Mett

Captulo 7Nmeros RealesDesigualdades e Inecuaciones

7.1 Nmeros reales.

Suponemos la existencia de un conjunto a cuyos elementos se llaman nmerosreales

Axiomas de suma

En , se define una operacin que se llama suma que verifica , reales a B C Darbitrarios los siguientes axiomas:

S " B C S # B C C BS $ B C D B C Da b a bS El conjunto contiene un elemento que se acostumbra a denotar por 0 y% que verifica B ! BS El conjunto contiene un elemento que se acostumbra a denotar por& B y que verifica B B !a b

Axiomas de multiplicacin

Anlogamente, en definimos una segunda operacin llamada multiplicacinque verifica y reales arbitrarios los siguientes axiomas:a B C D

M " a bB C

Mett

M # B C C BM $ B C D B C Da b a bM El conjunto contiene un elemento que se acostumbra a denotar por y% " que verifica B " BM El conjunto contiene un elemento que se acostumbra a denotar por& " B

con y que verifica B ! BB ""

Axioma de distribucin

Para todo y reales arbitrarios se tiene B C D B C D B C B Da bNota 1.

Asi , con estas operaciones definidas y axiomas constituye un cuerpo. A partirde estos axiomas se fundamentan los reglas del lgebra elemental de reales, queexpondremos a continuacin como teoremas.

Teorema 1

1) El elemento neutro 0 es nico.2) El opuesto para cada real es nico. B B3) El opuesto de es es decir B B B Ba b4) Si B D C D B C5) Dados existe un nico tal que el cual se acostumbra aB C D B D C denotar D C B6) B C BC B Ca b a b a b( B C D BC B D) a b) ! B !) * B C ! B ! C !) "! " El elemento neutro es nico11) El inverso de es nicoB B !"

12) El inverso de es es decir B B B B" " "

"$ B D C D B C Si 14) Dados existe un nico tal que el cual se acostumbra a denotarB C D B D C

por o con CB"C B B !

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15) a B C ! B C B Ca b" " "16) a B C ! BC B" C17) a B ! B B Ba b" " "

Nota 2.Algunas de las demostraciones de este teorema se encuentran en ejercicios resueltosy el resto se dejan como ejercicios propuestos.

7.2 Orden en los reales

Sea un un subconjunto de llamado conjunto de los reales positivos, cuyos elementos satisfacen los siguientes axiomas

Axiomas de orden

O " ! O y # a B C B C B C a bO con $ a B B ! B B

Teorema 2

1) " g

# g

$ !

% g

& !

Observe que garantiza que cada real es: negativo, nulo o es positivo es decir& a B B B ! B

Nota 3.Algunas de las demostraciones del teorema 2 se encuentran en ejercicios resueltos yel resto se dejan como ejercicios propuestos

Mett

Definicin 1.

a B C se definen las relaciones; " "(mayor que), " "(menor que)," "(mayor o igual que) y " "(menor o igual que) por:

i) B C B C a b ii) B C C B iii) B C B C B Ca b a b iv) B C C B

Observacin 1.A partir de los axiomas de orden y de la definicin 1 se derivan todas las reglas paraoperar con desigualdades, las cuales se expondran en el teorema 3.

Teorema 3

" a B C se tiene una y solo una de las siguientes relaciones: B C B C B C2) Si B C C D B D$ B C B D C D4) Si B C D ! BD C D& B C D ! BD C D Si ' B ! aB B !Si , #

( B C ! B ! C ! B ! C !Si ) B C D A B D C ASi 9) Si B ! B !"

10) Si B C ! C B" "

"" B C ! D A ! BD CASi 12) se tiene aB C B C #B C # #

13) Si existe tal que B C D B D C"% B C C B B C Si

Nota 4.

Mett

Algunas de las demostraciones del teorema 3 se encuentran en ejercicios resueltos yel resto se dejan como ejercicios propuestosTambien hacemos notar que ahora el cuerpo de los reales, es ordenado.

Desigualdades notables

I.

QE QK QL " 88 a b B B B B B B " # " #8 88 " " "B B B" # 8 II. De Cauchy-Schwarz

Si son nmeros reales arbitrarios, entonces+ + + , , ," # 8 " # 8y

! ! !5" 5" 5"

8 8 8

5 5# #

5 5

#+ , + ,

Valor absoluto

El valor absoluto o mdulo de un nmero real se define porB

sisisi

lBl B B !! B !

B B !

Teorema 4.

aB C , se tiene:

1) lBl !2) =lBl l Bl3) lBl lB l B# # #

4) lBCl lBllCl

5) BC BC !l ll l a C6) lBl + + ! + B +7) lBl + B + B +

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8) lB Cl lBl lCl

Nota 5.

Como es habitual algunas de las demostraciones del teorema 4 se encuentran enejercicios resueltos y el resto se dejan como ejercicios propuestos.

7.3. Ejercicios Resueltos.

1. Si + , ! + - ! , -

Demostracin.

Por S y S se tiene $ # , + - , + - , + - + , -a b a b a b a bde donde utilizando las hiptesis dadas , ! ! - , -

2. Demuestre que si entonces B + , B , +

Demostracin.B + , B + + , + B + + , + a b a b a bB ! , + B , +luego

3. Demuestre que el elemento neutro es nico!

Demostracin.Supongamos que en adems del hay otro elemento tal que: ! ! w

B ! B a B entoncesw por tanto el es nico.! ! ! ! ! ! !w w w

4. Demuestre que: a) B Ba b b) a b a b a b B C B C

Demostracin.

a) Se tiene que donde esta ecuacin nos indica que es elB B ! Ba bopuesto de esto es, como se quera.a b a b B B B

Mett

b) Para evitar acumulacin de parntesis sea y luegoB B C Cw w

a b a b a bB C B C B C B C B C B C w w w w w w B B C C B B C C ! C C C C !a b a b a bw w w w w w ahoracomo es el inverso de la suma de entoncesB C B C B Cw w a b a bconclumos que B C B C a b a b a b

5. Demuestre que: a) ! B ! b) B C BC B Ca b a b a b c) a bB C B C a B C !" " "

Demostracin.a) ! B !B ! ! B !B !B !B !B !B !B !B !a bb) Previamente haremos ver que a b " B BB " B "B " B " " B !B !a b a b a b y como B B ! " B Ba b a b, se concluye que , entonces tenemosB C B " C B " C " B C " B C BCa b a b a b a b a ba b a banlogamente se prueba que con lo que B C BC B C B Ca b a b a b a bc) Notemos que a ba b a b a b a bB C B C B C B C B B C C B B C" " " " " " "C C C " B C B C" " " "con lo que el inverso de resulta ser , y comoa b a btambin el inverso de es tenemos que por unicidad del inversoa b a bB C B C "a bB C B C" " "

6. Demuestre que a) B C C D B D b) B C D ! BD CD c) B C ! D A ! BD CA

Demostracin.a) por axioma 1 la sumaB C C D B C C D a b a b est en , por tanto a bB D B Db) , por axioma 2 el producto B C D ! B C D a b est en , luego

a ba b a bB C D CD BD BD Czc) a bB C ! D A !

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a b a bB C B C D A D A por axioma 2 setiene: y ahora por axioma 1 se tiene a b a bB C D D A C B D C A

7. Demuestre que:

a) lBCl lBllCl b) lBl + + ! + B +

Demostracin. a) Si B C ! lBCl BC lBllCl si finalmenteB C ! lBCl BC B C lBllCla ba b si e B ! C ! lBCl BC B C lBllCla b b) Si B ! lBl B + + ! "a b si luego por y se tieneB ! lBl B + B + # " #a b a b a b + B +

8. Demuestre que:

lB Cl llBl lCll

Demostracin.

Sea B C D B D C

lBl lD Cl lDl lCl lBl lB Cl lCl lB Cl lBl lCl de aqu lB Cl lCl lBl lC Bl lB Cl lB Cl como 0 entonceslB Cl llBl lCll

9. Si demuestre que + , ! + + , +, ," ## a b " "+ ,Demostracin.

+ , #+ + , + + , ""# a b a b , por otra parte a b a b a b a b+ , ! + , #+, + , %+, + , +, # # ## # "#ahora como a b a b a b+ , %+, + , +, %+ , + , +, #+,# # # # +, + , +, , #+, , +, #" "+ , a b3 , tambien como # # , , % " # $ %#+,+,

#" "+ ,

a b a b a b a b a b Finalmente por y se tiene lopedido.

Mett

10. Demuestre que para todo positivos se tiene+ ,

+ , + , +,$ $ # #

Demostracin.

Analizando la tesis induce a partir de + , + , ! a b a b# a ba b+ , + , ! # # + , + , +,$ $ # #11. Para todo reales positivos demuestre+ , -

a) + , - +, ,- -+# # #

b) a b+ , - $ +, ,- -+#Demostracin.

a) Como analogamentea b+ , ! + , #+,# # #, - #,- - + #+-# # # #y y sumando miembro a miembro estasdesigualdades y simplificando se obtiene + , - +, ,- -+# # #

b) Sumando a la desigualdad demostrada en a) se tiene lo#+, #,- #-+pedido.

12. Si demostrar que+ , B C "# # # #

+B ,C "

Demostracin.

a b+ B ! + B #+B# # # a b, C ! , C #,C# # # sumando miembro a miembro ahora ocupando la+ B , C #+B #,C# # # #

hiptesis y simplificando se llega a +B ,C ".

13. Si reales demuestre+ , - , - - + + , +,- + , -# # # # # # a b

Demostracin.

Como anlogamentea b+ , ! + , #+,# # # y de donde:, - #,- - + #+-# # # #

Mett

a b a b a b+ , - #+,- , - + #,- + - + , #+-, # # # # # # # # # # # # y sumando miembro a miembro estas 3 expresiones, obtenemos:

# #+,- + , - a b a b, - - + + ,# # # # # #, - - + + , +,- + , -# # # # # # a b14. Si reales positivos y , demuestre que+ , - distintos entre si

+ , - +, ,- -+

$ $ +,- a b"# "

$

Demostracin.

Como: ; y + , #+, , - #,- - + #+-# # # # # #

Sumando miembro a miembro y simplificando se obtiene

+ , - +, ,- -+ # # #

+ , - #+, #,- #-+ $+, ,- -+ # # #

a b a b + , - $+, ,- -+ "+ , - +, ,- -+$ $#"#

Ahora, de la desigualdad notable se tieneQE QK

+, ,- -+ +, ,- -+$ $ + , - +,- #

a b a b$ "# "$# # # finalmente de y se obtienea b a b" #

+ , - +, ,- -+$ $ +,- a b

"# "

$

15. Si son cantidades positivas, demostrar+ , -

+ , , - - ++ , , - - + + , -# # # # # #

Demostracin.

Como: + , #+, # + , + , # # # # #a b a b + , + ,+ , # "# # a b

Mett

analogamente: , - , - - + - +, - # - + # # $# # # #a b a b

sumando miembro amiembro y se obtienea b a b a b" # $

+ , , - - ++ , , - - + + , -# # # # # #

16. Si son reales positivos y , demuestre+ , - distintos

a) a ba b+ , - +, ,- -+ *+,- b) + , - , - + - + , '+,-# # #a b a b a b

Demostracin.

a) Aplicando la desigualdad notable se tiene:QE QK QL

"3 a b a b + , - +,- +, ,- -+ +, ,- -+ y multiplicando miembro$ $"$a miembro se tiene lo pedido. b) Aplicando la misma desigualdad notable se tiene de inmediato lo pedido.

17. Demostrar para reales positivos cualquiera, que+ , B C

a ba b+, BC +B ,C %+,BCDemostracin.

a) Aplicando la desigualdad notable tenemos:QE QK QL

y +, BC

# # +,BC +B,C +B ,C

multiplicando miembro a miembro se tiene a ba b+, BC +B ,C %+,BC18. Si demostrar que: B C D ' B C D "## # #

Demostracin.

Como ya sabemos: B C #BC C D #CD D B #DB# # # # # #

ahora sumando miembro a miembro B C D BC CD DB "# # # a b Por otra parte de B C D ' B C D #BC #CD #DB $' # # #

BC CD DB ") B C D"## # #a b finalmente remplazando en se obtienea b"

Mett

B C D "## # #

19. Si son reales positivos y , demuestre que+ , - distintos

# + , - ,- , - -+ - + +, + ,a b a b a b a b$ $ $Demostracin.

De a b a b a b+ , ! + , +, +, + , +, + , " # # # $ $ de igual modo ; , - ,- , - # - + +- + - $$ $ $ $a b a b a b a b sumando miembro a miembro y se obtienea b a b a b" # $ # + , - ,- , - -+ - + +, + ,a b a b a b a b$ $ $20. Si demostrar que+ , - B C D

B + C , D - + B , C - D * +,-BCDDemostracin.

Aplicando la desigualdad notable obtenemos:QE QK QL

y B +C ,D - + B, C- D $ $ BCD +,- +,- BCD $ $ Multiplicando miembro a miembro estas dos expresiones

B + C , D - + B , C - D * +,-BCD +,-BCD $ * +,-BCD * +,-BCD $ $21. Si son reales positivos y , demuestre que+ , - distintos

* # # # " " "

+ , - + , , - - + + , -

Demostracin.

Aplicando se tiene:QE QL

a b a b a b+ , , - - + $

$ " " "+, ,- -+

Mett

# " " " *+ , , - - + + , -

* # # #+ , - + , , - - + "a b

Por otra parte: y tambin+ , # ## # + , #

" "+ ,

" "+ , a b

" " " ", - - + # , - # - + $ %

# #a b a b sumando y a b a b a b a b# $ % # # " " "+ , , - - + + , - Finalmente de y y por la propiedad transitiva, se concluyea b a b" &

* # # # " " "+ , - + , , - - + + , -

22. Si son los lados de un tringulo, demostrar que+ , -

" " " " " "

+ , - , - + - + , + , -

Demostracin.

Por hiptesis + , - + , - B ! , - + C ! - + , D !Por ejercicio anterior y considerando que los lados de un tringulo puede seriguales, se tiene:" " " # # #B C D BC CD DB B C #, C D #- D B #+ pero

luego: " " " # # # " " "

+ , - , - + - + , #, #- #+ + , -

23. Si y son reales positivos con demostrar:+ , + , %# #

a) + , %# #

b) + , " " "(+ , #% %

% %

Demostracin.

a) Como y 4 + , #+, #+, # # + , % + , %# # # #

Mett

b) Sea E + , + , #+ , " " " " #+ , + , + ,% % # # # #

% % # # # ##

# Ahora por a) como al restar una cantidad positiva mayor#+ , )# #a b8 en lugar de la expresin se hace mayor, luego#+ , E# # ;E + , ) " " #+ , + ,

# # # # # # ## adems y es positivo y al eliminarlo se hace + , "' E" "+ ,# # # # # #

an mayor, por tanto

, con lo que E "' ) + , " " " "(# + , #% %

% %

24. Si son nmeros reales positivos, demostrar+ , - .

a b+ , - . +, ,- -+ + , - .$#Demostracin.

Aplicando se tiene:QE QK

+ , , - - + + .# # # # +, ,- -+ +.

, . - .# # ,. -.

sumando miembro a miembro estas 6 expresiones y factorizando convenientemente

obtenemos

a b+ , - . +, ,- -+ + , - .$#25. Demostrar para reales positivos y distintos entre si, que:B C D

a) a b a ba ba bB C D #( B C D C D B D B C$ b) BCD B C D C D B D B Ca ba ba bDemostracin.

a) Prviamente demostraremos a b a b+ , - #( +,- "$ lo que resulta de inmediato pus +,-$

$ +,- + , - #( +,- a b$

Mett

Ahora haciendo en resulta+ B C D , C D B - D B C "a b .a b a ba ba bB C D #( B C D C D B D B C$ b) Prviamente demostraremos a ba ba b+ , , - - + ) +,- que tambin resulta de aplicar pus para positivosQE QK + , -

+ , , - - +# # # +, ,- -+

multiplicando miembro a miembro, se tiene a ba ba b a b+ , , - - + ) +,- # Ahora de la parte a) y + , #C , - #D - + #B

finalmente en y simplificando, se tienea b# .BCD B C D C D B D B Ca ba ba b26. Si demuestre que la expresinB C D !

es positiva.E B B C B D C C D C B D D B D C# # #a ba b a ba b a ba bDemostracin.

E B C B B D C C D a b a b a b# # D D B D C#a ba b B C B C B D C D D D B D Ca b a ba b$ $ # # # B C B BC C BD CD D B D C Da b a ba b# # # # B C B B D C C D BC D B D C Da b a b a b a ba b# # Expresin que resulta positiva pus por hiptesis se tiene .B C D !

27. Si demostrar que+ , -

# + , - + , - + , - "& +,-a ba b# # # $ $ $Demostracin.

Aplicando es fcil demostrar que:QE QK

y de donde+ , - , - + - + , '+,- + , - $+,-# # # $ $ $a b a b a b y#+ , - #, - + #- + , "#+,-# # #a b a b a b ahora sumando miembro a miembro#+ , - + , - $+,-$ $ $ $ $ $

Mett

# + , - "& +,-a b+ , - + , - , - + - + ,$ $ $ # # #a b a b a b $ $ $ finalmente de aqu, # + , - + , - + , - "& +,-a ba b# # # $ $ $28. Si distintos entre si, demostrar que+ , -

a ba b+ , - + , - + , - $ $ $ # # # #Demostracin.

Aplicando la desigualdad de Cauchy- Schwarz a los nmeros:

B + B , B - C + C , C - " # $ " # $$ $ $ se tiene de inmediato a ba b+ , - + , - + , - $ $ $ # # # #

29. Si son reales positivos tales que, + + + + + + "" # 8 " # 8demostrar que a ba b a b" + " + " + #" # 8 8

Demostracin.

Como: de aqu "+3# 3 3 3 + a 3 " # 8 " + # + a b multiplicando miembro a miembro estas desigualdades, se tiene8

a ba b a b " + " + " + # + + + #" # 8 " # 88 8

30. Si demostrar+ + +$ # "

l B + l l B + l l B + l + +" # $ "$

Para que valores de se cumple la igualdad?B

Demostracin.

l B + l l + B l l + + l" # # " l B + l l + B l l + + l# $ $ # sumando miembro amiembro:l B + l l + B l l + + l$ " " $# l B + l l B + l l B + l l + + l l + + l l + + la b" # # " $ # " $$aplicando las hiptesis se tiene:# l B + l l B + l l B + l + + + + + + # + +a b a b" # # " $ # " $ $ "$luego l B + l l B + l l B + l + +" # $ "$

Mett

La igualdad se cumple para B + #

31. Si demostrar que8 8 "

a) a b8 " # 8x8 8 b) a b 8x 8$ 8 8"# #8Demostracin.

a) Aplicando la desigualdad notable a los primeros nmerosQE QK 8pares, se tiene

# % ' #8

8 # % ' #8 8

# " # 8 8 # " # 8 8 " # 8xa b a b a b 8 88 8 a b8 " # 8x8 8 b) Analogamente

" # 8 " "

8 8 # " # 8 8 8 " 8x$ $ $

$ $ $ # $ a b a b8 8 8 8 " 8x 8x 8 " 8 "# #a b a b a b # 8$ $ #88

32. Si demostrar que8 8 "

" # " " " "# $ 8 8# # #

Demostracin.

Observando que: " " " "8 8 8 " 8 " 8 8 "# a b

se tiene: " "# # " #

" " "$ # $ #

" " "8 8 " 8 #

sumando miembro a miembro y agregando a ambos miembros, se recibe"

Mett

" # " " " "# $ 8 8# # #

33. Si demuestre que:+ , + ,

8 8"+ , + ,8 8 8" 8"Demostracin.

a b a b a b a b a b+ , + , + , + , + + , ,8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 88" " " "8 8 8 8 + , + ,a b a b8 8 8" 8"" "8 8por tanto a b + , + , + , + ,8 8 8" 8" 8 8 8" 8"8"8 8 8"

34. Si demostrar que8 8 "

a b8 " # 88" 8" 8Demostracin.

Tomando la sucesin: y + + + + " " " "8 8 8 8" 8"# 8

y aplicando QE QK

" " " "8 8 8 8 " "" " "8 8 8 8 " 8 " 8 8 "8" 8" 8

8 " # 8# " # "8 " 8 88 " a b a b8" 8 88"8" 8" 8" 8

35. Si demostrar que8 # " 8 #8 8"

Demostracin.Como es habitual aplicamos a la sucesin: QE QK " # # ## 8"

" # # #8 " # # #

# 8"# 8"8

"# # " # # " 8 # a b8 "# 8" 8 8 8"" " "8 # 8a b

# " 8# # " 8 #8 8" 8 8""# a b

Mett

36. Si demostrar que8

" " $ & #8 "# # % ' #8 "

a b8Demostracin.

Para 8 " 8 " ! #8 " 8 "#8 " "#8 # a bpor otra parte " ! #8 " #8 #8 #8 " " ##8 "#8 a bDe y se tiene: ahora dando valores a obtenemos:a b a b" # " 8" #8 "# #8

" "# # "

" $# # "

" #8 "# #8 "

multiplicando miembro a miembro estas desigualdades, se obtiene

a b a b" " $ & #8 " " " $ & #8 "# # % ' #8 # # % ' #8 " "8 8

37. Si demostrar que8 # 8 " 8x"#

8a bDemostracin.

De inmediato " # 8 8 "

8 # " # 8 8x a b8 "8

8 " 8x"#8a b

38. Si y demostrar que 8 5 8 5 " 8x 8 a b# 8Demostracin.

8 5 5 " ! 8 5 " 5 5 " 85 8 5 5 a b a b # 85 5 5 8 5 8 5 " 8# a b de donde dando valores a obtenemos:5

Mett

" 8 8 # 8 " 8a b $ 8 # 8a b 8 " 8

multiplicando miembro a miembro estas desigualdades, se obtiene

( ) " # 8 8 8 " 8 # # " 8 8 8 8x 8x 8 a ba b 8 a b8x 8 # 8

39. Si demostrar que8 <

" " <

Mett

#!W + + + #!

#!W WW +

" # #!

3"

#!

3"

"*W #! W %!! "*W#!W W + "* + W %!!W

W +" " "3"

#!

3

3" 3"

#! #!

3 3

7.4. Ejercicios Propuestos

1. Para y nmeros reales, averiguar el valor de verdad de las siguientes+ ,afirmacionesa) Si b) Si + #, + , +, + , + $+ , ," "% %

# # a bc) Si d) + ! , ! + , +, + , # +,"#

# #a b Respuesta.

a) Falsa; b), c) y d) Son verdaderas.

2. Si so reales positivos tales que . Demuestre que + , - . + - + + - -, . , , . .

3. Si , demuestre que + , + , + , 4. Si y distintos, demuestre+ ,

+ , + , +,% % $ $

5. Sean reales positivos, demuestre que:+ , -

a) + ,, + #

b) + + #" "+ +$

$

c) a b a b+ , - % +, ,- -+# d) a ba b+ , - , - + -#6. demuestre que a + ! + + " "+ +

$ #$ #

7. , demuestre que:a +

Mett

a) b) c) + # + " + % "+ "

# " + # #+ "

# #

# % # a b8. Si reales positivos, demuestre que:+ , -

a) a ba ba b+ , , - - + )+,- b) a b a b+ , - $ +, ,- -+# c) a b a b a b+ , - , - + - + , +, ,- -+# # # d) + " , , " - - " + '+,-# # # # # #a b a b a b e) +, + , ,- , - -+ - + # + , -a b a b a b a b$ $ $ f) a ba b+ , - +, ,- -+ *+,- g) + , - #+, #,- #-++ , , - - +

9. Si reales positivos, demuestre que:+ , - .

a) + , - ., - . + %

b) -. + , +. ,- +- ,.a b a ba b# c) + , - . %+,-.% % % %

d) a b a b+ , - . "' + , - .$ $ $ $ $ e) a b+ , - . )"+,-.# # # # #10. Si son reales positivos tales que, demuestre que+ , - . W + , - .

)" +,-. W + W , W - W .a ba ba ba b11. Si demuestre que+ , - B C D "# # # # # #

+B ,C -D "

12. Si y son reales positivos tales que , demuestre que+ , + , "

i) %+, "

i) + , ")% %

iii) + , " " #&+ , ## #

Mett

13. Si demostrar que+ !

691 + 8 + " 814. Si Si , demuestre que+ ,

# + , + , + ,a b a ba b* * % % & &15. Si reales positivos tales que la suma de sus cuadrados sea 8, entonces+ , -

+ , - "'$ $ $ #$16. Si reales positivos tales que la suma de dos de ellos es mayor que el tercero,+ , -

demuestre

a ba ba b+ , - , - + - + , +,-17. Demostrar que para todo 8 se tiene que:

a) ( ) b) " # 8 " # 8 # 8" 8# #8 8"

18. Demostrar que para todo entero positivo se tiene:

a) 8 " 8 8 8 ""# 8 b) # 8 # " "# # 8 ""8 19. Si estn en demostrar+ , - T L

[ + , - ,#+ , #- , %

20. Pruebe las siguientes desigualdades, para todo reales:B C

a) B BC C !# #

b) B B C B C C ! 8 #8 #8" #8" #8

c) a b a bB C '% B C( ( (21. Si la suma de nmeros positivos es constante, demostrar que su producto es8

mximo cuando dichos nmeros son iguales.

22. Si con reales positivos. Demuestre que+ , - " + , -

a) a ba ba b" + " , " - )+,- b) el mnimo valor de es

" " "+ , - *

23. Sea demuestre que8 8 "

Mett

" "# $8 " " # 8 #8 "a b a b" # 8 #8 8"a b

Ayuda: Aplique a los nmerosQE QK QL

" # # $ $ $ 8 8 8

24. Sea demuestre que8 8 "

# $8 # "#8 8"

Ayuda: aplique a los nmerosQE QK

% % % %# $ 8

25. Sea demuestre8

a b a b#8 x # 8x#8 # Ayuda: ocupe el teorema del binomio

7.5. Inecuaciones

Definicin "

Una inecuacin es una relacin de desigualdad para una o ms variables reales, quepuede ser verdadera o falsa segn sean los valores que puedan tomar dichasvariables.

Nota ."

En este texto solo abordaremos las inecuaciones con una variable real,eventualmente lo haremos tambin con dos variables.

Notacin.

Una inecuacin de una variable real la denotaremos por:

0 B ! 0 B ! 0 B ! 0 B !a b a b a b a bDe la solucin.

Supongamos una inecuacin de la forma 0 B ! "a b a b

Mett

Resolver esta inecuacin es, determinar un conjunto de nmeros reales para loscules sea verdadera.a b"

Por tanto con es solucin de si y solo si B + + " 0 + ! a b a bDefinicin 2

Dos inecuaciones son equivalentes si y solo si toda solucin de una de ellas essolucin de la otra.

Teorema 1

Las inecuaciones:

a) 0 B 1 B 0 B 2 B 1 B 2 Ba b a b a b a b a b a b b) con 0 B 1 B 0 B 2 B 1 B 2 B 2 B ! a B a b a b a b a b a b a b a b c) con 0 B 1 B 0 B 2 B 1 B 2 B 2 B ! a B a b a b a b a b a b a b a b d) con l0 B l 1 B 1 B 0 B 1 B 1 B ! a B a b a b a b a b a b a b e) l0 B l 1 B 0 B 1 B 0 B 1 B a b a b a b a b a b a b son equivalentes.

Demostracin.

Se dejan propuestas.

Observacin 1

En general, tal como para las ecuaciones no hay un mtodo nico para resolver unainecuacin, todo depende de la destreza algebraica y de la aplicacin adecuada delos teoremas y definiciones precedentes.

Nota 2.

mdulosLas inecuaciones conteniendo se resuelven aplicando la definicin demdulo y en algunos casos aplicando el teorema precedente incisos d) o e).

Mtodo de los puntos crticos.

Una gran parte de las inecuaciones que resolveremos lo haremos por el siguientemtodo, el cul hemos llamado para el que,mtodo de los puntos crticos daremos el siguiente algoritmo.

Resolver: 0 B ! 0 B ! 0 B ! 0 B !a b a b a b a b 1) Se determinan los puntos crticos de 0 B a b

Mett

Se dice que es un punto crtico de si y solo si no B 0 B 0 B ! 0 B! ! !a b a b a bexiste.

2) Se ordenan todos los puntos crticos obtenidos en el eje real.

Si es el caso de un punto crtico de: 0 B ! 0 B !a b a b tal que 0 B !a b!dicho punto debe considerarse en la solucin.Si es el caso de un crtico de: , estos aparecen en el eje real0 B ! 0 B !a b a bcomo referencia, no deben estar en la solucin.Si es un punto crtico tal que existe, dicho punto en ningn caso debe0 Ba b! no considerarse en la solucin.3) Se determinan los signos de en los intervalos determinados entre puntos0 B a bcrticos.

4) Si la inecuacin en cuestin es: 0 B ! 0 B !a b a b la solucin seencuentra en los intervalos sealados con signo a b

la solucin se encuentraSi la inecuacin en cuestin es: 0 B ! 0 B !a b a ben los intervalos sealados con signo a b

Debe considerarse para la solucin lo expuesto en el inciso 2).

Inecuaciones de 2 grado

Sea y su discriminante 0 B +B ,B - + ! , %+-a b # #? y sean tambin y sus races reales. B B B B" # " #a b I) i) + ! ! 0 B ! B B B B? a b " #

ii) 0 B ! a b B B B" # II) + ! ! 0 B ! aB B B B? i) a b " #

ii) Ningn 0 B ! Ba b III) + ! ! 0 B ! aB ? i) a b Ningn ii) 0 B ! a b B IV) i) + ! ! 0 B ! B B B? a b " #

ii) 0 B ! B B B Ba b " # V) + ! ! 0 B ! B? i) Ningn a b

ii) 0 B ! a b aB B B B " # VI) i) Ningn + ! ! 0 B ! B? a b

ii) 0 B ! a b aB .

Mett

7.6. Ejercicios Resueltos

1. Resolver en ,

(B # #B &

% # " B

Solucin.(B # % %B "! %B (B # )B "! B "#luego la solucin en , resulta: "" "! *

2. Resolver en , el sistema:

)B & ""&B )# a b # #B $ &B #$%a b a b

Solucin.

Resolvemos y en forma independiente y sus soluciones se intersecan entrea b a b" #si, en efecto:

a b" "'B "! "&B ) B # W B B # " a b# "'B #% #!B $ B W B B #" #"% %# luego Sol. W W g" #

3. Resolver en , el sistema de inecuaciones: &

" $B B "a b

B B$ # " # #a b

" B " ! $"& a b a b ! B " B " %" "( *a b a b a b B B &( $$ ( a b

Mett

Solucin.

a b" B ! B !" $B B B $B note que se ha multiplicado por # a b# B B ")$ # & " # #B ' "# $B B a b$ & B " ! B %" B " ! "& a b a b a b a b% ! B " B " ! *B * (B ( B )" "( * a b& B B %*B * #"B B ( $ *$ ( (! luego intersecando estas soluciones resulta W B B ! *(!

4. Resolver cada una de las siguientes inecuaciones:

a) B $B % B " !# #a b b) lB "l #B B !# #a b c)

#B #B $B B %#

d) #B " "

B B " B " !# $

e) B $ $

B %B & " B " #

#

Solucin.

a) Como B " ! B $B % # #esto obliga a que 0 sus puntos crticos son

y 4 " Sol. . _ " %_ " %

b) Tambien como 0 lB "l #B B ! # #a b 0 2 Sol. _ ! #_ "

Notemos que en la solucin hemos includo al pus el mdulo tambien se" se anula para l y en la solucin indicada no est indicado.

c) Efectuando operaciones algebraicas se obtiene %B "#B&B $B## ! sus puntos

crticos son y 0 $ 5# #"

Mett

$ !& "# #

Sol. $ !& "# #d) Efectuando operaciones algebraicas se obtiene sus puntos

B#B "B " !$

crticos son: y ! " "# 0 1"# Sol. . _ ! ""#

e) Primero resolvemos , para luegoB $ $

B %B & " B " " #

# y luego

intersecar sus soluciones

De la primera inecuacin se tiene , nico crtico # #B " "B %B & # ! a b#

pues es siempre positivo por tanto Sol.B %B & ! " _"## a b a b?

Para la segunda inecuacin B #" B !

# " Sol.a b# # " Finalmente intersecando la solucin y se obtiene, Sol. ( ) a b a b" # " "#

5. Resolver en , el sistema:

B " B " " a b

( 'B " B " & ## a b

Solucin.a b" Las condiciones previas antes de elevar al cuadrado son: B " ! B " ! B " B " B " a bBajo esta condicin y elevando al cuadrado resulta B #B " B " #

intersecando conB B $ ! B ! B $a b ! $a b W B B $ resulta "

Despus de las simplificaciones correspondientes obtenemosa b#

Mett

a ba ba ba bB # &B $B " B " !

" " #$&

W B B " B " B #$

De donde Sol. W W B B $ " #

6. Determine los signos de

0 B % "B # B "a bSolucin.

Note que los signos de se refiere a; para que valores de0 B 0$ B #B # B "a b a ba ba bB 0 B ! 0 B !: o bien por tanto se tiene dea b a b

0 B ! # B " B #a b # " # 0 B ! B # " B #a b

7. Resolver

a) 6 #B "

B %

b) #B " B %6c) l B " l #B l B $ l

Solucin.

a) #B " #B " #& #$ B B ' # % % B B 6 6 de donde se obtiene

b) #B " #B " B B % % %6 6 Sol.

6#B " 'B #& #& B ' B ' % ! " _ '_a b

Sol. luego6

% ! # _ ' _#B " #$ #B #$ B ' B #a b Sol Sol Sol. . " # _ _#& #$' #a b a b

Mett

c) Puntos crticos de los mdulos y 1, luego $

, luegoa B $ B " #B B $ B #a b a b Sol.a b a bB $ B # " _ $ luegoa $ B " B " #B B $ B "#a b Sol. a b $ B " B # $ " "# # luego la interseccin de steaB " B " #B B $ B #a b a b tramo es vaca.

Finalmente la solucin es Sol. Sol.a b a b" # _ "#8. Hallar los reales tales queB

" $B &B #

Solucin.

I. B & B & B & B &B # B # B # B # $ $ $ $ $ a b" $ ! B& ""#BB# B# B # B W""# "a b # ""#a b a b# $ ! B B # WB& %B" "B# B# % # "% #

luego: Sol. Ia b W W _ _" ""% #" #II. B & B & B &B # B # B # " " "a b$ " ! B & #B $B # B # B # W$# a b$

#$#a b a b% " ! B # WB & (B # B # % Por tanto: Sol. IIa b W W # #_$#$ %

Mett

Finalmente Sol. Final Sol. I Sol. II _$ " ""# % #a b a b9. Resolver el sistema:

a bB # B # "B $ $B B $ "#

a b a b#B " B " "B &B ' B # ##Solucin.

a b " B # B # " " B # B # "B $ $B B $ $ B $ $B B $# # de donde I. puntos crticos:

B # B # " #B $B $B $ $B B $ $B B $ !#

# a b y luego; $ !(* ! $(*

$ !(* ! $(* Sol. Ia b $ !(* ! $(*

II. puntos crticos: ! $ " B # B # %B ' $$ B $ $B B $B B $ ###a b

! $# luego; $ ! $ $# #

Sol. IIa b _ $ ! _$ $# # As: Sol. Sol. I Sol. IIa b a b a b " !(* $(*$ $# # a b a ba ba b a ba ba b# ! B # B $ !#B " B " " # B "B &B ' B # B # B $# #

pus por tanto Sol.B " ! # _ # $_# a b # $

Luego: Sol.Final Sol. Sol. 9). " # !(* # $ $(a b a b $ $# #10. Probar que la inecuacin

lB &l l" Bl %no tiene solucin.

Mett

Prueba.Aplicando la definicin de mdulo, considerando los puntos crticos 1 y se tiene:&Si con lo que enB " B & " B % #B ' % B "este caso no hay solucin posible pus se contradice con la condicin inicial.

Si que no es posible." B & B & " B % % %

Si 0 tambin contradiccin.B & B & " B % #B " B &

luego se h a probado que la inecuacin no tiene solucin.

11. Hallar los valores de que hacen reales las races de la ecuacin5

5B # 5 " B 5 " !# a bSolucin.

Para obtener races reales, debe cumplirse que de donde? , %+- !#

4a b a b5 " % 5 " 5 ! $5 " ! 5 # "$12. Determine los valores de de modo que: 7 0 B 7B 7 7 " B #7a b a b#

sea negativo a B

Solucin.0 B ! a B + ! ! 0 B +B ,B -a b a b si por tanto: ? #7 ! " 7 7 " )7 ! 7 7 #7 ( ! comoa b a b a b# # # ##7 ! 7 #7 ( ! " # # " # ## # puntos crticos: y luego " # # 7 " # # # a b

" # # " # # Intersecando y obtenemos {a b a b " # 7 " # # 7 !

13. Hallar los valores de para que la expresin7

a b a b7 " B # 7 $ B 7 $# se cumpla a B

Solucin.Se debe tener que a b a b7 " B # 7 $ B 7 $ ! a B # Si entonces ( luego0 B 7 " B # 7 $ B 7 $ + ! !a b a b a b# ?

Mett

7 " ! 7 " " % 7 $ % 7 " 7 $ ! a b a b a ba b# # 7 $ ! 7 $ # a b a b Intersecando y obtenemos {a b a b" # 7 7 $"% Resolver el sistema:

B "

B 'B "! " "#

# a b 691 B #B # " #"! a b#Solucin.

a b" " ! B " 'B *B 'B "! B 'B "!## #puntos crticos: $ "* $ "* $#

$ "* $ "*$#

Sol.a b" _ $# $ "* $ "* solo si a b a b# 691 B #B # " B #B # "! B #B # !"! # # # puntos crticos: luegoB #B # "! B #B ) ! # %# #

y , pus # % B #B # ! a B a b a b! "# # %

( por tanto + ! ! # %? ! "Sol.a b# a b a b finalmente Sol. $#Sol. Sol.a b a b" # # $ "* %15. Para que valores de la ecuacin5

a b a b5 # B # 5 # B #5 " !# tendr al nmero en el intervalo determinado por sus races."

Solucin.Sea concretamente se pueden dar dos0 B 5 # B # 5 # B #5 "a b a b a b#casos:I) II) 5 # ! 0 " ! 5 # ! 0 " !a b a b

I) caso que no da solucin.5 # &5 ( ! 5 # 5 (&

Mett

II) que s la solucin.5 # &5 ( ! 5 #(&

16. Resolver

a) B &B ' B %B (B "# B $

#

#

b) B B

# B " B B B (B "

B " B #

$ # "(

# % #

#

# #

a b a ba b Solucin.

a) puntos crticos: B &B ' B % B "!B (B "# B $ B % B $ ! "! $ %

#

# a ba b "! $ %_ Sol.

"! $ %

b) B B B B ( B

# B " B B !B (B "

B " B # B " B #

$ # # #" "( (

# % #

#

# # # #

a b a ba b a b a b Puntos crticos: por tanto resulta! ( ( " "( (

( ! ( " "( ( Sol. _ ( ! ( " "( ( 17. Para que valores de las races de la ecuacin tiene:7 B $B 7 "#B " 7 "

#

a) Races reales y distintas.b) Races reales y ambas positivas.c) Races reales de signo contrario, siendo negativa la mayor en valor absoluto.

Solucin.a) Notemos que la ecuacin es igual a: a b a b a b7 " B &7 " B 7 " !# Para que la ecuacin dada tenga races reales y distintas se debe tener + !

!? por tanto: + 7 " ! 7 " &7 " % 7 " ! ? a b a b# #

Mett

La ecuacin siempre tiene races#"7 "!7 & ! $#! # ? reales, luego solo .7 "

b) Sean y las races de la ecuacin, considerando a) se tiene B B 7 "" #

y de donde se obtienen:B B ! B B !7 " &7 "7 " 7 "" # " #

( (7 " 7 " 7 " 7 7 " 7 ""&

c) Adems de , siendo las races de la ecuacin, entonces:7 " B B" #

B B ! " 7 "7 "7 "" #

as resulta: B B ! " 7 " 7 &7 " " "7 " & &" #

18. Resolver el sistema:

lB "l l#B $l

$B % ! "a b lB Bl B " ## a bSolucin.a b" lB "l l#B $l $B % !Podemos considerar dos casos: i) 0

ii) 0 lB "l l#B $l $B % !

i) Notemos que si 0$B % ! B B " #B $ B %%$

por tanto Sol iB B % g g%$ a bii) elevando al cuadrado se recibe ,lB "l l#B $l $B "%B ) !#

puntos crticos y % B % B # #$ $ % #$

intersecando con resulta Sol iiB _ % % # %$ $ $a b Luego Sol. Sol i Sol iia b a b a b" _ % # %$ $

a b# lB Bl B " lB Bl " B # # laB B B " B B " B B " ! B " ! # # # #

Mett

primera inecuacin conduce a , y la segunda a g B " B "

por tanto: Sol. .a b# _ " "_ Finalmente, Sol. Final Sol. Sol. " # _ % " %$a b a b19. Para que valores de los trinomios y B 0 B B B ' 1 B B &B %a b a b# #

tienen distinto signo.

Solucin.Se debe tener 0 B 1 B ! B B 'B &B % ! a b a b # #a ba ba ba bB # B $ B " B % ! # " $ puntos crticos: y 4

Sol. # " $ % # " $ %

20. Sean y dos funciones definidas en .0 B lBl B 1 B B "a b a b Encuentre el dominio de 1 0

Solucin.

De inmediato lo que exige, quea ba b a ba b 1 0 B 1 0 B 1 lBl BlBl B ! lBl B ! lBl B aB luego de aqu se debe tener 0 1 lBl B lBl B " lBl B " como ambos trminos son positivos podemos elevar al cuadrado,lBl B " obteniendose ( ), de la primeralBl " B B " B B " Ba b inecuacin se tiene y la segunda inecuacin no aporta ms soluciones,B "#

por tanto el Dom.0 B B "#

#" 0 0 B a B "#lBl "Determine el recorrido de la funcin definida por a bSolucin.

Como, pero como 0, ; entoncesC lBl lBl aB # # ClBl " C

# CC # ! 0, puntos crticos:

Mett

# ! Rec.0 C C # C !

22. Resolver lB Bl lBl lB "l !#

Solucin.La inecuacin se puede expresar como , puntoslBllB "l lBl lB "l !crticos para aplicar la definicin de mdulo, son: 0 y 1.

Para B ! B B " B B " ! B B " ! a b a b a b # pero como entonces B B B !" & " #

" & " #

queda B " "

a b Para ! B " B " B B B " ! B $B " ! a b # $ & B $ &" "# # pero como ! B "

$ & $ #

entonces queda "# $ & B # a b1 Para lo que es verdadB " BB " B B " ! B B " !#

, pus luego solo queda a B + " ! ! B " $ a b Finalmente uniendo y se tiene Sol.a b a b a b" # $ _ _" & $ # 23. Determinar para que valores de se verifica5

$ # a B B 5B #B B "#

#

Solucin.

a b" $ !B 5B # %B 5 $B "B B " B B "# ## # ahora como , se debe tener B B " ! a B %B 5 $B " ! + ! # #

esto es ? ? ! + % ! 5 $ "' ! 5 ( 5 " !# a ba b de donde se obtiene Sol.a b" 5 " 5 (

Mett

se debe tener tambina b a b# # B 5 # B % !B 5B #B B "## # por tanto + ! ! + " ! 5 # "' ! ? ? a b# de donde a ba b5 # 5 ' ! 5 ' 5 # # Finalmente Sol. Final Sol. Sol. " " 5 " 5 # a b a b 24. Sean y si si

si si

0 B 1 B B B "B " B "B " ! B "

B # B ! B "a b a b # Encuentre y a ba b a ba b0 1 B 1 0 B Solucin.

si 0 si 1

si

si si si

a ba b

a b

0 1 B 0 B " B " B " B "

B B " "

0B # B ! B "B # B # "B # " B # "#

Ahora: (0 1) B " B " B ! (0 1) B " B " ! B " B ! B " B # " B "

B ! B " B # " " B ! B "

Luego queda;

si si 0si si

a ba b0 1 B " B !B B "B # B "B %B $ " B ! B "#

Procediendo en forma anloga para se obtienea b1 0

si si si si

a ba b 1 0 B B # B !B " ! B "

B " B #B " B ##

25. Hallar el dominio de definicin de cada una de las funciones siguientes:

Mett

a) 0 B % l" lB "l Bla b b) 0 B E

Mett

Si aumentar para aquellos tales que es decir+ ! 0 B B B !,#+a bB B ! B , , ,#+ #+ #+y disminuir para es decir de aqu que para

la funcin toma su valor mnimo. Note que para este caso B 0 B 0 B,#+ a b a b no tiene un valor mximo.

Analogamente, si aumenta para y disminuye para+ ! 0 B B ,#+a bB B 0 B, ,#+ #+ y en la funcin toma su valor mximo.a b

27. Hallar el rectngulo de rea mxima, entre todos los rectngulos de permetro dado.

Solucin.Sea la longitud del permetro del rectngulo buscado, y la longitud de uno#: B de sus lados iguales.

Por tanto el rea viene dada por o sea el problemaE E B : B :B B a b # se reduce a determinar el mximo de la funcin de inmediato porE :B B #

el problema anterior , tiene un mximo para , y+ ! E B : :# " #a bcomo luego el rectngulo de mayor rea, para un permetro dado: B : :#es un cuadrado.

7.7. Ejercicios Propuestos

1. Resolver en ,

a) b) $ # B #B # " B $B % B B &" "# %a b a b a b#c) B &B ' !# d) B # $ B%B $ !

a be) f)

2#B $ B #BB # B B $ $

#

# !

Mett

g) h) " ! $"& (B #B $B B ' B "# #

Respuesta.

a) b) c) d) e) [ [ (B # # _ ' " _ ' _ # $ a b$%f) g) h) con [B ! B # B $ B # B $ !#$

2. Resolver en ,

a) b) a bB # B ' ) B B (B "# !% # c) d) " !' ' B B *B $B # B # B "#

#a b e) f) a ba bB $B % B ) ! " #$B "B $# # g)

B B #B $B # B $B # !# #

h) #B #& #B "" #

B #B $ B " B $ # #

Respuesta.

a) b) B ' # B $ ! B $ B # c) d)B # " B " B # ! B $ $ B "

e) f) B % B " & B "

g) h) " B " B # $ B " B ""#

3. Resolver en ,

a) b) c) l #B $ l " # # l B $B l 'B #B % #

d) # l B " l l # B l "

Respuesta.

a) b) c) ,B " B # B ' B " B %"!$

d) ( _ & _"$

4. Resolver en ,

Mett

a) b) l" Bl B ! B '"B

c) d) a bB #B $ "B &B ' & l B # 'l $## # e) f) B #* B " l#B %l $ B g) h) " & "B # lB #l l$B 'lB " B "

i) j)

& lB #l B " BB " B #B B # & # #

k) l) lB %B &l lB $B 'l lB $l lB #l lB "l# #

Respuesta.

a) b) _ $ ) $ ) $ ) $ )"# c) d) e) ) # $ " # $ # $ & _ "#f) g) h) __ " _ * "" $# &

i) j) " " _ #_" "'" " "'" " &"! "! #

k) l) _ "" ( %" ( %"% %

__

5. Resolver los sistemas siguientes

a) b) a ba bB " B # ! B #B $& !#B " B B B #B %) !# #

#

c) d) B $B # ! "B

B # !

B #B 'B "!B B "B % B " BB & B " B &B '

!

#

#

#

## #

# $ #a ba b a ba b

e) f) B " B B B ' B " #B &

" "$B %B (B lBl "

$ #

g) h) B "

B 'B "! " B #( !

691 B #B # " B "$B "# !

#

##

$

' #"!

Respuesta.

Mett

a) b) c) ] con " ' & ( ) _ " B #$ "$#

d) e) f) g) h) # ! " g # # #"" ""# '

6. Resolver en ,

a) b) B &B ' B & B &B ' B# # c) d) #B " B $B # )B $ B 'B * #Respuesta.

a) b) c) d) g _ " #_ _ ""%'(' " "$& '

7. Sean en los reales las funciones: y 0 B B # 1 B lBl B Ba b a b Encuentre el dominio de: y 0 1 1 0

Respuesta.

Dom. Dom.0 1 $ &_ 1 0 # _8. Dadas en Determine, las funciones: y 0 B # 1 B B " B "B B "a b a b #

el dominio de .0 1

Respuesta.

Dom.0 1 B $ B " " B !

9. Sea encontrar los tales que: y0 B B % B 0 B !##B #!B %B &a b a b# tambin aquellos para los que B 0 B !a b

Respuesta.

0 B ! & B ! B " 0 B ! B & ! B "a b a b10. Sean y funciones definidas en , por:0 1

si si si si 0 B 1 B B " B " " # B #B " B " B " B # B #a b a b # #

Determine una frmula para 0 1.

Respuesta.

(0 1 B # lBl #B lBl #)si si a b #

Mett

"" Hallar el dominio de definicin de cada una de las funciones siguientes:

a) b) 0 B 0 B 0 B #B $ BB #B $ 691 " B

a b a b a b a b# "! c) 0 B $ B E

Mett

12 y 10 cm.. Determinar el espejo rectangular de rea mxima que se puedeobtener del trozo mayor.

Respuesta.

87 72.5 cm.

17. Resolver

" "

691 B 691 B " "# #

Respuesta.

! B " B #

18. Determine los valores de de modo que tenga7 #7B #B $7 # !# a buna raz menor y otra mayor que "

Respuesta.

7 % 7 !

19. Determine los valores de para los cules la ecuacin7

%B 7 # B 7 & !# a b tiene races reales diferentes menores que #

Respuesta.

7 ' 7 "%($

20. Determine los valores de para que las races de la ecuacin5

#B 5 $ B $ 5 !# a b estn comprendidas en el intervalo # $

Respuesta.

' 5 & $ 5 "($

21. Determine los valores de de modo que sea5 0 B $B #5B "#a b #siempre negativo aB

Respuesta.

' 5 '

22. En la ecuacin determine de modo quea b a b7 # B # 7 " B 7 $ ! 7#sus races sean ambas positivas.

Mett

Respuesta.

")& 7 #

23. Determinar para qu valores de la ecuacin 5 B 5 B $ B #5 B #a ba b a ba btiene como conjunto solucin a W B B #

Respuesta.

" 5 #

24. Si hallar el mayor que satisface la desigualdad B 7 7" $% #B #B %

Respuesta.

7 "&

25. Determinar los valores de para los cuales posea7 7B 7 " B 7 "# a b a braces reales y distintas.

Respuesta.

" 7 "$

26. Determinar los valores de real que satisfaceB

a) B # B #B # B #b) l B %B $ l B %B $# # c) l B %B * #B $ l l B %B * l l #B $ la b a b# #

Respuesta.

a) b) c) B # B # " B $ B $#

27. La necesidad diaria de agua calculada para cierta ciudad est dada por l - $(#& l "!! -donde es el nmero de galones de agua utilizados por da. Determinar la

mayor y menor necesidad diaria de agua.

Respuesta.$'#& - $)#&

28. Los lados de un cuadrado se extienden para formar un rectngulo, un lado se alarga2 cm. y el otro 6 cm. El rea del rectngulo resultante debe ser menor que 130 cm#y mayor que 80 cm Cules son las posibles longitudes del lado del cuadrado#original?

Mett

Respuesta. )% % B "$% % Bsiendo el lado del cuadrado.29. Qu nmero entero se puede aadir al numerador y denominador de la fraccin

$ "& si se quiere que la nueva fraccin est comprendida entre: y (ambos3 9

4

extremos includos)

Respuesta. #

30. La altura de un tringulo es cm. mayor que la base. Hallar la base de modo que# ,el rea del tringulo sea mayor que cm .#! #

Respuesta.

, %" "31. Graficar el poliedro de soluciones o zona factible definida por las siguientes

desigualdades: y y encuentre las%B $C "# B C # B ! C !"$coordenadas de sus vrtices.

Respuesta.

Vrtices: E ! ! F ! % G H # !' "#& &a b a b a b 32. La suma de tres nmeros reales positivos es , si la suma de dos de ellos se"#

encuentra en el intervalo determine la variacin del tercero." &

Respuesta.( D "".

.

Mett