8. Modulacija Al

22.1.2013.

1

22.1.2013. SiP 2012 1

Signali i procesi

6. Modulacije

Dr. sc. Predrag Valoi

22.1.2013. SiP 2012 2 SiP 2012 2. Signali, Harmonijski signali 2

Visina

Duljina, trajanje

Jaina

Boja

Dt tonovi A

Duljina, trajanje

Amplituda, amplitude:

Vrh vrh,

Maksimalna,

Efektivna (RMS)

Srednja (DC)

Stalna stacionarni signali Promjenljiva nestacionarni signali

Kontinuirani

Tranzijentni


Grafiki prikaz signala

Valni oblik signala

Spektrogram (3D spektar)

Spektar (2D spektar)

f(Hz)

S(dB)



Valni oblik signala


Spektar (2D spektar)

f(Hz)

S(dB)

22.1.2013.

2



Valni oblik signala


t [s]

f(Hz)

22.1.2013. SiP 2012 6

22.1.2013. SiP 2012 7 22.1.2013. SiP 2012 8

Telekomunikacijski signal mogue je prenositi spojnim putom u: Osnovnom frekvencijskom pojasu (Base Band) Modulacijskom frekvencijskom pojasu (odailja sadri modulator a prijemnik demodulator )

Telekomunikacijski

kanal

22.1.2013.

3

22.1.2013. SiP 2012 9

Razlozi primjene modulacija:

Prilagodba signala telekomunikacijskom kanalu ili mediju za

pohranjivanje:

U radio komunikacijama, dimenzije djelotvorne antene

bliske su valnoj duljini signala, te je prijenos u osnovnom

frekvencijskom pojasu praktino nemogu;

Vie istovremenih radio komunikacija mogue je ako su

one u razliitim frekvencijskim pojasevima;

Slina logika, ali iz razloga ekonominosti, koristi

modulacijske tehnike za tzv. multipleks;

Pohranjivanje signala u osnovnom pojasu ponekad nije

mogue. 22.1.2013. SiP 2012 10

MODULATOR Modulacijski

signal x(t)

Modulirani

signal y(t)

Nosei signal u(t)

y(t) = f[x(t), u(t)]

Opa shema modulatora

22.1.2013. SiP 2012 11

Vrste modulacija

Modulacije - modulatori

Vremenski

kontinuirane,

harmonijski

nosei

signal u(t)

Vremenski

diskretne,

impulsni

nosei

signal u(t)

Amplituda

Frekvencija

Faza

Amplituda

Frekvencija

Pozicija

irina

Parametar noseeg signala

koji se mijenja u procesu

modulacije

Ovisno o modulacijskom

signalu x(t), mogu biti:

Analogne

Digitalne

22.1.2013. SiP 2012 12 15.01.2013

22.1.2013.

4

22.1.2013. SiP 2012 13 15.01.2013

22.1.2013. SiP 2012 14

A(t)= fAM x(t) (t)= fFM x(t) 0(t)= fPM x(t)

u(t)= A(t) cos (t)

ili u eksponencijalnom obliku: u(t) = Re{A(t) ej(t)}

( ) ( ) ( )t t t dtt

1 0

0

1

Harmonijski nosei signal mogue je prikazati jednadbom:

Argument trigonometrijske, tj. eksponencijalne funkcije je ukupna

trenutna vrijednost faznog kuta:

koja ovisi o poetnoj vrijednosti 0 i frekvenciji f tj. . Dakle,

mogue su modulacije amplitude (AM), frekvencije (FM) i

faze (PM), te kombinirane modulacije, npr. AM i PM.

22.1.2013. SiP 2012 15

Za ukupni, modulacijsko - demodulacijski proces najpogodnije je,

ako je ovisnost promjenljivog parametra moduliranog signala

(A, ili 0) oznaena funkcijom f u prethodnim izrazima,

linearna, to je mogue prikazati izrazom:

AM : A(t) = A0 + kAM x(t)

FM : (t) = 0 + kFM x(t)

PM : 0(t) = kPM x(t)

Faktor k oznaava osjetljivost modulatora

kAM [V/V], kFM [Hz/V] i kPM [rad/V]

15.01.2013 22.1.2013. SiP 2012 16

18.01.2013

22.1.2013.

5

22.1.2013. SiP 2012 17

6.1. Modulacija amplitude AM

Amplituda AM signala mijenja se prema izrazu:

A(t) = A0 + kAM x(t),

te je AM signal:

yAM(t) = [A0 + kAM x(t)] cos (0t+0)

Da bi AM ostala ista, neophodno je da je promjenljiva

amplituda u svakom trenutku bude A(t) 0, to znai:

A0 + kAM x(t) 0

22.1.2013. SiP 2012 18

Kritian je trenutak kada x(t) dosee najveu negativnu vrijednost:

x(t) = -xmax te dobijemo slijedei uvjet:

0 kAM A0 / xmax

Ako je modulacijski signal normiran, tada je xmax=1, kAM=A0,

te dobijemo:

yAM(t) = A0 [1+ xn(t)] cos (0t+0)

Minimalna vrijednost amplitude AM signala je 0, srednja (kada je

x(t) = 0) jednaka je A0, a maksimalna je 2 A0.

xmax -xmax

Amax

Amin

A0

x(t)

A(t)

22.1.2013. SiP 2012 19

Relativna promjena amplitude AM signala, indeks AM je:

mAM= DA/A0

mAM= (Amax-A0)/A0

mAM= A0/A0=1 ili 100%

Ako elimo AM s mAM manjim od 1 (100%), tada se mAM ukljui u

izraz za AM signal:

yAM(t) = A0 [1+ mAM xn(t)] cos (0t+0)

Mogue su vrijednosti za indeks mAM : 0 mAM 1

22.1.2013. SiP 2012 20

yAM(t) = A0 [1+ mAM xn(t)] cos (0t+0)

Ako je modulacijski signal xn(t) = sin(m t)

y(t)= A01+ m sin(m t)cos(o t)

Mnoenjem u zagradi dobijemo:

y(t)= A0 [cos (o t) + m sin(m t) cos(o t)]

sin cos = 2

)sin()sin( AM fazori

y(t) = A0cos(0t) +

+ A0m/2 sin(0-m)t

- A0m/2 sin (0+m)t AM graf

i spektar

22.1.2013.

6

22.1.2013. SiP 2012 21

Ako je modulacijski signal sloen Bm = (fmd - fmg), tada od svake

njegove frekvencijske komponente nastaje par: gornja & donja.

Modulirani signal sastoji se od nosaa i dva bona pojasa; donjeg

s frekvencijskim komponentama nie frekvencije od nosaa, te

gornjeg kod kojega su frekvencijske komponente frekvencija viih

od nosaa (DBP i GBP, tj. engl. LSB i USB).

Modulirani signal y(t) sastoji se iz tri komponente:

-Prva je amplitude A0 i frekvencije o, prepoznajemo signal nosa.

-Druga komponenta ima amplitudu A0 m/2 i frekvenciju (o+m),

to je gornja bona komponenta GDK.

-Trea je jednake amplitude, ali frekvencije (o-m), to je donja

bone komponenta AM signala DBK.

y(t) = A0cos(0t) +

+ A0m/2 sin(0+m)t

+ A0m/2 sin (0-m)t

22.1.2013. SiP 2012 22

Kako su sve nastale komponente razliitih frekvencija, to je

ukupna snaga AM signala jednaka zbroju pojedinanih snaga

svih komponenti:

PAM = Po + PGB + PDB Za sinusni modulacijski signal dobijemo:

PA

R

A m

R

A m

RAM 0

2

0

2

0

2

2 8 8

( ) ( )

Amplitudno modulirani signal vee je snage od nemoduliranog

signala.

22.1.2013. SiP 2012 23

Kako AM signal mijenja visinu tj, dubinu, to se indeks AM

esto naziva i dubina modulacije.

-2 ,5

-2

-1 ,5

-1

-0 ,5

0

0 ,5

1

1 ,5

2

2 ,5

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

Nosei, modulacijski i modulirani signal, mAM=1

22.1.2013. SiP 2012 24

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

Modulacijski, nosei i modulirani signal, mAM=0,5 tj. 50%

22.1.2013.

7

22.1.2013. SiP 2012 25

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

FFT modulacijskog, noseeg i AM signala, mAM = 1, N=128 22.1.2013. SiP 2012 26

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

FFT modulacijskog, noseeg i AM signala, mAM = 0,5, N=128

22.1.2013. SiP 2012 27

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

AM mAM=1, modulacijski signal je sloen; nije harmonijski !

22.1.2013. SiP 2012 28 18.01.2013

22.1.2013.

8

22.1.2013. SiP 2012 29

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

FFT modulacijskog (sloenog), noseeg i AM signala, mAM = 1 22.1.2013. SiP 2012 30

6.2. DSB i SSB

Najvei dio ukupne snage AM signala je u komponenti-noseem

signalu. Jo je manje povoljna situacija kod sloenijih modulacijskih

signala, kada uvjet da ukupni koeficijent amplitudne modulacije bude

manji od jedan, ima za posljedicu da je udio snage bonih pojasa u

ukupnoj snazi jako malen.

y(t)= A01+ m sin(m t)cos(o t)

y(t) = A0cos(0t) + A0m/2 sin(0+m)t + A0m/2 sin (0-m)t

Ako izostavimo 1, dobije se:

y(t)= A0[ sin(m t)]cos(0 t)

y(t)= A0/2sin(o + m ) t + A0/2sin (o - m ) t

22.1.2013. SiP 2012 31 22.1.2013. SiP 2012 32

22.1.2013.

9

22.1.2013. SiP 2012 33 22.1.2013. SiP 2012 34

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

Modulacijski, nosei i modulirani signal, DSB

17.01.2012

22.1.2013. SiP 2012 35

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

FFT modulacijskog, noseeg i moduliranog signala, DSB 22.1.2013. SiP 2012 36

Blok-shema modulatora AM- GBP (SSB) i spektri signala

22.1.2013.

10

22.1.2013. SiP 2012 37

6.3. PM

o(t) = fPMx(t)

0(t) = kPM x(t)

kPM pokazuje za koliko se [rad] promijeni faza noseega

signala, za promjenu modulacijskog signala od 1V;

To je osjetljivost faznog modulatora, dimenzije rad/V.

Maksimalno odstupanje faze Dm rad naziva se devijacija

faze ili indeks PM Dm = mPM.

Uvoenjem normiranog modulacijskog signala xn(t), PM

signal u trigonometrijskom obliku je:

yPM(t) = A0 sin 0t + Dm xn (t) + 0

22.1.2013. SiP 2012 38

Za normirani modulacijski signal x(t)=sin(m t) te za

Dm [rad] i 0 =0, dobijemo:

yPM(t) = A0 sin 0 t + Dm sin(m t)

Izraz nije tako jednostavno rastaviti, kako je to bio sluaj

kod AM signala. Veliinu komponenata PM signala

odreuju Besselove funkcije Jq(x) prve vrste i q- tog

reda:

sin( sin

m J m nnn

n

) ( ) sin( )

cos( sin

m J m nnn

n

) ( ) cos( )

22.1.2013. SiP 2012 39

y t A J t

J q t

J q t

PM m

q m m

q

q m m

q

( ) sin

sin

sin

0 0 0

0

1

0

1

D

D

D

sin( cos

m J m n nnn

n

) ( ) sin( )2

cos( cos

m J m n nnn

n

) ( ) cos( )2

22.1.2013. SiP 2012 40

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

J0

J1J2

J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10 J11 J12

x

Jn(x) je Besselova funkcija prve vrste, reda n i argumenta x.

Grafovi Besselovih funkcija prikazani su na slici:

22.1.2013.

11

22.1.2013. SiP 2012 41

PM signal sadri neizmjerno mnogo komponenti

frekvencija o , o -qm i o + qm, ak i tada, kada je

modulacijski signal jednostavan, harmonijski.

Komponente vieg reda zanemarive su amplitude, te se

moe smatrati da je spektar ogranien.

Formula za izraun praktine irine spektra PM signala:

BPM = 2 fm (1 + Dm)

22.1.2013. SiP 2012 42

-1

1

Devijacija faze, Dm = 45

Modulacijski signal x(t)

-50

50

0

10

20


-50

50

0

10

20


-50

50

0

10

20

22.1.2013. SiP 2012 43

( )( ) ( )

td t

dt

dx t

dtmn

0 D

Kontinuirani PM signal moe promijeniti fazu od 1 na

2 tako, to na kratko vrijeme promijeni frekvenciju -

"ubrza hod", te tako fazno prestigne nemodulirani signal.

Ili, pak, uspori te fazno zakasni za nemoduliranim.

Trenutna frekvencija jednaka je derivaciji ukupne

trenutne faze, te derivacijom argumenta izraza za PM

signal,

yPM(t) = A0 sin 0t + Dm xn (t) + 0

dobijemo:

22.1.2013. SiP 2012 44

Ako je modulacijski signal sinusni, x(t)=sin(m t):

(t)= 0 + Dmm cos(m t) /:2

f(t) = f0 + Dm fm cos(m t)

Vidimo, da se u sluaju sinusnog modulacijskog signala,

trenutana frekvencija PM signala mijenja po

kosinusnom zakonu, te da devijacija frekvencije (vrna

vrijednost odstupanja frekvencije od fo), ovisi o devijaciji

faze Dm i frekvenciji modulacijskog signala fm.

22.1.2013.

12

22.1.2013. SiP 2012 45

6.4. FM

(t)= fFM x(t) f (t) = fFMx(t)

(t) = 0 + kFMw x(t) f(t) = f0 + kFMf x(t)

Konstante kFMw i kFMf pokazuju koliko se [rad/s] ili [Hz]

promijeni frekvencija FM signala, za promjenu

modulacijskog signala od 1V.

To je osjetljivost (strmina) frekvencijskog modulatora,

dimenzije rad/s/V tj. [Hz/V].

Maksimalno odstupanje frekvencije Dfm Hz] od f0

naziva se devijacija frekvencije.

22.1.2013. SiP 2012 46

Ako je modulacijski signal harmonijski

xn (t)= sin(m t)

trenutna frekvencija FM signala moe se izraziti

f(t)= f0 + Dfmax sin(m t)

Trenutna faza o(t) u radijanima, jednaka je integralu funkcije

trenutne frekvencije po vremenu:

1

0

01 )(2)(

t

dttft

D1

0

0max01 sin2)(

t

dttfft m

01max

101 cos2)( D

tf

ftft m

m

[rad]

[rad]

[rad]

22.1.2013. SiP 2012 47

Kvocijent Dfmax/fm maksimalne vrijednosti devijacije frekvencije i

frekvencije modulacijskog signala naziva se indeks modulacije FM

signala. (Usporediti s indeksom modulacije PM signala!). Izraz 3.219.,

daje i devijaciju faze koja postoji u FM signalu:

FM

m

mf

f

DD maxmax

y t A tf

ft

m

m( ) sin cosmax

0 0 0

D

FM graf

i spektar

22.1.2013. SiP 2012 48

Vidimo da je izraz 3.221. dovoljno slian izrazu 3.212.,

da bismo mogli na isti nain odrediti spektar FM signala

kao i PM signala.

Uvjet su jednaki indeksi modulacije, za FM Df/fm, a za

PM D.

Teorijski, spektar je neogranien, dok u praktinim

uvjetima irinu spektra FM signala raunamo izrazom :

BPM = 2 fm (1 + D)

BFM= 2(Df + fm)

Df je devijacija frekvencije,

fm je najvia frekvencijska komponenta

modulacijskog signala.

22.1.2013.

13

22.1.2013. SiP 2012 49

Primjer:

Odrediti spektar FM signala, ako je modulacijska

frekvencija fm = 3 kHz, devijacija frekvencije Df= 12

kHz, nosei signal je frekvencija fo =30 MHz i

amplitude Ao =10 V.

Rjeenje:

Iz matematike, poznato je da vrijedi:

sin( + m sin ) = Jn (m) sin ( + n)

cos( + m sin ) = Jn (m) cos ( + n)

sin( + m cos ) = Jn (m) sin ( + n + n/2)

cos( + m cos ) = Jn (m) cos ( + n + n/2)

22.1.2013. SiP 2012 50 -0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

J0

J1J2

J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10 J11 J12

x

Jn (m) je Besselova funkcija prve vrste, reda n i argumenta

m. Grafovi Besselovih funkcija prikazani su na slici:

22.1.2013. SiP 2012 51

Argument Besselovih funkcija jednak je indeksu modulacije, to

je za FM signal u ovom primjeru:

mf

fFM

m

D max 12

34

22.1.2013. SiP 2012 52

red

x

n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.0 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

0.1 0.997502 0.049938 0.001249 0.000021 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

0.2 0.990025 0.099501 0.004983 0.000166 0.000004 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

0.3 0.977626 0.148319 0.011166 0.000559 0.000021 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

0.4 0.960398 0.196027 0.019735 0.001320 0.000066 0.000003 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

0.5 0.938470 0.242268 0.030604 0.002564 0.000161 0.000008 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

0.6 0.912005 0.286701 0.043665 0.004400 0.000331 0.000020 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

0.7 0.881201 0.328996 0.058787 0.006930 0.000610 0.000043 0.000003 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

0.8 0.846287 0.368842 0.075818 0.010247 0.001033 0.000083 0.000006 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

0.9 0.807524 0.405950 0.094586 0.014434 0.001641 0.000149 0.000011 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

1.0 0.765198 0.440051 0.114903 0.019563 0.002477 0.000250 0.000021 0.000002 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

1.1 0.719622 0.470902 0.136564 0.025695 0.003588 0.000399 0.000037 0.000003 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

3.4 -0.364296 0.179226 0.469723 0.373389 0.189199 0.071785 0.021934 0.005630 0.001248 0.000244 0.000043 0.000007 0.000001

3.5 -0.380128 0.137378 0.458629 0.386770 0.204405 0.080442 0.025429 0.006743 0.001543 0.000311 0.000056 0.000009 0.000001

3.6 -0.391769 0.095466 0.444805 0.398763 0.219799 0.089680 0.029311 0.008024 0.001894 0.000393 0.000073 0.000012 0.000002

3.7 -0.399230 0.053834 0.428330 0.409225 0.235279 0.099485 0.033601 0.009490 0.002309 0.000494 0.000094 0.000016 0.000003

3.8 -0.402556 0.012821 0.409304 0.418026 0.250736 0.109840 0.038316 0.011159 0.002797 0.000616 0.000121 0.000022 0.000003

3.9 -0.401826 -0.027244 0.387855 0.425044 0.266059 0.120718 0.043474 0.013048 0.003366 0.000763 0.000154 0.000028 0.000005

4.0 -0.397150 -0.066043 0.364128 0.430171 0.281129 0.132087 0.049088 0.015176 0.004029 0.000939 0.000195 0.000037 0.000006

4.1 -0.388670 -0.103273 0.338292 0.433315 0.295827 0.143908 0.055168 0.017560 0.004794 0.001148 0.000245 0.000047 0.000008

4.2 -0.376557 -0.138647 0.310535 0.434394 0.310029 0.156136 0.061725 0.020220 0.005674 0.001395 0.000306 0.000060 0.000011

4.3 -0.361011 -0.171897 0.281059 0.433347 0.323611 0.168720 0.068761 0.023171 0.006681 0.001686 0.000379 0.000077 0.000014

4.4 -0.342257 -0.202776 0.250086 0.430127 0.336450 0.181601 0.076279 0.026433 0.007827 0.002027 0.000467 0.000097 0.000018

4.5 -0.320543 -0.231060 0.217849 0.424704 0.348423 0.194715 0.084276 0.030022 0.009126 0.002425 0.000573 0.000122 0.000024

4.6 -0.296138 -0.256553 0.184593 0.417069 0.359409 0.207991 0.092745 0.033953 0.010591 0.002885 0.000699 0.000152 0.000030

4.7 -0.269331 -0.279081 0.150573 0.407228 0.369292 0.221355 0.101676 0.038242 0.012237 0.003417 0.000847 0.000189 0.000038

4.8 -0.240425 -0.298500 0.116050 0.395209 0.377960 0.234725 0.111051 0.042901 0.014079 0.004027 0.001023 0.000234 0.000049

22.1.2013.

14

22.1.2013. SiP 2012 53

Argument Besselovih funkcija jednak je indeksu modulacije, to

je za FM signal u ovom primjeru:

mf

fFM

m

D max 12

34

Jo(4) = - 0,39715 Yo = 3,97 V

J1(4) = - 0,06604 Y1 = 0,66 V

J2(4) = 0,364128 Y2 = 3,64 V

J3(4) = 0,43017 Y3 = 4,30 V

J4(4) = 0,28112 Y4 = 2,81 V

J5(4) = 0.13208 Y5 = 1.32 V

22.1.2013. SiP 2012 54

1.32

2.81

4.3

3.64

0.66

3.97

0.66

3.64

4.3

2.81

1.32

Documents

8. Modulacija Al