Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 1 ... · Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 1. harjoitukset TKK @ Ilkka Mellin (2008) 3/28 (iii) Vaikka ilmiön lopputilaa

Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 1. harjoitukset

TKK @ Ilkka Mellin (2008)

1/28

Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 1. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Alkeistapahtuma, Alkio, Ehdollinen todennäköisyys, Ehtotapahtuma, Empiirinen todennäköisyys, Erotustapahtuma, Frekvenssi, Frekvenssitulkinta, Joukko, Klassinen todennäköisyys, Koetoisto, Komplementti, Komplementtitapahtuma, Leikkaus, Lukumääräfunktio, Mahdoton tapahtuma, Mitta, Otanta, Otanta palauttaen, Otanta palauttamatta, Otosavaruus, Perusjoukko, Pistevieraus, Riippumattomuus, Sattuma, Satunnaisilmiö, Satunnaiskoe, Satunnaisotanta, Suhteellinen frekvenssi, Suhteellinen osuus, Suotuisa alkeistapahtuma, Symmetrisyys, Tapahtuma, Todennäköisyys, Toisensa poissulkevuus, Tyhjä joukko, Tulosääntö, Unioni, Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Joukko-oppi Joukko ja sen alkiot

Joukko voidaan määritellä luettelemalla sen alkiot. Matematiikassa joukko määritellään tavallisesti antamalla ehto, jonka joukon alkioiden on toteutettava. Joukkoja on aina syytä tarkastella jonkin hyvin määritellyn perusjoukon osajoukkoina.

Jos perusjoukon S alkio x on joukon A alkio eli x kuuluu joukkoon A, niin merkitsemme x A∈

Vastaavasti, jos perusjoukon S alkio x ei ole joukon A alkio eli x ei kuulu joukkoon A, niin merkitsemme x A∉

Jos A on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x) on tosi, niin merkitsemme

{ }| ( )A x S P x= ∈

Jos joukko A on äärellinen ja sen alkiot ovat

a1, a2, … , an

merkitsemme

A = {a1, a2, … , an}

Osajoukko

Olkoot joukot A ja B perusjoukon S osajoukkoja. Jos jokainen joukon A alkio on myös joukon B alkio, joukko A on joukon B osajoukko ja merkitsemme A B⊂ . Siten

, jos ja vain jos A B x A x B⊂ ∈ ⇒ ∈



2/28

Tyhjä joukko

Joukko on tyhjä, jos siinä ei ole yhtään alkiota. Merkitsemme tyhjää joukkoa symbolilla ∅ Tyhjä joukko on kaikkien joukkojen osajoukko. Jos siis A on perusjoukon S mielivaltainen osajoukko, niin

∅ ⊂ A

Joukko-opin perusoperaatiot: yhdiste

Olkoot joukot A ja B perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A ja B unioni eli yhdiste A∪B on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A tai joukkoon B (tai molempiin):

{ }| A B x S x A tai x B∪ = ∈ ∈ ∈

Joukko-opin perusoperaatiot: leikkaus

Olkoot joukot A ja B perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A ja B leikkaus A∩B on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A ja joukkoon B:

{ }| A B x S x A ja x B∩ = ∈ ∈ ∈

Jos

A∩B = ∅

niin sanomme, että joukot A ja B ovat pistevieraita.

Joukko-opin perusoperaatiot: komplementti

Olkoon joukko A perusjoukon S osajoukko. Joukon A komplementti Ac on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka eivät kuulu joukkoon A:

{ }|cA x S x A= ∈ ∉

Joukko-opin perusoperaatiot: erotus

Olkoot joukot A ja B perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A ja B erotus A\B on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A, mutta eivät kuulu joukkoon B:

A\B = { }| x x A ja x B∈ ∉

Selvästi

A\B = A∩Bc

Todennäköisyys ja sen määritteleminen Satunnaisilmiö

Reaalimaailman ilmiö on stokastinen ilmiö eli satunnaisilmiö, jos sillä on seuraavat ominaisuudet:

(i) Ilmiö voi päätyä alkutilastaan useisiin erilaisiin lopputiloihin eli ilmiöllä on useita erilaisia vaihtoehtoisia tuloksia.

(ii) Ilmiön alkutilan perusteella ei voida tarkasti ennustaa ilmiön lopputilaa eli sitä, mikä mahdollisista tulosvaihtoehdoista realisoituu eli toteutuu.



3/28

(iii) Vaikka ilmiön lopputilaa ei voida ennustaa tarkasti, tulosvaihtoehtojen suhteellisten frekvenssien eli osuuksien nähdään ilmiön toistuessa käyttäytyvän säännönmukaisesti.

Kutsumme satunnaisilmiötä usein satunnaiskokeeksi ja satunnaisilmiön esiintymiskertaa koetoistoksi.

Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet

Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet ovat otosavaruus, tapahtuma ja alkeistapahtuma:

(i) Sanomme, että satunnaisilmiön tulosvaihtoehto on alkeistapahtuma, jos satunnaisilmiötä ei voida ”purkaa” sitä alkeellisempiin tulosvaihtoehtoihin

(ii) Kutsumme satunnaisilmiön kaikkien alkeistapahtumien muodostamaa joukkoa otos- avaruudeksi.

(iii) Satunnaisilmiön tapahtumat ovat satunnaisilmiön alkeistapahtumien muodostamia otosavaruuden osajoukkoja.

Kun sanomme, että jokin tapahtuma sattuu, tarkoitamme aina sitä, että jokin tapahtumaan liittyvistä alkeistapahtumista sattuu.

Todennäköisyyslaskennan ja joukko-opin peruskäsitteet vastaavat seuraavalla tavalla toisiaan:

Otosavaruus ↔ Perusjoukko

Alkeistapahtuma ↔ Perusjoukon alkio

Tapahtuma ↔ Perusjoukon osajoukko

Todennäköisyys ja sen perusominaisuudet

Olkoon A jokin otosavaruuden S tapahtuma eli olkoon

A ⊂ S

Todennäköisyys Pr(⋅) on joukkofunktio, joka liittää tapahtumaan A reaaliluvun:

Pr( )A ∈

Todennäköisyyden perusominaisuudet:

(i) Olkoon tapahtuma A jokin otosavaruuden S tapahtuma. Tällöin

0 ≤ Pr(A) ≤ 1

(ii) Tyhjä joukko ∅ ja mahdoton tapahtuma samaistetaan ja

Pr(∅) = 0

(iii) Otosavaruus S ja varma tapahtuma samaistetaan ja

Pr(S) = 1

Lukumääräfunktio

Olkoon

( )An n A=

funktio, joka kertoo joukon A alkioiden lukumäärän. Jos siis

1 2{ , , , }kA a a a= …



4/28

on äärellinen joukko, jonka alkioiden lukumäärä on k, niin

( )An n A k= =

Kutsumme funktiota ( )n ⋅ lukumääräfunktioksi.

Klassinen todennäköisyys

Oletetaan, että äärellisen otosavaruuden

S = {s1, s2, … , sn}

alkeistapahtumat

si , i = 1, 2, … , n

ovat symmetrisiä eli yhtä todennäköisiä ja olkoon tapahtuma A otosavaruuden S osajoukko. Tällöin tapahtuman A klassinen todennäköisyys Pr(A) saadaan määräämällä tapahtumalle A suotuisien alkeistapahtumien suhteellinen osuus kaikista alkeistapahtumista eli

Pr(A) = n(A)/n(S)

jossa

n(A) = tapahtumalle A suotuisien alkeistapahtumien lukumäärä

= joukkoon A kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä

ja

n(S) = kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien lukumäärä

= otosavaruuteen S kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä

Empiirinen todennäköisyys

Tarkastellaan satunnaiskoetta, jota voidaan toistaa siten, että seuraavat ehdot pätevät:

(i) Kokeen olosuhteet säilyvät muuttumattomina koetoistosta toiseen.

(ii) Koetoistot ovat riippumattomia siinä mielessä, että yhdenkään koetoiston tulos ei riipu siitä mitä tuloksia muista koetoistoista saadaan.

Tarkkaillaan tapahtuman A esiintymistä koetoistojen aikana. Jos tapahtuman A suhteellinen frekvenssi eli osuus koetoistoista lähestyy jotakin kiinteätä lukua koetoistojen lukumäärän kasvaessa rajatta, lukua kutsutaan tapahtuman A empiiriseksi todennäköisyydeksi.

Oletetaan, että satunnaiskoetta toistetaan n kertaa. Olkoon fA tapahtuman A frekvenssi eli luku-määrä koetoistojen joukossa. Tällöin

Afn

on tapahtuman A suhteellinen frekvenssi eli suhteellinen osuus koetoistojen joukossa. Jos koetoistojen lukumäärän n annetaan kasvaa rajatta ja tällöin (jossakin mielessä)

AA

f pn→

niin luku pA on tapahtuman A empiirinen todennäköisyys.



5/28

Todennäköisyys mittana

Todennäköisyys on mitta, joka mittaa satunnaisilmiön tapahtumavaihtoehtojen sattumisen mahdollisuutta.

Todennäköisyyden frekvenssitulkinta

Oletetaan, että toistamme jotakin satunnaiskoetta ja tarkkailemme jonkin tapahtuman suhteellisen frekvenssin käyttäytymistä koetoistojen aikana. Todennäköisyyden frekvenssitulkinnan mukaan ko. tapahtuman suhteellinen frekvenssi vaihtelee satunnaisesti koetoistosta toiseen, mutta saa keski-määrin ko. tapahtuman todennäköisyyttä lähellä olevia arvoja. Vahvistavatko havainnot tämän on empiirinen kysymys.

Olkoon tapahtuman A todennäköisyys

Pr(A) = p

Oletetaan, että sitä satunnaiskoetta, jonka tulosvaihtoehtona tapahtuma A on, toistetaan n kertaa. Tällöin todennäköisyyden frekvenssitulkinnasta seuraa, että on odotettavissa, että tapahtuman A frekvenssi fA on lähellä lukua

np

Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Todennäköisyyslaskennan perusoperaatiot

Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöillä tarkoitetaan laskusääntöjä, joilla jonkin ns. johdetun tapahtuman todennäköisyys saadaan määrätyksi jonkin tai joidenkin toisten tapahtumien toden-näköisyyksien avulla. Johdetut tapahtumat muodostetaan joukko-opin perusoperaatioilla toisista tapahtumista.

Todennäköisyyslaskennan ja joukko-opin perusoperaatiot vastaavat seuraavalla tavalla toisiaan:

Tapahtuma A ei satu eli tapahtuman A komplementtitapahtuma sattuu

↔ Joukon A komplementti Ac

Tapahtuma A sattuu tai tapahtuma B sattuu tai molemmat sattuvat

↔ Joukkojen A ja B unioni eli yhdiste A∪B

Tapahtuma A sattuu ja tapahtuma B sattuu

↔ Joukkojen A ja B leikkaus A∩B

Tapahtuma A sattuu ja tapahtuma B ei satu

↔ Joukkojen A ja B erotus A\B

Komplementtitapahtuman todennäköisyys

Olkoon tapahtuma A otosavaruuden S osajoukko. Joukon A komplementtitapahtuman

{ }|cA x S x A= ∈ ∉

todennäköisyys on

Pr(Ac) = 1 – Pr(A)



6/28

Yhdisteen todennäköisyys

Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Tällöin

Pr(A∪B)

on todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu tai tapahtuma B sattuu tai molemmat sattuvat.

Leikkauksen todennäköisyys.

Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Tällöin

Pr(A∩B)

on todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu ja tapahtuma B sattuu.

Yleinen yhteenlaskusääntö

Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan

Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B)

Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusääntö

Jos tapahtumat A ja B eivät voi sattua samanaikaisesti eli ovat toisensa poissulkevia, niin

A∩B = ∅

Siten toisensa poissulkevat tapahtumat ovat joukkoina pistevieraita. Jos tapahtumat A ja B ovat toisensa poissulkevia eli A∩B = ∅, niin pätee toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlasku-sääntö

Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B)

Olkoot A1, A2, … , Ak pareittain toisensa poissulkevia, jolloin Ai∩Aj = ∅, kun i ≠ j. Tällöin yhdisteen

A1∪A2∪ ··· ∪Ak = ”A1 tai A2 tai … tai Ak sattuu”

todennäköisyys on

Pr(A1∪A2∪ ··· ∪Ak) = Pr(A1) + Pr(A2) + ··· + Pr(Ak)

Ehdollinen todennäköisyys

Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Tällöin tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma B on sattunut saadaan kaavalla

Pr( )Pr( | )Pr( )A BA B

B∩

=

jossa Pr(A∩B) on todennäköisyys, että tapahtuma A ja tapahtuma B ovat sattuneet eli Pr(A∩B) on tapahtumien A ja B leikkauksen todennäköisyys.

Yleinen tulosääntö

Yleisen tulosäännön mukaan

Pr(A∩B) = Pr(A|B)Pr(B)

Tarkastellaan tapahtumia A1, A2, … , Ak . Tällöin leikkauksen

A1∩A2∩ ··· ∩Ak = ”A1 ja A2 ja … ja Ak sattuvat”



7/28

todennäköisyys on

1 2

1 2 1 3 1 2 1 2 1

Pr( )Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( )

k

k k

A A AA A A A A A A A A A −

∩ ∩ ∩

= × × ∩ × × ∩ ∩ ∩

Riippumattomuus ja riippumattomien tapahtumien tulosääntö

Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos ja vain jos riippumattomien tapahtumien tulosääntö

Pr( ) Pr( ) Pr( )A B A B∩ =

pätee. Riippumattomien tapahtumien tulosääntö on yhtäpitävä sen kanssa, että

Pr( | ) Pr( )A B A=

Tarkastellaan tapahtumia A1, A2, … , Ak . Jos tapahtumat A1, A2, … , Ak ovat riippumattomia, niin pätee riippumattomien tapahtumien tulosäännön yleistys

1 2 1 2 3Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( )k kA A A A A A A∩ ∩ ∩ =

Satunnaisotanta ja tulosääntö

Olkoon perusjoukko S äärellinen. Yksinkertaisessa satunnaisotannassa perusjoukosta S poimitaan osajoukko B arpomalla perusjoukosta alkioita osajoukkoon B yksi alkio kerrallaan. Osajoukkoa B kutsutaan otokseksi ja arvonnassa käytettyä menetelmää otantamenetelmäksi.

Tarkastellaan todennäköisyyttä saada otokseen B alkioita perusjoukon S osajoukosta A. Jos otanta tehdään ilman takaisinpanoa eli palauttamatta poimittua alkiota takaisin perusjoukkoon, poiminta-todennäköisyyksiä määrättäessä on sovellettava yleistä tulosääntöä. Jos otanta tehdään takaisin-panolla eli palauttamalla poimittu alkio aina takaisin perusjoukkoon, poimintatodennäköisyyksiä määrättäessä on sovellettava riippumattomien tapahtumien tulosääntöä.



8/28

Tehtävä 1.1. Virheetöntä noppaa heitettäessä jokaisella silmäluvulla 1, 2, 3, 4, 5, 6 on sama toden-

näköisyys tulla tulokseksi. Jos virheetöntä noppaa heitetään kaksi kertaa, heittotuloksiin liittyvä perusjoukko voidaan määritellä kaavalla

S = {(x, y) | x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6}

jossa x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Perusjoukkoa S voidaan kuvata seuraavalla lukukaaviolla:

1. heiton tulos x (x, y) 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

2. heiton tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

Virheettömän nopan tapauksessa voimme ajatella, että jokaisella heittotulosten parilla (x, y), x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 on sama todennäköisyys tulla tulokseksi.

Määritellään joukot

A = {(x, y) ∈ S | x = 2}

B = {(x, y) ∈ S | y > 4}

C = {(x, y) ∈ S | x + y = 7}

D = {(x, y) ∈ S | x – y = 2}

E = {(x, y) ∈ S | x – y ≤ 2}

Merkitse otosavaruutta S kuvaavaan kaavioon seuraavat joukot:

(a) A, B, C, D, E

(b) A ∪ C = Joukkojen A ja C yhdiste

(c) B ∩ D = Joukkojen B ja D leikkaus

Tehtävä 1.1. – Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan joukkojen määrittelemistä ja havainnollistamista sekä joukko-

opin perusoperaatioita yhdiste ja leikkaus.

Tehtävä 1.1. – Ratkaisu: Tehtävässä 1.1. määriteltyjä joukkoja vastaavat lukuparit (x, y) on varjostettu alla oleviin

lukukaavioihin.



9/28

(a) A = {(x, y) ∈ S | x = 2}

1. heiton tulos x (x, y) 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

2. heiton tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) B = {(x, y) ∈ S | y > 4}

1. heiton tulos x (x, y) 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

2. heiton tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) C = {(x, y) ∈ S | x + y = 7}

1. heiton tulos x (x, y) 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

2. heiton tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) D = {(x, y) ∈ S | x – y = 2}

1. heiton tulos x (x, y) 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

2. heiton tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)



10/28

E = {(x, y) ∈ S | x – y ≤ 2}

1. heiton tulos x (x, y) 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

2. heiton tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

(b) A ∪ C = {(x, y) ∈ S | (x, y) ∈ A tai (x, y) ∈ C}

1. heiton tulos x (x, y) 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

2. heiton tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

(c) B ∩ D = {(x, y) ∈ S | (x, y) ∈ B ja (x, y) ∈ D} = ∅

1. heiton tulos x (x, y) 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

2. heiton tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

Tehtävä 1.2. Tehtävä 1.2. on jatkoa tehtävälle 1.1. Merkitse perusjoukkoa S kuvaavaan kaavioon seuraavat

joukot:

(a) Ec = Joukon E komplementti

(b) B \ C = Joukkojen B ja C erotus

(c) C \ B = Joukkojen C ja B erotus



11/28

Tehtävä 1.2. – Mitä opimme? Tehtävä on jatkoa tehtävälle 1.1. ja siinä tarkastellaan joukkojen määrittelemistä ja

havainnollistamista sekä joukko-opin perusoperaatioita komplementti ja erotus.

Tehtävä 1.2. – Ratkaisu: Tehtävässä 1.2. määriteltyjä joukkoja vastaavat lukuparit (x, y) on varjostettu alla oleviin

lukukaavioihin.

(a) Ec = {(x, y) ∈ S | (x, y) ∉ E}

1. heiton tulos x (x, y) 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

2. heiton tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

(b) B \ C = {(x, y) ∈ S | (x, y) ∈ B ja (x, y) ∉ C}

1. heiton tulos x (x, y) 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

2. heiton tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

(c) C \ B = {(x, y) ∈ S | (x, y) ∈ C ja (x, y) ∉ B}

1. heiton tulos x (x, y) 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

2. heiton tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)



12/28

Tehtävä 1.3. Tehtävä 1.3. on jatkoa tehtävälle 1.1. Määrää todennäköisyydet tehtävän 1.1. kohdissa (a) –

(c) määritellyille tapahtumille.

Tehtävä 1.3. – Mitä opimme? Tehtävä on jatkoa tehtävälle 1.2. ja siinä tarkastellaan todennäköisyyslaskennan ja

joukko-opin peruskäsiteiden ja –operaatioiden vastaavuutta sekä klassisen toden-näköisyyden käsitettä.

Tehtävä 1.3. – Ratkaisu: Jos virheetöntä noppaa heitetään yhden kerran, jokaisella silmäluvulla 1, 2, 3, 4, 5, 6 on

sama todennäköisyys tulla tulokseksi. Siten silmälukujen 1, 2, 3, 4, 5, 6 muodostamat alkeis-tapahtumat ovat symmetrisiä. Jos siis x on nopanheiton tulos, niin virheettömän nopan tapauksessa

Pr(x) = 1/6, x = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Jos virheetöntä noppaa heitetään kaksi kertaa, on järkevää ajatella, että jokaisella silmä-lukujen parilla

(x, y) , x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6

jossa

x = tulos 1. nopan heitosta

y = tulos 2. nopan heitosta

on sama todennäköisyys tulla tulokseksi. Siten silmälukujen 1, 2, 3, 4, 5, 6 muodostamat alkeistapahtumien parit (x, y) ovat symmetrisiä ja

Pr(x, y) = 1/36 , x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Klassisen todennäköisyyden määritelmän mukaan tapahtuman A todennäköisyys Pr(A) saadaan määräämällä tapahtumalle A suotuisien alkeistapahtumien suhteellinen osuus kaikista alkeistapahtumista. Siten

Pr(A) = n(A)/n(S)

jossa

n(A) = tapahtumalle A suotuisien alkeistapahtumien lukumäärä

= joukkoon A kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä

n(S) = kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien lukumäärä

= otosavaruuteen S kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä

Tehtävän 1.1. otosavaruus on

S = {(x, y) | x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6}

jossa x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Otosavaruudessa S on 36 alkiota, joten

n(S) = 36



13/28

(a) Koska n(A) = 6, niin

Pr(A) = n(A)/n(S) = 6/36 = 1/6

Koska n(B) = 12, niin

Pr(B) = n(B)/n(S) = 12/36 = 1/3

Koska n(C) = 6, niin

Pr(C) = n(C)/n(S) = 6/36 = 1/6

Koska n(D) = 4, niin

Pr(D) = n(D)/n(S) = 4/36 = 1/9

Koska n(E) = 30, niin

Pr(E) = n(E)/n(S) = 30/36 = 5/6

(b) Koska n(A∪C) = 11, niin

Pr(A∪C) = n(A∪C)/n(S) = 11/36

Sama tulos saadaan tietysti myös yleisen yhteenlaskusäännön

Pr(A∪C) = Pr(A) + Pr(C) − Pr(A∩C)

avulla:

Kohdan (a) mukaan

Pr(A) = 1/6

Pr(C) = 1/6

ja koska

A∩C = {(2,5)}

niin

Pr(A∩C) = 1/36

Siten

Pr(A∪C) = Pr(A) + Pr(C) − Pr(A∩C) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36

(c) Koska B∩D = ∅, niin

Pr(B∩D) = Pr(∅) = 0

Tehtävä 1.4. Tehtävä 1.3. on jatkoa tehtävälle 1.2. Määrää todennäköisyydet tehtävän 1.2. kohdissa (a) –

(c) määritellyille tapahtumille.



14/28

Tehtävä 1.4. – Mitä opimme? Tehtävä on jatkoa tehtävälle 1.2. ja siinä tarkastellaan todennäköisyyslaskennan ja

joukko-opin peruskäsiteiden ja –operaatioiden vastaavuutta sekä klassisen toden-näköisyyden käsitettä; ks. myös tehtävää 1.3.

Tehtävä 1.4. – Ratkaisu: Otosavaruudessa S on 36 alkiota, joten

n = n(S) = 36

(a) Koska n(Ec ) = 6, niin

Pr(Ec ) = n(Ec)/n(S) = 6/36 = 1/6

Sama tulos saadaan tietysti myös komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan

Pr(Ec) = 1 – Pr(E)

avulla: Koska

Pr(E) = 30/36 = 5/6

niin

Pr(Ec) = 1 – Pr(E) = 1 – 5/6 = 1/6

(b) Koska n(B \ C) = 10, niin

Pr(B \ C) = 10/36 = 5/18

(c) Koska n(C \ B) = 4, niin

Pr(C \ B) = 4/36 = 1/9

Tehtävä 1.5. Tehtävä 1.5. on jatkoa tehtävälle 1.1. Tarkastellaan silmälukujen summaa

z = x + y

jossa x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Määritellään lisäksi tapahtumat

A = {Summa on 1}

B = {Summa on 11}

C = {1. nopanheitolla saadaan 2}

D = {1. nopanheitolla saadaan 5}

(a) Määrää silmälukujen summan z = x + y otosavaruus.

(b) Määrää tapahtuman A todennäköisyys.

(c) Määrää tapahtuman B todennäköisyys.

(d) Määrää tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys, kun tapahtuma C on sattunut.



15/28

(e) Määrää tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys, kun tapahtuma D on sattunut.

Tehtävä 1.5. – Mitä opimme? Tehtävä on jatkoa tehtävälle 1.1. ja siinä tarkastellaan ehdollisen todennäköisyyden

käsitettä.

Tehtävä 1.5. – Ratkaisu: 1. nopanheittoon liittyvä otosavaruus: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. nopanheittoon liittyvä otosavaruus: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Muodostetaan silmälukujen x ja y mahdollisia summia

z = x + y

kuvaava aputaulukko:

1. heiton tulos x z = x + y 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11

2. heiton tulos y

6 7 8 9 10 11 12

(a) Aputaulukosta nähdään, että kahden nopanheiton silmälukujen summan otosavaruus on

{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla (ks. tehtävää 1.3.) yo. aputaulukosta saadaan summille

z = x + y

seuraavat todennäköisyydet:

z 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Pr 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

(b) Koska tapahtuma

A = {Summa on 1}

on mahdoton, niin

Pr(A) = Pr(∅) = 0



16/28

(c) Tapahtuma

B = {Summa on 11}

voi tulla tulokseksi täsmälleen kahdella tavalla:

(1) 1. heitolla saadaan 6 ja 2. heitolla saadaan 5

(2) 1. heitolla saadaan 5 ja 2. heitolla saadaan 6

Koska nämä tavat ovat toisensa poissulkevia ja kummankin todennäköisyys on 1/36, saadaan tapahtuman B todennäköisyydeksi toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön perusteella:

Pr(B) = 1/36 + 1/36 = 2/36 = 1/18

(d) Summaksi ei voi tulla 11, jos 1. heitolla saadaan 2, joten tapahtuma B on mahdoton, jos C on sattunut. Siten ehdollinen todennäköisyys

Pr(B|C) = 0

Sama tulos saadaan tietysti myös ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä:

Pr(B|C) = Pr(B∩C)/Pr(C)

Koska tapahtumat B ja C ovat toisensa poissulkevia,

B∩C = ∅

Siten

Pr(B∩C) = 0

jolloin

Pr(B|C) = 0

(e) Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella:

Pr(B|D) = Pr(B∩D)/Pr(D) = (1/36)/(1/6) = 1/6

Tehtävä 1.6. Tehtävä 1.6. on jatkoa tehtävälle 1.1. Tarkastellaan 1. ja 2. nopanheiton silmälukujen erotusta

z = x – y

jossa x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Olkoon

A = {1. nopalla saadaan 6}

B = {2. nopalla saadaan 6}

C = {Erotus on 2}

(a) Määrää silmälukujen erotuksen z = x – y otosavaruus.

(b) Määrää ehdollinen todennäköisyys

Pr(A | B)



17/28

ja vertaa sitä tapahtuman A todennäköisyyteen. Ovatko tapahtumat A ja B riippumattomia?

(c) Määrää ehdollinen todennäköisyys

Pr(C | A )

ja vertaa sitä tapahtuman C todennäköisyyteen. Ovatko tapahtumat C ja A riippumattomia?

(d) Määrää ehdollinen todennäköisyys

Pr(C | B )

ja vertaa sitä tapahtuman C todennäköisyyteen. Ovatko tapahtumat C ja B riippumattomia?

Tehtävä 1.6. – Mitä opimme? Tehtävä on jatkoa tehtävälle 1.1. ja siinä tarkastellaan ehdollisen todennäköisyyden

käsitettä; ks. myös tehtävää 1.5.

Tehtävä 1.6. – Ratkaisu: 1. heiton tulokseen x liittyvä otosavaruus on

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. heiton tulokseen y liittyvä otosavaruus on

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Muodostetaan silmälukujen x ja y mahdollisia erotuksia

z = x – y

kuvaava aputaulukko:

1. heiton tulos x z = x – y 1 2 3 4 5 6

1 0 1 2 3 4 5 2 –1 0 1 2 3 4 3 –2 –1 0 1 2 3 4 –3 –2 –1 0 1 2 5 –4 –3 –2 –1 0 1

2. heiton tulos y

6 –5 –4 –3 –2 –1 0

(a) Aputaulukosta nähdään, että kahden nopan heiton silmälukujen erotuksen

z = x – y

otosavaruus on

{–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

Klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla (ks. tehtävää 1.3.) aputaulukosta saadaan erotuksille

z = x – y



18/28

seuraavat todennäköisyydet:

z –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

Pr 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

(b) Käyttämällä apuna tehtävän 1.1. otosavaruutta

S = {(x, y) | x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6}

kuvaavaa taulukkoa

1. heiton tulos x (x, y) 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

2. heiton tulos y

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

on helppo nähdä klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla, että

Pr(A) = n(A)/n(S) = 6/36 = 1/6

Pr(B) = n(B)/n(S) = 6/36 = 1/6

Koska

A∩B = {1. nopalla saadaan 6 ja 2. nopalla saadaan 6}

niin

Pr(A∩B) = n(A∩B)/n(S) = 1/36

Siten ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella nähdään, että

Pr(A|B) = Pr(A∩B)/Pr(B) = (1/36)/(1/6) = 1/6

Koska

Pr(A|B) = Pr(A) = 1/6

tapahtumat A ja B ovat riippumattomia.

Tehtävän voi ratkaista myös käyttämällä apuna ennen (a)-kohdan ratkaisua esitettyä taulukkoa rajoittumalla tarkastelemaan niitä soluja, joissa 2. nopalla saadaan 6. Näitä soluja on 6 ja täsmälleen yksi niistä vastaa sitä, että 1. nopalla on saatu 6. Siten suoraan klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla

Pr(A|B) = 1/6

Huomautus: Vaikka tehtävä voidaan siis ratkaista käyttämällä ym. aputaulukkoa, on syytä oppia käyttämään ehdollisen todennäköisyyden kaavaa. Alkeistapahtumien taulukointi ja niiden lukumäärien laskeminen ei ole helppoa, jos otosavaruus on iso ja se on jopa mahdotonta, jos otosavaruus on ääretön.



19/28

(c) Tehtävässä kysytään ehdollista todennäköisyyttä tapahtumalle

C = {(x, y) ∈ S | z = x – y = 2}

kun tapahtuma

A = {x = 6}

on sattunut.

Kohdan (b) otosavaruutta S kuvaavasta taulukosta on helppo nähdä seuraavaa: Jos tapahtuma A on sattunut, niin erotus z = x – y voi saada arvon 2 vain silloin, kun y saa arvon 4. Siten

Pr(C|A) = 1/6

Sama tulos saadaan myös ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella:

Pr(C|A) = Pr(C∩A)/Pr(A) = (1/36)/(1/6) = 1/6

Koska

Pr(C) = 1/4 ≠ Pr(C|A)

tapahtumat C ja A eivät ole riippumattomia.

(d) Tehtävässä kysytään ehdollista todennäköisyyttä tapahtumalle

C = {(x, y) ∈ S | z = x – y = 2}

kun tapahtuma

B = {y = 6}

on sattunut.

Kohdan (b) otosavaruutta S kuvaavasta matriisista on helppo nähdä seuraavaa: Jos tapahtuma B on sattunut, niin erotus z = x – y ei voi saada arvoa 2. Siten

Pr(C|B) = 0

Sama tulos saadaan myös ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella:

Pr(C|B) = Pr(C∩B)/Pr(B) = (0/36)/(1/6) = 0/6 = 0

Tehtävä 1.7. Olkoot Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.3. Määrää tapahtuman A∪B todennäköisyys, kun

(a) Pr(A∩B) = 0.1

(b) A ja B ovat toisensa poissulkevia

(c) A ja B ovat riippumattomia

(d) Pr(A | B) = 0.1

Tehtävä 1.7. – Mitä opimme?



20/28

Tehtävässä on tarkastellaan yleistä yhteenlaskusääntöä, toisensa poissulkevuuden ja riippumattomuuden käsitteitä sekä ehdollisen todennäköisyyden määritelmää.

Tehtävä 1.7. – Ratkaisu: Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan


(a) Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.3. Jos Pr(A∩B) = 0.1, niin

Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B) = 0.5 + 0.3 − 0.1 = 0.7

(b) Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.3. Jos A ja B ovat toisensa poissulkevia, niin A∩B = ∅. Tällöin

Pr(A∩B) = Pr(∅) = 0

koska mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla. Siten


= Pr(A) + Pr(B)

= 0.5 + 0.3 − 0 = 0.8

(c) Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.3. Jos A ja B ovat riippumattomia, niin riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan

Pr(A∩B) = Pr(A)Pr(B)

Siten


= Pr(A) + Pr(B) − Pr(A)Pr(B)

= 0.5 + 0.3 − 0.5×0.3 = 0.65

(d) Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.3. Yleisen tulosäännön mukaan

Pr(A∩B) = Pr(A|B)Pr(B)

Siten


= Pr(A) + Pr(B) − Pr(A|B)Pr(B)

= 0.5 + 0.3 − 0.1×0.3 = 0.77



21/28

Tehtävä 1.8. Olkoot Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Yritä määrätä tapahtuman A∪B todennäköisyys, kun

(a) Pr(A∩B) = 0.1

(b) A ja B ovat toisensa poissulkevia

(c) A ja B ovat riippumattomia

(d) Pr(A|B) = 0.1

Milloin tämä on mahdollista?

Tehtävä 1.8. – Mitä opimme? Tehtävässä on tarkastellaan yleistä yhteenlaskusääntöä, toisensa poissulkevuuden ja

riippumattomuuden käsitteitä sekä ehdollisen todennäköisyyden määritelmää; ks. myös tehtävää 1.7.

Tehtävä 1.8. – Ratkaisu: Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan


(a) Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Jos Pr(A∩B) = 0.1, niin

Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B) = 0.5 + 0.6 − 0.1 = 1

(b) Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Jos A ja B ovat toisensa poissulkevia, niin A∩B = ∅. Tällöin

Pr(A∩B) = Pr(∅) = 0

koska mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla. Siten

Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B) = 0.5 + 0.6 − 0 = 1.1 > 1

mikä on mahdotonta. Annetut tiedot ovat selvästi ristiriitaisia.

(c) Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Jos A ja B ovat riippumattomia, niin riippumattomien tapahtuman tulosäännön mukaan

Pr(A∩B) = Pr(A)Pr(B)

Siten


= Pr(A) + Pr(B) − Pr(A)Pr(B)

= 0.5 + 0.6 − 0.5×0.6 = 0.8

(d) Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Yleisen tulosäännön mukaan

Pr(A∩B) = Pr(A|B)Pr(B).



22/28

Siten


= Pr(A) + Pr(B) − Pr(A|B)Pr(B)

= 0.5 + 0.6 − 0.1×0.6 = 1.04 > 1

mikä on mahdotonta. Annetut tiedot ovat selvästi ristiriitaisia.

Tehtävä 1.9. Uurnassa on 3 valkoista ja 7 mustaa palloa.

(a) Poimitaan uurnasta satunnaisesti kaksi palloa takaisinpanolla eli palauttaen. Tällöin uurnasta nostetaan palloja yksi pallo kerrallaan ja jokainen nostettu pallo palautetaan ennen seuraavan pallon nostoa takaisin uurnaan. Mikä on todennäköisyys, että toisena nostettu pallo on valkoinen, jos ensimmäisenä nostettu pallo on ollut musta?

(b) Poimitaan uurnasta satunnaisesti kaksi palloa ilman takaisinpanoa palauttamatta. Tällöin uurnasta nostettuja palloja ei palauteta takaisin uurnaan. Mikä on toden- näköisyys, että toisena nostettu pallo on valkoinen, jos ensimmäisenä nostettu pallo on ollut musta?

Tehtävä 1.9. – Mitä opimme? Tehtävässä havainnollistetaan ehdollisen todennäköisyyden ja riippumattomuuden

käsitteitä sekä yleisen tulosäännön ja riippumattomien tapahtumien tulosäännön soveltamista yksinkertaiseen satunnaisotantaan.

Yksinkertaisessa satunnaisotannassa poiminta ilman takaisinpanoa eli palauttamatta tapahtuu niin, että poimittua objektia ei palauteta takaisin poimittavien joukkoon, jolloin sama objekti voi tulla poimituksi otokseen vain kerran.

Yksinkertaisessa satunnaisotannassa poiminta takaisinpanolla eli palauttaen tapahtuu niin, että jokainen poimittu objekti palautetaan poimimisen jälkeen välittömästi takaisin poimittavien joukkoon, jolloin sama objekti voi tulla poimituksi otokseen useita kertoja.

Tehtävä 1.9. – Ratkaisu: Poimitaan kaksi palloa uurnasta, jossa on 4 valkoista ja 7 mustaa palloa.

Olkoon

Ai = {i. pallo on musta}

Bi = {i. pallo on valkoinen} = Aic

(a) Suoraan klassisen todennäköisyyden määritelmän perusteella

Pr(A1) = 7/10

Koska poiminta tapahtuu takaisinpanolla, tapahtumat A1 ja B2 ovat riippumattomia. Siten ehdollinen todennäköisyys

Pr(B2|A1) = Pr(B2) = 3/10



23/28

mikä nähdään todeksi huomaamalla, että toista palloa nostettaessa uurnassa on edelleen 10 palloa, joista 3 on valkoista.

(b) Suoraan klassisen todennäköisyyden määritelmän perusteella

Pr(A1) = 7/10

Koska poiminta tapahtuu ilman takaisinpanoa, tapahtumat A1 ja B2 eivät ole riippumattomia ja siten ehdollinen todennäköisyys

Pr(B2|A1) = 3/9

mikä nähdään todeksi huomaamalla, että toista palloa nostettaessa uurnassa on enää 9 palloa, joista 3 on valkoista.

Tehtävä 1.10. Uurnassa on 5 punaista ja 7 sinistä palloa.

(a) Poimit uurnasta satunnaisesti kolme palloa takaisinpanolla. Mikä on todennäköisyys, että saat kolme punaista palloa?

(b) Poimit uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa. Mikä on toden- näköisyys, että saat kolme punaista palloa?

(c) Poimit uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa. Mikä on toden- näköisyys, että viimeisenä poimittava pallo on punainen, jos kaksi edellistä ovat olleet sinisiä?


käsitteitä sekä yleisen tulosäännön ja riippumattomien tapahtumien tulosäännön soveltamista yksinkertaiseen satunnaisotantaan; ks. myös tehtävää 1.9.

Tehtävä 1.10. – Ratkaisu: Poimitaan kolme palloa uurnasta, jossa on 5 punaista ja 7 sinistä palloa.

Olkoon

Ai = {i. pallo on punainen}

Aic = {i. pallo on sininen}

(a) Kysytty todennäköisyys on

Pr(A1∩A2∩A3)

Koska poiminta tapahtuu takaisinpanolla, tapahtumat A1, A2 ja A3 ovat riippumattomia. Siten riippumattomien tapahtumien tulosäännön perusteella

Pr(A1∩A2∩A3) = Pr(A1)Pr(A2)Pr(A3) = (5/12)3 = 0.0723

mikä nähdään todeksi huomaamalla, että koska poiminnan jokaisessa vaiheessa uurnassa on 12 palloa, joista 5 on punaista.



24/28

(b) Kysytty todennäköisyys on

Pr(A1∩A2∩A3)

Koska poiminta tapahtuu ilman takaisinpanoa, tapahtumat A1, A2 ja A3 eivät ole riippumattomia. Siten yleisen tulosäännön perusteella

Pr(A1∩A2∩A3) = Pr(A1)Pr(A2|A1)Pr(A3|A1∩A2) = (5/12)×(4/11)×(3/10) = 0.0455

Laskutoimituksen perustelu:

(i) Ensimmäistä palloa poimittaessa uurnassa on 12 palloa, joista 5 on punaista.

(ii) Jos ensimmäisenä poimittu pallo oli punainen, niin toista palloa poimittaessa uurnassa on jäljellä 11 palloa, joista 4 on punaista.

(iii) Jos ensimmäisenä ja toisena poimitut pallot olivat punaisia, niin kolmatta palloa poimittaessa uurnassa on jäljellä 10 palloa, joista 3 on punaista.

(c) Kysytty todennäköisyys on

Pr(A3 | A1c∩A2

c)

Jos uurnassa on aluksi 7 sinistä ja 5 punaista palloa ja 2 sinistä palloa otetaan pois, jäljelle jää 5 palloa kumpaakin väriä. Siten todennäköisyys saada seuraavaksi punainen pallo on

Pr(A3 | A1c∩A2

c) = 5/10 = 0.5

Tehtävä 1.11. Laatikossa on 10 hehkulamppua, joista 3 on viallista.

(a) Poimitaan laatikosta satunnaisesti kolme hehkulamppua takaisinpanolla. Mikä on todennäköisyys, että kaikki kolme lamppua ovat viallisia?

(b) Poimitaan laatikosta satunnaisesti kolme hehkulamppua ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että kaikki kolme lamppua ovat viallisia?


käsitteitä sekä yleisen tulosäännön ja riippumattomien tapahtumien tulosäännön soveltamista yksinkertaiseen satunnaisotantaan; ks. myös tehtäviä 1.9. ja 1.10.

Tehtävä 1.11. – Ratkaisu: Olkoon tapahtuma Ai = {i. lamppu on viallinen}.

(a) Kysytty todennäköisyys on

Pr(A1∩A2∩A3)

Koska poiminta tapahtuu takaisinpanolla, tapahtumat A1, A2 ja A3 ovat riippumattomia. Siten riippumattomien tapahtumien tulosäännön perusteella

Pr(A1∩A2∩A3) = Pr(A1)Pr(A2)Pr(A3) = (3/10)3 = 0.027



25/28

mikä nähdään todeksi huomaamalla, että poiminnan jokaisessa vaiheessa laatikossa on 10 lamppua, joista 3 on viallista.

(b) Kysytty todennäköisyys on

Pr(A1∩A2∩A3)

Koska poiminta tapahtuu ilman takaisinpanoa, tapahtumat A1, A2 ja A3 eivät ole riippumattomia. Siten yleisen tulosäännön perusteella

Pr(A1∩A2∩A3) = Pr(A1)Pr(A2|A1)Pr(A3|A1∩A2)

= (3/10)×(2/9)×(1/8)

= 6/720 = 0.008333

Laskutoimituksen perustelu:

(i) Ensimmäistä lamppua poimittaessa laatikossa on 10 lamppua, joista 3 on viallista.

(ii) Jos ensimmäisenä poimittu lamppu oli viallinen, niin toista lamppua poimittaessa laatikossa on jäljellä 9 lamppua, joista 2 on viallisia.

(iii) Jos ensimmäisenä ja toisena poimitut lamput olivat viallisia, niin kolmatta lamppua poimittaessa laatikossa on jäljellä 8 lamppua, joista 1 on viallinen.

Tehtävä 1.12. Eräässä yliopistossa on 10 000 opiskelijaa. Alla oleva taulukko esittää opiskelijoiden

sukupuoli- ja ikäjakaumaa. Määrää seuraavien tapahtumien todennäköisyydet toden-näköisyyden frekvenssitulkintaa käyttäen:

(a) Satunnaisesti valittu opiskelija on nainen.

(b) Satunnaisesti valittu opiskelija on mies, jos hän on 25-34-vuotias.

(c) Satunnaisesti valittu opiskelija on mies tai hän on 25-34-vuotias.

Ikä 14-17 18-24 25-34 ≥ 35

Mies 50 2 500 1 000 400

Nainen 150 3 500 1 500 900

Tehtävä 1.12. – Mitä opimme? Tehtävässä havainnollistetaan komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavaa,

ehdollisen todennäköisyyden käsitettä sekä yleistä yhteenlaskusääntöä.

Tehtävä 1.12. – Ratkaisu: Olkoon

A = {opiskelija on nainen}

B = {opiskelija on 25-34-vuotias}



26/28

Tällöin

Ac = {opiskelija on mies}

(a) Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan

Pr(A) = (150 + 3500 + 1500 + 900)/10000 = 6050/10000 = 0.605

Siten komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavasta seuraa, että

Pr(Ac) = 1 − Pr(A) = 1 − 0.605 = 0.395

(b) Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan

Pr(B) = (1000 + 1500)/10000 = 2500/10000 = 0.25

Tehtävän frekvenssitaulukosta nähdään, että

Pr(Ac∩B) = 1000/10000 = 0.1

Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän mukaan

Pr(Ac|B) = Pr(Ac∩B)/Pr(B) = 0.1/0.25 = 0.4 > 0.395 = Pr(Ac)

Siten tieto siitä, että satunnaisesti valittu opiskelija on 25-34-vuotias sisältää informaatiota, jota voidaan käyttää hyväksi, kun arvioidaan todennäköisyyttä, että ko. opiskelija on mies.

(c) Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan

Pr(Ac∪B) = Pr(Ac) + Pr(B) − Pr(Ac∩B) = 0.395 + 0.25 − 0.1 = 0.545

Tehtävä 1.13. Alla oleva taulukko kuvaa USA:n 101. kongressin (valittiin vuonna 1988) kokoonpanoa.

Kongressiedustajat on luokiteltu taulukossa puoluekannan mukaan kahteen luokkaan ja edustajanaoloajan mukaan kolmeen luokkaan. Taulukossa on annettu ainoastaan ne toden-näköisyydet (ns. reunatodennäköisyydet), jotka saadaan, kun puoluekantaa ja edustajanaolo-aikaa tarkastellaan erillisinä. Täytä taulukon puuttuvat solut, jos oletamme, että puoluekanta ja edustajanaoloaika eivät riipu toisistaan.

Puoluekanta Todennäköisyys

Demokraatti RepublikaaniYhteensä

< 2 vuotta 0.090

2-9 vuotta 0.478 Edustajana-oloaika

≥ 10 vuotta 0.432

Yhteensä 0.614 0.386 1



27/28

Tehtävä 1.13. – Mitä opimme? Tehtävässä havainnollistetaan riippumattomuuden käsitettä.

Tehtävä 1.13. – Ratkaisu: Taulukon solujen todennäköisyydet saadaan riippumattomien tapahtumien tulosäännön

perusteella kertomalla kutakin solua vastaavat reunatodennäköisyydet keskenään:

Puoluekanta Todennäköisyys

Demokraatti RepublikaaniYhteensä

< 2 vuotta 0.614×0.090

= 0.055

0.386×0.090

= 0.035 0.090

2-9 vuotta 0.614×0.478

= 0.294

0.386×0.478

= 0.185 0.478

Edustajana-oloaika

≥ 10 vuotta 0.614×0.432

= 0.265

0.386×0.432

= 0.167 0.432

Yhteensä 0.614 0.386 1

Esimerkiksi:

Pr(Edustaja on republikaani ja hän on ollut edustajana ≥ 10 vuotta)

= Pr(Edustaja on republikaani)Pr(Edustaja on ollut edustajana ≥ 10 vuotta)

= 0.386×0.432

= 0.167

Tehtävä 1.14. Potilaan ikä saattaa vaikuttaa siihen millaista hoitoa hän saa. Eräässä USA:ssa tehdyssä

tutkimuksessa verrattiin eri-ikäisten naisten pääsemistä mammografiaan (rintojen röntgen-tutkimus rintasyövän toteamiseksi), kun heidän rinnoissaan oli havaittu kyhmyjä. Tulokset on annettu taulukossa alla. Taulukon solut ovat todennäköisyyksiä, että kumpikin tapahtumista sattuu; esim. 0.321 on todennäköisyys, että potilas on alle 65-vuotias ja hänelle on tehty mammografia.

Todennäköisyys Mammografia tehty

Mammografiaa ei ole tehty

alle 65 0.321 0.124 Ikä

65 tai yli 0.365 0.190

(a) Määrää seuraavien tapahtumien todennäköisyydet:

A = {potilas on alle 65-vuotias}



28/28

B = {potilas on 65-vuotias tai yli}

C = {potilaalle on tehty mammografia}

D = {potilaalle ei ole tehty mammografiaa}

(b) Ovatko tapahtumat B ja C riippumattomia?

(c) Määrää todennäköisyys sille, että potilaalle on tehty mammografia, jos hän on ollut alle 65-vuotias ja vertaa sitä todennäköisyyteen, että potilaalle on tehty mammografia, jos hän on ollut 65-vuotias tai yli.

Tehtävä 1.13. – Mitä opimme? Tehtävässä havainnollistetaan ehdollisen todennäköisyyden käsitettä.

Tehtävä 1.13. – Ratkaisu: (a) Kysytyt todennäköisyydet saadaan laskemalla tehtävän taulukosta ns. reuna-

todennäköisyydet eli rivi- ja sarakesummat:

Todennäköisyys Mammografia tehty

Mammografiaa ei ole tehty Summa

alle 65 0.321 0.124 Pr(A) = 0.445 Ikä

65 tai yli 0.365 0.190 Pr(B) = 0.555

Summa Pr(C) = 0.686 Pr(D) = 0.314 1

(b) Jos tapahtumat B ja C ovat riippumattomia, niin riippumattomien tapahtumien tulosäännöstä seuraa, että

Pr(B∩C) = Pr(B)Pr(C)

Taulukosta saadaan

Pr(B∩C) = 0.365

Pr(B)Pr(C) = 0.381 Koska

Pr(B∩C) ≠ Pr(B)Pr(C)

tapahtumat B ja C eivät ole riippumattomia.

(c) Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän mukaan

Pr(C|A) = Pr(C∩A)/Pr(A) = 0.321/0.445 = 0.721

Pr(C|B) = Pr(C∩B)/Pr(B) = 0.365/0.555 = 0.657

Tämän perusteella nuorempien potilaiden todennäköisyys päästä mammografiaan on jonkin verran suurempi kuin vanhempien potilaiden todennäköisyys päästä mammografiaan.

Documents

Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 1 ... · Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 1. harjoitukset TKK @ Ilkka Mellin (2008) 3/28 (iii) Vaikka ilmiön lopputilaa