8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

1/36

153

imun Bogdan, Strojarski fakultet MostarDunja Martinovi, Mainski fakultet Sarajevo

Ravan tap, iji je jedan kraj uklijeten dok na drugi, slobodni kraj, djeluje spreg,koji se nalazi u ravni poprenog presjeka (vektor sprega je u pravcu ose tapa),optereen je na uvijanje, odnosno na torziju. Ovaj spreg, tzv. moment uvijanja ilitorzije Mt, uvija tap oko njegove geometrijske ose za kut uvijanja ili kut torzije .

Slika 6.1. Uvijanje cilindrinoga tapa

z

z

A

z B

tM tM

R

x

1B

y

l

Uvijanje (torzija)

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

2/36

154

U presjeku uklijetenja ili osnove djeluje isti toliki spreg samo suprotnoga smjera(Mt) koji uravnoteuje prvi.

Kut uvijanja jest relativni kut zaokretanja izmeu spomenutih dvaju presjeka. Ako seusvoji pravokutni koordinatni sustav s poetkom u sreditu uklijetenog presjeka i z-

osom usmjerenom ka slobodnom kraju, moe se definirati i gradijent kuta uvijanjaili jedinini kut uvijanja odnosno torzijska dilatacija .d dz = Ovakav je sluajprikazan na slici 6.1.

6.1. Popreni presjeci nosaa. Vrste uvijanja

Karakter deformacija ravnog tapa pri uvijanju ovisi o obliku poprenoga presjeka ipoloaja tapa u cijeloj konstrukciji. Zato se svi tapovi dijele po obliku konturepresjeka na dvije grupe: tapove krunog i tapove neokruglog (eliptinog,pravokutnog, trokutnog itd.) presjeka. Prema ispunjenosti presjeka tapovi se mogupodijeliti na: tapove punog poprenog presjeka (s potpuno ispunjenom konturompresjeka ili s djelomino ispunjenom konturom presjeka, ali s debelim stijenkama, tj.uplje) i tapove tankostijenoga poprenog presjeka. Tankostijeni popreni presjektapa moe biti otvoren, zatvoren s jednostruko ili viestruko povezanim oblastima izatvoreno-otvoren. Karakteristika tankostijenih tapova je ta da debljina stijenke ne prelazi 10% ostalih tipinih dimenzija presjeka, ona je u principu vrlo malaveliina u odnosu na ostale dimenzije.

Kod tapova, obzirom na njihov poloaj u konstrukciji, moe se govoriti oodreenom tipu torzije. Tako se govori o: istoj,slobodnoj, odnosno Sen-Venanovoj(Saint-Venant) torziji i torziji s ogranienim vitoperenjem ili ometenom deplanacijom.

Pod vitoperenjem ili deplanacijom presjeka razumijevaju se aksijalni pomaci toakapoprenoga presjeka tapa du njegove uzdune ose.O istom (slobodnom) uvijanju govori se onda kada je vitoperenje presjeka tapa

slobodno.Vitoperenje punoga presjeka je malo, a ako je presjek kruni on se ne vitoperi, tj. utijeku deformiranja ostaje ravan i okomit na uzdunu os tapa i rastojanje izmeupoprenih presjeka se ne mijenja pri deformaciji.

6.2. Uvijanje tapa krunoga poprenog presjeka

U ovom poglavlju razmatraju se naprezanja i deformacije koja nastaju uslijeduvijanja tapa punoga krunoga i prstenasto-krunoga poprenog presjeka,deformacioni rad ili potencijalna energija deformacije pri uvijanju i dimenzioniranjetapova krunoga i prstenasto-krunoga poprenog presjeka.

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

3/36

155

6.2.1. Naprezanja i deformacije

Neka je tap optereen na uvijanje, slika 6.2., u ravnotei. Pretpostavlja se da je tapravninom 1 1 presjeen u dva dijela, a potom da je odstranjen dio II. Promatra seravnotea dijela I. Da bi dio I bio u ravnotei moraju se na presjenoj povrinipojaviti unutranje sile kojih je rezultanta iste veliine i pravca, a suprotna smjeraod rezultante vanjskih sila razmatrana dijela I. Ova rezultanta unutranjih silazapravo nadomjeta utjecaj odstranjenog dijela II na razmatrani dio I.Budui da je rezultanta vanjskog optereenja dijela I moment torzije Mt i unutranjesile na presjenoj povrini moraju dati takav moment.Iz statikoga uvjeta ravnotee stoga slijedi

=

==k

i A

trzi MrdAM1

.00 (6.1)

Da bi se izraz (6.1) mogao rijeiti, potrebno je poznavati raspodjelu posminognaprezanja po povrini presjeka A.Do te raspodjele se dolazi na osnovi procesa deformiranja tapa. Usvaja se da u tijekudeformiranja popreni presjeci ne trpe vitoperenje, tj. ostaju ravni i okomiti nauzdunu os tapa, te da sve estice odnosno toke koje lee na istom polumjeruprije deformiranja lee na jednom polumjeru i nakon deformiranja tapa, to znai dase popreni presjeci meusobno samo zaokreu za odreeni kut, a ne iskrivljuju se (kaokruti disk). Ovo je Kulombova (Coulomb) hipoteza.

Slika 6.2. Ravnotea dijela tapa izloenog uvijanju

Promatra se stoga deformiranje dijela tapa elementarne duljine dz, slika 6.3. Naosnovi te slike mogu se pisati jednakosti:

y x

zMt

Mt

I IIA

1

1

y x

zA

dA

I

Mt r

Mt

Mt

z

II

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

4/36

156

.

,

1

1

RdBB

dzBB R

=

=

a) b)

Slika 6.3. Deformacija segmenta tapa izloenog uvijanju

Na osnovi ovih jednakosti slijedi da je kutna deformacija (kut klizanja)

Rdz

dRR == , (6.2)

gdje je torzijska dilatacija.Prema slici 6.3b moe se takoer pisati

.

,

1

1

rdEE

dzEE r=

=

Na osnovi ovih jednakosti, pak, slijedi:

.dz

drr

= (6.3)

Iz izraza (6.2) i (6.3) se dobiva

.R

rRr = (6.4)

Budui da izmeu posminog naprezanja i kutne deformacije elementa postojilinearna ovisnost ,G = (izraz 5.15), gdje je G modul smicanja, to slijedi iovisnost posminih naprezanja

.

R

rRr = (6.5)

Iz prednjega se lako moe zakljuiti da je zakon raspodjele posminih naprezanja popoprenome presjeku linearan. Za r = 0 i naprezanje je ravno nuli, a s poveanjem

AB

B1

y x

zR

R

O1 O2

dz

r O1 O2

B

B1

A

E

E1R

r

d

dz

r

d

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

5/36

157

rastojanja od sredita naprezanje raste te prima maksimalnu vrijednost u tokamakoje su najvie udaljene od osi tapa odnosno za r = R,, slika 6.4.

Vektor naprezanja u svakoj je toki okomit na polumjer kruga. Ovakva linearnaraspodjela naprezanja vrijedi i za prstenasti presjek. Ovo slijedi iz injenice da su

konjugirana posmina naprezanja u ravnima uzdunih osnih presjeka, dok ukoncentrinim cilindrinim povrinama nema naprezanja koja bi se prenosila s jednena drugu povrinu pa se, bez izmjene u raspodjeli naprezanja, mogu koncentrinicilindri odstraniti.

Slika 6.4. Raspodjela posminih naprezanja na krunome poprenom presjeku tapaoptereenog na uvijanje

Budui da je sada poznata raspodjela naprezanja po presjeku, mogue je rijeiti ijednadbu (6.1), pa e se dobiti:

===

A A A

R

Rrt

dArR

rdAR

rrdAM ,2

==A

Rt dArIIR

M ,; 200

(6.6)

odnosno

., 0000 R

IW

W

MM

I

R ttR ===

Najvee posmino naprezanje je na obodu kruga i iznosi

RI

M

W

M ttR 00max

=== . ( 6.7 )

max

max

max

max

tM

tM x

x

y y

z

R

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

6/36

158

U prethodnom izrazu I0 je polarni moment inercije ili tromosti presjeka, a W0 jepolarni moment otpora presjeka. Veliina naprezanja u bilo kojoj toki presjeka sada

je odreena izrazom

.0

rI

M

R

r tRr == (6.8)

Na osnovi izraza (6.2) i Hukovog (Hooke) zakona (izraz 5.15) mogue je nai jedininikut torzije i kut torzije , tj.

R R

R GR

= = , (6.9)

a koritenjem izraza (6.7) dobija se

====l

ttt

GI

lM

GI

dzMconst

GI

M,.,

000

(6.10)

ako je tap konstantnog poprenog presjeka i ako je moment torzije konstantan po duinitapa l. G je modul smicanja.Umnoak GI0 naziva se krutost na uvijanje ili torzijska krutost i u teoriji uvijanjaima jednaku ulogu kao aksijalna krutost EA pri aksijalnom optereenju.Za tap stepenasto promjenljivog krunog poprenog presjeka ukupni kut uvijanja jednak je zbiru pojedinanih kutova uvijanja za svaki stupanj, odnosno relativnih kutovazakretanja poprenih presjeka, tj.

== i i iiiti

i IG

lM

0 , (6.11)

gdje je indeksom i oznaena svaka od gornjih veliina za svako promatrano polje u komeona ima konstantnu vrijednost (slika 6.5).

Slika 6.5. tap stepenasto promjenljivog krunog poprenog presjeka optereen nauvijanje

Mt1Mt2

z

l1 l2 l3

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

7/36

159

6.2.2. Statiki neodreeni problemi

Posmino naprezanje i kut torzije se odre

uju iz izraza (6.8) i (6.10), ako se zna moment

torzije. Do Mt se dolazi iz statikog uvjeta ravnotee =i

it .M 0 Meutim, ako postoje

dvije veze, javljaju se dvije nepoznanice i uz statiki uvjet ravnotee treba postaviti jojedan. Taj dopunski uvjet je deformacijski koji treba biti ispunjen. Ovdje su prikazana dvakarakteristina statiki neodreena problema.

6.2.2.1. tap obostrano ukljeten i optereen momentom uvijanja

Slika 6.6. Statiki neodreen tap optereen na uvijanje

Na slikama 6.6a i 6.6b prikazan je tap obostrano ukljeten i optereen momentom uvijanjau toki C. Javljaju se dva momenta reakcija M tA i MtB, a moe se postaviti jedan statikiuvjet ravnotee

=+= .0,0 tBttAt MMMM (a)

Problem je jednom statiki neodreen i zato se postavlja dopunska jednadba iz uvjetadeformacija. Uklanja se ukljetenje u toki B (slika 6.6.c i d). Kada djeluje moment

uvijanja Mtzaokret kraja B je 1 (slika 6.6c), a od MtB je 2 (slika 6.6d). Ukupni zaokret

presjeka B jednak je sumi od 1 i 2 , a poto je presjek B na mjestu ukljetenja, njegovzaokret je jednak nuli. Prema (6.11) bie:

==+=+==i oB

BtB

oA

AtB

oA

AtCBACiAB GI

lM

GI

lM

GI

lM021 (b)

dA

dB

B

AMtA

Mt MtBC

a)

ABC

lA lB

l

MtBMtA

IoBIoA

Mt

b)

A BC

1

Mt

c)

A BC

2

MtB

d)

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

8/36

160

ili

( )

.0=

+ oB

BttA

oA

AtA

GI

lMM

GI

lM

(c)

Iz jednadbi (a) i (c) se dobivaju momenti reakcija

.,00

0

00

0

BAAB

BAttB

BAAB

ABttA IlIl

IlMM

IlIl

IlMM

+=

+= (d)

Uvrtavanjem izraza (d) u (6.8) i (6.10) dobivaju se posmino naprezanje CBAC i i kutuvijanja u presjeku C.

6.2.2.2. tap sastavljen od cijevi i osovine od razliitih materijala optereen

momentom uvijanja

Cijev i osovina su meusobno nerazdvojno vezani i na slobodnom kraju su optereenimomentom uvijanja (slike 6.7a i 6.7b).Statiki uvjet ravnotee glasi

.,0,0 ttAttAt MMMMM === (e)

Ukupni moment uvijanja jednak je zbiru momenata uvijanja koji optereuju osovinu i cijev(slike 6.7c i d), tj.

Mt= Mt1+ Mt2. (f)

a) b)

c) d)Slika 6.7. Statiki neodreen tap sastavljen od cijevi i osovine optereen na uvijanje

d1

osovina (1)

1

Mt1A B

2d2

cijev (2)

Mt2

AB

Mt

A

B

d1

d2

l

osovina (1)

cijev (2)

eona ploa

Mt

A B

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

9/36

161

Iz (f) se vidi da je problem jednom statiki neodreen. Dopunski uvjet se dobiva iz uvjeta

deformacija. Sa 1 i 2 je oznaen kut torzije osovine, odnosno cijevi. Ovi kutovi

zaokreta bilo kog poprenog presjeka od A do B moraju biti isti, jer osovina i cijevpredstavljaju nedjeljivu cjelinu. Bie

1 = 2 , (g)

a uz (6.10) moe se pisati

.022

2

011

1

IG

lM

IG

lM tt = (h)

Iz jednadbi (f) i (h) dobivaju se nepoznati momenti uvijanja

.,022011

0222

022011

0111

IGIGIGMM

IGIGIGMM tttt

+=

+= (i)

6.2.3. Glavna naprezanja

Kod nosaa krunoga ili kruno-prstenastoga poprenog presjeka u sluaju torzije uravnini poprenoga presjeka pojavljuju se samo posmina naprezanja.Kako su posmina naprezanja konjugirana naprezanja, to znai da u svakoj toki uravnini poprenoga presjeka u kojoj postoji posmino naprezanje = r okomito napolumjer, postoji i konjugirano naprezanje u okomitoj ravnini koja je odreena osomz i tim polumjerom (slika 6.8a). Prema tomu, pri optereenju na uvijanje,komponente naprezanja u svakoj toki tapa lee u ravnini koja je tangentna nacilindar ija se os podudara s osom z a prolazi kroz promatranu toku. To

istodobno znai da u tokama tapa optereenog na uvijanje postoji dvoosno stanjenaprezanja, odnosno specijalni sluaj tog naprezanja.Naprezanja u kosom presjeku (slika 6.8b) mogu se dobiti koritenjem izraza (3.4), koji zaovaj specijalni sluaj dvoosnog stanja naprezanja glase

.2cos

,2sin

=

=

n

n (6.12)

Iz uvjeta ekstrema funkcija datih izrazima (6.12) dobivaju se glavna naprezanja i ekstremnasmiua naprezanja. Ova naprezanja se mogu dobiti i iz izraza (3.7) i (3.10).

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

10/36

162

a) b)

Slika 6.8. a) Naprezanja u toki tapa optereenog na uvijanjeb) Naprezanja u kosom presjeku kroz toku

Glavna naprezanja su:

== 21 , , (6.13)

dok su ekstremni smiui naponi

., minmax == (6.14)

Pri torziji se, prema tomu, ostvaruje isto smicanje koje je ekvivalentno istodobnomsabijanju i rastezanju u dva, meusobno okomita, pravca jednakim normalnimnaprezanjima. Glavna e naprezanja u ovom sluaju initi kut 45 s uzdunom ositapa, slika 6.9.

Slika 6.9. Glavna naprezanja kod tapa optereenog na uvijanje

6.2.4. Dimenzioniranje

Dimenzioniranje tapova na uvijanje vri se pomou dva kriterija kao bitna za trajnost i zafunkcionalnost. Ti se kriteriji odnose na vrstou i na krutost.

C z

''A''

n

n

n

detalj ''A''

Mt Mt

=2

=1 045z

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

11/36

163

Kriterij vrstoe

,00

maxd

td

t MWWM

= (6.15)

pa slijedi da mora biti za puni kruni presjek (2

3

0

RW = )

330 22

d

tMWR

= ; 316

2d

tMRD

= . (6.16)

Za prstenasti kruni popreni presjek ( ( )43

0 1

2

=R

W ) se na slian nain

dobiva

( ) ( )3

43

40

1

2

1

2

=

d

tMWR ;( )

341

162

=

d

tMRD , (6.17)

gdje jeR

r= (r unutarnji polumjer prstena, R vanjski polumjer), a d je dozvoljeno

posmino naprezanje.

Kriterij krutosti

d

td

t

G

MI

GI

M

= 0

0max (6.18)

Kod ovog kriterija se zadaje dozvoljeni jedinini kut torzije koji u strojarstvu obinoiznosi 0.25/m odnosno 15'/m ali se uvrtava u radijanima pa je 4.36332*10

-3rad/m.

Iz prethodnog izraza se dobiva za puni presjek

=

2

4

0

RI

4440 322

22

d

t

d

t

G

MRD;

G

MIR

== . (6.19)

Za prstenasti kruni popreni presjek ( ( )44

0 12

=

RI ) se na slian nain dobiva

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

12/36

164

( ) ( ) ( )4 44 44 40

.1

32

2;1

2

1

2

== d

t

d

t

G

M

RDG

MI

R (6.20)

Pravilno dimenzioniranje sastoji se u proraunu dimenzije i po kriteriju vrstoe ipo kriteriju krutosti te usvajanju one dimenzije koja je vea.

6.2.5. Laka transmisiona vratila

Vratila su nosai koji se obru i prenose obrtni moment, tj. snagu. Razlikuju se teka i lakatransmisiona vratila. Teka su optereena momentom uvijanja i silama jer se snaga prenosizupastim i kainim prenosnicima. Javlja se sloeno naprezanje, uvijanje i savijanje. Ako

su naprezanja od uvijanja dominantna radi se o lakim transmisionim vratilima (slika 6.10).

Slika 6.10. Transmisiono vratilo

Rad momenta uvijanja je

dMdW t= , (6.21)

a snaga je rad u jedinici vremena, tj.

,

tt Mdt

dM

dt

dWP ===

gdje je kutna brzina, rad/s, ili

,60

2 nMP t

= (6.22)

gdje je n broj obrtaja u minuti.

Dimenzioniranje lakih transmisionih vratila vri se po kriteriju vrstoe, odnosno kriterijukrutosti. U izraze (6.16) ili (6.17) i (6.19) ili (6.20) uvrsti se Mtizraunat iz (6.22).

l1 l2

t2Mt3Mt1

A

B C D

E

d

E

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

13/36

165

6.2.6. Torzione opruge

Torziona opruga, malog hoda h u odnosu na polumjer R (slika 6.11.), kada se optereti silomF javlja se sloeno naprezanje, torzija i smicanje.

Slika 6.11. Torziona opruga optereena silom F

Sila zatezanja F, koja djeluje u osovini opruge, kada se reducira na centar popre nogpresjeka opruge uzrokuje moment torzije Mt= FR i transverzalnu silu Ft= F. Raspodjelanaprezanja, uzrokovana ovim optereenjima, na krunome poprenom presjeku oprugeprikazana je na slici 6.12.

Slika 6.12. Raspodjela naprezanja na poprenom presjeku opruge

Posmino naprezanje u toki A od transverzalne sile je prema (5.16)

,2

'

r

FA =

a od momenta uvijanja je prema (6.8)

.2

2

340

''

rFRr

rMr

IM tt

A ===

R

Mt=FR

F

F

R

F

F

d

A BC

A BC

2r

'

''

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

14/36

166

Ukupno posmino naprezanje u taki A je

.212max

+==

rR

rFA

(6.23)

Izduenje opruge usljed djelovanja sile F dobiva se promatranjem elementa opruge duineds, koji je izloen djelovanju momenata uvijanja M t(slika 6.13.). Utjecaj transverzalne sileF na deformaciju se zanemaruje.

Slika 6.13. Element opruge izloene djelovanju momenta uvijanja

Pretpostavlja se da se presjek d+ zakrene za kut d (izraz 6.10)

,0GI

dsMd t=

a pravac OC pomjera se za du poloaj O'C.

Na slici 6.13. vidi se da je

RdGI

FRds

GI

FRds

GI

RMRdd t

0

2

0

2

0

==== .

Za oprugu sa n zavoja, kut se mijenja od 0 2n , pa je izduenje

==

n

GI

nFRd

GI

FR 2

0 0

3

0

3

,2

a uz2

4

0

rI = dobija se

.4

4

3

Gr

nFR= (6.24)

ds

d

d

R

O

O'd

Mt

MtC

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

15/36

167

6.2.7. Deformacioni rad

Poto se pri uvijanju ostvaruju uvjetiistog smicanja bi

e specifi

ni deformacioni radprema (5.19a) i (5.15) jednak

.22

2'

GWd

== (6.25)

Da bi se izraunao ukupni deformacioni rad uzima se element u obliku dva koaksijalnacilindra polumjera r i r + dr, a duine dz. Uz koritenje izraza (6.8) dobiva se

==V V

td ,drdzrrGI

MdV

GW

2

222

20

22

gdje je dV = 2rdrdz = dAdz.

Deformacioni rad je

==l A

ttd I

GI

lMdAr

GI

dzMW ,

2202

0

22

20

2

odnosno

.2 0

2

GI

lMW td = (6.26)

Iz izraza (6.26) uz (6.10) dobiva se

.22

ttd

MlMW == (6.27)

Ako je tap stepenasto promjenljivog poprenog presjeka i ako je Mtconst, bie

=i l

td dzGI

MW .

2 0

2

(6.28)

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

16/36

168

6.3. Uvijanje tapova nekrunih poprenih presjeka

Pri rjeavanju uvijanja tapova nekrunih poprenih presjeka ne moe se primijenitihipoteza ravnih presjeka, jer se popreni presjek krivi, pa se mijenja nain raspodjelenaprezanja po presjeku. Ovi problemi se rjeavaju u Teoriji elastinosti. Ovdje su dani nekiprimjeri uvijanja tapova nekrunih poprenih presjeka bez detaljnih izvoenja i analiza.

6.3.1. Uvijanje prizmatinih tapova punog poprenog presjeka

Ovdje se promatra tap pravokutnog poprenog presjeka optereen momentima uvijanja Mt.Popreni presjeci ne ostaju ravni i okomiti na os tapa poslije njegove deformacije, jerdolazi do krivljenja, vitoperenja poprenih presjekau pravcu osi tapa (slika 6.14).

Slika 6.14. Uvijanje prizmatinog tapa

Ovaj problem je prvi rijeio Sen Venan (Saint-Venant). Ovdje su navedeni samo izrazi za

proraun najveih posminih naprezanja koja se javljaju na sredini krae ( 1 ) i due

stranice poprenog presjeka ( max ) (slika 6.15), i izraz za kut torzije.

Slika 6.15. Raspodjela posminog naprezanja u prizmatinom tapu

b

hA B

CD

max

max

1

10

Mt

Mt

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

17/36

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

18/36

170

Slika 6.16. Geometrijska shema tankostijenog tapa

6.3.2.1. Uvijanje tankostijenih tapova otvorenog presjeka

Analiza provedena u Teoriji elastinosti pokazala je da se tapovi tankostijenog otvorenogpresjeka, a iste povrine poprenog presjeka, kada su optereeni istim momentom uvijanja,uvijaju za isti kut i javlja se priblino isto maksimalno posmino naprezanje (slika 6.17).Na osnovi prethodno reenog slijedi da se mogu koristiti izrazi (6.29) i (6.30) za pravokutni

presjek, s tim da se 32 i uzmu za =b

h(Tablica 6.1.). Dakle, posmino naprezanje i

kut torzije su:

,322

2max

sM

sM tt == (6.31)

,333

3

Gs

lM

Gs

lM tt == (6.32)

gdje je s razvijena duina osovine tankostijenog profila.

Pri uvijanju sloenog tankostijenog profila sa n elemenata duina sii debljina i , pri emu

je 10>i

is

(slika 6.18), kut torzije i-tog elementa je

.33ii

tii

GslM

= (6.33)

a

b

c

d

z

s

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

19/36

171

Slika 6.17. Tankostijeni tapovi otvorenog presjeka

Mti je moment uvijanja kojim je optereen i-ti element. Poto su svi elementi vezani ucjelinu i deformiu se zajedno, kut uvijanja je isti za sve elemente, tj.

,.....21 === (6.34)

a moment uvijanja koji optereuje i-ti element iz (6.33) je

.3

3

l

GsM iiti

= (6.35)

Slika 6.18. Sloeni tankostijeni otvoreni popreni presjekSuma momenata uvijanja koji optereuju pojedine elemente jednaka je vanjskom momentuuvijanja

s

s

s3

s2

s1

s1

s2

s3

s4

4

3

2

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

20/36

172

== i iiitit sl

G

MM ,3

3

odnosno

.3

3=

iii

t

sG

lM

(6.36)

Iz (6.35) i (6.36) dobiva se

.33 ii

i

ii

tti s

s

MM

= (6.37)

Na osnovi (6.31) i uz (6.37) slijedi da je

.33

32max ==

iii

it

ii

tii

s

M

s

M

(6.38)

Iz (6.38) se dobiva da je najvee posmino naprezanje u elementu najvee debljine i iznosi:

.3

3max

max

=

iii

t

s

M

(6.39)

6.3.2.2. Uvijanje tankostijenih tapova zatvorenog presjeka

Pri uvijanju tapova proizvoljnog tankostijenog zatvorenog poprenog presjeka (slika 6.19)

pretpostavlja se da posmino naprezanje z ima veliinu jednaku srednjoj vrijednosti podebljini tapa.Iz tapa (slika 6.19a) prvo se isijee segment duine dz (slika 6.19b), a zatim iz togsegmenta element male duine u ravnini poprenog presjeka (slika 6.19c). Na njemu suprikazana posmina naprezanja, koja u podunom pravcu proizvode sile Fb i Fc (slika6.19d). Ove sile se dobivaju mnoenjem posminog naprezanja s povrinom u kojojdjeluju.

., dzFdzF cccbbb ==

cbi su debljine cijevi u takama b i c.

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

21/36

173

a)

b) c) d)

Slika 6.19. Uvijanje tapa tankostijenog zatvorenog poprenog presjeka

Statiki uvjet ravnotee sila u z pravcu za element tapa daje:

., ccbbcb FF == (6.40)

Isto bi se dobilo i u bilo kome drugom presjeku, a to znai da mora biti

)s(,.constf === , (6.41)

gdje proizvod je poznat pod nazivomposmini tok.

Izraz (6.41) pokazuje da su najvea naprezanja tamo gdje je debljina najmanja.Da bi se uspostavila veza izmeu posminog toka i momenta uvijanja, kojim je optereennosa, promatra se popreni presjek (slika 6.20), odnosno element duine ds (mjereno dusrednje linije u presjeku s) i debljine .

Mt

t

Mt z

y

xz dz

l

a bcd

O

a b

cd

a b

cd

a bcd MtMt

cF

1F

1F

bF

c

b

c

c

c

b

bb

dz

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

22/36

174

Slika 6.20. Popreni presjek tankostijene cijevi 6.21.Tankostijenacilindrina cijev

Ukupna posmina sila koja djeluje na element povrine duine ds je fds, a moment ove sile

oko toke O unutar cijevi je

dM = r f ds,

gdje je rokomito rastojanje toke O od pravca sile fds, koji tangira srednju liniju poprenogpresjeka. Ukupni moment nastao od posminog naprezanja dobiva se integriranjem dusrednje linije poprenog presjeka. Sada se moe napisati statiki uvjet ravnotee momenataoko osi z koji glasi:

== .rdsffrdsMt (6.42)

Moe se dati geometrijska interpretacija integrala ss

rds0

. On predstavlja dvostruku

povrinu zatvorenu srednjom linijom (rafirana povrina na slici 6.20), a rds znai da seintegrira po itavoj zatvorenoj liniji, tj.

= sArds 2 . (6.43)

Asje povrina poprenog presjeka zatvorena srednjom linijom.

Na osnovi (6.42), (6.41) i (6.43) dobiva se

,2 st AM =

a odavde je posmino naprezanje

.2 s

t

AM

= (6.44)

r

sds

dsf

r

O

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

23/36

175

Ako se promatra kruna cijev male debljine stijenke (slika 6.21), moe se uzeti da jeposmino naprezanje konstantno po debljini i na osnovi (6.44) dobiva se

22r

Mt= , (6.45)

jer je povrina poprenog presjekaAs= r2.

Do izraza (6.45) moe se doi koritenjem izraza (6.7), kada se zna da je polarni moment

otpora presjeka 20 2rW = (prsten male debljine), tj.

.2 20

r

M

W

M tt ==

6.4. Primjeri i zadaci

Primjer 6.1.

elini tap, G=80 GPa,je optereen momentima uvijanja kao na slici 6.22. Na istoj slicise vide i dimenzije tapa. Odrediti:

a) maksimalno posmino naprezanje u presjeku 3 m od lijevog kraja,b) relativni kut uvijanja u presjeku 2 m od lijevog kraja.

Slika 6.22. tap optereen momentima uvijanja

Rjeenje:

Moment uvijanja u ukljetenju je prema slici 6.23.

MtA= - 35 + 100 20 5 = 40 kNm.

a) Moment uvijanja u presjeku 3 m od lijevog kraja je

1m

1.5m

2m

0.5m

50mm

100mm

160mm

5kNm

20kNm

100kNm

35kNm

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

24/36

176

Mt3= 25 kNm.

Maksimalno posmino naprezanje u tom presjeku je prema 6.7

,3,127103,12705,0

2

05,01025 64

3

0

33max MPaPaR

I

Mt ==

==

jer je polarni moment inercije za kruni presjek jednak

.2

40 RI

=

Slika 6.23. Dijagram momenata uvijanja

b) Relativni kut uvijanja u presjeku 2 m od lijevog kraja je prema (6.11)

=

+===

i ii

iti

ii .rad,

,IG

lM02230

0502

1080

1107511040

49

33

02

Primjer 6.2.

Cilindrina cijev je napravljena od lima debljine 6 mm sueonim spiralnim zavarivanjem(slika 6.24). Odrediti:a) maksimalni moment uvijanja kome moe biti izloena cijev, ako je dozvoljeno

naprezanje na smicanje u platu 80MPa,

+

-

Mt

1m 1.5m 2m 0.5m

2m

3m

40

75

25 5

35kNm 100kNm20kNm 5kNm

A B CD E

MtA

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

25/36

177

b) stepen sigurnosti u odnosu na granicu loma u zavarenom spoju, ako je granica loma prismicanju 250 MPa, a pri zatezanju 400MPa.

Debljina sueonog spoja jednaka je debljini lima.

Slika 6.24. Uvijanje cijevi dobivene sueonim spiralnim zavarivanjem

Rjeenje:

a) Polarni moment inercije za prsten male debljine je

( )mmRmmRI ss 723751007,14672224633

0 =====

Iz izraza (6.7) dt

I

RM =

0max dobiva se maksimalni moment uvijanja

kNmNmR

IM dt 151001,15075,0

1007,141080 366

0max ==

==

b)

Slika 6.25. Element u okolici toke A na zavaru

Naprezanja u kosom presjeku su prema (6.12) i slici 6.25:

.MPacoscos

,MPa,sinsin

n

n

40120802

3691208020

0

===

===

Stepeni sigurnosti su prema analognom izrazu (D2.4)

n

n

n

Mt

Mt300

zavar150mm

A

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

26/36

178

.77,53,69

400400

,25,640

250250

====== nn

Primjer 6.3.

Na slici 6.26 dio tapa, AB, prvobitno nije bio spojen za dio BC. Tada je moment uvijanjaMt0 djelovao u presjeku D. Kada je stvorena vrsta veza u B izmeu dva dijela tapamoment uvijanja Mtoje uklonjen. Odrediti rezultirajue maksimalno posmino naprezanje udijelu BC nakon to je moment Mtouklonjen. Moduli smicanja su GAB= 40 GPa i GBC= 80GPa.

Slika 6.26. Uvijanje tapa

Rjeenje:

Prije spajanja tapa BC sa tapom AB kut uvijanja tapa AB pod djelovanjem momentauvijanja Mtoodreen je prema izrazu (6.10) (slika 6.26a)

.0

1ABAB

ADto

IG lM= (a)

Nakon to je tap BC spojen sa tapom AB i uklonjen spreg Mto, tap AB se vratio u neki

novi ravnoteni poloaj odreen kutom 2 , dok se presjek tapa B zaokrenuo u odnosu naC za

,21 =BC (b)

to se vidi na slici (6.26b). Iz statikog uvjeta ravnotee (slika 6.26c) slijedi

=== .,0,0 tCtAtCtAti MMMMM (c)

Iz (c) se vidi da je problem jednom statiki neodreen.

Dio tapa BC optereen je momentom MtC, te je relativni kut zaokreta presjeka tapa

1.2m 0.8m 1m

100mm 50mm

A B

C

D

Mto=15kNm

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

27/36

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

28/36

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

29/36

181

Cijev i osovina su meusobno nerazdvojno vezani, te je zaokretanje presjeka cijevi iosovine isto, tj.

OC = (c)

Slika 6.27. a) Dijagram momenta uvijanja za ipku ADb) Dijagram momenta uvijanja za ipku AD bez osovinec) Dijagram momenta uvijanja za osovinu

Iz (c) a uz (6.10) dobiva se:

,00 bb

tb

t

IG

lM

IG

lM= (d)

gdje je ( ) .2

a,2

40

440 rIrRI b

==

10

2,07

23,06

MtC

z

b)

c)

+

-

MtO

-

18 8

8

10 Mt+

z

a)

-

A B C D

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

30/36

182

( )ttb

tbt

MM

MM

09,0,05,02

4005,008,02

80 444 == .

Prema slici (6.27a) Mt= 8 kNm i iz jednadbi (b) i (d) dobiva se: Mt= 23,055 kNm,Mtb= 2,077 kNm (slike 6.27b i c).

a) Maksimalno posmino naprezanje je prema (6.7)

( )MPaPa

I

RM

t 8,33108,33

05,008,02

08,010055,23 644

3

0

==

==

max6

4

3

4

1,39101,3908,0

2

08,01010

2

tAB

AB MPaPaR

RM

=====

b) Kut uvijanja slobodnog kraja ipke je prema (6.11)

===

i ii

iti

ii

),,(

,,

,IG

lM

449

3

49

3

0 0500802

1080

511005523

0802

1080

21010

rad,004280=

Zadatak 6.5.

Lako transmisiono vratilo ABC prima u A obrtni moment (snagu P A= 50kW) od motora iprenosi ga na radne strojeve preko zupanika B i C (PB = 35kW, PC = 15kW) pri

10s

obrtaja (slika 6.28). Izraunati maksimalno posmino naprezanje u vratilu i kut

zaokreta izmeu motora u A i zupanika u C. Poznato je G = 80GPa.

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

31/36

183

Slika 6.28. Lako transmisiono vratilo

Rezultat:

.022,0,4,32max radMPa AC ==

Zadatak 6.6.

elini tap (G = 80GPa) je upalj od A do B, a pun od B do C (slika 6.29). Posmi no

naprezanje na granici elastinosti je MPaE 165= . Odrediti:

a) maksimalnu vrijednost momenta uvijanja Mt2da naprezanje ne pree vrijednost .E b) kut zakretanja presjeka B u odnosu na A.

Slika 6.29. ipka izloena dejstvu momenata uvijanja

Rezultat:

.rad,,kNm,Mt 0825098112 ==

Zadatak 6.7.

elina ipka (G = 80 GPa) ABC spojena je sa ipkom CD, koja je od bronze (G = 40GPa)(slika 6.30). Na krajevima A i D ipka je ukljetena. Odrediti maksimalno posminonaprezanje u eliku i bronzi kada je moment uvijanja Mt= 7 kNm.

1m 1.2m

50mmC

BA

Motor

2m 1m

Mt1=3kNmMt2

A B C

100mm 60mm

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

32/36

184

Slika 6.30. Uvijanje obostrano ukljetene ipke

Rezultat:

.96,128 MPaMPa b ==

Zadatak 6.8.

Torzioni mehanizam (slika 6.31) sastoji se od aluminijskog dijela AB vezanog za elinidio CD pomou spojnice sa 4 zavrtnja. Za oba dijela mehanizma D = 80 mm, poprenipresjek svakog vijka je 130 mm2i vijci su smjeteni na rastojanju 65 mm od centra osovine.Poznato je G= 80GPa, GAl= 28 GPa i dozvoljeno posmino naprezanje vijaka 55 MPa.Odrediti:a) maksimalno dozvoljenu vrijednost momenta uvijanja koji djeluje u C,b) maksimalno posmino naprezanje u elinom dijelu.

Slika 6.31. Torzioni mehanizam

Rezultat:

Mt= 10,89 kNm, .8,89max MPa=

Mt

Mt2m

2m

1.5m

bronza

elik100mm

A

B

C

D

300mm

600mm

300mm

Aluminijum

elikA

B

CD

Mt

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

33/36

185

Zadatak 6.9.

Na disku B dovodi se snaga P = 147 kW, koja se odvodi preko diska A(P 1= 110,3kW), aostatak preko diska B (slika 6.32). Vratilo se obre sa n = 920

min

obrta. Pretpostavljajui da

se radi o lakom transmisionom vratilu odrediti promjene u karakteristinim presjecima ako

je G=80GPa, .25,0a,40 0d md MPa ==

Slika 6.32. Lako transmisiono vratilo

Rezultat:d1= dAB= 76 mm, d2= dBC= 58 mm.

Zadatak 6.10.

Dimenzionisati obostrano ukljeteno elino kruno vratilo (G=80GPa, )2=d

Dizloeno

dejstvu momenta uvijanja Mt = 20kNm, ako je a = 0,12 m (slika 6.33), a dozvoljeno

posmino naprezanje je .100MPad = Nacrtati dijagrame momenata uvijanja i kutova uvijanja. Odrediti naprezanje u presjeku p-

p, a u vlaknu udaljenom d/6 od teine osi presjeka.

Slika 6.33. Obostrano ukljeteno vratilo

Rezultat:D = 9,6 cm, d = 4,8 cm; MtA= 17,8kNm, ,0131,0 radc =

.33;00121,0 MParad ppD ==

Mt1 MtMt2

x

AB C

z

l1 l2

y

4a 2a 3a

D d DA BC D

p

p

Mt

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

34/36

186

Zadatak 6.11.

eli

ni cilindri

ni tap (d = 2,5cm) ima zadebljanja A i B (slika 6.34). Na ova zadebljanjanavuena je elina cijev (D = 7,5cm) debljine stijenke 1,25mm. Pri navlaenju cijevi, tap

je bio uvijen momentima 75Nm. Poslije zavarivanja cijevi za zadebljanja tapa uklonjeni sumomenti s njegovih krajeva. Odrediti vrijednost najveeg posminog naprezanja u cijeviposlije rastereenja krajeva tapa. Smatrati da se zadebljanja A i B ne deformiraju.

Slika 6.34. Cijev navuena na tap

Rezultat:MPa4,6=

Zadatak 6.12.

Torziona opruga malog hoda promjera R = 5 cm, promjera eline ice r = 0,75 cm sa n =20 zavoja izloena je dejstvu aksijalne sile F = 1kN. Nai izduenje opruge i maksimalnoposmino naprezanje, ako se zanemari uticaj smicanja.

Rezultat:.75,95,3 MPacm ==

Zadatak 6.13.Koliki moment uvijanja moe da prenese elino vratilo (l = 3 m, G = 80GPa) pravokutnog

presjeka (b = 60mm, 3=b

h), ako je dozvoljeni kut uvijanja 0.

Rezultat:Mt= 1,19 kNm

Zadatak 6.14.

Konzola duine 2m, izraena od [ profila, optereena je na slobodnom kraju momentomuvijanja Mt = 1kNm. Dimenzionirati je za doputeno posmino naprezanje od 115 MPa.Nai kut uvijanja ako je G = 80GPa.

d D

A B

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

35/36

8/9/2019 6 - Uvijanje Str 153 - 188

36/36

188