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−Z

⇒

Z

1

∑

n

2

Transformada Z� Ejemplos

Ejemplos de cálculo

1. Transformada Z.

1.1. Calcular la transformada Z de x[n], por definición, indicando la región de convergencia

2. Antitransformada Z.

2.1. Determinar la secuencia unilateral derecha x[n] calculando la antitransformada de X(z)

2.1.1. Utilizando la propiedad de diferenciación en el dominio Z.

2.1.2. Por desarrollo en series de potencias.

2.1.3. Por expansión en serie de z1 mediante división decreciente de polinomios.

π x n

cos 2n un

X(z) 1

2

Solución: Por definición

π π

2 ∞ ∞ π ∞ 2 2 Solución: 2.1.1. Utilizando una función auxiliar W(z) con W

2(z)=X(z)

X z ∑ xnz − n ∑ cos

nunz − n ∑ e e

z − n

n −∞n −∞

2 n 0 2W (z)

1 ↔ w n 1

un ∞ π ∞ π 1

2

j n

e 2 z − n − j n 1 1 1 1 1

e z ; 1 − z −1

∑ ∑ π π −2 n 0 2 n 0 2 j1 − e 2 z −1

2 − j1 − e

2 z −1

1 z 2 2

1.2. Calcular la transformada Z de las secuencias utilizando las propiedadespor propiedad de diferenciación en la frecuencia

∂ ( ) 1 −2

1 Zn

1 π π π − z

W z z −11 − z −1 ↔ nw n n un

x1n cos n − 3un − 3

x2n cos− nu− n x3n cos n un ∂z 2 2 2

2 2 4 2

Si a la función anterior la llamamos V(z)=–z∂W(z)/∂z, entonces X(z) puede escribirse en laSolución: Utilizando la propiedad de desplazamiento en el tiempo forma X(z)=2zV(z), y por propiedad del desplazamiento en el tiempo

X 1z z ; 1 z ∞ 1

n 1

1 z −

2X (z) 2zV z ↔ x n 2v n 1 2 n 1 2

u n 1

Utilizando la propiedad de reflexión

X 2z 1 ; z 1

2.1.2. Tomando una variable intermedia v

X (0) 11 z2

∞ ( n ) n ∞v

1 z

−1 ⇒ X (v ) 1

X ( 0 )v X ' (0) 2

⇒ X (v ) ∑ n 1v n

Utilizando la propiedad de escalado en el dominio Z 2 1 − v

2n 0 n! X ' ' (0) 6

X (n ) (0) (n 1)!n 0

1 1 ;

1 ∞ 1 Zn

1

X 3z 1 4z− 2 1

1 z z

− 2 4X (z) ∑ n 1 z − n ↔ xn n 1 un 1

216

n 0

2.1.3. Calculando el binomio al cuadrado en el denominador y dividiendo

∞

−

z

3 1

1

1

n 3.2. Un promediador móvil es definido por la ecuación en diferencias siguiente. Determinar

X (z) 1

1 z −1 3

z − 2 4

z − 3 5

z − 4 ... n 1 1

z − 2

...un sistema recursivo equivalente. Determinar la posición de los polos y ceros del

1 − z −1 1

z − 2

4

4 8 16 2 sistema.

n

1 − n Z n

1 yn 1 xn xn − 1 ... xn − N 1⇒ X (z) ∑ n 1 2

z

↔ x n n 1 2

u n 1 N

n 1

Solución: Calculando la transformada Z3. Característica de los sistemas de tiempo discreto.

3.1. Calcular H(z) para determinar la cantidad de retardos que requeriría la implementaciónN−1 −N

Yz Xz 1 1 z−1 ... z−N1 Xz 1 ∑ z− i Xz 1 1 −z

de un oscilador discreto cuya respuesta impulsiva sea

hn 1,2,3,1,2,3,...↑

N

Despejando y antitransformando

N i 0 N 1 − z

Solución: h[n] toma los siguientes valores para 0≤n≤2

Yz1 −

z−1 Xz 1 1 −

z−N

N

↔ yn − yn −

1 1 xn − xn − NN

si 0 ≤ n ≤ 2 ⇒

1h n δ n 2n − 1 3n − 2

2

si n 0

si n 1

si n 2

La transferencia tiene un cero de orden N en z=1, un polo de orden 1 en z=1 y otro de ordenN-1 en z=0

z (N) 1

Para n>2, h[n]=h[n-3]. Entonces la respuesta impulsiva puede expresarse en forma recursiva Y z 1

∑H z N−1

z i−N N

−1 N−1

(1)1

hn n 2n − 1 3n − 2 hn

− 3

Xz N i 0 N 1 − zN z z − 1

p2(N −1) 0

Su transformada puede escribirse como producto de términos que representan dos sistemas3.3. Diseñar un sistema causal que, ante la entrada x[n] siguiente, elimine las dos primeras

H (z) y H (z)en cascada, el primero con un retardo (z-3

) y el segundo con dos (z-1

y z-2

)componentes y deje inalterada la magnitud de la tercera (pudiendo sufrir undesplazamiento de fase)

−1 −1

Hz 1 2 z 3 z

1 1 2z−1 3z−1 H1zH2z 1 − z− 3 1 − z−

3 xn cos

n cos

3 n cosn

2 4

Solución: Los ceros de la función transferencia deben situarse en las frecuencias a suprimirz e j j

⇒ C1,2 e 2 3 j

; C3,4 e 4

La función de transferencia debe tener la forma siguiente

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−

N

N

N

=

3 3 −

j j j j z − e 2

z − e

Hz k z

− pk k 1

z 2 1 z 2 2 z

1 k k z − pk k 1

z 4 2 z 3 2 z 2 2 z 1

z − pk k 1

Para que el sistema sea causal, el polo debe ser de cuarto orden y situarse en z=0−1 −2 −3 −4

Hz k 1 2 z 2 z 2 z z

z− 4

El argumento de H(z) es el fasor z=ej, que puede considerarse como un número complejo

de módulo unitario. La tercer componente tiene frecuencia angular digital =. Entonces, imponiendo la condición de que la transferencia sea unitaria para esa componente,H(e

j) =1, se puede despejar k

He k 1 2 e 2 e 2 e e

k4 2 2 1 k 1

j − j − j2 − j3 − j4

− ∴

e− j44 − 2 2

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Ejemplos de simulación

1. Transformada de Fourier de Tiempo Discreto.

1.1. Simular un sistema promediador móvil calculando la respuesta al impulso y graficando la transferencia y el diagrama de polos y ceros

yn 1 xn xn − 1 ... xn − N 1N

Solución:

%Programa para el calculo y grafica la TZ%Ejemplo de Simulacion 1.: Sistema promediador movil clc, clear, close all

%Especificacionesninicial=0; %instante inicial nfinal=63; %instante finalpuntos=64; %cantidad de puntos para calculo de la H(e^jw)

%Tiempon=ninicial:1:nfinal; %tiempo discretoN=nfinal-ninicial; %cantidad de muestras

%Coeficientes de la ecuacion en diferencias del sistema bn=zeros(1,N); bn(1:20)=1/20; an=1;

%Respuesta al impulso del sistema hn=impz(bn,an,n);

%Transferencia y respuesta en frecuencia del sistema[Hz,Hw,z,w,c,p]=zt(bn,an,0,1);

%Graficos figure stem(n,hn,'k.-') xlabel('n') ylabel('h[n]')title('Respuesta al impulso del sistema')

%Grafica de los polos y ceros figurezplane(c,p)title('Diagrama de polos y ceros')

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