§6.4 曲线的凹凸与拐点

前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有

帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考

虑弯曲方向。

o

y

x

L3L2

L1

A

B 如右图所示 L1 ， L2 ， L3 虽然都

是从 A 点单调上升到 B 点，但它们的弯曲方向却不一样。

L1 是“凹 ( 上凸 )” 弧， L2 是“凸 ( 下

凸 )” 弧 ， L3 既有凸弧，也有凹弧，这和

我们日常习惯对凹凸的称呼是不一致的。

K 切=f '(x)>0 y单调递增

凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的下方 .凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的上方 .

K 切=f '(x)<0 y单调递减

x0

y0 p

x0

y0y=f(x)p

x

yy

xo o

几何特征Ｉ

y=f(x)

连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点 .

一、曲线凹凸的定义

问题 : 如何研究曲线的弯曲方向 ?

x

y

o

x

y

o 1x 2x

)(xfy

图形上任意弧段位于所张弦的上方 ( 凹函数 )

x

y

o

)(xfy

1x 2x

图形上任意弧段位

于所张弦的下方 ( 凸函数 )

A

B

C

21 2

1 2

, 0 1x x

x x xx x

2

1 2

x x

x x

令 且 1 2(1 )x x x

1 1 2 2( , ) ( ,A x f x B x f x过 与 的弦的方程是

1 22 2

1 2

f x f xy f x x x

x x

函数y=f (x)与弦的方程 函数 在 1 2(1 )x x x

的值分别是 1 2f(λ x +(1-λ )x )

1 2λ f(x )+(1-λ )f(x )

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

f(x) I I

x , x , λ

f(λx +(1-λ)x ) λf(x )+(1-λ)f(x )

f(x) I ;

f(λx +(1-λ)x ) λf(x )+(1-λ)f(x )

f(x) I

定义设 为定义在区间 上的函数，若对上任意两点 和任意实数 总有

≤

那末称 为在区间 上的凸函数 反之若总有≥

称 为在区间 上的凹函数

;),()(

,2

)()()

2(

,,),(

2121

21

内的图形是凸的在那末称

恒有内任意两点如果对

baxf

xfxfxxf

xxba

;)(],[)(,)(

),(,],[)(

的或凸内的图形是凹在那末称的或凸内的图形是凹且在内连续在如果

baxf

babaxf

函数。凸内的凹是函数，则凹内的凸是由定义知，若注 )(),()(),(.1 bafbaf

）（）（）（

，有等价于：对

）（）（）（定义中的不等式

212

11

21

2

21

2121

),(

)1()1( 2.

xfxx

xxxf

xx

xxxf

xxx

xftxtfxttxf

定义 2.(),(,)(

)(),(

向上凸）内是向下凸则称曲线在区间方上线的下上每一点的切线位于曲时，曲线若当

ba

xfybax

. 定义 : 若曲线 y=f(x)在某区间内位于其切线的上方 .则称该曲线在此区间内是凸的 ,此区间称为凸区间 .  若曲线位于其切线的下方 ,则称该曲线在此区间内是凹的 ,此区间称为凹区间 .

x

y

oθ1 θ2 θ3

a b x

y

oθ1θ2θ3

曲线的凹凸与拐点

a b

几何特征Ⅱ凸型曲线 :切线的斜率随着 X的增大而增大 .凹型曲线 :切线的斜率随着 X的增大而减小 .

• •

• • • •

x1 x2x3 x1x2 x3

内单调不减（增）。在内的凸（凹）函数是内可导，则在设

),()(

),()(),()(

baxf

baxfbaxf

定理 1

定理  1可根据定义进行 证明，下面证明定理  1.

有则对内的凸函数是设 ,),(),(,,),()( 212121 xxxxxbaxxbaxf

2

2

1

1

212

11

21

2

)()()()(

)()()(

xx

xfxf

xx

xfxf

xfxx

xxxf

xx

xxxf

即

，

二、曲线凹凸的判定

12

12

1

1

2

2

2

22

)()()()(lim

)()(lim

)()(lim)(

2

22

xx

xfxf

xx

xfxf

xx

xfxf

xx

xfxfxf

xx

xxxx

21

21

2

2

1

1

1

11

)()()()(lim

)()(lim

)()(lim)(

1

11

xx

xfxf

xx

xfxf

xx

xfxf

xx

xfxfxf

xx

xxxx

单调不减。即 )(

),()( 21

xf

xfxf

单调不减，内在设 ),()( baxf ),(, 21 baxx 对

定理，得上分别用在 Lagrangexxxx ],[],,[ 21

,),()()(

1111

1 xxfxx

xfxf

,),( 2121 xxxxx 设

2222

2 ),()()(

xxfxx

xfxf

)()()(

11

1 fxx

xfxf

xx

xfxff

2

22

)()()(

)()()( 212

11

21

2 xfxx

xxxf

xx

xxxf

将上不等式变形即得

内的凸函数是 ),()( baxf

x

y

o

)(xfy

x

y

o

)(xfy

a b

A

B

递增)(xf

a b

B

A

0y 递减)(xf 0y

定理 2

.

如果 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有

二阶导数 ,若在(a,b)内

(1)f (x)>0,则 f(x)在[a,b]上的图形是凸的;

(2)f (x)<0,则 f(x)在[a,b]上的图形是凹的

证明2121 ),,(,)2( xxbaxx

021021

0 ,2

xxxxhxx

x

记

1 0 0 2对 f(x)在[x ,x ],[x ,x ]上分别应用 L— 定理，得

hfxfxf )()()( 110 )( 011 xx

hfxfxf )()()( 202 )( 220 xx

两式相减，得

hffxfxfxf )]()([)]()([)(2 21210

由假设 0)( xf 内单调减在 ],[)( baxf

0)()( 2121 ff由

0)]()([)(2 210 xfxfxf

2)()(

22121 xfxfxx

f

即

这就证明了 内是上凸的在 ),()( baxf

同理可证（ 1 ）

注 定理的结论可推广到任意区间上例 1 .3的凹凸性判断曲线 xy

解 ,3 2xy ,6xy

时，当 0x ,0y( ,0] 曲线在 为凹的；

当x>0时， ,0y [0, ) 曲线在 为凸的；.点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点注意到 ,

三、曲线的拐点及其求法

连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.

定理 2 如果 )(xf 在 ),( 00 xx 内存在二阶导

数 , 则 点 )(, 00 xfx 是 拐 点 的 必 要 条 件 是

0)( 0" xf .

1. 定义

注意 : 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 .

2. 拐点的求法

证 ,)( 二阶可导xf ,)( 存在且连续xf

,])([)( 0两边变号在则 xxfxf

,))(,( 00 是拐点又 xfx

,)( 0取得极值在xxf 由可导函数取得极值的条件,

.0)( xf

方法 1:,0)(

,)(

0

0

xf

xxf

且的邻域内二阶可导在设函数

;))(,(,)()1( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx

.))(,(,)()2( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx

例 2 4 3求曲线y=3x - 4x +1的拐点及凹、凸的区间.

解 ),(: D

,1212 23 xxy ).32

(36 xxy

令 y =0, .32

,0 21 xx得

x )0,( ),32( )3

2,0(0 32

)(xf

)(xf

0 0

凸的 凹的 凸的拐点 拐点)1,0( )27

11,32(

).,32[],3

2,0[],0,( 凹凸区间为

方法 2:

.)(

))(,(,0)(,0)(

,)(

0000

0

的拐点线是曲那末而且的邻域内三阶可导在设函数

xfy

xfxxfxf

xxf

例 3 .)]2,0([cossin 的拐点内求曲线 xxy

解 ,sincos xxy ,cossin xxy

.sincos xxy

,0y令 .4

7,

43

21

xx得

2)4

3( f ,0 2)

47

( f ,0

内曲线有拐点为在 ]2,0[ ).0,4

7(),0,

43

(

.)(

))(,(,)( 000

的拐点是连续曲线也可能点不存在若

xfy

xfxxf

注意 :

二阶导数变号， 是拐点则 ))(,( 00 xfx

例 5 .3 的拐点求曲线 xy

解 ,0时当 x ,31 3

2

xy ,94 3

5

xy

.,,0 均不存在是不可导点 yyx

,0,)0,( y内但在 ( ,0] ; 曲线在 上是凸的

,0,),0( y内在 [0, ) .曲线在 上是凹的

.)0,0( 3 的拐点是曲线点 xy

例 6 求曲线 )0(sin

ttey

ext

t

的拐点

解t

tt

etete

dxdy cossin

tt cossin

)(2

2

dxdy

dxd

dxyd

dxdt

ttdtd

)cos(sin

tett )sin(cos

02

2

dxyd令 tt sincos

4

t

时当4

0

t 02

2

dxyd

时当 t

402

2

dxyd

)2

1,( 44

ee 是拐点

例 7

)()(,0)(

1,,,

11

121

i

n

iii

n

ii

n

iin

xfpxpfxf

pppp

则若

是一组正数，且设

——Jensen 不等式证

n

iii xpx

10记 }max{}min{ 0 ii xxx 则

由 Taylor 公式，得

20000 )(

2)(

))(()()( xxf

xxxfxfxf

0)( xf ))(()()( 000 xxxfxfxf

),,2,1())(()()( 000 nixxxfxfxf ii

各式乘以 ip 再相加，得

])[()()(1

01

01

01

n

ii

n

iii

n

ii

n

iii pxxpxfpxfxfp

=1 =10x

)( 0xf

n

iii

n

iii xfpxpf

11

)()(

的拐点与凸向区间求曲线 3 1 xxy

3 2

3

)1(31

x

xxy解

3 2)1(3

34

x

x

8例

3

5

3 2)1)(34(

9

2

)1(3

4

xx

xy

3

5

)1(9

64

x

x

不存在。时，；时，当 yxyx 102

3

44

3 0

0

2

3 1

3f(x)

(x)f

x

不存在

列表讨论如下：

。和拐点是

内向上凸；内向下凸，在区间及曲线在区间

)44

3,

2

3()0,1(

2

3,1,

2

31,

3

思考题

设 )(xf 在 ),( ba 内二阶可导，且 0)( 0 xf ，

其中 ),(0 bax ，则 ,( 0x ))( 0xf 是否一定为

曲线 )(xf 的拐点？举例说明.

思考题解答因为 0)( 0 xf 只是 ,( 0x ))( 0xf 为拐点

的必要条件， 故,(0x ))(0xf不一定是拐点.

例 4)( xxf ),( x 0)0( f

但)0,0(并不是曲线)(xf的拐点.

小结 :

1. 如何来研究函数的凹凸性 .

2. 凹与凸的定义  ,   拐点的定义 .

3. 凹与凸的判定 .