636.деформационно энергетический подход предельные состояния и разрушение конструкционных материалов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»

А. А. БУХАНЬКО, Е. П. КОЧЕРОВ, А. И. ХРОМОВ

Деформационно-энергетический подход: предельные состояния и разрушение

конструкционных материалов

Электронное учебное пособие

САМАРА

2011

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

УДК 539.3; 539.4 Авторы: Буханько Анастасия Андреевна, Кочеров Евгений Павлович, Хромов Александр Игоревич

Буханько, А. А. Деформационно-энергетический подход: предельные состояния и разруше-ние конструкционных материалов [Электронный ресурс] : электронное учебное пособие / А. А. Буханько, Е. П. Кочеров, А. И. Хромов; Минобрнауки России, Самар. гос. аэрокосм. ун-т им. С. П. Королева (нац. исслед. ун-т). - Электрон. текстовые и граф. дан. (2,39 Мбайт). - Самара, 2011. - 1 эл. опт. диск (CD-ROM)

Данное учебное пособие разработано на кафедре прочности летательных

аппаратов для подготовки аспирантов по научной специальности 01.02.06 "Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры".

В пособии рассматривается методика расчета пластических течений в окрестности концентраторов деформаций и связанных с ними повреждений материала в технологических процессах изготовления элементов конструк-ций и их эксплуатации; разработка подхода к оценке влияния на прочность диссипативных процессов в материале при изготовлении и эксплуатации элементов конструкций, связанными с рассеянием механической энергии при пластических деформациях.

© Самарский государственный аэрокосмический университет, 2011


3

Содержание

ВВЕДЕНИЕ ......................................................................................................5 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДЕФОРМАЦИОННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПОДХОДА .............................................................7

1.1 Основные положения теории жесткопластического тела ...........7 1.1.1 Ассоциированный закон пластического течения .......................7 1.1.2 Условия пластичности и разрушения пластических материалов7 1.1.3 Поверхность деформационных состояний и условие пластичности, связанное с ее линиями уровня .........................................9 1.1.4 Неединственность решения. Критерии выбора предпочтительного пластического течения ............................................13

1.2 Деформационно-энергетический критерий разрушения...........14 1.3 Основные соотношения теории идеального жесткопластического тела 16

1.3.1 Определяющие уравнения теории плоской деформации.........16 1.3.2 Соотношения на характеристиках в теории плоской деформации 17 1.3.3 Определяющие уравнения теории осесимметричной деформации ................................................................................................18 1.3.4 Соотношения на характеристиках в теории осесимметричной деформации ................................................................................................21

1.4 Особые точки пластического течения и деформации на поверхностях разрыва поля скоростей перемещений..........................23

1.4.1 Деформации на линии разрыва поля скоростей перемещений23 1.4.2 Система уравнений, описывающая процесс накопления деформаций в теории плоской деформации............................................25

1.5 Задача, моделирующая пластические течения в окрестности вершины трещины (полоса с V-образными вырезами).......................26

1.5.1 Решение Е. Ли (по Хиллу) ..........................................................26 1.5.2 Решение Е. Ли (по Прандтлю)....................................................29 1.5.3 Решение О. Ричмонда .................................................................31 1.5.4 Решение с несимметричным пластическим течением .............34 1.5.5 Поле деформаций в окрестности углового выреза при разрушении.................................................................................................37

2. ОДНООСНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ ПЛОСКОГО И ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ОБРАЗЦОВ............................42

2.1 Деформирование плоского образца ...............................................42 2.2 Полная схема разрушения плоского образца...............................44 2.3 Одноосное растяжение сплошного цилиндра при однородном поле скоростей перемещений....................................................................48


4

2.4 Одноосное растяжение полого цилиндра при разрывном поле скоростей перемещений .............................................................................51 2.5 Упрощенная схема деформирования цилиндрического образца при одноосном растяжении до разрушения ...........................................54 2.6 Влияние малоцикловых нагружений на механические свойства материалов ...................................................................................................63 2.7 Методика определения величин **W и *W при циклическом

нагружении образца....................................................................................68 3 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТРЕЩИН В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛАХ.............................................................................................................74

3.1 Установившееся движение углового выреза внутри упругопластического тела (распространение трещины).....................74 3.2 Неустойчивое движение углового выреза внутри упругопластического тела (процесс зарождения трещины) ...............77 3.3 Связь между удельной диссипацией энергии *W и

инвариантным J- интегралом ..................................................................78 3.4 Конечно-элементное моделирование процесса растяжения с постоянной скоростью образца с трещиной...........................................82 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...........................................................................86


5

ВВЕДЕНИЕ

Оценка влияния диссипативных процессов на механические характери-стики и разрушение материалов является одним из основных вопросов уста-лостной прочности. Подход к решению этой проблемы основан в настоящее время на экспериментально подтвержденных формулах Коффина-Мэнсона и Пэриса. Теоретическое обоснование этих формул опирается на расчеты рабо-ты внутренних сил при пластическом деформировании. Центральной пробле-мой здесь является описание пластических течений в окрестности концентра-торов напряжений и деформаций. Этот вопрос в целом решается на основе пакетов ANSYS и MSC, за исключением окрестностей угловых концентрато-ров и, в частности, вершины трещины, которые во многом и определяют про-цессы зарождения и распространения трещин.

Основной задачей предлагаемого пособия является создание методики расчета пластических течений в окрестности концентраторов деформаций и связанных с ними повреждений материала в технологических процессах изго-товления элементов конструкций и их эксплуатации; разработка подхода к оценке влияния на прочность диссипативных процессов в материале при из-готовлении и эксплуатации элементов конструкций, связанными с рассеянием механической энергии при пластических деформациях. Этот подход сформу-лирован в виде деформационно-энергетического критерия разрушения мате-риала, который состоит в обобщении подхода, использованного в задачах малоцикловой усталости. Он обобщает формулу Коффина-Мэнсона [17, 45] вместе с ее энергетической интерпретацией, заложенной С. Фелтнером, Дж. Морроу [38] и поправкой Д. Мартина [13].

В первом разделе пособия рассматриваются теоретические основы де-формационно-энергетического подхода, определяющие соотношения идеаль-ного жесткопластического тела. В качестве основной модели анализа напря-женно-деформированного состояния материала принята модель жесткопла-стического тела, которая позволяет:

определить критические значения величин W , W и установившуюся

скорость распространения трещины с из стандартных экспериментов по рас-тяжению плоских и цилиндрических образцов при одноосном растяжении-сжатии по величинам относительного удлинения образца и относительного сужения образца при разрушении;

оценить конечные деформации и удельную диссипацию энергии в час-тицах, находящихся в окрестности вершины трещины;

аналитически оценить процесс накопления диссипации энергии в час-тицах в процессе пластической деформации (количественно оценить мало-цикловую усталостную прочность).


6

В качестве основного условия пластичности принято новое условие пла-стичности, связанное с линиями уровня поверхности деформационных со-стояний идеального несжимаемого жесткопластического тела. Обсуждена проблема неединственности пластического течения идеального жесткопла-стического тела. Сформулированы деформационно-энергетические критерии разрушения пластического тела и выбора направления распространения тре-щины. Исследованы особые точки пластического течения. Приведен алго-ритм определения критических значений W , W .

Рассмотрены известные решения задачи о пластическом течении жестко-пластической полосы с угловыми вырезами, которые могут быть использова-ны при моделировании процессов разрушения (зарождения и распростране-ния трещин) в упругопластических телах.

Предложен подход к анализу поля деформаций и адиабатического поля диссипации энергии в окрестности вершины углового выреза.

Второй раздел посвящен одноосному деформированию и разрушению плоского и цилиндрического образцов. Рассмотрены основные задачи, приво-дящие к количественной оценке деформационно-энергетических характери-стик разрушения конструкционных материалов: растяжение-сжатие плоского образца, растяжение-сжатие цилиндрического образца. Сформулировано обобщение деформационно-энергетического подхода к описанию процессов разрушения для циклических и произвольных «зигзагообразных» процессов деформирования, которое связано с введением новой характеристики мате-риала уW - удельной работы внутренних сил на пластических деформациях,

связанных с упрочнением материала. В третьем разделе приведен расчет предельных деформаций в окрестно-

сти вершины трещины при ее движении. Предложены модели процессов за-рождения и распространения трещины при пластическом течении в окрестно-сти углового выреза. Установлена связь между удельной диссипацией энер-гии частницы при ее движении по предельной траектории и инвариантным J-интегралом. Предложен алгоритм оценки накопления диссипированной рабо-ты внутренних сил в частице с использованием J-интеграла. Проведено ко-нечно-элементное моделирование растяжения образца с трещиной (матема-тическим разрезом).


7

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДЕФОРМАЦИОННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПОДХОДА

1.1 Основные положения теории жесткопластического тела

1.1.1 Ассоциированный закон пластического течения

Определяющим соотношением модели идеального жесткопластического тела является ассоциированный закон пластического течения:

, 0, , 1, 2, 3,ij p pij

fi j

(1.1)

и условие текучести:

0, 1, 2,p ijf p (1.2)

где ij – компоненты тензора напряжений, , ,

1

2ij i j j iV V тензор скоро-

стей деформаций, iV компоненты вектора скоростей перемещений, p

неопределенные множители, постоянные при определенных значениях ком-

понент скорости деформации; p p ijf f функции, определяющие по-

верхности текучести для идеальной пластической среды в пространстве на-пряжений ij , которая не изменяется при деформировании материала.

Ассоциированный закон течения (1.1) является следствием принципа максимума скорости диссипации механической энергии (мощности работы внутренних сил) (принцип Мизеса): скорость диссипации механической энер-гии ij ijW в единице объема при пластическом деформировании прини-

мает максимальное значение для действительного напряженного состояния среди всех напряженных состояний, допускаемых данным условием пластич-ности.

Заметим, что в теории жесткопластического тела принято считать, что вся работа внутренних сил переходит в тепловую энергию и рассеивается. Этот процесс называется диссипацией энергии.

Ассоциированный закон пластического течения обобщается на случай упрочняющегося жесткопластического тела. В этом случае функция f зави-

сит от параметров упрочнения, и называется функцией нагружения.

1.1.2 Условия пластичности и разрушения пластических материалов

Условие пластичности – это условие, характеризующее переход материа-ла из упругого состояния в состояние текучести. Это условие является важ-ным обобщением на трехмерное напряженное состояние предела текучести для одноосного растяжения. С математической точки зрения условие пла-


8

стичности представляет собой соотношение между компонентами напряже-ний в точке, которое должно быть выполнено, когда в этой точке начинается пластическое течение. В общем случае условие пластичности можно записать в виде

,ijf K

где 0K постоянная текучести. Среди наиболее часто встречаемых условий пластичности идеального

нормально изотропного пластического тела можно отметить, [8, 22]: условие постоянства интенсивности касательных напряжений (условие

Мизеса)

2 2 2 21 2 2 3 3 1 2 S ;

условие постоянства максимального касательного напряжения (условие Треска – Сен-Венана):

1 2 2 3 3 1

1max , , ,

2S

где S предел текучести при растяжении, S предел текучести при чис-

том сдвиге, ( 1, 2,3)i i главные значения тензора напряжений.

Эти условия пластичности нашли наибольшее применение в силу просто-ты записи и хорошего соответствия с экспериментальными данными при от-носительно малых деформациях.

Для идеального жесткопластического тела при плоской деформации оба этих условия приводят к одинаковым соотношениям, при осесимметричной деформации более удобно условие Треска – Сен-Венана.

Ниже рассматривается условие пластичности, связанное с линиями уров-ня поверхности деформационных состояний. Необходимость новой формули-ровки связана с определением предельных состояний материала, предшест-вующих его разрушению (образованию внутри материала новых свободных поверхностей). Эти предельные состояния можно рассматривать как состоя-ния предельного упрочнения материала. Поэтому формулировку предельного состояния естественно связать с поверхностью нагружения. Аналогичные формулировки высказывались авторами при исследовании процессов мало-цикловой усталости, связывая процесс разрушения с процессами накопления деформаций и исчерпанием пластичности, [14]. Вместе с этими замечаниями для описания процесса образования новых свободных поверхностей (собст-венно разрушение) необходимо продолжить рассмотрение пластического те-чения и это течение рассматривать как течение идеального жесткопластиче-ского тела при условии пластичности, определяемого предельным положени-ем поверхности нагружения. На диаграмме это можно изобразить от-резком прямой АВ (вместо часто изображаемой ниспадающей ветви AB ),


9

Рис 1.1 – Связь констант разрушения с диаграммой

рисунок 1.1. При этом удельная ра-бота внутренних сил, совершаемая частицей материала до разрушения, разделяется на две части: W

и W .

Первая часть W приводит к упроч-

нению материала до предельного состояния, вторая часть W (по дос-

тижении предельного состояния) приводит к образованию новых сво-бодных поверхностей.

Как правило, в рассматриваемых ниже примерах образование новых свободных поверхностей происходит на особенностях поля скоростей перемещений и имеет скачкообразный харак-тер, то есть приращения компонент деформаций и удельной диссипации энергии имеют конечные значения.

Заметим, что наличие участка АВ, как правило, предполагается в извест-ных пакетах программ (ANSYS, MSC и др.).

1.1.3 Поверхность деформационных состояний и условие пластичности, связанное с ее линиями уровня

Будем использовать в качестве мер деформаций тензор деформаций Ко-ши ijC и тензор конечных деформаций Альманси ijE :

k kij

i j

X XC

x x

, 1

2ij ij ijE C , , 1, 2, 3i j ,

где ,i iX x эйлеровы и лагранжевы переменные, ij символ Кронекера.

Деформационные состояния жесткопластического тела будем изображать точками в пространстве главных деформаций, которые образуют для несжи-маемых тел гиперболическую поверхность третьего порядка (рис. 1.2), [2, 11, 12, 31, 32]. Уравнение этой поверхности может быть задано условием не-сжимаемости в одном из следующих видов:

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

0;

1, 0, 0, 0;

(1 2 )(1 2 )(1 2 ) 1;

C C C C C C

E E E

(1.3)


10

где , ,i i iC E главные значения тензоров , ,ij ij ijC E , соответственно. Де-

формационные процессы изображаются линиями L на этой поверхности. Точ-ка O изображает исходное недеформированное состояние.

Рассмотрим линии M пересечения поверхности с плоскостями, парал-лельными девиаторной плоскости с нормалью n. На рис. 1.3 представлены

проекции этих линий, расположенных на расстоянии 3d h от начала ко-

ординат, на девиаторную плоскость. Уравнения этих линий определяются соотношениями

1 2 3 1 2 3( ), (1 2 )(1 2 )(1 2 ) 1h E E E E E E . (1.4)

Будем называть проекции линий M на девиаторную плоскость (линии m) линиями уровня поверхности деформационных состояний . Поверхность обладает симметрией относительно трех плоскостей, проходящих через коор-динатные оси и нормаль n. Процессы деформирования частиц идеального жесткопластического материала изображаются линиями L на поверхности (см. рис. 1.2) и линиями l на девиаторной плоскости (см. рис. 1.3).

Рассмотрим поле скоростей вида

1 1 1( )V x t , 2 2 2 ( )V x t , 3 3 3 ( )V x t , (1.5)

определяющее процесс простого деформирования, когда главные направле-ния тензора ij остаются неизменными. Здесь ( )i t главные значения тен-

зора скоростей деформаций являются функциями времени t. Тензоры ijE и

ij связаны соотношением

Рис. 1.2 – Поверхность деформа-ционных состояний

Рис. 1.3 – Линии уровня


11

,

2 .

ij ij ij k kk ik jk ij

k j i

i ii i

DE E E V VV E E

Dt t x x x

DE dEE

Dt dt

(1.6)

В склерономной теории пластичности, рассматривающей квазистатиче-ские процессы, масштаб времени не определен и, вообще говоря, он может изменяться в процессе деформирования, в частности, из трех функций ( )i t

одну можно задать произвольно, например, 1( ) 1t . В этом случае из усло-

вия несжимаемости (1.3) следует

1( ) 1t , 2 31 ( )t t .

Пусть деформационный процесс начинается из недеформированного со-стояния (точка O, см. рис. 1.2, 1.3). Система уравнений (1.6) при условии (1.5) и начальных условиях 0| 0ij tE ( 0| 0i tE ) имеет решения

( )12 13 23

0

11 , 1,2,3; 0,

2

( ) 2 ( ) .

i ti

t

i i

E e i E E E

t t dt

(1.7)

Из (1.7) следует, что главные направления тензоров ,ij ijE совпадают в лю-

бой момент времени с направлением координатных осей. Простые деформационные процессы изображаются кривыми l на девиа-

торной плоскости (см. рис. 1.3). В качестве параметра процесса (времени) выберем величину

1 2 3 , ( )i ih E E E E E h .

При замене t на h из (1.7) следует уравнение

31 2 ( )( ) ( )

0

13 , 2 ( )

2

hhh h

i ih e e e h dh . (1.8)

После дифференцирования (1.8) по h получим

31 2

1 1 2 2 3 3

1 2 3

2 , 2 , 2 ,

2 е е е

(1.81)

Из (1.7) следует

31 21 2 3

2 ,

1 2 , 1 2 , 1 2 .

i i

e E e E e E

Подставив эти выражения в (1.81), получим

1 1 2 2 3 3(1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 1E E E . (1.82)


12

Уравнение (1.82) связывает главные значения i и iE для простых процессов

деформирования. Выделим из простых процессов деформирования ортогональные процес-

сы, т.е. процессы, не зависящие от времени, для которых вектор главных зна-чений тензора скоростей деформаций i ортогонален проекциям линий (1.4)

на девиаторную плоскость (т.е. линиям m), которые являются линиями уровня для функции 1 2 3h E E E .

Окончательно для ортогональных процессов величины i и iE связаны

выражениями:

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2

0,

(1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 1,

(1 2 )( ) (1 2 )( ) (1 2 )( ) 0.

E E E

E E E E E E E E E

(1.9)

В (1.9) первое уравнение отображает несжимаемость жесткопластического тела, второе уравнение следует из (1.8) после дифференцирования его по времени h, третье уравнение следует из условия ортогональности процесса деформирования l линиям уровня m.

Введем новый параметр процесса t. Выполняя замену переменной ( )h h t в (1.8) и дифференцируя по t, получим уравнение

1 1 2 2 3 3(1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) ,E h E h E h h

(штрих обозначает дифференцирование по времени t). При этом второе урав-нение в системе (1.9) можно записать в виде

31 21 2 31 2 1 2 1 2 1.E h E h E h

h h h

Положим, что деформации и напряжения связаны с функцией ( )h t соот-

ношениями

(1 2 )i iE h , * ii h

,

3

3 2h

h

, 1 2 3

1( ).

3 (1.10)

Уравнения (1.9) при условии (1.10) примут вид * * *1 2 3

* * *1 1 2 2 3 3

* * *1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2

0,

1,

( ) ( ) ( ) 0.

(1.11)

Уравнения (1.11) приводят к заданию цилиндрической поверхности нагруже-ния с направляющей линией в девиаторной плоскости, совпадающей с проек-циями линий (1.4) и образующей, параллельной n, с параметром упрочнения

1 2 3h E E E . В этом случае первое и третье уравнения (1.11) следуют из

ассоциированного закона течения (1.1) для всех ортогональных процессов


13

несжимаемого жесткопластического тела. Второе уравнение (1.11) будет вы-полняться для всех ортогональных процессов, если за параметр процесса (время) принять работу внутренних сил (для жесткопластического тела дис-сипацию энергии).

Данная поверхность нагружения обладает следующими свойствами: при деформировании материала по любому простому ортогональному

процессу из точки О до уровня деформаций 1 2 3h E E E , частицей совер-

шается одна и также удельная диссипация энергии 0

0h

i i

l

W dl ;

при деформировании по пути отличному от простого ортогонального процесса деформирования, требуется большая диссипация энергии. Это свой-ство непосредственно следует из того, что кривая 0L , на поверхности , со-

ответствующая ортогональному процессу 0l , является линией наискорейшего

спуска из точки О; эта поверхность позволяет учитывать эффект Баушингера. Для любого конструкционного материала поверхность нагружения может

быть определена из стандартного эксперимента на одноосное растяжение по зависимости .

Заметим, что связь условия пластичности с линиями уровня поверхности следует из совмещения осей главных напряжений i и деформаций iE .

При этом связь масштабов определяется величиной h , определяемой из диа-граммы для каждого конструкционного материала. Если кривые (на растяжение и сжатие) обладают центральной симметрией относительно начала координат (отсутствие эффекта Баушингера), то условие пластичности должно описываться окружностью (т.е. совпадать с условием Мизеса).

Указанное замечание означает, что линии уровня поверхности , вообще говоря, не совпадают с линиями пересечения поверхности нагружения с де-виаторной плоскостью, но определяют их форму. Для построения поверхно-сти нагружения в приведенной форме предполагается переход от традицион-

ной диаграммы к диаграмме h , где 1

3 ii , iih E . Соотношения

(1.10) определяют величину h . В дальнейших расчетах, если не оговаривалось особо, в качестве условия

пластичности использовалось условие Мизеса.

1.1.4 Неединственность решения. Критерии выбора предпочтительного пластического течения

Следствием ассоциированного закона пластического течения (1.1) явля-ется единственность поля напряжений в пластической области, [4]. В отличие


14

от этого поле скоростей перемещений не единственно. Поэтому при решении задач для идеального жесткопластического тела возможно построение не-скольких решений с учетом изменения геометрии.

Очевидно, что неединственность поля скоростей ведет к различным рас-пределениям поля деформаций для различных кинематически возможных решений. Естественно, возникает вопрос: какое решение считать предпочти-тельным? В работах [4, 8, 22, 24] показано, что основные различия известных решений для плоских задач типа внедрения штампов, раздавливании клиньев, движении угловых точек свободной поверхности связано с работой внутрен-них сил в окрестности особенностей поля линий скольжения, и поэтому в данной работе используется следующий критерий: предпочтительным явля-ется пластическое течение, развивающееся таким образом, что максималь-ное значение удельной работы внутренних сил в окрестности особенностей поля скоростей перемещений минимально.

1.2 Деформационно-энергетический критерий разрушения

С точки зрения теории жесткопластического тела условия разрушения должны содержать величины, входящие в определяющие уравнения модели: тензоры деформаций и напряжений и их производные по пространственным переменным и времени; и могут быть записаны в виде N соотношений:

, , ,... 0, 1,...,k ij ij ijФ E k N ,

где kФ изотропные функции N тензорных аргументов, определяемых мо-

делью разрушения. Стандартные экспериментальные исследования по растяжению плоских

цилиндрических и других образцов показывают, что разрушение материалов происходит при определенных деформациях **

iE . При этом эксперименталь-

но определяемые характеристики разрушения ( , относительное удлине-

ние и сужение образца при разрушении) могут служить основой для вычис-ления соответствующих значений **

iE , [26]. Эти эксперименты определяют

минимальную систему точек на поверхности , которая может быть аппрок-симирована некоторой кривой *M .

** ** **1 2 3

* ** ** **1 2 3

, , 0,:

1 2 1 2 1 2 1.

Ф E E EM

E E E

(1.12)

Это позволяет постулировать: при пересечении кривой L, соответствую-щей процессу деформирования (см. рис. 1.2), критической линии *M (1.12),

материал достигает предельного состояния.


15

В качестве аппроксимирующих кривых естественный интерес представ-ляют линии (1.4), так как они всегда пересекаются ортогональными процес-сами деформирования и, в частности, кривыми, соответствующими стандарт-ным испытаниям на одноосное растяжение – сжатие. Поэтому положение кривой (1.4) может быть определено экспериментально для каждого конст-рукционного материала.

Вместе с тем из опыта известно, что даже при небольших циклически из-меняющихся пластических деформациях происходит разрушение практиче-ски всех материалов. Поэтому в уравнениях (1.12) должны быть включены параметры, учитывающие историю деформирования частиц материала. Од-ной из величин, связанной с историей деформирования, является удельная

работа внутренних сил 0

t

ij ij

t

W dt , определяемая вдоль пути деформирова-

ния l (см. рис. 1.3). Уравнения (1.12) при этом примут вид

1 2 3

1 2 3

, , , 0,

1 2 1 2 1 2 1.

Ф E E E W

E E E

(1.13)

Если предположить, что механические свойства материала определяются поверхностью нагружения, а второй и третий инварианты тензора деформа-ции Альманси мало влияют на разрушение материала, то уравнения критиче-ской линии (1.13) можно записать в виде

1 2 3

1 2 3

( ),

1 2 1 2 1 2 1.

E E E h W

E E E

(1.14)

Критическая линия в виде (1.14) совпадает с линией максимально воз-можного упрочнения материала, которая определяется величиной

maxmax 0( )h h W , где 0W диссипация энергии при ортогональном процессе

деформирования. Естественно предположить, что дополнительная диссипа-ция энергии, производимая элементом объема материала при неортогональ-ном деформировании, снижает способность материала к упрочнению. Это влияние может зависеть от уровня деформаций (величины h ). Уравнения (1.13), (1.14) означают, что критическая линия уровня, определяющая момент разрушения каждой частицы, приближается к недеформированному состоя-нию в процессе пластического деформирования соответственно диссипации энергии. Функция ( )h W должна определяться экспериментально.

Достижение предельного состояния не означает разрушение. Для разру-шения материала необходимо дополнительно затратить некоторую энергию W , связанную с образованием новых свободных поверхностей (см. рис. 1.1).


16

1.3 Основные соотношения теории идеального жесткопластического тела

1.3.1 Определяющие уравнения теории плоской деформации

Плоская деформация является одним из наиболее разработанных разде-лов теории идеальной пластичности. При плоской деформации перемещения частиц тела параллельны осям 1 2,x x и не зависят от 3x . Подобное состояние

возникает в длинных призматических телах при нагрузках, нормальных к боковой поверхности и не зависящих от 3x . Тело считается изотропным и

однородным. В любом сечении 3x const наблюдается одна и та же картина

напряженного и деформированного состояния. Компоненты напряжения за-висят только от 1 2,x x , причем 23 13 0 из-за отсутствия соответствую-

щих сдвигов. Система уравнений теории плоской деформации идеального жесткопла-

стического тела впервые была установлена Сен-Венаном [49] и содержит пять уравнений:

уравнения равновесия

11 12 22 12

1 2 2 1

0, 0x x x x

; (1.15)

условие текучести

2 2 211 22 124 4k ; (1.16)

условие несжимаемости, которое является следствием ассоциирован-ного закона пластического течения (1.1):

1 2

1 2

0V V

x x

или 1 2 1 22 0E E E E ; (1.17)

условие совпадения осей тензоров напряжений и скоростей деформа-ции, которое также является следствием ассоциированного закона пластиче-ского течения (1.1):

1 2

12 2 1

1 211 22

1 2

2

V V

x xV V

x x

. (1.18)

Система уравнений (1.15) – (1.18) является полной системой дифферен-циальных уравнений теории пластичности, т.к. число уравнений и неизвест-ных функций одинаково. Эти уравнения являются гиперболическими, причем характеристики напряжений и скоростей совпадают.


17

Характеристики для уравнений в напряжениях совпадают с площадками максимальных касательных напряжений. Характеристики для уравнения ско-ростей совпадают с площадками максимального сдвига. Кроме того, характе-ристики для напряжений и скоростей совпадают между собой и называются линиями скольжения, которые являются одновременно и линиями макси-мального касательного напряжения и линиями максимального сдвига.

1.3.2 Соотношения на характеристиках в теории плоской деформации

Решение задач теории плоской деформации идеального жесткопластиче-ского тела основано на построении двух взаимно ортогональных семейств линий скольжения и , касательные к которым совпадают в любой точке с

направлением максимальных касательных напряжений и скорости деформа-ции сдвига.

Дифференциальные уравнений линий скольжения:

tg ,

ctg ,

dyлинии

dxdy

линииdx

где направленный против движения часовой стрелки угол наклона ха-

рактеристик семейства к оси абсцисс. Компоненты тензора напряжений можно представить в виде

11 22 12sin 2 , sin 2 , cos 2 ,p k p k k

где 1 2

1

2p гидростатическое давление, k предел текучести.

Среднее сжимающее напряжение p и угол связаны соотношениями

Генки, [40]: 2 ,

2 ,

p k const вдоль линии

p k const вдоль линии

эквивалентные уравнениям равновесия. Значения констант изменяются при переходе от одной линии , -характеристик к другой соответственно.

Проекции вектора скорости перемещения u и v на криволинейные оси и удовлетворяют соотношениям Гейрингер, [39]:

0 ,

0

du vd , вдоль линии

dv ud вдоль линии ;

(1.19)

и связаны с проекциями скорости перемещения на декартовые оси x и y соот-ношениями:

cos sin , sin cos .x y x yu V V v V V (1.20)


18

Рис. 1.4 – Компоненты напря-жений

Радиусы кривизны R и S характеристик и соответственно, опреде-

ляются из уравнений 1 1

,R S S S

,

где S

и S

производные, взятые соответственно вдоль линий и .

1.3.3 Определяющие уравнения теории осесимметричной деформации

Осесимметричные задачи теории пластичности представляют значитель-ный интерес для приложений. Пусть ось рассматриваемого тела вращения совпадает с осью цилиндрической системы координат r , , z , а заданные

нагрузки (или смещения) также обладают осевой симметрией. Тогда дефор-мация такого тела будет осесимметричной. При этом компоненты напряже-ния и смещения не зависят от полярного угла .

Отличные от нуля компоненты напряжения r , , z , rz (рис. 1.4) и

составляющие скорости rV , zV являются

функциями от r и z . При квазистационарном осесиммет-

ричном пластическом течении изотропного несжимаемого жесткопластического тела напряжения r , , z , rz удовлетворяют:

дифференциальным уравнениям равновесия

0, 0rr rz rz z rz

r z r r z r

; (1.21)

условию несжимаемости 0rr zz ; (1.22)

условию изотропии (соосности девиаторов напряжений и скоростей де-формаций):

2 0, tg2 ,2

r z r z r z

rz

V V V Vtg

r z z r

(1.23)


19

где угол между положительным направлением оси r и направлением

максимального касательного напряжения в плоскости ,r z .

Представив компоненты тензора скоростей деформаций ii в виде

rrr

V

r

, z

zz

V

z

, rV

r ,

получим условие несжимаемости (1.22), выраженное через скорости rV , zV :

0.r z rV V V

r z r

(1.24)

Так же как и при плоском пластическом течении, направления макси-мальных касательных напряжений в каждой точке плоскости ,r z опреде-

ляют два ортогональных семейства линий , , образующих правую систему

координат, в которой направление первого главного напряжения проходит через первый и третий квадранты.

Четыре уравнения (1.21)(1.24) содержат шесть неизвестных. Для замы-кания системы добавляется ассоциированный закон пластического течения (1.1) и условие текучести (1.2). Согласно закону (1.1) скорости деформаций пропорциональны производным по напряжениям от функции текучести, стоящей в левой части условия текучести.

При условии текучести Мизеса

2 2 26 6r z z r rz s

уравнения осесимметричной задачи являются эллиптическими, [51]. В данной работе это условие не используется.

При кусочно-линейном условии текучести, которым является, в частно-сти, условие Треска-Сен-Венана

max

1

2 sconst , (1.25)

где max 1 2 2 12 max , , , уравнения осесимметричной за-

дачи оказываются гиперболическими. Гиперболическая система уравнений допускает, как правило, разрывное решение в отличие от эллиптической сис-темы, поэтому в качестве поверхности текучести выберем поверхность Трес-ка.

В пространстве главных напряжений это условие определяет поверхность правильной шестигранной призмы. По ассоциированному закону вектор ско-рости деформации направлен по нормали к поверхности текучести. Окружное


20

Рис. 1.5 – Сечение призмы Трес-ка-Сен-Венана

Рис. 1.6 – Линии скольжения в плоскости { , }r z

напряжение является главным ( 3 ), 1 , 2 ( 1 2 ) главные на-

пряжения в плоскости ,r z , тогда

, cos 2 , sin 2 ,r z rzq q (1.26)

где 1 2 1 2

1 1,

2 2q .

Сечением призмы Треска-Сен-Венана плоскостью const является

шестиугольник, показанный на рис. 1.5, координаты его центра 1O равны

( , ). Условие текучести и главные

скорости деформации в различных ре-жимах приведены в табл. 1.1, где 1 2,

произвольные неотрицательные скалярные функции (свои для каждого режима).

Таблица 1.1 – Условие текучести и главные скорости деформации Главные скорости деформации

Режим Условие текучести 1 2 3

А 1 2 2k 1 2 1 2

D 1 2 2k 1 2 1 2

AB 1 1 22k 1 0 1

CD 2 2 12k 0 1 1

BC 1 2 1 22k 2 2 0

B 2 1 2k 1 2 2 1

C 1 2 2k 2 1 2 1

Режим ВС соответствует состоянию «полной пластичности», когда

равно одному из главных напряжений; для режима В: 2 , для режима С: 1 .

Системы уравнений для сингулярных режимов В и С аналогичны. В работе используются только эти режимы деформирования.

Система уравнений для напряжений состоит из дифференциальных уравнений


21

равновесия (1.21), условия пластичности 1 2 2k и равенства 2

для режима В; 1 для режима С. Линии скольжения , (траектории

max ) в плоскости ,r z наклонены под углом 4 к главным направлениям

(рис. 1.6). На площадках скольжения действует нормальное напряжение

1 2

1( ),

2 нормальное напряжение отлично от среднего давления p :

p . Очевидно, что k для режима В, k для режима С, а

угол наклона площадки скольжения 4

.

Соотношения (1.26) преобразуются к следующему виду: , sin 2 , cos 2 .r z rzk k

Тогда из уравнения равновесия (1.21) получаем систему квазилинейных уравнений относительно функций , :

2 cos 2 sin 2 sin 2 1 ,

2 sin 2 cos 2 cos 2 .

kk

r r z r

kk

z r z r

(1.27)

В уравнениях (1.27) принимают верхний знак в формуле при режиме В и нижний знак при режиме С. Система уравнений (1.27) совместно с уравне-ниями (1.23), (1.24) образует замкнутую систему относительно неизвестных

, , rV , zV .

Решение этой системы выполняется в два этапа. Сначала при заданных граничных условиях для напряжений определяют функции и из реше-

ния системы (1.27), а затем при заданных граничных условиях для скоростей рассчитывают поле скоростей ,r zV V из решения системы (1.23), (1.24).

1.3.4 Соотношения на характеристиках в теории осесимметричной деформации

Системы уравнений (1.26), (1.23) и (1.24) относятся к гиперболическому типу и имеют два семейства ортогональных характеристик , в плоскости

,r z , дифференциальные уравнения которых имеют вид

tg - ,

ctg .

dzвдоль линии

drdz

вдоль линииdr

(1.28)


22

Для системы (1.27) характеристические соотношения имеют вид:

2 ,

2 ,

kd kd dr dz вдоль линии

rk

d kd dr dz вдоль линииr

где верхние знаки при dr относятся к режиму В, а нижние к режиму С. Используя компоненты скоростей V , V вдоль характеристик:

cos sin ,

cos sin ,r z

z r

V V V вдоль линии

V V V вдоль линии

(1.29)

из (1.23) и (1.24) получают систему гиперболических уравнений с характери-стическими соотношениями

1( ),

21

( ).2

dV V d V dr V dzr

dV V d V dz V drr

(1.30)

Вследствие неоднородности уравнений осесимметричного пластического течения свойства разрывов скоростей, которые могут распространяться вдоль характеристик, существенно отличаются от разрывов при плоском пластиче-ском течении. Обозначив через V и V скорости по обе стороны от соответ-

ствующей характеристики , β, разрывы скорости вдоль характеристик опре-деляются как

, .V V V V V V

Из условия несжимаемости нормальные к этим характеристикам компо-ненты вектора скорости непрерывны:

,

.

V V вдоль линии

V V вдоль линии

Подставляя в уравнения (1.30) скорости V , V

, V , V

для каждого се-

мейства характеристик и вычитая соответствующие уравнения для скоростей со знаком «» из уравнений для скоростей со знаком «+», получают диффе-ренциальные соотношения для разрывов скоростей вдоль характеристик:

0 ,

2

02

Vd V dr вдоль линии

r

Vd V dr вдоль линии

r

Интегрируя эти уравнения, получаем:


23

Рис. 1.7 – Поле скоростей на линии разрыва

V

V

ντ

L

1

2

1,

1.

V C вдоль линииr

V C вдоль линииr

где 1C , 2C константы интегрирования.

1.4 Особые точки пластического течения и деформации на поверхностях разрыва поля скоростей перемещений

В качестве меры деформации выбран тензор конечных деформаций Аль-

манси 0, ,

1

2ij ij k i k jE X X , связанный с тензором скоростей деформаций

, ,

1

2ij i j j iV V соотношением (1.6):

ij ij ij k kk ik jk ij

k j i

DE E E V VV E E

Dt t x x x

. (1.31)

Выбор тензора Альманси в качестве меры деформации не является единст-венным, так как уравнения типа (1.6) могут быть получены и для других тен-зоров деформаций (см. [6]).

Поле скоростей перемещений может иметь особенности (поверхность разрыва iV , центр веера характеристик). Поэтому накопление деформации

осуществляется при двух условиях: в непрерывном поле скоростей iV со-

гласно уравнениям (1.6) и при пересечении частицей материала особенностей поля iV , на которых компоненты ij могут обращаться в бесконечность.

Изменение деформаций при пересечении частицей материла особенно-стей поля скоростей iV рассматривается в работах [25, 29].

1.4.1 Деформации на линии разрыва поля скоростей перемещений

На основе теории разрывов Адамара-Томаса [20] изменения компонент дисторсии на поверхности разрывов поля скоростей перемещений определя-ются выражениями, [25]:

, ,, ,i j i j i j ij i j

V VX X

G V G V

(1.32) в предположении, что материал до пере-сечения поверхности разрыва не дефор-мировался ( ,i j ijX ). Здесь [ ]V раз-


24

рыв касательной компоненты, V нормальная компонента скорости пере-

мещений на поверхности разрыва, G нормальная скорость распростране-ния поверхности разрыва; i единичный вектор касательной к поверхности

разрыва, совпадающий с вектором разрыва скоростей перемещений; i

единичный вектор нормали к поверхности разрыва (рис. 1.7). В формуле (1.32) предполагается, что вектор G противоположно направлен вектору

V , т.е. G G ν .

Абсолютное значение величины

n

VW

G V

имеет физический смысл объемной плотности энергии диссипации, получае-мой материальной частицей при пересечении поверхности разрыва поля ско-ростей, отнесенной к пределу текучести.

Из (1.32) следует, что в условиях плоской деформации основные инвари-анты тензора ijE вычисляются через величину W по формулам, [25]:

2 4

2 211 22 11 22 12 2

2 2

1 22 2

14

2 4 4

4 41 1 1 1 .

4 4

E E

W WI E E , II E E E ,

W

W WE , E

W W

Эти соотношения существенно зависят от движения особенностей поля ско-ростей относительно материальных частиц. Все указанные параметры могут быть определены только при решении задачи с учетом изменения геометрии тела.

В условиях плоской деформации вследствие несжимаемости идеального жесткопластического тела только один инвариант тензора ijE является неза-

висимым (например, 1E алгебраически наибольшее главное значение) и

может быть принят в качестве характеристики величины деформации части-цы. Параметр 1E представляет собой монотонную функцию W , и величина

W также может характеризовать величину деформации частицы при пересе-чении линии разрыва скоростей перемещений.

Если материал до момента пересечения линии разрыва деформировался, и компоненты тензора дисторсии имели значения ,i jX , то компоненты тензора

дисторсии за линией разрыва будут иметь значения

i kik k j

j j

X XW

x x

.


25

1.4.2 Система уравнений, описывающая процесс накопления деформаций в теории плоской деформации

Запишем (1.31) в компонентной форме для случая плоской деформации, [25]:

11 11 11 1 2 11 2 11 12

1 2 1 1 1

22 22 22 1 2 21 2 12 22

1 2 2 2 2

12 12 12 11 2 11

1 2 2

1 2 2 1 212 22

1 2 1 2 1

2 2 ,t

2 2 ,t

2t

12

2

E E E V V VV V E E

x x x x x

E E E V V VV V E E

x x x x x

E E E VV V E

x x x

V V V V VE E

x x x x x

.

(1.33)

Согласно [19] компоненты тензоров ijE , ij можно записать в виде

11 cos 2E e g , 22 cos 2E e g , 12 sin 2E g ,

11 cos 2 , 22 cos 2 , 12 sin 2 ,

где 11 22

1

2e E E , 2 2

11 22 12

14

2g E E E , , соответственно углы

наклона первого главного направления тензоров ijE и ij к оси 1x ,

2 211 22 12

14

2 . Тогда система (1.33) принимает вид:

1 2

2 1

2 cos 2 0,

2 cos 2 cos 2 ,

2 2 sin 2 sin 2 ,

deg

dtdg

edt

V Vdg e g

dt x x

(1.34)

где 1 21 2

dV V

dt t x x

материальная производная по времени. Уравне-

ния (1.34) устанавливают связь между инвариантами тензоров Альманси e,g и скоростей деформаций и их главными направлениями , вдоль траек-

тории движения частицы материала, [25, 29].


26

1.5 Задача, моделирующая пластические течения в окрестности вершины трещины (полоса с V-образными вырезами)

Математическое моделирование процессов распространения трещины в упругопластическом теле можно рассматривать как процесс распространения углового выреза вместе с небольшой пластической областью, примыкающей к его вершине, [27, 33]. При этом распространение углового выреза может происходить как с разрушением, так и без него. Разделение этих процессов существенно связано с появлением на свободной поверхности трещины (ее берегах) частиц изнутри материала. В основе предлагаемого ниже подхода лежат четыре известных решения задачи о растяжении полосы с V-образными вырезами: два решения Е. Ли [44], решение О. Ричмонда [48], ре-шение А. Буханько, А. Хромова [24]. Первые три решения возможны только при разрушении материала, последнее решение описывает движение углового выреза без разрушения.

1.5.1 Решение Е. Ли (по Хиллу)

На рис. 1.8 показана схема пластического течения при одноосном растя-жении полосы с V-образными вырезами, угол раствора которых равен ,

предложенная Е. Ли, [44]. Верхний и нижний концы полосы движутся со ско-ростями V . Предполагается, что:


27

пластическая область состоит из треугольников с равномерным на-пряженным состоянием, движущихся соответственно вдоль линии ОА (облас-ти ОВА и ОЕА) и линий DC и FG (области ADC и AFG), соединенных цен-трированными веерами линий скольжения BAD и EAF;

с течением времени угол остается постоянным;

для сохранения данной структуры поля линий скольжения необходимо, чтобы центр веера линий скольжения всегда находился на свободной поверх-ности.

Граничные условия для скоростей на соответствующих линиях разрыва поля скоростей перемещений имеют вид

3: sin , , ;

4 4

: cos , , .4 4

OBDC u V

OEFG v V

(1.35)

Поле скоростей в пластической области определяется граничными усло-виями (1.35) и уравнениями Гейрингер (1.19) в виде

Рис. 1.8 – Схема пластического течения в решении Е.Ли


28

: , ;2 2

3: sin , cos 2 , , ;

4 4

: cos sin , 2 sin cos ;2 2

: , ;2 2

: cos , u sin 2 , , ;4 4

: cos sin , 2

V VOBA u v

BAD u V v V

V VADC u v

V VOEA v u

EAF v V V

VAFG v u

2 sin cos .2

V

(1.36)

Проекции скоростей на оси координат x,y согласно (1.20), (1.36) равны

: 1, 0;

: cos sin , 1 sin cos ;

: cos sin , 1 sin cos ;

x y

x y

x y

OBAЕ V V

ADC V V

AFG V V

(1.37)

где , .yxx y

VVV V

V V

В предположении, что угловая точка А, являющаяся центром вееров ли-ний скольжения BAD и EAF, образуется пересечением свободных поверхно-стей AC и AG, скорость ее движения оп-ределяется соотношениями

ctg , 0.2

A Ax yV V

(1.38)

На рис. 1.9 представлен сравнитель-ный график скоростей частиц материала области OBAЕ (согласно (1.37)) – сплош-ная линия, и центра веера BAD (1.38) – пунктирная линия, построенный для зна-

чений 0,2

. Из графика следует,

что угловая точка выреза при любом зна-чении внедряется в материал, что не

возможно без разрушения материала. Рис. 1.9 – График сравнения

скоростей

OBAEV

AV


29

Таким образом, решение Е. Ли [44] при 0t описывает пластическое тече-ние рассматриваемой задачи с разрушением. Поле деформаций в окрестности точки А определяется углом раскрытия выреза (см. п. 1.5.5).

1.5.2 Решение Е. Ли (по Прандтлю)

Схема пластического течения [44] является обобщением решения Пран-дтля задачи о внедрении гладкого плоского штампа в полупространство, рис. 1.10. Предполагается, что:

величина угла раствора V-образного выреза 2 остается постоянной в

процессе растяжения полосы вверх-вниз со скоростью 1V ; область ABA’E находится в жестком состоянии; области ADC и AFG с

равномерным напряженным состоянием перемещаются вдоль линий DC и FG, соответственно; жесткие области соединены центрированными веерами BAD и FAG;

для сохранения структуры поля линий скольжения центр веера должен оставаться на свободной поверхности.

Граничные условия для скоростей на соответствующих линиях разрыва поля скоростей перемещений имеют вид

Рис. 1.10 – Решение Е. Ли (по Прандтлю)


30

: 0;

3: sin , , ;

4 4

: 0;

: cos , , .4 4

BA v

BDC u

EA u

EFG v

(1.39)

Поле скоростей в пластической области при граничных условиях (1.39) определяется согласно уравнениям Гейрингер (1.19) в виде

: 0, 0;

1 3: sin , cos , , ;

4 42

: cos sin , 1 sin cos ;2 2

1: cos , sin , , ;

4 42

: cos sin , 1 sin cos2 2

ABA E v u

BAD u V v V

V VАDС u v

EAF v V u V

V VAFG v u

.

(1.40)

В декартовой системе координат x,y согласно (1.40) и (1.20) имеем

: 0, 0;

1 1: cos sin , 1 sin cos ;

2 21 1

: cos sin , 1 sin cos .2 2

x y

x y

x y

ABA E V V

АDС V V

AFG V V

При построении решения предполагается, что угловая точка V-образного выреза (точка А) образуется в результате пересечения свободных поверхно-стей AC и AG. Компоненты скорости движения угловой точки А постоянны в процессе деформирования и соответственно равны

1ctg , 0.

2 2sinA A

x yV V

(1.41)

Из условия симметричности пластического течения относительно осей x,y следует, что в области ABA E 0, 0x yV V , т.е. материал остается в покое.

Согласно (1.41) угловая точка выреза при любом значении внедряется в

материал (рис. 1.11), что не возможно без разрушения материала. Таким об-разом, данное решение существует как решение рассматриваемой задачи только в начальный момент времени 0t . Решение задачи о растяжении по-


31

лосы с V-образными вырезами как обоб-щение решения Прандтля для задачи о штампе при 0t без нарушения сплош-ности среды невозможно.

1.5.3 Решение О. Ричмонда

Еще одно решение задачи о растяже-нии полосы с V-образными вырезами бы-ло предложено О. Ричмондом (рис. 1.12), [48]. Это решение является частным слу-чаем решения Г.И. Быковцева [5] задачи о внедрении гладкого плоского штампа с жесткопластическое полупространство. В процессе растяжения полосы предполага-

ется вращение свободной поверхности, которое происходит в результате од-нородности поля скоростей в области ABA E . Вращение свободных поверх-ностей AC и AG происходит при линейном распределении полей скоростей в пластической области.

Распределения нормальных составляющих скоростей в криволинейной системе координат на линии AB и на линии АЕ имеют вид:

0,

V

Рис. 1.11 – График сравнения скоростей

Рис. 1.12 – Решение О. Ричмонда


32

1,

2

1.

2

l

l

l tv t V

x t

l tu t V

x t

AB

A

AE

A

(1.42)

Здесь ,l l локальные координаты , -линий (линии AB и АЕ): в точке А

0 A Al l , в точках В и Е 2 At t x t B E

l l . Граничные условия для

скоростей на линиях разрыва поля скоростей перемещений:

3: sin , , ;

4 4

: sin , , .4 4

BDC u t V t t t

EFG v t V t t t

(1.43)

Поле скоростей в пластической области определяется в результате реше-ния уравнений Гейрингер (1.19) при граничных условиях (1.42) и (1.43):

на линиях

1: , ;

2 2

1: , ;

2 2

2 sin cos 2 ,2:

cos sin ;2

2 sin cos 2 ,2

:

cos si2

l

l

l t VAB v t V u

x t

l t VAE u t V v

x t

l tVv t t t

x tAD

Vu t t t

l tVu t t t

x t

AF

Vv t t

l

A

l

A

l

A

l

l

A

l n ;t

(1.44)


33

в областях

sin cos 2 ,2

:

cos sin ;2

sin cos 2 ,2

:

cos sin ;2

: , 0; , 0;

AC

AG

AC

AG

A A A Ax y x y

l tVv t t t

x t

ADC

Vu t t t

l tVu t t t

x t

AFG

Vv t t t

ABA E V V V V V V

V

AC

AG

l

A

l

l

A

l

0, ; 0, .B B E Ex y x yV V V V V

(1.45)

где 2ACl l и 2l lAG

локальные координаты на линиях АС и AG,

соответственно. Скорость движения угловой точки V-образного выреза согласно (1.44) и

(1.45) определяется аналогично (1.38). При этом горизонтальная составляю-щая скорости движения угловой точки равна

ctg

2Adx t t

dt

. (1.46)

Изменение угла V-образного выреза при растяжении определяется соот-ношением

A2

d t Vt

dt x t

. (1.47)

Уравнения (1.46) и (1.47) дают систему дифференциальных уравнений функций Ax t и t , позволяющих описать схему пластического течения,

предложенную Ричмондом. Из (1.38) и (1.46) видно, что скорости движения вершины V-образного

выреза (точка А) в решении Е. Ли и О. Ричмонда совпадают (см. рис. 1.9). Т.е. угловая точка выреза при любом значении t внедряется в материал и ре-

шение О. Ричмонда [48] также описывает пластическое течение при растяже-нии полосы с разрушением в любой момент времени.


34

1.5.4 Решение с несимметричным пластическим течением

Предполагается, что в пластическом состоянии находится только область A1G1F1EFGA , [24]. Области C1A1EAC (I) и H1G1F1EFGH (II) – жесткие облас-ти, движущиеся вдоль оси y со скоростью V вниз и вверх соответственно. Предполагается, что пластическая область состоит из двух прямоугольных треугольников AFG и A1F1G1, перемещающихся поступательно как жесткое целое вдоль FG и F1G1 соответственно, соединенных с жесткой областью А1ЕА центрированными веерами поля линий скольжения EAF и EA1F1 (рис. 1.13). Линии АЕ и EFG являются линиями разрыва скоростей перемещений. Граничные условия для скоростей на них:

: ;2

: cos , , .4 4

VAE u

EFG v V

(1.48)

Поле скоростей в пластической области при граничных условиях (1.48) определяется в виде:

Рис. 1.13 – Несимметричное пластическое течение

u

v

x

y

1A A

G1G

C1C

H1H

жесткая область

жесткая область

V

V

E1F F

O


35

1

: cos sin , sin cos 2 ;2 2

: cos , sin 2 , , ;4 4

: , .2 2

V VAFG v u

EAF v V u V

V VA EA v u

В декартовых координатах распределение скоростей на линии AG имеет вид:

cos sin , 1 sin cos .x yV V V V (1.49)

В предыдущих решениях ввиду их симметричности предполагалось, что положение угловой точки V-образного выреза определяется пересечением линий AG и AC. При рассматриваемом на рис. 1.13 поле линий скольжения положение точки А не определяется однозначно, т.к. в ней происходит обра-зование новой поверхности, зависящее от движения точки А. В работе [24] направление движения точки А выбирается из условия: предпочтительным является решение, для которого наибольшее значение первого главного зна-чения тензора Альманси 1E в пластической области минимально:

1inf sup , E

, (1.50)

где 1 , Е – функция, характе-

ризующая распределение дефор-маций в окрестности особенностей поля линий скольжения (по аргу-менту ) при различных измене-

ниях пластической области в про-цессе деформирования; – угол,

характеризующий положение час-тицы среды внутри центрирован-ного веера в пластической области, – угол, характеризующий на-

правление движения центра веера линий скольжения (точка А), рис. 1.14. Распределение деформаций определяется из решения системы дифференциальных уравнений (1.34). Задача определения поло-жения вновь образующейся сво-бодной поверхности в процессе

Рис. 1.14 – Возможные направления движения вершины выреза в пластиче-

ской области


36

деформирования сводится к определению угла 1 наклона этой поверхности

(см. рис. 1.14):

1 arctg M N

M N

y y

x x

, (1.51)

где 0'

AM A yy y V t , 0

'N Ay y Vt , 0'M Ax x , 0

'A

N A xx x V t ; ,A Ax yV V – компо-

ненты скорости движения точки А:

AG AG

cos , sin ,sin sin

A An nx y

V VV V

(1.52)

AG (cos 1)nV – нормальная скорость движения поверхности AG, опреде-

ляемая полем скоростей (1.49). В работе [24] показано, что условие (1.50) выполняется при значении ,

при котором вновь образующаяся поверхность АС образуется под углом

1 , т.е. величина V-образного выреза в процессе деформирования полосы

остается симметричной. Согласно соотношению (1.51), угол является ре-

шением уравнения:

tg 1 0A Ax yV V или

1 coscos tg sin 1 0

sin

. (1.53)

На рис. 1.15 представлена связь углами и , и области их допустимых зна-

чений; 1

Ay

Ax

Varctg

V – угол, характеризующий предельное положение

точки A, когда компоненты скорости ее движения совпадают с компонентами скорости движения частиц, примыкающих к поверхности AG.

Решение задачи о растяжении полосы с вырезами с несимметричным пла-стическим течением является полным и возможно без разрушения для углов выреза 052,4 . Построение решения для вырезов с углом 052,4 при предположении, что пластическая область состоит из прямоугольных тре-угольников и центрированных вееров, не возможно без разрушения. На рис. 1.16 представлено изменение максимальных значений деформаций в зависи-мости от угла выреза . Видно, что при 052,4 деформации достигают

значения 1 0,5Е , т.е. в этом случае возможно разрушение материала.


37

1.5.5 Поле деформаций в окрестности углового выреза при разрушении

В работах [3, 24] рассмотрен подход к определению полей деформаций в окрестности центра веера характеристик в задаче о растяжении полосы с V-образными вырезами. Определение полей деформаций в этой области осно-вано на решении системы дифференциальных уравнений (1.34).

На рис. 1.17 показана зависимость максимальных значений деформаций (первого главного значения тензора Альманси 1E ) (рис. 1.18) в окрестности

центра веера характеристик (вершины V-образного выреза) от значения угла

Рис. 1.16 – Максимальные значе-ния деформаций в вершине выреза

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

52.362 60 70 80 9

1inf sup , Е

0

Рис. 1.15 – Зависимость углов и

Рис. 1.17 – Максимальные значения деформаций в вершине

выреза

max1E

max1E

A

Рис. 1.18 – Максималь-ные деформации в центре

веера характеристик


38

раствора выреза для рассмотренных в пп. 1.5.1, 1.5.3 решений. Эти значе-ния сопоставимы с предельным значением 1 0,5E . Приведенное распреде-

ление деформаций может быть использовано для моделирования поля де-формаций в окрестности стационарного движения углового выреза (вершины трещины) в направлении горизонтальной линии симметрии.

Анализ полей деформаций в окрестности вершины трещины можно про-водить только с использованием тензора конечных деформаций, что возмож-но при использовании теории пластичности при исследовании процессов раз-рушения в окрестности вершины трещины.

Распределение диссипации механической энергии в окрестности углового выреза

Диссипация механической энергии при пластическом деформировании материалов является одним из основных источников повреждения структуры материала и, как следствие, его разрушения. При изучении процессов распро-странения трещины и разрушения материала в окрестности угловых вырезов в связи с этим возникает задача об адиабатическом распределении диссипа-ции механической энергии в окрестности особой точки поля линий скольже-ния в виде центра веера. Удельная мощность диссипации энергии определя-ется выражением, [4]

max2dW

kdt

, (1.54)

где k предел текучести, max 0 максимальная скорость сдвига:

max

1 1v uu v

R S

. (1.55)

Для определения удельной энергии диссипации механической работы, про-изведенной частицей, уравнение (1.54) должно быть проинтегрировано вдоль траектории движения частицы. На рис. 1.19 в окрестности центра веера линий скольжения представлено поле ско-

ростей перемещений и траектория l движения частицы с начальной точкой А, лежащей на границе веера при

0 . Компоненты скоростей ,u v

отнесены, соответственно, к линиям и .

Пусть центр веера О движется со скоростью m вдоль линии L, а скорость перемещения частиц V определяет-

Рис. 1.19 –Поле скоростей в окрестности центра веера линий

скольжения


39

Рис. 1.20 - Элемент траектории движения

частицы

ся в некоторой неподвижной системе координат компонентами u и v . Вве-

дем подвижную систему координат XOY. Поле скоростей перемещений в ней определяется разностью -V m с компонентами u и v . Пусть некоторая

частица занимает положение точки А в момент времени 0t . В интервале вре-

мени 0 , kt t частица будет пересекать веер и в ней будет накапливаться

удельная диссипация энергии. Из (1.54) следует

0

max2

kt

t

Wdt

k . (1.56)

Вдоль траектории l изменяются расстояние от частицы до центра веера R и угловое расстояние от начального луча 0 , которым соответствуют эле-

менты длин дуг dS и dR , рис. 1.20:

2 2dl dS dR , dR v dt , dS u dt Rd ,

откуда Rd

dtu

,

dRdt

v . (1.57)

Согласно (1.55) (1.57) после замены переменной интегрирования t на , получим

0 0 0

max

1 1 1

2

k k kt R

t R

W v Rd udt u v dR

k R Su v

,

где , d d при -const.

Если -линии – прямые ( S ), то второй интеграл равен нулю и для

любой траектории накопление диссипации определяется первым слагаемым. Предельные значения W будут определяться выражением

4

2

kW v du

k u

. (1.58)

В окрестности центра веера EAF (см. рис. 1.8, 1.12) поля скоростей пере-мещений (1.36), (1.44) в решениях Е. Ли и О. Ричмонда совпадают и в каждый момент времени определяются выражениями:

cos sin 2 , , 4 4

v V , u V

. (1.59)

Точка А (центр веера характеристик) движется со скоростью


40

, ctg , 02x ym m V

m . (1.60)

В неподвижной системе координат xOy компоненты скорости перемеще-ния частиц pV связаны с проекциями скоростей ,u v на криволинейные оси

, соотношениями

cos sin , sin cos ,p px yV u v V u v

и согласно (1.59) равны

2 cos , 1 2 sin .p px yV V V V (1.61)

В неподвижной системе координат XOY скорость перемещения частиц

определяется разностью pV m , и согласно (1.60), (1.61) ее компоненты

определяются следующими выражениями:

2 cos ctg ,

2

1 2 sin ,

p pX x x

p pY y y

V V m V V

V V m V

(1.62)

Компоненты u , v поля скоростей перемещений в подвижной системе

координат согласно (1.20), (1.62) получим в виде

cos sin sin 2 ctg cos ,2

sin cos cos ctg sin .2

p pX Y

p pX Y

u V V V V

v V V V V

(1.63)

Согласно (1.58) и (1.63) адиабатическое распределение диссипации механи-ческой энергии в окрестности вершины углового выреза А (центра веера ха-рактеристик) при условии 0 определяется выражением, [1]

4

4

2 2 sin

2 cos cos 2 sinsin ctg cos 22

k

k

W d d

k

, (1.64)

где 4k

. Величина (1.64) определяется выражением:


41

2

2 2

2 2

2,

2 4 41

22 tg 1 1

4ln , ctg .

2 22 tg 1 1

4

x

WF F

k d

d dm

F dV

d d

(1.65)

На рис. 1.21 представлено изменение величины 2

W

k от половины угла

раскрытия выреза , причем эта зависимость достаточно хорошо аппрокси-

мируется прямой 1,2704 0,00872

W

k (с достоверностью R=0,999). Из гра-

фика видно, что при стремлении угла выреза к математическому разрезу ве-

личина 2

W

k стремится к нулю, что объясняется стремлением к бесконечности

скорости движения вершины выреза (рис. 1.22).

Рис. 1.21 – Изменение 2

W

k в

зависимости от угла выреза

Рис. 1.22 – Скорость движения вер-шины выреза


42

2. ОДНООСНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ ПЛОСКОГО И ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ОБРАЗЦОВ

Процессы деформирования плоских и цилиндрических образцов являют-ся одними из основных феноменологических экспериментов по определению механических свойств твердых тел и могут быть использованы для определе-ния введенных характеристик разрушения материалов – W и W , [9, 30].

2.1 Деформирование плоского образца

Известны следующие решения данной задачи (рис. 2.1,а): решение с од-нородным полем деформирования образца, с разрывным полем скоростей перемещений – решение Оната-Прагера (рис. 2.1,б), [46]; и возможное обра-зование двойной «шейки» в достаточно длинном образце (ри. 2.1,в), [23]. В заштрихованных областях сосредоточены области деформированного мате-риала.

В случае однородного поля скоростей перемещений интегрирование уравнений (1.28) приводит к соотношениям, [28]:

2

1 20

2 1,

4 12 1

PE

ka

, (2.1)

где 0

Vt

l относительное удлинение полосы; 0 0,a l начальные ширина и

длина полосы; P усилие, необходимое для деформирования образца; k предел текучести.

В случае разрывного поля скоростей перемещений (решение Оната-Прагера)

2

1 2

41 1

4τ

ν

VWE , W

G VW

,

где 0

2 0 1 222

τ ν

V PV V, V , G , tV

ka .


43

На рис. 2.2 представлены зависимости основных механических величин, характеризующих процесс деформирования образца: первого главного значе-

ния тензора Альманси 1E и усилия 2

P

ka, необходимого для деформирования

образца. Данные зависимости показывают существенное различие процессов деформирования: в непрерывном однородном поле скоростей перемещений деформации увеличиваются с конечной скоростью, однородно по всему об-

Рис. 2.2 – Зависимости основных механических величин деформиро-вания образца

(а) (б) (в)

Рис. 2.1 – Деформирование плоского образца


44

разцу; в разрывном поле деформации изменяются скачком на конечную ве-личину и превышают деформации в однородном поле, причем деформаци-ям подвергается незначительная часть образца. Работа, необходимая для де-формирования образца в однородном поле скоростей, значительно превы-шает работу, необходимую для его деформирования в разрывном поле скоростей. Аналогичные зависимости имеют место для осесимметричной деформации, [30].

Согласно критерию п. 1.1.4. пред-почтительным является процесс де-формирования образца при однород-ном поле скоростей перемещений. Это подтверждается экспериментальными наблюдениями на начальном этапе деформирования плоских и цилиндри-ческих образцов до момента образова-ния «шейки», [6].

Процесс распространения трещины в плоском и цилиндрическом образ-цах подробно рассмотрен в работах [10, 28, 30]. Соответствующие решения, являющиеся обобщением решения ОнатаПрагера, представлены на рис. 2.3. Такой характер пластического течения хорошо описывает заключительный этап деформирования цилиндрических образцов [30] при образовании «шей-ки», что подтверждается экспериментально.

2.2 Полная схема разрушения плоского образца

Одним из основных экспериментов по определению механических свойств материалов является эксперимент по растяжению плоских и цилинд-рических образцов. Основной характеристикой процесса разрушения в дан-ном эксперименте являются относительное удлинение и относительное суже-ние образца при разрушении:

0 0

0 0

,l l F F

l F

, (2.2)

где 0 ,l l первоначальная длина образца и длина образца при разрушении;

0F , F соответственно начальная и конечная площади поперечного сече-

Рис. 2.3 - Обобщение решения ОнатаПрагера


45

ния образца. Для большинства материалов 1 , 0F , а величину F мож-

но рассматривать как площадь образовавшейся трещины. Из экспериментов на одноосное растяжение плоских образцов известно,

что на первом этапе при относительно малых деформациях реализуется ре-шение с непрерывным полем скоростей (рис. 2.4); решение с разрывным по-лем скоростей описывает (пластическое течение описывается на основе обобщения решения Оната-Прагера) образование «шейки» на конечном эта-пе разрушения образца (рис. 2.5) происходит развитие макротрещины до разделения образца на две части.

Основными размерами образца, характеризующими процесс деформиро-вания, являются: 0 0, , , , ,a l a l a l - соответственно начальные, промежу-

точные и конечные длина и ширина образца. Перед началом деформирования образец имеет длину и ширину соответственно 0l и 0a . На первом этапе (рис.

2.4) реализуется решение с непрерывным полем скоростей. К концу первого этапа образец имеет параметры Пl l , Пa a . Происходит зарождение

макротрещины. На втором этапе (рис. 2.5) реализуется решение с разрывным полем скоростей и происходит развитие трещины. Второй этап заканчивается разрывом образца, к моменту которого образец имеет следующие параметры:

Кl l конечная длина, Кa a – наименьшая ширина в месте разрыва.

Введем две константы материала: W – удельная работа внутренних сил,

соответствующая концу первого (однородного) этапа деформирования образ-ца и определяющее момент зарождения макротрещины и начала образования «шейки», W – значение W в вершине макротрещины, определяющее ско-

рость распространения макротрещины. Из условия несжимаемости следует

0 0П Пl a l a . (2.3)

На втором этапе точки A и B движутся с одинаковой по модулю скоростью V , поэтому

П К П Кa a l l . (2.4)

Из уравнений (2.3), (2.4), учитывая (2.2) находим ,П Кl a


46

2

0 0 0 0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

11 1 1 1 4 ,

2

11 1 1 1 4 .

2

П

П

l a l a l l a

a a l a l l a

Соответствующие концу первого этапа деформирования первое главное значение тензора Альманси E и удельная диссипация энергии определяют-

ся выражениями (2.1):

20

1 20

2, 2 ln 1 , ,

2 1ПП П

П П

П

l l WE E W W

l k

. (2.5)

На втором этапе деформирования (см. рис. 2.5) скорость распространения

трещины dS

dt определяется скоростью распространения линии разрыва G .

При постоянной скорости растяжения V эти величины связаны соотношени-ем

Рис. 2.4 – Первый этап растяжения плоского образца

Рис. 2.5 – Второй этап растяжения плоского образца

1x

2x 2x

V

VПa 0a

A

B

0l

ПlKl

Пa


47

22

2

12 , ,

dS dSG V V

dt dt

a a a

a a a.

Следовательно,

2

20

11

22 1

VdSG

dt a

a

.

Объемная плотность диссипации энергии на линии разрыва скоростей пе-ремещений вычисляется по формуле, [30]:

2 2,

12 1

2 , , , ,2

n

n

VW

G V cG

WV G cV V V G c W

V V k

(2.6)

где c - скорость роста длины трещины. Полная удельная объемная диссипация энергии для частиц, деформи-

рующихся на первом и втором этапе, согласно (2.5) и (2.6) равна

22ln 1

1ПWc

.

Заметим, что в результате суммарной работы внутренних сил образование свободных поверхностей происходит лишь в точке О (в вершине трещины). Только в этой точке возможно раскрытие трещины.

В табл. 2.1 даны константы разрушения для некоторых конструкционных материалов, [9, 30]. Инвариантные тензорные деформационные и энергетиче-ские характеристики разрушения конструкционных материалов позволяет корректно использовать экспериментально определяемые величины при рас-чете сложных конструкций и их элементов различными численными метода-ми. Таблица 2.1 – Пластические константы разрушения

Материал , % ,% W E E

Алюминиевые сплавы: АД0 (лист) АК8 (профиль) АК8 (штамповка) АД31 (профиль закаленный и искусственно состаренный) АМГ6 (плита, нагартованная, 18% в продольном направле-нии) ВД17 (полоса прессованная, закаленная и искусственно

35 7 10

17

10

80 15 25

70

22

1,6 0,3 0,5

1,4

0,44

0,384 0,129 0,195

0,364

0,177

0,168 0,046 0,056

0,035

0,062


48

состаренная, 60 мм) АД33, Профиль прессован-ный, закаленный и искусст-венно состареный

10

12

19

30

0,38

0,6

0,157

0,223

0,068

0,066 Титановые сплавы: ВТ3-1 (штамповка) ВТ6 (штамповка) ВТ9 (штамповка) ВТ14 (штамповка)

14-20 10-13 8-14 10-15

45-60 35-60 25-45 35-60

0,9-1,2 0,7-1,2 0,5-0,9 0,7-1,2

0,291-0,3400,248-0,3400,195-0,2910,248-0,340

0,056-0,085 0,035-0,012 0,035-0,056 0,035-0,035

2.3 Одноосное растяжение сплошного цилиндра при однородном поле скоростей перемещений

В [30] рассматривается задача о растяжении прямого кругового цилиндра (рис. 2.6), находящегося в пластическом состоянии при условии текучести Треска (1.25). Это пластическое течение может быть описано режимом В (см. рис. 1.5). Верхняя и нижняя границы цилиндра перемещаются соответственно вверх и вниз со скоростью V вдоль оси z. Предполагается: частицы материала на этих границах могут свободно перемещаться в направлении оси r (трение в захватах отсутствует), боковая поверхность остается цилиндрической. При предположении, что весь цилиндр находится в пластическом состоянии, в нем реализуется однородное напряженное состояние:

0,rr rz 2zz k .

В этом случае линии скольжения яв-ляются прямыми, наклоненными под уг-лом 4 к осям координат (рис 2.6).

Решение для непрерывного однород-ного поля скоростей перемещений опреде-ляется из условия несжимаемости (1.24) и условия изотропии (1.23) при 4 :

0,

0.

r z r

r z

V V V

r z rV V

z r

(2.7)

Определяя решение в виде ( ), ( )r r z zV V r V V z , система (2.7) сво-

дится к уравнению

0r z rdV dV V

dr dz r ,

которое распадается на два уравнения:

Рис. 2.6 – Растяжение прямого кругового цилиндра


49

r rdV VA

dr r , zdV

Adz

.

Учитывая граничные условия:

00r r

V , z z h

V V , (0) 0,zV

поле скоростей определяется в виде

,2z r

V V rV z V

h h , (2.8)

что соответствует однородному полю скоростей перемещений и деформаций. Мощность удельной диссипации энергии

2 2zij ij

V VW k k

z h

.

Зависимость радиуса цилиндра R t для однородного поля скоростей

перемещений (2.8) определена соотношением

0 0

0 0

( ) ( ( )) ( )2

t t

r

VR t R V R d R R d

h .

Дифференцируя по t , и учитывая начальное условие 0(0)R R , имеем

0 0 0

0

( )1

h R RR t

h Vt

.

Усилие, необходимое для растяжения цилиндрического образца (рис. 2.7, а), и работа, необходимая для деформации цилиндра (рис. 2.7, б), определя-ются выражениями:

2

2 02 21z

RP S R t k k

, 2

0 0

2ln 1

kA h R

V

,

где 0

Vt

h относительное удлинение цилиндрического образца.

Процесс накопления деформаций при однородном поле скоростей пере-мещений связан с интегрированием системы уравнений (1.28). Учитывая, что однородное поле скоростей перемещений при одноосном растяжении цилин-дра удовлетворяет соотношениям (2.8), компоненты тензора скоростей де-формаций в цилиндрической системе координат , ,r z определяются вы-

ражениями:


50

22 2

00

, , , 0,2 2

1 1 34 ,

2 2 2 4

3, ,

4

r r zrr zz r rz z

rr zz rz

V V VV V V

r h r h z h

V V V

h h h

Vh h Vt

h Vt

(2.9)

где 02h начальная высота цилиндрического образца.

Уравнения (1.28) при 2 и соотношениях (2.9) примут вид: 2

2

22

0

1

2 1

2

d e gV

e gdt h Vt

,

0 0

13 1 12

2 2 2 2

d g eV V

g e g edt h Vt h Vt

.

Откуда 2

2 1

0

1

2

Ce g

h Vt

, 0 2

1

2g e h Vt C ,

где 1 2, .C С const Если образец до растяжения не деформировался, то при

0t

0e , 0g , 01 4

hC , 2

0

1

2C

h .

Рис. 2.7 – Изменения усилия (а) и работы (б) при растяжении цилиндри-ческого образца

(а) (б)


51

Общее решение системы (1.28) при однородном поле скоростей переме-щений определяется двумя интегралами:

22 0 0

0 0

1 1 1, ,

2 4 2 2

h h Vte g g e

h Vt h

откуда

2 2

2 2

1 3 31 1, .

4 41 1e g

Тогда главные значения тензора Альманси равны

1 2

2

23

21,

2 1

1,

21

.2

E e g

E e g

E r E

На рис. 2.8 показана зависи-мость первого главного (алгебраи-чески наибольшего) значения тен-зора Альманси от относительного удлинения цилиндрического об-разца при однородном поле скоро-стей перемещений.

2.4 Одноосное растяжение полого цилиндра при разрывном поле скоростей перемещений

Рассматривается одноосное растяжение полого цилиндра. При условии текучести Треска (1.25) это пластическое течение описывает режим В (см. рис. 1.5). Верхний и нижний концы цилиндра движутся вдоль оси z со скоро-стью 1V соответственно вверх и вниз (рис. 2.9). Предполагается, что пла-стическая область в начальный момент времени 0t заключена внутри тре-угольной области ОВС, область выше линии ОВ и ниже линии ОС движется как жесткое целое. Жесткопластические границы ОВ и ОС являются при этом поверхностями разрыва скоростей перемещений. В процессе деформирования с течением времени свободная поверхность изменяет форму, и границы пла-стической области становятся криволинейными (рис. 2.10).

Рис. 2.8 – Изменение значений де-формаций от относительного удлине-

ния образца

Е1


52

С учетом (1.28), (1.29) решение задачи сво-дится к интегрированию уравнений (1.30), кото-рые при заданных граничных условиях для скоростей:

, 2 2 2z rV V V

V

2 2 2z rV V V

V

позволяют численным методом [7] описать про-цесс изменения формы цилиндра вплоть до раз-деления его на две части.

Скорости перемещений в начальный мо-мент времени представлены на рис. 2.11: непре-рывной линией представлены скорости пере-мещений, полученные методом конечных раз-ностей, а штриховой линией полученные Р. Шилдом в работе [51]. В отличии от этой рабо-ты в точках В и С скорость rV отлична от нуля,

т.к. линии ОВ и ОС являются поверхностями

Рис. 2.11 - Скорости перемеще-ний в начальный момент време-

ни

Рис. 2.10 – Границы свободной поверхности цилиндра при растя-

жении

Рис. 2.9 – Одноосное растя-жение полого цилиндра при разрывном поле скоростей


53

разрыва скоростей перемещений. Уравнения для компонент скоростей перемещений (1.30) также могут

быть представлены в виде

cos sin 02

sin cos 0 2

αr z r

βr z r

dSdV dV V , вдоль - линии ,

rdS

dV - dV - V , вдоль - линии ,r

(2.10)

где rV , zV компоненты скорости вдоль осей r , z ; угол наклона -

линии к оси r ; dS , dS элементы дуг линий скольжения и .

Если ввести составляющие скорости вдоль -, -линий V , V соответ-

ственно, так что cos sin sin cos ,α r z β r zV V V , V V V

(2.11)

то уравнения (2.10) примут вид:

02

0 .2

αα β r

ββ α r

dSdV V d V вдоль α ,

rdS

dV V d V вдоль βr

Граничные условия для скоростей: cos

sin

V V на α - линии ОВ,

V V на β - линии ОС.

(2.12)

Выше линии ОВ sin ,V V V

(2.13) ниже линии ОВ V V

, и из первого уравнения системы (2.11) следует

02r

dSdV V d V

r .

Из первого уравнения системы (2.12) и условия неразрывности пластиче-ского течения n nV V получим

cosV V V .

(2.14)

Из уравнений (2.11) выразим rV , zV :

cos sin , sin cosr zV V V V V V . (2.15)

Подставляя (2.14), (2.15) в (2.13), получим

cos cos cos sin 02

dSdV V d V V

r . (2.16)


54

Учитывая, что cos

drdS

, преобразуем (2.16) к виду

sin[ sin ] 0

2 d

d V V drV V

d r

. (2.17)

Интегрируя (2.17) по вдоль линии ОВ, получим sinV V r C , на

внутренней поверхности цилиндра , sin4 αr ρ, V V

, поэтому

22 и sinα

ρC V ρ V V

r

.

Величина разрыва касательной составляющей на линии ОВ:

2α α α

ρV V V V

r .

Удельная диссипация энергии определяется выражением:

n

VW

G V

, cosnV V , V V .

Как показывают численные расчеты деформирования цилиндра с учетом изменения геометрии, величина G мало отличается от нуля на жесткопласти-ческой границе, являющейся линией разрыва скоростей перемещений, поэто-

му величина W может приближенно оцениваться выражением:

2 1,

cos W

r

откуда следует, что величина W принимает наибольшее значение на внут-

ренней поверхности цилиндра при r , 4

:

12 2 1 0 414W , E , .

2.5 Упрощенная схема деформирования цилиндрического образца при одноосном растяжении до разрушения

Рассмотрим упрощенную схему деформирования цилиндрического об-разца, предполагая, что жесткопластические границы OB, OC и подвижная поверхность остаются прямолинейными (в сечении) (рис. 2.12). Введем ус-ловные обозначения: параметры, относящиеся к начальному моменту време-ни обозначим индексом ноль, к моменту зарождения трещины – двумя звез-дочками, к разрушению – одной звездочкой (рис. 2.13).


55

Рис. 2.12 – Деформирование ци-линдрического образца

Рис. 2.13 – Схема деформирования образца


56

Из условия несжимаемости материала следует:

An к цV dt S V dt S ,

где 2 22кS R – площадь боковой поверхности усеченного конуса,

2цS R R – площадь боковой поверхности цилиндра. Тогда

A кn

ц

SV V

S , где

2n

VV . Радиус в точке A будет меняться по закону:

** **

2 2

** **

2

2 22

t t

t t

RV RR R dt R V dt

R R R

. (2.18)

Радиус вершины трещины определяется значением постоянной *W :

***

21

2

Vt t

W

. (2.19)

Подставляя (2.19) в выражение для радиуса (2.18), получим

**

***

**

21

2

2

t

t

VR t t

WR R V dt

R

,

***

21

2

2

VR t t

WR V

R

,

2**

*

21

2 4

t tV VR

W R

. (2.20)

Введем в (2.20) замену: **t t , R

z

, R z z , тогда

22

*

21

2 4

V Vz z z z

W

,

22

*

21

2 4

z dz d

V Vz z

W

.

Введем обозначение 2

Vp ,

2

*

21

4

Vq

W

. Для вычисления интеграла

необходимо определить знак выражения 2

2 2 24 1

4

Vp q V

W

:


57

2 4 0p q при 8

5W ; 2 4 0p q при

8

5W .

Тогда при 8

5W :

22

12 2

2 41ln ln ln ln

2 2 4 2 4

z p p qpz pz q d

p q z p p q

; (2.21)

при 8

5W :

222 2

1 2ln ln arctg

2 4 4

p z pz pz q d

q p q p

. (2.22)

Рассмотрим случай, когда 8

5W , из (2.21) имеем

22 2 42

1 2

2 41

2 4

p

p qz p p qd z pz q

z p p q

.

В первоначальных обозначениях: 1

5 24

42

21

5 22

1 2 2 41

2 4 5 22

2 4

WV

z VV V Wd z z

W Vz V

W

,

1

2 5 8

22

1

5 84 1

1 21

2 4 5 84 1

W

WW

z VWV V

d z zW W

z VW

.

Учитывая, что **t t , R

z

, получим неявную функцию радиуса точки А

от времени:


58

222

** ***

1

2 5 8

***

***

21 1

2 4

5 84 1

5 84 1

W

W

V VR R t t t t

W

WR V t t

W

WR V t t

W

(2.23)

Найдем постоянную интегрирования 1d , учитывая граничное условие,

что R R при t t :

1

1d

R

.

При разрушении *t t , * * *t R t R . Тогда

* * ***

21

2

VR t t

W

или * **

*

21

2

Rt t

V

W

. (2.24)

Подставив (2.24) в выражение для радиуса (2.23), получим 2

2

1

2 5 8

1 2 11 1

2 241 1

2

2 5 84 1

21

,2 5 8

4 12

1

W

W

VR R

VWW W

W

WW

W

WW


59

1

2 5 85 8

2 122

,2 5 8

2 12

W

WW W

WWWR R

W W W

WW

1

2 5 85 8

4 12

,2 5 8

4 1

W

WW

WWW

R RW W

WW

5 8

2

5 84 1

2

2 5 84 1

W

WW

WWR W

R W WW

W

.

Учитывая, что

0

0 * * ** 0

0 0 0

0

0 0

, 1 , 1 ,

, ,

F F R RR R

F R H

R RR R

H H

(2.25)

получим для случая 8

5W

5 8

2

0

5 84 1

1 2

1 2 5 84 1

W

WW

WWR W

R W WW

W

или


60

5 8

2

0

5 84 1

21

2 5 84 1

W

WW

WWR W

R W WW

W

(2.26)

Рассмотрим случай, когда 8

5W . В первоначальных обозначениях вы-

ражение (2.22) принимает вид

22

2

21 2 1 2ln ln 1 arctg2 2 4 2 5 2 5

24 4

VzV V

z z dW

W W

,

22

2

22 2ln 1 arctg2 4 8 5 8 5

2

VzV V W

z z dW W V W

W

.

Неявная функция радиуса точки А от времени будет иметь вид

2

22** **

*

2

2ln 1 =

2 4

22

= arctg .8 5 8 5

2

V VR R t t t t

W

R V

t tWd

W V W

W

(2.27)

Учитывая, что R R при t t , получим постоянную интегрирования:

2

22

lim arctg ln ,8 5 8 5

2

t t

R V

t tWd R

W V W

W

2 ln2 8 5

Wd R

W

.

Тогда выражение для радиуса (2.27) принимает вид:


61

2

22** **

*

1 2ln 1

2 4

22

arctg28 5 8 5

2

V VR R t t t t

R W

R V

t tW

W V W

W

(2.28)

Учитывая соотношения (2.24), из (2.28) получим 2

2

*

* *

*

1 2 1ln 1 1

2 42 21 1

2 2

22 1

2 2 arctg ,

28 5 8 5

2

R V V

R WV V

W W

V V

WW

W V W

W

* *

* * *

2 4ln arctg

2 28 5 8 5

R W WW

R W W W W

.

Учитывая (2.25), получим для случая 8

5W

0 1 2 4

ln arctg22 8 5 8 5

R W W W

R W W W W

,

или

4

2 2 arctg28 5 8 5

0

21

2

W W

W W WR We

R W

. (2.29)


62

На рис. 2.14 представлен график

зависимости W согласно (2.26),

(2.29). В табл. 2.2 приведены значе-

ния W для различных конст-

рукционных материалов в предпо-

ложении, что 0

1R

R .

Таблица 2.2 – Значения W для различных конструкционных материалов

Материал в , МПа , % , % W

ЭИ696А 116,2 36,5 12 15

0,085 0,1079

ЭИ437Б 112,3 38,3 20 0,1730 ЭП718ВД 123,0 10,0 14 0,1002 ЭИ698 114,4 - 15

16 19

0,1079 0,1157 0,1397

ВТ20 111,1 17,8 15 20 23

0,1079 0,1730 0,1989

ОТ4 90,0 - 20 30

0,1730 0,2351

ВТ9 113,5 8,1 14 17 22 25 30 32

0,1002 0,1236 0,1902 0,2168 0,2351 0,2539

ВТ8 112,0 13,5 16 18 20 25 30

0,1157 0,1316 0,1730 0,2168 0,2351

Рис. 2.14 – Зависимость W


63

Рис. 2.15 – Петля гистерезиса для циклически нагружаемого мате-риала, в котором происходят как упругие, так и пластические де-

формации

2.6 Влияние малоцикловых нагружений на механические свойства материалов

Обзор исследований по влиянию числа циклов на свойства конструкци-онных материалов даны в работах 14, 15, 21, 34-37, 41-43, 45, 47, 52, 53.

В качестве основных механических характеристик состояния материала, как правило, используются напряжения и деформации . Показано, что при циклическом нагружении материала его свойства изменяются, как прави-ло, с увеличением числа циклов до тех пор, пока не достигается стабильного состояния. Это означает, что в ходе циклического нагружения материал при-обретает некоторое постоянное сопротивление воздействию приложенных напряжений и деформаций. Поэтому говорят, что материал подвергается либо циклическому деформационному упрочнению, либо циклическому деформа-ционному разупрочнению. Для контролируемого напряжением случая, при

котором усталостные испытания проводят в интервале значений напряжений между P и S (рис. 2.15), ширина петли гистерезиса TQ (интервал пластической деформации)

сужается в случае, когда происходит цикли-ческое упрочнение, и расширяется при цик-лическом разупрочнении. Циклическое ра-зупрочнение (контролируемое напряжени-ем) является особенно опасным, так как постоянный интервал напряжений будет обусловливать непрерывно увеличиваю-щуюся деформацию, что и приведет к преждевременному разрушению при на-пряжениях ниже предела текучести. В усло-виях циклического деформирования в пре-делах значений деформаций X и Y гисте-резисная петля расширяется выше P и ни-же S для циклического разупрочнения.

После циклирования материала в тече-ние относительно короткого времени (часто

менее 100 циклов) петля гистерезиса обычно стабилизируется и материал для данных пределов деформации находится в равновесных условиях. Цикличе-ски стабилизированные, представленные в координатах «напряжение-деформация» ( ) свойства материала могут отличаться от начальных, описываемых монотонной зависимостью. Следовательно, циклически стаби-лизированные кривые в координатах являются важной характеристи-кой материала в условиях циклического нагружения. Эти кривые можно по-


64

лучить несколькими различными путями. Например, ряд образцов можно подвергать циклическому нагружению в пределах различных значений напряжений до тех пор, пока соответствующие петли гистере-зиса не стабилизируются. Циклическую кривую в координатах строят, про-водя кривую через вершины различных наложенных одна на другую петель гисте-резиса, как это показано на рис. 2.16, [52, 53].

Этот метод предполагает использова-ние множества образцов и является доро-гостоящим и требующим много времени. Более быстрый метод получения цикличе-ских кривых в координатах включа-ет проведение ступенчатых испытаний, в которых один и тот же образец подверга-ется воздействию увеличивающихся цик-лических деформаций. При этом, испыты-вая даже один образец, можно, правда, только в первом приближении по-строить циклическую кривую в координатах , [43].

В работе [43] рассматривается другой метод получения циклических кри-вых, при котором единственный образец подвергается серии испытаний с последовательно увеличивающимися, а затем – уменьшающимися деформа-циями. Было обнаружено, что после относительно небольшого количества циклов испытаний (чем больше количество циклов в каждом режиме, тем меньше режимов необходимо для циклической стабилизации) материал дос-тигает условия стабилизации. При этом исследователь просто проводит ли-нию через вершины всех петель гистерезиса от наименьшего интервала де-формаций до наибольшего. Каждая гистерезисная петля представляет условие циклической стабилизации материала для определенного интервала деформа-ций. Проводя испытания с максимальной амплитудой деформации, можно автоматически определить монотонную кривую в координатах для по-следующего сравнения с циклически стабилизированной кривой.

При этом монотонную и циклическую кривые в координатах можно определить в результате проведения испытаний одного и того же образца. Очевидно, что этот метод позволяет сокращать время и стоимость испытаний. Следует заметить, что если образец, подвергнутый испытаниям, включающим уменьшение или приращение деформаций, после завершения циклических ис-пытаний растягивают до разрушения, то получаемая кривая в координатах

Рис. 2.16 – Монотонная (1) и цикли-ческая (2) кривые в координатах для стали SAE 4340. Точки соответствуют вершинам стабиль-ных петель гистерезиса, построен-ных при испытании образцов


65

будет в основном совпадать с построенной по местоположениям вер-шин петель гистерезиса (то есть будет совпадать с циклической стабилизи-рованной диаграммой ).

Сравнивая монотонные и циклические стабилизированные кривые в ко-ординатах , Ландграф с сотрудниками [43] показали, что одни конструк-ционные сплавы будут деформационно упрочняться, а другие – разупроч-няться. Используя соотношение Холломона nK , математическими мето-дами можно описать свойства материала в координатах в состояниях, описываемых монотонными или циклическими стабилизированными кривы-ми. Следовательно, можно определить показатели деформационного упроч-нения для «монотонного» ( n ) и «циклического» ( n ) условий, а также соот-ветствующие значения «монотонного» ( 0 ) и «циклического» ( 0 ) предела

текучести. Приведенное ниже уравнение описывает циклически стабилизиро-ванную кривую в координатах «напряжение – деформация»:

1

2 2 2 2 2

npe

E K

,

где K – нормирующий прочность коэффициент при циклическом приложе-нии нагрузки; и – интервалы истинных напряжений и деформации, соответственно.

Хотя в результате циклического упрочнения или разупрочнения указан-ные свойства сильно изменяются, необходимо заметить, что для большинства металлов показатель n изменяется от 0,1 до 0,2. Биэрдмор и Рабинович [34, 35, 47] провели сравнение циклических и монотонных кривых в координатах «напряжение – деформация» для нескольких полимеров. Все исследованные материалы (полукерамические, аморфные и двухфазные) характеризовались ярко выраженным разупрочнением при циклической деформации; для срав-нения отметим, что циклического деформационного упрочнения не происхо-дило.

Можно ли заранее определить, какие сплавы будут разупрочняться, а ка-кие – упрочняться? Мэнсон с сотрудниками [45, 52, 53] наблюдали, что склонность к циклическому упрочнению или разупрочнению зависит от со-отношения между пределом прочности при монотонном (статическом) на-

гружении и пределом текучести с допуском 0,2%. Когда 0

1, 4В

, материал

будет упрочняться; когда же 0

1, 2В

, будет происходить разупрочнение.

Для величин отношения, лежащие между 1,2 и 1,4, прогнозирование затруд-нено, хотя больших изменение в свойствах ожидать не следует. Кроме того,


66

если 0,20n , то материал склонен к деформационному упрочнению, а при 0,10n будет наблюдаться разупрочнение. Поэтому изначально твердые и

прочные материала обычно разупрочняются при циклическом деформирова-нии, а изначально мягкие материалы будут упрочняться.

В правиле Мэнсона для определения склонности материала к разупроч-нению или упрочнению использованы свойства материала при монотонном нагружении. Однако величину изменений, происходящих под воздействием циклического нагружения, можно определить лишь сравнивая монотонные и циклические кривые в координатах .

В чем физическая сущность того, что одни материалы циклически упроч-няются, а другие – разупрочняются? Ответ на этот вопрос надо искать в при-роде и стабильности дислокационной субструктуры материала. В изначально мягком материале плотность дислокации низкая. В результате циклического пластического деформирования плотность дислокаций быстро возрастает, внося вклад в значительное деформационное упрочнение. В некоторый мо-мент эти возникшие вначале деформирования дислокации образуют конфи-гурации, являющиеся стабильными для данного материала и для данной ве-личины циклической деформации, возникшей в образце на начальных этапах испытаний. Последующее циклическое деформирование изначально мягкого материала вызывает дальнейшую перестройку дислокаций с образованием новых конфигураций, которые характеризуются меньшим сопротивлением деформации, т.е. материал разупрочняется под воздействием (вернее в ходе) деформации (циклической).

Подвижность дисклокаций, которая сильно влияет на характер и стабиль-ность возникающей при деформации дислокационной субструктуры, во мно-гом зивисит от величины энергии дефектов упаковки (ЭДУ) в материале. Ко-гда ЭДУ высока, подвижность дислокаций велика, что обусловлено сильно развитым поперечным скольжением; в отличие от этого в материалах с низ-кой величиной ЭДУ поперечное скольжение ограничено. В результате этого одни материалы циклически упрочняются или разупрочняются в более пол-ной степени, чем другие. При этом «циклически стабилизированное состоя-ние» остается одним и тем же, независимо от исходного состояния материала. В этом случае механические свойства материала в «циклически стабилизиро-ванном состоянии» не зависят от деформационной предыстории.

Иная ситуация наблюдается для материалов с низкой величиной энергии дефектов упаковки, в которых затрудненное поперечное скольжение будет препятствовать образованию соответствующего дислокационного состояния (из исходно твердого и/или мягкого состояния, соответственно). Кроме того, материалы с низкой ЭДУ будут упрочняться или разупрочняться более мед-ленно, чем материалы с высокой ЭДУ. Отмечены также случаи [21, 36], когда материал способен циклически разупрочняться и упрочняться, однако полно-


67

стью стабилизированного состояния в этом материале достигнуть никогда не удается, и оно не является одинаковым для двух различных исходных состоя-ний. Для таких материалов «конечное» (т.е. «сверху» или «снизу») цикличе-ски стабилизированное состояние зависит от деформационной предыстории.

Можно ожидать, что дислокационные субструктуры в циклически на-гружаемых образцах будут аналогичны образующимся при нагружении в од-ном направлении. Действительно, Фелтнер и Лэйрд [37] обнаружили, что «те факторы, которые определяют образование определенных типов дислокаци-онных структур при монотонном деформировании (в одном направление), таким же образом влияют на образование подобной же дислокационной суб-структуры при циклическом нагружении». Например, из представленных на рис. 2.17 данных следует, что при высоких циклически повторяющихся де-формациях в сплавах в высокой ЭДУ развивается ячеистая субструктура.

Если циклическое деформирование вызывает «укрупнение» ранее суще-ствовавшей ячеистой структуры, то будет происходить разупрочнение. Если же ячейки в этой субструктуре после циклической деформации становятся дисперснее (мельче), то циклическая деформация обуславливает развитие

процесса упрочнения. В структуре сплавов с низкой ЭДУ присутствуют пло-ские дислокационные скопления и четко выраженные дефекты упаковки. При низких деформациях в случаях как монотонного, так и циклического нагру-жений, образующиеся дислокационные структуры также аналогичны

Рис. 2.17 – Схема, иллюстрирующая образование дислокационных субструктур в г.ц.к. металлах в зависимости от величины энергии де-

фектов упаковки, амплитуды деформации и температуры, [106]


68

2.7 Методика определения величин **W и *W при циклическом

нагружении образца

Рассмотренный в пп. 2.2, 2.5 метод определения величин **W и *W сфор-

мулирован для случая монотонного процесса деформирования с увеличением напряжения в образце от 0 до В . Как отмечено в п. 2.6 при циклическом

нагружении свойства материала изменяются и определяются циклическими стабилизированными кривыми .

Рассмотрим в качестве примера процесс циклического нагружения образ-ца (рис. 2.18) с контролируемой деформацией цикла и фиксированной точкой С, определяющей max . В каждой частице образца за один цикл будет проис-

ходить рассеяние (диссипация) механической работы внутренних сил, кото-рое будет вызывать структурные изменения в материале и уменьшать ресурс упрочнения материала, что приведет к изменению диаграммы и вели-чин **W и *W . Это может быть определено при доведении до разрушения об-

разца после N циклов пластического деформирования образца без разруше-ния. В результате этих экспериментов на диаграмме может быть опре-делен пучок линий NCA , определяющих заключительный этап монотонного

деформирования образца до разрушения, рис. 2.19. Этим кривым будут соот-ветствовать определенные значения предела прочности В N и максималь-

ных деформаций N , которые могут выдержать частицы материала без

Рис. 2.18 – Монотонная (I) и циклическая стабилизирован-ная (II) кривые в координатах

Рис. 2.19 – Определение величин

**W и *W


69

разрушения. Величины В N и N определяют положение точки NA и

соответствуют числу нагружений N . Как отмечено в п. 2.6 диаграммы на завершающей этапе монотонного нагружения в основном совпадают с циклическими стабилизированными диаграммами, то есть пучок линий CA является узким и критическая точка NA при увеличении числа циклов дви-

жется вдоль циклической стабилизированной кривой II к точке C. При совпа-дении точки NA с точкой C может произойти образование макротрещины.

Заметим, что критические значения величин **W и *W рассчитываются в

данной методике с использованием жесткопластической модели разрушения цилиндрического или плоского образца и не используют статическую диа-грамму в отличии от методики Фелтнера-Морроу-Мартина.

Ряд исследователей пытались установить связь между энергией гистере-зиса и долговечностью, [17]. Однако исследования не всегда приводили к желаемому результату. В дальнейших исследованиях считалось, что с устало-стным повреждением при малом числе циклов изменения напряжений связа-на только часть энергии гистерезиса, а именно энергия, накопленная за счет пластической деформации. Фелтнер и Морроу [38] предложили гипотезу, согласно которой разрушение наступает тогда, когда суммарная энергия, рассеиваемая в единице объема материала, вследствие наличия необратимых пластических деформаций достигает определенной критической величины:

кр1

pN

NN

W W

, (2.30)

где pN – число циклов до разрушения; NW – энергия, рассеиваемая в едини-

це объема материала при N-м цикле; крW – критическая величина энергии,

которая равна энергии разрушения при статическом разрыве. Энергия пластической деформации при симметричном цикле определяет-

ся величиной пл

0

2NW d

.

Суммарная энергия пластического деформирования за N циклов пл

1 0

2N

NW N d

.

Здесь изменение ширины петли гистерезиса с увеличением числа циклов не учитывалось.

Если принять 1

плmk , пл пл , а и проинтегрировать, а также

предположить, что суммарная работа пластической деформации достигает


70

критического значения, то можно получить зависимость между амплитудой напряжений и числом циклов до разрушения:

a 1lg lg1

mk N

m

,

1кр

1

1lg

2

m

mW mk

k

.

Уравнение, полученное на основании критерия (2.30), было подтвержде-но экспериментально. Однако, как показали дальнейшие исследования, пол-ная пластическая работа, необходимая для разрушения, не постоянна, а уве-личивается с уменьшением напряжения. Кроме того, суммарная энергия, рас-сеиваемая в единице объема материала до разрушения, даже при ограничен-ной долговечности значительно превышает энергию, поглощаемую при ста-тическом испытании на растяжение, и поэтому не может быть принята в ка-честве критерия разрушения материала при многократном упругопластиче-ском деформировании. В дальнейшем Мартин [13] предложил энергетиче-ский критерий разрушения материалов при ограниченной долговечности. Он предполагал, что мерой усталостных повреждений является только энергия, связанная с процессами упрочнения.

Часть пластической работы, связанная с упрочнением (при линейном за-коне упрочнения), показана на рис. 2.20 (заштрихованная площадь). Работа повреждения за цикл определяется при этом выражением, [13]

2плW E ,

где E - тангенс угла наклона линии упрочнения ( ). Работа повреждения за N циклов может быть подсчитана как:

2пл

1

N

ЦW NE . (2.31)

Если принять, что разрушение наступает тогда, когда достигается некоторая критическая величина повреждения, циклическая долговечность может быть определена из формулы (2.31) в виде

2пл крNE W . (2.32)


71

Критическую энергию можно определить, если предположить, что полная работа повреждения равна работе, затраченной при статическом нагружении

пл в

1,

2N

. На основании энергетического критерия разрушения

(2.32) получаем формулу для определения долговечности материала: 1

в2p пл

2N

,

которая отличается от формулы Коффина-Мэнсона:

плaN M

только правой частью на постоянную величину. Здесь ,a M - константы ма-

териала. Таким образом, предложенный критерий разрушения материалов (2.30)

при малом числе циклов изменения напряжений, принимающий для оценки повреждения материала ту часть энергии необратимого пластического де-формирования, которая связана с процессами упрочнения, дает теоретическое обоснование уравнению Коффина-Мэнсона.

Выведенный в главе 1 деформационно-энергетический критерий разру-шения с критериальными величинами ,W W и поверхностью нагружения с

деформационным параметром упрочнения iih E легко может быть обобщен

на случай циклических деформаций и любых «зигзагообразных» процессов деформирования. По существу этот критерий совпадает с формулировкой Фелтнера и Морроу, [38], обобщенной на трехмерное напряженно-деформированное состояние с использованием тензора конечных деформаций

Рис. 2.20 – Энергия пластической деформации, связанная с процессами упрочнения (заштрихованные площади):

а) – в цикле; б) при монотонном нагружении


72

Альманси ijE : крW W . Уточнение Мартина [13] приводит к замене W на уW – удельную энергию, связанную с упрочнением материала (см. рис.

2.20,б). Если изображать произволь-

ный циклический процесс в де-виаторной плоскости, рис. 2.21 (замкнутая линия OABCO), то согласно свойств линий уровня поверхности ∑ (см. главу 1) энер-гия пластической деформации, связанная с процессами упрочне-ния, точно будет равна энергии за цикл для соответствующего цикла одноосного деформирова-ния цилиндрического образца (см. рис. 2.20,а), изображаемого линией ODO, т.е. циклу при ор-тогональном одноосном дефор-мировании.

Высказанные замечания по-зволяют сформулировать энерге-тический критерий запаса прочности в окрестности локализации пластиче-ских деформаций.

Суммарная диссипация работы внутренних сил за N циклов оценивается величиной

у уN ЦW N W ,

где уЦW – диссипация работы в цикле (часть

площади петли гистерезиса, связанная с процессами упрочнения). Для достижения состояния разрушения материала, опреде-ляемого величиной **

уW , к величине уNW

должна быть добавлена величина запаса диссипации работы у

ЗW , равная площади

под стабилизированной циклической кри-вой вне цикла, рис. 2.22:

**у у у

N ЗW W W .

Будем называть коэффициентом запаса прочности по диссипации величину

Рис. 2.21 – Циклическое деформирование частицы материала в условиях пространст-венного нагружения (OABCO) и эквива-лентное по повреждаемости одноосное циклическое деформирование (ODO) ци-

линдрического образца

Рис. 2.22 – Оценка повреждае-мости материала за N циклов, и запаса прочности при цикличе-

ском нагружении


73

уЗ

Д уN

WK

W .

Здесь предполагается, что за один цикл рассеиваемая работа внутренних сил уЦW вызывает повреждение материала, и снижает способность материала уп-

рочняться. Это приводит к уменьшению величины уЗW на величину у

ЗW ,

что соответствует уменьшению ресурса упрочнения материала, т.е. фактиче-скому уменьшению величины B (снижению максимального значения диа-

граммы и движению этого максимума вниз по стабилизированной цик-лической кривой нагружения ).

Соотношение величин уЦW и у

ЗW определяется некоторым коэффициен-

том c : у уЗ ЦW c W .

Коэффициент c может быть найден из экспериментально определяемой зависимости:

у уNW W W .

Если 1c , то зарождение макротрещины определяется выражением у

разр уЦ

WN

W .

После доведения материала до критического состояния, определяемого величиной уW , для продвижения макротрещины в частицы материала, пере-

секающие окрестность вершины трещины, должна быть доставлена дополни-тельная энергия W . При этом предполагается, что при распространении тре-

щины предел текучести остается постоянным, так как материал исчерпал ре-сурс упрочнения. Диаграмма продолжается при этом за точку А (см. рис. 2.20,а) по прямой, параллельной оси , до момента, разрушения. Вели-чина W определяется экспериментально.


74

3 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТРЕЩИН В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛАХ

Рассмотренные в главе 1 пластические течения в окрестности вершины углового выреза при растяжении полосы описывают пластические течения как с разрушением, так и без разрушения. Это позволяет сфор-мулировать подход к описанию процессов зарождения и распространения трещин в окрестности дефектов (повреждений) типа углового выреза. В дальнейшем рассмотрен только один вид раскрытия трещин – тре-щина отрыва в упругопластических телах (рис. 3.1), при котором поверхности трещи-ны прямо расходятся одна от другой во вза-имно противоположных направлениях, [16].

3.1 Установившееся движение углового выреза внутри упругопластического тела (распространение

трещины)

Рассмотрим подход к описанию процесса распространения трещины в упругопластическом теле в условиях плоской деформации, предполагая, что в целом все тело является составным (рис. 3.2), [3, 12, 24].

Предполагается, что внешняя часть области, окружающая вершину тре-щины, является упругой (или упругопластической), напряженно-деформированное состояние в которой определяется численно-аналитическим методом; а внутренняя часть :U ACDBEFGA - жесткопласти-

ческой, деформации в которой являются большими (конечными), и описыва-ются тензорами конечных деформаций (см. п. 1.5.5).

Будем предполагать, что: пластическое течение является установившимся, и область U сохра-

няет свои размеры со временем. Начало системы координат свяжем с верши-ной трещины (точка А);

материал внешней области «набегает» на область U со скоростью m вдоль оси X ;

скорости частиц вдоль оси Y на линии BOE изменяются линейно (от 0 до V ) аналогично решению Ричмонда;

Рис. 3.1 – Модель раскрытия трещины отрыва


75

распределение нормальных скоростей на линии EFG ( BDC ) совпа-дает с жестким смещением частиц со скоростью yV V ( yV V ). Это пред-

положение будет тем точнее, чем меньше жесткопластическая область. Заметим, что данная модель является приближенной, так как распределе-

ние касательных скоростей со стороны жесткопластической области U на линии EFG определяется по нормальным скоростям однозначно, и оно не совпадает с распределением касательных скоростей из численного решения. Это может привести к разрыву касательных компонент скоростей перемеще-ний на участке контура EFG – V . Величина V не подчиняется урав-

нениям теории идеального жесткопластического тела и изменяется от 0 (в точке F) до некоторого конечного значения (в точке G). При уменьшении жесткопластической области эта невязка будет стремиться к нулю, так как поле скоростей предполагается непрерывным и вне жесткопластической области. При этих предположениях пластическое течение в области U будет пол-ностью совпадать с решением Ричмонда и все соотношения п. 1.5.3, 1.6 будут справедливы. В частности,

0

2 22

kW v u du

k uu

, (3.1)

где согласно (1.60)

sin 2 cos , cos sin .u V Vm v V Vm

Рис. 3.2 – Схема распространения трещины в упругопластическом теле


76

На рис. 3.3 представлена схема движения частиц в окрестности распро-страняющейся трещины. Процесс накопления деформаций в частице, пересе-кающей веер характеристик EAF по предельной траектории (стянутой в точку A) в окрестности вершины трещины, определяется уравнениями (1.34). На рис. 3.4 представлено распределение величин первого (алгебраически наи-большего) главного значения тензора Альманси 1E в зависимости от угла

в веере линий скольжения EAF и угла раскрытия трещины . Эти величины

не являются малыми, и использование тензора малых деформаций в окрест-ности вершины трещины может привести к значительным погрешностям. Поэтому в окрестности вершины трещины необходимо использовать диа-грамму деформирования в координа-

тах h , где 1

3 ii , iih E (см. гл.

1). На рис. 3.5 дано сравнение сле-

дующих величин: относительное уд-

линение образца 0

0

l l

l

; логариф-

мические степени деформации ln(1 ) ; первое главное значение тен-

зора малых деформаций 1 1e

;

первое главное значение тензора ко-нечных деформаций Альманси

Рис. 3.3 – Схема движения частиц материала в окрестности распро-

страняющейся трещины

Рис. 3.4 – Распределение деформаций в окрестности

вершины трещины

Рис. 3.5 – Сравнение величин технических и конечных деформаций


77

1 2

1 1

2 2 1E

в образце при одноосном растяжении плоского образца в

условиях плоской деформации, [30].

3.2 Неустойчивое движение углового выреза внутри упругопластического тела (процесс зарождения трещины)

Рассмотренные в п. 3.1 процессы уста-новившего движения углового выреза пред-полагают образование новых частей сво-бодных поверхностей (берегов трещины), образованных внутренними частицами ма-териала (см. рис. 3.3). Возможен ли процесс смещения углового выреза без образования новых свободных поверхностей? На рис. 3.6 представлены возможные схемы движения частиц материала в окрестности вершины углового выреза без разрушения. Это не-симметричное движение частиц со смеще-нием с одного берега на другой, которые соответствуют смещению углового выреза вверх или вниз. Такое пластическое течение не приводит к разрушению материала и вы-ходу внутренних частиц на свободную по-верхность. Подобное пластическое течение рассмотрено в п. 1.5.4.

Схема пластического течения с линиями скольжения представлена на рис. 3.7. В отличие от схемы, представленной на рис. 3.2, частицы материала пересекают веер EAF в противоположном на-правлении. Линия скольжения AE здесь является линий разрыва скоростей перемещений, поэтому после пересечения веера EAF частица испытывает дополнительные пластические деформации и дополнительно рассеивает ра-боту внутренних сил. Поэтому общая диссипация энергии в частице склады-вается из двух частей: в веере вW и на линии разрыва л.р.W :

л.р.

2 2 n

W V

k G V

, 0

в

2 22

kW v u v du

k uu v

Рис. 3.6 - Возможные схемы движения частиц материала в окрестности вершины углово-го выреза без разрушения


78

где 2V , 2

x ym mG

,

1

2nV (из несимметричного решения, п.

1.5.4). Суммарная диссипация энергии определяется выражением

0

2 2.

2 2

k

n

VW v u du

k u G Vu

(3.2)

Здесь согласно (1.62), (1.52)

sin 2 cos sin ,

cos sin cos ,

x y

x y

u V m m

v V m m

где

1 cos 1 coscos , sin

sin sinx ym m

.

3.3 Связь между удельной диссипацией энергии *W и инвариантным

J- интегралом

Рассмотрим модель упругопластического тела в окрестности вершина трещины, принятую в п. 3.1 (см. рис. 3.2). Закон сохранения механической энергии для объема сплошной среды CDBEFG с единичной глубиной 1l

вдоль оси плоской деформации можно записать в виде

i i i i ij ji

S V V

dKv t dS b v dV dV

dt n

(3.3)

Рис. 3.7 – Схема пластического течения в окрестности углового выре-за без разрушения


79

где iv – поле скоростей, i ji jt n n – вектор напряжений, ji – тензор на-

пряжений, , ,

1

2ji i j j iv v – тензор скоростей деформаций, – плотность,

ib – массовые силы, K – кинетическая энергия.

Для случая квазистатического процесса без учета массовых сил и несжи-маемого тела уравнение (3.3), устанавливающие связь между мощностями внешних и внутренних сил, запишутся в виде

i i ij ji

S V

v t dS dV n .

Интегрируя по времени t , получим связь работ внешних и внутренних сил:

0 0

t t

i i ij ji

S V

v t dS dt dV dt

n

. (3.4)

где – энергия, затрачиваемая на образование новой поверхности тела (в виде приращения поверхности трещины) за время t , за которое длина трещи-ны получит приращение l . Разделим обе части выражения (3.4) на прира-щение длины трещины l :

0 0

1 1t t

i i ij ji

S V

v t dS dt dV dtl l

n

(3.5)

Переходя к пределу при 0t ( 0l ), в левой части (3.5) получим значе-ние инвариантного J-интеграла:

0

00

1lim

t

p i itSl

J v t dS dtl l

n . (3.6)

В соотношении (3.6) величина pJ , вообще говоря, не соответствует

обычно рассматриваемому инвариантному J-интегралу, так как инвариант-ность последнего доказана для случая деформационной теории пластичности, [16, 18]. Разность между этими величинами может быть оценена выражением

2p

EFG

J J V kdsl l

.

Рассмотрим правую часть этого неравенства. При стягивании контура GFEBDC в точку A объем жесткопластической области будет стремиться к нулю быстрее, чем линейный размер l , поэтому первое слагаемое будет

стремиться к нулю. Касательные компоненты V , V

являются непрерывны-

ми функциями в упругой и жесткопластической областях, соответственно. В


80

точках E и B V V , поэтому величина разрыва V V V

будет стре-

миться к нулю при стягивании контура в точку A, и поэтому второе слагаемой также будет стремиться к нулю. Отсюда следует, что при стягивании контура

GFEBDC в точку A величина 0pJ J . Учитывая данное замечание, мож-

но принять

pJ J . (3.7)

Рассмотрим отдельно правую часть соотношения (3.5). Область V скла-дывается из пяти частей:

V AFG EAF EAB BAD ADC . Здесь символ « » обозначает веер линий скольжения. Подынтегральное

выражение имеет сингулярность типа 1

r только в веерах. Имея в виду в даль-

нейшем предельный переход при 0OA , ниже рассматриваются интегралы только по областям EAF и BAD , которые численно равны между собой и учитываются множителем 2. Интегралы по остальным трем частям будут стремиться к нулю.

Примем OA l mdt , что соответствует минимальному по размеру кон-туру, охватывающему вершину трещины при варьировании ее длины на l .

Учитывая, что 1 , 2ldV R dR d l , получим

0

0 0

0

0 0

0 0

11 12

1 12 1 42

4 2 1.

k

k k

k

tl

ij ji ij ji ij ji

V V

l l

l

tdV dt dV RdRd

l l l m

k v k vu RdRd dR u d

l m R l m

k vu d

m

(3.8)

В приведенных выкладках при переходе от интеграла по объему U учитыва-ется симметричность пластической области U , поэтому далее интеграл уд-ваивается.

Выражение (3.8) не зависит от t и l , поэтому его значение не изменится при переходе к пределу при 0t ( 0l ). Из соотношения (3.5), учитывая (3.6) и (3.8) получим:


81

0

4 2 1 k

lp

k vJ u d

m

. (3.9)

Найдем отношение pJ

W

согласно (3.1) и (3.9):

0

0

2 2

2 1

2

k

k

p l

vu d

J

W m v u du

uu

. (3.10)

Учитывая (3.7), в дальнейшем будем считать pJ J . Ниже будет показано,

что для конструкционных материалов значение угла мало. Поле скоростей

в окрестности выреза (см. рис. 3.2) согласно (1.60) определяется выражения-ми

0

sin 2 cos , cos sin ,

ctg , , ,2 4 4k

u V Vm v V Vm

m V

при подстановке которых формула (3.9) принимает вид

8 1 tg2 2p lJ k

. (3.11)

Линейное приближение выражения (3.11) имеет вид

2 1 2 12p l s lJ k

, (3.12)

где 2s k – предел текучести на растяжение. Выражение (3.12) позволяет

установить связь между предлагаемым подходом и k -моделью разрушения,

используя соотношение, [16]

S kJ ,

где k – критическое раскры-

тие трещины. Из (3.12) и (3.7) следует

1k l .

На рис. 3.8 представлены зависимости отношения (3.10) от угла выреза 0 10 при

изменении скорости вершины

Рис. 3.8 – Изменение величины 2

pJ

W

в зави-

симости от угла раскрытия трещины


82

трещины по закону ctg2

m V

, которая аппроксимируется линией

20,782 1, 259 0,9992

Jc R

W

,

откуда следует, что при 0 это отношение стремится к значению 1,259.

3.4 Конечно-элементное моделирование процесса растяжения с постоянной скоростью образца с трещиной

Рассматривается образец в виде пластины с габаритными размерами 200х50 мм с боковой трещиной, равномерно растягиваемый в направлении, перпендикулярном линии трещины (рис. 3.9).

Длина трещины l принимается равной 5 мм. Пластина считается доста-точно толстой, чтобы можно было рассматривать задачу о плоской деформа-ции.

Материал образца сталь 40Х имеет следующие характеристики: модуль упругости 52,16 10E МПа; коэффициент Пуассона 0,3 ; предел про-

порциональности 364пц МПа; условный предел текучести

0,2 520 МПа; временное сопротивление разрыву 690в МПа; остаточ-

ное удлинение 15% ; относительное сужение 40% ; критическое зна-

чение J-интеграла I 89cJ кН/м.

Для аппроксимации диаграммы деформирования используется методика, разработанная А.Б. Айнбиндером. Для стали 40Х соответствующая кривая

Рис. 3.9 - Схема образца

Рис. 3.10 – Кривая деформирования для стали 40Х


83

представлена на рис. 3.10. Решение настоящей задачи выполняется методом конечных элементов в

геометрически и физически нелинейной статической постановке. При этом используется МКЭ-пакет ANSYS.

При построении конечно-элементной модели образца в силу симметрии задачи рассматривается лишь верхняя половина конструкции с заданием со-ответствующих граничных условий по линии симметрии. При этом исполь-зуются плоские элементы 2-го порядка PLANE183.

Учитывая высокую концентрацию напряжений вблизи вершины трещи-ны, в пластине выделяются три области, в которых генерируется сетка эле-ментов разной плотности. Малая полукруглая область с центром в вершине трещины разбивается с использованием регулярной радиальной сетки (8 элементов в окружном направлении, 10 в радиальном направлении). При этом вокруг вершины трещины применяются сингулярные элементы со сме-щенными на четверть длины стороны средними узлами. Вдали от вершины трещины (вторая область) при построении сетки используются элементы, имеющие примерно одинаковые размеры. Для обеспечения перехода между этими частями вводится третья область, окружающая трещину, со средним размером конечных элементов. Конечно-элементная сетка показана на ри-с. 3.11.

Растяжение образца осуществляется в режиме «жесткого» нагружения путем задания смещения верхней стороны пластины. Скорость приложения нагрузки V составляет 1V мм/с. Следует отметить, что при выполнении

нелинейного статического анализа время не имеет физического смысла, а

Рис. 3.11 – Конечно-элементная сетка в окрестности трещины


84

является просто удобной переменной для обозначения различных уровней приложения нагрузки и играет роль счетчика для идентификации подшагов по нагрузке.

В данной задаче нагрузка прикладывается за один шаг, который для по-вышения точности решения и улучшения сходимости разбивается на 100 подшагов. На каждом подшаге вычисляются промежуточные решения, позво-ляющие строить зависимость различных выходных величин от времени.

Рассчитанная в МКЭ-пакете ANSYS зависимость номинального напря-жения в образце от времени (параметра нагружения) изображена на рис. 3.12.

Для анализа разрушения образца с трещиной на каждом подшаге выпол-няется вычисление значений J-интеграла по нескольким контурам, окружаю-щим вершину трещины. При этом используется метод интегрирования по области [50]. Данный метод по сравнению с традиционным подходом вычис-ления J-интеграла в большей степени совместим с процедурой МКЭ-решения. Поэтому он легко реализуем и обеспечивает значительно большую точность. На рис. 3.13 показано изменение значений J-интеграла в зависимо-сти от времени t , рассчитанных по второму (штриховая линия) и десятому (сплошная линия) контурам. Видно, что при 0,37t сек J-интеграл достига-

ет критического значения I 89cJ кН/м. Таким образом, в данный момент

времени наступает состояние неустойчивого роста трещины, приводящего к полному разрушению образца. До момента разрушения образца кривые на рис. 3.13 почти совпадают, что доказывает инвариантность J-интеграла.

На рис. 3.14 представлены эпюры эквивалентных напряжений по теории Мизеса в среднем сечении для различных моментов времени, где z – расстояние от вершины трещины.

Рис. 3.13 – Изменение значений J-интеграла в зависимости от вре-

мени t

Рис. 3.12 - Зависимость номиналь-ного напряжения в образце от вре-

мени


85

В табл. 3.1 представлена связь между pJ , J и углом раскрытия трещины

, полученная из соотношения (3.11) и графиков, представленных на рис.

3.13, 3.14. Результаты, представленные в табл. 3.1, показывают, что углы раскрытия

трещины малы, что соответствует предположению, используемом при рас-

чете J-интеграла, что трещина в материале может моделироваться в виде ма-тематического разреза.

Таблица 3.1 – Связь между pJ , J и углом раскрытия трещины

,t c ,s МПа ,pJ J кН м , .рад

0,01 150 0 0 011 490 5 1,6210-6

0,21 580 22 6,0410-6

0,31 690 54 12,4610-6

Рис. 3.14– Эпюры эквивалентных напряжений по тео-рии Мизеса в среднем сечении для различных момен-

тов времени


86

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Буханько, А. А. Адиабатическое распределение диссипации энергии в окре-стности центра веера характеристик / А.А. Буханько, Е.П. Кочеров, В.А. Самойлов // Вестник СамГТУ. – 2009. – № 2(19). – С. 252-256.

2. Буханько, А.А. Деформационно-энергетический критерий разрушения жест-копластических тел / А.А. Буханько, А.Л. Григорьева, А.И. Хромов, Е.П. Кочеров // Известия РАН. МТТ. – 2009. – № 6. – С. 178-186.

3. Буханько, А.А. Растяжение полосы с V-образными вырезами и разрушение пластических тел / / А.А. Буханько, С.Л. Степанов, А.И. Хромов // Известия РАН. МТТ. – 2007. – № 3. – С. 177-186.

4. Быковцев, Г.И. Теория пластичности / Г.И. Быковцев, Д.Д. Ивлев. – Владиво-сток: Дальнаука, 1998. – 528 с.

5. Быковцев, Г.И. Об определении предельной нагрузки тел, вдавливаемых в пла-стическую среду / Г.И. Быковцев, Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР. Механика и машино-строение. – 1961. – № 1. – С. 173-174.

6. Годунов, С.К. Элементы механики сплошной среды / С.К. Годунов. – М.: Наука, 1978. – 304 с.

7. Друянов, Б.А. Теория технологической пластичности / Б.А. Друянов, Р.И. Непершин. – М.: Машиностроение, 1990. – 272 с.

8. Качанов, Л.М. Основы теории пластичности / Л.М. Качанов. – М.: Наука, 1969. – 420 с.

9. Козлова, О.В. Пластические константы разрушения : Учеб. пособие / О.В. Козлова, А.П. Наумкин, А.И. Хромов, С.А. Шамрай. – Комсомольк-на-Амуре: ГОУВ-ПО «КнАГТУ», 2005. – 52 с.

10. Козлова, О.В. Константы разрушения для идеальных жесткопластических тел / О.В. Козлова, А.И. Хромов // Докл. РАН. – 2002. – Т. 385, № 3. – С. 342-345.

11. Кочеров, Е.П. Деформационные состояния и разрушение идеальных жестко-пластических тел / Е.П. Кочеров, А.И. Хромов // Вестник СамГТУ. – 2006. – № 42. – С. 66-71.

12. Кочеров, Е.П. Численно-аналитические методы расчета деформаций и оценка прочности элементов конструкций в машиностроении / Е.П. Кочеров // Вестник Са-марск. гос. аэрокосм. ун-та им. акад. С.П. Королева. – 2007. – № 1(12). – С. 182-186.

13. Martin, D.E. An energy criterion for low-cycle fatigue / D.E. Martin // J. Basic Eng., Trans. ASME. – 1961. – P. 565-571.

14. Махутов, Н.А. Конструкционная прочность, ресурс и техногенная безопас-ность: В 2 ч. / Н.А. Махутов. – Новосибирск: Наука, 2005. – Ч. 1: Критерии прочности и ресурса. – 494 с.

15. Махутов, Н.А. Конструкционная прочность, ресурс и техногенная безопас-ность: В 2 ч. / Н.А. Махутов. – Новосибирск: Наука, 2005. – Ч. 2: Обоснование ресурса и безопасности. – 610 с.

16. Партон, В.З. Механика упругопластического разрушения / В.З. Партон, Е.М. Морозов. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1985. – 504 с.


87

17. Писаренко, Г.С. Сопротивление жаропрочных материалов нестационарным силовым и температурным воздействиями / Г.С. Писаренко, Н.С. Можаровский, Е.А. Антипов. – Киев: Наук. думка, 1974. – 200 с.

18. Работнов, Ю.Н. Введение в механику разрушения / Ю.Н. Работнов. – М.: Книжный дом «ЛИБРИКОМ», 2009. – 80 с.

19. Соколовский, В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. – М.: Высшая школа, 1969. – 608 с.

20. Томас, Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах / Т. Томас. – М.: Мир, 1964. – 308 с.

21. Херцберг, Р.В. Деформация и механика разрушения конструкционных мате-риалов/ Р.В. Херцберг; пер. с англ.; под ред. М.Л. Бернштейна, С.П. Ефименко. – М.: Металлургия, 1989. – 576 с.

22. Хилл, Р. Математическая теория пластичности / Р Хилл. – М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит, 1956. – 407 с.

23. Хромов, А.И. Пластические константы разрушения / А.И. Хромов, А.А. Бу-ханько, О.В. Козлова, С.Л. Степанов // ПМТФ. – 2006. – Т. 47, № 2. – С. 147-155.

24. Хромов, А.И. Концентраторы деформаций / А.И. Хромов, А.А. Буханько, С.Л. Степанов // ДАН. – 2006. – Т 407, № 6. – С. 777-781.

25. Хромов, А.И. Деформация и разрушение жесткопластических тел / А.И. Хромов. – Владивосток: Дальнаука, 1996. – 181 с.

26. Хромов, А.И. Деформация и разрушение жесткопластической полосы при растяжении / А.И. Хромов // Изв. РАН. МТТ. – 2002. – № 1. – С. 136-142.

27. Хромов, А.И. Растяжение полосы с симметричными угловыми вырезами / А.И. Хромов, А.А. Буханько, О.В. Патлина, Е.П. Кочеров // Вестник СамГТУ. – 2008. – № 1(16). – С. 53–58.

28. Хромов, А.И. Математическое моделирование процесса деформирования ма-териалов / А.И. Хромов, К.А. Жигалкин // Дальневосточный математический журнал. – 2002. – Ч. 3, № 1. – С. 93-101.

29. Хромов, А.И. Локализация пластических деформаций и разрушение идеаль-ных жесткопластических тел / А.И. Хромов // Докл. РАН. – 1998. – Т. 362, №2. – С. 202205.

30. Хромов, А.И. Разрушение жесткопластических тел. Константы разрушения / А.И. Хромов, О.В. Козлова. – Владивосток: Дальнаука, 2005. – 159 с.

31. Хромов, А.И. Деформационные состояния и условия разрушения жесткопла-стических тел / А.И. Хромов, Е.П. Кочеров, А.Л. Григорьева // ДАН. – 2007. – Т. 413, № 4. – С. 481-485.

32. Хромов, А.И. Поверхность нагружения, связанная с линиями уровня поверх-ности деформаций несжимаемого жесткопластического тела / А.И. Хромов, Е.П. Ко-черов, А.Л. Григорьева // Вестник СамГТУ. – 2006. – Вып. 43. – С. 88-92.

33. Хромов, А.И. Расчет пластических концентраторов деформаций: учеб. посо-бие / А.И. Хромов, А.А. Буханько, А.Ю. Лошманов, Е.П. Кочеров. – Комсомольск-на-Амуре: ГОУВПО «КнАГТУ», 2007. – 99 с

34. Beardmore, P. Polymeric Materials / P. Beardmore, S. Rabinowitz // ASM, Metals Park. – Ohio, 1975. – Р. 551.

35. Beardmore, P. Treatise on Materials Science and Technology / P. Beardmore, S. Rabinowitz . – New York: Academic Press. – V. 6, R.J. Arsenault, ed.. – 1975. – Р. 267.


88

36. Feltner C.E. and Laird C. // Acta Met. – 1967. – 15. – Р.1621. 37. Feltner C.E. and Laird C. // Trans., AIME. – 1968. – 242. – Р. 1253. 38. Feltner, C.E., Microplastic strain hysteresis energy as a criterion for fatigue frac-

ture / C.E. Feltner, J.D. Morrow. – Trans. ASMED, 1961. – 83, №1. – P. 15-22. 39. Geiringer, H. Fondements mathematiques de la theorie des corps plastiques

isotropes. Memorial des sciences mathematiques / H. Geiringer. – Gauthier-Villars, Paris, 1937.

40. Hency, H. Uber einige statisch bestimmten Falle des Gleichgewichts in plastischen Korpern / H. Hency // ZAMM, 1923. – BD.3, h.4. – P.241-251.

41. Hickerson J.P. and Hertzberg R.W., Met. Trans. – 1972. – 3. – Р. 179. 42. Landgraf, R.W. Achievement of High Fatigue Resistance in Metals and Alloys /

R.W. Landgraf. – ASTM STP-467. – 1970. – Р.3. 43. Landgraf, R.W., Morrow Jo Dean, and T. Endo // J. Mater., JMLSA. – 1969. –

4(1). – Р. 176. 44. Lee, E.H. Plastic Flow in a V-Notched Bar Pulled in Tension / E.H. Lee // J. appl.

Mech. – 1952. – V.19. – P.331-336. 45. Manson, S.S. Behavior of materials under condition of thermal stress. - In: Heat

transfer Symp. Univ. of Michigan Eng. Res. Inst., 1953, p. 9-75. 46. Onat, E. The necking of a tension specimen in plane plastic flow / E. Onat, W.

Prager // J. Appl. Phys. – 1954. – V. 25, N 4. – P.491-493. 47. Rabinowitz S., Beardmore P. // J. Mater. Sci.. – 1974. – 9. – Р. 81. 48. Richmond, O. Plane strain necking of V-notched and un-notched tensile bars. / O.

Richmond // J. Mech. Phys. Solids. – 1969. – V.17. – P. 83-90. 49. Saint Venant, B. Memoire sur l’etablissement des equations differentielles des

mouvements interieurs operes dans les corps solides ductiles au dela des limites ou l’elasticite pourrait les ramener a leur premier etat / B. Saint Venant // C.R. Acad. Sci. (Paris). – 1870. – V.70.

50. Shih, C.F., Energy release rate along a three-dimensional crack front in a thermally stressed body / C.F. Shih, B. Moran, T. Nakamura // Int. J. of Fracture. – 1986. – V. 30, N 2. – P. 79-102.

51. Shield, R.T. On the plastic flow of metals under conditions of axial symmetry / R.T. Shield // Proc. Roy. Soc. – London: Ser. A. – 1955. – V. 233, N. 1193. – P. 267287.

52. Smith, R.W., Hirschberg M.H., Manson S.S. // NASA TN D-1574, NASA April 1963.

53. Tavernelli J.F., Coffin L.F. Experimental support for generalized equation predict-ing low cycle fatigue. – J. Basic Eng. Trans. ASME, 1962, Dec., p. 533-541.


Documents

636.деформационно энергетический подход предельные состояния и разрушение конструкционных материалов