7.Ejercicio Buckley Leveret

24- SEPTIEMBRE - 2007 M.I. Tomás Peréz G.. INGENIERIA PETROLERA - RECUPERACIÓN MEJORADA

RECUPERACIÓN MEJORADA

EJERCICIO DE BUCKLEY-LEVERETT

M.I. TOMÁS EDUARDO PÉREZ GARCÍA


EJERCICIO

A partir de la siguiente información disponible, para un yacimiento

que va a ser sometido a inyección de agua mediante

desplazamiento lineal. Calcular y graficar el perfil de saturación

de agua después de 60, 120 y 240 días.

Sw 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

kro/krw 30.23 17.00 9.56 5.38 3.02 1.70 0.96 0.54 0.30 0.17 0.10

Tabla No.1 Datos de [kro/krw] vs. Sw


EJERCICIO

Factor de volumen del aceite de formación, Bo =1.25 bbl/STB

Factor de volumen del agua de formación, Bw =1.02 bbl/STB

Espesor de la formación, h =20 ft

Area de sección transversal, A =26,400 ft2

Porosidad Φ =25%

Gasto de inyección, iw =900 bbl/día

Distancia entre pozos productor e inyector, D =600 ft

Viscosidad del aceite, µo =2.0 cp

Viscosidad del agua, µw =1.0 cp

Angulo de echado,α =0°

Saturación de agua congénita, Swc =20%

Saturación de agua inicial, Swi =20%

Saturación de agua residual, Sor =20%

Tabla No. 2 Datos Adicionales para el Sistema Lineal


PROBLEMAS A RESOLVER

Durante el ejercicio se resolverán los siguientes puntos:

COMPORTAMIENTO HASTA EL PUNTO DE IRRUPCIÓN.

Problema No. 1 Determinar los perfiles de saturación.

Problema No. 2 Determinar tBt, WiBt, QiBt.

COMPORTAMIENTO DESPUÉS DE LA IRRUPCIÓN.

Problema No. 3 Determinar parámetros para Sw2


SOLUCIÓN

Problema No. 1 Determinar los perfiles de saturación.

Paso No 1. Determinar una expresión para kro/krw .

Puesto que en la ecuación de flujo fraccional las

permeabilidades relativas intervienen como un cociente, es conveniente

expresarlas mediante una ecuación (correlación).

Una aproximación sencilla es expresarlas mediante la relación:

…(BL.1) bSwaekw

ko

krw

kro


SOLUCIÓN

Problema No. 1 Determinar los perfiles de saturación

Donde a y b se determinan a partir de una gráfica de

log(kro/krw) vs. Sw donde “a” corresponde a la intercepción en Sw=0 de

la parte recta de los valores de (kro/krw), y “b” sería la pendiente de

dicha recta.

Entonces se construirá la gráfica a partir de los datos de la tabla

No. 1 y se tiene que;

a = 537.59

b = | -11.51 | = 11.51


SOLUCIÓN


Kro / Krw vs Swy = 537.59e

-11.516x

0.1

1

10

100

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Sw

Kro

/ K

rw


SOLUCIÓN


Por lo que la ecuación que rige el comportamiento de las

permeabilidades relativas es:

Esta correlación sólo es válida en el intervalo:

Swekrw

kro 51.1159.537

1717.0

7.03.0

krw

kro

Sw


SOLUCIÓN


Como el problema consiste en determinar los perfiles de

saturación de agua a diferentes tiempos, se requiere calcular los

términos que intervienen en la solución de Buckley-Leverett la cual

permite determinar la distancia “X” que un valor determinado de

saturación de agua, Sw, ha avanzado en un tiempo t dado. Así:

BL2.

ftXftAdíatdíabblqdonde

dsw

dfw

A

tqiX

Sw

Sw

,,,/:

*

**615.5

2


SOLUCIÓN


Substituyendo valores de tabla 1.

……..BL3

Con objeto de simplificar los cálculos de se substituye la

ec. (BL.1) en la ecuación de flujo fraccional.

Sw

Swdsw

dfwtX

400,26*25.0

*900*615.5

Sw

SwdSw

dfwtX

77.0

SwdSw

dfw


SOLUCIÓN


….BL.4

Resultando:

….BL.5

Como fw=fw(Sw), derivando (BL.5):

orw

wrow

K

Kf

1

1

bSw

o

ww

ae

f

1

1

2

1

bSw

o

w

bSw

o

w

w

w

ae

aeb

dS

df


SOLUCIÓN


Reacomodando los términos, se obtiene la solución analítica.

= -b (fw2 – fw) …… BL.6

De esta ecuación es evidente que para calcular (X)Sw se

requiere determinar fw=fw(Sw) y…

2

1

bSw

o

w

o

w

o

w

Sw

w

w

ae

K

Kb

dS

df

Sw

w

w

dS

df

)(SwdS

df

dS

df

w

w

w

w


SOLUCIÓN


Paso 2. Determinar (kro/krw), fw y (dfw/dSw) para Sw.

Eligiendo los valores de Sw mostrados en la tabla 1, calcular:

(kro/krw) [ec. (BL.1)]

(fw) [ec. (BL.5)] Los resultados se muestran en la tabla 3

(dfw/dSw) [ec. (BL.6)]

Paso 3. Determinar los valores de saturación de agua y flujo

fraccional con los que irrumpe el frente de inyección en el pozo

productor (Swf, fwf), así como el valor de (dfw/dSw) Swf .


SOLUCIÓN


Por lo que al sustituir datos en la ecuación BL.5 y BL.6

obtenemos:

Tabla No.3

fw (dfw / dSw)

Sw Kro / Krw Ec. BL.5 Ec. BL.6

0.25 30.23 0.062 0.670

0.30 17.00 0.105 1.084

0.35 9.56 0.173 0.647

0.40 5.38 0.271 2.275

0.45 3.02 0.398 2.759

0.50 1.70 0.541 2.859

0.55 0.96 0.677 2.519

0.60 0.54 0.788 1.922

0.65 0.30 0.869 1.313

0.07 0.17 0.922 0.831

0.75 0.10 0.956 0.501


SOLUCIÓN


Con los valores de la tabla 3 del paso anterior (fw vs Sw) se genera la

figura (14.23) y fw’ vs. Sw. De esta figura:

Al trazar la tangente a la curva de fw vs Sw apoyada en

Swi = Swc =0.2

se tiene:

Swf = 0.596

fwf= 0.78

(dwf/dSw)Swf =1.973

Lo que significa que el frente de avance (zona estabilizada) tiene valores

constantes (Swf, fwf) que se mantienen hasta el momento de la

irrupción.


Figura 14.23

Curva de flujo fraccional y sus derivadas

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75

Saturación Sw

Flu

jo fra

ccio

nal fw

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

dfw

/ d

Sw

fw dfw / dSw

fw = 0.78

Sw = 0.596

Sw BT = 0.707

(dfw / dSw) Swf = 1.973


SOLUCIÓN


Paso 4 determinar los perfiles de saturación a diferentes tiempos.

Debe recordarse que en la zona no estabilizada: Sw > Swf, con

un rango hasta Sw=1-Sor, como máximo; por ello se consideran valores

en el rango: 0.596 ≤ Sw ≤ 0.80.

Fijando valores de Sw en este rango, y a partir de la ec. (BL.3),

(BL.5) y (BL.6) se obtienen los valores de la tabla 4, graficados en la

figura 14.29, donde se muestran los perfiles de saturación a 60, 120 y

240 días.


SOLUCIÓN


Tabla 4. Cálculos de los perfiles de saturación a 60, 120 y 240 días.

x=0.77t*(dfw / dSw) x=0.77t*(dfw / dSw) x=0.77t*(dfw / dSw)

Sw (dfw / dSw) t = 60 días t = 120 días t = 240 días

0.596 1.973 91 182 365

0.60 1.922 88 177 353

0.65 1.313 60 121 241

0.70 0.831 38 76 153

0.75 0.501 23 46 92


Figura 14-24 PERFILES DE SATURACIÓN DE AGUA



- Problema No. 1. Determinar los perfiles de saturación.

- Problema No. 2. Determinar tBt, WiBt, QiBt.

- COMPORTAMIENTO DESPUÉS DE LA IRRUPCIÓN.


SOLUCIÓN

Problema 2. Determinar tBt, WiBt, QiBt

a) Determinación del tiempo requerido para que el frente irrumpa en el

pozo productor, tBt.

Cuando el frente ha llegado al pozo productor X=L De la Solución de

Buckley-Leverett:

Swf

Bt

dsw

dfw

A

tqL

**615.5

Swf

Bt

dSw

dfwq

ALt

11

615.5


SOLUCIÓN

Problema No. 2. Determinar tBt

, WiBt

, QiBt.

Como se considera gasto de inyección constante en cualquier instante:

q * t = Wi = Volumen acumulativo de agua inyectada

Entonces la ecuación anterior quedaría:

En esta ecuación

SwfSwf dSw

dfw

AL

Wi

dSw

dfw

AL

Wi

615.5

*615.51


SOLUCIÓN


, WiBt

, QiBt.

Volumen poroso (expresado en bls) = Vp …… (BL.7)}

Volumen acumulado inyectado (expresado en VP) = Qi …. (BL.8)

Entonces al momento de la irrupción (Bt), se tiene:

…..(BL.9)

615.5

AL

Vp

Wi

Swf

BTdSw

dfwQi

1

Swf

BT

dSw

dfwQi

1


SOLUCIÓN


, WiBt

, QiBt.

Por otra parte de la ultima ecuación de la lámina anterior, y tomando

en cuenta la ec. (BL.7) el tiempo requerido para que ocurra la

irrupción será:

……BL.10

Determinando el tiempo requerido para que ocurra la irrupción del

frente en el pozo productor tBT en el ejercicio:

El volumen poroso es, de la ec.(BL.7 ):

Swf

Bt

dSw

dfwq

Vpt

1


SOLUCIÓN


, WiBt

, QiBt.

El tiempo de irrupción es, de la ec. (BL.10):

bblLA

Vp 254,705615.5

6002640025.0

615.5

díast

dS

dfq

Vpt

BT

Swfw

w

BT

397

973.1

1

900

254,7051


SOLUCIÓN


, WiBt

, QiBt.

Cálculo del volumen acumulativo inyectado hasta el

momento de irrupción, WiBT.

Cálculo del volumen acumulativo inyectado expresado en

volúmenes porosos, QiBT:

bbltqW BTiBT 300,357397900

507.0973.1

11

bieno

507.0705254

357300

Swf

i

iBT

dSw

dfwQ

Vp

WQ



- Problema No. 1. Determinar los perfiles de saturación.

- Problema No. 2. Determinar tBt, WiBt, QiBt.

- COMPORTAMIENTO DESPUÉS DE LA IRRUPCIÓN.


COMPORTAMIENTO DESPUÉS DE LA IRRUPCIÓN

a). Comportamiento hasta la irrupción.

La prolongación de la tangente a la curva de fw vs Sw, hasta

cortar la recta fw =1.0 define el punto ŜwBT; de forma tal que su ecuación

es: [fig. 14.25]

Por otra parte, de la 1ª ecuación, el volumen acumulativo

inyectado requerido para alcanzar la irrupción, WiBT, sería:

)11.(01

BLSwiwSdSw

dfw

BTSwf

iBT

Swf

iBT

QVp

BL

dSw

dfwVpW

12.

1

iBT

Swf

iBT

QVp

BL

dSw

dfwVpW

12.

1





sustituyendo (BL.11) en (BL.12):

Cuando la saturación de agua congénita, Swc, es mayor que la

saturación de agua irreductible, Swi, la tangente a la curva de fw vs. Sw

debe trazarse como se indica en la Fig. 14.26.

Cuando se consideran las eficiencias de barrido horizontal, EA, y

vertical, EV, la ecuación anterior debe afectarse por ellas, con lo que se

expresaría como:

13.BLQVpSwwSVpW iBTiBTiBT



Por otra parte, como se ilustra en la fig. 14.27, la saturación

media de agua detrás del frente (en el área de barrido), se mantiene

constante e igual a ŜwBT hasta el momento de irrupción, cuando la

saturación Swf alcanza el pozo productor y fw aumenta súbitamente,

pasando de 0 a fwf.

15.

19.

:eequivalentformaeno

BLEEQVpW

BLEESSVpW

VBTABTiBTiBT

VBTABTwiwBTiBT





b). Comportamiento después de la irrupción.

Como se ilustra en la fig. 14.25, después del momento de

irrupción del frente de desplazamiento, tanto fw como Sw aumentan

gradualmente al continuar el proceso de inyección.

Identificando las condiciones en el pozo productor con el

subíndice 2, entonces, en cualquier momento posterior a la irrupción, las

condiciones en el pozo productor se identificarán como Sw2 y fw2.

De acuerdo con la Teoría de Welge, para cualquier momento

después de la irrupción, en el cual existe una saturación de agua Sw2 en

el pozo productor, se cumple lo siguiente (Fig.14.29):



1. Las coordenadas del punto de tangencia seleccionado (Sw2,fw2), representan las condiciones existentes en ese momento en el pozo productor.

2. La saturación de agua, Ŝw2, a la cual la prolongación de la tangente intercepta la recta fw=1.0, corresponde a la saturación media de agua en el área de barrido, y su ecuación sería:

o bien:

16.1 2

22

2

BLf

SS

dS

df

w

ww

Sw

w

w

17.)1(1

222

22

2

BLQfS

dSw

dfw

fSS iww

S

www

w



3. El recíproco de la pendiente de la tangente a la curva de fw vs. Sw en

el punto Sw2, identifica el volumen poroso acumulativo de agua

inyectada hasta ese momento, Qi, o sea:

4. Consecuentemente, el volumen acumulativo de agua inyectada, hasta

el momento en que Sw=Sw2 en el pozo productor expresada en Bls,

es:

18.1

2

BL

dSw

dfwQ

Sw

i

19.2 BLSSVpQVpW wiwii



O bien, cuando se consideran las eficiencias de barrido horizontal, EA

y vertical, EV:

5. Considerando un gasto de inyección q constante, el tiempo total

requerido para inyectar Wi [bbl] de agua sería:

[día] …… (BL.22)

21.

20.

2 BLEESSVpW

o

BLEEQVpW

VAwiwi

VAii

q

Wit



Problema 3

Para el mismo yacimiento lineal considerado en los casos anteriores, determinar los siguientes parámetros cuando Sw2= 0.70 en el pozo productor.

a) fw a cy [bbl/bbl]

b) fw a cs [STB/STB]

c) WOR a cy [bbl/bbl]

d) WOR a cs [STB/STB]

e) SW2 (en el area barrida)

f) Qi

g) Wi [bbl]

Suponer que las eficiencias de barrido horizontal, EA, y vertical, EV son 100% (EA=EV=1.0)



a) fw a cy cuando Sw2 = 0.7

De la figura 14.23, para Sw2= 0.70, fw2= 0.92 [bbl/bbl]

b) fw a cs cuando Sw2= 0.7

Por definición

Dividiendo entre qo numerador y denominador

…..(BL.23)

qoqw

qwfw

11

WORcs

WORcy

qo

qw

qo

qw

fw


Figura 14.23


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75

Saturación Sw

Flu

jo f

raccio

nal

fw

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

dfw

/ d

Sw

fw dfw / dSw

fw = 0.78

Sw = 0.596

SwBT = 0.707

(dfw / dSw)Swf = 1.973

fw=0.9

2

Sw2 = 0.7



O bien …..(BL.24)

Donde:

En forma similar para condiciones de superficie (subíndice “es”,

o simplemente “s” ) se tiene:

….(BL.25)

fw

fw

fw

WORcy

1

11

1

día

bblqo

día

bblqw

bbl

bblfw

bbl

bblWORcy ,,,

11

WORs

WORs

Qo

Qw

Qo

Qw

QoQw

Qwfws



O bien despejando WORs:

…..(BL.26)

Donde WORs y fws se expresan en [STB/STB] , Qw [STB/día].

En forma similar, la relación entre fw y fws es:

fws

fwsWORs

1

)11

(1

1:

11

1:

1

1

fwBo

Bwfwquelopor

fwqw

qt

qw

qwqt

qw

qopero

qw

qo

Bo

Bwfw

qw

Bw

Bw

Qw

qw

Bw

Bw

qw

qw

Bw

Bw

qw

Bo

qo

Bw

qwBw

qw

QoQw

Qwfw

s

s

s



…..(BL.27)

O bien, utilizando la ley de darcy para flujo lineal:

)11

(1

1:

11

1:

1

1

fwBo

Bwfwquelopor

fwqw

qt

qw

qwqt

qw

qopero

qw

qo

Bo

Bwfw

qw

Bw

Bw

Qw

qw

Bw

Bw

qw

qw

Bw

Bw

qw

Bo

qo

Bw

qwBw

qw

QoQw

Qwfw

s

s

s



…..(BL.28)

Mientras que el flujo fraccional a condiciones de yacimiento sería:

…..(BL.29)

Bo

Bw

o

w

krw

krofwquelopor

o

w

krw

kro

o

w

kw

ko

wL

pkwA

oL

pkoA

qw

qo

s

1

1

o

w

krw

krofw

1

1



Continuando con el problema de la ecuación (BL.27)

11922.0

1

25.1

02.1

1

111

1

fwBo

Bwfws

2)

4.1402.1

25.182.11

:

4.14065.0

935.0

935.01

935.0

1

26.

)

82.11922.01

922.0

1

:24.

)

935.0

SWe

STB

STB

Bw

BoWORWOR

biéno

STB

STB

fw

fwWOR

BLecuaciónlaDe

WORWORd

bbl

bbl

fw

fwWOR

BLecuaciónlaDe

WORc

STB

STBfw

cys

s

ss

scs

cy

cy

s



2)

4.1402.1

25.182.11

:

4.14065.0

935.0

935.01

935.0

1

26.

)

82.11922.01

922.0

1

:24.

)

935.0

SWe

STB

STB

Bw

BoWORWOR

biéno

STB

STB

fw

fwWOR

BLecuaciónlaDe

WORWORd

bbl

bbl

fw

fwWOR

BLecuaciónlaDe

WORc

STB

STBfw

cys

s

s

s

scs

cy

cy

s



Dibujando en la figura 14.23 una tangente a la curva de flujo

fraccional en el punto (0.70, 0.922), extrapolándola hasta cortar fw=1.0,

se tiene:

Otra forma de hacerlo sería utilizando la ecuación de Welge, ec.

(BL.17)

Pero:

794.02 Sw

QiQifwSwSw 922.0170.01 222

2.1831.0

11

2

SwdSw

dfwQi



Por lo que:

f) Qi

Del inciso anterior: Qi=1.2

g) Wi [bbl]

= 705,254 (1.2) = 846,305 [bbl]

794.02.1078.070.02 Sw

2.1615.5

600*26400*25.0

615.5

Qi

ALQiVPWi




0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8

Saturación Sw

Flu

jo f

raccio

nal

fw

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

dfw

/ d

Sw

fw dfw / dSw

fw=0.922

Sw2 = 0.70

Punto de

irrupción

Sw2 media = 0.794


TAREA BUCKLEY Y LEVERETT

Tarea No. 1

De pruebas de laboratorio y de la caracterización del yacimiento se

obtuvieron los siguientes datos

EV = 100% EA=100%

205.0

1

2

338

363.0

15.0

05.1

3.1

or

w

o

i

wi

w

o

S

cp

cp

day

bblq

S

B

B

205.0

1

2

338

363.0

15.0

05.1

3.1

or

w

o

i

wi

w

o

S

cp

cp

day

bblq

S

B

B


Tabla 1. Datos de laboratorio. Permeabilidades relativas.

Index Sw Krw Kro

1 0,363 0,000 1,000

2 0,380 0,000 0,902

3 0,400 0,000 0,795

4 0,420 0,000 0,696

5 0,440 0,001 0,605

6 0,460 0,003 0,522

7 0,480 0,006 0,445

8 0,500 0,011 0,377

9 0,520 0,018 0,315

10 0,540 0,028 0,260

11 0,560 0,042 0,210

12 0,580 0,060 0,168

13 0,600 0,084 0,131

14 0,620 0,113 0,099

15 0,640 0,149 0,073

16 0,660 0,194 0,051

17 0,680 0,247 0,034

18 0,700 0,310 0,021

19 0,720 0,384 0,011

20 0,740 0,470 0,005

21 0,760 0,570 0,002

22 0,795 0,780 0,000


TAREA

La forma del yacimiento es.

Dicho yacimiento será sometido a un proyecto de inyección de agua

mediante desplazamiento lineal.

20 pie

300 pie

DIRECCIÓN

DEL FLÚJO


TAREA

Para todos los datos proporcionados anteriormente obtener:

a) La saturación de agua al momento de la irrupción (Swf o SwTB)

b) El flujo fraccional al momento de la irrupción (fwf o fwTB)

c) La variación del flujo con respecto a la saturación en el punto

Swf (dfw/dsw)dSwf

d) El gasto inyectado hasta la irrupción, QiTB.

e) La saturación media SwTB

f) La eficinecia de desplazamiento al momento de irrupción.

g) El volumen acumulativo de aceite producido al momento de

irrupción.

h) El volumen acumulativo de agua inyectado al momento de

irrupción.


TAREA

i) El tiempo que requiere transcurrir para que ocurra irrupción del

frente de inyección.

j) La relación agua-aceite producida a condiciones de superficie al

momento de irrupción WORSTB.

Para después de la irrupción, cuando se tiene una Sw2=0.7

en el pozo productor, calcule.

k) fw a cy [bls/bls]

l) fw a cs [STB/STB]

m) WOR a cy [bls/bls] y a cs [STB/STB]

n) Sw2 (en el área de barrida)

f) Qi [VP] y Wi [bls]


SOLUCIÓN DE LA TAREA

De la tabla 1 se obtienen los

flujos fraccionales a cada

saturación.

Index Sw fw

1 0.363 0.000

2 0.380 0.000

3 0.400 0.000

4 0.420 0.001

5 0.440 0.004

6 0.460 0.011

7 0.480 0.026

8 0.500 0.055

9 0.520 0.103

10 0.540 0.179

11 0.560 0.285

12 0.580 0.418

13 0.600 0.562

14 0.620 0.696

15 0.640 0.805

16 0.660 0.884

17 0.680 0.936

18 0.700 0.968

19 0.720 0.985

20 0.740 0.995

21 0.760 0.999

22 0.795 1.000


Determinamos los valores a y b, mediante la siguiente gráfica.

Kro/Krw

0.001

0.010

0.100

1.000

10.000

100.000

1000.000

0.400 0.450 0.500 0.550 0.600 0.650 0.700 0.750 0.800

Sw

kro

/krw


Graficando únicamente los puntos que se comportan como un recta

se tiene.

Kro / Krw

y = 1E+08e-29.902x

0.100

1.000

10.000

100.000

0.500 0.550 0.600 0.650 0.700

Sw

Kro

/ K

rw


POR OTRO LADO DE FORMA ANÁLITICA

Tomando en cuenta dos puntos de los parámetros que

conforman la recta.

De los datos anteriores se plantea el siguiente sistema de

ecuaciones.

80.2580.0 Krw

KroSw

263.0660.0 Krw

KroSw

Aae b 580.080.2

Bae b 660.0263.0


Dividiendo A entre B se tiene, (recordando que los exponentes en

una división se restan)

Sustituyendo b en A

a = 78,353360.54

be 08.0646.10

564.2908.0

646.10

646.10 08.0

Lnb

eLnLn b

564.29580.080.2 ae


Finalmente queda la siguiente tabla para cada caso.

E

X

C

E

l

A

N

A

L

I

T

I

C

A


Quedando la gráfica de flujo

Fraccional contra saturación

De agua como se muestra en

La gráfica

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7.Ejercicio Buckley Leveret