63934186 Ecuaciones Diferenciales y Problemas Con Valores Jb Decrypted

8/13/2019 63934186 Ecuaciones Diferenciales y Problemas Con Valores Jb Decrypted

1/1771

Ecuaciones diferencialesY PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA CMPUTO Y MODELADOCUARTA EDICINEDWARDS PENNEYC. HENRY DAVID E.


2/1771

Tabla de transformadas de LaplaceEsta tabla resume las propiedades generales de las transformadas de Laplace y las transformadas de Laplace defunciones particulares obtenidas en el captulo 7.f (t) F(s) eataf (t) 1 bg(t) aF(s) 1 bG(s) tneatf 9(t) sF(s) 2 f (0) cos ktf 0(t) s2F(s) 2 sf (0) 2 f 9(0) sen ktf (n)(t) snF(s) 2 sn21 f (0)2 2 f (n21)(0) cosh ktf (t)dt senh kteat f (t) F(s 2 a) eat cos ktu(t 2 a) f (t 2 a) e2asF(s) eat sen ktf (t)g(t 2 t)dt F(s)G(s) (sen kt 2 kt cos kt)tf (t) 2F9(s) sen kttnf (t) (21)nF (n)(s) (sen kt 1 kt cos kt)F(s)ds u(t 2 a)f (t), periodo p e2stf (t)dt d(t 2 a) e2as1 (21)vtyab (onda cuadrada) tanht fi fl (escalera)tntat0

t0p0qs1s 2 aF(s)sf (t)te2as

s1s1sas2ta1s2n!sn11

1vsG(a 1 1)sa1112k3n!(s 2 a)n11ss2 1 k2


3/1771

ks2 1 k2ss2 2 k2ks2 2 k21(s2 1 k2)211 2 e2pse2ass(1 2 e2as)s2(s2 1 k2)2s(s2 1 k2)2s 2 a(s 2 a)2 1 k2k(s 2 a)2 1 k2t2k12k

Funcin Transformada Funcin Transformada1vpt


4/1771

Tabla de integralesFORMAS ELEMENTALES1. udy 5 uy 2 y du 10. sec u tan u du 5 sec u 1 C2. un du 51n 1 1un11 1 C si n Z 21 11. csc u cot u du 5 2csc u 1 C3.duu5 ln uu u 1 C 12. tan u du 5 ln usec u u 1 C4. eu du 5 eu 1 C 13. cot u du 5 ln usen u u 1 C5. au du 5aauln1 C 14. sec u du 5 ln usec u 1 tan u u 1 C6. sen u du 5 2cos u 1 C 15. csc u du 5 ln ucsc u 2 cot u u 1 C7. cos u du 5 sen u 1 C 16.dua2 - u25 sen21

ua1 C8. sec2 u du 5 tan u 1 C 17.dua2 1 u251atan21ua1 C

9. csc2 u du 5 2cot u 1 C 18.dua2 1 u2512aln `u au a12 ` 1 CFORMAS TRIGONOMTRICAS19. sen2 u du 51

2u 214sen 2u 1 C 23. sen3 u du 5 213(2 1 sen2 u) cos u 1 C20. cos2 u du 51


5/1771

2u 114sen 2u 1 C 24. cos3 u du 513(2 1 cos2 u) sen u 1 C21. tan2 u du 5 tan u 2 u 1 C 25. tan3 u du 512tan2 u 1 ln ucos uu 1 C22. cot2 u du 5 2cot u 2 u 1 C 26. cot3 u du 5 212cot2 u 2 ln usen uu 1 C27. sec3u du 512sec u tan u 112ln usec u 1 tan uu 1 C28. csc3u du 5 2

12csc u cot u 112ln ucsc u 2 cot uu 1 C29. sen au sen bu du 5sen( ) sen( )( )( )a bua b

a bua b22212 2 1 1 C si a2 Z b2(Contina al fi nal)


6/1771

ECUACIONESDIFERENCIALESY PROBLEMASCON VALORESEN LA FRONTERACmputo y modeladoCuarta edicin


7/1771

ECUACIONESDIFERENCIALESY PROBLEMASCON VALORESEN LA FRONTERACmputo y modeladoCuarta edicinC. Henry EdwardsDavid E. PenneyThe University of Georgiacon la asistencia deDavid CalvisBaldwin-Wallace CollegeTRADUCCINRafael Iriarte Vivar BalderramaFacultad de IngenieraUniversidad Nacional Autnoma de MxicoREVISIN TCNICAErnesto Filio LpezUnidad Profesional Interdisciplinariaen Ingeniera y Tecnologas AvanzadasInstituto Politcnico Nacional (Mxico)Guillermo Basilio Rodrguez

Escuela Superior de Ingeniera Mecnicay Elctrica, ZacatencoInstituto Politcnico Nacional (Mxico)


8/1771

Authorized translation from the English Language edition, entitled DifferentialEquations and Boundary Value Problems: Computing andModeling, 4th Edition by C. Henry Edwards and David E. Penney, published by Pearson Education Inc., publishing as PRENTICE HALLINC., Copyright 2008. All rights reserved.ISBN 978-0-13-156107-6Versin en espaol de la obra titulada, Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling, 4 edicin, deC. Henry Edwards y David E. Penney, publicada originalmente en ingls por PearsonEducation Inc., publicada como PRENTICE HALLINC., Copyright 2008. Todos los derechos reservados.Esta edicin en espaol es la nica autorizada.Edicin en espaolEditor: Rubn Fuerte Riverae-mail: [email protected] de desarrollo: Claudia Celia Martnez AmignSupervisor de produccin: Jos D. Hernndez GarduoEdicin en inglsEditorial Director, Computer Science, Engineering, and Advanced Mathematics: Marcia J. HortonSenior Editor: Holly StarkEditorial Assistant: Jennifer LonscheinSenior Managing Editor: Scott Disanno

Production Editor: Irwin ZuckerArt Director and Cover Designer: Kenny BeckArt Editor: Thomas BenfattiManufacturing Manager: Alexis Heydt-LongManufacturing Buyer: Lisa McDowellSenior Marketing Manager: Tim GalliganCUARTA EDICIN, 2009D.R. 2009 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.Atlacomulco nm. 500, 5 pisoCol. Industrial Atoto53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de MxicoE-mail: [email protected] Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031

Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistemade recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico oelectroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de susrepresentantes.ISBN 10: 970-26-1285-3ISBN 13: 978-970-26-1285-8Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 12 11 10 09EDWARDS, C. HENRY Y PENNEY, DAVID E.Ecuaciones diferenciales y problemas con valoresen la frontera. Cuarta edicinPEARSON EDUCACIN, Mxico, 2009ISBN: 978-970-26-1285-8rea: MatemticasFormato: 21 3 27 cm Pginas: 824


9/1771

CONTENIDOMdulos de aplicacin xPrefacio xiAcerca de la portada xvCAPTULO Ecuaciones diferenciales de primer orden 11 1.1 Ecuaciones diferenciales y modelos matemticos 1 1.2 Integrales como soluciones generales y particulares 101.3 Isoclinas y curvas solucin 191.4 Ecuaciones separables y aplicaciones 321.5 Ecuaciones lineales de primer orden 481.6 Mtodos de sustitucin y ecuaciones exactas 60CAPTULO Modelos matemticos y mtodos numricos 792 2.1 Modelos de poblacin 79 2.2 Soluciones de equilibrio y estabilidad 922.3 Modelos de velocidad y aceleracin 1002.4 Aproximacin numrica: mtodo de Euler 1122.5 Un acercamiento ms profundo al mtodo de Euler 1242.6 Mtodo de Runge-Kutta 135CAPTULO Ecuaciones lineales de orden superior 1473 3.1 Introduccin: Ecuaciones lineales de segundo orden 147 3.2 Soluciones generales de ecuaciones lineales 1613.3 Ecuaciones homogneas con coeficientes constantes 1733.4 Vibraciones mecnicas 1853.5 Ecuaciones no homogneas y coeficientes indeterminados 198

3.6 Oscilaciones forzadas y resonancia 2123.7 Circuitos elctricos 2253.8 Problemas con valores en la frontera y eigenvalores 232vii


10/1771


11/1771

CAPTULO Mtodos de series de Fourier 5809 9.1 Funciones peridicas y series trigonomtricas 580 9.2 Serie de Fourier general y convergencia 5899.3 Series seno y coseno de Fourier 5979.4 Aplicaciones de las series de Fourier 6099.5 Conduccin de calor y separacin de variables 6159.6 Cuerdas vibrantes y la ecuacin de onda unidimensional 6309.7 Temperaturas estacionarias y la ecuacin de Laplace 643CAPTULO Eigenvalores y problemas con valores en la frontera 65410 10.1 Problemas de Sturm-Liouville y desarrollo en eigenfunciones 654 10.2 Aplicaciones de las series de engenfunciones 66710.3 Soluciones peridicas estacionarias y frecuencias naturales 67810.4 Problemas en coordenadas cilndricas 68710.5 Fenmenos en dimensiones superiores 702Referencias para estudios posteriores 721Apndice: Existencia y unicidad de soluciones 724Respuestas a problemas seleccionados 738ndice 798Contenido ix


12/1771

MDULOS DE APLICACINLos mdulos listados se corresponden con las secciones indicadas en el texto. La mayora proporciona el clculo deproyectos que ilustran el contenido de las secciones correspondientes.1.3 Campos de isoclinas generadas por computadoray curvas solucin.1.4 La ecuacin logstica.1.5 Oscilaciones de temperatura en interiores.1.6 Soluciones algebraicas por computadora.2.1 Modelo logstico de datos de poblacin.2.3 Propulsin de cohetes.2.4 Implementacin del mtodo de Euler.2.5 Implementacin del mtodo de Euler mejorado.2.6 Implementacin del mtodo de Runge-Kutta.3.1 Grafi cacin de familias de soluciones desegundo orden.3.2 Grafi cacin de familias de soluciones detercer orden.3.3 Soluciones aproximadas de ecuaciones lineales.3.5 Automatizacin del mtodo de variacinde parmetros.3.6 Vibraciones forzadas.

4.1 Gravitacin y leyes de Kepler del movimientoplanetario.4.2 Solucin de sistemas de lgebra con computadora.4.3 Cometas y vehculo espacial.5.1 Solucin automtica de sistemas lineales.5.2 Clculo automtico de eigenvalores y eigenvectores.5.3 Vibraciones inducidas por sismos en edifi -cios de varios pisos.5.4 Eigenvalores incompletos y eigenvectoresgeneralizados.5.5 Soluciones automatizadas de la matriz exponencial.5.6 Variacin de parmetros automatizada.6.1 Plano de fase y ecuaciones de primer orden.

6.2 Plano de fase de sistemas casi lineales.6.3 Conservacin de la vida silvestre (su propioejemplo).6.4 Las ecuaciones de Rayleigh y van der Pol.7.1 Transformadas y transformadas inversas atravs de sistemas de lgebra por computadora.7.2 Transformadas de problemas con valoresiniciales.7.3 Investigaciones sobre amortiguacin y resonancia.7.5 Funciones de ingeniera.8.2 Clculo automtico de coefi cientes deseries.8.3 Automatizacin del mtodo de series de

Frobenius.8.4 Caso especial al utilizar reduccin de orden.8.6 Ecuaciones de Riccati y funciones de Besselmodifi cadas.9.2 Clculo algebraico por computadora delos coefi cientes de Fourier.9.3 Series de Fourier de funciones suaves portramos.9.5 Investigaciones sobre la barra calentada.9.6 Investigacin de la cuerda vibrando.


13/1771

10.1 Desarrollo en eigenfunciones numricas.10.2 Investigaciones numricas de fl ujo de calor.10.3 Vibracin en vigas y trampolines.10.4 Funciones de Bessel y cilindros calentados.x


14/1771

PREFACIOLa evolucin en sucesivas ediciones del presente texto se funda en la experienciade enseanza del curso introductorio de ecuaciones diferenciales, con nfasisen ideas conceptuales y uso de aplicaciones y proyectos que involucran a los estudiantesen experiencias activas de solucin de problemas. Ambientes de clculotcnicos como Maple, Mathematica y MATLAB estn ampliamente disponibles yson ahora profusamente utilizados en la prctica por ingenieros y cientfi cos. Este cambio en la actividad profesional motiva a un desplazamiento de la tradicionalconcentracin en mtodos simblicos manuales hacia mtodos cualitativos basadosen la computadora, que emplean clculo numrico y visualizacin grfi ca para unmejor entendimiento conceptual. Un aspecto adicional de este enfoque con mscomprensin es la accesibilidad a un mayor rango de aplicaciones ms realistas delas ecuaciones diferenciales.Principales caractersticas de esta edicinMientras que se han conservado las exitosas caractersticas de ediciones previas,laexposicin se ha mejorado signifi cativamente en cada captulo y en la mayora de lassecciones individuales de la obra. Se han insertado tanto grfi cas nuevas como textonuevo donde ha sido necesario, para mejorar la compresin de los conceptos claveen el estudiante. La slida estructura del libro en captulos y secciones, probada e

nclase, permanece sin cambio, por lo que las notas de aula y la nomenclatura no requirieronrevisin para esta nueva edicin. Los siguientes ejemplos de la revisin ilustranla forma en que la estructura particular del texto ha sido aumentada y pulida en la nueva versin.Captulo 1. Las nuevas fi guras 1.3.9 y 1.3.10 muestran campos direccionalesque indican la ausencia de existencia y unicidad de soluciones (pg. 24); losnuevos problemas 34 y 35 muestran que pequeos cambios en las condicionesiniciales pueden generar grandes diferencias en los resultados, pero que grandes cambios en las condiciones iniciales pueden, algunas veces, desencadenar

slo pequeos cambios en los resultados (pg. 30); los nuevos comentarios 1y 2 aclaran el concepto de soluciones implcitas (pg. 35); un nuevo comentarioaclara el signifi cado de homogeneidad de ecuaciones diferenciales de primerorden (pg. 62).Captulo 2. Se insertan detalles adicionales en la deduccin de la ecuacinde propulsin de un cohete (pg. 110), y un nuevo problema 5 para investigarla pausa de desprendimiento del cohete en su trayectoria de despegue, algunasveces observada antes de su explosin (pg. 112).Captulo 3. Se incorporan nuevas explicaciones de signos y direcciones defuerzas internas en sistemas masa-resorte (pg. 148); una introduccin de operadores diferenciales y clarifi cacin del lgebra de operadores polinomiales(pg. 175); una introduccin e ilustracin de formas exponenciales polares de

nmeros complejos (pg. 181); una explicacin completa del mtodo de coefi -cientes indeterminados en los ejemplos 1 y 3 (pg. 199); nuevos comentarios1 y 2 con terminologa tajante , y las fi guras 3.8.1 y 3.8.2, que ilustran quecomo condicin fi nal algunos ejercicios tienen una infi nidad de soluciones,xi


15/1771

xii Prefaciomientras que otros no tienen solucin (pg. 233); las nuevas fi guras 3.8.4 y3.8.5 ilustran a su vez diferentes tipos de eigenfunciones (pgs. 235-236).Captulo 4. Una presentacin nueva con las nuevas fi guras 4.3.11 y 4.3.12aclara la diferencia entre sistemas rotacionales y no rotacionales en problemasde rbita entre la Luna y la Tierra (pg. 278).Captulo 5. Se incorporan los problemas 20-23 para que los alumnos investiguenun sistema de tres vagones de ferrocarril con diferentes condicionesiniciales de velocidad (pg. 329); un nuevo comentario ilustra la relacin entrelos mtodos de matriz exponencial y los mtodos de eigenvalores generalizadospresentados previamente (pg. 356); se agrega asimismo una presentacinal fi nal de la seccin para explicar la conexin entre la variacin de los parmetrosde la matriz y la variacin (escalar) de parmetros de una ecuacin desegundo orden presentada previamente en el captulo 3 (pg. 368).Captulo 6. Se aaden nuevos comentarios en imgenes de planos de fase,sistemas autnomos y puntos crticos (pgs. 373-374); una introduccin desistemas linealizados (pg. 386), y nuevas fi guras tridimensionales 6.5.18 y6.5.20, que ilustran las trayectorias de Lorenz y Rssler (pgs. 439-440).Captulo 7. Se insertan una presentacin que aclara funciones de ordenexponencial y la existencia de la transformada de Laplace (pg. 448); uncomentario que expone la mecnica del desarrollo en fracciones parciales(pg. 455), y una presentacin ampliamente extendida de la prueba del teoremade existencia de la transformada de Laplace y su extensin para incluir el

salto en discontinuidades, el cual juega un papel importante en muchas aplicacionesprcticas (pgs. 461-462).Captulo 8. Se incluyen un nuevo problema 35 para determinar el radio deconvergencia de la solucin en series de potencias de ecuaciones diferenciales(pg. 528), y un nuevo ejemplo 3 justo antes de la subseccin de casos logartmicosen el mtodo de Frobenius para primero ilustrar la frmula de reduccinde orden con un problema sencillo sin series (pg. 552).Captulo 9. Se agregan una explicacin considerablemente amplia para extensionespares e impares y sus correspondientes series de Fourier seno-coseno(pgs. 599-600); una presentacin de soluciones particulares peridicas y noperidicas, que se ilustran por medio de la nueva fi gura 9.4.4, junto con losnuevos problemas 19 y 20 al fi nal de la seccin (pgs. 611-615); una presentacin

con un ejemplo al fi nal de la seccin para ilustrar los efectos del amortiguamientoen sistemas masa-resorte (pg. 614), y una muestra de signos ydireccin del fl ujo de calor en la deduccin de la ecuacin de calor (pg. 616).Captulo 10. En la deduccin de la ecuacin de onda para las vibracioneslongitudinales de una barra se aclaran los efectos de la dilatacin (pg. 669),mientras que las nuevas fi guras 10.5.15 y 10.5.16 ilustran las olas en el ocanoen un planeta pequeo (pg. 720).Caractersticas de cmputoLas siguientes caractersticas enriquecen la agradable bondad de la tecnologa decmputo que singulariza nuestra exposicin. Casi 700 fi guras generadas por computadora muestran al estudiante imgenes

vvidas de la direccin de campos, curvas solucin y fotografas de planos de

fase que proporcionan soluciones de ecuaciones diferenciales de la realidad.


16/1771

Prefacio xiii Alrededor de 45 mdulos de aplicacin se presentan a continuacin de secciones

clave a lo largo de todo el texto. La mayora de estas aplicaciones describeinvestigaciones tecnolgicamente neutrales e ilustra el uso de sistemas tcnicosde cmputo buscando que los estudiantes penetren en la aplicacin de nuevastecnologas. Se brinda un fresco nfasis numrico con la introduccin temprana de soluciones

numricas en el captulo 2 (en modelos matemticos y modelos numricos).Aqu y en el captulo 4, donde se abordan tcnicas numricas para sistemas, sedisfruta un concreto, tangible y agradable sabor por la inclusin de algoritmosnumricos presentados en paralelo con sus correspondientes grfi cas calculadasen MATLAB.Caractersticas del modeladoEl modelado matemtico es una meta y una constante motivacin para el estudio delas ecuaciones diferenciales. Para mostrar el rango de aplicaciones que ofrece estetexto, es conveniente echar una mirada a las siguientes preguntas: Qu explica el tiempo de retardo comnmente observado entre las oscilaciones

diarias de temperatura en el interior o en el exterior de una habitacin?(secc. 1.5). Qu hace la diferencia entre el fi n del mundo y la extincin de la poblacin de

lagartos? (secc. 2.1). Cmo es que un uniciclo y un carro de dos ejes reaccionan diferente a las

imperfecciones del camino? (seccs. 3.7 y 5.3). Cmo se puede predecir el tiempo del prximo paso por el perihelio de uncometa nuevamente observado? (secc. 4.3). Cmo un sismo puede demoler un edifi cio y dejar otro en pie justo al lado?

(secc. 5.3). Qu determina que dos especies vivan juntas en armona, o que la competencia

resulte en la extincin de una de ellas y la sobrevivencia de la otra?(secc. 6.3). Cundo y por qu la no linealidad tiende al caos en sistemas biolgicos y

mecnicos? (secc. 6.5). Si una masa en un resorte es golpeada peridicamente con un martillo, cmo

es que el comportamiento de la masa depende de la frecuencia con la que elmartillo golpea? (secc. 7.6).

Cmo es que el asta de una bandera es hueca en lugar de maciza? (secc. 8.6). Qu explica la diferencia en el sonido de una guitarra, de un xilfono y de untambor? (seccs. 9.6, 10.2 y 10.4).Organizacin y contenidoSe le ha dado un aspecto diferente al enfoque y secuencia tradicional de los temaspara introducir nuevas tecnologas y nuevas perspectivas. Por ejemplo: Despus de precisar una ecuacin diferencial de primer orden en el captulo 1

(desarrollando ciertos mtodos simblicos tradicionales), el captulo 2 ofreceuna introduccin temprana al modelado matemtico, estabilidad y propiedades


17/1771

xiv Prefaciocualitativas de las ecuaciones diferenciales y los mtodos numricos unacombinacin de temas que frecuentemente se dispersan en un curso introductorio. Los captulos 4 y 5 proporcionan un tratamiento fl exible de sistemas lineales.

De acuerdo con las tendencias actuales en la educacin en ciencias e ingenieray la prctica, el captulo 4 ofrece una introduccin intuitiva temprana a lossistemas de primer orden, modelos y tcnicas de aproximacin numrica. Elcaptulo 5 comienza con un tratamiento del lgebra lineal, presentando luego elenfoque de eigenvalores para sistemas lineales. Se incluye una amplia variedadde aplicaciones (desde vagones de ferrocarril hasta sismos) para todos los diferentescasos del mtodo de eigenvalores. La seccin 5.5 incorpora un vastotratamiento de matriz exponencial, el cual se explota en la seccin 5.6 en sistemaslineales no homogneos. El captulo 6 aborda sistemas no lineales y una variedad de fenmenos, desde

el anlisis del plano de fase hasta sistemas ecolgicos y mecnicos, que concluyenen una seccin de caos y bifurcacin en sistemas dinmicos. La seccin6.5 presenta una introduccin elemental de problemas contemporneos, talescomo el doble periodo en sistemas biolgicos y mecnicos, diagramas seleccionadosy el extrao atractor de Lorenz (todos ilustrados con vvidas grfi caspor computadora). Los mtodos de la transformada de Laplace (cap. 7) y de series de potencias

(cap. 8) siguen al material de sistemas lineales y no lineales, pero pueden sercubiertos en cualquier momento previo (despus del cap. 3) que decida el profesor. Los captulos 9 y 10 abordan las aplicaciones de la serie de Fourier, separacin

de variables y la teora de Sturm-Liouville para las ecuaciones diferencialesparciales y problemas de valores en la frontera. Despus de la introduccin delas series de Fourier, las tres clsicas ecuaciones las ecuaciones de onda yde calor, y la ecuacin de Laplace se presentan en las ltimas tres seccionesdel captulo 9. Los mtodos de Sturm-Liouville del captulo 10 se desarrollansufi cientemente para incluir aplicaciones signifi cativas y realistas.AgradecimientosEn la preparacin de la revisin nos apoyamos enormemente en las recomendacionesy asistencia de los siguientes, muy capaces y perceptivos revisores:

Raymond A. Claspadle, University of MemphisSemion Gutman, University of OklahomaMiklos Bona, University of FloridaIrfan Ul-Haq, University of Wisconsin-PlattevilleCarl Lutzer, Rochester Institute of TechnologySigal Gottlieb, University of Massachusetts, DartmouthEs un placer (una vez ms) reconocer a Dennis Kletzing y su extraordinarioTEX pertise (experiencia al usar el procesador de texto) por la atractiva presenta

cinque realiz tanto para el texto como para el diseo artstico de este libro. Finalmente,pero lejos de ser lo ltimo, estoy especialmente contento de agradecer a unnuevo colaborador de este esfuerzo, David Calvis, quien apoy cada aspecto de esta

revisin y contribuy tangiblemente al mejoramiento de cada captulo.C. H. [email protected]


18/1771

ACERCA DE LA PORTADAEsta imagen ilustra la trayectoria de un punto en movimiento cuyo espacio de coordenadas satisface (como funcin deltiempo) el sistema de ecuaciones diferenciales de Lorenz que se presenta en laspginas 438 439. En su movimiento alo largo de esta trayectoria de Lorenz, el punto puede aparecer en forma transversal a un nmero aleatorio de ciclos dellado izquierdo, despus a un nmero aleatorio de ciclos del lado derecho, luego a un nmero aleatorio de ciclos del ladoizquierdo, y as sucesivamente. En su devenir de un lado a otro, tpicamente se aproxima ms y ms a un misteriosoconjunto conocido como el extrao atractor de Lorenz. Las ecuaciones de Lorenz tienen un origen meteorolgico, porlo que uno puede suponer nmeros aleatorios de das lluviosos y de das soleados alternndose en la sucesin (pensandoque esto no es lo que realmente signifi can los ciclos).El ms pequeo cambio en el punto inicial de la trayectoria puede cambiar drsticamente el resultado del devenirde un lado hacia otro de la secuencia de los ciclos. Esto ilustra el fenmeno delcaos, en el que pequeas diferencias enlas condiciones iniciales pueden resultar tiempo despus en enormes diferencias en las situaciones resultantes. Dospuntos que inician en imperceptibles diferentes posiciones pueden ms adelante sep

ararse enormemente en diferenteslados de la Mariposa de Lorenz . La forma de mariposa de la fi gura recuerda el tan conocido efecto mariposa , queen aos recientes se ha hecho de uso popular. Una mariposa mueve sus alas y genera un suave movimiento de aire queacciona en cadena una secuencia de eventos atmosfricos que fi nalmente resultan en un tornado en algn lugar del ladoopuesto de la Tierra.Para marcar el progreso del devenir hacia un lado y otro del punto en movimiento, podemos referir su trayectoriacomo el hilo de un collar donde se han puesto las cuentas para marcar sus posiciones sucesivas en un incremento fi jo detiempo (de tal manera que el punto se mueve ms rpido cuando el espacio entre las c

uentas es mayor). El color de lascuentas cambia continuamente con el paso del tiempo y el movimiento a lo largo de la trayectoria. La graduacin delcolor de las cuentas en el collar de Lorenz muestra visualmente de manera efectiva la cuarta dimensin del tiempoen adicin de las tres dimensiones espaciales. Si su ojo sigue el curso del puntomovindose alrededor de la trayectoriacomo yendo con el fl ujo del color y ajustando su velocidad con el espaciamiento de las cuentas, entonces la fi guracompleta toma un aspecto dinmico ms que una representacin meramente esttica de la todava simple fi gura.xv


19/1771

Ecuaciones diferencialesde primer orden1.1 Ecuaciones diferenciales y modelos matemticosLas leyes del universo estn escritas en el lenguaje de las matemticas. El lgebraes sufi ciente para resolver muchos problemas estticos, pero la mayora de losfenmenos naturales ms interesantes involucra cambios descritos por ecuacionesque relacionan cantidades que cambian.Debido a que la derivada dx/dt = f(t) de la funcin f es la razn a la cual lacantidad x f(t) est cambiando respecto de la variable t independiente, es natural que las ecuaciones que involucran derivadas se usen frecuentemente para describir eluniverso cambiante. Una ecuacin que relaciona una funcin desconocida con una oms de sus derivadas se llama ecuacin diferencial.Ejemplo 1 La ecuacin diferencialdxdt = x2 + t2involucra tanto la funcin desconocida x(t) como su primera derivada x(t) = dx/dt.La ecuacin diferenciald2 ydx2 + 3dydx + 7y = 0

incluye la funcin desconocida y de la variable independiente x y sus dos primeras derivadas de y y y de y. El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene tres metas principales:1. Descubrir la ecuacin diferencial que describe una situacin fsica especfica.2. Encontrar exacta o aproximadamente la solucin apropiada de esa ecuacin.3. Interpretar la solucin encontrada.211


20/1771

2 Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer ordenEn lgebra, por lo regular se buscan nmeros desconocidos que satisfagan unaecuacin tal como x3 7x2 11x 41 0. En contraste, en una ecuacin diferencialel reto es encontrar funciones desconocidas y y(x), para las cuales una identidadtal como y(x) 2xy(x), esto es, la ecuacin diferencialdydx = 2xyse cumple en algn intervalo de nmeros reales. Regularmente queremos encontrar,de ser posible, todas las soluciones de la ecuacin diferencial.Ejemplo 2 Si C es una constante yy(x) = Cex2,(1)entoncesdydx = C 2xex2 = (2x) Cex2 = 2xy.As, cada funcin de y(x), de la forma de la ecuacin (1) satisface y de este modoes una solucin de la ecuacin diferencialdydx = 2xy (2)para toda x. En particular, la ecuacin (1) defi ne una familia infi nita de diversas soluciones

de esta ecuacin diferencial, una para cada asignacin de la constante arbitrariaC. Por el mtodo de separacin de variables (seccin 1.4) se puede demostrar que cadasolucin de la ecuacin diferencial en (2) es de la forma de la ecuacin (1). Ecuaciones diferenciales y modelos matemticosLos tres ejemplos siguientes ilustran el proceso de traduccin de las leyes y principioscientfi cos en ecuaciones diferenciales. En cada uno de ellos la variable independientees el tiempo t, pero veremos numerosos ejemplos donde alguna cantidaddiferente del tiempo es la variable independiente.Ejemplo 3 La ley de enfriamiento de Newton puede establecerse de esta manera: La razn decambio del tiempo (la razn de cambio respecto del tiempo t) de la temperatura T(t

)de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre T y la temperatura A del medioambiente (fi g. 1.1.1). Esto es,dTdt = -k(T - A), (3)donde k es una constante positiva. Obsrvese que si T A, entonces dT/dt 0, porlo que la temperatura es una funcin decreciente de t y el cuerpo se est enfriando. Pero si T A, entonces dT/dt 0, por tanto, T est aumentando.As, la ley fsica se traduce en una ecuacin diferencial. Si damos valores a k yA, podremos encontrar una frmula explcita para T(t), y entonces con la ayuda deesta frmula ser posible predecir la temperatura que tendr el cuerpo.

Ejemplo 4 La ley de Torricelli establece que la razn de cambio respecto del tiempo de unvolumen V de agua en un tanque de drenado (fi g. 1.1.2) es proporcional a la razcuadrada de la profundidad y del agua en el tanque:dVdt = -kvy, (4)FIGURA 1.1.1. La ley deenfriamiento de Newton,ecuacin (3), describe elenfriamiento de una roca


21/1771

caliente en el agua.Temperatura TTemperatura A


22/1771

donde k es una constante. Si el tanque es un cilindro con paredes verticales y unaseccin transversal de rea A, entonces V Ay, por lo que dV/dt A (dy/dt). Eneste caso la ecuacin (4) toma la formadydt = -hvy, (5)donde h k/A es una constante. Ejemplo 5 La razn de cambio respecto del tiempo de una poblacin P(t) con tasas denatalidady mortalidad constantes es, en muchos casos sencillos, proporcional al tamao de lapoblacin. Esto es,dPdt = kP,(6)donde k es la constante de proporcionalidad. Profundicemos en el ejemplo 5. Primero ntese que cada funcin de la formaP(t) = Cekt (7)es una solucin de la ecuacin diferencialdPdt = kPen (6). Puede verifi carse esta aseveracin de la siguiente manera:P (t) = Ckekt = k Cekt = kP(t)

para todo nmero real t. Debido a que la sustitucin en la ecuacin (6) de cada funcinde la forma dada en (7) produce una identidad, todas esas funciones son solucionesde la ecuacin (6).Entonces, aun si el valor de la constante k es conocido, la ecuacin diferencialdP/dt kP tiene una infinidad de soluciones de la forma P(t) Cekt, una para cadavalor arbitrario de la constante C. Esto es comn en las ecuaciones diferenciales.Es tambin afortunado, porque nos permite usar informacin adicional para seleccionar,entre todas estas soluciones, una en particular que se ajuste a la situacin bajoestudio.Ejemplo 6 Supongamos que P(t) Cekt es la poblacin de una colonia de bacterias enel tiempo t;

que la poblacin en el tiempo t 0 (horas, h) fue 1000, y sta despus de 1 h se duplica.Esta informacin adicional acerca de P(t) nos lleva a las siguientes ecuaciones:1000 = P(0) = Ce0 = C,2000 = P(1) = Cek .Por lo que C 1000 y ek igual 2, de modo que k ln 2 0.693147. Con este valorde k la ecuacin diferencial (6) esdPdt = (ln 2)P (0.693147)P.Al sustituir k ln 2 y C 1000 en la ecuacin (7) se llega a la solucin particularP(t) = 1000e(ln 2)t = 1000(eln 2)t = 1000 2t (entonces eln 2 2)que satisface las condiciones dadas. Podemos usar esta solucin particular para predecir

futuras poblaciones de la colonia de bacterias. Por ejemplo, despus de hora ymedia (cuando t 1.5) el nmero de bacterias en la poblacin esP(1.5) = 1000 23/2 2828. FIGURA 1.1.2. La ley dedrenado de Torricelli, ecuacin (4),describe el drenado de untanque de agua.Volumen V y1.1 Ecuaciones diferenciales y modelos matemticos 3


23/1771

4 Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer ordenLa condicin P(0) 1000 en el ejemplo 6 se conoce como condicin inicialporque con frecuencia escribimos ecuaciones diferenciales para las cuales t 0 es eltiempo inicial . La figura 1.1.3 muestra diferentes grficas de la forma P(t) Cekt

con k ln 2. Las grficas de la infinidad de soluciones de dP/dt kP de hechollenan completamente el plano de dos dimensiones sin que haya dos que se intersecten.Ms an, la eleccin de cualquier punto P0 en el eje P determina el valor de P(0).Debido a que una solucin pasa exactamente a travs de cada uno de estos puntos,vemos que en este caso la condicin inicial P(0) P0 determina una solucin nicade acuerdo con los datos proporcionados.Modelos matemticosNuestra breve presentacin del crecimiento de la poblacin en los ejemplos 5 y 6ilustra el proceso crucial del modelado matemtico (fi g. 1.1.4), el cual involucra losiguiente:1. La formulacin en trminos matemticos de un problema del mundo real; estoes, la construccin de un modelo matemtico.2. El anlisis o solucin del problema matemtico resultante.3. La interpretacin de los resultados matemticos en el contexto original de lasituacin del mundo real; por ejemplo, respondiendo la pregunta postuladainicialmente.

En el ejemplo de la poblacin, el problema en el mundo real es determinar sunmero en un tiempo futuro. Un modelo matemtico consiste en una lista de variables(P y t) que describen la situacin dada, junto con una o ms ecuaciones querelacionen esas variables (dP/dt kP, P(0) P0) que se conocen o que se asumeque son ciertas. El anlisis matemtico consiste en res olver esas ecuaciones (aqu,para P como una funcin de t). Finalmente, se aplican estos resultados matemticospara tratar de dar una respuesta a la pregunta original en el mundo real.Como un ejemplo de este proceso, pensemos que la primera formulacin delmodelo matemtico consiste en las ecuaciones dP/dt kP, P(0) 1000, que describenla poblacin de bacterias del ejemplo 6. Despus nuestro anlisis matemticoconsiste en encontrar la funcin solucin P(t) 1000e(ln 2)t 1000 2t como nuestroresultado matemtico. Para una interpretacin en trminos del mundo real lapoblacin de bacterias sustituimos t 1.5 para obtener una prediccin de la poblacin

de P(1.5) 2828 bacterias despus de 1.5 horas. Si, por ejemplo, esta poblacincrece bajo condiciones ideales de espacio y alimento ilimitados, nuestra prediccinpuede ser bastante exacta, en cuyo caso concluimos que el modelo matemtico esadecuado para el estudio de esa poblacin particularPor otro lado, podemos darnos cuenta de que no hay una solucin que se ajustede manera precisa a la poblacin real que estamos estudiando. Por ejemplo, no existenvalores de las constantes C y k para las cuales la solucin P(t) Ce kt en la ecua- 0 1 2 3t0

P-2-1-4-2-6-8246


24/1771

8C = 12 C = 6 C = 3C = -6C = 12C = -12C = 1C = -1C = -12 C = -3FIGURA 1.1.4. Proceso del modeladomatemticoSituacin delmundo realModelomatemticoResultadosmatemticosAnlisismatemticoFormulacin InterpretacinFIGURA 1.1.3. Grfi cas deP(t) = Cekt con k = ln 2.


25/1771

1.1 Ecuaciones diferenciales y modelos matemticos 5cin (7) pueda describir con precisin el crecimiento real de la poblacin humana enel mundo en los siglos recientes. Debemos concluir que la ecuacin diferencial dP/dt kP es inadecuada para modelar la poblacin mundial la cual en dcadas recientesse ha estabilizado en comparacin con las grficas de ascenso excesivo que seobservan en la parte superior (P 0) de la figura 1.1.3. Con una mayor perspectiva,podramos formular un nuevo modelo matemtico incluyendo, tal vez, ecuacionesdiferenciales ms complicadas, como algunas que tomen en cuenta factores talescomo la limitacin en los alimentos o el incremento de la poblacin en funcin de lastasas de natalidad y mortalidad. Con este nuevo modelo matemtico podemos hacerel recorrido del diagrama de la figura 1.1.4 en el sentido contrario a las manecillasdel reloj. Si podemos resolver la nueva ecuacin diferencial, obtenemos una nuevafuncin solucin para compararla con la poblacin mundial real. De hecho, un anlisisexitoso de la poblacin puede requerir afinar el modelo matemtico, incluso msall de que ste sea confrontado repetidamente con la realidad.Sin embargo, en el ejemplo 6 simplemente ignoramos cualquier factor de complicacinque pudiera afectar nuestra poblacin de bacterias. Esto hace el anlisismatemtico bastante simple, aunque quiz no tan apegado a la realidad. Un modelomatemtico satisfactorio est sujeto a dos requerimientos contradictorios: debe ser

suficientemente detallado para representar con relativa exactitud la situacin real,tambin suficientemente simple para hacer prctico el anlisis matemtico. Si el modeloes muy detallado, de tal manera que representa por completo la situacin fsica,entonces el anlisis matemtico puede ser difcil de aplicar. Si, por el contrario, el modelo es muy simple, los resultados pueden ser tan imprecisos que no seran tiles. De este modo, hay una inevitable necesidad de equilibrar entre lo fsicamente alcanzabley lo matemticamente posible. La construccin de un modelo debe cubrir demanera adecuada este resquicio entre la realidad y lo posible, el paso ms difcil y

delicado en el proceso. Por otra parte, deben encontrarse los caminos para simplificarel modelo matemticamente sin sacrificar rasgos esenciales de la realidad.A lo largo de este libro se presentan modelos matemticos. Lo que resta de estaseccin introductoria est dedicado a ejemplos simples y terminologa comnmenteusada en la presentacin de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones.Ejemplos y terminologaSi C es una constante y y(x) 1/(C x), entoncesdydx =1(C - x)2 = y2si x Z C. Entonces

y(x) =1C - x(8)defi ne una solucin de la ecuacin diferencialdydx = y2(9)en cualquier intervalo de nmeros reales que no contenga el punto x C. En realidad,


26/1771

la ecuacin (8) defi ne una familia de soluciones de un parmetro de dy/dx y2, unapara cada valor de la constante arbitraria o parmetro C. Con C 1 obtenemos lasolucin particulary(x) =11 - xque satisface la condicin inicial y(0) 1. Como se indica en la fi gura 1.1.5, esta solucines continua en un intervalo ( q, 1), pero tiene una asntota vertical en x 1. Ejemplo 7


27/1771

6 Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer ordenVerifi car que la funcin y(x) 2x1/2 x1/2 ln x satisface la ecuacin diferencial4x2 y + y = 0 (10)para toda x 0.Solucin Primero calculamos las derivadasy (x) = -12x-1/2 ln x y y (x) = 14x-3/2 ln x - 12x-3/2.Entonces la sustitucin en la ecuacin (10) nos lleva a4x2 y + y = 4x2 14x-3/2 ln x - 12x-3/2 + 2x1/2 - x1/2 ln x = 0si x es positiva, por lo que la ecuacin diferencial se satisface para toda x 0. El hecho de que podamos escribir una ecuacin diferencial no es suficientepara garantizar que sta tenga solucin. Por ejemplo, es claro que la ecuacin diferencial(y )2 + y2 = -1 (11)no tiene solucin (en valores reales), porque la suma de nmeros no negativos nopuede ser negativa. Como una variacin en este tema, ntese que la ecuacin(y )2 + y2 = 0 (12)obviamente slo tiene la solucin (en valores reales) y(x) K 0. En los ejemplos anteriores

cualquier ecuacin diferencial tena al menos una solucin, de hecho tenainfi nidad de soluciones.El orden de una ecuacin diferencial es el orden de la derivada ms alta queaparece en ella. La ecuacin diferencial del ejemplo 8 es de segundo orden; las de losejemplos 2 al 7 son ecuaciones de primer orden, yy(4) + x2y(3) + x 5y = sen xes una ecuacin de cuarto orden. La forma general de la mayora de las ecuacionesdiferenciales de orden n con variable independiente x y funcin desconocida o variabledependiente y y(x) esF x, y, y , y , . . . , y(n) = 0, (13)donde F es una funcin de valores reales especfi ca de n 2 variables.

El uso de la palabra solucin ha sido hasta ahora informal. Para ser precisos,decimos que la funcin continua u u(x) es una solucin de la ecuacin diferencial(13) en el intervalo I siempre que las derivadas u, u, , u(n) existan en I yF x, u, u , u , . . . , u(n) = 0para toda x en I. De una manera concisa, podemos decir que u u(x) satisface laecuacin diferencial (13) en I.Nota. Recurdese, del clculo elemental, que una funcin derivable en unintervalo abierto es necesariamente continua dentro de l. Por eso una funcin continuapuede calificar slo como una solucin (derivable) de la ecuacin diferencial enun intervalo. Ejemplo 8


28/1771

1.1 Ecuaciones diferenciales y modelos matemticos 7La fi gura 1.1.5 muestra las dos ramas conectadas de la grfi ca y 1/(1 x). Larama del lado izquierdo es la grfi ca de una solucin (continua) de la ecuacin diferencialy y2, que se defi ne en el intervalo ( 1, q). La rama del lado derecho es lagrfi ca de una solucin diferente de la ecuacin diferencial que est defi nida (y escontinua) en otro intervalo diferente (1, q). As, la simple frmula y(x) 1/(1 x) determinarealmente dos soluciones diferentes (con diferente dominio de defi nicin) dela misma ecuacin diferencial y y2. Si A y B son constantes yy(x) = Acos 3x + B sen 3x (14)entonces dos derivaciones sucesivas nos llevan ay (x)= -3Asen 3x + 3Bcos 3x,y (x)= -9Acos 3x - 9B sen 3x = -9y(x)para toda x. Consecuentemente, la ecuacin (14) defi ne lo que naturalmente llamamosuna familia biparamtrica de soluciones de la ecuacin diferencial de segundoordeny + 9y = 0 (15)en toda la recta de nmeros reales. La fi gura 1.1.6 muestra las grfi cas de varias deestas soluciones.

Aunque las ecuaciones diferenciales (11) y (12) son excepciones a la reglageneral, veremos que una ecuacin diferencial de orden n comnmente tiene unafamilia de soluciones de n parmetros cada una involucra n constantes o parmetrosarbitrarios .Tanto en la ecuacin (11) como en la (12) la forma en que aparece y, como unafuncin implcitamente definida, causa complicaciones. Por esta razn, normalmentese asumir que cualquier ecuacin diferencial puede resolverse en forma explcitapara la derivada de mayor orden que aparezca; esto es, que la ecuacin pueda serescrita en la conocida forma normalqy(n) = G x, y, y , y , . . . , y(n-1) , (16)donde G es una funcin de valores reales de n 1 variables. Adems, siempre sebuscarn estos valores, a menos que se advierta al lector lo contrario.

Todas las ecuaciones diferenciales antes mencionadas son ecuaciones diferencialesordinarias, lo que significa que la funcin desconocida (variable dependiente)depende de una sola variable independiente. Si la variable dependiente es unafuncin de dos o ms variables independientes, entonces aparecern derivadas parciales;si es as, la ecuacin se llama ecuacin diferencial parcial. Por ejemplo, latemperatura u u(x, t) de una barra uniforme en el punto x en el tiempo t satisface(bajo condiciones apropiadas) la ecuacin diferencial parcial.u.t = k.2u

.x2 ,donde k es una constante (llamada la difusividad trmica de la barra). En los captulos1 al 8 slo se abordarn ecuaciones diferenciales ordinarias y nos referiremos aellas simplemente como ecuaciones diferenciales.En este captulo nos concentraremos en las ecuaciones diferenciales de primerorden de la formadydx = f (x, y). (17)Ejemplo 8


29/1771

Ejemplo 90 505(0, 1)xy-5-5y = 1/(1 - x)x = 1FIGURA 1.1.5. Solucin dey y2 defi niday(x) 1/(1 x).0 305xy-5-3y1y2y3

FIGURA 1.1.6. Las tres solucionesy1(x) 3 cos 3x, y2(x) 2 sen 3x yy3(x) 3 cos 3x 2 sen 3x de laecuacin diferencialy 9y 0.Continuacin


30/1771

8 Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer ordenTambin expondremos un amplio rango de aplicaciones de estas ecuaciones. Cabesealar que un modelo matemtico tpico aplicado a una situacin real ser un problemade valor inicial, que consiste en una ecuacin diferencial de la forma presentadaen (17), aunado a con una condicin inicial y(x0) y0. Ntese que llamamos ay(x0) y0 una condicin inicial, sea o no x0 0. As, resolver el problema de valorinicial.dydx = f (x, y), y(x0) = y0 (18)signifi ca encontrar una funcin derivable y y(x) que satisfaga ambas condicionesde la ecuacin (18) en algn intervalo que contenga x0.Dada la solucin y(x) 1/(C x) de la ecuacin diferencial dy/dx y2 presentadaen el ejemplo 7, resolver el problema de valor inicialdydx = y2, y(1) = 2.Solucin Slo necesitamos encontrar un valor de C tal que la solucin y(x) 1/(C x) satisfagala condicin inicial y(1) 2. Sustituyendo los valores x 1 y y 2 en la solucindada, obtenemos2 = y(1) =1C - 1

,as, 2C 2 1, y por tanto C = 32 . Con este valor de C se obtiene la solucindeseaday(x) =132- x =23 - 2x.La fi gura 1.1.7 muestra las dos ramas de la grfi ca y 2/(3 2x). La rama del lado

izquierdo es la grfi ca en (-q, 3)2de la solucin del problema de valor inicialdado y y2, y(1) 2. La del lado derecho pasa a travs del punto (2, 2) y es portanto la grfi ca en (3 , )2 q de la solucin de otro problema de valor inicial defi nidocomo y y2, y(2) 2. La pregunta central de mayor inters es: si nos dan una ecuacin diferencialsabiendo que tiene una solucin que satisface una condicin inicial dada, cmoencontrar o calcular esa solucin? Y, una vez encontrada, qu podemos hacer conella? Veremos que, pocas tcnicas relativamente simples separacin de variables(seccin 1.4), solucin de ecuaciones lineales (seccin 1.5), mtodos elementales desustitucin (seccin 1.6) son suficientes para resolver una variedad de ecuaciones

de primer orden con aplicaciones impresionantes.1.1 ProblemasEn los problemas 1 al 12 verifi car, por sustitucin, que cadauna de las funciones dadas es una solucin de la ecuacin diferencialdada. En estos problemas, las primas signifi can laderivada respecto de x.1. y = 3x2; y = x3 + 72. y + 2y = 0; y = 3e- 2x3. y + 4y = 0; y1 = cos 2x, y2 = sen 2x4. y = 9y; y1 = e 3x, y2 = e- 3x


31/1771

5. y = y + 2e - x; y = ex - e- x6. y + 4y + 4y = 0; y1 = e- 2x, y2 = xe- 2x7. y - 2y + 2y = 0; y1 = ex cos x, y2 = ex sen x8. y + y = 3 cos 2x, y1 = cos x- cos 2x, y2 = senx- cos 2x9. y + 2xy 2 = 0; y =11 + x210. x 2y + xy - y = ln x; y1 = x- lnx, y2 =1x- lnxEjemplo 10(1, 2)(2, -2)0 505xy-5-5y = 2/(3 - 2x)x = 3/2FIGURA 1.1.7. Solucin de

y y2 defi nida pory(x) 2/(3 2x).


32/1771

1.1 Ecuaciones diferenciales y modelos matemticos 911. x2y + 5xy + 4y = 0; y1 =1x2 , y2 =ln xx212. x2y - xy + 2y = 0; y1 = x cos(ln x), y2 = x sen(ln x)En los problemas 13 al 16 sustituir y erx dentro de la ecuacindiferencial dada para determinar todos los valores de la constanter, para los cuales y erx es una solucin de la ecuacin.13. 3y = 2y 14. 4y = y15. y + y - 2y = 0 16. 3y + 3y - 4y = 0En los problemas 17 al 26 verifi car primero que y(x) satisfacela ecuacin diferencial dada. Despus determinar un valorde la constante C, tal que y(x) satisfaga la condicin inicialdada. Usar una computadora o calculadora grfi ca (si se desea)para trazar varias soluciones de la ecuacin diferencialdada, y destacar la que satisfaga la condicin inicial.17. y + y = 0; y(x) = Ce - x, y(0) = 218. y = 2y; y(x) = Ce 2x, y(0) = 319. y = y + 1; y(x) = Ce x - 1, y(0) = 520. y = x - y; y(x) = Ce - x + x- 1, y(0) = 1021. y + 3x2y = 0; y(x) = Ce - x3 , y(0) = 7

22. eyy = 1; y(x) = ln(x + C), y(0) = 023. xdydx+ 3y = 2x5; y(x) = 14 x5 + Cx- 3, y(2) = 124. xy - 3y = x3; y(x) = x3(C + ln x), y(1) = 1725. y = 3x2(y2 + 1); y(x) = tan(x3 + C), y((0))= 126. y + y tan x = cos x; y(x) = (x + C) cos x, y p = 0

En los problemas 27 al 31 una funcin y g(x) se describe poralguna propiedad geomtrica de su grfi ca. Escriba una ecuacindiferencial de la forma dy/dx f(x, y) que tenga lafuncin g como su solucin (o como una de sus soluciones).27. La pendiente de la grfi ca de g en el punto (x, y) es lasuma de x y y.28. La lnea tangente a la grfi ca de g en el punto (x, y) cortael eje de las x en el punto (x/2, 0).29. Toda lnea recta normal a la grfi ca de g pasa a travs delpunto (0, 1). Proponga: cmo sera la grfi ca de la funcing?30. La grfi ca de g es normal a toda curva de la forma y x2 k (siendo k constante) en el punto donde se encuentran.

31. La lnea tangente a la grfi ca de g en (x, y) pasa a travsdel punto ( y, x).En los problemas 32 al 36 escribir en la forma de las ecuaciones(3) a la (6) de esta seccin una ecuacin diferencialque sea un modelo matemtico de la situacin descrita.32. La razn de cambio respecto del tiempo de una poblacinP es proporcional a la raz cuadrada de P.33. La razn de cambio respecto del tiempo de la velocidad vde un barco costero es proporcional al cuadrado v.34. La aceleracin dv/dt de un Lamborghini es proporcional


33/1771

a la diferencia entre 250 km/h y la velocidad del automvil.35. En una ciudad con una poblacin fi ja de P personas, larazn de cambio respecto del tiempo de un nmero N depersonas que han escuchado cierto rumor es proporcionalal nmero de ellas que an no lo han escuchado.36. En una ciudad con una poblacin fi ja de P personas, larazn de cambio respecto del tiempo de un nmero N depersonas infectadas con cierta enfermedad contagiosa esproporcional al producto del nmero de aquellas que tienenla enfermedad y al nmero de las que no la tienen.En los problemas 37 al 42 determinar por inspeccin al menosuna solucin de la ecuacin diferencial dada. Esto es, aplicarel conocimiento sobre derivadas para hacer una suposicininteligente, y posteriormente probar su hiptesis.37. y = 0 38. y = y39. xy + y = 3x2 40. (y )2 + y2 = 141. y + y = ex 42. y + y = 043. (a) Si k es una constante, mostrar que una solucin general(de un parmetro) de la ecuacin diferencialdxdt = kx2est dada por x(t) 1/(C kt), donde C es unaconstante arbitraria.(b) Determinar por inspeccin una solucin del problema

de valor x kx2, x(0) 0.44. (a) Continuando con el problema 43, asumir que k es positivay disear grfi cas de soluciones de x kx2 paravarios valores positivos de x(0).(b) Cmo difi eren estas soluciones si la constante k esnegativa?45. Considrese que una poblacin de P roedores satisface laecuacin diferencial dP/dt kP2. Inicialmente, hay P(0) 2 roedores, y su nmero se va incrementando a razn dedP/dt 1 roedores por mes cuando hay P 10 individuos.Cunto tiempo tomar a esta poblacin crecer a un cientode roedores? A un millar? Qu est sucediendo aqu?46. Supngase que la velocidad v de un barco costero en el

agua satisface la ecuacin diferencial dv/dt kv2. La velocidadinicial de la embarcacin es v(0) 10 metros/segundo (m/s), y v disminuye a razn de 1 m/s2 cuandov 5 m/s. Cunto tiempo transcurrir para que la velocidaddel barco disminuya a 1 m/s? A 110 m/s? Cundose detiene el barco?47. En el ejemplo 7 vimos que y(x) 1/(C x) defi ne unafamilia monoparamtrica de soluciones de la ecuacindiferencial dy/dx y2. (a) Determinar un valor de C talque y(10) 10. (b) Existe un valor de C tal que y(0) 0?No obstante, por inspeccin, se puede encontrar unasolucin de dy/dx y2 tal que y(0) 0? (c) La fi gura

1.1.8 muestra las grfi cas de las soluciones de la formay(x) 1/(C x) Estas curvas solucin llenan todo elplano x, y? Se podra concluir que, dado cualquier punto(a, b) en el plano, la ecuacin diferencial dy/dx y2tiene exactamente una solucin y(x) que satisface la condiciny(a) b?


34/1771

10 Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden1.2 Integrales como soluciones generales y particularesLa ecuacin de primer orden dy/dx f(x, y) toma una forma especialmente simplesi el lado derecho de la funcin f no involucra en realidad a la variable dependientey; as,.dydx = f (x). (1)En este caso especial slo se necesita integrar ambos lados de la ecuacin (1) paraobtener. y(x) = f (x) dx + C. (2)Esta es una solucin general de la ecuacin (1), lo que signifi ca que involucra una constante arbitraria C, y cada seleccin de C es una solucin de la ecuacin diferencialen (1). Si G(x) es una antiderivada particular de f esto es, si G(x) K f(x) ,entoncesy(x) = G(x) + C. (3)Las grficas de cualesquiera de estas dos soluciones y1(x) G(x) C1 y y2(x) G(x) C2 en el mismo intervalo I son paralelas en el sentido ilustrado por lasfiguras 1.2.1 y 1.2.2, donde vemos que la constante C es geomtricamente la distancia

vertical entre las dos curvas y(x) G(x) y y(x) G(x) C.Para satisfacer una condicin inicial y(x0) y0 slo es necesario sustituir x x0y y y0 en la ecuacin (3) a fin de obtener y0 G(x0) C, tal que C y0 G(x0).Con esta eleccin de C se obtiene la solucin particular de la ecuacin (1) que satisfaceel problema de valor inicial..dydx = f (x), y(x0) = y0.0 1 2 3x0y

-1-2 -1-2-3-3123C = -2 C = 0 C = 1 C = 3C = 4C = - 4C = 2C = -3 C = -2 C = -1 C = 0 C = 1 C = 2

C = -1FIGURA 1.1.8. Grfi cas de las soluciones de laecuacin dy/dx y2.48. (a) Mostrar que y(x) Cx4 defi ne una familia monoparamtricade soluciones derivables de la ecuacin diferencialxy 4y (fi g. 1.1.9). (b) Mostrar quey(x) - x4 si x 0x4 si x 00 1 2 3 4 5


35/1771

xy-5 - 4 -3 -2 -1100806040200- 100- 80- 60- 40- 20FIGURA 1.1.9. Grfi ca de y Cx4 para diferentesvalores de C.defi ne una solucin derivable de yx x4 para toda x, perono es de la formay(x) Cx4. (c) Dados dos nmeros realescualesquiera a y b, explicar por qu en contraste conlo propuesto en el inciso (c) del problema 47 existe unnmero infi nito de soluciones derivables xy 4y que satisfacentodas las condiciones y(a) b.


36/1771

Veremos que ste es el patrn comn para la solucin de ecuaciones diferencialesde primer orden. Regularmente se encuentra primero una solucin general queinvolucra una constante arbitraria C. Tambin se puede intentar obtener, para algunaeleccin apropiada de C, una solucin particular que satisfaga la condicin inicialy(x0) y0 dada.Nota. De la forma en que se emplea el trmino en el prrafo anterior, unasolucin general de una ecuacin diferencial de primer orden es simplemente una familiamonoparamtrica de soluciones. Una pregunta natural es: cundo una solucingeneral contiene cualquier solucin particular de la ecuacin diferencial? Cuandose sabe que esto es verdad, la llamamos la solucin general de la ecuacin diferencial.Por ejemplo, debido a que cualesquiera dos antiderivadas de la misma funcinf(x) pueden diferir slo por una constante, se concluye entonces que toda solucin dela ecuacin (1) es de la forma (2). As, la ecuacin (2) sirve para definir la solucingeneral de (1). Ejemplo 1 Resolver el problema de valor inicialdydx = 2x + 3, y(1) = 2.Solucin Al integrar ambos lados de la ecuacin diferencial como en la ecuacin (2), inmediatamente

se llega a la solucin generaly(x) = (2x + 3) dx = x2 + 3x + C.La fi gura 1.2.3 muestra la grfi ca de y x2 3x C para diferentes valores de C.La solucin particular que se busca corresponde a la curva que pasa a travs del punto(1, 2) satisfaciendo por tanto la condicin inicialy(1) = (1)2 + 3 (1) + C = 2.Se concluye entonces que C 2, por lo que la solucin particular esy(x) = x2 + 3x - 2. FIGURA 1.2.1. Grfi cas dey 14x2 C para diferentes

valores de C.0 1 2 3 4xy- 4 -3 -2 -143210-1-2-3

- 4C = -1C = -2C = 3C = 2C = 1C = 0C = -3FIGURA 1.2.2. Grfi cas dey sen x C para diferentes


37/1771

valores de C.x0 2 4 60y-2-4 -2-4-6-6246C = - 4C = - 2C = 0C = 2C = 4-2 0 2 4xy-2-10-4

-4-6-6-8420C = -6C = -4C = -2C = 0C = 2FIGURA 1.2.3. Curvas solucin

de la ecuacin diferencial delejemplo 1.1.2 Integrales como soluciones generales y particulares 11


38/1771

12 Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer ordenEcuaciones de segundo orden. La observacin de que la ecuacin especial deprimer orden dy/dx f(x) tiene solucin (dado que se puede encontrar una antiderivadade f) se extiende a las ecuaciones diferenciales de segundo orden de la formaespeciald2 ydx2 = g(x), (4)en la cual la funcin g del lado derecho de la ecuacin no involucra ni la variabledependiente y ni tampoco su derivada dy/dx. Simplemente se integra una vez paraobtenerdydx = y (x) dx = g(x) dx = G(x) + C1,donde G es una antiderivada de g, y C1 es una constante arbitraria. Entonces una nueva integracin nos lleva ay(x) = y (x) dx = [G(x) + C1] dx = G(x) dx + C1x + C2,donde C2 es una segunda constante arbitraria. En efecto, la ecuacin diferencial desegundo orden en (4) se puede obtener resolviendo sucesivamente las ecuacionesde primer ordendvdx = g(x) y

dydx = v(x).Velocidad y aceleracinUna integracin directa es sufi ciente para permitirnos resolver un importante nmerode problemas relativos al movimiento de una partcula (o punto masa) en trminos delas fuerzas que actan sobre ella. El movimiento de una partcula a lo largo de unalnea recta (el eje x) es descrito por su funcin posicinx = f (t) (5)conociendo su coordenada en el eje x para el t. La velocidad de la partcula se defi necomo. v(t) = f (t); esto es, v =

dxdt. (6)Su aceleracin a(t) es a(t) v(t) x(t); en notacin Leibniz,. a =dvdt =d2xdt2 . (7)La ecuacin (6) puede aplicarse en forma de integral indefinida x(t) . v(t)dto en forma de integral definidax(t) = x(t0) + tt0

v(s) ds,la cual se reconocer como un postulado del teorema fundamental de clculo (precisamenteporque dx/dy v).


39/1771

La segunda ley de movimiento de Newton dice que si una fuerza F(t) acta enuna partcula y sta la dirige a lo largo de su lnea de movimiento, entoncesma(t) = F(t); esto es, F = ma,(8)donde m es la masa de la partcula. Si se conoce la fuerza F, entonces la ecuacinx(t) F(t)/m se puede integrar dos veces para encontrar la funcin posicin x(t) entrminos de sus dos constantes de integracin. Estas dos constantes arbitrarias sonfrecuentemente determinadas por la posicin inicial x0 x(0) y la velocidad inicial v0 v(0) de la partcula.Aceleracin constante. Por ejemplo, supngase que la fuerza F, y por tanto laaceleracin a F/m, son constantes. Entonces iniciamos con la ecuacindvdt = a (a es una consonante) (9)e integrando ambos lados de la ecuacin, se obtienev(t) = a dt = at + C1.Se sabe que v v0 cuando t 0, y la sustitucin de esta informacin dentro de laecuacin anterior nos lleva al hecho de que C1 v0. Asv(t) =dxdt = at + v0. (10)Una segunda integracin da como resultadox(t) = v(t) dt = (at + v0) dt = 12

at2 + v0t + C2,y la sustitucin de t 0, x x0 hace que C2 x0. Por tanto,x(t) = 12at2 + v0t + x0. (11)De este modo, con la ecuacin (10) es posible encontrar la velocidad, y con laecuacin (11) la posicin de la partcula en cualquier tiempo t en trminos de suaceleracin constante a su velocidad inicial v0 y su posicin inicial x0.Ejemplo 2 Una nave lunar est cayendo libremente en la superfi cie de la Luna a una velocidadde 450 metros por segundo (m/s). Cuando se activan sus retropropulsores, se lograuna desaceleracin constante de 2.5 metros por segundo en cada segundo (m/s2) (seasume que la aceleracin gravitacional producida por la Luna est incluida en la

desaceleracin dada). A qu altura, por encima de la superfi cie lunar, debern activarsesus retropropulsores para asegurar un alunizaje suave (v 0 impacto)?1.2 Integrales como soluciones generales y particulares 13


40/1771

14 Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer ordenSolucin Sea x(t) la altura de la nave lunar encima de la superfi cie, como se indica en la fi gura1.2.4, donde t 0 denota el tiempo en el cual los retropropulsores deben serencendidos. Entonces v0 450 (m/s negativo debido a que la altura x(t) est disminuyendo),y a 2.5, porque un empuje hacia arriba aumenta la velocidad v(aunque decrece la velocidad absoluta oevoe). Entonces las ecuaciones (10) y (11) nosllevan av(t) = 2.5t - 450 (12)yx(t) = 1.25t2 - 450t + x0, (13)donde x0 es la altura de la nave por encima de la superfi cie lunar en el tiempo t 0cuando los retropropulsores deben ser activados.A partir de la ecuacin (12) se observa que v (0) (alunizaje suave) ocurrecuando t 450/2.5 180 s (esto es, 3 minutos); entonces la sustitucin de t 180,x 0 dentro de la ecuacin (13) admite quex0 = 0 - (1.25)(180)2 + 450(180) = 40,500metros, esto es, que x0 40.5 km 25 16 millas . Por tanto, los retropropulsoresdebern activarse cuando la nave est a 40.5 km por encima de la superfi cie de la

Luna, y sta deber tocar suavemente la superfi cie lunar despus de 3 minutos dedescenso desacelerado. Unidades fsicasEl trabajo numrico requiere unidades para la medicin de cantidades fsicas como ladistancia y el tiempo. Algunas veces se utilizan unidades ad hoc tales como distanciaen millas o en kilmetros, y el tiempo en horas en casos especiales (comoen algn problema que involucre un viaje en auto). Sin embargo, los sistemas deunidades fps (pie-libra-segundo, por sus siglas en ingls) y mks (metro-kilogramosegundo)generalmente se usan ms en problemas cientfi cos y de ingeniera. Dehecho, las unidades fps son comnmente utilizadas slo en Estados Unidos (y enalgunos cuantos pases), mientras que las unidades mks constituyen el sistema inte

rnacionalde unidades cientfi cas estndar.unidades fps unidades mksFuerzaMasaDistanciaTiempoglibra (lb)slugpie (ft)segundo (s)32 ft/s2

newton (N)kilogramo (kg)metro (m)segundo (s)9.8 m/s2La ltima lnea de la tabla proporciona los valores para la aceleracin gravitacionalg en la superficie de la Tierra. Aunque estos valores aproximados sern suficientespara la mayora de ejemplos y problemas, valores ms precisos son 9.7805 m/s2 y32.088 ft/s2 (a nivel del mar y en el Ecuador).


41/1771

Ambos sistemas son compatibles con la segunda ley de Newton F ma. As,1 N es (por definicin) la fuerza requerida para transmitir una aceleracin de 1 m/s2a una masa de un kilogramo. De manera similar, 1 slug es (por definicin) la masaque experimenta una aceleracin de 1 ft/s2 bajo la accin de la fuerza de una libra. (Se utilizarn unidades mks en todos los problemas que requieran unidades de masay muy ocasionalmente slugs.)FIGURA 1.2.4. Nave lunar delejemplo 2.Superficie lunara v


42/1771

Pulgadas y centmetros (as como millas y kilmetros) tambin son comnmenteusados en la descripcin de distancias. Para conversiones de unidades entrefps y mks conviene recordar que1 pulgada 2.54 cm (exactamente) y 1 libra (lb) 4.448 N.Por ejemplo,1 ft 12 pulgadas 2.54 cmpulgadas 30.48 cm,y por tanto1 milla (mi) 5280 ft 30.48 cmft 160934.4 cm 1.609 km.Por tanto, una seal de lmite de velocidad en Estados Unidos de 50 mi/h signifi caen trminos internacionales que el mximo de velocidad legal es ms o menos

de 50 1.609 80.45 km/h.Movimiento vertical y aceleracin gravitacionalEl peso W de un cuerpo es la fuerza de la gravedad ejercida sobre el cuerpo. As,lasustitucin de a g y F W en la segunda ley de Newton F ma resulta enW = mg (14)para el peso W de la masa m en la superfi cie de la Tierra (donde g 32 ft/s2 9.8 m/s2). Por ejemplo, una masa de m 20 kg tiene un peso de W=(20 kg)(9.8 m/s2)

= 196 N. De forma anloga, una masa m pesando 100 libras tiene un peso en el sistemamks deW = (100 lb)(4.448 N/lb) = 444.8 N,de tal manera que su masa esm =Wg =444.8 N9.8 m/s2 45.4 kg.Para estudiar el movimiento vertical es natural escoger el eje y como el sistema coordenado para posicin, donde frecuentemente y 0 corresponde al nivel del

piso . Si se selecciona la direccin hacia arriba como positiva, entonces el efectodela gravedad en un movimiento vertical del cuerpo es para disminuir su altura y tambinsu velocidad v dy/dt. En consecuencia, si se ignora la resistencia del aire,entonces la aceleracin a dv/dt del cuerpo est dada por.dvdt = -g. (15)Esta ecuacin de aceleracin proporciona un punto de inicio en muchos problemasque involucran un movimiento vertical. Integraciones sucesivas [como en las ecuaciones(10) y (11)] nos llevan a frmulas de velocidad y de altura

v(t) = -gt + v0 (16)yy(t) = -12gt2 + v0t + y0. (17)Aqu y0 representa la altura inicial del cuerpo (t 0) y v0 su velocidad inicial.1.2 Integrales como soluciones generales y particulares 15


43/1771

16 Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer ordenEjemplo 3 (a) Supngase que una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el piso (y0 0)con una velocidad inicial v0 96 (ft/s, por tanto usamos g 32 ft/s2 en unidades fps).La pelota alcanza su altura mxima cuando su velocidad [ecuacin (16)] es cero.v(t) = -32t + 96 = 0,y de este modo, cuando t 3 s. En consecuencia, la altura mxima que alcanza lapelota esy(3) = -12 32 32 + 96 3 + 0 = 144 (ft)[con ayuda de la ecuacin (17)](b) Si se dispara una fl echa en lnea recta hacia arriba con una velocidad inicial v0 49 (m/s, por tanto usamos g 9.8 m/s2 en unidades mks), entonces sta regresa alpiso cuandoy(t) = -12 (9.8)t2 + 49t = (4.9)t (-t + 10) = 0,despus de 10 s de permanecer en el aire. Problema del nadadorLa fi gura 1.2.5 muestra un ro de w 2a de ancho que fl uye hacia el norte. Lasrectas x a representan las orillas del ro y el eje y su centro. Supngase que la

velocidad vR a la cual el agua fl uye se incrementa conforme se acerca al centro delro, y en realidad est dada en trminos de la distancia x desde el centro porvR = v0 1 -x2a2. (18)Se puede utilizar la ecuacin (18) para verifi car que el agua fl uye ms rpido en el centro, donde vR v0, y que vR 0 en cada orilla del ro.Supngase que un nadador inicia en el punto ( a, 0) de la orilla oeste y nadahacia el este (en relacin con el agua) con una velocidad constante vS. Como se indica

en la figura 1.2.5, su vector de velocidad (relativo al cauce del ro) tiene unacomponente horizontal vS y una componente vertical vR. En consecuencia, el ngulode direccin a del nadador est dado portan a =vRvS.Sustituyendo en (18), debido a que tan a dy/dx, se obtiene la ecuacin diferencial dydx =v0vS 1 -

x2a2(19)

para la trayectoria del nadador y y(x) conforme ste cruza el ro.Ejemplo 4 Supngase que el ro tiene 1 mi de ancho y la velocidad en su parte central v0 9 mi/h.Si la velocidad del nadador es vS 3 mi/h, entonces la ecuacin (19) toma la formadydx = 3(1 - 4x2).La integracin resulta en


44/1771

y(x) = (3 - 12x2) dx = 3x - 4x3 + Ceje xeje y( a, 0) (a, 0)vRvSvSvRaFIGURA 1.2.5. Problema delnadador (ejemplo 4).


45/1771

para la trayectoria del nadador. La condicin inicial y(- 1) =2 0 hace que C 1, y asy(x) = 3x - 4x3 + 1.Entoncesy 12 = 3 12 - 4 12 3 + 1 = 2,as que el nadador es llevado por la corriente 2 mi abajo, mientras que l nada 1 mi alo largo del ro. 1.2 ProblemasEn los problemas 1 al 10 encuentre la funcin y f(x) quesatisfaga la ecuacin diferencial dada y la condicin inicialprescrita.1.dydx = 2x + 1; y(0) = 32.dydx = (x - 2)2; y(2) = 13.dy

dx = vx; y(4) = 04.dydx =1x2 ; y(1) = 55.dydx =1vx + 2; y(2) = -16.

dydx = xvx2 + 9; y(-4) = 07.dydx =10x2 + 1; y(0) = 0 8.dydx = cos 2x; y(0) = 19.dydx =

1v1 - x2; y(0) = 0 10.dydx = xe-x ; y(0) = 1En los problemas 11 al 18, encuentre la funcin de posicinx(t) de una partcula movindose con una aceleracin dadaa(t); considere como posicin inicial x0 x(0), y como velocidadinicial v0 v(0).11. a(t) = 50, v0 = 10, x0 = 20


46/1771

12. a(t) = - 20, v0 = -15, x0 = 513. a(t) = 3t, v0 = 5, x0 = 014. a(t) = 2t + 1, v0 = -7, x0 = 415. a(t) = 4(t + 3)2, v0 = -1, x0 = 116. a(t) =1vt + 4, v0 = -1, x0 = 117. a(t) =1(t + 1)3 , v0 = 0, x0 = 018. a(t) = 50 sen 5t, v0 = -10, x0 = 8En los problemas 19 al 22, una partcula inicia su recorrido enel origen y viaja a lo largo del eje x con una funcin de velocidadv(t) cuya grfi ca se muestra en las fi guras 1.2.6 a la 1.2.9.Trace la grfi ca de la funcin para la posicin que resultantex(t) en el intervalo 0 F t F 10.19.(5, 5)0 2 4 6 8 100246

810tvFIGURA 1.2.6. Grfi ca de la funcinpara la velocidad v(t) del problema 19.20.(5, 5)0 2 4 6 8 100246

810tvFIGURA 1.2.7. Grfi ca de la funcinpara la velocidad v(t) del problema 20.21.(5, 5)0 2 4 6 8 100246

810tvFIGURA 1.2.8. Grfi ca de la funcinpara la velocidad v(t) del problema 21.1.2 Integrales como soluciones generales y particulares 17


47/1771

18 Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden22.(3, 5) (7, 5)0 2 4 6 8 100246810tvFIGURA 1.2.9. Grfi ca de la funcinpara la velocidad v(t) del problema 22.23. Cul es la altura mxima obtenida por la fl echa en el inciso(b) del ejemplo 3?24. Se lanza una pelota desde la parte superior de un edifi ciode 400 ft de altura, cunto tiempo le tomar llegar alpiso? Con qu velocidad la pelota golpea el piso?25. Se aplican los frenos a un auto cuando se est moviendo auna velocidad de 100 km/h provocando una desaceleracinconstante de 10 metros por segundo al cuadrado (m/s2).Cunta distancia viaja antes de detenerse?

26. Se dispara un proyectil en lnea recta hacia arriba con unavelocidad inicial de 100 m/s desde la parte superior de unedifi cio de 20 m de altura, y luego cae al piso en la basedel edifi cio. Encontrar (a) su altura mxima en referenciacon el piso; (b) cundo pasa la parte superior del edifi -cio?; (c) su tiempo total en el aire.27. Se lanza una pelota en lnea recta hacia abajo desde laparte superior de un edifi cio alto. La velocidad inicial dela pelota es de 10 m/s. Golpea el piso con una velocidadde 60 m/s, qu tan alto es el edifi cio?28. Se lanza una bola de beisbol en lnea recta hacia abajo conuna velocidad inicial de 40 ft/s desde la parte superior delmonumento a Washington (555 ft de altura). Cunto tarda

la pelota en alcanzar el piso, y con qu velocidad logolpea?29. Un automvil diesel acelera gradualmente, de tal maneraque para los primeros 10 s la aceleracin est dada pordvdt = (0.12)t2 + (0.6)t (ft/s2).si el auto parte de la posicin de reposo (x0 0, v0 0),encontrar la distancia que ha recorrido al fi nal de los primeros10 s y su velocidad en ese tiempo.30. Un auto, viajando a 60 mi/h (88 ft/s), patina 176 ft despusde frenar repentinamente. Bajo la consideracin deque el sistema de frenos proporciona una desaceleracinconstante, cul es esa desaceleracin?, por cunto tiempo

patina el vehculo?31. La marca del patinado dejada por un automvil indicaque sus frenos fueron aplicados completamente a unadistancia de 75 m antes de que se detuviera. Se sabe queel carro en cuestin tiene una desaceleracin constante de20 m/s2 bajo estas condiciones, qu tan rpido enkm/h viajaba el vehculo al momento en que se aplicaronlos frenos?32. Supngase que un auto se mueve a una velocidad de50 km/h, aplica sus frenos y patina 15 m. Considerando


48/1771

que el vehculo tiene una desaceleracin constante, qutan lejos patinar si se mueve a 100 km/h cuando se aplicanlos frenos?33. En el planeta Gzyx una bola lanzada desde una altura de20 ft golpea el piso en 2 s. Si la bola se lanza desde la partems alta de un edifi cio de 200 ft en Gzyx, cunto tiempole tomar golpear el piso?, con qu velocidad lo golpear?34. Una persona puede arrojar una bola en lnea recta haciaarriba desde la superfi cie de la Tierra a una altura mximade 144 ft, qu tan alto podra arrojar esta misma personala bola en el planeta Gzyx del problema 33?35. Se lanza una piedra, desde la posicin de reposo, a unaaltura inicial h arriba de la superficie de la Tierra.Mostrar que la velocidad con la cual golpea el piso esv = v2gh.36. Supngase que una mujer tiene sufi ciente rebote en suspiernas para saltar (en la Tierra) desde el piso hasta unaaltura de 2.25 ft. Si salta en lnea recta hacia arriba con lamisma velocidad inicial en la Luna donde la aceleracingravitacional en la superfi cie es (aproximadamente) de 5.3ft/s2 , qu altura alcanzar esta mujer?37. Al medioda un auto inicia un recorrido en lnea recta conuna aceleracin constante desde el punto de reposo A hastael punto B. Si el vehculo llega al punto B a las 12:50

P.M. con una velocidad de 60 mi/h, cul es la distanciaentre A y B?38. Al medioda un auto inicia un recorrido en lnea recta conuna aceleracin constante desde el punto de reposo A,hasta el punto C, 35 mi adelante. Si el auto, con aceleracinconstante, llega al punto C con una velocidad de 60mi/h, qu tiempo le toma llegar hasta all?39. Si a 0.5 mi y v0 9 mi/h, como en el ejemplo 4, culdebe ser la velocidad del nadador vs para que la corrientelo arrastre slo una milla aguas abajo al cruzar el ro?40. Si a 0.5 mi, v0 9 mi/h y vs 3 mi/h como en elejemplo 4, pero la velocidad del ro est dada por la funcinde cuarto grado

vR = v0 1 -x4a4

en lugar de la funcin cuadrtica en la ecuacin (18). Encuentreahora a qu distancia aguas abajo es llevado elnadador al cruzar el ro.41. Se lanza una granada desde un helicptero suspendido auna altura de 800 ft arriba del piso. Desde el piso, directamentebajo el helicptero, se dispara un proyectil en lnearecta hacia la granada, exactamente 2 s despus de questa fue soltada. Con qu velocidad inicial debe dispararseel proyectil para que alcance la granada a una altitud de

exactamente 400 ft?42. Un vehculo espacial en cada libre hacia la superfi cie dela Luna viaja a una velocidad de 1000 mph(mi/h). Susretropropulsores, cuando arrancan, proporcionan una desaceleracinconstante de 20,000 mi/h2. A qu altura porencima de la superfi cie lunar deben los astronautas arrancarlos retropropulsores para asegurar un contacto suave?(Como en el ejemplo 2, ignorar el campo gravitacional dela Luna).


49/1771

1.3 Isoclinas y curvas solucinConsidere la ecuacin diferencial de la forma.dydx = f (x, y) (1)donde la funcin del lado derecho f(x, y) depende tanto de la variable independiente xcomo de la variable dependiente y. Se Podra pensar en integrar ambos lados de (1) con respecto de x, y por tanto escribir y(x) f(x, y(x))dx C. Sin embargo, esteenfoque no conduce a la solucin de la ecuacin diferencial, porque la integral indicadainvolucra la misma funcin y(x) desconocida; por tanto, no puede ser evaluadaexplcitamente. En realidad no existen procedimientos directos para resolver unaecuacin diferencial general explcitamente. De hecho, las soluciones de una ecuacindiferencial que parece tan simple como y x2 y2 no pueden expresarse entrminos de las funciones elementales ordinarias estudiadas en los libros de texto declculo. Sin embargo, los mtodos grfi cos y numricos que se presentan en estaseccin y en secciones posteriores pueden usarse para obtener soluciones aproximadasde ecuaciones diferenciales que, en la mayora de los casos, son ms que sufi cientes.

Campos de isoclinas y soluciones grfi casExiste un camino geomtrico sencillo para obtener las soluciones de una ecuacindiferencial y f(x, y) dada. En cada punto (x, y) del plano x, y, el valor de f(x, y)determina una pendiente m=f(x, y). Una solucin de una ecuacin diferencial essimplemente una funcin derivable cuya grfi ca y y(x) tiene su pendiente correcta en cada punto (x, y(x)) a travs del cual pasa esto es, y(x) f(x, y(x)) . Por lotanto, una curva solucin de la ecuacin diferencial y f(x, y) la grfi ca de lasolucin de la ecuacin es simplemente una curva en el plano x, y cuya lnea tangenteen cada punto (x, y) tiene pendiente m=f(x, y). Por ejemplo, la fi gura 1.3.1muestra una curva solucin de la ecuacin diferencial y x y junto con su lneatangente en tres puntos tpicos.Esto, desde el punto de vista geomtrico, sugiere un mtodo grfico para obtener

soluciones aproximadas de la ecuacin diferencial y f(x, y). A travs decada grupo representativo de puntos (x, y) en el plano se obtiene un segmento linealcorto que tiene una pendiente propia m=f(x, y). Todos estos segmentos linealesconstituyen un campo de pendientes (o un campo direccional) comnmente llamadoscampos de isoclinas de la ecuacin y f(x, y).Ejemplo 1 Las fi guras 1.3.2(a)-(d) muestran las isoclinas y las curvas solucin de la ecuacindiferencialdydx = ky (2)con valores de k 2, 0.5, 1 y 3 de este parmetro en la ecuacin (2). Obsrveseque cada isoclina nos proporciona una importante informacin cualitativa

43. El viento desde el Sol, de Arthur Clark (1963), describe aDiana, un vehculo espacial impulsado por el viento solar.Su vela aluminizada le proporciona una aceleracin constantede 0.001g 0.0098 m/s2. Supngase que este vehculoespacial inicia su movimiento partiendo del reposoen el tiempo t 0, y simultneamente dispara un proyectil(hacia delante, en lnea recta en la misma direccin)que viaja a un dcimo de la velocidad de la luz c 3108 m/s. Cunto le tomar a la nave espacial alcanzar alproyectil y cunto habr viajado hasta entonces?


50/1771

44. El conductor de un auto involucrado en un accidente sostenaque iba solamente a 25 mph. Cuando la polica probsu vehculo y aplic los frenos del automvil a 25 mph,ste patin slo 45 ft antes de detenerse. Pero las marcasdel patinado medidas en la escena del accidente eran de210 ft. Asumiendo la misma desaceleracin (constante),determinar la velocidad a la que viajaba el conductor antesdel accidente.FIGURA 1.3.1. Curva solucinpara la ecuacin diferencialy x y junto con las lneastangentes con pendiente m1 x1 y1 en el

punto (x1, y1); pendiente m2 x2 y2 en el

punto (x2, y2); pendiente m3 x3 y3 en el

punto (x3, y3).xy(x1, y1)(x2, y2)(x3, y3)1.3 Isoclinas y curvas solucin 19


51/1771

20 Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer ordensobre el conjunto de todas las soluciones de la ecuacin diferencial. Por ejemplo, lasfi guras 1.3.2(a) y (b) sugieren que cada solucin y(x) tiende a q cuando x . qsi k 0, mientras que en las fi guras 1.3.2(c) y (d) sugieren que y(x) . 0 cuando x . q si k 0. Ms an, aunque el signo de k determina la direccin de incremento odecremento de y(x), su valor absoluto oekoe determina la razn de cambio de y(x).Todoesto puede apreciarse en el campo de isoclinas como el de la fi gura 1.3.2 sin conocerque la solucin general de la ecuacin (2) est dada explcitamente por y(x) Cekx.Un campo de isoclinas sugiere visualmente la forma de las curvas solucin dela ecuacin diferencial. A travs de cada punto, una curva solucin debe tender enalguna direccin de tal manera que su lnea tangente sea paralela cercanamente alentorno de segmentos lineales del campo de isoclinas. Comenzando en cualquierpunto inicial (a, b), puede intentar trazarse a mano una curva solucin aproximada que vaya trazando su camino a travs del campo de isoclinas siguiendo los segmentosde lnea visibles tan cerradamente como sea posible.Ejemplo 2 Construir un campo de isoclinas para la ecuacin diferencial y x y, y uti

lizarlopara bosquejar una curva solucin aproximada que pase a travs del punto ( 4, 4).Solucin La fi gura 1.3.3 muestra un conjunto de pendientes para una ecuacin dada.La pendientenumrica m x y aparece en la interseccin del rengln horizontal x y lacolumna vertical y de la tabla. Si se inspecciona el patrn de las diagonales desdela parte superior izquierda hasta la parte inferior derecha de la fi gura, se puede apreciarque fue fcil y rpidamente construida. (Por supuesto, una funcin f(x, y) ms complicadaen el lado derecho de la ecuacin diferencial necesitar clculos ms complejos.0 1 2 3 4

xy- 4 -3 -2 -143210-1-2-3- 4FIGURA 1.3.2(a) Campos de

isoclinas y curvas solucin paray 2y.0 1 2 3 4xy- 4 -3 -2 -14321


52/1771

0-1-2-3- 4FIGURA 1.3.2(b) Campos deisoclinas y curvas solucin paray (0.5)y.0 1 2 3 4xy- 4 -3 -2 -143210-1-2-3- 4FIGURA 1.3.2(c) Campos deisoclinas y curvas solucin paray y.

0 1 2 3 4xy- 4 -3 -2 -143210-1-2-3- 4

FIGURA 1.3.2(d) Campos deisoclinas y curvas solucin paray 3y.


53/1771

La fi gura 1.3.4 muestra el campo de isoclinas correspondiente, y la fi gura 1.3.5, lacurva solucin aproximada trazada para que pase a travs del punto ( 4, 4). De aquse concluye que este campo de isoclinas estar tan cerca como sea posible. En cada punto se observa que la curva tiende en la direccin indicada por los segmentos de lnea del entorno del campo de isoclinas. Aunque el programa en una hoja de clculo (por ejemplo) permite construirrpidamente una tabla de pendientes como la de la figura 1.3.3, el graficar a mano unnmero suficiente de segmentos de pendientes como en la figura 1.3.4 puede resultartedioso. Sin embargo, la mayora de los sistemas de lgebra por computadora cuentacon instrucciones para una rpida construccin del campo de isoclinas con tantossegmentos de lnea como se requieran; estos comandos se ilustran en el material de aplicacin para esta seccin. Cuantas ms lneas de segmentos se construyan, sepodrn visualizar y trazar curvas solucin ms precisas. La figura 1.3.6 muestra uncampo fino de isoclinas para la ecuacin diferencial y x y del ejemplo 2,junto con las curvas solucin trazadas a travs de este campo.Si se observa detalladamente la figura 1.3.6, se puede sealar una curva solucinque parece ser una lnea recta! De hecho, puede verificarse que la funcin

lineal y x 1 es una solucin de la ecuacin y x y, y se observa que otrascurvas solucin tienden asintticamente hacia esa lnea recta en la medida en quex . q. Esta inferencia ilustra el hecho de que un campo de isoclinas puede sugeririnformacin tangible acerca de soluciones, y no todo es evidente desde la ecuacindiferencial misma. Se puede, por el trazo de la curva solucin apropiada enx \ y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8-3 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7-2 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6-1 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -50 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -41 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3

2 6 5 4 3 2 1 0 -1 -23 7 6 5 4 3 2 1 0 -14 8 7 6 5 4 3 2 1 0FIGURA 1.3.3. Valores de la pendiente y x y para 4 F x, y F 4.0 505xy-5-5FIGURA 1.3.4. Campo de isoclinaspara y x y correspondientes a la

tabla de pendientes de la fi gura 1.3.3.0 5012345xy


54/1771

-1-2-3-4-5-5(-4, 4)FIGURA 1.3.5. Curva solucinque pasa a travs de ( 4, 4).0 1 2 3 4x01234y-1-2-3-4-4 -3 -2 -1Figura 1.3.6. Isoclina y curvassolucin tpicas y x y.

1.3 Isoclinas y curvas solucin 21


55/1771

22 Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer ordenesta fi gura, inferir que y(3).2 para la solucin y(x) del problema de valor inicialy x y, y( 4) 4?Aplicaciones de los campos de isoclinasLos siguientes dos ejemplos ilustran el uso de los campos de isoclinas para recuperarinformacin en situaciones fsicas que se modelan por medio de ecuaciones diferenciales.El ejemplo 3 se basa en el hecho de que una pelota de beisbol se mueve en el airea una velocidad moderada v (aproximadamente menor de 300 ft/s) y encuentra ciertaresistencia por el aire, la cual es proporcional aproximadamente a v. Si la pelota selanza en lnea recta hacia abajo desde la parte superior de un edifi cio alto o desde unhelicptero suspendido, entonces experimenta tanto la aceleracin de la gravedad haciaabajo como la aceleracin hacia arriba de la resistencia del aire. Si el eje y esladireccin hacia abajo, entonces la velocidad de la bola v dy/dt y su aceleracingravitacional g 32 ft/s2 son ambas positivas, mientras que la aceleracin debida a

laresistencia del aire es negativa. En consecuencia, la aceleracin total es de la formadvdt = g - kv. (3)Un valor tpico de la resistencia del aire proporcionalmente constante podra serk=0.16.Ejemplo 3 Supngase que se lanza una pelota de beisbol en lnea recta hacia abajo desde unhelicptero suspendido a una altitud de 3000 ft. Nos preguntamos si alguien abajopudiera cacharla. Para estimar la velocidad con la cual la bola llegar a tierra,puedeusarse un sistema de lgebra en una computadora porttil para construir un campo

de isoclinas de la ecuacin diferencialdvdt = 32 - 0.16v. (4)El resultado se muestra en la figura 1.3.7 junto con varias curvas solucin correspondientesa diferentes valores de la velocidad inicial v(0) con las cuales se podralanzar la pelota hacia abajo. Ntese que todas estas curvas solucin tienden asintticamentea la lnea horizontal v 200. Esto implica que como quiera que sealanzada la bola de beisbol se acercar a la velocidad lmite de v 200 ft/s en lugarde acelerar indefinidamente (como sera en ausencia de la resistencia del aire). Convirtiendoel resultado a millas por hora, 60 mi/h 88 ft/s, resulta

v = 200fts 60 mi/h88 ft/s 136.36mih.Tal vez un catcher acostumbrado a bolas rpidas de 100 mi/h podra tener algunaoportunidad de capturar esta pelota.


56/1771

Comentario. Si la velocidad inicial de la bola es de v(0) 200, entonces,por la ecuacin (4), tenemos que v(0) 32 (0.16)(200) 0, de tal forma quela bola no experimenta aceleracin inicial. Por tanto, su velocidad permanece sincambio, y entonces v(t) K 200 es una solucin de equilibrio constante de la ecuacindiferencial. Si la velocidad inicial es mayor a 200, entonces la aceleracin inicialdada por la ecuacin (4) es negativa; as la bola baja lentamente al caer. Pero sila velocidad inicial es menor a 200, entonces la aceleracin inicial dada por (4)espositiva, de tal manera que la velocidad de la bola aumenta conforme va cayendo. Por eso parece bastante razonable que, debido a la resistencia del aire, la pelota debeisbol se acercar a la velocidad lmite de 200 ft/s sin importar la velocidad inicialcon la que comience . Puede verificarse que, en ausencia de la resistencia delaire, esta misma bola golpeara en el piso a ms de 300 mi/h. 0 5 10 15 20 250100200300400t

vFIGURA 1.3.7. Campo deisoclina y curvas solucin parav 32 0.16v.


57/1771

En la seccin 2.1 se presentar con detalle la ecuacin diferencial logsticadPdt = kP(M - P) (5)que se utiliza frecuentemente para modelar una poblacin P(t) donde sus habitantes,en un medio ambiente determi

Documents

63934186 Ecuaciones Diferenciales y Problemas Con Valores Jb Decrypted