Polár koordinátás alakzatok, henger koordináták, gömbi koordináták

Polár koordináta rendszer Ez a fejezet jutalom azok számára, akik idáig elolvasták a könyvet. Néhány érdekes ábrát

fogunk látni. Arra bíztatlak, hogy te is próbáld ki ezeket, változtass az őket megadó függvényeken,

akár az argumentum, akár szögfüggvény lecserélésével, vagy mindkettő leváltásával egyszerre!

Ugyanígy piszkáld a szög, azaz eme függvényeknél a tulajdonképpeni

kiterjedését!

Figyelem! Magyar nyelvű környezetben nem -t, hanem -t használunk a szög jelölésére! Én

azért döntöttem mégis a mellett, mert az ábrázoló programok többsége azt használja. Gyakaran

csak úgy hivatkoznak rá, hogy: .1 sőt, vannak olyan ábrázoló programok, amik másképpen értelmezik

az egész hóbelevancot, pl. a Male. Azt inkább ne is használd, mert egészen más ábrákat kapsz, mint

amit a többi program esetén. Amellett egy konkrét függvény megadása is kimondottan nehézkes a

Maple-ben. Javaslom, hogy inkább használd a Winplot-ot! Az sokkal kényelmesebben kezelhető, és

gyorsabban változtatható. Mellesleg a Winplot ingyenes és legálisan letölthető, a Maple-t meg el kell

lopnod. És a GeoGebra-ban egyszerűen nem találtam a polár koordinátás lehetőséget. Miért maradt

ki belőle? Rejtély. Pedig minden más tekintetben nagyon kiváló program.

A polár koordináta rendszerben egy hosszúságot és egy szöget használunk koordináták gyanánt.

Itt is van origó, amit itt pólusnak hívunk. Az tengelyt poláris tengelynek hívjuk. A független

koordináta itt a szög, mely a poláris tengelytől az óra járásával ellentétesen méri az lefordulás szögét.

Tehát a pozitív forgásirány ez. Radiánban mérjük a szöget. Vagyis a függvényekben is így szerepel. A

hosszúság koordináta, azaz az origótól való távolság az , ez a szög függvénye. Jelben: .

1 A kiejtése , a kiejtése pedig .

Koordinátáink itt egy hosszúság és egy szög. Az utóbbi a független változó. Az függ a szögtől. Erre emlékeztet ez a jelölés: . Az ábrán radiánban vannak a szögek. Be tudod azonosítani őket? Néhányukat már ismerned kell, mert hírösek! A többit meg számold ki! A különböző sugarú körök az origótól való más és más távolságokat szemléltetik. Ezeket a sugarak által felosztott cikkeket, tartományokat mondjuk is. Ezen az ábrán darab polár szektorunk van, hiszen -onként van a beosztás.

Mit jelent az, hogy a pólustól, vagyis az origótól való távolság, az függ a szögtől? Azt, hogy változik

az nagysága, ha van valamilyen szögre utaló kifejezés az -t megadó képletben. Ha nincs semmilyen

szögre utalás, akkor a távolság állandó: egy körvonalat kapunk. Teljes kört, ha a szögterjedelem

felölel egy teljes körbefordulást, -t, vagy annál többet. Ha kevesebbet, akkor nem lesz teljes a kör,

hanem ennél kisebb körívet kapunk.

A fenti kép mindegyikén . Tehát az a függvény, ami a descartes-i koordinátarendszerben egy

vízszintes egyenes lenne, az itt kör, ill. körív, attól függően, hogy mekkora kiterjedést engedünk meg

a -nak. Mi történik akkor, ha a megszokott egyenesnek megfelelő függvényt ábrázolunk a

polár síkon? Mit is kell ekkor ábrázolni? Ezt: . Mit kapunk? Nyilván nem azt az tengellyel °

bezáró egyenest, amit a descartes-i síkon megszoktunk, hanem csigabigát. Spirált. Ez az archimédeszi

spirál. Általános megadási módja: , ami az oskolában megszokott általános lineáris

függvénynek, az -nek a testvére.

Az függvény. Thetának engedtem, hogy legyen. Hogy lássunk eleget. Persze ez nem fért rá teljesen a képernyőre. Ezért is fontos, hogy te is kipróbáld!

Pl. nézzük a következőt: .

Az . Thetát megint engedtem oly mértékben terjengeni, mint az imént.

Vajon milyen lehet az -nek megfelelő? Nyilván ez: . Hogy jobban lássuk a változást,

egyszerre ábrázolom az elsőfokú thetással: . Figyeld meg, hogy a zöld mennyivel nagyobb ívben

csavarodik kifelé, ő a négyzetes!

Házi feladat: Játssz el vele! Transzformáld! Pl. ábrázold ezt: .

-----------------------

És most lássunk szögfüggvényeket, szinuszt, koszinuszt, stb-t! Az első függvényünk legyen ez:

, miközben .

, a köröcske. , azaz a négylevelű lóhere függvénye.

, a nyersanyag spórolós propeller. . Hány levele is van?

. Látod már a szabályt? . Miért van ennek levele?

A sejtésünk az, hogy ha a szinusz függvény frekvenciáját változtatjuk, akkor a szirmok száma is

változik. Méghozzá nem összevissza, hanem a együtthatóját páros egésznek választva, mindig

kétszer annyi lesz a szirmok száma, mint ez az egész. Ha páratlannak választjuk, akkor azonos számú

szirmot kapunk, mint maga az együttható. Az egymásutáni páratlan számokra felváltva esik az egyik

szirom az tengely pozitív és negatív felére. esetén, egy-egy szirom az tengely

negatív felére, esetén, az tengely pozitív felére esik egy szirom. A páros

együtthatóira pedig a szirmok mindig elkerülik a tengelyeket. Ekkor a szirmok száma mindig osztható

néggyel. Fogalmazd meg ugyanezt számsorokkal!

-----------------------

Koszinusz függvényt ábrázolunk mostan. Figyeld meg a szinusztól való eltéréseket! Melyik tengelyre

esnek a szirmok theta páratlan együtthatóira? Páros együtthatókra, pedig mind a négy féltengelyre

esnek szirmok! A következő ábrák mindegyikére igaz, hogy a theta értéke nulla és két pi között

terjeng: . Ennél kisebb terjedelemre nem rajzolódik ki a teljes ábra, nagyobb terjengésre

pedig többszörösen felülrajzolja, ami jelentkezhet úgy, hogy vastagabb lesz a vonal, de úgy is, hogy

betölti a réseket. Játssz el ezzel is! Változtasd a terjedelmét!

Tovább folytatva a sorozatot azt figyelheted meg, hogy a páratlan számú szirmok egyike mindig az

tengely pozitív felére esik. Ez a koszinusz páros függvény voltából következik. A szinusz páratlan, így

ott az alternálás volt megfigyelhető e tekintetben. Házi feladat gyanánt ábrázold az és az

függvényeket! Ekkor elegendő, ha , mivel az ő periódusuk éppen . Próbálj ki

egyéb függvényeket is. Arra is van lehetőség, hogy a függvényábrázoló program ki rajzolja a polár

szektorokat, mely a normál koordinátarendszer rácsozatának felel meg.

. Ha egymásba ágyazol függvényeket, egymással töltöd ki a pocakjukat, akkor kaphatsz ám igazán érdekes ábrákat!

Az előzőző ábra polár szektorra van osztva. Ha ezeket meg akarjuk számozni, az tengelytől

induljunk, pozitív forgásirányban! Egy egymásba ágyazott, azaz szokásos nevén függvények

kompozíciójára látunk példát:

Az függvény ábrája.

Most lássuk, hogy milyen kapcsolat van descartes-i koordináták, és az polárkoordináták

között!

Átszámítás koordinátákból az koordinátákba A kétdimenziós descartes-i koordinátarendszerben a pontok és értékpárral vannak

megadva. Mégpedig úgy, hogy minden pont első koordinátája az érték, és második koordinátája, az

érték. Ezt már ismeritek régóta. Ugyanezeket a pontokat, úgy is megadhatjuk egyértelműen, ha az

origótól való távolságuk mint sugár, és ennek a sugárnak az tengelytől való szögelfordulását

jelöljük. Ez igaz különálló pontokra és valamilyen hozzárendelési szabály, azaz függvény szerinti

alakzatpontokra is. Lásd az ábrát:

Az jelölés csak azt hangsúlyozza, hogy az koordináta az koordinátától függ, tőle kapja értékét. Miként az is azt hangsúlyozza, hogy az origótól való távolságot a szög határozza meg. Ha ezt nem akarjuk hangsújozni, akkor egyszerűen csak -t és -t írunk.

Mi olvasható le az ábráról? A következők mindegyike:2

És erről most nem akarok többet mondani. Helyette inkább menjünk -be!

A polárkoordináta rendszer térbeli kiterjesztései, azaz a henger és gömbi

koordinátarendszer Vegyük a henger koordinátarendszert elsőnek!3 Ebben két független változónk is van az origótól való

távolság: , és az síkban, az tengely pozitív felétől való elfordulást megadó szög. Ezek

függvénye a harmadik változó, a . Ő a függőleges koordináta, azaz ő adja meg a magasságot az

síktól. Tehát: . Ha az -t állandónak tartjuk, akkor valóban egy sugarú henger felületen

rajzolódik ki a függvény. Ha nem csak a függvény szélét rajzoltatjuk ki, hanem a tengelytől egészen

a függvény vonaláig, akkor egy felületet kapunk. Miként szabályozhatjuk, hogy mekkora részt

rajzoljon ki a program? Változtassuk az és terjedelmét! Ha szükre vesszük az terjedelmét, egy

vékony görbe vonalat látunk a képernyőn. Ha a ϑ szög terjedelmét szűkítjük, akkor kevesebb

körbefordulási szeletet szemlélhetünk. Tessék ezeket is bátram kipróbálni! Most pedig jöjjön néhány

ábra!

2 Az az, amit a számológépeden úgy találsz, hogy .

3 Itt ismét a -val jelöltem a szöget, noha az oskolában lehet, hogy -vel jelölitek.

Egy térbeli spirál, amilyen a golyóstoll rugója is, és egy papírszerpentin. Eme két ábrán a hozzárendelési utasítás ugyanaz volt: . Csupán az elsőnél szűkre vettem az terjedelmét.

A gyümölcsöstál hozzárendelési szabálya: A napóra:

A kidőlt hófogóháló: A gabona csúzda:

Ezekkel is tessék eljátszadozni! Próbálj ki mindenféle változtatást, főleg az eszement elképzeléseket!

A lesimított hajú sydney-i operaház: .

Most lássuk, hogy miként feleltethető meg egymásnak a descartes-i koordinátarendszer és a

henger koordinátarendszer! Milyen összefüggések olvashatóak le az alábbi ábráról?

A következő összefüggések olvashatóak le az ábráról:

Figyelem! Nem az a hosszú, ferdén felfelé menő vonal az , hanem az síkban lévő!

És most ezzel sem akarok többet foglalkozni. Tessék mindenféle játékokat kiagyalni az itteni jártasság

megszerzésére!

Gömbi cuccos

Itt egy az origótól való távolságot, -t és két szöget használunk. Az egyik az -tengelytől való

elfordulási szöget, a másik az síktól való emelkedési szöget adja meg. Az tengelytől való

elfordulást én lambdával , az síktól elemelkedési szöget pedig „fi”-vel fogom jelölni. Így

jobban illeszkedik azokhoz a jelölésekhez, amit a földrajzban is megszokhattál. A így a

longitudinális, azaz a hosszúsági körök szögeltérését adja „Greenwich”-től, vagyis itt az tengely

pozitív irányától. A a latitudinális, avagy szélességi körök szögeltérését adja az „egyenlítőtől”, azaz

itt az síktól. Noha sajnálatos módon mikor nem a Föld gömbi koordinátáiról van szó, akkor az

általam itt használt helyett -t használnak, miként az általam itt használt helyett ϑ-t írnak. Sőt

olyan is van, hogy éppen fordítva! Egyesek a második szöget nem is az síktól mérik, hanem a

tengely pozitív irányától. Hogy a zavar még nagyobb legyen, egyes ábrázoló programok -t és -t

írnak ezek helyett. Mivel némely ábrázoló program nem képes a jelölésére, így -t írnak helyette, és

a -vel is ez a gondjuk, ezért -t írnak helyette.

Tehát legyél vele tisztában, hogy mikor milyen jelölés van használatban! Kérdezz rá, áss utána!

Mit olvashatunk le erről az ábráról?4

4 Ami itt , az a számológépeden az .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

De mint mondtam, ettől némileg eltérő szögkiosztást is használnak:

És az erről leolvasható összefüggések mások, mint az előbb:5

Szerencsétlen módon sok egyéb gömbi koordinátarendszer van még használatban, melyek itt-ott

eltérnek egymástól. És a leginkább zavaró az, hogy itt-ott meg éppen, hogy hasonlítanak egymásra.

Ezekre most nem térek ki. Házi feladat utána járni ezeknek is!

És most lássunk néhány ábrát! Az ábrázoló programok többnyire -t kérik a szögek függvényeként. Pl.

.

5 Itt már kitalálhattad ez eddigi lábjegyzetekből, hogy az , az a álruhában.

A beírt függvény itt ez:

Ez pedig a

A térbeli függvények el is forgathatóak, hogy több oldalról is

megszemlélhessük őket. Így nem is lehetséges, hogy teljes

pompájukban bemutassam őket itt síkban. Kötelező házi

feladat otthon is kipróbálni őket!

Próbáld ki, hogy mennyiben változik, ha a szögfüggvény

argumentumát változtatod! Akár frekvenciáját, vagy fázisát.

Egészen brutális különbségek adódhatnak.

Ez még mindig az , csak kicsit elforgatva.

A függvény pofázmánya. És ugyanaz kissé elforgatva.

Még mindig az előbbi elülnézetben. És alulról. Talán nem látszik jól, de a zöld a belseje. Üreges.

A képe. És kissé forgatva rajta.

Nagy kár, hogy semmi térbeliség nem látszik itt, akárhogy is forgatom. Pedig szép csipkés, virágszerű kinézete van.

Ebből talán több látszik:

Két különböző szemszögből így néz ki az függvény.

Aki ezeket nem próbálja ki, úgy kell neki! E gömbi koordinátás ábrák is a -tal készültek, így az

ottani értelmezés szerint vannak a szögek is jelölve.

Ez volt a könyv utolsó fejezete. Most már nem kell tovább várnod a végét, mert itt van.

∎∎