Resolución del circuito y obtención de la función de transferencia

Aplicando LVK:

𝑉 𝑖=𝑉 𝑅+𝑉 𝐿+𝑉 𝐶Además el voltaje de salida (el voltaje en el capacitor):

𝑉 𝑜=𝑉 𝐶=𝐼 ( 1𝑠𝐶 )

Haciendo para encontrar la función de transferencia:

𝑉 𝑜

𝑉 𝑖=

𝐼 ( 1𝑠𝐶 )𝐼 (𝑅+ 1

𝑠𝐶 +sL)= 1

𝐿𝐶 𝑠2+𝑅𝐶𝑠+1

𝐿𝐶

Reacomodando términos:

𝐻 (𝑠 )=

1𝐿𝐶

𝑠2+ 𝑅𝐿 𝑠+ 1

𝐿𝐶

(1)

(2)

Se pide un sistema sobre amortiguado (, así que se compara la ecuación (2) con la forma general:

𝐶 (𝑠 )𝑅 (𝑠 )

=𝜔𝑛2

𝑠2+2𝜁 𝜔𝑛𝑠+𝜔𝑛2 (3)

Dónde se identifica:

(4)

(5)

Despejando de la ecuación (5):

𝜁=𝑅2𝐿 √𝐿𝐶

2𝜁 𝜔𝑛=𝑅𝐿

Para que el sistema sea sobreamortiguado se debe cumplir , así que se proponen los valores:

𝑅=330ΩCon lo que resulta:

=1.65

(6)

Sustituyendo los valores propuestos en la ecuación (2) se obtiene la función de transferencia como:

(7)

Resolviendo el polinomio del denominador, la función de transferencia puede expresarse también como:

(8)

1. Sistema continuo en variables de estado

Si se define como la salida y como la entrada en la ecuación (2), se obtiene:

(9)

La ecuación (9) se puede expresar * como:

𝑒𝑜+( 𝑅𝐿 )𝑒𝑜+( 1LC )eo=( 1LC )𝑒𝑖 (10)

*(debido a la transformada de Laplace de una derivada)

Se definen las variables de estado:

𝑥1=𝑦=𝑒𝑜⇒�̇�1=𝑒𝑜

Las variables de entrada y salida son:

𝑢=𝑒𝑖

La representación del sistema continuo en espacio de estados, siguiendo la forma canónica controlable es:

[ �̇�1�̇�2]=[ 0 1

− 1𝐿𝐶 − 𝑅

𝐿 ] [𝑥1𝑥2]+[ 01𝐿𝐶 ]𝑢𝑦=[1 0 ][𝑥1𝑥2]

(11)

(12)

2. Solución del sistema continuo

La solución del sistema en tiempo continuo está dada por:

𝑥 (𝑡 )=𝜙 (𝑡 ) 𝑥 (0 )+∫0

𝑡

𝜙 (𝑡−𝜏 ) 𝐵𝑢 (𝜏 ) 𝑑𝜏 (13)

De las ecuaciones (11) y (12) se identifican las matrices:

𝐴=[ 0 1

− 1𝐿𝐶 − 𝑅

𝐿 ] ,𝐵=[ 01𝐿𝐶 ], D=

La matriz de transición de estados está dada como:

𝜙 (𝑡 )=𝐿− 1{ (𝑠𝐼 −𝐴 )−1 } (14)

Calculando :

=

(15)

Obteniendo la transformada inversa de Laplace de cada término:

1)

2)

3)

4)

De esta manera, la matriz de transición de estados es:

(16)

Posteriormente se encuentra el segundo término de la ecuación (13):

𝜃 (𝑡 )=∫0

𝑡

𝜙 (𝑡−𝜏 ) 𝐵𝑢 (𝜏 ) 𝑑𝜏 (17)

Si se sustituye la entrada y la matriz B en la ecuación (17), se obtiene:

Al resolver las integrales para ambos términos:

1)

2)

Al juntar estos resultados, obtenemos como:

De manera que la solución del sistema continuo se puede reescribir como:

𝑥 (𝑡 )=𝜙 (𝑡 ) 𝑥 (0 )+𝜃 (𝑡 ) (19)

(20)

(18)

3. Cálculo de y propuesta de periodo T

De la función de transferencia:

Para obtener la respuesta en frecuencia se captura en Matlab como:num =[ 1e8]den =[ 1 3.3e4 1e8]bode(num,den)

Se busca la frecuencia a la que la magnitud decae 3 dB, siendo:

𝜔𝐵≈3.51×103𝑟𝑎𝑑 /𝑠𝑒𝑔

Para cumplir con la visualización de 50 muestras, se elige el periodo como:

Se calcula el periodo de muestreo utilizando el criterio:

=0.0000179 s

4. Discretización del sistema con el periodo calculado

Para llevar a cabo la discretización del sistema, evaluamos y en el periodo T.

𝜙 (𝑇 )=[ .𝟗𝟖𝟔𝟖 𝟏 .𝟑𝟒𝟓×𝟏𝟎−𝟓−𝟏𝟑𝟒𝟓 .𝟓𝟒𝟑𝟏 ]

De la ecuación 16 se obtiene :

𝜃 (𝑡 )=[ .013251345 ]

De la ecuación 18 se obtiene :

(22)

(23)

Una expresión análoga a la ecuación (19) sería:

𝑥 [ (𝑘+1 ) 𝑇 ]=𝜙 (𝑇 ) 𝑥 (𝑘𝑇 )+𝜃 (𝑇 ) 𝜙 (𝑘𝑇 ) (24)

5. Solución del sistema discreto con Matlab

De manera recursiva para para la muestra N, la solución está dada por:

𝑥 [ 𝑁𝑇 ]=𝜙 ( 𝑁𝑇 ) 𝑥 (0 )+ ∑𝑖=0

𝑁− 1

𝜙 [ ( 𝑁−1− 𝑖 ) 𝑇 ] 𝜃 (𝑇 ) 𝑢(𝑖𝑇 ) (25)

Tomando :

La entrada:

Las condiciones iniciales:

Se implementa en Matlab como:

6. Discretizar la función continua con c2d y graficar con “step”

La discretización del sistema se implementa en Matlab como:

Se obtiene la gráfica de la respuesta al impulso:

7. Comparación de resultados

Para la comparación de resultados, se ponen cursores en las 50 muestras y se transladan al workspace en una variable llamada “cursor_info”:

Posteriormente, se guarda la posición se cada cursor en una variable Sx:

[S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16 S17 S18 S19 S20 S21 S22 S23 S24 S25 S26 S27 S28 S29 S30 S31 S32 S33 S34 S35 S36 S37 S38 S39 S40 S41 S42 S43 S44 S45 S46 S47 S48 S49 S50 ]=cursor_info.Position

Resultados en los cursores

S1 = 0.0009 0.9450S2 = 0.0009 0.9416S3 = 0.0009 0.9379S4 = 0.0008 0.9341S5 = 0.0008 0.9299S6 = 0.0008 0.9256S7 = 0.0008 0.9209S8 = 0.0008 0.9160S9 = 0.0008 0.9108S10 = 0.0007 0.9052

S11 = 0.0007 0.8993S12 = 0.0007 0.8931S13 = 0.0007 0.8864S14 = 0.0007 0.8793S15 = 0.0006 0.8718S16 = 0.0006 0.8638S17 = 0.0006 0.8553S18 = 0.0006 0.8463S19 = 0.0006 0.8368S20 = 0.0006 0.8266

S21 = 0.0005 0.8158S22 = 0.0005 0.8043S23 = 0.0005 0.7921S24 = 0.0005 0.7792S25 = 0.0005 0.7654S26 = 0.0004 0.7508S27 = 0.0004 0.7353S28 = 0.0004 0.7188S29 = 0.0004 0.7013S30 = 0.0004 0.6827

S31 = 0.0004 0.6629S32 = 0.0003 0.6419S33 = 0.0003 0.6196S34 = 0.0003 0.5960S35 = 0.0003 0.5708S36 = 0.0003 0.5441S37 = 0.0003 0.5157S38 = 0.0002 0.4856S39 = 0.0002 0.4537S40 = 0.0002 0.4198

S41 = 0.0002 0.3839S42 = 0.0002 0.3459S43 = 0.0001 0.3058S44 = 0.0001 0.2638S45 = 0.0001 0.2199S46 = 0.0001 0.1748S47 = 0.0001 0.1291S48 = 0.0001 0.0847S49 = 0.0000 0.0444S50 = 0.0000 0.0132

Se toman las primeras 50 muestras, cuyo resultado, tomado del workspace es:

1.0e+05 * 0.0013 0.0058 0.0142 0.0271 0.0446 0.0666 0.0930 0.12360.1582 0.1966 0.2385 0.2839 0.3325 0.3840 0.4384 0.4955 0.5551 0.61710.6813 0.74760.8158

0.8860 0.9579 1.0314 1.10651.1830 1.2609 1.34011.4206 1.50221.5848 1.6685 1.7531 1.8387 1.9250 2.0122 2.1002 2.1888 2.2781 2.36802.4586 2.5496 2.6412

2.7333 2.8259 2.9189 3.0123 3.1061 3.2002 3.2947