MTA Doktori rtekezs Tzisei
Eltolsok, mrtk s dimenzi
Keleti Tams
Etvs Lornd Tudomnyegyetem
Budapest
2009
1. Kitztt kutatsi feladat
A disszertci clja megvizsglni, hogy milyen kapcsolat van a szmegyenes vagyltalnosabban Rn additv s mrtkelmleti struktrja kztt. Mindezt klnbzproblmkon keresztl tesszk.
Az egyik f krds az, hogy ha kicsi egy halmaz az egyik rtelemben, akkorkvetkezik-e ebbl, hogy kicsi a msik rtelemben. Vilgos, hogy mrtk szerint akkorkicsi egy halmaz, ha kicsi a mrtke vagy a dimenzija. Az additv struktra, vagykonkrtabban az eltolsok (s esetleg nagytsok) szerint sokflekppen lehet kicsiegy halmaz. Az egyik lehetsg, hogy egy halmazt akkor tekintnk kicsinek, ha nemtartalmaz adott halmazhoz hasonl mintt. Ennek s a mrtkelmleti kicsisgneka kapcsolatt vizsgljuk a disszertci els fejezetben. A msodik fejezetben akkortekintnk egy halmazt kicsinek, ha kevs eltoltjval nem fedhet a szmegyenes.
A harmadik fejezetben a kicsisggel s fedsekkel kapcsolatban az albbi krdstfogjuk vizsglni: Igaz-e, hogy ha egy mrhet halmazt le lehet fedni bizonyos tpu-s halmazokkal gy, hogy a halmaz srsge minden fed halmazban kicsi, akkormagnak a halmaznak kicsi a mrtke? Ltni fogjuk, hogy ha akrmilyen tglalapotmegengednk fedhalmaznak, akkor negatv a vlasz, ha viszont csak tengelyprhu-zamost, akkor mr pozitv. Teht a pozitv eredmny valamikppen itt is az additvstruktrhoz ktdik, s nem marad igaz, ha megengednk forgatsokat is.
A negyedik fejezetben azt vizsgljuk, hogy egy fraktl halmaz (konkrtabbannhasonl vagy naffin halmaz) mekkora mrtk halmazban metszi sajt mag-nak egy eltolt (vagy ltalnosabban egybevg, hasonl vagy affin) pldnyt. Ittmrtk alatt az nhasonl illetve naffin halmazra termszetesen illeszked mrt-ket rtnk. Ktfle eredmnyt bizonytunk. Az egyik tpus instabilitsrl szl s aztmondja, hogy a metszet mrtke csak gy lehet kzel az eredeti halmaz mrtk-hez, ha azt az elmozgatott pldny teljesen lefedi. A msik pedig azt mondja, hogya metszet specilis eseteket kivve mindig nullmrtk. Vegyk szre, hogy mind-ezek a tulajdonsgok szges ellenttben llnak a hagyomnyos geometriai alakzatoktulajdonsgaival.
Az tdik fejezetben a szmegyenes additv s mrtkelmleti kapcsolatt gy ta-nulmnyozzuk, hogy egsz rtk fggvnyek periodikus mrhet fggvnyek ssze-geknt trtn elllthatsgt vizsgljuk. A f krds, amit vizsglunk az, hogyvajon, ha egy egszrtk fggvny elll periodikus mrhet vals rtk fggv-nyek sszegeknt, akkor elll-e ugyanilyen peridus egsz rtk (vagy legalbbmajdnem mindentt egsz rtk) mrhet periodikus fggvnyek sszegeknt. Mi-utn kiderl, hogy ez nem mindig igaz, jellemezzk azokat a peridusokat (pon-tosabban peridus k-asokat), amelyek esetn ez igaz. Kzben jellemezzk azokat aperidus k-asokat is, amelyekre igaz, hogy egy mrhet R R/Z fggvny lnyeg-ben egyrtelmen ll el ilyen peridus periodikus mrhet R R/Z fggvnyeksszegeknt (ha elll).
Clunk mg a fenti eredmnyek alkalmazsa valamint kapcsold lltsok vizs-glata a matematika klnbz terletein. Ltni fogjuk pldul, hogy az eltolsszerint kis halmazok hasznlhatak csoportelmleti eredmnyhez, a fedsek srs-gvel kapcsolatos eredmnyeink olyan fedsi ttelekhez vezetnek, amelyek erstseia harmonikus analzisben hasznlt fedsi tteleknek, a fraktl halmazok metszetrl
1
kapott eredmnyeink pedig a halmazokon rtelmezett termszetes mrtkek invari-ns kiterjesztsre lesznek hasznlhatak.
2. Vizsglati mdszerek
A bizonytsok sorn sokfle mdszert s eredmnyt alkalmazunk, melyek egy r-szt mr msok is hasznltk, de igen sok j technikra is szksg volt. A geometriaimrtkelmlet mellett halmazelmleti, geometriai, vals fggvnytani, harmonikusanalzisbeli, algebrai s szmelmleti mdszerek jtszanak mg fontos szerpet, st(az 1. fejezetben) mg az rdg Jtkban hasznlt "rdgi" stratgit is hasznl-juk. Volt, ahol valamilyen hagyomnyos mdszer ihletett valami jat: pldul a 3.fejezetben a kulcs-llts bizonytsban a harmonikus analzisben alapvet maxi-mlopertor mintjra bevezetett minimlopertor jtszik nagyon fontos szerepet.
3. j tudomnyos eredmnyek s alkalmazsaik
A disszertci alapveten a vals szmok vagy ltalnosabban a vges dimen-zis euklideszi terek additv s mrtkelmleti struktrjnak kapcsolatrl szl.Az eredmnyek szorosan kapcsoldnak ms tmakrkhz is. Egyrszt, mint ahogyazt az elz rszben ismertettk, hasznlunk eredmnyeket s mdszereket a mate-matika szmos gbl, msrszt bemutatunk alkalmazsokat, valamint kapcsolderedmnyeket is.
3.1. Adott mintkat elkerl halmazok
A Lebesgue-fle srsgi ttel egy egyszer s kzismert kvetkezmnye szerint aszmegyenesen tetszleges pozitv mrtk mrhet halmaz tartalmaz minden vgeshalmazhoz hasonl rszhalmazt. Felmerl a krds, hogy elg-e, ha pozitv mrt-ksg helyett nagy Hausdorff-dimenzit tesznk fel. A disszertci els fejezetnekeredmnyei azt mutatjk, hogy nem.
Azt fogjuk mondani, hogy a szmegyenes egy 3 vagy 4 pont rszhalmaza parale-logrammt alkot, ha {a, a+u, a+v, a+u+v} alak, ahol a R s 0 < u v. Az elseredmnyben a paralelogrammkat kerljk el, azaz mutatunk olyan 1 Hausdorff-dimenzij kompakt halmazt, amely nem tartalmaz paralelogrammt, amibl perszeaz is kvetkezik, hogy nem tartalmaz legalbb 3 tag szmtani sorozatot sem.
Vegyk szre, hogy a szmegyenes egy rszhalmaza pontosan akkor nem tartal-maz paralelogrammt, ha minden eltoltjt legfeljebb 1 pontban metszi. (A hely-benhagyst itt nem tekintjk eltolsnak.) Teht a kvetkez ttel valban olyan 1Hausdorff-dimenzij kompakt halmazt ad, amely nem tartalmaz paralelogrammt
1. Ttel. [Suppl-1, Theorem 1] Van olyan 1 Hausdorff-dimenzij kompakt halmaza szmegyenesen, amely minden (nmagtl klnbz) eltoltjt legfeljebb 1 pontbanmetszi.
Az els ilyen tpus eredmny Pertti Mattiltl [Ma84] szrmazik, aki olyan 1Hausdorff-dimenzij kompakt A s B halmazokat mutatott a szmegyenesen, ame-lyek egyms brmely eltoltjt csak legfeljebb 1 pontban metszik. A fenti eredmny
2
teht azt mutatja, hogy amennyiben a helybenhagystl mint eltolstl eltekintnk,vlaszthatjuk A-t s B-t egyformnak.
A disszertci 4. rszben ugyanennek az 1. ttelnek alkalmazsaknt az albbifurcsasg is kiderl majd a kapott halmazrl: ez egy olyan 1 Hausdorff-dimenzijkompakt halmaz a szmegyenesen, amelyen brhogy definilunk egy folytonos Borel-mrtket (a folytonos itt azt jelenti, hogy az 1 pont halmazok nullmrtkek), azmindig kiterjeszthet az egsz szmegyenesre eltolsinvarins mrtkk.
Adott halmazhoz hasonl halmaz keresse illetve elkerlse szorosan kapcsoldikegy rgi Erds sejtshez is, amely azt lltja, hogy megadhat a szmegyenes mindenvgtelen halmazhoz olyan pozitv mrtk mrhet halmaz, amely nem tartalmazaz adott halmazhoz hasonlt. Ismert, hogy lassan konvergl sorozatok nem ellenpl-dk [Fa84, Bo87, Ko97] (tovbbi eredmnyekrt lsd a [HL98, Ko83, Sv00] cikkeket).Kiemelked matematikusok erfesztsi ellenre sem lehet ennl sokkal tbbet tud-ni, pldul egyetlen exponencilis sebessggel konvergl sorozatrl sem tudni, hogyellenplda-e. Msfell, mint ahogy azt mr emltettk, a Lebesgue fle srsgi ttel-bl egyszeren kvetkezik, hogy minden pozitv mrtk mrhet halmaz tartalmazbrmely vges halmazhoz hasonl rszhalmazt.
Bisbas s Kolountzakis [BK06] kezdtk vizsglni, hogy mi a helyzet akkor, hapozitv mrtk halmaz helyett megelgsznk 1 Hausdorff-dimenzij halmazzal. Azalbbi lltsra adtak egy nem teljes bizonytst: Minden vgtelen A R halmazhozmegadhat egy 1-dimenzij kompakt E halmaz gy, hogy E nem tartalmaz A-hozhasonl halmazt. Ezutn felvetettk a krdst, hogy vajon igaz-e ez vges A halmazesetn is.
Kzben Iosevich is feltette szinte ugyanezt a krdst az albbi formban: HaA R adott vges halmaz s E [0, 1] adott (elg nagy) Hausdorff dimenzijvges halmaz, akkor igaz-e hogy E biztosan tartalmaz A-hoz hasonl halmazt?
Ezeket a krdseket sikerlt megvlaszolni megmutatva, hogy tetszleges leg-albb 3 elem A halmazhoz megadhat 1 Hausdorff-dimenzij halmaz, amely nemtartalmaz A-hoz hasonl rszhalmazt. Valjban az albbi ttel s annak kt kz-vetlen kvetkezmnye ennl valamivel tbbet is llt.
2. Ttel. [Suppl-2, Theorem 1] Tetszleges A (1,) halmazhoz megadhat olyan1 Hausdorff-dimenzij kompakt E R halmaz, amelyre x < y < z, x, y, z Eesetn zx
zy6 A.
3. Kvetkezmny. [Suppl-2, Corollary 2] Legalbb 3 elem halmazok tetszlegesB1, B2, . . . R sorozathoz megadhat olyan 1 Hausdorff-dimenzij kompakt E R halmaz, amely a B1, B2, . . . egyikhez sem tartalmaz hasonl rszhalmazt.
4. Kvetkezmny. [Suppl-2, Corollary 3] Tetszleges B R megszmllhat hal-mazhoz megadhat olyan 1 Hausdorff-dimenzij kompakt E R halmaz, amely Bbrmely hasonl pldnyt legfeljebb kt pontban metszi.
A fenti negatv eredmnyek utn Laba s Pramanik [LP09] gy rtek el pozi-tv eredmnyeket, hogy csak olyan E R halmazokat engedtek meg, amelyekenvan olyan valsznsgi mrtk, amelynek Fourier transzformltja adott sebessggelcseng le a vgtelenben.
3
A kzelmltban Maga Pternek [MaP] a mdszerek tovbbfejlesztsvel sikerlta fenti eredmnyek egy rszt ltalnostani. Megmutatta, hogy az 1. Ttel megfele-lje igaz n-dimenziban is, vagyis mutatott olyan n Hausdorff-dimenzij kompakthalmazt Rn-ben, amely minden (nmagtl klnbz) eltoltjt legfeljebb 1 pont-ban metszi. A 3. Kvetkezmnyhez hasonl lltst a skon sikerlt bizonytania,megmutatva, hogy a sk brmely legalbb 3 elem A halmazhoz megadhat olyan2 Hausdorff-dimenzij kompakt halmaz a skon, amely nem tartalmaz A-hoz ha-sonl rszhalmazt. A bizonytsa magasabb dimenziban nem mkdik, az is lehet,hogy az analg llts magasabb dimenziban mr nem is igaz. Heurisztikk alapjngy tnik, hogy pldul a trben egy 2-nl nagyobb Hausdorff-dimenzij halmaz-nak mr tartalmaznia kell brmilyen nem egy egyenesre es hrom adott ponthozhasonl rszhalmazt. Ebben az irnyban jelenleg is folyik kutats.
Mind az 1. mind a 2. Ttel, valamint Maga Pter ltalnostsai ugyanazt atrkkt hasznljk mint az rdg az albbi jtkban:
Az rdg Jtka: A Jtkos minden lpsben ad egy szzforintos rmt azrdgnek, aki ad helyette kt darab szzforintos rmt. Kt tovbbi megkts van:az egyik, hogy vgtelen sok lpsig kell jtszani, a msik pedig, hogy az
