17-Φεβ-2009

1

ΗΜΥ 4297. Ιδιότητες

Συνέλιξης

Συσχέτιση

17-Φεβ-2009

2

7. Συνέλιξη, Συσχέτιση

Μαθηματικές ιδιότητεςΑντιμεταθετική: παρόλο

που

μαθηματικά

ισχύει, δεν

έχει

φυσικό

νόημα.

Προσεταιριστική: περιγράφει

τη

συμπεριφορά

συστημάτων

σε

διαδοχική

σύνδεση

–

η

κρουστική

απόκρουση

του

απλοποιημένου

συστήματος

ισούται με

τη

συνέλιξη

των

κρουστικών

αποκρίσεων

των

αρχικών

συστημάτων

σε

διαδοχική

σύνδεση.

Επιμεριστική:περιγράφει

τη

συμπεριφορά

συστημάτων

σε

παράλληλη

σύνδεση

– η

κρουστική

απόκριση

του

απλοποιημένου

συστήματος

είναι ίση με το άθροισμα της κρουστική απόκρισης των αρχικών

συστημάτων

σε

παράλληλη

σύνδεση.

][*][][*][ nanbnbna =

])[*][(*][][*])[*][( ncnbnancnbna =

])[][(*][][*][][*][ ncnbnancnanbna +=+

17-Φεβ-2009

3

7. Συνέλιξη, Συσχέτιση

«Μεταφορά» μεταξύ εισόδου– εξόδου: δεν είναι καθαράμαθηματική ιδιότητα. Γραμμικήαλλαγή της εισόδου έχει ωςαποτέλεσμα την ίδια γραμμικήαλλαγή στην έξοδο.Κεντρικό ΟριακόΘεώρημα: συνέλιξη ενόςσήματος με τον εαυτό τουπολλές φορές έχει ωςαποτέλεσμα Γκαουσιανόσήμα με πλάτος, W,

συναρχ NWW =

όπου

Wαρχ

: πλάτος

αρχικού

παλμού

Νσυν

: αριθμός

συνελίξεων

Τυχαίο σήμα, y

Conv(y,y) – 1 φορά

Conv(y,y) – 4 φορές

17-Φεβ-2009

4

7. Συνέλιξη, Συσχέτιση

(1) Συνάρτηση

δέλτα:Δηλ. η

συνάρτηση

δέλτα

είναι

η

«ταυτότητα» για

τη

συνέλιξη

– η

συνέλιξη

οποιουδήποτε

σήματος

με

τη

συνάρτηση

δέλτα

είναι

το

αρχικό σήμα. Όλα

τα

σήματα

περνούν

αναλλοίωτα

από

το

σύστημα.

- Σημαντικό, π.χ. αποθήκευση

δεδομένων, επικοινωνία, μετρήσεις.(2) Ενίσχυση

/ ελάττωση

πλάτους:

k>1 ενίσχυση, k<1 ελάττωση(3) Καθυστέρηση

/ προώθηση:

Καθυστέρηση: s>0, μετακίνηση

προς

τα

δεξιά, Προώθηση: s<0, μετακίνηση

προς

τα

αριστερά. Π.χ. ραδιοηλεκτρικό

σήμα

που

εκλύεται

από

διαστημικό

όχημα

και

το

σήμα

που

λαμβάνεται

στη

Γη, ηλεκτρικά σήματα

σε

κοντινά

νευρωνικά

κύτταρα, ηχώ

(σημαντική: πρόσθεση

σε

ηχογράφηση

– πιο

φυσικός

ήχος, ραντάρ

και

σόναρ

για

εντοπισμό αεροσκαφών

και

υποβρυχίων, εύρεση

πετρελαίου, τηλεφωνικά

δίκτυα).

][][*][ nxnnx =δ

Κοινές κρουστικές αποκρίσεις

][][*][ nkxnknx =δ

][][*][ snxsnnx −=−δ

17-Φεβ-2009

5

7. Συνέλιξη, Συσχέτιση

Figure από

“Scientist’s and engineer’s guide to DSP”.

17-Φεβ-2009

6

7. Συνέλιξη, Συσχέτιση

(1) «Πρώτη

διαφορά» (first difference): διακριτό

ισοδύναμο

της παραγώγου.

- Συνέλιξη

σήματος

με

την

πρώτη

διαφορά: το

κάθε

δείγμα

ισούται

με

τη διαφορά

μεταξύ

συνεχόμενων

δειγμάτων, δηλ. κλίση.

- Όμως, απλό δε χρειάζεται συνέλιξη:

(2) Τρεχούμενο

άθροισμα: διακριτό

ισοδύναμο

του

ολοκληρώματος

– αντίστροφο

της

πρώτης

διαφοράς. Κάθε

δείγμα

της

εξόδου

ισούται

με

το

άθροισμα

όλων

των

δειγμάτων

της

εισόδου

που

βρίσκονται

στα

αριστερά του

τρέχοντος

δείγματος. Όμως: δεν

υπάρχουν

όρια

- το

άθροισμα

επεκτείνεται

στο

άπειρο!

- Δε

χρειάζεται

συνέλιξη:

Άλλες

κρουστικές

αποκρίσεις: Πράξεις

λογισμού

(calculus)

]1[][][ −−= nxnxny

]1[][][ −+= nynxny

17-Φεβ-2009

7

7. Συνέλιξη, Συσχέτιση

Figures από

“Scientist’s and engineer’s guide to DSP”.

17-Φεβ-2009

8

7. Συνέλιξη, Συσχέτιση

Άλλες

κρουστικές

αποκρίσεις: Φίλτρα

Figure από

“Scientist’s and engineer’s guide to DSP”.

(1) Χαμηλοπερατό

Φίλτρο (ΧΦ): γενική

μορφή

αποτελείται

από συνεχόμενα

θετικά

δείγματα, δηλ. κάθε δείγμα

της

εξόδου

είναι

σταθμισμένο

άθροισμα πολλών

συνεχόμενων

δειγμάτων

της

εισόδου. Αυτό

ισοδυναμεί

με

εξομάλυνση

του

σήματοςαφαίρεση υψηλών

συχνοτήτων.Μείωση

θορύβου,

διαχωρισμός

σημάτων κλπ.

Πιο

στενό

/ πλατύ

φίλτροαλλαγή της

συχνότητας κοπής.

17-Φεβ-2009

9

7. Συνέλιξη, Συσχέτιση

]6cos[2]2sin[3][n

nnxππ

−=

⎩⎨⎧ ≤≤

=αλλού,0

1711,1][

nnf ),( fxconvy = Φασματο-

γράφημα

x

Φασματο-

γράφημα

y

17-Φεβ-2009

10

7. Συνέλιξη, Συσχέτιση

(2) Υψηλοπερατό

Φίλτρο (ΥΦ): κοινή

στρατηγική

–

δημιουργία

ενός χαμηλοπερατού

φίλτρου

& μετατροπή

του

σε

ο,τιδήποτε

άλλο

φίλτρο

χρειαζόμαστε!Από

το

θεώρημα

της

επαλληλίας: φίλτρο

με

παλμό δέλτα

πλην

ΧΦ ΥΦ.

Γιατί; Ο

παλμός

δέλτα

αφήνει όλες

τις

συχνότητες

να

περάσουν, άρα

σε

συνδυασμό με

το

χαμηλοπερατό

φίλτρο

μόνο ψηλές συχνότητεςπερνούν!Ο παλμός δέλτα συνήθως

προστίθεται

στο

κέντρο συμμετρίας

του

χαμηλοπερατού

φίλτρου

ή

στο δείγμα

για

n=0 για

μη-

συμμετρικά

ΧΦ.

Figure από

“Scientist’s and engineer’s guide to DSP”.

17-Φεβ-2009

11

7. Συνέλιξη, Συσχέτιση

]6cos[2]2sin[3][n

nnxππ

−=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=≤≤≤≤−

=αλλού,014n,11715&1311,2.0

][nn

nf

),( fxconvy = Φασματο-

γράφημα

x

Φασματο-

γράφημα

y

17-Φεβ-2009

12

7. Συνέλιξη, Συσχέτιση

Άλλα…Μηδενική φάση: συμμετρίαστον άξονα y στο δείγμαn=0Γραμμική φάση: συμμετρίαστον άξονα y γύρω απόοποιοδήποτε δείγμα εκτόςτου μηδένΜη-γραμμική φάση: δενέχει συμμετρία στον άξοναyΟι όροι αυτοί έχουν ρίζεςστη συχνότητα – όταν τοφάσμα ενός σήματος είναι:

Συμμετρικό γύρω από τομηδέν φάση = 0Συμμετρικό γύρω απόοποιοδήποτε άλλο δείγμα

γραμμική φάσηΜη-συμμετρικό μη-γραμμική φάση

Figure από

“Scientist’s and engineer’s guide to DSP”.

17-Φεβ-2009

13

7. Συνέλιξη, Συσχέτιση

Συνέλιξη με συναρτήσεις δέλτα είναι πολύ αργή – μεγάλοςαριθμός προσθέσεων και πολλαπλασιασμών. - Πολλαπλασιασμός-συσσώρευση

(Π-Σ, multiply-

accumulate) είναι

βασική

δομική

μονάδα

της

ΨΕΣ. Η ταχύτητα ψηφιακών

επεξεργαστών

συχνά

προσδιορίζεται

ως

ο

χρόνος

που

χρειάζεται

να

εκτελεστεί

μία

διαδικασία

Π-Σ.Τρόποι αντιμετώπισης:

- διατήρηση

του

μεγέθους

των

σημάτων

όσο

πιο

μικρή

γίνεται

και χρησιμοποίηση

integers αντί

floating points. Χρήσιμο

για

λίγες

επαναλήψεις

συνέλιξης.- χρησιμοποίηση

επεξεργαστή

εξειδικευμένου

για

ψηφιακή

επεξεργασία.- συνέλιξη

με

άλλο

αλγόριθμο συνέλιξη μέσω FFT.

☺: αύξηση

ταχύτητας, : αλγοριθμική πολυπλοκότητα

17-Φεβ-2009

14

7. Συνέλιξη, Συσχέτιση

Συσχέτιση (correlation)Δείχνει τη δύναμη και κατεύθυνση της γραμμικής σχέσης μεταξύδύο τυχαίων μεταβλητών, Χ και Υ

Συμμετρική, [-1,1]Αν Χ και Υ στατιστικά ανεξάρτητες CC(X,Y)=0. Όμως τοαντίθετο δεν ισχύει πάντοτε!C(X,X)=1

( )( )[ ]ΥΧ

ΥΧ

ΥΧ

−Υ−ΧΕ=

ΥΧ=ΥΧ

σσμμ

σσ),cov(),(C

yx

yixixy

yxn

cσσ

μμ∑ −−

−=

))((11

όπου

μx (μy ): μέσος

όρος

Χ

(Υ) και ( )∑=

−−

=N

ixix

N 1

22

11 μσ

17-Φεβ-2009

15

7. Συνέλιξη, Συσχέτιση

Τι γίνεται αν Χ και Υ είναιεντελώς ίδια αλλάμετατοπισμένα στοχρόνο; συσχέτιση γιατα σήματα μεταφερόμεναστο χρόνο κατά Νδείγματα,

Αυτοσυσχέτιση: συσχέτιση μίαςμεταβλητής με τον εαυτότης μεταφερόμενο στοχρόνο.

( )( )NnYnXCCCXY += ),(

CC=0.27

17-Φεβ-2009

16

7. Συνέλιξη, Συσχέτιση

π.χ. Χ=(0.5,0.2,1.8,3.2), Υ=(2.1,1.2,6,10.2)

( ) ( )[ ] 372.1425.12.3...425.15.0141 222 =⇒−++−−

= XX σσ

( )( )( )( ) 1

875.42.10425.12.3...875.41.2425.15.0

116.4*372.1)14(1),( =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

++−−−

=YXCC

( ) ( )[ ] 116.4875.42.10...875.41.2141 222 =⇒−++−−

= YY σσ

Για

χρονική

μετατόπιση

n=1: Χ=[0.5 0.2 1.8], Υ=[1.2 6 10.2]

CC(X,Y)=0.739 (προσοχή! Υπολογίζουμε το νέο μέσο όρο καιδιασπορά των μετατοπισμένων σημάτων)

17-Φεβ-2009

17

7. Συνέλιξη, Συσχέτιση

Συσχέτιση και συνέλιξηΈχοντας ένα σήμα γνωστού σχήματος, ποιος είναι ο καλύτεροςτρόπος να δούμε πού (ή αν) αυτό το σήμα παρουσιάζεται σε έναάλλο σήμα; Συσχέτιση, ΣΧ

«Μηχανή Συσχέτισης (ΜΣΧ)»: ίδια λειτουργία όπως ΜΣ, αλλά τογνωστό σήμα δεν είναι αντικατοπτρισμένο στον άξονα y.Αποτέλεσμα

από

ΜΣΧ: συσχέτιση

(ή

αυτοσυσχέτιση). Πλάτος

σε

κάθε

δείγμα

: ενδεικτικό

της

ομοιότητας

μεταξύ

του

σήματος

που εξετάζουμε

και

του

γνωστού

σήματος

στο

παρόν

δείγμα.

Η συσχέτιση θα έχει κορυφή στο δείγμα όπου βρίσκεται το γνωστόσήμα στο σήμα που εξετάζουμε. Δηλ. η τιμή της μεγιστοποιείταιόταν το γνωστό σήμα είναι ευθυγραμμισμένο με τα ίδιαχαρακτηριστικά στο σήμα που εξετάζουμε.Προσαρμοσμένο φίλτρο (matched filter)ΠΡΟΣΟΧΗ! Συσχέτιση και συνέλιξη είναι εντελώς διαφορετικά!

][*][),( nbnaba −=ΣΧ

17-Φεβ-2009

18

7. Συνέλιξη, Συσχέτιση

Figure από

“Scientist’s and engineer’s guide to DSP”.

17-Φεβ-2009

19

Επόμενη διάλεξη:8. Μετασχηματισμός

Fourier