Stabilnost Konstrukcija Predavanje 1 1378921023573

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija

1

6. STABILNOST KONSTRUKCIJA

I časMira Petronijević


2

Literatura M. Sekulović: “ Teorija linijskih

nosača “ GK, Beograd, 2005. M. Đurić: “Stabilnost i dinamika

konstrukcija”, Građevinski fakultet, Beograd, 1977.

S. Ranković, B. Ćorić: “Stabilnost konstrukcija – Zbirka rešenih zadataka”, Građevinski fakultet, Beograd, 1983.


3

6.1 Uvod

Stabilnost konstrukcija je sposobnost konstrukcije da pri zadatom opterećenju očuva svoj prvobitan položaj i formu ravnoteže usled dodatnih, malih poremećaja.


4

Stabilno stanje je stanje pri kome se pri malom poremećaju javljaju mala odstupanja od ravnotežnog položaja, tako da se pri prestanku poremećaja konstrukcija vraća u prvobitno stanje.

Nestabilno stanje je stanje pri kome ne dolazi do vraćanja u prvobitno stanje, već konstrukcija zauzima nov položaj.

Gubitak stabilnosti: prelazak iz stabilnog u nestabilno stanje.

Kritično opterećenje je opterećenje pri kome dolazi do gubitka stabilnosti.


5

Pojam stabilnosti

A-indiferentno stanje

B-nestabilno stanje

C-stabilno stanje


6

Gubitak stabilnosti konstrukcije


7

Kriterijumi za stabilnost nosača

Statički kriterijum stabilnosti Dinamički kriterijum stabilnosti


8

Statički kriterijum stabilnosti

Kritično opterećenje je najmanje opterećenje konstrukcije pri kome pored prvobitnog (osnovnog) ravnotežnog položaja postoji bar još jedan ravnotežni položaj.


9

Dinamički kriterijum stabilnosti

Kritično opterećenje konstrukcije je najmanje opterećenje pri kome mali poremećaji izazivaju kretanje konstrukcije koje nije ograničeno na neposrednu okolinu prvobitnog ravnotežnog položaja.


10

Određivanje kritičnog opterećenja

Statički kriterijum: Kritično opterećenje

se dobija iz uslova ravnoteže susedne tj. ili iz minimuma potencijalne energije sistema

Dinamički kriterijum: Kritično opterećenje

se dobija iz diferencijalne jednačine kretanja slobodnih vibracija


11

6.1.1 Statički kriterijum stabilnosti

Konstrukciji se zadaje nova (predpostavljena tj. očekivana) forma deformacije, pa se određuje opterećenje koje je u stanju da održi sistem u novom položaju ravnoteže.

Dve metode: - direktna - energetska


12

a) Direktna metoda

Uslovi ravnoteže se postavljaju na novom (pretpostavljenom) ravnotežnom položaju. Na taj način se dobijaju:

- diferencijalne jednačine ravnoteže za kontinualne sisteme,

- algebarske jednačine ravnoteže za diskretne sisteme.


13

Direktna metoda. Primer: sistem sa jednim stepenom slobode


14

Uslov ravnoteže na (novoj) deformisanoj konfiguraciji:

gde je: k - krutost opruge

Za mali ugao je sin cos:

0cossin0 aFPlM opA

sinkaFop

0)(0 22 kaPlkaPl


15

Trivijalno rešenje (prvobitna konfiguracja):

Netrivijalno rešenje (nova ravnotežna konfiguracija):

0

lka

PkaPl kr

22 0


16

Grafički prikaz: sila – pomeranje


17

b)Energetske metodeStabilan, labilan, indiferentan položaj ravnoteže

Stabilan položaj

Nestabilan položaj

Indiferentan položaj


18

2

2

2

- stabilan položaj

0, 0 , 0

nestabilan položaj

0, 0 , 0

indiferentan položaj

0, 0 0

min

max


19

Ukupna potencijala energija u novoj (predpostavljenoj) ravnotežnoj konfiguraciji sistema jednaka je:

s

s s

A

A deformacioni rad

R potencijalna energija spoljašnjih sila

negativnom radu spoljašnjih sila


20

Posle izvođenja sistema u blisko susedno stanje, izjednačuje se rad spoljašnjih sila sa prirastom potencijalne energije sistema, odnosno sa negativnim radom unutrašnjih sila


21

Kritična sila se dobija iz stava o stacionarnosti potencijalne energije

0

gde je

( ) - varijacija energije deformacije

- varijacija rada spoljašnjih sila

s

s

s i iis

A R

A N M dx

R p vdx P


22

Primer: sistem sa jednim stepenom slobode


23

s s

0

R A

Princip o minimumu potencijalne energije:

s

2 2

2 2

R P Pl(1 cos )

1 1A ka sin ka sin

2 21

Pl(1 cos ) ka sin2


24

2

2

0

Pl sin ka sin cos 0

sin ( Pl ka cos ) 0

a) trivijalno rešenje

sin 0 0

netrivijalno rešenje

2

2 2

b )

Pl ka cos 0

ka kaP cos za 1 : cos 1 P

l l


25

Domaći zadatak


26

Za sisteme sa više nepoznatih

Očekivana deformacija u novoj ravnotežnoj konfiguraciji se prikazuje preko konačnog broja parametara pomeranja v1, v2, ..., vn. Unoseći pretpostavljenu konfiguraciju u izraz za dobija se zavisnost sile P i parametara pomeranja:

),,,( 21 nvvvPP


27

Iz uslova minimuma za silu P:

dobija se oblik nove ravnotežne konfiguracije i odgovarajuće kritično opterećenje

),,2,1(0 nivP

i

1 2( , ,..., )kr kr krkr nP P v v v


28

6.1.2 Matrična formulacija elastične stabilosti linijskih nosača

U okviru ovog predmeta bavićemo se matričnom formulacijom elastične stabilosti linijskih nosača.

Matrična formulacija se zasniva na geometrijski nelinearnoj analizi štapa, odnosno na teoriji drugog reda.

Formulišu se matrice krutosti štapa K po linearizovanoj teoriji drugog reda.

Kritično opterećenje se dobija iz homogene jednačine sistema, tj. iz uslova da je

det Knn*()=0,

Documents

Stabilnost Konstrukcija Predavanje 1 1378921023573