76154863-razonamiento-matematico

Razonamiento Matemtico

1

La asignatura de razonamiento matemtico es de naturaleza terico-prctico el cual pretende desarrollar en el alumno las capacidades de anlisis,interpretacin de datos, habilidades operativas, comprensin de la informacin;entre otras, de los diversos fenmenos concretos y abstractos en el proceso depreparacin para el ingreso a las universidades.

Debido a ello en el rea de matemtica, las capacidades que se buscadesarrollar y por lo tanto evaluar son:

El Razonamiento y Demostracin: Implica desarrollar ideas, explorarfenmenos, justificar resultados, expresar conclusiones e interrelaciones entrevariables. El razonamiento y la demostracin proporcionan formas de argumentacinbasados en la lgica. Razonar y pensar analticamente, implica identificar patrones,estructuras o regularidades, tanto en situaciones del mundo real como ensituaciones abstractas.

La Comunicacin Matemtica: El mundo actual donde la informacinfluye y avanza rpidamente, los estudiantes deben comprender dicha informacinproveniente de diferentes fuentes: textos, mapas, grficos, etc. Est vinculadocon la comunicacin matemtica, tanto cuando se expresa como cuando se lee.Ello es posible cuando discrimina grficos y expresiones simblicas, infiere lasrepresentaciones grficas, evala las representaciones grficas y simblicas,representa los resultados.

La Resolucin de Problemas: Debe apreciarse como la razn de serde la matemtica pues los estudiantes siempre se encuentran con situacionesque requiern solucin y muchas veces no se observa una ruta para encontrarrespuestas. Esta rea busca fortalecer esta capacidad para lo cual esindispensable considerar la importancia de aprender a valorar el proceso deresolucin de problemas en la misma medida en que valoran los resultados; asaprendern en la prctica, a formular problemas a partir del mundo real, organizardatos y elaborar estrategias variadas para resolver problemas. Identifica, formula,algoritmiza y resuelve.

RAZONAMIENTO MATEMTICO


2

CAPACIDADES DE REA

MATRIZ DE CAPACIDADES DE REA Y ESPECFICAS DE LAASIGNATURA DE RAZONAMIENTO MATEMTICO Y SUS ENLACES

PENSAMIENTO CREATIVO PENSAMIENTO CRTICO SOLUCIN DE PROBLEMAS TOMA DE DECISIONES

Identifica Datos, conceptos Conjeturas Proposiciones Resultados Anticipa Argumentos Resultados Reflexiona Sus ideas sobre conceptos y

relaciones Interpreta Postulados matemticos Teoremas, problemas

propuestos Formula Ejemplos Contraejemplos Conjeturas Representa Resultados Conclusiones lgicas Imagina/Elabora Conjeturas Argumentos sencillos y vlidos Demostraciones para

enunciados matemticos Utiliza Razonamiento inductivo para

reconocer patrones y formular conjeturas

Discrimina Ideas principales, secundarias

y complementarias Datos, hechos, opiniones Clasifica Objetos matemticos de

acuerdo a diferentes criterios Analiza Situaciones para hallar

propiedades y estructuras comunes, as como singulares y particulares

Establece Relaciones entre conceptos Evala Conjeturas usando

contraejemplos y cadenas deductivas

Traduce Situaciones presentadas en

forma verbal al lenguaje matemtico

Observa/Identifica Informacin estadstica Notaciones simblicas Compara Grficos Conclusiones Datos Analiza/Interpreta Grficos Expresiones simblicas Organiza Datos relevantes Informacin complementaria Infiere Conclusiones Informacin relevante Utiliza Grficos para representar

situaciones matematizables y conceptos

Smbolos matemticos para representar conceptos y relaciones

Notaciones y objetos matemticos para modelar situaciones

Comunica Conceptos, juicios y

razonamientos matemticos Formula Ejemplos de un contenido

conceptual

Resuelve Situaciones problemticas Analiza Datos disponibles Condiciones dadas Posibles soluciones Elabora/Aplica Estrategias Algoritmos Formula/Plantea Observaciones y crticas Alternativas de solucin Opinin a favor y en contra Comprueba/Interpreta Resultados Generaliza/Elabora Generaliza patrones y elabora

conjeturas Busca/Reconoce/Usa Patrones Juzga La validez de un argumento y

construye argumentos vlidos Halla/Calcula Estrategias para la solucin de

problemas. Mtodos prcticos para el

calculo de incgnitas. Problemas relacionados a la

vida cotidiana.

RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIN

COMUNICACIN MATEMTICA

RESOLUCIN DE PROBLEMAS

CAPACIDADES

FUNDAMENTALES

LOGROS DE APRENDIZAJE (CAPACIDADES) - MATEMTICA


3

1.1. TEORA DE NUMERACIN

NumeracinParte de la aritmtica que estudia la correctaformacin, representacin, lectura y escriturade los nmeros, as tambin como las diversaspropiedades que derivan de ellos.

NmeroEs una idea o abstraccin de una cantidadobservada en la realidad concreta.

NumeralEs la representacin simblica o figurativa deun nmero mediante determinados smbolosconvencionales.

Cifra (Digito)Smbolo empleado para representar a losnumerales.

Sistema Posicional de NumeracinEs un conjunto de principios, normas,convenios y leyes que nos permiten la correctaformacin, lectura y escritura de los nmeros.

Principios FundamentalesDel ordenToda cifra que forma parte de un numeral,ocupa un orden determinado el cual seconsidera de derecha a izquierda. El lugar queocupa una cif ra se indica de izquierda aderecha.

1 2 3 4 5 LugarNumeral: 2 0 1 0 3

5 4 3 2 1 OrdenDe la baseTodo sistema de numeracin tiene una base,que es un nmero entero y mayor que launidad, el cual nos indica la cantidad deunidades necesarias y suficientes de un ordencualquiera para formar una unidad del ordeninmediato superior.

Principales Sistemas de Numeracin

Observaciones: En base n se pueden utilizar n cifrasdiferentes, las cuales son:

0 ; 1; 2; 3; 4; 5; . . . ; (n 1)

Por convencin, cuando la cifra es mayor que9 se utiliza una letra para su representacin.

(10) < > < > A(11) < > < > B(12) < > < > C(13) < > < > D

Si: )x(cepreval ; donde: x Z+ ; x 2

entonces: x = {2; 3; 4; 5; . }

Cifras Significativas

Cifra no Significativa

CIFRA MXIMA

BASE NOMBRE DEL SISTEMA 2 Binario

Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Decimal Undecimal Duodecimal

3 4 5 6

8 7

9 10 11 12

CIFRAS QUE SE EMPLEAN

0; 1 0; 1; 2 0; 1; 2; 3 0; 1; 2; 3; 4 0; 1; 2; 3; 4; 5 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 0; 1; 2; 3; . . . ; 6; 7 0; 1; 2; 3; . . . ; 7; 8 0; 1; 2; 3; . . . ; 8; 9 0; 1; 2; 3; . . . ; 9; 10 0; 1; 2; 3; . . . ;10;11

CAPTULO ITEORA DE NUMERACIN


4

Toda cifra que conforma un numeral esmenor que la base; adems el nmero decifras posibles a utilizar en cierta base esigual a la base.

)3(cba )5(cba

1 0 0 1 0 0 2 1 1 2 1 1 2 2 3 2 2

4 3 3 4 4

Valor de las cifrasToda cifra que forma parte de un numeral tiene2 valores.

Valor Absoluto (V.A.). Es el valor que tiene unacifra por su apariencia o figura.Valor Relativo (V.R.). Es el valor que tiene unacifra de acuerdo al orden que ocupa dentro deun numeral.

VA(3) = 3VA(1) = 1VA(6) = 6

)8(613

VR(6) = 086

VR(1) = 181

VR(3) = 283

Representacin literal de un numeralCuando no se conocen las cifras de un numeral,stas se representan mediante letras teniendoen cuenta que: Toda expresin entre parntesis

representa una cifra. La primera cifra de un numeral debe ser

diferente de cero. Letras diferentes no necesariamente

indican cif ras diferentes, salvo que losealen.

Para diferenciar de ser una multiplicacinde factores, se coloca una raya horizontalarriba de las letras.

ceprevalcepreval

Ejemplos

ab Numeral de 2 cifras diferentes

abc Numeral de 3 cifras diferentes

aaaa Numeral de 4 cifras iguales

Numeral CapicaSon aquellos numerales cuyas cif rasequidistantes son iguales, es decir tienenrepresentacin simtrica.

* aa Numeral capica de 2 cifras

* aba Numeral capica de 3 cifras

* abba Numeral capica de 4 cifras

* abcdcba Numeral capica de 7 cifras

Palabras polndromas que representan unnumeral capica.

* OSO * ANA * SALAS * SOMOS

DESCOMPOSICIN POLINMICA

Descomposicin SimpleEn Base k (k 10)

kmydoom = mokokdkykmk 2345

En Base 10

ab = 10a + b

abc = 100a + 10b + c

abcd = 1000a + 100b + 10c + d

Descomposicin Por BloquesEn Base k (k 10)

kmydoom = k2

k4

k omkdokmy

Numeral de 8 cifras Multiplicacin de 8 factores


5

CAMBIOS DE BASE

1er CASO: De base diferente de diez a basediez

Ejemplo N 01

* Expresa (5)12231 en base 10.

Por descomposicin polinmica:

(5)12231 = 1)5(2)5(2)5(3)5(1 234 = 625 + 375 + 50 + 10 + 1 = 1 061

Por Mtodo de Ruffini:

1 3 2 2 1 5 5 40 210 1060 1 8 42 212 1061

(5)32211 = 1 061

2do CASO: De base diez a base diferentede diez

Ejemplo N 02* Expresa 1 061 en base 7.

Por divisiones sucesivasPara su desarrollo se realizan divisionessucesivas hasta que el cociente sea menorque el divisor.

1 061 7 4 151 7

4 21 7 0 3

1 061 = (7)3044

Propiedades1. Si:

)n()m( UNHEVALCEPREVAL

entonces: n > m

2. Si: nabcd

entonces: {a, b, c, d, n} Z ; a 0; n >1 Adems: a, b, c, d < n

3. Numeral de Cifras Mximas

1n)1n)...(1n)(1n( k)n(cifrask

4. Bases Sucesivas

ana1 )n(

abna1 )n(b1

abcna1)n(c1

b1

Por lo tanto:

abc...xna1

)n(x1c1b1

Ejemplo N 03Si la siguiente operacin:

44p33m33n136 (n)(p)(m)

est correctamente escrito, halla m + n + p

A) 20 B) 21 C) 22D) 23 E) 24

ResolucinDe cada numeral

44p33m33n136 (n)(p)(m)

6 < m n < p m < n p < 10entonces:

6 < m < n < p < 10

m + n + p = 7 + 8 + 9 = 24

Descomposicin polinmica o

Mtodo de RUFFINI

De Base (n)

a Base (10)

x

De Base (10)

a Base (m)

Divisiones sucesivas


6

PRCTICA N 01

Capacidad 01: Razonamiento yDemostracin

1. Determina el valor de verdad de lossiguientes enunciados.

I. Nmero nos proporciona la idea decantidadII. La cifra es diferente al digitoIII. El numeral es la representacin simblicade nmerosIV. El numero nos permite cualificar losnmeros

A) VVVV B) VFVF C) FVFVD) FFFF E) FFVV

2. Identif ica cual de los enunciados esincorrecto.

A) Si su cifra de orden 4 coincide con sucifra de tercer lugar, el numeral tiene 7 cifras.B) A menor base mayor representacinaparenteC) A mayor base menor representacinaparenteD) La base es un nmero entero positivomayor a ceroE) La base es un nmero natural mayor oigual a dos.

3. Analiza cual de las siguientes proposicioneses verdadera.

A) De cualquier numeral la primera cifrapuede ser igual a cero.B) La mayor cifra que se puede utilizar encierto sistema de numeracin es igual a labase.C) La cantidad de cifras de un nmerodepende de la base.D) La base es consecutivo al mayor digitoque pertenece a dicha base.E) Para leer un nmero en cualquier basese nombra cifra por cifra de derecha aizquierda.

4. Analiza la verdad o falsedad segncorresponda.

I. Existen 8 nmeros de 3 cifras impares enbase 5.II. En base 10 existen 100 nmeros de 2cifras.III. Toda expresin entre parntesis de unnumeral representa una cifra.

A) VFV B) VFF C) VVVD) FFV E) FVV

5.Interpreta cual de las siguientes afirmacioneses incorrecta.

I. Capica de una cifra es : 1;2;3;;9II. Capica de dos cifras son : 11;22;33;;99III. Capica de cuatro cif ras son :1001;1111;1221;;9999

A) FFV B) FVF C) FVVD) FFF E) VVV

6. Analiza cul de las siguientes proposicioneses verdadera.

A) Si )x(4abcN , entonces la solucin dela ecuacin 2x + 2 = 10, puede ser base delnmero dado.B) Por convencin se considera al cerocomo cifra par.

C) El numeral )12(2009unheval , representaun nmero par.D)En el siguiente numeral

)a5)(a4)(a3)(a2(a , el valor de a puedeser 2.

E) El numeral )x(abc)abc(abc , posee 9

cifras.


7

Capacidad 02: ComunicacinMatemtica

8. El numeral:

8245

aacba

aabbb , es

capica, Interpreta cual de las siguientesproposiciones es verdadera.

I. a + b + c = 16II. c = 4III. Si: b = 8 entonces a = 5

A) I, II B) II, III C) I, IIID) II E) III

9.Un nmero en base 5 identifica la proposicinfalsa.

I. 5 unidades del orden cero conforman unaunidad del orden unoII. 5 unidades del orden uno conforman unaunidad de orden dos.III.5 unidades del orden dos conforman unaunidad del orden 5 y as sucesivamente.

A) I B) II C) IIID) II, III E) I, III

10.Si el numeral )(231 xa es impar, entoncesanaliza la suma de los posibles valores dea es :

A) 16 B) 25 C) 23D) 18 E) 19

11.Si: )7()5( )4(460 eabcde y a.b + c.d+ e = 12

Identif ica, cual de las siguientesproposiciones es falsa:

I. )()5( 23140 xabcde .

II. 15704604 )7( .III. a = 2; b = 3; c = 1; d = 4; e = 2IV. a + b + c + d + e = 12

A) I B) II C) IIID) IV E) I y II

12.Traduce el eununciad Si se descomponepolinmicamente el numeral

)()1).....(1)(1)(1( nnnnn que posee kcifras se obtiene :

A) nn - 1 B) nk - 1 C) kn - 1D) nn + 1 E) kk - 1

13.Determina el valor de verdad de lassiguientes proposiciones:

I) Desde el )5(344 al )13(10 , hay 82 nmerosnaturales. ( )

II) Si nm 1420281 )( y adems m+n =14;entonces m.n = 45. ( )

III) Si 6)( 21410001 n ; entonces el valor den es 3. ( )IV) La base del sistema en el cual esta lasucesin es heptal 23; 27; 32; ... ( )

A) VVVF B) VVFF C) VVFVD) FFVV E) VFFF

Capacidad 03: Resolucin de Problemas

15.Si los siguientes nmerales

)()()( 2,, aca cbba est bien representados.

Calcula a+b+c.

A)5 B)4 C)6D)7 E)8

16.Si. 111)1(1 )4( aaa .

Halla a2.

A)9 B)4 C)8D)16 E)1

17.Halla: (a + b) si se cumple:

naba 11068

A)5 B)6 C)4D) 7 E)8


8

18.Si los nmeros : 7534a ; ab211 y bcc2 estncorrectamente escritos. Busca cuntosvalores puede tomar a

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

19.Si a un nmero de tres cifras que empiezapor 9 se le suprime esta cif ra, el nmeroresultante es 1/21 del nmero original. Hallasuma de las tres cifras de dicho nmero.

A) 12 B) 18 C) 15D) 24 E) 21

20.Determina cul es la base del sistema denumeracin usado para escribir el nmero 3157,si su equivalente en el sistema decimal es 6832.

A) 11 B) 12 C) 13D) 14 E) 15

21.Calcula: 5

56120

240.122 y expresarlo como un

nmero en base 3.

A) 12002(3) B) 21002(3) C) 10201(3)D) 10210(3) E) 20012(3)

22.Halla (a+b+c) si los numerales estncorrectamente escritos:

)(256 a ; )(42 ba ; )(43 cb ; c75 .

A) 24 B) 22 C) 32D) 20 E) 36

23.Efectua la suma de m y n

)()(

)()(

288460284458

nm

nm

A) 26 B) 27 C) 28D) 29 E) 30

24.Reconozca el valor de N

)()2( 322134 NN

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 1

25.Dado el nmero:

)2(2)1()1()1( aaaaaaN

Calcula P (a); si P (x) = x2 + x + 2

A) 1 B) 2 C) 3D) 5 E) 7

26.Si el nmero 12100102010211(n) se leconvierte a base n2 la suma de sus cifrasaumenta en 15. Determina cul es el valor den.

A) 4 B) 5 C) 6D) 3 E) 7

27. Si: 65602......222 )3(

n cifras

Halle la suma de cif ras de

)()2)(1( nnn escrito en el sistema senario.A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

28.Sabiendo que:

4095...... )2( xxxx

n cifras

adems: 13nnnP Halla P expresado en base 10.

A) 2 193 B) 2 196 C) 2 396

D) 2 186 E) 2 176

29. Calcula el minimo valor de M, si:

M = a+b+c+k. Adems kabc es la suma decifras de F representado en el sistemaheptanario donde

6071573575 235 F

A)5 B)6 C)7D)10 E)12


9

2.1. TEORA DE DIVISIBILIDAD

DivisibilidadUn nmero entero A es divisible entre otronmero entero positivo B, si al dividir Aentre B la divisin es entera y exacta.

En general: Sean AZ; BZ+; kZ

A B A es divisible entre B 0 k B es divisor de A

MultiplicidadUn nmero entero A es mltiplo de un nmeroentero positivo, si A es el resultado de multiplicara B por una cantidad entera.

A = kB A es mltiplo de BB es factor de A

A=B = kB A es mltiplo del mdulo B

Conclusiones:Todo nmero entero positivo ser mltiplo de smismo.

B =B ; B Z

El cero es mltiplo de todo nmero enteropositivo.

0 =k ; k Z

Principios Bsicos de DivisibilidadLas operaciones aritmticas elementalesrespecto a los mltiplos de un mismo mduloson:

Adicin: nn...nn

Sustraccin: nnn

Multiplicacin: n)k(n ; k Z

Potenciacin: n)n( k ; k Z

Si: N = a.b.c Entonces:

N

a

b

c

a.b

a.c

b.c

a.b.c

a

Si: N = b , entonces: N =

c)b;MCM(a;

c

Ejemplo N 01En una votacin el nmero de votos, oscilaentre 215 y 186, de tal manera que si secuentan de 5 en 5 o de 7 en 7, siempre sobran3. Cuntos son los votos?

A) 208 B) 213 C) 193D) 178 E) 198

ResolucinSea N el nmero de votos buscado:

Por dato: N = 35

N = 37

Luego: N = 3)7;5(mcm

N = 335

= 35k + 3 . . . . . . . ()Adems: 186 < 35k + 3 < 215

CAPTULO II TEORA DE DIVISIBILIDAD


10

Desarrollando: k = 6

reemplazando en ():N = 35(6) + 3 = 213

Los votos son 213.

PRINCIPIO DE ARQUMEDES

Si: A x B =n

Donde A y n no tienen divisores en comn,

aparte de la unidad, entonces: B =n

Si: z....c.b.an)zn)...(cn)(bn)(an(

Divisibilidad Aplicada al Binomio deNewtonEn general, sean los enteros positivos; n, a y k.

kk an)an(

12k;an

2k;an)an(k

kk

Ejemplo N 02

Halla el resto de dividir 2002 entre 7.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

Resolucin

12 =7 + 2

22 =7 + 4 g = 3

32 =7 + 1

Entonces:

132

=7 + 2

232

=7 + 4 g = 3

32 =

7 + 1

donde: 200 = 23

Finalmente: 2002 = 232

=7 + 4

El residuo es 4

Restos Potenciales

En general, si: {b, m} Z

{ n, r } 0Z

Adems: nn rmb

Luego:Al conjunto formado por los restos: r0; r1; r2; ...,se le denomina restos potenciales de brespecto al mdulo m, siendo sta peridicadesde un lugar en adelante (con perodo menorque m).

Ejemplo N 03Determina los restos potenciales de 4 respectoal mdulo 7. Dar como respuesta la suma dedichos restos.

Resolucin

1, 4; 2; 1; 4; 2; . . . se denomina restospotenciales de 4 respecto al mdulo 7, la cualse observa que se repite en forma peridica yque el primer residuo es 1.Piden:

Suma de restos potenciales = 1 + 2 + 4 = 7.

04 =7 + 1

14 =7 + 4 g = 3

24 =7 + 2

7 +1 E=

3

34 =7 + 1 E4 =

7 +4 E=

3 +1

44 =7 + 4 g = 3

7 +2 E=

3 +2

54 =7 + 2

n4 =7 + r


11

Principales criterios de DivisibilidadUn criterio de divisibilidad es una relacin quedeben cumplir las cifras de un determinadonumeral para que ste sea divisible por otro, sino lo es, nos permitir calcular el residuo apartir de ellas.

Divisibilidad por 2

Si: 2abcde , entonces:

2e

Divisibilidad por 3


3edcba

Divisibilidad por 4


4de

Divisibilidad por 5

Si: 5abcde , entonces: })5;0{e(5e

Divisibilidad por 6


32abcde

Divisibilidad por 7

Si: 7abcde , entonces: e+3d+2cb3a=

7

Divisibilidad por 8


8cde

Divisibilidad por 9


9edcba

Divisibilidad por 11

Si:

11abcde , entonces:

11abcde

31231 - +

+ - + - +

Divisibilidad por 13

Si:

13abcde , entonces: e3d4cb+3a=

13

Ejemplo N 04Calcula la suma de todos los valores de x, siel numeral 8xx4 es divisible entre 7.

A) 11 B) 12 C) 13D) 10 E) 14

ResolucinAplicando el criterio de divisibilidad por 7:

78xx4

entonces: - 4 + 2x + 3x + 8 = 7

5x + 4 = 7

donde: x = { 2 ; 9 }

Suma de valores de x es: 9 + 2 = 111

Ejemplo N 05

Determina el valor de x, en:

1735x4

A) 12 B) 3 C) 6D) 9 E) 8

Resolucin

Descomponiendo el numeral 35x4

1700x4035

(

17 + 6) + (

17 + 15x) =

17

6 + 15x =

17 15x =

17 6

5x =

17 2 5x =

17 +15

x =

17 + 3donde x es 3.

El valor de 3x ser igual a 9.

31431 + - +

31231 - +


12

PRCTICA N 02Capacidad 01: Razonamiento y

Demostracin

1. Analiza el valor de verdad de las siguientesproposiciones.

I. El cero es mltiplo de todo nmero positivoII. La unidad es divisor de todo nmeroenteroIII. 18 no es mltiplo de 3.IV. Tres es divisor de 18.V. Un nmero es divisible por dos si terminaen cifra par o cero.

A) FVFVV B) FFFVV C) VVFVVD) VVVVF E) FVVVV

2. Discrimina el valor de verdad de lassiguientes proposiciones:

I. La ecuacin 4x + 16y = 79 no tiene solucinen los enteros.II. La ecuacin 6x + 21y = 102 no tienesolucin en los enteros positivos.III. La ecuacin 3x + 7y = 141 tiene solucinen los enteros positivos.

A) VFV B) FFF C) VVFD) VVV E) VFF

3. Analiza los siguientes enunciados y pon V(verdadero) y F (Falso).

I. Un numeral es divisible por 13, cuando lasuma algebraica de sus cifras de derechaa izquierda por 1;-3;-4;-1; 3; 4; 1.II. El residuo de dividir 3445 entre 3 es 2.III. Todo nmero divisible por cinco debeterminar en cero.

A) VFV B) FFF C) VVFD) VVV E) VFF

4. Analiza cual es valor de verdad de lassiguientes proposiciones:

I.La suma de tres nmeros consecutivos essiempre divisible por 3.

II. cbaabc siempre es mltiplo de 33III. Un nmero capica de cuatro cifras

siempre es mltiplo de 11.

A) FVV B) FFV C) VVFD) VVV E) VFV

5. Establece la relacion correcta.

I. Un nmero es divisible por 3.II. Un nmero es divisible por 7.III. Un nmero es divisible por 11.

a. Cuando se multiplica de derecha aizquierda por los dgitos 1;3;2 y -1;-3;-2

b. Cuando la suma de sus cifras es mltiplode 3.

c. Cuando se suman algebraicamente suscifras; previamente afectadas de derechaa izquierda por los signos +;-;+;-.y assucesivamente.

A) I-a; II-b; III-c. B) I-b; II-c; III-a.C) I-b; II-a; III-c. D) I-c; II-b; III-a.E) I-a; II-c; III-b.

6. En el ao 2006, el 1 de Enero es da domingo,luego interpreta el da de la semana que fue el1 de enero de 1983 ser:

A) Jueves B) ViernesC) Sbado D) DomingoE) Lunes

7. Si

babcda 1)2( adems

10)4(bmnpqr , entonces;

I. Evalua el valor de 2a + 3bII. Evalua el valor de a! + b!III. Evalua el valor de a + b

A) 34; 744; 10 B) 24; 444; 10C) 14; 144; 100 D) 24; 744; 10E) 14; 644; 10


8. Analiza la condicin necesaria para que

12abcdeE sea divisible entre 8

A) 2c + 4d + e = 8B) 4d + e = 8C) b + 4c + 2d + e = 8D) d+4e+2c= 8E) c + d + e + a + b = 8


13

9. Si se cumple que

11abc ; 69

abc

y 18

abc . Identifica que valor toma

abc

A) 845 B) 835 C) 825D) 815 E) 855

10.En la expresin 273

Q , traduce elvalor de Q.

A) 27

Q B) 47

Q

C) 37

Q D) 57

Q

E) 273

Q

11. Se reparte aaa )2)(1( soles. Cadapersona recibi 19 soles y al final nada quedo.Infiera cuantas personas recibieron los 19soles.

A) 9 B) 12 C) 16D) 21 E) 27

12. Determina la condicin necesaria para que

la suma de valores de x e y en 742 xyN sea divisible entre 2.

Dato I: y es parDato II: y es imparDato III: x es parDato IV: x es impar

A) Es necesario I y IIB) Es necesario I y IVC) Es necesario III y IID) Es necesario IE) Es necesario (I y III) o (II y IV)

13. Traduce la siguiente expresin en su formasimblica mas simple si: 17A 21342243 nxnA

A) 117

B) 217

C) 317

D) 217

E) 317

14. Si:

17171x y

2134a , se cumple que:I. El valor de x es siete.II. El valor de a es ocho.III. El producto de x por a es 56.

A) Solo I B) Solo II C) I y IID) Todas E) Solo III

Capacidad N 03:Resolucin de Problemas

15. Reconoce que valores puede tomar xpara que el nmero 3412 x sea mltiplo de 3.

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

16. Resuelva el producto de los 70 primerosnmeros impares al dividirlo entre 4 da comoresiduo.

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 7

17. Determina el residuo de la divisin.

7c 0120

......561234561234561234 ifras

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

18. La expresin:

..........30252318161194 xxxxxxxxE ,tiene 2n factores, luego el residuo que seobtiene al dividir entre 7 es:

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

19. Si 372832

cba .Comprueba cualser el resto al dividir cba 54 entre 7.

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

20. Al dividir 131313131345762(g) entre 11(g),Analiza el residuo:

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5


14

21. Juzga la cantidad de nmeros de la forma

nnn 104 que son divisibles por 13 es:A) 3 B) 5 C) 7D) 10 E) 13

22. CEPRITO agrupaba sus canicas de 6 en 6,de 8 en 8 y de 10 en 10 y siempre le faltaba unapara formar ms grupos. Calcula cuntascanicas tiene si es una cantidad mxima menorque 1000

A) 954 B) 941 C) 959D) 1079 E) 823

23. Halla a + b sabiendo que el nmero ababaes divisible por 126

A) 6 B) 8 C) 9D) 10 E) 11

24. Analiza el valor de axbxc, si:

9abc

5cba

13caA) 140 B) 150 C) 120D) 105 E) 210

25. Ed observa que sus ab compaeros delaula se agrupan para estudiar de 6 en 6 ysobran 2; pero si se agrupan de 5 en 5, faltaran3 para formar otro grupo. Interpreta cuntosalumnos hay en el aula de Ed, si es lo mayorposible. De cmo respuesta la suma de suscifras.

A) 16 B) 11 C) 14D) 15 E) 10

26. Calcula cuntos numerales de 4 cifras alser divididos entre 4 y 5 de como residuo 3 enambos casos.

A) 58 B) 45 C) 43D) 36 E) 40

27. Si :

314baaa y

974nnCalcula el residuo de dividir

)2

()1()32( nbbnbb entre 8

A) 58 B) 45 C) 43D) 36 E) 40

28.Si se cumple que 6767342

aa .Indica el valor de a.

A) Slo 2 B) 9 C) 2 y 9D) 2 9 E) Slo 9

29.Analiza el residuo de dividir:

9421424 A) 2 B) 5 C) 4E) 3 E) 1

30. Si el numeral qpqp 46 es divisibleentre 88, Calcula el valor de p+q

A) 2 B) 5 C) 9E) 5 E) 0

31. En el colegio Leoncio Prado en la reuninde aniversario se observa que la sptima partede los asistentes tienen estudios de postgrado,la tercera parte de los asistentes hablan ingls,la catorceava parte son ingenieros y ladieciochoava son literatos. Si el curt internotiene un lmite de 1000 personas. Halla cuantosasistieron como mximo a la reunin deaniversario.

A) 1005 B) 350 C) 844D) 955 E) 882

32. Juzca el valor de a si:

411523

aaaa

A) 2 B) 1 C) 0D) 3 E) 4

33. Un almacenero cuenta los clavos que tienede 5 en 5, de 7 en 7, de 9 en 9 y de 11 en 11 ysiempre sobra una cantidad que es menor enuna que el divisor empleado, si cada clavo lecosto 2 soles y gasto entre 12000 y 16000soles. Halla la suma de las cifras de dichonmero de clavos.

A) 24 B) 25 C) 26D) 27 E) 23


15

3.1. TEORA DE NMEROS

CLASIFICACIN DE LOS NMEROSENTEROS POSITIVOSEl conjunto de los nmeros enteros positivosse pueden clasif icar de acuerdo a unadeterminada caracterstica en particular; eneste caso se va ha clasificar de acuerdo a lacantidad de divisores que posee cada nmero.

1 1 1 2 1 2 2 3 1 3 2 4 1 2 4 3 5 1 5 2 6 1 2 3 6 4 7 1 7 2 8 1 2 4 8 4 9 1 3 9 3 10 1 2 5 10 4

a) Nmeros simplesSon aquellos nmeros que tienen a lo ms dosdivisores.

a.1. Unidad: Es un nmero especial porquees el nico que posee un solo divisor.

1

a.2. Nmeros primos: Son aquellosnmeros que poseen nicamente dosdivisores que son la unidad y el mismonmero.

2; 3; 5; 7; 11; 13;

b) Nmeros compuestosSon aquellos nmeros que tienen ms de dosdivisores.

4; 6; 8; 9; 10; 12;

CLASIFICACIN POR GRUPOS DE NMEROS

a) Nmeros primos entre s (PESI)Son aquellos nmeros que tienen como nicodivisor comn la unidad.

Ejemplo N 018; 10 y 15 son PESI?

Resolucin Nmero Divisores

8 1 2 4 8

10 1 2 5 10

15 1 3 5 15

8, 10 y 15 son PESI

b) Nmeros primos entre si 2 a 2Son aquellos grupos de nmeros que al sertomados de 2 en 2; estos pares de nmerosson PESI.

Ejemplo N 024; 9 y 25 son PESI 2 a 2?

ResolucinTomando los nmeros de 2 en 2, tenemos:

4 1 2 4 PESI

9 1 3 9

4 1 2 4 PESI

25 1 5 25

9 1 3 9 PESI

25 1 5 25

Cantidad de divisores Nmeros enteros

positivos Divisores

comnprimonico

CAPTULO IIITEORA DE NMEROS


16

4, 9 y 25 son PESI 2 a 2.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAARITMTICATodo nmero compuesto se descompone enuna multiplicacin de potencias de exponentesenteros positivos de sus divisores primos. Aesta descomposicin se le conoce con elnombre de DESCOMPOSICIN CANNICA.

En general:

Ejemplo N 03Descomponer cannicamente el nmero 600.

Resolucin

600 2300 2150 2 75 3 25 5 5 5 1

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NMERO

a) Tabla de divisores de N

Sea el nmero 18, donde: 23218 Entonces se puede elaborar la siguiente tablade divisores de 18.

1899633211

21

b) Cantidad de divisores de N CD(N)

Si: z......cbaNEntonces:

c) Suma de divisores de N SD(N)

Si: z......cbaNEntonces:

d) Suma de las inversas de los divisoresde N SID(N) Sea N un nmero entero positivo.Entonces:

e) Producto de los divisores de N PD(N)Sea N un nmero entero positivo.Entonces:

Ejemplo N 04

Si: m1815N , tiene 144 divisores. Determinael valor de m.

A) 4 B) 5 C) 6D) 3 E) 7

ResolucinDescomponiendo cannicamente el nmero N,tenemos:

m2 )32()53(N

m2m 3253N

532N 1m2m

Adems CD(N) 144por propiedad

(m+1)(2m+1+1)(1+1) = 144 (m+1)2(m+1)(2) = 144

36)1m( 2 m +1 = 6

m = 5

cannicacinDescomposi

22 532600

18dedivisores

2dedivisores

23de

divisores

z......cbaN

1z1z.....

1c1c

1b1b

1a1a)N(SD

1111

N

)N(SD)N(SID

)N(CDN)N(PD

)1)....(1)(1)(1()N(CD


17


Demostracin

1. Interpreta el valor de verdad de los siguientesenunciados

I. El nmero 5 posee 2 divisores primosII. El 4 y 9 no son primos entre sIII. La unidad no es ni primo ni compuesto

A) FFF B) VVF C) FVFD) VFF E) FFV

2. Anticipa la alternativa correcta:

A) Los nmeros primos poseen slo 2divisores primos.B) Los nmeros compuestos poseen msde 2 divisores primos.C)Los divisores simples estn conformadospor los divisores primos y los compuestos.D) El nico divisor simple no primo es launidad.E) Los nmeros son proporcionales a lacantidad de divisores que tienen.

3. Identif ica la verdad o falsedad de lassiguientes proposiciones.

I. A los divisores primos y la unidad se lesdenomina divisores simplesII. Los divisores primos y los compuestosconforman el total de divisores de unnmero.III. Los divisores simples y la unidadconforman los divisores compuestos

A) FFF B) VFV C) VFFD) FVF E) VVV

4. Evalua el enunciado incorrecto con respectoa: Todo nmero primo es

A) De la forma )14()14(00

B) De la forma )16()16(00

C) Impar a excepcin del 2D) No compuestoE) El que tiene nicamente 2 divisores

5. Identif ica la alternativa incorrecta conrespecto a la tabla de divisores

b0 b1 b2 b3a0 1 2 Y 8a1 5 X 20 40a2 25 50 100 Z

A) X = 10 B) Y = 4C) Z = a2.b3 D) a + b = 2E) Z = a2 - b3 = 17

6. Si a 74 se le multiplica por 100. Establece silas si las proposiciones son verdaderas ofalsas:

I. El producto tiene 4 divisores primosII. Sus divisores se incrementan en 20III. Uno de sus divisores es 185

A) FVV B) VVV C) FVFD) VFF E) FFV

7. Si A y B son nmeros primos diferentes de2. Identifica cules son verdaderas.

I. (A + B) es un nmero primoII. AxB tiene 4 divisoresIII.(A.B)(A+B) tiene divisores mltiplos de 2.

A) I y II B) II y III C) I y IIID) I; II y III E) Slo II

Capacidad N 02:Comunicacin Matemtica

8.Traduce los enunciados e indica la alternativaque no corresponde a la cantidad de divisoresde un nmero (CD)

A) CDpropios +1 = CDB) CD = CDprimos + CDcompuestos + 1C) CDprimos = CDsimples -1D) CDpropios = CDcompuestos +1E) CDcompuestos = CD (CDprimos +1)

9. Analiza el nmero N = 2002 y su descomponercannicamente:

A) N = 2.7.13 B) N = 2.3.7.13C) N = 2.7.11.13 D) N = 7.11.13.19E) N = 3.7.13.31


18

10. Identif ica la alternativa que no lecorresponde al nmero 2009

A) Posee 2 divisores primosB) Posee 6 divisores en totalC) Posee 3 divisores simplesD) Posee 3 divisores compuestosE) Es un nmero primo

11. Si N = 5(10m) tiene 20 divisores. Identificacuntas de las proposiciones son verdaderas.

I. m= 3II. N = 500III. Sus divisores

05 son 16

IV. Sus divisores 02 son 15

A)0 B) 1 C) 2D) 3 E)4

12. La expresin: 3)3)(5b(4a si a y bson cif ras; Interpreta cules de lasproposiciones son verdaderas.

I. El numeral puede representar hasta 2nmeros primos.

II. Como mximo puede tener hasta 6divisores.

III. Si a=3 y b= 2 resulta un numeral primo

A) I y II B) II y IIIC) I y III D) I; II y IIIE) Slo II

13. Si N = 30n tiene 1000 divisores. Identificacuntas de las proposiciones sonverdaderas.

I. N tiene 3 divisores primosII. N = tiene 9 divisores simplesIII. n = 9

A) I y II B) II y III C) I y IIID) Slo III E) Slo I

14. Traduce convenientemente. (8)aa siposee 9 divisores.

I. El valor de a esII. El nmero de divisores primos esIII. El nmero de divisores simples es

a, 2 b, 3 c, 4

A) Ic; IIa; IIIbB) Ib; IIc; IIIaC) Ic; IIb; IIIaD) Ia; IIb; IIIcE) Ia; IIc; IIIb


15. Un nmero tiene 23 divisores propios, 4divisores mltiplos de 12 y 12 divisores mltiplosde 3. Halla cuntos de sus divisores sonmltiplos de 4.

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

16. Si,

1bc2

2.3.p

p.pn.nmm

: Interpreta :

b + c; donde a; b y c son primosabsolutos.

A) 10 B) 1 C) 2D) 8 E) 4

17. La cantidad de divisores del menor nmero

N = 45.12n+4 es 07 , Analiza cuntos de losdivisores de N son mltiplos de 4 pero no de8.

A) 8 B) 12 C) 18D) 20 E) 14

18. Si abcde tiene 4 divisores primos y 91divisores compuestos tal que si se divideentre: 16; 49 y 27 dejan residuo 8; 35 y 9respectivamente. Busca de sus divisores no

son 0

28 .

A) 60 B) 56 C) 72D) 42 E) 84


19

19. Halla la suma de las cifras de mnpq ;sabiendo que m + p = n + q, adems dichonumeral posee 27 divisores.

A) 14 B) 15 C) 16D) 17 E) 18

20. El numeral abc es mltiplo de 3 y tiene 12divisores, si se le disminuye en (a + b + c) seobtiene un numeral que termina en 75 y tiene12 divisores. Calcula el nmero abc .

A) 729 B) 693 C) 684D) 816 E) 924

21. El nmero nn075 tiene 4 divisores simplesy 32 divisores compuestos. Reconoce cuntosdivisores del nmero son PESI con 21.

A) 3 B) 4 C) 5D) 2 E) 6

22. Sea N = 54.5n+4, Reconoce cuntos de losdivisores de N son mltiplos de 9 pero no de27, si la cantidad de divisores de N es mltiplode 7 y es lo menor posible.

A) 8 B) 14 C) 5D) 7 E) 9

23. Halla (m + n), en el numeral P =2m.7n,sabiendo que el cuadrado de P tiene 44divisores ms, mientras que su raz cuadradatiene 13 divisores menos de lo que tiene P.

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

24. Halla el residuo de dividir abcd entre 7, talque es mltiplo de 2; b + d = 15; a + c = 4adems se sabe que tiene 15 divisores.

A) 3 B) 4 C) 5D) 2 E) 1

25. Si el numeral 432a posee 1268 divisoresenteros no primos. Calcula la suma de losdivisores no compuestos de aa.

A) 7 B) 8 C) 15D) 10 E) 14

26. Determina el menor nmero naturaldiferente de 1, que sea coprimo con 5460 ycoprimo con 5610. Da cmo respuesta la sumade sus cifras.

A) 3 B) 9 C) 5D) 10 E) 11

27. Sea N = n2mp3 ; Halla el valor de a paraque el nmero sea mltiplo de 72, sabiendoque N -2 es mltiplo de 9.

A) 1 B) 4 C) 7D) 12 E) 11

28. Si 3m4n5p67 al ser dividido entre 13 dejaresiduo 7, determina el residuo de dividir

m1n3p2 entre 7.

A) 3 B) 4 C) 5D) 0 E) 6

29. Si: abc = 570

cba = 3110

bca = 690

Calcula: c + 3b + 5a

A) 12 B) 44 C) 55D) 22 E) 31


20

4.1. OPERADORES MATEMTICOS

Operador MatemticoEs aquel smbolo que representa a unadeterminada operacin matemtica.

x # y = yx x2y2

Operadores Universales

Adicin + Sustraccin Multiplicacin x Divisin

Radicacin n Potenciacin n)(

Valor absoluto Sumatoria

Operadores Arbitrarios

Asterisco * Grilla #Tringulo Nabla Yin - Yang Arroba @Porcentaje %

Operacin MatemticaEs un proceso que consiste en latransformacin de una o ms cantidades enotra cantidad llamada resultado, medianteciertas condiciones en la cual se define laoperacin.

Operaciones matemticas con regla dedefinicin ExplcitaSon aquellas operaciones en los cuales la reglade definicin se da directamente, slo hay quereconocer las componentes que intervienen,reemplazar y operar.

regla de

definicin operador matemtico

Ejemplo N 01

Se define: ab bab#a

Calcula 22 yx , si: 55y#x

A) 5 B) 10 C) 20D) 15 E) 14

Resolucin

Por la definicin: 55y#x

5xy )55(yx

55xy 55yx

Comparando trminos: x = 5 y = 5

Piden: 2222 )5()5(yx

22 yx = 10

Operaciones matemticas con regla dedefinicin Implcita.Son aquellas operaciones en los cuales la reglade definicin no ha sido definida de maneraexplicita, por lo que hay que darle una formade def inicin a lo que nos pide; paraposteriormente reemplazar y operar los datos.

Ejemplo N 02

Si: 6x + 2 = 12x + 9 ; x +1 = x + 4

Halla el valor de: 8 + 3

A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10

CAPTULO IVOPERADORES MATEMTICOS


21

Fila de entrada

Columna de entrada

c

b

a

c

a

b

a c

b

a

b

b

c

a

c

Operador

Diagonal

Resolucin

Como: 6x + 2 = 12x + 9

Entonces: x +1 = x + 4

2 x + 1 + 5 = x + 4

x + 1 = 21x

Luego: 8 = (8 2) 2 = 3

3 = 3 2 + 5 = 111

Reemplazando valores

8 + 3 = 3 + 11 = 14

= (14 2) 2 = 6

8 + 3 = 6

Operaciones matemticas que no tienenregla de definicin Explcita ni Implcita. En este caso se tiene que hacer uso de muchacreatividad e ingenio, pues el resultado sepuede obtener de muchas maneras (realizandociertas operaciones).

Ejemplo N 03Si se sabe que:

48 24 = 7232 31 = 2026 41 = 40

Halla el valor de: K = 76 13

A) 31 B) 72 C) 46D) 27 E) 52

ResolucinObservamos que la regla de definicin no estdado de manera explcita ni de manera implcita.Se buscar una regla que cumpla para todoslos casos segn la informacin dada.

48 24 = 72 = (4 + 8)(2 + 4)32 31 = 20 = (3 + 2)(3 + 1)26 41 = 40 = (2 + 6)(4 + 1)

Luego se tiene: ab bc = (a + b)(c + d)Entonces:

K = 76 13K = (7 + 6)(1 + 3) K = 52

Operaciones en Tablas de Doble EntradaSea el siguiente conjunto no vaco A = {a, b, c},en el cual se define la operacin representadapor , mediante la siguiente tabla.

Para operar se recomienda realizar la siguienteoperacin:

tablalaencinsecerint

filaladeElemento

*columnala

deElemento

Ejemplo N 04Se define el operador @ mediante la siguientetabla:

Calcula: M = [ (1 @ 2) @ (3 @ 4) ] @ 5

A) 2 B) 1 C) 3D) 4 E) 5

ResolucinSegn la tabla:

M = [ (1 @ 2) @ (3 @ 4) ] @ 5M = ( 5 @ 4 ) @ 5M = 1 @ 5 M = 3

2 + 5

- 2 2

@ 1

2

3

4

5 1

4

5

1

2

3

2

5

1

2

3

4 3

1

2

3

4

5

4

2

3

4

5

1 5

3

4

5

1

2


22

PropiedadesEn el conjunto A , definimos la operacinsimbolizada por * , entonces estudiaremoslas siguientes propiedades.

Propiedad de Clausura o Cerradura a,bA a * bA

Propiedad Conmutativa a,bA a * b = b * a

Criterio de la Diagonal, para determinar si unatabla es conmutativa.

Propiedad Asociativa a,b,cA a * ( b * c ) = ( a * b ) * c

Propiedad del Elemento Neutro (e) eA / aA a * e = e * a = a

Criterio de Interseccin, para determinar elelemento neutro en una tabla.

Propiedad del Elemento Inverso ( 1a )

eA, aA, 1a A

a * 1a = 1a * a = e

donde: e : Elemento neutro

Mantienen el mismo orden

Elementos ubicados

simtricamente

c

b

a

c

a

b

a

c

b

a

b b

c

a

c

Diagonal principal

Filas iguales

Columnas iguales

c

b

a

c

a

b

a c

b

a

b

b

c

a

c

Elemento neutro


Demostracin

1. Identif ica cul de las siguientesinformaciones es falsa.

A) El elemento neutro en la adicin es elcero.B) El elemento neutro es nico.C) En la multiplicacin el elemento simtricoes el uno.D) En el conjunto de los nmeros reales, lasustraccin no es conmutativa.E) La adicin es una composicin internaen los nmeros naturales.

2. Dado un conjunto no vaco, en el cual sedefine una operacin matemtica, mediante unadeterminada tabla. Analiza cul de lassiguientes afirmaciones es incorrecta.

A) Cuando los elementos del cuerpo de latabla pertenecen al conjunto de partida, sedice que es clausurativa.B) La tabla es conmutativa si la matriz essimtrica con respecto a su diagonalprincipal.C) La interseccin de la columna y fila deentrada nos determina el elemento neutro.D) Si la matriz en una tabla tiene diagonalessecundarias semejantes se dice que esasociativa.E) Si en el cuerpo de la tabla se nota almenos un elemento que no pertenece alconjunto de partida se dice que la operacines abierta.

3. En la siguiente tabla discrimina cul de lassiguientes proposiciones son falsas:

I. No es conmutativaII. El elemento neutro es cIII. a * (b * d) = (d * c) * dIV. La operacin * es cerrada

A) I y II B) Slo IIC) II y III D) Ninguna es falsaE) II; III y IV

a b c

d a a

b

a

a

b c

b b

d c

d

a

c

b

d

b

c

d

a


23

E) II; III y IV

4. Se define en A = { 1; 2; 3; 4; 5 } la operacin*, mediante la siguiente tabla:

Analiza el valor de verdad de las siguientesproposiciones:I. Si x = 1, entonces (1 * x) * 3 = 3II.Se cumple la propiedad conmutativa.III. Se cumple la propiedad de clausura.IV. El elemento neutro es 3.A) VFVF B) FVVF C) FVFVD) VVFF E) VFVV


5. Para cualquier nmero entero x se define

la operacin x , como: 1xx 2 .Identifica cul de las siguientes expresiones

es equivalente al producto de 3 y 4 .A) 12 B) 11 C) 10D) 9 E) 7

6. Se define la siguiente operacin:

44x321x2 ; x R

Analiza, cul de las siguientes expresionesno corresponde a la definicion dada.

A) 2x41x2 B) 8x81x2

C) x = 16x + 60

D) x = 2x + 4 E) x = 16x + 16

1

2

3

4

5 1

3

4

1

2

5

2

5

1

2

5

1 3

1

2

3

4

5

4

2

5

4

3

2 5

5

1

5

1

3

7. Se define la siguiente relacin:

Entonces, podemos inferir que:

es igual a :

A ) B) C)

D) E)

8. En el conjunto A = { 1; x; 2x } se define laoperacin *, dado por la tabla:

En la siguiente tabla interpreta la expresin

equivalente a: 121 )x(x

A) )1x(x2 B) 2)1x( C) 1x2

D) )1x(x E) 1x2


9. Se define:

(2b)b2

ab

adems:

a+b

a b.

a + b

Calcula:

1036

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

=

1

x

x2 1

1

x

x2

x

x

x2

1 x2

x2

1

x


24

10. Si:h(x) = ax2 + bx + c

h(1) = 7 h(1) = 3 h(0) = 4Halla:

h(h(2))

A) 124 B) 120 C) 134D) 144 E) 150

11. Si:a * b = (b * a)2 ; a * b > 0

Resuelva:E = (1 * 2)2 + (2 * 3)3 + (3 * 4)4 + ... + (10 *

11)11

A) 10 B)8 C) 2D) 7 E) 6

12. Se define: a b = [a][b]

adems:[x] = n si n < x < n +1 ; n Z

Interpreta:

4,031,021,03,22,05,3

A) 4 B) 3 C) 2D) 1 E) 0

13. Se define:

b9b*a

01x;9x1x 2

Calcula: 225 * 15

A) 11 B) 12 C) 13D) 14 E) 15

14. Se define:

ba;bababa

ab

Halla el valor de:E = (...((((1 D 1) D 2) D 3) D 4 ... D 100)

A) 40 B) 160 C) 50D) 1 E) 101

15. Si: x x + 1x 1; x 1

Elabora:

B ........ 2 ........

149 operadores

A) 1 B) 2 C)3D) 4 E) 5

16. De acuerdo a:22 * 30 = 612 * 53 = 1345 * 14 = 21

Halla en:

32*7359*)18*5a(

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

17. Si: a b = a2 b2

a b = Log2(a b) ; a b > 0Calcula:

)2a22a3()35(E

A) a7 B) a3 C) a8

D) 3 E) 1

18. Se define el operador siguiente:

x + 1 x + 22(x + 1)

Halla y en:

y 4y

A) 1 B) 5 C) 7D) 9 E) 3

19. Si:m D n = p + 2 p x n = m 1Busca el valor de x:

x D 7 + (x + 1) D 7 = (6 D 5) + 8

A) 10 B) 35 C) 20D) 30 E) 25


25

20. Se define:

nx...xxf n21)n(

donde n es nme-

ro entero positivo.Si: xk = (1)k ; k Nreconoce el conjunto de valores posiblesde f(n) es:

A) {0} B)

n1

C)

n1,0

D)

n1,0 E)

n1,1

21. En el conjunto de los nmeros naturalesdefinimos las siguientes operaciones:

a * b = a2 ba ? b = 3a b2

a D b = 2a + 3b

Si: x * x = 6 ; y ? y = 4Halla: x D y

A) 7 B) 17 C) 18D) 16 E) 8

22. Si: 21F2

F )n()1n(

Calcula: F(61) ; si F(1) = 2

A) 30 B) 28 C) 32D) 26 E) 40

23. Se define:

x 8x + 35

Efectua:

A) 20 B) 24 C) 27D) 25 E) 21

24 Dada la siguiente tabla de doble entrada yde mdulo 4, definamos la operacin () enel conjunto:A = {1; 2; 3; 4}:

1 2 3 4

1 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1

Calcula "x", si:[ (21 3)1 x ] [ (41 2) 3 ]1 = 1A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

25. Dada la operacin binaria:a # b = a + b + ab

Halla el elemento neutro.A ) 1 B) 1/2 C) 0D) 1 E) 2

26. Si: A = {1; 2; 3; 4}

1 2 3 41 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1

Efecta el valor de "x" en:( (21 3)1 x1 ) * ( (41 2) * 4)1 = 2

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) No existe

27. En el conjunto de los nmeros realesdefinimos la operacin ():

a b = a + b + 2ab a, b RInterpreta si se cumplen las siguientesafirmaciones:( ) a b = b a. Es conmutativa( ) (a b) c = a (b c). Es asociativa( ) El cero se comporta como el elemento

identidad

A) VVF B) VFF C) VVVD) FFF E) FVV


26

5.1. HABILIDAD OPERATIVA

Consiste en analizar formas de solucin paraproblemas aparentemente complicados, conun poco de habilidad matemtica e intuicinprctica.

Observaciones (N par) + (N par) = (N par) (N impar) + (N impar) = (N par) (N par) + (N impar) = (N impar) (5) x (N impar) = .5 (5) x (N par) = .0 (N par) x (N par) = (N par) (N par) x (N impar) = (N par) (N impar) x (N impar) = (N impar)

222 )ba(bab2a

)ba)(ba(ba 22

)baba)(ba(ba 2233

Razonamiento InductivoConsiste en analizar casos particulares, esdecir realizar experiencias sencillas pero conlas mismas caractersticas del problema original,que nos permita llegar a una conclusin.

C A S O I

C A S O II

C A S O III

C A S O

G E N E R A L

Casos Particulares

Razonamiento Inductivo

Ejemplo N 01Halla el total de formas que se puede leer lapalabra cepreval si no interesa el orden delectura.

cc e c

c e p e cc e p r p e c

c e p r e r p e cc e p r e v e r p e c

c e p r e v a v e r p e cc e p r e v a l a v e r p e c

A) 512 B) 1 024 C) 2 048D) 255 E) 8 192

ResolucinAnalizando casos particulares

N de formas

De 1 letra

c 1 = 12 1

De 2 letras

c 3 = 22 1 c e c

De 3 letras

c 7 = 32 1 c e c c e p e c

De 4 letras

c 15 = 42 1 c e c c e p e cc e p r p e c

N de formas = 82 1 = 255

CAPTULO V HABILIDAD OPERATIVA Y SUCESIONES


27

Cifras terminalesConsiste en calcular la ltima cifra del resultadode un nmero que ser expuesto a sucesivasoperaciones.

a) Cifras terminales para nmeros queterminan en: 0; 1; 5 6En este caso la cifra terminal ser la ltimacifra del nmero base.

0...)0...( n

1...)1...( n

5...)5...( n

6...)6...( n

b) Cifras terminales para nmeros queterminan en: 4 9En este caso la ltima cifra del desarrollodepender si el exponente es par o impar.

4...)4...( IMPARN

6...)4...( PARN

9...)9...( IMPARN

1...)9...( PARN

c) Cifras terminales para nmeros queterminan en: 2; 3; 7 8En este caso las cuatro primeras cif rasterminales son diferentes y cada grupo decuatro se repiten las mismas cifras terminales.

6...)2...( 4

2...)2...( 14

4...)2...( 24

8...)2...( 34

1...)3...( 4

3...)3...( 14

9...)3...( 24

7...)3...( 34

1...)7...( 4

7...)7...( 14

9...)7...( 24

3...)7...( 34

6...)8...( 4

8...)8...( 14

4...)8...( 24

2...)8...( 34

Observacin:

)positivoenteronmero()parN( )positivoenteronmero()imparN(

Ejemplo N 02En que cifra termina:

2VALUNHE282 9MAT5RAZ)4DEF8ABC(

A) 0 B) 1 C) 3D) 9 E) 4

ResolucinAnalizando los exponentes de cada sumando

282 = 4 +2

UNHE : es un nmero de 4 cifras

2VAL : es un nmero parEntonces:

= 2VALUNHE282 )9(.....)5(.....)4.....8(.....

= parnmeronmero24 )9(.....)5(.....)2(.....

= par##2 )9(.....)5(.....)2(..... = 4 + 5 + 1= 0

Termina en cifra 0.

nmero)2...(

nmero)7...(

nmero)3...(

nmero)8...(

nmero)4...(

nmero)9...(

n Z


28

Razonamiento DeductivoConsiste en analizar y aplicar una verdadgeneral (ya demostrado), en ciertos casosparticulares.

Ejemplo N 03

Si: dabcdd

Calcula: cdbaE

A) 8 B) 4 C) 1/4D) 5/3 E) 6

Resolucin

Como dabcdd ; entonces: ddabcd

Se observa que el numeral de 4 cifras dependedel valor que toma d.

Si: d = 1 abcd1111

Si: d = 2 abcd4422

Si: d = 3 abcd272733

Si: d = 4 abcd25625644

Si: d = 5 abcd3125312555 (cumple)

Si: d = 6 abcd466564665666

Por lo tanto cumple cuando d es igual a 5;comparando trminos:

a = 3 , b = 1 , c = 2 , d = 5

Reemplazando cdbaE 4

2513

La respuesta es 4.

Razonamiento Deductivo

Casos Particulares

CASO I

C A S O

G E N E R A L

CASO II

CASO III

CASO IV

5.2. SUCESIONES

SucesinEs un conjunto de nmeros, letras y/o grficosordenados de acuerdo a una determinada LEYDE FORMACIN.

Una sucesin es finita cuando tiene un ltimotrmino y es infinita, cuando no tiene ltimotrmino.

Sucesiones NumricasEs un conjunto formado exclusivamente pornmeros que estn ligados entre si medianteuna determinada ley de formacin.

Sucesiones LiteralesSon conjuntos formados exclusivamente porletras del abecedario que estn ordenados deacuerdo a un determinado criterio; estoscriterios son: Lugar que ocupa en el alfabeto. Iniciales de palabras conocidas. Formacin de palabras.

Sucesiones GrficasSon conjuntos formados exclusivamente porgrficos ordenados de acuerdo a ciertoscriterios: Criterio de giro (horario o antihorario). Criterio de aparicin y/o desaparicin de

elementos de la figura. Unin y/o interseccin de figuras.

Ejemplo N 04Halla el valor de x en la siguiente sucesin.

2 ; 50 ; 74 ; 86 ; 92 ; x

A) 91 B) 93 C) 95D) 97 E) 99

Resolucin

2 ; 50 ; 74 ; 86 ; 92 ; x

+48 +24 +12 +6 +3 2 2 2 2

Se observa que: x = 95

Cada elemento de una sucesin

se denomina trmino...


29

SUCESIN ARITMTICASucesin Lineal o Progresin AritmticaSea la sucesin aritmtica:

1t ; 2t ; 3t ; 4t ; ; nt

+r +r +r

En general:

Sucesin CuadrticaSea la sucesin cuadrtica:

ot 1t ; 2t ; 3t ; 4t ;

ok 1k ; 2k ; 3k ; 4k

r r r r

En general:

SUCESIN GEOMTRICASea la sucesin geomtrica:

1t ; 2t ; 3t ; 4t ; ; nt

q q q

En general:

SUCESIONES ESPECIALESSucesin de los nmeros primos

2; 3; 5; 7; 11; 13;

Sucesin de Fibonacci1; 1; 2; 3; 5; 8; 13;

Sucesin de los nmeros triangulares1; 3; 6; 10; 15; 21; . . . . . .

Sucesiones de nmeros de la forma: 12n 1; 3; 7; 15; 31; 63; . . . . . .

cbnant 2n

2r

ak0

0t

rt1 r

bantn

1n1n qtt

1er orden

2do orden

Ejemplo N 05En la siguiente sucesin, halla el primer trminonegativo de tres cifras:

120; 113; 106; 99;

A) 101 B) 102 C) 103D) 104 E) 105

ResolucinCalculo del trmino ensimo

120 ; 113 ; 106 ; 99 ; .

-7 -7 -7 -7

Reemplazando los valores en el trmino generalde una sucesin lineal.

127n6tn Por dato:

100127n6

....8,37n Donde el primer trmino negativo, ser cuandon = 38, entonces:

127)38(6t38 = -101

El primer trmino negativo de tres cifras es-101.

Ejemplo N 06En la siguiente sucesin:

1; 3; 7; 15; 31;el tercer trmino despus de 31 es:

A) 127 B) 245 C) 265D) 295 E) 255

Resolucin

1 ; 3 ; 7 ; 15 ; 31 ;

121 122 123 124 125

Se observa que su trmino ensimo es de la

forma: 12t nn

Entonces para n = 8 12t 88 = 255

El tercer trmino despus de 31 es 255.


30


Demostracin

1. Analiza las siguientes proposic iones ydetermina si son verdaderas (V) o falsas (F)segn corresponda:

I. E l primer trmino de una sucesingeomtrica es diferente de cero.II. La sucesin de forma an2+bn+c esbicuadrtica.III. Si se reparte caramelos de 3 en 3 a ungrupo de alumnos , estamos hablando deuna sucesin.IV. En la sucesin alfanumrica, las letrasrepresentan nmeros naturalesconsecutivos.

A) FFFF B) FFVV C) FVFFD) VFVF E) FFFV

2. Identifica el enunciado incorrecto:

A) En una analoga numrica la incgnitaest en la columna del centro.B) La sucesin: U; N; O;.. Corresponde auna sucesin literal.C) Una sucesin geomtrica no es unasecuencia de grficos.D) En una distribucin grfica no intervienennmeros.E) Una sucesin aritmtica posee una leyde formacin de forma an+b.

3. Analice cuales de los enunciados sonincorrectos.

1;1;2;3;5;8;13;..

I. Es una sucesin linealII. Es una sucesin cuadrticaIII. Es una serieIV. Es una sucesin geomtrica

A) Slo I B) Slo II C) I , IVD) II , III E) II,III y IV

4. Reflexiona en cul de las alternativas no se

representa una sucesin:

A) 7; 3; -1; -5; -9; -13;B) 2x; 5x; 7x; 9x;C) C; E; P; R; E; V; D) 2 + 4 + 6 + 8 +.E) 2X +1; 3X + 2; 4X +3;

5. Discirmina la alternativa que cumple con la

analoga mostrada

A) B) C)

D) E)


6. Indentifica las sucesiones con sus trminosensimos correspondientes:

I 1; 3; 6; 10; 15.

II 9; 13; 17; 21; 30.

III 0; 7; 26; 63; 124;

a) 4n + 5b) n3 1

c) 2

)1( nn

A) Ia; IIb; IIIc B) Ic; IIa; IIIbC) Ia; IIc; IIIb D) Ib; IIa; IIIcE) Ic; IIb; IIIa

es a como es a ..?


31

7.Infiere su trmino ensimo:3; 12; 27; 48; 75;

A) 12 n B) 33n

C)

2

213

n D) 312 n

E) 23n8. En la sucesin: 3x; 4x; 7x; 11x;Analiza cules de las siguientes proposicionesson verdaderas:

I. t5 =18xII. tn = tn-1+ tn-2; para n e 3III. t6 = 38xIV. tn = 2n2 3n + 4

A) 3 B) 1 C) 4D) 2 E) 0

9. Interprta la relacin correcta:

9 11 a

2 20 8 2 2 10 x R y

4 2 b

A) 2(x + y) = RB) y = R+x3C) (a.b) = R + (x.y)D) (y x)+( a - b) =R +1E) (a.x) = R + (b.y)

10. En la siguiente sucesin grfica:

; ; ; Identifica cuales de las proposiciones sonverdaderas:

I. El criterio de giro es anti horarioII. El criterio de giro es horarioIII. El criterio es de aparicin y desaparicin

A) Slo I B) Slo II C) Slo IIID) II y III E) I y II

Capacidad N 03:Resolucin y Problemas

11. Analiza qu letra sigue.D; D; R; M; S; ...........

A) D B) M C) F D) L E) R

12.Busca qu letra sigue en.A; A; B; D; G; M; .....

A) A B) X C) Y D) Z E) W

13. Halla el trmino de lugar 10 en:5; 17; 43; 89; 161; ......

A) 1121 B) 1221 C) 1321D) 1421 E) 1721

14. Calcula el valor de n en la siguientesucesin:

(a + 3)1; (a + 7)3; (a + 11)5; ... ; (a + 118 n)n

A) 210 B) 20 C) 39 D) 28 E) 72

15. En la siguiente progresin aritmticacreciente:

Interpreta el trmino de lugar (a + b + c)

A) 210 B) 213 C) 216D) 219 E) 222

16.Juzga cuntos trminos de la siguientesucesin terminan en cifra 5.

13; 22; 31; 40; ....... ; 904

A) 12 B) 10 C) 11 D) 15 E)20

17. En la siguiente sucesin:

;......2925;

54;

139;

21;

51

Calcula el trmino ensimo.

A ) 1n2n2

B) n

4n2

C)n4n

n2

2

D)

4nn2

2

E)4n

n2

2


32

18. Busca qu figura sigue en la siguientesecuencia.

; ; ; ; ......

A) B)

C) D)

E)

19. De un libro de 226 pginas se han marcadocierto nmero de paginas del principio;observndose que en las pginas que quedanse utilizaran 451 cifras. Halla cuntas hojas searrancaron.

A) 64 B) 16 C) 44 D) 32 E) 88

20. El nmero de tipos de imprenta utilizadosen la numeracin de un libro excede al nmerode pginas en 160. Calcula el nmero de hojasde dicho libro.

A) 134 B) 120 C) 67 D) 60 E) 94

21. En la siguiente sucesin, Interpreta el tercertrmino negativo de 3 cifras.

120 ; 113 ; 106 ; 99; .....

A) -120 B) - 104 C) -118D)-115 E) - 111

22. Dadas las siguientes sucesiones:

S1 ; 7; 12; 17; 22; ......; 297S2 : 5 ; 12; 21; 29; .....

Formula cuntos trminos son comunes aambas sucesiones.

A) 10 B) 7 C) 12D) 5 E) 8

23. Plantea en la siguiente figura cuntas bolitassombreadas hay.

A ) 625B) 360C) 475D) 725E) 820

1 2 3 4 5 4647484950

24. Halla el mximo nmero de tringulos, en:

1 2 3 19 20A) 180 B) 158 C) 160D) 156 E) 178

25. Determina cuntos tringulos se cuentanen total en la siguiente figura.

A ) 5050

1 2 3 48 49 50

B) 5030

C) 5020

D) 5000

E) 5120

26. Calcula el residuo de la siguiente divisin:

1

2

212003

UNHVH

UNHVH

E

A)1 B) 0 C)2 D) 3 E) 4

27. Interpreta cuntos tringulos se contarnen la posicin 100?

A) 103

B) 300

C) 301

D) 275

E) 725

(1) (2) (3)


33

6.1. SERIES

SerieEs la suma de todos los trminos de unadeterminada sucesin.

Sea la sucesin:2 ; 7 ; 12 ; 17 ; 22

Entonces la serie ser:2 + 7 + 12 + 17 + 22

Series NotablesSuma de los n primeros nmeros naturalesconsecutivos.

21)n(nn4321

Suma de los n primeros nmeros naturalespares consecutivos.

1)n(n2n8642

Suma de los n primeros nmeros naturalesimpares consecutivos.

2n1)-(2n7531

Suma de los cuadrados de los n primerosnmeros naturales consecutivos.

61)1)(2nn(nn321 2222

Suma de los cubos de los n primeros nmerosnaturales consecutivos.

23333

21)n(nn321

Suma de los n primeros productosconsecutivos. Tomados de 2 en 2

)1n(n...433221 3

2)1)(nn(n

Tomados de 3 en 3

)2n)(1n(n...543432321 4

3)2)(n1)(nn(n

Suma de los inversos de los productos de dosnmeros consecutivos:

)n(n

)n(n 111...

4x31

3x21

2x11

Ejemplo N 01Calcula el valor de:

2222 1011....342312S

A) 3 410 B) 3 452 C) 4 134D) 3 420 E) 5 423

ResolucinOrdenando y transformando la serie, tenemos:

1110....433221S 2222

)110(10....)13(3)12(2)11(1S 2222

)1010(....)33()22()11(S 23232323 Separando en dos series:

)10....321()10....321(S 33332222

2

2)11(10

6)21()11(10S

= 385 + 3 025

S = 3 410

CAPTULO VISERIES, SUMATORIAS Y CONTEO DE FIGURAS


34

Suma de trminos de una ProgresinAritmticaSea:

S = 1t + 2t + 3t + 4t + + nt

+r +r +r

En general:

donde:

1t : primer trmino r : razn aritmtica n : nmero de trminos

nt : ltimo trmino

Suma de trminos de una ProgresinGeomtricaSea:

S = 1t + 2t + 3t + 4t ++ nt

xq xq xq

En general:

donde:

1t : primer trmino q : razn geomtrica n : nmero de trminos

nt : ltimo trmino

Suma de trminos de una serie asociadaa una sucesin polinomial de orden nutilizando nmeros combinatoriosSea la serie:

S = 1t + 2t + 3t + 4t + .. + nt

1k 2k 3k 4k

1q 2q 3q

r r

Se debe cumplir lo siguiente:

n

2tt

S n1n

1q

)1q(tS

n1

n

q1

tS 1

Propiedades

Ejemplo N 02Calcula el valor de la suma de los 20 primerosnmeros de la siguiente serie:

S = 2 + 3 + 6 + 11 + 18 +

A) 2 510 B) 4 502 C) 3 120D) 3 150 E) 2 345

ResolucinAplicando nmeros combinatorios:

S = 2 + 3 + 6 + 11 + 18 + ..

CCC 203202

201 212S

1231819202

1219201)20(2S

228019040S S = 2 510

Suma LmiteSea la serie:

S = 1t + 2t + 3t + 4t +

xq xq xq

En general:

donde:

1t : primer trmino q : razn geomtrica ( 0 < q < 1)

S = CCCC n4n31n21n11 rqkt

+1 +5 +3 +7

+2 +2 +2

nnn

n2

n1

n0

103

107

nkn

nk

nn

n1

n0

2C...CCC

CCCC

1C

nC

1C


35

6.2. SUMATORIAS

SumatoriaEs la sntesis de una serie.

Sea la serie: 2 + 7 + 12 + 17 + 22

Entonces la sumatoria ser:

5

1k3)(5k

Notacin

sumatorialadedesarrollon1n2p1pp

n

pkk aaaaaa

donde: n : lmite superior o ndice superior p : lmite inferior o ndice inferior

ka : trmino general

: operador sumatoria (Sigma)

Sumatorias notables1. Sumatoria de los n primeros nmeros

naturales consecutivos.

21)n(nk

n

1k

2. Sumatoria de los n primeros nmerosnaturales pares consecutivos.

1)n(n2kn

1k

3. Sumatoria de los n primeros nmerosnaturales impares consecutivos.

2n

1kn1)(2k

4. Sumatoria de los cuadrados de los nprimeros nmeros naturales consecutivos.

61)1)(2nn(n

kn

1k

2

5. Sumatoria de los cubos de los nprimeros nmeros naturales consecutivos.

2n

1k

3

21)n(nk

6. Sumatoria de los n primeros productosconsecutivos.6.1. Tomados de 2 en 2

3)2n)(1n(n)1k(k

n

1k

6.2. Tomados de 3 en 3

4)3n)(2n)(1n(n)2k)(1k(k

n

1k

7. Sumatoria de los inversos de losproductos de dos nmeros consecutivos

)n(n

)x(x 111n

1X

Propiedades1. Nmero de trminos de una sumatoria.

1mntrminosdeNakn

mk

Caso particular:

ntrminosdeNakn

1k

2. Sumatoria con trmino general constanteo numrico.

1).cm(nctrminos).de(Ncn

mk

Caso particular: n.ccn

1k

3. Sumatoria de un trmino general concoeficiente

n

1k

n

1kkaak

4. Sumatoria de un trmino compuesto

n

1k

n

1k

n

1k

n

1kckbkakck)bk(ak

5. Descomposicin en 2 o ms sumatorias

1-m

1k

n

1k

n

mkakakak


36

6.3. CONTEO DE FIGURAS

Consiste en determinar el mximo nmero def iguras pudiendo ser ests ngulos,segmentos, tringulos, cuadrilteros,semicircunferencias, cubos, etc; que seencuentran presentes en una determinadafigura dada.

Figura Simple Figura CompuestaCuando en su Cuando en suinterior no aparece interior aparecenotra figura. otras figuras simples.

MTODOS PRCTICOS DE CONTEO

Mtodo CombinatorioConsiste en asignar nmeros y/o letras a todaslas figuras simples, posteriormente se procedeal conteo creciente y ordenado de figuras de 1nmero, al unir 2 nmeros, al unir 3 nmeros,etc.

Mtodo de InduccinConsiste en analizar casos particulares segnla figura dada (figuras anlogas), tratando deencontrar una ley de formacin coherente, paraluego poder generalizar (encontrar la frmula).

PRINCIPALES FRMULAS PARA EL CONTEODE FIGURAS

Conteo de Segmentos

Conteo de Tringulos

Caso I

=

1 3 n 2 4

1 3 n 2 4

m

3 2

4

1

1

3

n

2

1 3 H 2 4

3

V

2

# =

2)1n(n

# =

2)1n(n

# =

2)1n(n

# =

2)1n(n m

# =

2)1n(n

1 3 n 2 4

1

3

n

2

1 3 n 2 4 1

3

n

2

# =

2)1n(n

# =

2)1V(V

2)1H(H

Caso II

Conteo de ngulos

Conteo de Sectores Circulares

Conteo de Cuadrilteros

Caso ICuando tiene una sola dimensin (horizontal overtical).

Caso IICuando tienen 2 dimensiones (horizontales yverticales).

Conteo de Diagonales

# de Diagonales = 2 (# de Cuadrilteros)


37

Conteo de Cuadrados

Caso ICuando sus 2 dimensiones son iguales.

Caso IICuando sus 2 dimensiones son diferentes.

OBS: Multiplicar las dos dimensiones hasta queuno de los factores sea 1 para posteriormentesumar los resultados.

Conteo de Cubos

Caso ICuando sus 3 dimensiones son iguales.

Caso IICuando sus 3 dimensiones son diferentes.

OBS: Multiplicar sus tres dimensiones hastaque uno de los factores sea 1 paraposteriormente sumar los resultados.

1 3 n 2

3

n

2

Conteo de Paraleleppedos

Conteo de Semicircunferencias

donde:n : N de Dimetros

Ejemplo N 03Calcula el nmero total de cuadrilteros, en lasiguiente figura..

A) 3B) 4C) 8D) 12E) 22

ResolucinEnumerando la figura dada:

Efectuando el conteo tenemos:

De 1 nmero : 1; 3; 4; 6 4De 2 nmeros: 12; 23; 35; 56 4De 3 nmeros: 123; 356; 245 3De 4 nmeros: 2345 1

Total de cuadrilteros: 12

3 n

1

p

2

1 3 2 m 1 3 2

1

3

n

2

n - 1

# =

6)1n2)(1n(n

# = m.n + (m1)(n1) + (m2)(n2) +

3 n

1

n

2

1 3 2 n 1 3 2

1 3 m 2

3

n

2

# =

2

2)1n(n

# = 2 n

6

1

2

4

5

3

# = mnp + (m - 1)(n - 1)(p - 1)+ . . .

# =

2)1p(p

2)1n(n

2)1m(m


38


Demostracin

1.Interpreta el valor de verdad las siguientesproposiciones:

a) Una serie numrica es la suma indicadade los trminos de una sucesin numrica.b) En la serie geomtrica el valor del trminoensimo esta dado por la siguiente relacin:

11 nqtnt .

c) q: significa la cantidad de trminos deuna serie geomtrica.

A) FVF B) FFF C) VVFD) VVV E) FVV

2. Identifica los siguientes conceptos con sucorrespondiente:

a) Secuencia de trminos regidos por unaley de formacin.b) Suma indicada de los trminos de unasucesin.c) Sntesis de la serie.

I. SumatoriaII. SerieIII. Sucesin

A) a-I; b-II; c-III B) b-I; c-II; a-IIIC) c-I ; b-II ; a-III D) a-I ; c-II ; b-IIIE) c-I ; a-II ; b-III

3.Sobre una carretera hay colocados 8 troncosdistantes una de otra 6 metros. Discrimina ladistancia que tendr que recorrer una personaque los tenga que llevar uno a uno a un camincolocado a 10 metros del primer tronco.

A) 494 B) 500 C) 504D) 496 E) 498

4. Identif ica cual de los enunciados soncorrectos con respecto a la siguiente sumatoria.

15

123k

4. Identif ica cual de los enunciados soncorrectos con respecto a la siguiente sumatoria.

15

123 k

I. Su descomposicin es: 15

12

15

1

15

13 k .

II. Su descomposicin es: 15

12

15

1

15

13 k l.

III. Su descomposicin es: 15

12

15

13k .

A) I B) II C) IIID) I y II E) Solo II y III

5.Analiza la siguiente figura si es verdad o falsolos siguientes enunciados.

I. El nmero de tringulos con asteriscos es14.II. El nmero de tringulos sin asteriscos es10.III. El nmero total de tringulos es 24.

A) VFVB) FFFC) VVVD) VFFE) FVF

6.En una fiesta asistieron 115 personas. Aliciabailo con 6 muchachos, Celita lo hizo con 9,Sabina con 14, y as sucesivamente hasta queSonia (la ltima) bailo con todos ellos. Anticipacual es valor de verdad de las siguientesproposiciones:

a) La cant idad de muchachos que noasistieron a la fiesta son 100b) La cantidad de muchachas que hay enla fiesta son 15c) La cantidad de muchachos y muchachasque asistieron a la fiesta fueron 105d) La cantidad de muchachos que asistierona la fiesta fueron 105e) El nmero de muchachas es divisible portres.

A) FVFVV B) FFFVV C) VVFVVD) VVVVF E) FFVFF


39

7. De la siguiente serie:

7.........15..........47382920 baaE Anticipa cual es el valor de verdad de lassiguientes proposiciones:

a) El trmino ensimo es..........119 nnt

b) El valor de a b = 5.c) La serie tiene 96 trminos.d) La serie presentada como una

sumatoria es: ..........94

1119 nE

A) FVV B) FFV C) VVFD) VFFV E) VFV

Capacidad N 02Comunicacin Matemtica

8. interpreta la figura y mensionar su valor deverdad de los enunciados.

I. E l nmero total de tringulos es:

2)( mnnm

II. Si m y n son iguales el nmero de tringuloses n3.III. Si m = 6 y n = 7 la cantidad de tringulosque habra es: 280

A) VFV B) FFF C) FVFD) VFF E) FVF

9. En la siguiente serie aritmtica.

67.........13212 nnE , tiene 129trminos. Infiere si es verdad (v) o falso (f),lo siguiente:

a. El valor de n es 7.b. La razn de la serie es 6..c. La suma de los 20 primeros trminos es:

3490.d. El termino de lugar 20 es: 222.e. El termino 237 ocupa el lugar 22.

A) FVFVV B) FFFVV C) VVFVVD) VFVVF E) FFVFF

10. Infiere lo siguiente:

I. S i la base es cuadrangular cuntaspirmides existieran.II. Si la base es cuadrada cuantas pirmidesexistieran.III.La suma de la cantidad de pirmides debase cuadrada y cuadrangular es.

A) 288; 112; 5000B) 288; 116; 500C) 288; 112; 500D) 298; 112; 500E) 208; 120; 510

11.Analiza la verdad o falsedad de acuerdo alsiguiente arreglo lo siguiente.

..........693462231 S

I. Si la serie tiene 40 sumandos la suma ser560.II. La serie es convergente.III. La cantidad de sumandos que debe tener,para que la suma de la serie sea 3400 es100.

A) VFV B) FFF C) VVFD) VVV E) FFV


44120...................

163

92

41

.

Identifica cual o cuales son representadas comosumatorias.

I.

20

1 21nn

II.

7

1 21

20

8 21 nn

nn

III.

7

1 21

14

8 21

20

15 21 nn

nn

nn

A) I B) II C) IIID) Solo II y III E) Todas


40

13. Un atleta recorre el da de hoy 15 kilmetrosy cada da que pasa un kilmetro ms que elda anterior.Interpreta los enunciados:

I. La distancia que recorri, si el penltimoda recorri 33 kilmetros.II. El trmino ensimo.III. El valor de la suma de serie hasta el ltimoda sera:

A) 490; tn= 4n+1; 410B) 490; tn= 3n+1; 490C) 490; tn= 2n+1; 490D) 490; tn= n+1; 490E) 490; tn= n+1; 690

14. Un camionero lleva ladrillos de un depositoa su fabrica y lleva la primera vez 28, pero sele caen 7, entonces decide aumentar a 16ladrillos por viaje con respecto a cada viajeanterior, pero las cadas aumentan de viaje enviaje en 4 ladrillos. Si desea acumular 2700ladrillos. Interpreta cuantos viajes debe hacer.

A) 26 B) 15 C) 24D) 35 E) 20

Capacidad N 03Resolucin de Problemas


100...................232221 S .

A) 2025 B) 2205 C)5048D) 4840 E) 5050

16. Determina el valor de x+y si:1+3+5+7+..+x = 1962+4+6+8+..+y = 420

A) 27 B) 40 C) 67D) 40 E) 69

17. Infiera la cantidad de tringulos que hay enla siguiente figura.

A) 92B) 93C) 94D) 95E) 97

18. La cantidad de segmentos como mximoque hay en la siguiente figura ser

1 2 3 10 A) 502 B) 4620 C) 492D) 522 E) 165

19. Halla la cantidad de ngulos agudos de lasiguiente figura

A) 26B) 28C) 20D) 23E) 21

20. De la siguiente figura. Indica cuantoscuadrilteros hay.

A) 32B) 33C) 30D) 35E) 36

21. Ed piensa pagar por una bicicleta BMX dela siguiente forma cada fin de mes, el primermes S/. 0,25, el segundo mes S/. 1, el tercermes S/. 2,25, el cuarto mes S/. 4 y assucesivamente durante 20 meses. Analiza cualser el precio final de la BMX.

A) S/.400,50B) S/.717,50C) S/.350,50D) S/.700,50E) S/.750,50

22. Determina la suma de todos los trminos dela sucesin finita.

4; 7; 12; 19; 28;.; 292

A) 1752 B) 1896 C) 1863D) 1785 E) 1836


41

Enunciado Lenguaje

Matemtico Traduccin

Forma Verbal

Forma Simblica

Oraciones traducidas del lenguajecastellano al lenguaje simblico

La suma de tres nmeros consecutivos

x + (x + 1) + (x + 2)

El cubo de la suma de dos nmeros

3)ba(

La suma de los cubos de dos nmeros

33 ba

A excede a B en 11 A es mayor que B en 11 El exceso de A sobre B es 11 B es excedido por A en 11

A B = 11 A = x + 111 B = x

A es a B como 3 es a 8 La relacin entre A y B es 3/8

83

BA A = 3k

B = 8k

A es el doble de B A es dos veces B B es la mitad de A

A = 2B A = 2kB = k

A es tres veces ms que B A es tres veces mayor que B

A = 4B A = 4kB = k

La mitad de un nmero aumentado en 5

x 5

2

7.1. PLANTEO DE ECUACIONES

Plantear una ecuacin consiste bsicamenteen la traduccin de un enunciado literal a unenunciado simblico (ecuacin).Esquema:

Ejemplo N 01Matematiza el siguiente enunciado: Una maanasoleada Gustavo, le dice a Carlos: Yo tengoS/. 22 ms que t.

Yo: 22 + xT: x

EcuacinEs una relacin de igualdad que se establecenentre 2 expresiones algebraicas que tienencomo mnimo una variable.

Conjunto solucin de una ecuacin (CS)Es la relacin de todas las solucionesparticulares que presenta la ecuacin.

Ecuacin Lineal

Es de la forma: ax + b = 0 ; a 0

donde C.S. =

ab

Ecuacin Cuadrtica

Es de la forma: 0cbxax2 ; a 0

donde C.S. = }x;x{ 21

adems: a2

ac4bbx

2)2,1(

CAPTULO VIIPLANTEO DE ECUACIONES, EDADES Y MVILES


42

Ejemplo N 02En un examen de 30 preguntas, cada respuestacorrecta vale 4 puntos, la incorrecta -1 punto yen blanco 0 puntos. Si un estudiante obtuvo 82puntos y noto que por cada respuesta enblanco tena 3 correctas. Cuntas contestcorrectamente?

A) 20 B) 7 C) 13D) 21 E) 14

ResolucinN de preguntas en blanco: xN de preguntas correctas: 3xN de preguntas incorrectas: (30 4x)

Del enunciado tenemos:

x(0) + 3x(4) + (30 4x)(-1) = 82 12x 30 + 4x = 82

16x = 112 x = 7

Piden:N de preguntas correctas = 3x

= 3(7) = 21

Contest correctamente 21 preguntas.

7.2. EDADES

En el tema de edades intervienen sujetos cuyasedades se relacionan a travs del tiempo bajouna serie de condiciones que deben cumplirse,dichas relaciones se traducen en una o msecuaciones segn indica el problema.

Casos Frecuentesa) Cuando interviene la edad de un solosujeto

Sea la edad actual del sujeto: n aos,entonces dentro de a aos tendr n + aaos y hace b aos tena n b aos.

Esquema

b) Cuando intervienen las edades de doso ms sujetos

Para resolver estos tipos de problemas sesugiere el uso de un cuadro de doble entradacon el propsito de ordenar y relacionarconvenientemente los datos.

Esquema

Observacin* La diferencia de edades de 2 personas esconstante en cualquier tiempo.* La suma en aspa de valores extremossimtricos es constante.

Ejemplo N 03Manuel tiene cuatro veces la edad de su hijoDavid; dentro de 20 aos Manuel tendr el doblede la edad del hijo. Cuntos aos tiene el hijoactualmente?

A) 10 aos B) 11 aos C) 12 aosD) 13 aos E) 14 aos

Resolucin

Del enunciado tenemos:4x + 20 = 2 (x + 20)

desarrollando x = 10

Piden determinar la edad del hijo: x = 10 aos

El hijo de Manuel tiene 10 aos.

Edad actual

- b +a

n b n n + a

Presente Futuro Pasado

Pasado Presente Futuro

Sujeto 1

Sujeto 2

EDADES

TIEMPOS

SU

JETO

S

Pasado Presente Futuro Manuel

David

4x

x

4x + 20

x + 20

Edad de Manuel = 2 (Edad de su hijo)


43

Presente Futuro Pasado

T

Yo

l

tenas, tuviste tienes tendrs, tengas

tena, tuve tengo tendr, tenga

tena, tuvo tiene tendr, tenga

Ubicacin de expresiones frecuentes,que encontramos en los enunciados enuna tabla de doble entrada.

c) Relaciones entre el Ao de Nacimientoy la Edad de un seujeto

Para todo sujeto, se cumple que la relacin desu edad actual, su ao de nacimiento y el aoactual es el siguiente:

Cuando el sujeto cumpli aos en el presente,se cumple que:

Cuando el sujeto todava no cumpli aos en elpresente, se cumple que:

Ejemplo N 04

Gustavo naci en el ao xy19 y en 1 980 tuvo(x + y) aos. Cuntos aos tendr el 2 006?

A) 35 B) 36 C) 37D) 38 E) 39

ResolucinComo:

Ao de nacimiento + Edad = Ao actual

Entonces:

xy19 + (x + y) = 1 980

1 900 + 10x + y + (x + y) = 1 980 11x + 2y = 80

dando valores: 11(6) + 2(7) = 80

En el 2 006, tendr: 2 006 1 967 : 39 aos

1

ACTUALAO

ACTUALEDAD

NACIMIENTOAO

ACTUAL

AOACTUAL

EDADNACIMIENTO

AO

V

A

t

B d

7.3. MVILES

Los problemas sobre mviles estnrelacionados al estudio del movimiento de loscuerpos y de sus caracterst icasfundamentales (distancia, velocidad y tiempo).

Movimiento Rectilneo Uniforme (M.R.U)Es aquel tipo de movimiento que tiene comotrayectoria una lnea recta, adems secaracteriza por mantener su velocidadconstante (mdulo, direccin y sentido) durantetodo el movimiento.

En general:Dado un mvil que se mueve desde el puntoA hasta B, segn se indica la figura:

Se cumple:empleadotiempo

recorridaciatandisvelocidad

Leyes del Movimiento Rectilineo Uniforme

tdv d = vt v

dt

TIEMPO DE ALCANCE

21

A VVdT

TIEMPO DE ENCUENTRO

21E VV

dT

V1 V2

t t

d

d

V1 V2

t

t


44

TREN

PUENTETRENc V

LLT

TREN

TRENc V

LT

2Tren1TREN

2Tren1TRENc VV

LLT

V2

t

d

V1

t

TIEMPO DE SEPARACIN

21E VV

dT

TIEMPO DE CRUCE* Entre un puente

* Entre una persona

* Entre dos trenes

Donde L: longitud del tren y/o del puented: distancia que separacin inicial

21 VyV : velocidades

Equivalencias notables

1 km < > 1 000 m18 km/h < > 5 m/s 1h < > 3 600 s 1 min < > 60 s

Observacin:velocidad del sonido 340 m/s

Ejemplo N 5Para ir de un punto A a otro B, una personacamina a razn de 8 km/h y para volver al puntode partida lo hace a razn de 5 km/h. Se deseasaber el espacio total recorrida por la personasabiendo que en el viaje de ida y vuelta haempleado en total 13 horas.

A) 80 km B) 90 km C) 70 kmD) 60 km E) 50 km

8 km/h

A

t1

B x 5 km/h

t2

ResolucinGraficando segn el enunciado:

Por dato: 13tt 21 135x

8x

x = 40

El recorrido total es: 2x = 2(40) = 80 km.


Demostracin1. Establece la verdad (V) o falsedad (F) delas siguientes proposiciones:

I. La trayectoria es el movimiento a la curvaque describe el cuerpo.II. La cinemtica es el estudio de losmovimientos en funcin al tiempoindependiente de las interacciones que losproduceIII. Siendo la velocidad instantaneaconstante, necesariamente, la velocidadmedia es tambin constante e igual a v.

A) FVV B) VFV C) VVFD) VFF E) VVV

2. Con respecto al movimiento de los cuerpos,identifica el valor de verdad de las siguientesproposiciones:

I. Movimiento: es el cambio de posicin queexperimenta un cuerpo con respecto altiempo.II. Desplazamiento: cambio de posicin deun cuerpoIII. Trayectoria: camino que sigue un cuerpoen movimiento.IV. Velocidad: es la distancia recorrida en launidad de tiempoV. Movimiento rectilneo uniforme: es el querealiza un mvil que sigue una trayectoriarecta

A) VVFFV B) VFFVV C) FVVVFD) FVVVV E) VVVVV


45

5. Esquematiza a seguir para resolverproblemas de ecuaciones :

I. Plantear la ecuacinII. Designar la incgnitaIII. Leer y comprender el enunciadoIV.Resolver la ecuacinV. Discusin e interpretacin de losresultados

A) I. II, III, IV, V B) II, III, IV, V, IC) III, IV, V, I II D) III, II, V, I, IVE) III, II, I IV, V

6. Analiza el siguiente enunciado y diga cuantasde estos enunciados son verdaderos:

I. El mvil recorre distancias iguales entiempos igualesII.La velocidad es constanteIII. La velocidad y el desplazamiento tienenla misma direccin y sentidoIV. La magnitud de la velocidad es igual a larapidezV.La magnitud del desplazamiento es iguala la rpidez

A) 2 B) 5 C) 3D) 3 E) 4


7. El profesor de un colegio le dice al Directorsi se forman filas de 7 nios sobran 5, perofaltaran 4 nios para formar 3 filas ms de 6nios. Halla cuntos nios son:

A)72 B) 61 C) 68D) 116 E) 92

8. Un comandante dispone sus tropas formandoun cuadrado y ve que le quedan fuera 36hombres. Entonces pone un hombre ms encada lado del cuadrado y ve que le faltan 75hombres para completar l cuadrado. Buscacuntos hombres habia en el lado del primercuadra

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