIk

kxV

EIkkx

Mkxxvx

xvEIk

kxkxV

EIk

kxM

kkx

vxv

x

p

p

p

Opšte rešenje se može prikazati u obliku:


Ako uvedemo funkcije:

1 2

3 4

sin( ) 1, ( ) ,

1 cos sin( ) , ( )

kxF x F x

kkx kx kx

F x F xS kS


)()()(

)()()(cossin)(

)()()(sin

cos)(

)()()()()()()(

2

00

022000

033000

0440302010

EIS

kdpVxV

dxFpxFVkxMkxkEIxM

dxFpxFVEIkkx

Mkxx

dxFpxFVxFMxFxFvxv

x

x

x

x

Opšte rešenje nehomogene dif.jedačine


Ako uvedemo nove funkcije Ij(x), j=1,2,3,4:

1 1

0

2 2

0

3 3

0

4 4

0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x

x

x

x

I x F x p d

I x F x p d

I x F x p d

I x F x p d


dobijaju se izrazi za pomeranje, obrtanje i sile u preseku:

0 1 0 2 0 3 0 4 4

0 0 0 3 3

0 0 0 2 2

20 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

sin( ) cos ( ) ( )

( ) sin cos ( ) ( )

( ) ( ) ( )

v x v F x F x M F x V F x I x

k kxx kx M V F x I x

SM x EI k kx M kx V F x I x

SV x V I x k

EI


6.8.2 Zategnut štap

Diferencijalna jednačina zategnutog štapa je :

Koriste se rešenja za pritisnut štap, u koja se unose sledeće izmene:

IV 2 p( x )v k v

EI

1

cos sin

S S k ki i

iz chz i iz shz


Za pritisnut štap je:

1 2

3 4

sin( ) 1 ( )

1 cos sin( ) ( )

kxF x F x

kkx kx kx

F x F xS kS


Za zategnut štap se dobija:

1

2

3

4

( ) 1

sin( )

1 cos 1( )

sin( )

z

z

z

z

F x

ikx i shkxF x

ik i kikx chkx

F xS S

ikx ikx i kx shkxF x

ikS i kS


Konačni izrazi za zategnuti štap su:

0 1 0 2 0 3 0 4 4

0

0 0 0 3 3

0

0 0 0 2 2

0

20

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

xz z z z z

xz z

xz z

x

v x v F x F x M F x V F x p F x d

ksh kxx ch kx M V F x p F x d

S

M x EI k sh kx M ch kx V F x p F x d

SV x V p d k

EI


Ako uvedemo funkcije Ij(x), j=1,2,3,4, dobijaju se izrazi za pomeranje, obrtanje i sile u preseku:

0 1 0 2 0 3 0 4 4

0 0 0 3 3

0 0 0 2 2

20 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

z z z z z

z z

z z

z

v x v F x F x M F x V F x I x

ksh kxx ch kx M V F x I x

S

M x EI k sh kx M ch kx V F x I x

SV x V I x k

EI


gde je:

1 1

0

2 2

0

3 3

0

4 4

0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

xz z

xz z

xz z

xz z

I x F x p d

I x F x p d

I x F x p d

I x F x p d


6.8.3 Stepenasto promenljivo opterećenje pravog štapa

Metoda početnih parametara

V0

M0

S

p0

p1

p2

P1

M1

P2

M2

a1

a2

x


Funkcija ugib grede je oblika:

)()()(|

)()()(|

)()()()()(

22242232

11141131

04030200

2

1

axFaxFPaxFM

axFaxFPaxFM

xFxFVxFMxFvxv

pax

pax

p


Nagib grede je:

)()()(sin

|

)()()(sin

|

)()(sin

cos)(

222322

2

111311

1

03000

2

1

axFaxFPS

axkkM

axFaxFPS

axkkM

xFxFVS

kxkMkxx

pax

pax

p


Momenat savijanja je:

)()()(cos|

)()()(cos|

)()(cossin)(

2222222

1112111

02000

2

1

axFEIaxFPaxkM

axFEIaxFPaxkM

xFEIxFVkxMkxkEIxM

pax

pax

p


Transverzalna sila je:

)(|

)(|)(

222

11100

2

1

axpP

axpPxpVxV

ax

ax

Documents

6 . STABILNOST KONSTRUKCIJA