8. harjoitukset / Ratkaisutsalserver.org.aalto.fi/vanhat_sivut/Opinnot/Mat-2.2103/... · 2006. 12. 12. · Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset Mat-2.103

Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset

Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset / Ratkaisut

Aiheet: Kaksisuuntainen varianssianalyysi Avainsanat: Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi, Interaktio, Jäännösneliösumma, Keskiarvo- diagrammi, Kokonaisvaihtelu, Merkitsevyystaso, p-arvo, Päävaikutus, Reunakeskiarvo, Ryhmien sisäinen vaihtelu, Ryhmien välinen vaihtelu, Ryhmä, Ryhmäkeskiarvo, Testi, Testisuure, Vapausaste, Varianssi, Varianssianalyysi, Varianssianalyysihajotelma, Yhteisvaihtelu, Yleiskeskiarvo

Tehtävä 8.1.

Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:

( )kij i j ij kijy µ α β αβ ε= + + + +

k K1,2, , , 1,2, , , 1,2, ,i I j J= = =… … …

0

Todista, että

1 1 1 1

( ) ( )I J I J

i i ij iji j i j

α β αβ αβ= = = =

= = = =∑ ∑ ∑ ∑

Tehtävä 8.1. – Mitä opimme?

Tehtävässä todistetaan, että kaksisuuntaisen varianssianalyysin mallin esitysmuodon

( )kij i j ij kijy µ α β αβ ε= + + + +

k K1,2, , , 1,2, , , 1,2, ,i I j J= = =… … …

parametrit eivät ole riippumattomia, vaan niitä sitoo joukko lineaarisia side-ehtoja. Tehtävä 8.1. – Ratkaisu:

Oletetaan, että ryhmittelevällä tekijällä A on I tasoa:

A1 , A2 , … , AI

ja ryhmittelevällä tekijällä B on J tasoa:

B1 , B2 , … , BJ

Olkoon

ykij = k. havainto ryhmässä, jonka määrittelee tekijän A taso i ja tekijän B taso j, k = 1, 2, … , K , i = 1, 2, … , I , j = 1, 2, … , J

TKK @ Ilkka Mellin (2005) 1/27


Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisella mallilla on seuraavat ekvivalentit esitysmuodot:

(1) ( ) ( ) ( ) (kij i j ij ì j kij ijy y )µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ= + − + − + − − + + −i i i i

(2) kij ij kijy µ ε= +

(3) ( )kij i j ij kijy µ α β αβ ε= + + + +

k K1,2, , , 1,2, , , 1,2, ,i I j J= = =… … …

J…

Jäännöstermit εkij ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita:

2N(0, )

1,2, , , 1,2, , , 1,2, ,kij

k K i I j

ε σ

= = =

∼… …

Yhtälössä (1)

1

1

1 1 1 1

1

1

1 1 1

J

ì ijj

I

j iji

I J I J

ij i ji j i j

J

I

IJ I J

µ µ

µ µ

µ µ µ

=

=

= = = =

=

=

= = =

∑

∑

µ∑∑ ∑ ∑

i

i

i i

Siten yhtälöiden (1), (2) ja (3) parametrien välillä on seuraavat yhtälöt:

( )

i i

j j

ij ij ì j

kij kij ijy

α µ µβ µ µ

αβ µ µ µ

ε µ

= −

= −

µ= − − +

= −

i

i

i i

Siten

1 1

1

( )

0

I I

i ii i

I

ii

I

I I

α µ µ

µ µ

µ µ

= =

=

= −

= −

= − =

∑ ∑

∑

i

i

1 1

1

( )

0

J J

j jj j

J

jj

J

J J

β µ µ

µ µ

µ µ

= =

=

= −

= −

= − =

∑ ∑

∑

i

i



1 1

1 1

( ) ( )

0

I I

ij ij i ji i

I I

ij i ji i

j j

I I

I I I I

αβ µ µ µ µ

µ µ µ

µ µ µ µ

= =

= =

= − − +

= − − +

= − − + =

∑ ∑

∑ ∑

i i

i i

i i

µ

1 1

1 1

( ) ( )

0

J J

ij ij i jj j

J J

ij i jj j

i ì

J J

J J J J

αβ µ µ µ µ

µ µ µ

µ µ µ µ

= =

= =

= − − +

= − − +

= − − + =

∑ ∑

∑ ∑

i i

i i

i i

µ



Tehtävä 8.2.

Tarkastellaan interaktion eli yhdysvaikutuksen ilmenemistä seuraavassa tilanteessa:

Oletetaan, että ryhmittelevillä tekijöillä A ja B on kummallakin kaksi tasoa:

Ai , i = 1, 2

Bj , j = 1, 2

Piirrä keskiarvodiagrammit ja laske yhdysvaikutusta kuvaavat neliösummat

21 1

( )I J

ij i ji j

SSAB K y y y y= =

= − − +∑∑ i i i ii iii

kun ryhmäkeskiarvoina ovat:

(a)

ijy A1 A2

B1 1 2

B2 3 4

(b)

ijy A1 A2

B1 1 2

B2 4 3


Tehtävässä tarkastellaan, millä tavalla interaktio ilmenee kaksisuuntaisen varianssianalyysin koeasetelman ryhmäkeskiarvoja havainnollistavissa keskiarvodiagrammeissa.

Olkoon

ykij = k. havainto ryhmässä, jonka määrittelee tekijän A taso i ja tekijän B taso j,

k = 1, 2, … , K , i = 1, 2, … , I , j = 1, 2, … , J

Kaksisuuntaisen varianssianalyysin varianssianalyysihajotelman SST SSA SSB SSAB SSE= + + +

yhdysvaikutusta kuvaava neliösumma on

21 1

( )I J

ij i ji j

SSAB K y y y y= =

= − − +∑∑ i i i ii iii



Yhdysvaikutusta kuvaavan neliösumman SSAB kaavassa

1

1 Kij kij

ky y

K == ∑i

on tekijän A tason i ja tekijän B tason j määräämän ryhmän (i, j) havaintojen aritmeettinen keskiarvo eli ryhmäkeskiarvo,

1 1 1

1 1J K Ji kij

j k jy y

JK J= = == =∑∑ ∑i i iijy

ja

1 1 1

1 1I K Ij kij

i k iy y

IK I= = == =∑∑ ∑ii iijy

ovat vastaavat reunakeskiarvot ja

1 1 1 1 1

1 1I J K I Jkij ij

i j k i jy y

IJK IJ= = = = == =∑∑∑ ∑∑iii iy

havaintoarvojen kokonaiskeskiarvo.

(a) Ryhmäkeskiarvot:

ijy A1 A2

B1 1 2

B2 3 4

Vastaava keskiarvodiagrammi:

Keskiarvodiagrammi

B1

B2

0

1

2

3

4

5

1 2A

Vast

e



Koska samaan tekijän B tasoon liittyvien ryhmäkeskiarvojen yhdysjanat ovat yhdensuuntaisia, kuvio viittaa siihen, että tekijöillä A ja B ei ole yhteisvaikutusta.

Reunakeskiarvot:

2

1 11

2

2 21

2

1 11

2

2 21

1 1 (1 3) 22 21 1 (2 4) 32 21 1 (1 2) 1.52 21 1 (3 4) 3.52 2

jj

jj

ii

ii

y y

y y

y y

y y

=

=

=

=

= = + =

= = +

= = + =

= = + =

∑

∑

∑

∑

i i i

i i i

ii i

ii i

=

Kokonaiskeskiarvo:

2 2

1 1

1 1 (1 3 2 4) 2.52 2 2 2iji j

y y= =

= = + + +⋅ ⋅∑∑iii i =

Yhteisvaihtelua kuvaava neliösumma

2 2

2

1 1

( )ij i ji j

SSAB K y y y y= =

= − − +∑∑ i i i ii iii

voi olla nolla vain, jos jokainen termeistä

( ) , 1,2 , 1,2ij i jy y y y i j− − + = =i i i ii iii

on nolla.

Koska

11 1 1

12 1 2

21 2 1

22 2 2

1 2 1.5 2.5 03 2 3.5 2.5 02 3 1.5 2.5 04 3 3.5 2.5 0

y y y yy y y yy y y yy y y y

− − + = − − + =− − + = − − + =− − + = − − + =− − + = − − + =

i i i ii iii

i i i ii iii

i i i ii iii

i i i ii iii

näemme, että

SSAB = 0



(b) Ryhmäkeskiarvot:

ijy A1 A2

B1 1 2

B2 4 3

Vastaava keskiarvodiagrammi:

Keskiarvodiagrammi

B1

B2

0

1

2

3

4

5

1 2A

Vast

e

Koska samaan tekijän B tasoon liittyvien ryhmäkeskiarvojen yhdysjanat eivät ole yhdensuuntaisia, kuvio viittaa siihen, että tekijöillä A ja B saattaa olla yhteisvaikutusta.

Reunakeskiarvot:

2

1 11

2

2 21

2

1 11

2

2 21

1 1 (1 4) 2.52 21 1 (2 3) 2.52 21 1 (1 2) 1.52 21 1 (4 3) 3.52 2

jj

jj

ii

ii

y y

y y

y y

y y

=

=

=

=

= = + =

= = + =

= = + =

= = + =

∑

∑

∑

∑

i i i

i i i

ii i

ii i

Kokonaiskeskiarvo:

2 2

1 1

1 1 (1 4 2 3) 2.52 2 2 2iji j

y y= =

= = + + +⋅ ⋅∑∑iii i =



Yhteisvaihtelua kuvaava neliösumma

2 2

2

1 1

( )ij i ji j

SSAB K y y y y= =

= − − +∑∑ i i i ii iii

voi olla nolla vain, jos jokainen termeistä

( ) , 1,2 , 1,2ij i jy y y y i j− − + = =i i i ii iii

on nolla.

Koska

11 1 1

12 1 2

21 2 1

22 2 2

1 2.5 1.5 2.5 0.54 2.5 3.5 2.5 0.52 2.5 1.5 2.5 0.53 2.5 3.5 2.5 0.5

y y y yy y y yy y y yy y y y

− − + = − − + = −− − + = − − + =− − + = − − + =− − + = − − + = −

i i i ii iii

i i i ii iii

i i i ii iii

i i i ii iii

näemme, että

SSAB ≠ 0



Tehtävä 8.3.

Akkutehtaan tavoitteena on suunnitella akku, joka säilyttää latauksensa hyvin erilaisissa lämpötiloissa. Oletetaan, että ainoa parametri, johon akkujen valmistusprosessissa voidaan vaikuttaa, on akussa käytettävien metallilevyjen materiaali ja oletetaan, että käytettävissä on kolmesta erilaisesta materiaalista tehtyjä levyjä.

Koska on odotettavissa, että eri materiaaleista valmistettujen akkujen latauksen kesto on erilainen erilaisissa lämpötiloissa, päätettiin tehdä seuraava koe:

Käytettävissä olevista kolmesta materiaalista tehtyjä akkuja testattiin kolmessa lämpötilassa (15, 70, 125 °F) niin, että jokaisessa materiaali-lämpötila-kombinaatiossa (3×3 = 9 kpl) testattiin neljä satunnaisesti valittua akkua.

Jokaisesta testatusta akusta mitattiin sen latauksen kesto tunteina. Tulokset testistä on annettu alla olevassa taulukossa.

Lämpötila (°F) Latauksen kesto (h) 15 70 125

130 155 34 40 20 70 1

74 180 80 75 82 58

150 188 136 122 25 70 2

159 126 106 115 58 45

138 110 174 120 96 104

Materiaali

3 168 160 150 139 82 60

(a) Mitä vaikutuksia käytetyllä materiaalilla ja lämpötilalla on akun latauksen kestoon?

(b) Onko olemassa materiaalia, josta valmistetun akun latauksen kesto olisi tasaisesti paras kaikissa lämpötiloissa?


Tehtävässä sovelletaan kaksisuuntaista varianssianalyysia.

Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tutkimusasetelma (i) Oletetaan, että haluamme tutkia kahden ryhmittelevän tekijän A ja B vaikutusta vastemuuttujan y keskimääräiseen arvoon.

(ii) Oletetaan, että tekijällä A on I tasoa ja tekijällä B on J tasoa, jolloin havainnot voidaan luokitella ristiin I×J ryhmään.

(iii) Poimitaan kokeen mahdollisten kohteiden joukosta jokaiseen ryhmään satunnaisesti K yksilöä.

(iv) Mitataan vastemuuttujan y arvot.



Havainnot Olkoon

ykij = muuttujan y k. havaintoarvo ryhmässä, jonka määrittelee tekijän A taso i ja tekijän B taso j, k = 1, 2, … , K , i = 1, 2, … , I , j = 1, 2, … , J

Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli ja sen parametrointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisella mallilla on seuraavat ekvivalentit esitysmuodot:

(1) ( ) ( ) ( ) ( )kij i j ij ì j kij ijy yµ µ µ µ µ µ µ µ µ µ= + − + − + − − + + −i i i i

(2) kij ij kijy µ ε= +

(3) ( )kij i j ij kijy µ α β αβ ε= + + + +

k K1,2, , , 1,2, , , 1,2, ,i I j J= = =… … …

J…

Jäännöstermit εkij ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita:

2N(0, )

1,2, , , 1,2, , , 1,2, ,kij

k K i I j

ε σ

= = =

∼… …

Mallissa (1)

1

1

1 1 1 1

1

1

1 1 1

J

ì ijj

I

j iji

I J I J

ij i ji j i j

J

I

IJ I J

µ µ

µ µ

µ µ µ

=

=

= = = =

=

=

= = =

∑

∑

µ∑∑ ∑ ∑

i

i

i i

Mallien (1), (2) ja (3) parametrit toteuttavat seuraavat yhtälöt:

( )

i i

j j

ij ij ì j

kij kij ijy

α µ µβ µ µ

αβ µ µ µ

ε µ

= −

= −

µ= − − +

= −

i

i

i i

Mallin (3) parametrit toteuttavat yhtälöt

1 1 1 1

( ) ( )I J I J

i i ij iji j i j

α β αβ αβ= = = =

= = = =∑ ∑ ∑ ∑ 0



Kaksisuuntaisen varianssianalyysin hypoteesit Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla tarkoitetaan seuraavien nollahypoteesien testaamista:

HAB

: Ei yhdysvaikutusta

HA : Ei A-vaikutusta

HB

: Ei B-vaikutusta

Nämä nollahypoteesit voidaan ilmaista mallin (3) parametrien avulla seuraavassa muodossa:

1 21 2

H : ( ) 0 , 1,2, , , 1,2, ,

H : 0H : 0

AB ij

A I

B J

i I j Jαβ

α α αβ β β

= = =

= = = == = = =

… …$$

Keskiarvot Ryhmän (i, j) havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo eli ryhmäkeskiarvo on

1

1 , 1,2, , , 1,2, ,K

ij kijk

y y i I jK =

= = =∑i … … J

Tekijän A tasoon i liittyvä reunakeskiarvo on

1 1 1

1 1 , 1,2, ,J K J

i kij ijj k j

y y y iJK J= = =

= = =∑∑ ∑i i i … I

Tekijän B tasoon j liittyvä reunakeskiarvo on

1 1 1

1 1 , 1,2, ,I K I

j kij iji k i

y y y jIK I= = =

= = =∑∑ ∑ii i … J

Kaikkien havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo eli yleis- eli kokonaiskeskiarvo on

1 1 1 1 1

1 1I J K I Jkij ij

i j k i j

y yIJK IJ= = = = =

= =∑∑∑ ∑∑iii iy

Varianssianalyysihajotelma

Testit nollahypoteeseille HAB

, HA , H

B perustuvat varianssianalyysihajotelmaan

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

Neliösumma

2 21 1 1

( ) (I J K

kij yi j k

SST y y IJK s= = =

= − =∑∑∑ iii 1)−

kuvaa havaintojen kokonaisvaihtelua.



Neliösumma

2 21 1 1 1

( ) ( )I J K I

i ii j k i

SSA y y JK y y= = = =

= − =∑∑∑ ∑i i iii i i iii−

kuvaa tekijän A osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta eli tekijän A päävaikutusta.

Neliösumma

2 21 1 1 1

( ) ( )I J K J

j ji j k j

SSB y y IK y y= = = =

= − =∑∑∑ ∑ii iii ii iii−

kuvaa tekijän B osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta eli tekijän B päävaikutusta.

Neliösumma

2 21 1 1 1 1

( ) ( )I J K I J

ij i j ij i ji j k i j

SSAB y y y y K y y y y= = = = =

= − − + = − − +∑∑∑ ∑∑i i i i i i i i i i i i i i i i

kuvaa tekijöiden A ja B yhteisvaihtelun osuutta kokonaisvaihtelusta eli tekijöiden A ja B interaktiota.

Neliösumma (jäännösneliösumma)

2 21 1 1 1 1

( ) ( 1)I J K I J

kij ij iji j k i j

SSE y y K s= = = = =

= − = −∑∑∑ ∑∑i

kuvaa ryhmien sisäisen vaihtelun osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta.

Testisuureet Määritellään F-testisuureet

( 1)( 1)( 1)

( 1)( 1)( 1)

( 1)

AB

A

B

IJ K SSABFI J SSE

IJ K SSAFI SSE

IJ K SSBFJ SSE

−= ⋅

− −−

= ⋅−−

= ⋅−

Jos nollahypoteesi

HAB


pätee, niin

(( 1)( 1), ( 1))ABF F I J IJ K− − −∼

Suuret testisuureen FAB arvot johtavat nollahypoteesin HAB hylkäämiseen.



Jos nollahypoteesi


pätee, niin

(( 1), ( 1))AF F I IJ K− −∼

Suuret testisuureen FA arvot johtavat nollahypoteesin HA hylkäämiseen.

Jos nollahypoteesi

HB : Ei B-vaikutusta

pätee, niin

(( 1), ( 1))BF F J IJ K− −∼

Suuret testisuureen FB arvot johtavat nollahypoteesin HB hylkäämiseen.

Kaksisuuntaisen varianssianalyysin testien tulokset ilmaistaan tavallisesti varianssianalyysitaulukon muodossa:

Vaihtelun lähde

Neliö-summa

SS

Vapaus-asteet

df

Varianssi-estimaattori

MS F-testisuure

A SSA I – 1 1

SSAMSAI

=−

MSAFMSE

=

B SSB J – 1 1

SSBMSBJ

=−

MSBFMSE

=

AB SSAB (I – 1)(J – 1) ( 1)( 1SSABMSAB

I J=

)− −MSABFMSE

=

Jäännös SSE IJ(K – 1) ( 1SSEMSE

IJ K=

)−

Kokonais- vaihtelu SST IJK – 1

Varianssianalyysitaulukon neliösummat toteuttavat varianssianalyysihajotelman

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

Lisäksi neliösummiin liittyvät vapausasteet toteuttavat vastaavan yhtälön

IJK – 1 = (I – 1) + (J – 1) + (I – 1)(J – 1) + IJ(K – 1)



Laskutoimitusten järjestely Jos varianssianalyysihajotelman neliösummat SST, SSA, SSB, SSAB, SSE joudutaan laskemaan käsin tai laskimella, kannattaa laskutoimituksissa käyttää alla esitettäviä kaavoja.

Määritellään seuraavat summat:

T y

1

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1,2, , , 1,2, ,

K

ij kijk

J K J

i kij ijj k j

I K I

j kij iji k i

I J K I J I J

kij ij i ji j k i j i j

T y

T y T

T

T y T T

i I j J

=

= = =

= = =

= = = = = = =

=

= =

= =

= = = =

= =

∑

∑∑ ∑

∑∑ ∑

∑∑∑ ∑∑ ∑ ∑

i

i i i

ii i

iii i i i ii

… …

T

Tällöin yllä määritellyt keskiarvot saadaan kaavoilla

1

1

1

1

1,2, , , 1,2, ,

ij ij

i i

j j

y TK

y TJK

y TIK

y TIJK

i I j

=

=

=

=

= =

i i

i i i i

ii ii

iii iii

… … J

Havaintoarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla

2 21 1 1 1 1 1

1( )I J K I J K

kij kiji j k i j k

SST y y y TIJK= = = = = =

= − = −∑∑∑ ∑∑∑iii iii2

Tekijän A päävaikutusta kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla

2 21 1

1 1( )I I

i ii i

SSA JK y y T TJK IJK= =

= − = −∑ ∑i i iii i i iii2

Tekijän B päävaikutusta kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla

2 21 1

1 1( )J I

j jj i

SSB IK y y T TIK IJK= =

= − = −∑ ∑ii iii ii iii2

Tekijöiden A ja B yhdysvaikutusta kuvaava neliösumma kannattaa laskea kahdessa vaiheessa. Lasketaan ensin ryhmäkeskiarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma

2 21 1 1 1

1 1( )I J I J

ij iji j i j

SS K y y T TK IJ= = = =

= − = −∑∑ ∑∑i iii i iii2K



Tällöin

21 1

( )I J

ij i ji j

SSAB K y y y y SS SSA SSB= =

= − − + = −∑∑ i i i i i i i i −

Ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava jäännösneliösumma saadaan kaavalla

SSE = SST – SSAB – SSA – SSB = SST – SS

Käsin tai laskimella laskettaessa havainnot kannattaa järjestää seuraavan taulukon muotoon:

1 2

1 111 211 11 121 221 21 1 1 2 1 1

2 112 212 12 122 222 22 1 2 2 2 2

11 21 1 12 22 2 1 2

, , , , , , , , ,, , , , , , , , ,

, , , , , , , , ,

I

K K I I KI

K K I I KI

J J J K J J J K J IJ IJ KIJ

A A AB y y y y y y y y yB y y y y y y y y y

B y y y y y y y y y

$… … $ …… … $ …

% % % %… … $ …

Tästä taulukosta lasketaan solukohtaiset summat

T y 1

, 1,2, , , 1,2, ,K

ij kijk

i I j=

= = =∑i … … J

ja kaikkien havaintojen neliöiden summa

21 1 1

I J K

kiji j k

y= = =∑∑∑

Solusummat T i, 1,2, , , 1,2, ,ij I j J= =i … … järjestetään seuraavaksi taulukoksi, josta kaikki loput tarvittavista summista saadaan rivi- ja sarakesummina:

1 2

1 11 21 1 1

2 12 22 2 2

1 2

1 2

I

I

I

J J J IJ J

I

A A AB T T T TB T T T T

B T T T TT T T T

Summa

Summa

i i i ii

i i i ii

i i i ii

i i i i i i iii

$$$

% % % % %$$



Tehtävä 8.3. – Ratkaisu:

(a) Tehtävässä havainnot on valmiiksi järjestetty laskutoimitusten kannalta sopivaan muotoon:

Lämpötila (°F) Latauksen kesto (h) 15 70 125

130 155 34 40 20 70 1

74 180 80 75 82 58

150 188 136 122 25 70 2

159 126 106 115 58 45

138 110 174 120 96 104

Materiaali

3 168 160 150 139 82 60

Tässä

A = Lämpötila

B = Materiaali

ja

I = 3

J = 3

K = 4

joten havaintojen kokonaislukumäärä on

N = IJK = 36

Neliösummien laskeminen Lasketaan kaikkien havaintojen neliöiden summa:

21 1 1

478547I J K

kiji j k

y= = =

=∑∑∑

Lasketaan seuraavaksi jokaisesta solusta havaintojen summa ja järjestetään summat taulukoksi, josta lasketaan lisäksi rivi- ja sarakesummat.



Lasketaan solusummat:

T y 4

11 111

130 155 74 180 539kk =

= = + + + =∑i

T y 4

21 211

34 40 80 75 229kk =

= = + + + =∑i

T y 4

31 311

20 70 82 58 230kk =

= = + + + =∑i

T y 4

12 121

150 180 159 126 623kk =

= = + + + =∑i

T y 4

22 221

136 122 106 115 479kk =

= = + + + =∑i

T y 4

32 321

25 70 58 45 198kk =

= = + + + =∑i

T y 4

13 131

138 110 168 160 576kk =

= = + + + =∑i

T y 4

23 231

174 120 150 139 583kk =

= = + + + =∑i

T y 4

33 331

96 104 82 60 342kk =

= = + + + =∑i

Lasketaan rivisummat:

T T 3

1 11

539 229 230 998ii=

= = + + =∑ii i

T T 3

2 21

623 479 198 1300ii=

= = + + =∑ii i

T T 3

3 31

576 583 342 1501ii=

= = + + =∑ii i

Lasketaan sarakesummat:

T T 3

1 11

539 623 576 1738jj=

= = + + =∑i i i

T T 3

2 21

229 479 583 1291jj=

= = + + =∑i i i

T T 3

3 31

230 198 342 770jj=

= = + + =∑i i i



Lasketaan kokonaissumma:

T T 3

1

1738 1291 770 3799ii=

= = + + =∑iii i i

Lämpötila (°F) Tij

15 70 125 Summa

1 539 229 230 998

2 623 479 198 1300 Materiaali

3 576 583 342 1501

Summa 1738 1291 770 3799

Lasketaan kaksisuuntaisen varianssianalyysin varianssianalyysihajotelman neliösummat:

2 2

1 1 1

2

1

1478547 379936

77646.972

I J K

kiji j k

SST y TIJK= = =

= −

= −

=

∑∑∑ iii

2 2

1

2 2 2

1 1

1 1(1738 1291 770 ) 379912 3639118.722

I

ii

SSA T TJK IJK=

= −

= + + −

=

∑ i i iii2

2 2

1

2 2 2

1 1

1 1(998 1300 1501 ) 379912 3610683.722

J

jj

SSB T TIK IJK=

= −

= + + −

=

∑ ii iii2

2 2

1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

1 1(539 623 576 229 479 583 230 198 342 ) 37994 359416.222

I J

iji j

SS T TK IJK= =

= −

= + + + + + + + + −

=

∑∑ i iii2

6



59416.222 39118.722 10683.7229613.778

SSAB SS SSA SSB= − −= − −=

77646.972 59416.22218230.750

SSE SST SSA SSB SSABSST SS

= − − −= −= −=

F-testisuureiden laskeminen Olkoon nollahypoteesina

HAB


Testisuureen FAB arvoksi saadaan

( 1)( 1)( 1)3 3 (4 1) 9613.778

(3 1) (3 1) 18230.7503.56

ABIJ K SSABF

I J SSE−

= ⋅− −⋅ ⋅ −

= ⋅− ⋅ −

=

Jos nollahypoteesi HAB pätee, niin

(( 1)( 1), ( 1)) (4,27)ABF F I J IJ K F− − − =∼

Olkoon nollahypoteesina


Testisuureen FA arvoksi saadaan

( 1)( 1)

3 3 (4 1) 39118.778(3 1) 18230.750

28.97

AIJ K SSAF

I SSE−

= ⋅−

⋅ ⋅ −= ⋅

−=

Jos nollahypoteesi HA pätee, niin

(( 1), ( 1)) (2,27)AF F I IJ K F− − =∼





Testisuureen FB arvoksi saadaan

( 1)( 1)

3 3 (4 1) 10683.722(3 1) 18230.750

7.91

BIJ K SSAF

J SSE−

= ⋅−

⋅ ⋅ −= ⋅

−=

Jos nollahypoteesi HB pätee, niin

(( 1), ( 1)) (2,27)BF F J IJ K F− − =∼

Testien tekeminen Olkoon nollahypoteesina

HAB


Testisuureen arvoksi saatiin

3.56ABF =

Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla

Pr( 3.56) 0.0186F ≥ =

Siten nollahypoteesi HAB voidaan hylätä merkitsevyystasolla 0.05, mutta ei merkitsevyystasolla 0.01.

Taulukoiden mukaan

Pr(F ≥ 2.728) = 0.05

Pr(F ≥ 4.106) = 0.01

jossa

(( 1)( 1), ( 1)) (4,27)F F I J IJ K F− − − =∼

Koska

2.728 < F = < 4.106 3.56AB

voimme todeta (kuten edellä), että nollahypoteesi HAB voidaan hylätä merkitsevyystasolla 0.05, mutta ei merkitsevyystasolla 0.01.






28.97AF =


Pr( 28.97) 0.0001F ≥ <

Siten nollahypoteesi HA voidaan hylätä kaikilla tavanomaisilla merkitsevyystasoilla.

Taulukoiden mukaan

Pr(F ≥ 5.488) = 0.01

jossa

(( 1), ( 1)) (2,27)F F I IJ K F− − =∼

Koska

> 5.488 28.97AF =

voimme todeta, että nollahypoteesi HA voidaan hylätä merkitsevyystasolla 0.01.




7.91BF =


Pr( 7.91) 0.0020F ≥ =

Siten nollahypoteesi HB voidaan hylätä merkitsevyystasolla 0.01, mutta ei merkitsevyystasolla 0.001.

. Taulukoiden mukaan

Pr(F ≥ 5.488) = 0.01

jossa

(( 1), ( 1)) (2,27)F F J IJ K F− − =∼

Koska

> 5.488 7.91BF =

voimme todeta, että nollahypoteesi HB voidaan hylätä merkitsevyystasolla 0.01.



Testien tuloksista voidaan rakentaa seuraava varianssianalyysitaulukko:

Vaihtelun lähde SS df MS F p

A 39118.722 2 19559.361 28.97 < 0.0001

B 10683.722 2 5341.861 7.91 0.0020

AB 9613.777 4 2403.444 3.56 0.0186

E 18230.75 27 675.213

T 77646.972 35

Johtopäätös: Jos käytämme 5 %:n merkitsevyystasoa, voimme hylätä kaikki kaksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesit:

HAB



HB

: Ei B-vaikutusta

Siten akkujen materiaali ja lämpötila vaikuttavat akkujen kestoon ja niillä on yhdysvaikutusta.



Ncss-ohjelma antaa tehtävän 8.3. aineistosta seuraavan tulostuksen:

Analysis of Variance Report Expected Mean Squares Section Source Term Denominator Expected Term DF Fixed? Term Mean Square A: Temp 2 Yes S(AB) S+bsA B: Material 2 Yes S(AB) S+asB AB 4 Yes S(AB) S+sAB S(AB) 27 No S Note: Expected Mean Squares are for the balanced cell-frequency case. Analysis of Variance Table Source Sum of Mean Prob Power Term DF Squares Square F-Ratio Level (Alpha=0.05) A: Temp 2 39118.72 19559.36 28.97 0.000000* 0.999999 B: Material 2 10683.72 5341.861 7.91 0.001976* 0.930055 AB 4 9613.777 2403.444 3.56 0.018611* 0.800929 S 27 18230.75 675.213 Total (Adjusted) 35 77646.97 Total 36 * Term significant at alpha = 0.05 Means and Standard Error Section Standard Term Count Mean Error All 36 105.5278 A: Temp 15 12 144.8333 7.501183 70 12 107.5833 7.501183 125 12 64.16666 7.501183 B: Material 1 12 83.16666 7.501183 2 12 108.3333 7.501183 3 12 125.0833 7.501183 AB: Temp,Material 15,1 4 134.75 12.99243 15,2 4 155.75 12.99243 15,3 4 144 12.99243 70,1 4 57.25 12.99243 70,2 4 119.75 12.99243 70,3 4 145.75 12.99243 125,1 4 57.5 12.99243 125,2 4 49.5 12.99243 125,3 4 85.5 12.99243



Plots Section

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

15 70 125

Means of BatteryLife

Temp

Bat

tery

Life

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

1 2 3


Material

Bat

tery

Life

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

15 70 125


Temp

Bat

tery

Life

Material123



Bonferroni (All-Pairwise) Multiple Comparison Test Response: BatteryLife Term A: Temp Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=27 MSE=675.213 Critical Value=2.552459 Different Group Count Mean From Groups 125 12 64.16666 70, 15 70 12 107.5833 125, 15 15 12 144.8333 125, 70 Planned Comparison: A Linear Trend Response: BatteryLife Term A: Temp Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=27 MSE=675.213 Comparison Value=-57.03995 T-Value=7.604127 Prob>|T|=0.000000 Decision(0.05)=Reject Comparison Standard Error=7.501183 Comparison Group Coefficient Count Mean 15 -0.7071068 12 144.8333 70 0 12 107.5833 125 0.7071068 12 64.16666 Planned Comparison: A Quadratic Trend Response: BatteryLife Term A: Temp Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=27 MSE=675.213 Comparison Value=-2.517531 T-Value=0.3356179 Prob>|T|=0.739753 Decision(0.05)=Accept Comparison Standard Error=7.501183 Comparison Group Coefficient Count Mean 15 0.4082483 12 144.8333 70 -0.8164966 12 107.5833 125 0.4082483 12 64.16666



Bonferroni (All-Pairwise) Multiple Comparison Test Response: BatteryLife Term B: Material Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=27 MSE=675.213 Critical Value=2.552459 Different Group Count Mean From Groups 1 12 83.16666 3 2 12 108.3333 3 12 125.0833 1 Planned Comparison: B Linear Trend Response: BatteryLife Term B: Material Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=27 MSE=675.213 Comparison Value=29.63956 T-Value=3.951318 Prob>|T|=0.000503 Decision(0.05)=Reject Comparison Standard Error=7.501183 Comparison Group Coefficient Count Mean 1 -0.7071068 12 83.16666 2 0 12 108.3333 3 0.7071068 12 125.0833 Planned Comparison: B Quadratic Trend Response: BatteryLife Term B: Material Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=27 MSE=675.213 Comparison Value=-3.43609 T-Value=0.458073 Prob>|T|=0.650565 Decision(0.05)=Accept Comparison Standard Error=7.501183 Comparison Group Coefficient Count Mean 1 0.4082483 12 83.16666 2 -0.8164966 12 108.3333 3 0.4082483 12 125.0833




Tehtävien 8.2, 8.3 laskutoimitusten suorittaminen Microsoft Excel -ohjelmalla:

Tehtävä Tiedosto Tehtävä 8.2. KsHt8.xls > Ht8.2.

Tehtävä 8.3. KsHt8.xls > Ht8.3.

Tehtävän 8.3 laskutoimitusten suorittaminen Ncss-ohjelmalla:

Tehtävä Tiedostot

Tehtävä 8.3. BatteryDesignP176.S0, BatteryDesignP176.S1

Documents

8. harjoitukset / Ratkaisutsalserver.org.aalto.fi/vanhat_sivut/Opinnot/Mat-2.2103/... · 2006. 12. 12. · Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset Mat-2.103