6a Tarefa

Questão 1)Calcule a frequência natural fn de oscilação vertical do cilindrocarregado por molas quando ele é posto em movimento. As duas molas estãotracionadas o tempo todo.

Resolução:Definindo-se o eixo x direcionado para a direita e o eixo y direcionado paracima,temos:No equilíbrio, atuam a força peso, uma tração(T1) para cima e outra parabaixo(T2) no cilindro.Assim, inicialmente:~Fresultante = ~P + ~T2 − ~T1Sendo : T1 = T2 = kx0Movimentando-se o cilindro de x para baixo, a força resultante é dada por:~F ′resultante = ~P − ~T ′1 − ~T ′2Sendo: T ′1 = k(x− x0) T ′2 = k(x+ x0)Assim,em módulo, temos: F ′resultante = P − (kx− kx0 + kx+ kx0) = P − 2kxComo −(w0)

2 = −2km

e w0 = 2πfnChegamos então que: fn = w0

2π

1

Substituindo pelos valores da questão:

fn =

√2km

2π= 3, 9Hz

Questão 2)Substitua as molas em cada um dos dois casos mostrados poruma única mola de rigidez k(constante de mola equivalente) que fará comque cada massa vibre com a sua frequência original.

Resolução:Com as molas em paralelo, podemos ver que, em módulo:FR = −(k1x1 +K2x2)Como x1 = x2 então:FR = −(k1 + k2)xAssim, keq = k1 + k2

Molas em série:xtotal = x1 + x2Ftotal

keq= F1

k1+ F2

k2

Como não há massa no ponto de encontro entre as molas, Σ~F = ~01keq

= 1k1

+ 1k2

keq = k1k2k1+k2

2

Observação: Podemos estender o método utilizado para n molas, tanto emsérie quanto em paralelo.Assim teríamos:Para n molas em série: keq = ΣkiPara n molas em paralelo: keq = (Σk−1i )−1

Questão 3)Durante o projeto do sistema de apoio com molas para a plata-forma de pesagem de 4t, decide-se que a frequência da vibração livre verticalna condição descarregada não deve exceder 3 ciclos por segundos.(a)Determine a constante de mola máxima aceitável k para cada uma dastrês molas idênticas.(b)Para esta constante de mola, qual seria a frequência natural fn da vibra-ção vertical da plataforma carregada com caminhão 40t.

Resolução:Sendo k a constante da mola, como as molas estão em paralelo:keq = 3kEntão, temos que a frequência angular de oscilação da plataforma sem nadaem cima é:ω =

√3kM

Como ω = 6π e M = 10t:a) k = 62π2M

3= 474kN

m

b) Com um caminhão sobre a plataforma, temos que, sendo m = 40t:f = 1

2π

√3k

M+m→ f = 0.905Hz

3