21

8 J2K - DISMA Dipartimento di Scienze Matematiche ...calvino.polito.it/~falletta/GEO_ALG/VETTORI_APPLICATI/vettori... · Di-{ 1 0 *2 - # b 1 } 1 *2 3 I J2K J2L JONPL QSR{QsU QSW[Yec

  • Upload
    duongtu

  • View
    214

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

� ���������� ����� ����������������� ����� ��� ����� � ��!�"� �$#��&%��'

( �$� ) �*�+�,����� � -.�/������������ ����� ���0�����1�*�2�3� 4/5768 4:9;4=<?>A@2B C 4=<D4=C B 8 5FEHG�4 I J2K JML JONPL QSRTQVU�QXW&Y ��!�"� �Z#��[%\�] ^� -D�1�� �&���_�&�;0�3\-� :`

a b # b ��� L cd-��e�f�� 4g5FEH9gEO<DB c

a �e�h� �i�Z�f��� #��[�j�k�31�l�m#!�!� L c: ����� ��� �0�3�2�A� - b � �- b ��cm-��Z�f��� >Dn*n�EoG�>D5 8 B�n1EH>�<pE >?n*n�EoGq4=4g5srgEO<?> 8 E c� b � b �A�*�2��� t;���k�1�l�u���+�$#!�e�f�l��vq��� ������ �e�i� �*�+�,����� �-.�!�����w�!���� �!1�� ����������������!�1I JMK JONPL QVRDY c!I J2K JONPL QSU�YecI J2K JONPL QPW&Y �xv�����l�y�]� �,�����j�k� b !�z�;^� -{�m� �+� b �|�D}

~ �2���[�����p�x T ���-.��0���l�A� - b � � - b � �\-{��v!�]- b ��� �e�i�#��2�3!��cd�q��� �_ �� -��Z�f�l� �TEH>�<pEoGq4=4g5srgEO<?> 8 E }

� �i� � ~ �2�1�&���*���x { D��-.�����l��v��!��� �� �x ;� b ���� �������q�!�2��� �1�l��` �[���_� R N��[�j�_� -��!�"� � �[�����+���_��Yec �[����� UN��&���_� -��!�"� � ���-{�0������Yo� �[���_� W N��[���_� -����H� � � b ����\YZ}� #!�2�3�� �� T ���-{���1�l� �_ ;� �q�!�2�3� ���l�O` #!�2��� RTQSUDc#��2�3� RTQsW � #!�2��� U!QsW!}

� 5S4=�D5FE"B 8��> � � �+���k�1�� b �*�+�,����� � -{�u�����w�!���� �!1�� ����������������� ����� ��� ����� � � �� �� �Z�e���]�� gc

I J2K J2L JONPL Q RTQsU!QXW[Y��- ��;��u# b ��� � -��!�"� �$#��&%��' �� #! �����������+� �&���_ ���2�0�h� b 0� �����S0� D��-.������� N R{QXU�QSW[Y -.�? b � �������i�\���2���!�:� p-� ���[� b ������3`

��-{�]���1��� �� � ���� �]� #��i T�'�1%��' ��� D���� 3�� ;��3� � -.���� b �y#!�2�3� �� T D�i-{���1�� R!U � �� � ��� �]� #0�h T�'��%\�] ;��-.� � � b �"��� �&���_� W #0�0�|���"�+���]�3� �!1��� �3� #��2�3� R�UDc������� N R{QsU�Y � � �x { D��-.������� -���� # b 1�� ���� �c �����w� �w�!�w��� ����� I J2K J2L J�NPL QSRTQVU�Yec0-��e�f��� �w� �Z#!�Z�f�l��v��3� �!1����&����� �j�k� � D��-.������� -{� � c �*�2� W �]� �x T ���-.��0�����-��!� # b 1�� � � c ���� ������������ �!1�� I J2K JONPL QXW[Yec -��e�f���� b ���� -.��� �

N R{QsU�QsW[Y �_ ;� -��Z�f��� �� T D�i-{���1��� ���0� �����*�2���� -����# b 1�� � ���� ����� } ���������1�*�2�3� I J2K J2L JONPL QSR{QsU�QSW[Yec�_������v��!�h�!� � � N RTQSU�QXW&Y }

P = (x,y,z)

(0,0,0)

x

z

.

. (x,0,0)

(0,y,0)

(0,0,z)

P = (x,y,0)

P =

P =

P =

x

y

z

xy

y

� �f����!�2��� � � b ���,�� � T-� b 0� �� D�V���+�$#! ��-���[%����� b !��v� p��� �e�|� � # b 1�l� -����"� �Z#��[%\�] � �+� ���!�V�� ���-.��0����� -{�m b � �!�w�y�i���3�2� }

( �$� ) �*�+�,���!� � -.�m������������ ����� ���0�����1�*�2�3� D� �� 3�� ;��3� ��c?I J2K J2L JONPL QVRTQSU�QsW[Yec ^� -��e�f�� -��1�,�e�i �� �_ � ���3\-��0�i- �_� b ������!� v����� ��i� �_ ��2�]-D���+� �x ; ��� �&���_�W v\�&-�� �]� �i q���&%��' ��� -��!�"��� �[���_� R � b �"��� �&���_� U ����!&�_ ����l�' D� �0���' g}

� �i� �:�� �_�&� b ���� �� �&�*�]-����i�!�h�!� �_��� #��i� �*�+�,����� �-.�m������������ ����� � ���3\-��0�i-g}

� v\�e�f�� ������3#�#3�2�]���1�l� � ��

( �$� � �+���k���� b # b ��� L ����"� �$#��&%��' gc ����� ��� �2��� v��Z�f�� ��i� �3#�#3�2�]���1�� � L b �_�&�;� ����� ����'��������� �� � D���]�.���� L ` � � �L � }

�w\-.� �q�!�2��� �� � � � � c ���O�[�*�'��� � -��0��v��Z�f�� ����p�3#3#��2� �����l�/�� L }

� �+���k����� b �� b !�z� �� -.�:� �+� b �|� #!��� ���_�&�;� �!1�l��c b v��e�f�� D�i� �3#3#��2� ������ � � �L � ���-{��v!� - b ��c!�_� � �� L `

� � ���������������� ` � b �!�"�]� -��!�"�]� �i�Z�f��� �� ���{� b ���!1��� L �� � � �

� ������� � ` � b ���H� -D� L v���� �_ � �

! �"�#�$�� %�&�'! � N �\-.�]���1��� �� � ()�*( YZ` � � � b �|�-��!�D�_�&�;� ����� L � ���+�$#��Z�f�� �3�"�]� #0�i�Zt;��� ����� b !�z� ��-.�m� �+� b �|�?}

+

� �i� � �g� � � L ` -{��i�1%��' ��� � v\��� �_ -���� v��Z� �� ��i� � � �L L �� �� ��-��e���!�S� ���1�l�Oc:� ����e�h� �]� � b �� D�V� � �� %����i :}

�w � b ��� �� ���&�_ -.� ���2�3� �q��� � �� ��� ��B 8�8 4g5SB <��A@�@M4� ���q����v!����� � � ����

}

� 5S4=�D5FE"B 8��> � � �+��� ���� ��!�"� �Z#��[%\�] b ��� � ���!� �-.� �����j} ���������1�*�2�3� ����� ��� �0�3� � I J2K J2L JONPL QSR{QsU�QSW[Yec�� � D���]�.���� L cm#! ���������� �[���� p�0�2���i� �\- 3�;��qv��Z� �� ��i� ��#3#����]������ � L b 0� ���!�V�� -{� b � ����� �i�\���2���!�:� p-� ���[� b ������3`

� � �L � � N R{QsU�QsW[Y Q-� �v�� N RTQSU�QsW[Y �_ �� � � �� T ���-{�0����� -���� # b 1�� �� I J2K J2L J�NPL QVR{QsU�QsW[YZ} � �3� � �x ��S���+�_ ;\-��!&%�� ^� �!� b ���v\ p���Dc N RTQsU!QXW[Y �� �� -��e�f��� �x { D��-.������� ���0� ��� �������� �� �� #! ���!1�l� -���� v\�e�f�� ��i� � ��!� �����w�!��� � ����� I J2K J2L JONPL QVRTQSU�QsW[Yec\���q����v��!�i��� � � N R{QXU�QSW[YZ}

(0,0,0)

x

z

y

1P = (x1,y1,z1)

P = (x2,y2,z2)2

P = (x3,y3,z3)3

v1

v

v

3

2

� �i� � � �+���k�1�� b �*�+�,����� � -.� ������������ ����� ���0� ��� ������� ����� 3�� �0�3� � I J2K JML JONPL QVRTQSU�QXW&Yec �*�2� � � � �� c� � N R{QsU�QsW[YZ`

� Y �_� � � � � �

` � � N �{Q �{Q ��Y �

� Y ()�*( � R�� � U�� � W���cT� ( � ( � � �_� � �_ ;�+ �_� � � � � �

� Y � ^� -��e�f�� v\��� �_ ��i� �_� ( � ( � � }

� v��!� �� D���p-.� � ��

z

y(0,0,0)

(0,1,0)

(0,0,1)

x(1,0,0)

�g �� � � -{�?v��Z�f�� ����

�=�2��� � � �L � � � � �L � � � �� c �*� -��Zt !�+������� �� � � -.� � � � ��� v��Z�f�� ��i� �3#�#3�2�]���1�� � � �L I�� �� �e� b �z�� ����:� p-� �_�[� b ������3`

E�� �_� �.# b ��l��L c � c�� � � �_ �� �3�"�2�������l� � �i�&�� ��]�-��!�:#0�0� �3�"� �!� ��p�|�3� � �Dc;� �_������v��!�h�!�

�L I � �L � � �L � �

P

(0,0,0)

x

z

.

.

y

Q

R

���

EE � �_� ��# b 1�l��L c � c � �� �� �3�"�2�������l� c!-{�+�,�l�\� b �2�3� - b � �_ ��f�� p���&�*�O`

� } � � �L � � � � �L � �� �� � � � � �'��� c � � �L I� � T-� ���3� � �q���3`

�0Y I ��#3#������l�'���� �3�"�]� �i�e�f��� �x ;\�.� b \���!1��� �{# b ��l�� � � �

�0Y �L I ��� � �,���1���_ v��!� �� -.� �L � � -{� �L � �

��Y ( � ( � ( � ( � ( � (�}

(0,0,0)

x

z

y

R

PQ

�F�

� } � � �L � � � � �L � �� �� ��� � � �&� ��� c � � �L I����� � ������`

�0Y I ��#3#������l�'���� �3�"�]� �i�e�f��� �x ;\�.� b \���!1��� �{# b ��l�� � � �

�0Y �L I ��� � � �������� v\��� �_ -.�3� b ���H� /c��e�|� �0v\�e�f�� D�w�� � � cy����� ��� � T- b � � ���3�.�] ��i� �

��Y ( � ( � � ( � (�� ( � ( ���_� ()�*( �� ( � (�cd� I � L��� ( � ( � ( � (*}

(0,0,0)

x

z

yP

Q

R

� �

� ;� �l�#����]���[%��' ;�� -{� b v��e�f�� D�i� #��!� b b � ���i �i�\��� � }

�=�2��� � � �L � � � �� �&- � � � } �=� -��Zt !�+������ b � �l�#3� -{� � ���[�� ��-� �� b � ���i �i���3� � � ` � � ��v��e�f�� D�i� �3#�#3�2�]���1�� � � �L � �� �� �e� b �z�� ��!��� T-� ���[� b ������3`

�_� � � � ;#3# b �i� � � � � �

c �3�"� ��|� � � � � ��

�_� � �� � � � �� ��� �

c �3�"� D�|�D`

�0Y �]� -{��i�1%��' ��� -.� � �x {����0�]-�� �� � � b �!�"�]� -{�*� �

�0Y ���v\��� �_ -.� � �x {����0�]-�� �x ; � b ���"� -{� � �_� � � �Ac �� �#�#! ��,�� � � b ���"� -{�*� ��� � � � �

��Y ( � ( � ��� � ()�*(

� �

� �h �#����'�Z�;^� ` � �+���k�1�� b �*�+�,����� � -{� �����w�!���� �!1�� ����������������� D���� 3�� ;��3� � I J2K J2L JONPL QVRTQSU�QsW[Yec ������� �pQ � � � �� c{�� � � � N R��ZQsU��ZQXW��lY � � � N R

�QSU�

QsW�

Yec� � � c �3�"� D� � v��3�+�� �� � � �_�[� b ����l�O`

� � � � N R � � R�

QsU � � U�

QPW � � W�

Yec

� � � N � R � Q � U � Q � W � Y J

�=�qv\������t/��� �q��� � �� cA�� � ���T �#!���|�[%\�] ;�� �j�1���!�S0���-.�l�� �� � � �e�|� v\�e�f�� D�w�*� � b �!�"�]� �F�1�,�����S��� -{��#��i p-� ��f�� #��!� b � �������]�0�i��c �� b � �$#0�[%��' v\�e�f�� ����2�3� � � b ����3� #! �i���3� �3}

( �� ��,�e� �0�i� #!�!� �1�_�!�i�0�+%��' :}�}�}

� �

� 5S4=�D5FE"B 8��> � � �pQ'� � � �� c � � Q�� � � `

� � N � � �AY � � � � � �*��c

� � � N � � ��Y � � � � � ��c

� � N � � �AY�N'�0Y � � N��*��Y � � N � ��Yec

� � � � � ��cd-� �v�� � ^� ��� b ����;^� -{� � }

� +

� �+� b ��p�x ;\���Z�f�l�T-��[�p�2�.�$#��&%��Dv\�e�f�� ����2�3�2�

�=�2��� �;Q'� � � �� v��e�f�� D���d� � b �H�2�O}

� � �������mN �?Y ^� �]� �i�e�f��� #!�!� ��!# b ��� L �x ;��������������3v��Z�f�� ��i� � �

(0,0,0)

x

z

y

u

span(u)

� � ��� � �� � � ���mN �.Yec ����� � N �pQ ��Y ^� ��� #!�2�3� #��!� ��# b 1�� L �x ;������������ �Dv��Z�f�� ���� � � ��}

(0,0,0)

x

z

y

u

v

� �

� n*BpC �pE � � �+���k�1�� b �*�+�,���!� � -{�������������� ����� ��������� ������� ����� 3�� �0�3� ��c I J2K J2L J�NPL QVR{QsU�QsW[Yec �� �[��� -��!�w� ��� � v��!� �_ D�w� -��&�;�2� �[���*� ����������������!� -��!� �����w�!��� � ����� :` ��� N � Q �.Q ��Yec�� � N �.Q � Q ��Yec�� � N �.Q �{Q � YZ}�=�Dv�������t/��� �q���3`

� Y �������mN��7Y � �[����� R/c ����� � N���Y � �[�j�_� U ������ � N��0Y � �&���_� W �

� Y �������mN��VQ��Y � #!�2��� RTQSU c ��� ���mN��$Q�0Y � #������ U!QsW � ��� ���mN��VQ�0Y � #!�2�3� R{QXW�}

( ��#��!�-���[%�� � �\-{�#!��\-��!&%�� �����\���i�

( �$� } �=�2� � b � �$#��&%��' v��e�f�� D���2���+� � b �m���3� #! � } � v��e�f�� D��� � � Q �

�Q � � � Q ��� � � ���m-.� �� �� �2�����0�

� ������ �\-.�#!�!�-�����l� �_�� � � � � �

���� � � � � � � ��� � � ��� � �

� � � � ��� � � � � � � � �

��� �e���� ����l��v���\�� ;� -��Z�f�l� �2�����0�S� ������ -{�#!��\-��!1�l� }

� �[��� -{� b � �$#0�[%��' v\�e�f�� ����2�3� �

( �$� } �=�2� � b � �$#��&%��' v��e�f�� D���2���+� � b �m���3� #! � } � v\�e�f�� D�w� � � Q �

�Q � � � Q ��� � � �*� -{�]�� �� ���&�_�

#��!� � �_�

� Y �_ ;� b �&}H-/}H� #!��� � cm���' ��� � ��������� � � Q'�

�Q � � � Q � �

� Y �_ ;� �����\���S� �!1��� �\-.��#��!�-�����l� }

� �

��1���!�V#0�i�e���[%\�] ;�� ���& ;� �e�e���]���

�=�2��� �;Q'�!Q � � � �� }

a � v\�e�f�� ���� �pQ � �_ �� �2����\���S� �!1��� -{�#!��\-�����l� �_���#3#0�0������\�� �� �3�"�]� �,���1���k� �i�Z�f��� c[�_ �� �����\���S� �!1�����-{�#!��\-�����l� �_� � � ��#3#���������\�� �� ���"� � �,���1���k��h�Z�f��� }

a � v��Z�f�� ���� �;Q'�!Q � �_ ;� �����\���S� �!1��� -{�#!��\-��!1�l���� �_ ;� �� �� #3�]�������� cy�� T� �� �_� �3#3#0�0� ���!��� �� ���H� � �������� #!�2��� �;�_ �� �2�����0�S� ������ �\-.��#��!�-�����l� �_�� � �_ �� �� �� #3�]�30�0��� }

� �

� �h �#����'�Z�;^� ` �=�2�3� � �;Q �!Q � � � �� �e�i� v\�e�f�� D�w��2�������S� ������ ��-{�#!��\-�����l�O} � �;!�yv��Z�f�� ��i� -{� � �����m# b ^ ���q����v\���i� ������_�&� b �!1��� � p-� :`

� � � �*� � � � Q�� � � Q �dQ�� � � } � �] ��:�[� b ��vq��� � � -.���h� �q���

� �� � ����� � N �pQ ��Q � Y J

�y�_�!� #!�' ` � �+���k�1�� b �*�+�,����� � -{� �����w�!���� �!1�� ����������������� D���� 3�� ;��3� � I J2K J2L JONPL QVRTQSU�QsW[Yec ������� � �VQ �ZQ� � � �� c �Dv��!� �� D���p-��[�p�2�A�[���*�O}

� Y � �VQ��ZQ� �_ �� �2�����0�V� ������ ���-{�#!��\-��!1�l� �

� Y �#� � � �� c � � R � � U � � W ��c -� �v�� N RTQSU�QXW&Y�_ ;� � � �x { D��-.������� ������������������ -��!�!v\�e�f�� ��i� ���!�:�����w�!���� �!1�� I J2K J2L JONPL Q RTQsU!QXW[YZ}

���