7)Криволинейный интеграл и его механический смысл. X=x(t)

7)Криволинейный интеграл и его механический смысл. X=x(t) Y=y(t) дифференцируемые. V(дуга) AoAn T=α Ao(x(α); y(α)) T=β An(x(β); y(β)) X=R cost Y=Rsint Пусть в каждой точке с координатами (х;у) действует сила F которая зависит от этой точки и имеет х-вую и у- вую составляющую F(x;y)=P(x;y)i+Q(x;y)j A работа-? Разобъем дугу на н частей. T принадлежит [α;β] V AoA1,A1A2….An-1,An Значит что на [α;β] [to;t1]=t*1 [tn-1;tn]=t*n в каждой из полученных частей выбираем точку. A*I (x(t*I);y(t*I)) Составим сумму ΣF*(x(t*I);y(t*I)) Ai-1.Ai Рассмотрим предел последовательности таких сумм когда max [Ai-1;Ai] n стремится к бесконеч Lim ΣF*(x(t*I);y(t*I)) Ai-1.Ai Если этот предел существует,конечен и не зависит от способа деления дуги на n частей и от выбора точек A*I внутри каждой части то этот предел называется криволинейным интегралом по дуге AoAn от выражения ∫ F(x;y)dx+Q(x;y)dy F,Q – силы Геометрический смысл. Fdr, dr-перемещение Скалярное произведение F (работа- это есть сила на перемещение) A=∫Fdr Это работа перемещение материальной точки вдоль дуги AoAn под действием силы имеющей составляющей поля с координатами P(x;y) Q(x;y) ∫P(x;y)dx+Q(x;y)dy 8)Криволинейный интеграл по замкнутому контуру. Формула грина. Криволинейный интеграл, интеграл, взятый вдоль какой- либо кривой на плоскости или в пространстве Формула грина. Свести вычисление криволинейного к .Пусть ∫ ∫∫ контур L ограничивает область D/ которая пересекается прямыми || коорд. Осями не более чем в 2 точках тогда криволинейный .по этому контуру будет ∫ численно равен ∫Pdx+Qdy будет = ( ∫∫ dQ\dx – dP\dy)dxdy док-во. ∫∫ dP\dy dxdy=∫dx ( ∫ dP\dy dy=dx P(x;y) │ от фи 1 от х до фи 2 от х = ∫ dx[x;φ2(x))-P(x;φ1(x)) ∫Pdx=- ( ∫∫ dP\dy ) dy аналогично dQ\dy можно доказать. 9)Независимость криволинейного от пути ∫ интегрирования. ∫Pdx+Qdy криволинейный интеграл Значение криволинейного интеграла может зависит от того каким путем мы идем соединяя точки (начальную и конечную) Чтобы криволинейный интеграл не зависил от вида дуги кривой соединяющей начальную и конечные точки необходимо и достаточно чтобы он = 0 но любому замкнутому контурую. Достаточность ∫Pdx+Qdy=0 Доказать что (AmB) ∫Pdx+Qdy=(AnB)∫Pdx+Qdy Доказательство 0=∫Pdx+Qdy=(AnB)∫Pdx+Qdy+ (BnA)∫Pdx+Qdy=(AnB) - ( ∫ AnB∫ необходимость. Дано: (AmB) ∫ Pdx+Qdy=(AnB)∫Pdx+Qdy не зависит от пути интегрирования. Доказать ∫Pdx+Qdy=0 Если (AmB) ∫ Pdx+Qdy=(AnB)∫Pdx+Qdy, то (AmB) ∫ Pdx+Qdy- (AnB)∫Pdx+Qdy,= (AnB) ∫ Pdx+Qdy+ (BnA)∫Pdx+Qdy=0 (AnB) ∫ Pdx+Qdy+ (BnA)∫Pdx+Qdy= (AmBnA)∫Pdx+Qdy Криволинейный интеграл вида ∫ Pdx+Qdy не зависит от пути интегрирования тогда и только когда выполняется dP\ dy=dQ\dx воспользуемся формулой Грина ∫Pdx+Qdy= ( ∫∫ dP\dy-dQ\dx)dxdy= 0 ∫∫ dxdy=0. 1.условие =0 ∫ 2.не зависит значение интеграла от пути интегрирования. 3. dP\dy=dQ\dX (cовпадают) 10)Числовой ряд.Сумма ряда.Сходимоть.Необходимый признак сходимости. ЧИСЛОВОЙ РЯД – бесконечная сумма членов бесконечной числовой последовательности {an} называется числовым рядом.a1 + a2+ a3 + … + an=Ean Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел. Этот предел называется суммой сходящегося ряда. Необходимый признак сходимости ряда Ряд u1 + u2 + u3 + ... + un + ... может сходиться лишь в том случае, когда член un (общий член ряда) стремится к нулю:Lim Un=0 Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости. 11)Примеры числовых рядов.Ряд геометрическая прогрессия.Гармонический ряд. Последовательность чисел {an} называется геометрической прогрессией, если отношение последующего члена к предыдущему равно одному и тому же постоянному числу q, называемому знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, для всех членов геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0 и q ≠ 1. Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле: Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется выражением геометрическая прогрессия сходится, если предел существует и конечен. В противном случае прогрессия расходится. Пусть представляет собой бесконечный ряд геометрической прогрессии. Данный ряд сходится к , если знаменатель |q| < 1, и расходится, если знаменатель |q| > 1. каждый член гармонического ряда, начиная со второго, равен среднему гармоническому двух – соседних Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n Гармоническим рядом называют сумму бесконечного количества членов обратных последовательным числам натурального ряда предел разности Sn – ln n равен постоянной: lim (Sn – ln n) = C n→∞ 12 Простейшие св-ва рядов.Остаток ряда. Свойство 1.Если ряд Ean сходится и его сумма равна S, то и ряд Ec * an также сходится и его сумма равна c * S Доказательство. Пусть An– частичная сумма ряда :Ean An= a1+a2+…+an , а Sn- частичная сумма ряда E c*an Тогда Sn= c*a1 + c*a2 +… +c*an=c(a1+a2+…an)=c*An Перейдем к пределу в последнем равенстве при nбесконечности Lim Sn=Lim(c*An)=c*S.Таким образом по определению E c*an сходится и его сумма = c*S,т.е Limc*an=c*S Свойство 2.Если ряды Ean и Ebn сходятся, и их суммы соответственно равны S1 и S2, то и ряд E(an+-bn) также сходится и его сумма равна .S1+-S2 Доказательство. Пусть и – частичные суммы рядов Ean,Ebn, и Sn - частичная сумма рядаE(an+-bn), Sn=(a1+-b1)+(a2+-b2)+….+ (an+-bn)=(a1+a2+..an)+- (b1+b2…+bn)=Sân+-S^bn Найдем предел Sn при nбесконечности LimSn=lim(Sân+- S^bn)=lim(Sn)â+-lim(Sn)^b =S1+-S2 т. е. последовательность частичных сумм Sn ряда E(an+-bn) сходится к конечному числу S1+-S2 Сам ряд E(an+-bn) по определению сходится. Свойство 3. Отбрасывание или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость. Доказательство. Пусть Sn – n-я частичная сумма ряда (1), Ck – сумма к отброшенных членов (заметим, что при достаточно большом n все отброшенные члены содержатся в сумме Sn), sn-k – сумма членов ряда, входящих в сумму Sn и не входящих в Ck. Таким образом: где Ck – постоянное число, не зависящее от n. Из последнего равенства следует, что если существует то существует LimSn и и обратно, если существует LimSn , то существует и Остаток ряда. Ряд, членами которого являются члены рядаEan, начиная с (n+1)-го взятые в том же порядке, что и в исходном ряде, называются n-м остатком ряда и обозначаются: =ak+1 + ak+2+..Теорема. Если числовой ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. .Lim r n =0 13)Признаки сравнения. 1)Пусть даны 2 ряда с положительными членами an bn.Пусть начиная с номера n=N,для всех больших N(любое n>= N) выполняентся неравенство an<=bn,тогда если ряд составленный из bn –сход ,то и ряд из an – сход.Меньше сходящегося сходится сам.

Documents

7)Криволинейный интеграл и его механический смысл. X=x(t)