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modelagem no dominio do tempo
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Introduo Espao de Estado Variveis de Estado
Aula 6
Carlos AmaralFonte: Cristiano Quevedo Andrea
UTFPR - Universidade Tecnolgica Federal do ParanDAELT - Departamento Acadmico de Eletrotcnica
Curitiba, Maro de 2012.
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Introduo Espao de Estado Variveis de Estado
Resumo
1 Introduo Espao de Estado
2 Variveis de Estado
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Introduo Espao de Estado Variveis de Estado
Existem duas modelagens para analisar e projetar sistemas de controle:-Anlise na frequncia, utiliza-se a transformada de Laplace. - Anlise no tempo, no qual descreve-se o sistema na formade espao de estado. A primeira desvantagem da modelagem na frequncia sua limitao de aplicabilidade. Neste caso s podemos utilizar a modelagem na frequncia em sistemas lineares, invariante no tempo ou em sistemas que podem ser aproximados a estas caractersticas.
A maior vantagem da anlise no domnio da frequncia que podemos facilmente obter informaes sobre a resposta transitria e resposta de regime.
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Introduo Espao de Estado Variveis de Estado
A modelagem em espao de estado, tambm referida como modelagem moderna, um mtodo unificado para anlise e projeto que pode ser utilizado em muitos tipos de plantas. Esta modelagem consiste em determinar as equaes diferenciais que descrevem a dinmica do sistema analisado e posteriormente organiz-las na forma matricial.
Considere o seguinte circuito eltrico,
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Introduo Espao de Estado Variveis de Estado
A modelagem em espao de estado, tambm referida como modelagem moderna, um mtodo unificado para anlise e projeto que pode ser utilizado em muitos tipos de plantas. Esta modelagem consiste em determinar as equaes diferenciais que descrevem a dinmica do sistema analisado e posteriormente organiz-las na forma matricial.
Considere o seguinte circuito eltrico,
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Introduo Espao de Estado Variveis de Estado
Ento, realizando-se o somatrio de tenso na malha do circuito eltrico ilustrado anteriormente temos,
v (t ) = Ri(t ) + L di(t ) dt
e
+ VC (t ) (3)
i (t ) = C VC (t ) dt
Reorganizando (3) e (4), obtm-se:
di(t )
(4)
dtVC (t )
dt
= R +v(t) (5) L L
= i(t) C
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Introduo Espao de Estado Variveis de Estado
Ento, realizando-se o somatrio de tenso na malha do circuito eltrico ilustrado anteriormente temos,
v (t ) = Ri(t ) + L di(t ) dt
e
+ VC (t ) (3)
i (t ) = C VC (t ) dt
Reorganizando (3) e (4), obtm-se:
di(t )
(4)
dtVC (t )
dt
= R +v(t) (5) L L
= i(t) C
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A equao (5) ainda pode ser organizada na forma matricial, conforme descrito posteriormente,
[ ] di(t )
dtVC (t )
dt
[ ][ L L i (t )
= 1 0 VC (t ) C
] [ ] 1 + L v (t ) (6) 0
Considerando-se que o sinal de sada deste sistema atenso no capacitor, ento podemos fazer,
[ y (t ) = 0 1
] ][ i(t) VC (t ) (7)
As equaes (6) e (7) proporcionam a descrio em espao deestado do circuito eltrico RLC srie.
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O estado de um sistema o conjunto de variveis tais que o conhecimento do valor destas variveis e das funes de entrada, com as equaes que descrevem a dinmica, fornece os estados futuros e as sadas futuras do sistema.
Um exemplo simples de varivel de estado a situao de um interruptor de luz liga-desliga. O interruptor pode estar na posio ligado ou na posio desligado e, por conseguinte, a posio da chave pode assumir um dos dois valores. Assim, se for conhecido o estado presente do interruptor em t0 e se for aplicado uma entrada, serpossvel determinar o valor futuro do estado do elemento.
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Equaes de Estado
Equaes de Sada
Modelamento da Equao de Estado
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Exemplo de um sistema dinmico:
Para ilustrar a modelagem em espao de estado vamos considerar o sistema massa-mola ilustrado a seguir:
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No sistema massa-mola pode ser descrito por um conjunto de variveis de estado que inclui a posio e a velocidade da massa. Portanto define-se:
x1(t )
x2(t )
= y(t)
= dy (t ) dt
(8)
A equao diferencial que descreve o sistema massa-molailustrado anteriormente mostrada a seguir:
Md2y(t) dt
+bdy(t) + ky (t ) = u(t ) (9) dt
Ento, utilizando a padronizao descrita em (8) temos,
M dx2(t ) dt
+ bx2(t ) + kx1(t ) = u(t ) (10)
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No sistema massa-mola pode ser descrito por um conjunto de variveis de estado que inclui a posio e a velocidade da massa. Portanto define-se:
x1(t )
x2(t )
= y(t)
= dy (t ) dt
(8)
A equao diferencial que descreve o sistema massa-molailustrado anteriormente mostrada a seguir:
Md2y(t) dt
+bdy(t) + ky (t ) = u(t ) (9) dt
Ento, utilizando a padronizao descrita em (8) temos,
M dx2(t ) dt
+ bx2(t ) + kx1(t ) = u(t ) (10)
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Portanto a dinmica do sistema massa-mola abordadopode ser descrita por duas equaes diferenciais,
dx1(t ) dt
dx2(t ) dt
= x2(t ) (11)
= b (12) M x2(t ) M x1(t ) + M u(t )
Assim, de (11) e (12), temos[ ]
dx1(t ) dt
dx2(t ) = dt
[ ][ 0 1 x1(t )
M M x2(t )
] [ ] 0 + 1 u(t ) (13) M
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EQUAO DIFERENCIAL DE ESTADO
Na forma matricial temos,
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VETOR DE ESTADO
A notao compacta de um sistema descrito na forma de espao de estado :
x (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) (14)
E a equao de sada do sistema dada por,
y (t ) = Cx (t ) + Du(t ) (15)
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Implementao via AMP OP
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A funo de transferncia para um sistema descrito na forma de espao de estado dado por:
(16)
Exerccio:Encontre a descrio em espao de estado do sistema abaixo:
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Exerccio:Encontre a descrio em espao de estado do sistema abaixo:
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ContedoInformaes Professor Bibliografia
Contedo do Curso Sistema de AvaliaoSistema de Controle APS
O Projeto
ENADE
Compreender, analisar e projetar sistemas de controle contnuos utilizando mtodos clssicos e modernos.
UTFPR - DAELT Sistemas de Controle
Introduo Espao de Estado Variveis de Estado
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APS: Determinar a representao em espao de estado para o seguinte circuito eltrico dado como, como sugesto adote x1=v1, x2=v2 e x3 igual a corrente no indutor L
Resposta: