6+7 Euclid+Recurrence

4123402 : 3(2-2) unit Discrete Mathematics and structure

• Euclidean Algo. • Recursive Algo.• Recurrence Relation

• Euclidean Algo. • Recursive Algo.• Recurrence Relation

Discrete Mathematics

The Language of ComputerThe Language of Computer

The Euclidean Algo.The Euclidean Algo.


4

การหารลงตว

The Euclidean Algo.

หาตวหารรวมมากของจานวนเตม 2 ตว เชน m,n และ m,n <>0

จานวนเตมบวกทใหญทสด ซงหาร m,n ลงตวทงค

a = ตวตง (dividend),b= ตวหาร (divisor) , q = ผลหาร ( quotient) เปนจานวนเตม และ b <> 0 โดยท a = bqจะไดวา b หาร a ลงตว เขยน b | a เชน 3 | 21 = 7

b | a

5

สรปนยามของการหารลงตว

กาหนดให a, b ,q และ r เปนจานวนเตมb | a หมายความวา b หาร a ลงตว เมอ a=bq

a เรยกวา ตวตง (dividend)b เรยกวา ตวหาร (divisor) ซง b ≠ 0q เรยกวา ผลหาร (quotient)

b | a หมายความวา b หาร a ไมลงตว เมอ a = bq+rr เรยกวา เศษ (remainder) ซง 0<r<a

q = b | a และ r = a mod b

6

Division

7

Example Divisors

Q: Which of the following is true?

1. 77 | 72. 7 | 773. 24 | 244. 0 | 245. 24 | 0

A :

8

ทฤษฎบท ถา a เปนจานวนเตมบวก ไมใชคาลบ , b เปนจานวนเตมบวก ,r = a mod b

และ a = bq +r , 0 ≤ r ≤ bจะได

gcd(a,b) = gcd(b,r)

Euclidean algorithm : common divisor

Example :1. gcd(20,15) 2. gcd(105,30)3. gcd(20,80) 4. gcd(150,60)

9

a,b gcd(a,b)

a b

a b

10

Example : Euclidean Algorithm

Ex 1 gcd(20,15):

0515 mod 5

= 02

51520 mod 15

= 51

1520-0

yxr = x mod yStep

11

Ex 2gcd(33,77):


12


13


14


15

Q : Find the following gcd’s (ดสไลดท10 เปนต.ย.)

1. gcd(11,77) 2. gcd(24,36)

3. gcd(24,25) 4. gcd(504,396)

5. gcd(30,105)

Homework

16

Euclidean algorithm : GCD

17

ในกรณท gcd(a,b) = 1 หมายความวา a และ b ไมม

ตวหารรวมใดเลยยกเวน 1

เราเรยก a และ b วา เฉพาะสมพทธ (relatively prime)

Example.gcd(13,31) = 1 13 และ 31 เปนจานวนซงเฉพาะสมพทธ

Relatively prime

18

Least Common Multiple

บทนยาม

ตวคณรวมนอย ของจานวนเตมบวก a และ b หมายถง จานวนเตมบวกเลกทสดซงหารดวย b ลงตว ตวคณรวมนอย ของ a และ b ใชสญลกษณ lcm(a,b)

ทฤษฎบท

ให a และ b เปนจานวนเตมบวก จะได

lcm(a,b) = ab / gcd(a,b)

19

Least Common Multiple

Q: Find the lcm :

1. lcm(10,100)2. lcm(7,5)3. lcm(9,21)

20

Q : Find the following lcm’s6. lcm(11,77) 7. lcm(24,36)

8. lcm(24,25) 9. lcm(504,396)

10. lcm(30,105)Q: จงหาจานวนเตม q และ r เพอให a = bq + r, 0≤r<b

11. a=45 , b=6 12. a=106, b=1213. a=66 , b=11 14. a=221 , b=1715. a=0 , b=31

Homework


The Language of Computer:The Language of Computer:EoFEoF

Recursive Algo.and

Recurrence Relation.

Recursive Algo.and

Recurrence Relation.


23

Recursive Algorithms

factorial of n defined by

1 if n = 0

n! =

n(n-1)(n-2)…3•2•1 if n ≥ 1

24

Example:

3! = ?

6 ! = ?

โปรดสงเกตวา Factorial n สามารถเขยนในเทอมของตวมนเอง

n! = n(n-1)(n-2)…2•1

= n•(n-1)!

Example:

5! = ?

Recursive Algorithms

25

26

Recursive Algo:FactorialJava:long factorial(int n){

if (n<=0) return 1;return n*factorial(n-1);

}

Java:long factorial(int n){


}

Compute 5!

27

f(5)=5·f(4)



}



}

28

f(4)=4·f(3)

f(5)=5·f(4)



}



}

29

f(3)=3·f(2)

f(4)=4·f(3)

f(5)=5·f(4)



}



}

30

f(3)=3·f(2)

f(4)=4·f(3)

f(5)=5·f(4)

f(2)=2·f(1)



}



}

31

f(3)=3·f(2)

f(4)=4·f(3)

f(5)=5·f(4)

f(2)=2·f(1)

f(1)=1·f(0)



}



}

32

33

f(3)=3·f(2)

f(4)=4·f(3)

f(5)=5·f(4)

f(2)=2·f(1)

1·1=1



}



}

34

f(3)=3·f(2)

f(4)=4·f(3)

f(5)=5·f(4)

2·1=2



}



}

35

3·2=6

f(4)=4·f(3)

f(5)=5·f(4)



}



}

36

4·6=24

f(5)=5·f(4)



}



}

37

5·24=120



}



}

38



}



}

Return 5! = 120

39

A robot can take steps of 1 meter or 2 meters.

We write an algorithm to calculate the number of ways the robot can walk n meters. As examples:

Example 2 Recursive Algo:Robot Walking

Distance Sequence of steps Number of Ways to walk

1 1 1

2 1, 1 or 2 2

3 1,1,1 or 1,2 or 2,1 3

4 1,1,1,1 or 1,1,2 or1,2,1 or 2,1,1 or 2,2 5

40

41

Input: nOutput: walk(n)

procedure robot_walk(n)

if n = 1 or n = 2 then return(n)

return(robot_walk(n-1) + robot_walk(n-2))

end robot_walk

Recursive Algo:Robot Walking

The Language of ComputerThe Language of ComputerRecurrence Relation.Recurrence Relation.


43

Recurrence Relation

Example :

44

Recurrence Relation

เขยนความสมพนธเวยนเกดของ an

หาคาตอบของ an ในรปแบบปด

รปแบบปดของ an

ปญหาการนบมคาตอบคอ an

เราใชความสมพนธเวยนเกดในการแทนคาตอบของปญหาการนบ จากนนจงคอยหาผลเฉลยทเขยนในรปแบบปดอกทหนง

45

Recurrence Relation

46

Example 1:

Initial condition a0 = 1

Recurrence formula: a n= 1 + 2a n-1 for n > 1First few terms are: ?

Example 2: Initial conditions a0 = 1, a1 = 2

Recurrence formula: a n= 3(a n-1 + a n-2) for n > 2First few terms are: ?

Examples of recurrence relations

47

Example 3: ให {an} คอลาดบซงไดแทนดวยความสมพนธเวยนบงเกดคอ an = an-1 – an-2 สาหรบ n>1 โดยท a0 = 1 และ a1 = 2 จงหาคา ของ a3 และ a4

Examples of Recurrence relations

48

เราสามารถเขยนผลเฉลยของความสมพนธเวยนบงเกดใหอยในรป n ได เชน กาหนดความสมพนธเวยนบงเกดดงน an = an-1 + 1

โดยม ลาดบ an = n+1 เปนผลเฉลยของความสมพนธเวยนบงเกด

Example 1: จงหาวาลาดบ {an} เปนผลเฉลยของความสมพนธเวยนบงเกด an = 2an-1 – an-2 สาหรบ n ≥ 2 เมอ 1) an = 3n สาหรบ n ทกตว ซงเปนจานวนเตม ไมเปนลบหรอไม2) ตอบคาถามเดยวกนเมอ an = 2n

3) ตอบคาถามเดยวกนเมอ an = 5

การเปนผลเฉลยของ Recurrence relations

49

Example 2: ชายคนหนง นาเงน 10,000 บาท ฝากธนาคาร เปนบญชประเภทประจา ไดรบดอกเบย 11% ตอป คดดอกเบยทบตนทกป หลงจาก 30 ป ชายคนนจะมเงนในบญชจานวนเทาใด?

Examples of Recurrence relations

50

Leonardo Fibonacci ป 1175 เปนนกคณตศาสตร

ไดทาการศกษาดานตวเลข พบความสมพนธ ของตวเลขเชงอนกรม โดยนาตวเลขทตดกนมาบวกกน จะไดตวเลขทมคาเพม

ตามลาดบแบบไมรจบ

คาถามดงเดมทเปนตนตอของ Fibonacci Sequence คอ ปญหาการขยายพนธของกระตาย

Fibonacci Sequence

51

คาถาม “เรมตนมกระตายเพยงคหนง (สองเพศ) กระตายคนจะยง

ไมใหลก จนกวามนจะมอายครบ 2 เดอน หลงจากมอายได 2 เดอน

กระตายแตละคจะมลกอก 1 คในแตละเดอน เมอเวลาผานไป

k เดอนจะมกระตายกค (สมมตวากระตายพนธนอายยนมาก ๆ ไม

ตายเลย !)”

fk = fk-1 + fk-2 สาหรบ k ≥ 2 , f0 = 0, f1 = 1

Examples of Fibonacci Sequence

52

Towers of HanoiStart with three pegs numbered 1, 2 and 3 mounted on a board, n disks of different sizes with holes in their centers, placed in order of increasing size from top to bottom.

Object of the game: find the minimum number of moves needed to have all n disks stacked in the same order in peg number 3.

53

Start with all disks stacked in peg 1 with the smallest at the top and the largest at the bottom

Use peg number 2 for intermediate steps

Only a disk of smaller diameter can be placed

on top of another disk

Rules of the game:Towers of Hanoi

54

Game ends when all disks are stacked in peg number 3 in the same order they were stored at the start in peg number 1.

Let Hn denote the number of moves needed to solve the Tower of Hanoi problem with n disks. Set up a recurrence relation for the sequence {Hn }

Start End

End of game:Towers of Hanoi

55

เทคนคการหาสตรชดแจง ของความสมพนธเวยนบงเกด

ทฤษฎบท 1

Sn = aSn-1 + bSn-2

a and b are constants

Defined S0 and S1

Solving Recurrence Relations

56

Case 1 : b = 0

Sn = anS0 , สาหรบทกคา n ∈ N

Case 2 : a = 0

S2n = bnS0

Solving Recurrence Relations (cont.)

Example :

57

Case 3 : a ≠ 0 and b ≠ 0

Sn = crn , สาหรบคาคงท c บางตว

ถาสงนเปนจรง

rn = arn-1 + brn-2

พสจนสตร


58

ทฤษฎบท 2

Sn = aSn-1 + bSn-2

ทมสมการลกษณะเฉพาะ

x2 – ax –b = 0

เมอ a และ b เปนคาคงท ไมใชศนย


59

(a) ถาสมการลกษณะเฉพาะ มผลเฉลยเปน r1 และ r2 แตกตางกนจะได

Sn = c1r1n + c2r2

n

(b) ถาสมการลกษณะเฉพาะ มผลเฉลยเพยงหนงตวเทานน คอ r จะได

Sn = c1rn + c2•nrn

Example :


60

Linear Homogeneous Recurrence Relations of Degree k with Constant Coefficients

Example :

ความสมพนธเวยนบงเกด Pn = (1.11)Pn-1

- ความสมพนธเวยนบงเกดเอกพนธเชงเสนขององศา เทากบ หนงความสมพนธเวยนบงเกด fn = fn-1 + fn-2

- ความสมพนธเวยนบงเกดเอกพนธเชงเสนขององศา เทากบ สองความสมพนธเวยนบงเกด an = an-5

- ความสมพนธเวยนบงเกดเอกพนธเชงเสนขององศา เทากบ หา

61

Solving Linear Homogeneous Recurrence Relations with Constant Coefficients

พจารณาผลเฉลยของรปแบบ an = rn , r is constant

an = rn คอผลเฉยของความสมพนธเวยนบงเกดดงน

an = c1an-1 + c2an-2 +…+ ckan-k

characteristic equation (สมการลกษณะเฉพาะ)

characteristic roots (คาเจาะจง)

62

Solving Linear Homogeneous Recurrence Relations with Constant Coefficients (cont.)

Example :

63

Example :

Example :


64Example :


65

Homework1. จงหาหาเทอมแรกของลาดบ ซงนยามโดยความสมพนธเวยนบงเกด

an = nan-1 + a2n-2 , a0=1, a1=1

2. จงแสดงใหเหนวาลาดบ an = (-4)n คอผลเฉลยของความสมพนธเวยนเกด an = -3an-1 + 4an-2

3. สมมตวาจานวนแบคทเรยใน โคโลนแหงหนง เพมจานวนเปน 3 เทาทกชวโมง1) จงหาความสมพนธเวยนบงเกด สาหรบ จานวนแบคทเรย หลงผานไป n ชวโมง

2) ถามแบคทเรยจานวน 100 ตว เมอตอนเรมตน โคโลนใหม หลงจาก 10 ชวโมงจะมจานวนแบคทเรย ในโคโลน จานวนเทาใด

4. จงหาสตรชดแจง สาหรบ Sn เมอ S0=3 และ Sn= -2Sn-1 สาหรบ n≥1

5. จงหาผลเฉลยของ ความสมพนธเวยนบงเกด an=5an-1-6an-2 for n≥2,a0=1,a1=0


The Language of Computer:The Language of Computer:EoFEoF

Documents

6+7 Euclid+Recurrence