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基頻帶脈波和匹配濾波器偵測
雜訊造成之錯誤機率
符間干擾
簡介8-1
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眼狀圖8-5
無失真傳輸奈奎士準則8-6
總結與討論
跳接延遲線等化8-8
8-10
主題範例：100BASE-TX—雙絞線上傳輸100Mbps8-9
基頻帶M進制PAM傳輸8-7
8-4 以下僅略談
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資通訊專家介紹
哈利﹒奈奎士
(Harry Nyquist ，1889-1976)
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出生在瑞典，於1907年移民美國。
在貝爾實驗室擔任工程師期間，他做出許多重要貢獻，如Johnson-Nyquist雜訊和放大器穩定理論(奈奎士穩定理論)。
• 在這兩個領域的重大貢獻，是從他在電話通道傳翰的研究而來。
在1927年，奈奎士算出電話通道可傳輸的脈波數目被限制在通道頻寬的兩倍 ;現在被稱作Nyquist-Shannon取樣理論。
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在上面的研究中，奈奎士算出脈波波形的準則，以達到上述的限制，被稱為奈奎士第一、第二和第三準則。
• 奈奎士提出增高餘弦濾波器符合奈奎士第一準則。
奈奎士是一位多產的發明家，合計共有超過150
個專利。有些人認為他和Claud Shannon是現代通訊系統先進理論的主要貢獻者。
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8.1 簡介Introduction
符號間干擾(ISI)
本章研究基頻帶通道傳播數位資料(無論來源)。下一章將討論使用調變技術在帶通通道上傳送資料。
數位資料的寬廣頻譜有大量低頻成分，數位資料的基帶傳輸需要使用低通通道，其頻寬足以容納資訊串流的主要頻率。
• 通道的擴散性(Dispersive)，使得頻率響應會偏離理想的低通濾波器。
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在此通道傳輸的結果使每個接收到的脈波多少會被相鄰脈波所影響，產生的干擾，稱作符號間干擾(ISI)。
• 符號間干擾是接收器上被回復資料串流位元錯誤的一個主要來源。為了更正它，必須試著控制整個系統的脈波形狀。
所以本章節大部分教材著重在從一個波形到另一波形的脈波波形轉換。
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通道雜訊(Channel Noise)
基頻帶資料傳輸系統中另一個資料位元錯誤來源是遍存的通道雜訊。
雜訊和ISI會同時在系統內產生。然而，為瞭解它們如何影響系統效能，我們建議分別考慮它們。
本章通訊原理的基本結果，也就是處理已知波形被附加性白色雜訊干擾下的偵測。
• 此種脈波之最佳化偵測器使用線性非時變的濾波器，稱做匹配濾波器(Matched Filter)，其名稱來自濾波器的脈衝響應可以匹配脈波信號。
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8.2 頻帶脈波和匹配濾波器偵測Baseband Pulses and Matched Filter Detection
線編碼與功率頻譜
第七章介紹許多傳輸二進位資料的線編碼方法。包含開關訊號(On-off Signaling)、雙極歸零訊號(Bipolar RZ Signaling)。
• 這些線編碼在PCM裡介紹，但也可用在任何二進位資料串流裡。
• 每一種線編碼各有優缺點，但是均可視為不同形式的基頻帶脈波。
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圖8.1展示之前介紹的幾種線編碼的功率頻譜
這些功率頻譜對應0和1機率相等的線編碼隨機位元序列。使用第五章所介紹的技巧計算功率頻譜。
–範例5.1是其中一個例子。若要解析計算圖8.1的功率頻譜，請者可參考習題8.3。
功率頻譜的頻率軸對位元週期Ｔb正規化，平均功率為1。
–信號的頻寬(Bandwidth)與|Ｔb|有相同的大小級數，而且對稱於原點。
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常用的線編碼與功率頻譜
圖8.1
(a) 單極性不歸零(NRZ)線性碼和其振幅頻譜;
(b) 僅性不歸零(NRZ)
線性碼和其振幅頻譜;
(c) 單極性歸零(RZ)
線性碼和其振幅頻譜;
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圖8.1
(d) 雙極性歸零(RZ)線性碼和其振幅頻譜;
(e) 曼徹斯特線性碼和其振幅頻譜
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理想的基頻帶通道傳輸暫時我們假設通道的頻率響應是相對理想的，且對傳輸脈波的波形影響很小。也就是，圖8.1裡的傳輸訊號頻譜在接收端並不會改變。
• 低速率的短距離傳輸就是理想基頻帶通道的範例，但是有許多其他情況下，這個模型還是可以適用。
在理想狀況下，每一位元的傳輸脈波g(t)並不會受到傳輸的影響，除了在接收器前端的附加性白雜訊，如圖8.2。
• 圖8.2顯示了偵測的基本問題：脈波在通道傳輸，在接收器前端會受到附加性雜訊的干擾。
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線性接收機(Linear Receiver)
圖8.2 線性接收器
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匹配濾波器(Matched Filter)
考慮圖8.2的接收機模型：接收機是非時變的濾波器，具有脈波響應h(t)。濾波器輸入x(t)由脈波訊號g(t)與被附加性雜訊w(t)干擾，如下：
• T為任意觀察區間，脈波訊號g(t)代表在數位通訊系統內的二元符號1或0。w(t)是個均值為零、功率頻譜密度為N0/2的白色雜訊程序的取樣函數。
( ) ( ) ( ) 0x t g t w t t T (8.1)
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對於接收機來說，假設脈波信號g(t)的波形是已知的，不確定性來自雜訊w(t)。接收器的功能是已知接收訊號x(t)，以最佳的方式偵測脈波訊號g(t)。
• 為符合上述要求，我們必須最佳化濾波器的設計h(t)，使濾波器輸出端的雜訊效應最小化，增強脈波訊號g(t)的偵測。
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既然濾波器為線性，輸出y(t)可表示為
go(t)和n(t)為輸入x(t)的訊號和雜訊所產生。
接收機使濾波器的輸出信號成分go(t)在時間t=T
的暫態功率值，與輸出雜訊n(t)的平均功率的比值盡可能的放大。這等同於將峰值脈波訊噪比(Peak SNR)最大化。定義為
( ) ( ) ( )oy t g t n t
2
2
| ( ) |
[ ( )]
og T
n t
E(8.3)
(8.2)
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|go(t)|2是輸出訊號的瞬時功率，E為期望運算，
E[n2(t)]為平均輸出雜訊功率。濾波器的脈波響應h(t)必須使式(8.3)輸出訊噪比最大化。
用G(f)表已知信號g(t)的傳立葉轉換，H(f)表示該濾波器的轉移函數。那麼，輸出信號go(t)的傅立葉轉換就等於H(f)G(f)，則go(t)可從下面的傳立葉反轉換得出
( ) ( ) ( ) exp( 2 )og t H f G f j ft df
(8.4)
SKIP (8.4)~(8.15)
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當對濾波器輸出在t=T進行取樣，(在不考慮雜訊的情況下)得到
輸出雜訊n(t)的功率頻譜密度SN(f)為
輸出雜訊n(t)的平均功率為
22
( ) ( ) ( ) exp( 2 )og T H f G f j fT df
20( ) | ( ) |2
N
NS f H f (8.6)
(8.5)
2 20[ ( )] ( ) | ( ) |2
N
Nn t S f df H f df
E (8.7)
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將式(8.5)和式(8.7)代人式(8.3)，可以將峰值脈波信噪比重寫為
當 與 ，
史瓦茲不等式為
上式等號成立的充分必要條件為
2
20
( ) ( ) exp( 2 )
| ( ) |2
H f G f j T df
NH f df
22 2
1 2 1 2( ) ( ) | ( ) | | ( ) |x x dx x dx x dx
2
1| ( ) |x dx
2
2| ( ) |x dx
*
1 2( ) ( )x k x (8.10)
(8.9)
(8.8)
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令1(x)=H(f)，2(x)=G(f)exp(j2πfT)，應用史瓦茲不等式(8.9)，則式(8.8)的分子可寫為
代入式(8.8)，可將峰值脈波信噪比重新定義為
上式右邊不依賴於濾波器的轉移函數H(f)，而只由信號能量和雜訊功率頻譜密度決定。
22 2( ) ( ) exp( 2 ) | ( ) | | ( ) |H f G f j fT df H f df G f df
2
0
2| ( ) |G f df
N
(8.12)
(8.11)
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所以，只要H(f)取適當值，使得等號成立，峰值脈波信噪比可就會達到最大值。亦即:
應用式(8.10)，H(f)的最佳值Hopt(f)為：
所以Hopt(f)對應的時間響應hopt(t)為
2
max
0
2| ( ) |G f df
N
*
opt ( ) ( ) exp( 2 )H f kG f j fT
*
opt ( ) ( ) exp[ 2 ( )]h t k G f j f T t df
(8.13)
(8.14)
(8.15)
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若g(t)為實數訊號，則G*(f)=G(-f)。
式(8.16)說明：如果去掉比例因數k，最佳化濾波器的脈衝響應就是輸入信號g(t)的時間反轉和延遲T，也就是說它與輸入信號相「匹配」。
• 用這種方式定義的線性非時變濾波器稱為匹配濾波器。
注意：在推導匹配濾波器的過程當中，我們假設輸入雜訊w(t)是平均值零且功率頻譜密度為N0/2的平穩白色雜訊。
opt ( ) ( ) exp[ 2 ( )]
( )
h t k G f j f T t df
kg T t
(8.16)
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匹配濾波器的性質
匹配濾波器的峰值脈波訊噪比僅由濾波器輸入端的信號能量與白色雜訊的功率頻譜密度之比值決定。
證明：令
• 匹配濾波器的輸出信號go(t)的傅立葉轉換為：
*
opt
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )exp( 2 )
| ( ) | exp( 2 )
oG f H f G f kG f G f j fT
k G f j fT
2 2| ( ) | | ( ) |E g t dt G f df
(8.17)
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• 匹配濾波器在時刻t=T的輸出為
• 將式(8.14)帶入式(8.7)，平均輸出雜訊功率為
• 峰值脈波信噪比有如下最大值2
max 2
0 0
( ) 2
( / 2)
kE E
k N E N
2 2
0 0{ ( )} | ( ) |2 2
k kn t N G f df N E
E
(8.20)
(8.19)
2( ) ( )exp( 2 ) | ( ) |o og T k G f j fT df k G f df
kE
(8.18)
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範例8.1 矩形脈波匹配濾波器
如圖8.3(a)，設振幅為A，持續時間為T的方波信號g(t)。匹配濾波器的脈衝響應h(t)具有與輸入信號相同的波形。
• 匹配濾波器輸出信號go(t)對輸入信號g(t)的響應，具有三角形的波形，如圖8.3(b)所示。
輸出信號go(t)的最大值等於kA2T，即輸入信號g(t)的能量，比例為k。最大輸出出現在t=T，如圖(8.3b)所示。
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圖8.3
(a) 矩形脈波;
(b) 匹配濾波器輸出;
(c) 積分器輸出
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• 對於矩形脈波這樣的特例，匹配濾波器可以用積分-傾倒電路(integrate-and-dump circuit)
來實現，其方塊圖見圖8.4 。
• 在t=T之後的瞬間，積分器回復到初始狀態，電路由此得名。圖8.3c顯示了圖8.3a中的方波通過該積傾電路後的輸出波形。在0<t<T，該電路的輸出與匹配濾波器的輸出具有相同的波形。
圖8.4 積分-傾倒電路
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8.3 雜訊造成之錯誤機率Probability of Error Due to Noise
雜訊造成之錯誤機率
考慮NRZ信號的二進位PCM系統。符號1和0分別由振幅和持續時間均相等的正、負矩形脈波表示。
• 通道雜訊模型為具有零均值且功率頻譜密度為N0/2的附加性高斯白色雜訊w(t)。這樣的假設是為了以後計算的需要。
Tb為位元持續時間，A為發送脈波振幅。在信號間隔內0至Tb區間，接收信號可寫為：
( ), symbol1 was sent( )
( ), symbol 0 was sent
A w tx t
A w t
(8.21)
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接收端已知每個傳送脈波的起止時間。即接收端具有脈波波形的起始資訊，但不知道其極性。
• 已知雜訊的信號x(t),接收器在每個信號間隔內決定發送符號是l或0。
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判定過程的接收器結構如圖8.5，由匹配濾波器、取樣器和判斷器組成。
匹配濾波器與振幅為A、持續時間為Tb的矩形脈波相匹配，並利用了接收機可用的位元時間資訊，在匹配濾波器的每個輸出信號間隔的末端進行取樣。
• 接收器雜訊w(t)的存在增加了濾波器輸出的隨機性。
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8-10圖8.5 使用雙極NRZ信號法的二制編碼PCM波的基頻帶傳輸之接收器
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設y表示在信號間隔末端得到的取樣值。取樣值y要與預殼的臨界值λ進行比較。
• 如果y超過臨界值，接收機判斷輸出信號為1；否則，判斷為0。
• 當取樣值y及臨界值λ相等時，習慣讓接收器對發送符號進行猜測，這樣的判斷就如同擲一枚硬幣的結果，並不會影響平均錯誤機率。
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考慮兩種可能的錯誤:
1.實際發送為0而判斷為1，這類錯誤稱為第一類錯誤。
2.實際發送為l而判斷為0，這類錯誤稱為第二類錯誤。
假設送出符號0。根據式(8.21)，接收信號為
匹配濾波器在取樣時刻Tb的輸出為(為了方便表示，令範例8.1中的kATb=1)隨機變數Y的取樣值：
( ) ( ), 0 bx t A w t t T
(8.23)
(8.22)
bb T
b
T
b
dttwT
AdttxT
y00
)(1
)(1
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雜訊w(t)為高斯白雜訊，可將隨機變數Y的特性描述如下：
1.隨機變數Y為均值-A的高斯分佈。
2.隨機變數Y的變異數為
2 2
2 0 0
2 20 0 0 0
1[( ) ] ( ) ( )
1 1[ ( ) ( )] ( , )
b b
b b b b
T T
Y
b
T T T T
W
b b
Y A w t w u dtduT
w t w u dtdu R t u dtduT T
E E
E
(8.24)
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RW(t,u)為白雜訊w(t)的自相關函數。由於w(t)是功率頻譜密度為N0/2的白雜訊，所以
將式(8.25)代入式(8.24)得到
0( , ) ( )2
W
NR t u t u
2 0 0
2 0 0
1( )
2 2
b bT T
Y
bb
N Nt u dtdu
TT (8.26)
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若傳送符號為0，則隨機變數Y的機率密度函數如圖8.6a為：
Pe0表示己知發送符號為0時的條件錯誤機率。此機率對應於判斷為符號1時y的取值範圍，即圖中的臨界值λ至正無窮大時，曲線fY(y|0)下方的陰影區域。
2
00
( )1( | 0) exp
//Y
bb
y Af y
N TN T
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圖8.6 二元系統通道雜訊效應的分析：(a) 發送訊號為0 時，匹配濾波器輸出的隨機變數Y 的機率密度函數；(b) 發送訊號為1 時，匹配濾波器輸出的隨機變數Y 的機率密度函數
