8) Diseños Especiales

Instituto Tecnolgico de Orizaba

DISEOS ESPECIALES

Mario Leoncio Arrioja Rodrguez

Diseo Especiales INTRODUCCIN

Los diseos factoriales son muy tiles sin embargo son costosos y complejos, por lo que se han desarrollado modelos ms simples para: o Las etapas iniciales de una investigacin con muchos factores Diseo 2k, 3k Diseo Fraccionado Taguchi o En situaciones que tienes condiciones especiales Diseo Jerrquico Parcelas Divididas, Superficies de Respuesta Operacin Evolutiva Mezclas, etc.noviembre de 2010 Dr. Mario Leoncio Arrioja Rodrguez

2

DISEO 2KKDISEOS ESPECIALES

3 noviembre de 2010 Dr. Mario Leoncio Arrioja Rodrguez

Diseo Especiales EL DISEO 2K Este diseo permite comparar k factores, cada uno con dos niveles. Estos niveles pueden ser cuantitativos como sera el caso de dos valores de temperatura, presin, tiempo. Tambin pueden ser cualitativos como en el caso de dos mquinas, dos operadores, los niveles superior e inferior de un factor o, quizs, la ausencia o presencia de un factor. Una rplica completa de tal diseo requiere que se recopilen 2 x 2 x 2 x ... x 2 = 2k observaciones por lo que se conoce como diseo factorial 2k.

noviembre de 2010

Dr. Mario Leoncio Arrioja Rodrguez

4

Diseo Especiales EL DISEO 22El diseo factorial mas simple es el 22, tiene slo dos factores: A y B, con dos niveles cada uno de ellos a los que podemos llamar arbitrariamente como niveles inferior y superior. Existen cuatro posibles combinaciones de tratamientos. Los niveles bajos se denotan por "-" y los niveles altos por "+". Las combinaciones de tratamientos suelen representarse por letras minsculas, donde el nivel superior de cualquier factor en una combinacin de tratamientos est representado por la presencia de la letra minscula correspondiente, mientras que la ausencia de sta ltima representa el nivel inferior del factor.Tratamiento A B Tratamiento A B

b Factor B

ab

(1) a b ab

bajo alto bajo alto

bajo bajo alto alto

(1) a b ab

+ +

+ +

(1)noviembre de 2010

Factor A

a5


Diseo Especiales EL DISEO 22

Para obtener las frmulas para las sumas de cuadrados de los efectos y la interaccin se usa un arreglo ortogonal, el contraste lineal se lee por rengln para cada efecto dividindolo entre 22n = 4n, para obtener las SC.Efectos (1) a b ab Efectos (1) a b ab

1 A B ABFuente de variacin A B AB Error Total

1 -1 -1 1

1 1 -1 -1

1 -1 1 -1

1 1 1 1

1 A B ABGrados de Libertad 1 1 1 4(n-1) 4n-1

+ +Cuadrados Medios CMA CMB CMAB CME

+ + -

+ + -

+ + + +F Tablas

Sumas de Cuadrados SCA= [ab b + a - (1)]2 / 4n SCB = [ab + b a - (1)]2 / 4n SCAB = [ab b a + (1)]2 / 4n SCE=SCT - SCA - SCB - SCAB SCT

F Calculada CMA / CME CMB / CME CMAB / CME

F1,4(n-1)

noviembre de 2010


6

Diseo Especiales EJEMPLO 1, DISEO 22

Se est realizando una investigacin para estudiar el efecto que tienen la concentracin de un reactivo y la presencia de un catalizador sobre el tiempo de reaccin de un proceso qumico. La concentracin del reactivo tiene dos niveles de inters que son 15% y 20%. El catalizador est dado en dos niveles, un nivel alto (superior) que requiere de dos sacos de catalizador, y un nivel bajo (inferior) con un saco de catalizador. Suponga que los datos recolectados, previa aleatorizacin, estn en segundos y son:Tratamientos (1) a b ab I II III TOTAL

28 36 18 31

25 32 19 30

27 32 23 29

80 100 60 907

noviembre de 2010


Diseo Especiales EJEMPLO 1, DISEO 22Tratamientos (1) a b ab TOTAL

SCA= [ab+a-b-(1)]2/4n= [90+100-60-80]2/(4)(3)=208.33 SCB= [ab-a+b-(1)]2/4n= [90-100+60-80]2/(4)(3)= 75.00 SCAB= [ab-a-b+(1)]2/4n= [90-100-60+80]2/(4)(3)= 8.33

80 100 60 90a b n

SCT= y2ijk - y2.../4n = [282+252++292] -(3302/12) = 323i=1 j=1 k=1

SCE= SCT -SCA -SCB -SCAB = 31.34Fuente de Variacin Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrados Medios F Calculada F Tablas

A (% de reactivo) B (catalizador) AB Error Total

208.33 75.00 8.33 31.34 323.00

1 1 1 8 11

208.33 75.00 8.33 3.92

53.15 19.13 2.13 5.32

8

Dr. Mario Leoncio Arrioja Rodrguez noviembre de 2010

Diseo Especiales EL DISEO 23El arreglo ortogonal para este modelo es:Efectos 1 A B AB C AC BC ABC (1) a b ab c ac bc abc

+ + + + -

+ + + +

+ + + +

+ + + + -

+ + + +

+ + + + -

+ + + + -

+ + + + + + + +

noviembre de 2010


9

Diseos Especiales EJEMPLO 3, DISEO 23 Un embotellador de bebida gaseosa desea obtener mayor uniformidad en la altura de llenado de botellas , ya que existe variacin alrededor de este objetivo, el fabricante quisiera comprender mejor las fuentes de esta variabilidad para poder reducirla al mnimo. Se puede controlar tres variables durante el proceso de llenado: % de carbonatacin (10 y 12%), presin de llenado (25 y 30 psi) y la velocidad de la lnea (200 y 250 botellas por minuto) . Suponga que los datos recolectados, previa aleatorizacin, estn en centmetros y son:Presin de operacin (B) 25 psi Porcentaje de carbonatacin (A) 10% 12% 30psi

Rapidez de lnea (C) Rapidez de lnea (C) 200 250 200 250

15.2 15.6 15.8 16.0

15.6 15.8 16.2 16.1

15.6 15.7 16.2 16.3

15.9 16.0 16.5 16.4

(1)=30.8 a =31.8 b =31.3 ab =32.5 c =31.4 ac =32.3 bc =31.9 abc=32.910

noviembre de 2010


Diseo Especiales EJEMPLO 3, DISEO 23SCT== [15.22 +15.62 + ... +16.42] -(254.92/16) = 1.8144 SCA= [-(1)+a-b+ab-c+ac-bc+abc]2/8n= [-30.831.8-31.3+32.5-31.4+32.3-31.9+32.9]2/(8)(2)= 1.0506 SCB= [-(1)-a+b+ab-c-ac+bc+abc]2/8n= [-30.8-31.8+31.3+32.5-31.4-32.3+31.9+32.9]2/(8)(2)= 0.3306 SCC= [-(1)-a-b-ab+c+ac+bc+abc]2/8n= [-30.8-31.8-31.3-32.5+31.4+32.3+31.9+32.9]2/(8)(2)= 0.2756 SCAB= [(1)-a-b+ab+c-ac-bc+abc]2/8n= [30.8-31.8-31.3+32.5+31.4-32.3-31.9+32.9]2/(8)(2)= 0.0056 SCAC= [(1)-a+b-ab-c+ac-bc+abc]2/8n= [30.8-31.8+31.3-32.5-31.4+32.3-31.9+32.9]2/(8)(2)= 0.0056 SCBC= [(1)+a-b-ab-c-ac+bc+abc]2/8n= [30.8+31.8-31.3-32.5-31.4-32.3+31.9+32.9]2/(8)(2)= 0.0006 SCABC=[-(1)+a+b-ab+c-ac-bc+abc]2/8n= [-30.8+31.8+31.3-32.5+31.4-32.3-31.9+32.9]2/(8)(2)= 0.0006 SCerror= SCT -SCA -SCB -SCC -SCAB -SCAC -SCBC -SCABC = 0.145Fuente de Variacin Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medios s F Calculada F Tablas

(1)=30.8 a =31.8 b =31.3 ab=32.5

c =31.4 ac =32.3 bc =31.9 abc=32.9

A (% carbonatacin) B (presin) C (rapidez de lnea) AB AC BC ABC Error Total

1.0506 0.3306 0.2756 0.0056 0.0056 0.0006 0.0006 0.1450 1.8144

1 1 1 1 1 1 1 8 15

1.0505 0.3306 0.2756 0.0056 0.0056 0.0006 0.0006 0.0181

57.96 18.24 15.07 0.31 0.31 0.034 0.034

5.32

11

noviembre de 2010


11

Diseo Especiales DISEO 2K

Este es un diseo con k factores, cada uno con dos niveles. El modelo estadstico del diseo 2k incluye:o o o o o

kkC2 kC3

efectos principales interacciones de dos factores interacciones de tres factores una interaccin de k niveles.

kCk

As el modelo completo de este diseo tiene 2k-1 efectos, se agregan en el orden estndar: Por ejemplo, el orden estndar para un diseo 24 es :(1), a, b, ab, c, ac, cb, abc, d, ad, bd, abd, cd, acd, abd, abcd


Con objeto de estimar la suma de cuadrados de cualquier efecto, primero se determina el contraste asociado a dicho efecto: ContrasteAB...k Esto puede hacerse usando la tabla de diseo, de signos positivos y negativos, lo que para valores grandes de k, es laborioso. Posteriormente se calcula la suma de cuadrados del efecto mediante: SCAB...K = (ContrasteAB...k)2 / n2k


Un mtodo alterno, para obtener el contraste para el efecto AB....K , se calcula desarrollando el segundo miembro de: ContrasteAB...K=(a + 1)(b + 1)...(k + 1)o

En este desarrollo se reemplaza en la expresin final el 1 por (1). En cada conjunto de parntesis debe usarse el signo negativo si se incluye el factor en ese efecto, y el positivo en caso contrario.

o

Por ejemplo, para el diseo factorial 23 ContrasteAB=(a-1)(b-1)(c+1) ContrasteAB= abc +ab +c +(1) -ac -bc -a -b

ALGORITMO DE YATES EN EL K DISEO 2


[email protected]

Diseo Especiales ALGORITMO DE YATES PARA EL DISEO 2K En 1937 F. Yates propone una tcnica muy simple para estimar los efectos y determinar la sumas de cuadrados de dichos efectos y de las correspondientes interacciones que se producen en un diseo 2k. Para ello se construye una tabla En la columna Efecto se ponen estos en maysculas, introduciendo un factor a la vez, tal como se hace en la notacin estndar. La columna Respuesta tiene los totales de todas las observaciones tomadas bajo la correspondiente combinacin de tratamientos del rengln. Los valores de la columna (1) se calculan, la primera mitad (4 celdas iniciales), sumando las respuestas por pares adyacentes. La segunda mitad, ltimas 4 celdas, se obtiene cambiando el signo del primer elemento de cada par en la columna Respuesta y sumndolos con los nmeros adyacentes.Tabla del Algoritmo de Yates para Un 23Efecto Respuesta (1)

Diseo Especiales ALGORITMO DE YATES PARA EL DISEO 2K

La columna (2) se obtiene similarmente usando la columna (1), as como la columna (3) se obtiene de la (2). En general, para un diseo 2k deben calcularse k columnas de este tipo. Para calcular los elementos de la estimacin del efecto se dividen los elementos de la columna (k) entre n2k-1 Las sumas de cuadrados se obtienen elevando al cuadrado el elemento de la columna (k) y dividiendo entre el correspondiente elemento entre n2k. La suma de cuadrados total y la suma de cuadrados del error se calculan como siempre.Efecto Respuesta (1) (2) (3) Estimacin del efecto (3)/8 Suma de Cuadrados (3)2/16

1 A

-4 1 -1 5 -1 3 2 11

-3 4 2 13 5 6 4 9

1 15 11 13 7 11 1 5

16 24 18 6 14 2 4 4

--3.00 2.25 0.75 1.75 0.25 0.50 0.50

--36.00 20.25 2.25 12.25 0.25 1.00 1.00

Ejemplo de un 23 con dos rplicas

B AB C AC BC ABC

ADICIN DE PUNTOS CENTRALES AL DISEO 2K


[email protected]

Diseo Especiales ADICIN DE PUNTOS CENTRALES DISEO 2K

Para probar el supuesto de linealidad, se puede usar el mtodo de agregar puntos centrales al diseo 2k, para medir el grado de curvatura. Esto permitir medir el error de manera independiente sin afectar la estimacin de los efectos de este diseo.+1 0

-1 -1 0 +1

Para estimar la existencia de la curvatura se establece la diferencia de la media de las cuatro combinaciones de tratamientos y la media de los puntos centrales, si esta es pequea significa que no existe curvatura, simblicamente:

Diseo Especiales ADICIN DE PUNTOS CENTRALES DISEO 2K

La suma de cuadrados para la curvatura tiene un grado de libertad y est dada por:

nF nC ( y F yC ) SCcurvatuta = nF + nC

2

La prueba en busca de la curvatura en realidad prueba las k hiptesis: H 0 : ij = 0j =1

H1 : ij 0j =1

k

si no existen rplicas de los tratamientos en el 2k, los puntos centrales se pueden usar para estimar el error con nC grados de libertad.

Diseo Especiales ACTIVIDADES RECOMENDADAS

Repasar notas, consultar los libros citados en la bibliografa del programa del curso y buscar sitios de Internet para entender los conceptos en que se basa el modelo 2k Realizar ejercicios para desarrollar la habilidad de o De calcular los contrastes mediante la tabla de diseo o a partir de los grados de libertad o De obtener las sumas de cuadrados mediante los contrastes, el algoritmo de Yates o cuando hay puntos centrales. oObtener la tabla ANDEVA, realizar la comprobacin de supuestos, hasta establecer las conclusiones y recomendaciones. Contribuir con fuentes de informacin, comentarios, sugerencias, etc., en la pgina de Internet del grupo, relacionadas al diseo 2k 21Mario Leoncio Arrioja Rodrguez [email protected]

noviembre de 2010

Documents

8) Diseños Especiales