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nguyenthuan
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8. Deterministisches Chaos
Widerspruch: deterministisch <----> chaotisch
Schmetterlingseffekt:• Der Flügelschlag eines Schmetterlings entscheidet über die Entwicklung eines Sturms.• Allgemein: kleinste Änderungen der Systemparameter (ggfs. unterhalb der Auflösungsgrenze von Messgeräten) haben in chaotischen Systemen drastische Auswirkungen auf die zeitliche Entwicklung des Systems!
Deterministisches Chaos:• Kurzzeitverhalten des Systems voraussagbar (deterministisch)!• Langzeitverhalten des Systems nicht voraussagbar!
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Die Bäckertransformation
Ausgangspunkt:Teigstück mit quadratischenQuerschnitt der Länge l = 1
Während jedes Iterationsschritts (Knetschritt) wird folgende Prozedurabgearbeitet:
Der Teig wird in y-Richtungauf die Hälfte zusammengestauchtund gleichzeitig in x-Richtungauf die doppelte Länge gestreckt.
y
x
1
1 2
x
Das Teigstück wird bei x = 1 durchgeschnitten
Das Stück x > 1 wird auf das andere Stück gelegt.
Mathematische Beschreibung:
Für xn < 1/2: xn+1 = 2·xny n+1 = (1/2)·yn
Für 1/2 ≤ xn < 1: xn+1 = 2·xn - 1yn+1 = (1/2) ·(yn + 1)
x
1
y
1
1 2
2
y
1
1 2
3
3
Ergebnis von 15Bäckertransformationen.Das markierte VolumenDer Kantenlänge 0.02Wurde in ≈ 104 im TeigVerstreute Teilchen zerteilt.
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Anwachsrate des Fehlers (Lyapunov Exponent): ln(2)
Eigenschaften der Bäckertransformation• Die Bäckertransformation ist deterministisch
- aus (xn, yn) folgt in eindeutiger Weise (xn+1, yn+1)- aus (xn, yn) läßt sich auch in eindeutiger Weise (xn-1, yn-1) bestimmen.
Fortpflanzung des Positionsfehlers in x0:x0 = x‘ + εx(0)xn = xn
‘ + εx(n)Bei jedem Streckvorgang des Teigs verdoppelt sich der Fehler:
εx(n) = εx(0)·2n = εx(0)·en·ln(2)
Anwachsrate des Fehlers (Lyapunov Exponent): ln(2)
Beispiel:Positionsfehler zu Beginn: εx(0) = 2-33 m ≈ 10-10 m (atomare Auflösung)==> Positionsfehler nach 33 Transformationen: εx(33) ≈ 1m
Position (xn, yn) ist bei großem n aufgrund unvermeidbarer Messfehler von (x0, y0) nicht vorhersehbar!==> Deterministisches Chaos
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Die Logistische AbbildungIteration: xn+1 = λ·xn ·(1-xn); nichtlineare rückgekoppelte Abbildung!
Wertebereich: 0 ≤ λ ≤ 4 und 0 ≤ x ≤ 1 ==> 0 ≤ x ≤ 1
λ< λ1 = 3:
• Folge konvergiert gegen einen Fixpunkt (Attraktor)! xAttr. = (λ - 1)/λ
λ1 = 3 < x < λ2 = 1 + 61/2 ≈ 3.449:
• Aufspaltung (Bifurkation) des Fixpunktes in zwei Attraktoren.• Folge oszilliert zwischen den Attraktoren (Periode: 2)!
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Die logistische Abbildung bei großem λVergrößerung von λ ==> weitere Bifurkationspunkte λn Oszillationsperiode: 2n
Abstand der Bifurkationspunkte:λn+1 - λn = (λn - λn-1)/δFeigenbaumkonstante: δ ≈ 4.669: (universell für alle nichtlinearenAbbildungen mit qudratischem Maximum)
n → ∞: λ∞ ≈ 3.5699456; λ > λ∞:
• „chaotische“ Bewegung der Trajektorien• Periodische Bewegung in bestimmten Intervallen von λ (z.B. λ ≈ 3.83)• Trajektorien definieren einen seltsamen Attraktor• seltsamer Attraktor bildet Cantor Satz - Cantor-Staub - nicht verbundenes Fraktal der fraktalen Dimension df = log2/log3
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Die Mandelbrotmenge
Iteration: zn+1 = zn2 + c (zn = an + i·bn) mit z1: = 0 ==> z2 = c
Frage: Wohin konvergiert die Folge zn für n→∞?
Mandelbrotmenge:Alle Punkte c in der komplexen Ebene, für die die Folge zn gegen einenEndlichen Wert konvergiert!
Vereinfachte, schematischeDarstellung derMandelbrotmenge.
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Trajektorien
c = 0.4 + i·0.34
• Punkt 1 (innerhalb der Mandelbrot menge)• Konvergenz der Folge gegen den Attraktor, ZATTR. ≈ 0.0816 + i ·0.4171• Attraktor liegt innerhalb der Mandelbrotmenge
c = 0.4 + i·0.34
• Punkt 3 (innerhalb der Mandelbrot- menge aber in Randnähe)• Lansamere Konvergenz der Folge gegen einen Attraktor im inneren der Mandelbrotmenge
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c = 0.24 + i·0.59
• Punkt 4 (außerhalb der Mandelbrot menge)• Folge konvergiert gegen ∞
c = 0.24 + i·0.54965
• Punkt 5 (am Rand der Mandelbrot- menge)• nach n = 100 Iterationen keine eindeutige Aussage über Konvergenz der Folge möglich!• Trajektorie könnte bei größeren n ins unendliche laufen!
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Untersuchung des Randes der MandelbrotmengeFrage:Wieviel Iterationen n werden benötigt, bis eine Trajektorie einen erreicht, für den |zn| > 2?• Falls für irgendein n |zn| > 2 gilt, wird die Folge ins Unendliche laufewn!• Die Zahl der benötigten Iterationen wird in der komplexen Ebene durch verschiedene Farben gekennzeichnet!
Remin = -2Remax = 0.5Immin = -1.2Immax = 1.2Nmax = 10 000
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Vergrößerte Ausschnitte aus dem Apfelmännchen
Remin = -1.5; Remax = -1.2;Immin = -0.1; Immax = 0.1Nmax = 10 000
Remin = -1.28; Remax = -1.22;Immin = -0.045; Immax = 0Nmax = 10 000
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Remin = -1.25Remax = - 1.249Immin = -0.02375Immax = -0.02225Nmax = 10 000
Eigenschaften der Mandelbrotmenge
• Rand der Mandelbrotmenge ist eine fraktale Struktur!• Selbstähnlichkeit• Alle Punkte der Mandelbrotmenge sind verbunden!
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JuliamengenGleiche Iterationen wie bei Mandelbrotmenge: zn+1 = zn
2 + cAber: c = const; z1 variabelJuliamengen:Die Punkte z1, für die die Folge zn bei festem c gegen einen endlichenWert (innerhalb der Mandelbrotmengen) konvergiert! Verbundene Juliamengen
Verbundene Juliamengen treten auf, falls c innerhalb der Mandelbrotmenge liegt!
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Fatou Staub (nicht verbundene Juliamengen)
c = -0.5 + i c = 0.5
Fatou Stäube treten auf, wenn c außerhalb der Mandelbrotmenge liegt!
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Das Doppelpendel
Bewegungsgleichungen:dxdt
= y
dydt
=−cν 2 ⋅ sin(x − u) − y2 ⋅ sin(x − u) ⋅ cos(x − u) + b ⋅ sin(u) ⋅ cos(x − u) − abc ⋅ sin(x)
ac − cos2 (x − u)dudt
= ν
dνdt
=ay2 ⋅ sin(x − u) + ν 2 ⋅ sin(x − u) ⋅ cos(x − u) + ab ⋅ sin(x) ⋅ cos(x − u) − ab ⋅ sin(u)
ac − cos2 (x − u)
x: Auslenkungswinkel des großen Pendelsy: Winkelgeschwindigkeit des großen Pendelsu: Auslenkwinkel des # kleinen Pendelsν: Winkelgeschwindigkeit des kleinen Pendelsa, b, c: Konstanten (abhängig von der Pendelmasse und -länge)
Doppelpendel ist chaotisches System!