8. СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА СА ДВЕ НЕПОЗНАТЕbrankoradicevic-bl.rs.ba/wp-content/uploads/2018/... · 72 Текстови задатака

8. СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА СА ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

АЈаГига д,исе еггагг пи11о рас- 1о роГезГ (Кад природа води, не мож е се никако залутатпи)

Цицерон

Систем од две линеарне једначине са две непознате х , у чине једна- чине

( агх + 1>ху = сг \ а2х + 62У — с2,

где су а ! , 1>\, с\ , а2 , 62 , с2 дати реални бројеви (коефицијенти система). Уређени пар (жо,Уо) за К0ЈИ СУ тачне обе једнакости

Ј а\Хо + 612/0 = с\ \ а2х о + ћ2уо = с2

зове се решење система.

1° Ако је Д = п\1ј2 — а2&1 ф 0 (тј. — ф ~а2 о2

решење (ж,у) одређено формулама

систем има јединствено

_ с\Јј2 — с2&1 _ а\С2 — а2С\а\(>2 — а2ђ 1 ’ ^ п\1>2 — а2 (>1

2° Ако је Д = 0 и бар један од бројева С1&2 — с2Ђ\ и а\С2 — а2с\ је / . а 1 С С1различит од нуле (тј. — = — ф — ), систем нема решења.

а2 о2 с2

72 Текстови задатака

3° Ако је А = 0 и - с2&1 = ахс2 - а2сх = 0, могући су следећи случајеви:

а) ако је бар један од бројева а2 , &ј , а2 , &2 различит од нуле, тада систем има бесконачно много решења (неодређен је). На при- мер, ако је аг ф 0, решења су сви парови реалних бројева облика

б) ако је ах = &! = а2 = &2 = 0 и бар један од бројева сх, с2 је различит од нуле, тада систем нема решења;

в) ако је аг = &1 = а2 = &2 = сх = с2 = 0, тада систем има бесконачно много решења (неодређен је) и то је сваки пар (х ,у) , х , у 6 К , његово решење.

Два система линеарних једначина су еквивалентна ако је свако решење првог система решење и другог система и обратно.

8.1. Р Е Ш А В А Њ Е С И С Т Е М А Д В Е Л И Н Е А Р Н Е Ј Е Д Н А Ч И Н Е С А Д В Е Н Е П О ЗН А Т Е

548. Дата је једначина са две непознате х + у — 3 = 0. Одредити неколико решења ове једначине. Колико једначина има решења?

549. Испитати да ли је:

550. Испитати (не решавајући их) да ли системи имају јединствено решење, немају решења или имају бесконачно много решења:

а) пар (3,1) решење система једначина

б) пар (—7,4) решење система једначина

8. Системи линеарних једначина 73

551. Да ли су еквивалентни системи једначина:

а)

б)

в )

5х + 2у = 29 Зу — х = 1 И

' 7х — 6у = 1 11х + у = 12 И

Зх — у = 5 ~ ( х - 2 ) + 7у = - 7

3(д — 5) + 2у = 4 2ж + у = 12;

За: + 4(у - 1) = 3 х + 2у = 3;

5х — 9у = 6 4(ж - 2) - 3(у - 1) = 4?

Методом супротних коефидијената решити системе једначина (задаци 552- 556):

552. а) х + у = - 6 , х - 2у = 24; б) Зх - у = 5, -Зж + 7у = 1;

в) 2х + 4у = - 1 , бж + 7у = 2; г) 5ж - Зу = 17, 2а: + 3у = 11;

д) 4а: + 5у = 25, 4х + Зу = 13.

553. а)' 4х - 5 у = 3 г

Зх — 2у = 11; б) (

в) •7а — 26 = 36 — 5 Г

. 2(а - 6) = 8 + 6; г) {

д)' 0,2х + 0,5у = 2

Зх — 2у = -46 ; 5)

554. а)

( х у -------- = 24 5 Г

6 1- + у- = + 1

1 6 + 4 +

' (3(х + 1) + 5 (2 /- 2) = 30 2(х + 2) — 3{у — 3) = 6;

Г)1(х - 3)(у - 1) = х(у - 4)(х - 1 )(у + 2) = (х + 15)(у - 6);

6в + 51 = - 7 45 + З ̂ = —4;

5х = 2у — 8 2(3у - 20) = 7х;

3 54 ' + 6 У = 9

1,3х - 2,1у = 3,6 2,1ж + 1,3у = 15,2;

д)(х + 2) : (х + 5) = (у - 1) : (у + 1)

(2х - 5) : (2у + 2) = (х — 4) : (у — 1).


555. а)

0

За; —

х - 2б)

+ 41, = 12;

7х + 2 6

7у + 3 6

(у ~ 3) = 4

(х + 2) = -3 ;

4ж — 5у + 10 5х — 5у + 8 _ -

5х — 4у + 4 6х + 2/ — 10

= -1

15.

556. а)

б)

4 10

(х + З)2 = (х — 3)(х + 3) + 10г/

\ (У + 5)(у - 5) = (у - 5)2 - 10х;

Г (х + 2)2 + (у ~ 2)2 = х 2 + у2 \ (2 - х)2 + ( у - I)2 = х 2 + у2;

( (2х - I)2 - 4х2 = 3у

В) \ (Зу — 2)2 — 2х = 9у2.

Методом замене решити системе једначина (задаци 557-561):

558. а)

557. а) Зх + 2у = 26, &х — Зу = 3; в) 2х + у = 12, — Зх + 6у = —3д) 2х + у = 5 , 4х + Зу = 11.

х — 2у — 3 = 0у = 16 — Зд;

у = 2х — 3 4у — Зх = 8;

Г Зд — 2у = 1 \ 2ж — 4̂ / = —10;Г 45 + ЗГ = —6 \ 35 - 2* = 4;

бх — Зу = 3 2д — у = 1;

„2

559. а)

б) 5д — 2у = 29, 10д + 132/ = 24; г) 2х — 7у = 2, 6д — 112/ = 26;

б)

г)

б)

г)

560. а) б)

б)

Ј Зх + 5у = 7 \ 6х + 10т/ = 1;

2Зд + атг/ = 10 Зх + у = 5;

ху — у = 6 5 х - у = 5;

х 2 + б̂ /2 — 5ху + х — 32/+ 2 = 0 х — 2у = 1.


562. Представити графички у координатном систему хОу скуп решења једначине:

1° Представити графички скупове решења ових једначина.

2° Показати да њихови графици имају једну заједничку тачку и одре- дити њене координате.

564. „Графички“ решити систем једначина:

в) 2х — у = 0, Зх + у — 5.

565. Представити графички скупове решења једначина х + у = 1, 2х + 2у = — 5 у координатном систему х О у . Показати да графици тих скупова немају заједничких тачака.

566. Дати графичку интерпретацију решења следећих система једначина:

а) х = 2у + 4, у = | - 2 ; б) 2х - у = 4, у = 2х - 1;

ч 3в) у = - х , х 2у = 1.

5

567. Следеће системе једначина „решити“ графички, а резултат прове- рити заменом:

а) 2х — у + 5 = 0;

в) — Зх + у - 1 = 0;

б) | + у - 1 = 0;

г) х + 2у = 0.

563. Дате су једначине:

а) х + 2у = 3, 2х — у = 1; б) Зж — 2у — 4, х — 2у = 0.

а) 2 х - у = 5, 2х + у = 3-, б) 2д + у = 9, х - у = 0;


Решити системе једначина (задаци 568-569):

. X V X V568. а) - + - = 2 , -------- = 0;

; 2 3 ’ 2 3б) 6ж + 5у = 2 6х + у = ^

в) х + = 0,6, у - = 0,3;

г) ^ х - | = 4, 0,5ж — 0,2ј/ = 2;

, е - 2 г у - 1 2л ) + - “ 5 - — = 3^

569. а) — + ^ ± 1 = ®, = - 1 -; 2 5 2 ’ 7 2

б)^ + 4 , 2 / — о х + 10у х — 5у 5

+ х + 5у = - 3 , +5 + 3 “ ° ;

. 2 у - х + 15 2 х — 5 7 - у2х + у + 19 ~ 3 ’ _ 3 2 + 3гЕ ~ 2У = - ! ;

г ) 1 _ ^ = ^ [2_ 2(ж_ 7 ) _ у ] 1 ^ _ ^ + ; с + 1 8 у = 1;

д) 2х - 2 У + 5 _ 5 у - 6 = 1 ; % + 2 _ 2( ж_ 1) = ^ 2 .

. Зх + 5у - 16 4х — Зу — 2 л 5х + 7 у - 14 7х - 5у - 122 3 ~ 4 ’ 4 2 = 4 '

570. Ако је ----- ---------------- - ----- = 0 и 0,1х — 0,3у = 5, наћи х + у .

571. а) Ако је 2у — х = 12 и у + 6 = Зх + 2у — 7, колико је х + у !б) Ако је 5х + 2у = 25 и 42 — 4х = 6у, колико је Зу + 2x1в) Ако је 2х + 2у = 6 и Зх — у = 5, колико је х + 2у !

572. Одредити вредности т и п за које систем једначина

Ј (т — 3)х + (гг + 2)г/ = 3 Ј (гг + 2)х — ( т — 1 )у = 1

има решење

573. За које вредности р и д систем једначина 0,2х = р и х + ру = д има решење (5, — 7) ?


574. Наћи вредности р и д тако да уређени пар ( -2 ,1 ) буде решење система једначина:

а) х + 2у = р, 2х + Зу — д-, б) х - у = р, х + у = 2д;в) 2х - Зу = - р + д , х + \ у = 2р + 4д;г) 4х + 7у = р - д , -2,х - 2 у = 2ч - р .

575. Дат је систем једначина

а) Одредити вредност параметра к тако да уређени пар (2,2) буде решење система.

б) За нађену вредност к графички представити обе функције (*).

576. Збир два броја је 54, а разлика 20. Који су то бројеви?

578. Збир два броја је 168, а њихов количник је 6. Који су то бројеви?

579. Наћи два броја чији су разлика, а исто тако и количник једнаки 3.

580. Збир два броја је 42. Ако се већи подели мањим, добија се количник 3 и остатак 2. Који су то бројеви?

581. Ако се неки број подели другим, добија се количник 2 и остатак 2; ако се њихов збир подели њиховом разликом, добија се количник 2 и остатак 8. Који су то бројеви?

582. Збир цифара једног двоцифреног броја је 13. Разлика између тог броја и броја који се добије кад му цифре замене места је 27. Који је то број?

583. Један број је за 166 већи од другог. Ако се већи број подели мањим, добија се количник 2 и остатак 16. Који су то бројеви?

584. Одредити дужину краће основице једнакокраког трапеза ако је она једнака краку, обим трапеза је 38 сш, а средња дуж 11 с т .

585. Збир катета правоуглог троугла је 20 с т . Ако се дужа катета продужи за 4 с т , а краћа скрати за 2 с т , површина троугла се не мења. Колике су дужине катета?

586. Обим једнакокраког троугла је 54 сш, а основица се односи према краку као 5 : 1 1 . Наћи дужине страница троугла.

2х + г / - 6 = 0, х - 2 у - к - 1 = 0 . (*)

577. Половина збира два броја је — Који су то бројеви?

12 ’ а половина њихове разлике је - .


587. Обими двају квадрата разликују се за 8 с т , а површине за 16 с т 2 . Колике су странице тих квадрата?

588. Обим једног правоугаоника је 56 с т . Израчунати дужине страница ако је познато да је њихов однос 4 : 3 .

589. Средња линија трапеза је три пута дужа од једне основице и 12 сш краћа од друге. Израчунати дужине основица.

590. У трапезу А В С Б средња дуж је 10,5 с т . Права кроз тачку О , паралелна краку В С , сече основицу А В у тачки Е тако да је А Е = 3 с т . Одредити дужине основица трапеза.

591. Ако се два круга додирују споља, њихово централно одстојање је 8 с т , а ако се додирују изнутра - З с т . Наћи полупречнике тих кругова.

592. Центри трију кругова, од којих се свака два додирују споља, су темена троугла А В С . Наћи дужине полупречника тих кругова ако су странице троугла А В С : 7 с т , 8 с т и 1 1 с т .

593. Израчунати дужине ивица квадра ако су обими три његове стране, које имају заједничко теме, 16 с т , 20 с т и 24 с т .

594. Одредити сваки од два суплементна угла ако је један од њих:а) три и по пута већи од другог;б) за 30° мањи од другог;в) за 20% мањи од другог.

8.2. Р Е Ш А В А Њ Е С И С Т Е М А Д В Е Л И Н Е А Р Н Е Ј Е Д Н А Ч И Н Е СА Д В Е Н Е П О ЗН А Т Е

- С И С Т Е М А Т И З А Ц И Ј А

595. Дата је једначина х + у = 2.а) Проверити да ли су следећи уређени парови решења ове једначине:

(1,1), (2,0), (3 ,-1 ) , (3,1), ( - 2 , 4 ) , ( - 5 , 6 ) , (10,8);б) колико решења има дата једначина?в) Нацртати график скупа решења дате једначине у координатном си-

стему х О у .

Решити системе једначина (задаци 596-600):

596. а) \/2ж + у/Зу = 5, 5л/2х - 2 л Д у = 4;б) х/Зд: + 2л/2у = 3 \/б , \/2ж + \/З у = 5;в) х — уу/2 = — 2, у — х = 1; г) жл/5 — 5у = у/5, х — у \ / 5 = 5.


597. а)20 — (8 а — 36) = 56 — (а + 6 — 3)

12 - (а + 6 + 2) = 42 - (9а - 46 + 7);

(ж + 3)(ј/ + 5) = ( х + 1.)(у + 8)( 2 х — 3)(5ј/ + 7) = 2(5х — 6)(у + 1);

1 (ж + 1 ) - У ± 2 = 2(ж _ у)

б)

- ( у ~2>) = 2 у - х .

1 : 2 = 0 + 1) : (9 + 4) 1 : 3 = ( р - 1 ) : ( д + 2);

Ј (9 + Зр + 2д) : (1 + р + Зд) = 4 : 3 Ј (2 + 2р — Зд) : (3 + р — 2д) = 3 : 2 .

Г + 3 8 — Г

{х - 1) : (у + 2) = 1 : 2 У : х = 4 : 3;

599. а)

б )

в) <

2у — 12 , - Ј ^ = 5

2ж - 1 5~ + 2 у - з = 0 ;

х + у _ у ~ х _ 2 4

а: + у х — у4 2

о + 6 + 1 2а — 363 6

2а — 6 — 4

1,5 = 0;

3

6 = 6 .

600. а)(х + 2 ) {у — 3) = х у + 10

ч (х ~ 1){У + 2) = (5 - х ) ( 2 - у);

(х - 2)2 - ж(ж + у ) = у ( 1 - ж) — 5

(1 - У)(1 + у) = 2х - у 2 - 2 ( х +1


в)

г)

( З у - (х + 2 ) ( у - 1) = - х у

{ (х + 2)2 - (2у + I ) 2 = ( х - 2у)(х + 2у) - 13;

( (х + 3)(у - 1) - (1 + х)(у + 1) = 6

| 2х(х — 1) — 2(х + I )2 = 5у + 6.

601. Да ли је решење система једначина:а) Зх — 5у = —2, —Зх + 2у = — 1 и решење једначине 7х — 6у = 1;б) Зх + 4у = —4, 2х — у = 1 и решење једначине х + у = 1 ?

Решити систем једначина (задаци 602-603):

602. а) 2х + Зу = 5, х — у = 2, х + 4у = г-б) — 2х + 5у = 5 , х + у = 2 г , х + 15у = 1.

603. а) 15х + 10у + 8г = 164, х + у + г = 16, г = 2у\б) х + у + г = 2, 2у + Зг = 5, Зг — 9 = 0;

в) 2'х — Зу + 6г = 12, 5х — 7у = 0, Х + ~ = 4.

Увођењем нових непознатих решити систем једначина (задаци 604-605):. 2 1 8 2

604. а ) ------------------ = 0, -------- + -------- = 1;Х + у Х — у Х + у х — у

б) 27 32 _ 45 _ 48 _ _2х — у х + 3у ’ 2х — у х + Зу

1+

1х — у + 2 х + у — 1 10 х — у + 2 1 — х — у

110

605. . 3 5 _ 5 3б)

1 1 4 5а) - + - = 16, - - - = 4; -- 21, Н— —X У X У X У X У, 5 2 1 4 18 9

= 1,20 6в - — = - 1 , - + ■=— — 1; г) — Н— : + - =X У X 5 у X У X У

606. Одредити коефицијенте р и д квадратног тринома а(х) = х 2 +рх + дако је:

а) а(0) = 7, а(1) = 5; б) а(1) = - 2 , а(2) = 3;в) а (—1) = 14, а(3) = 14.

607. Одредити вредност параметра р тако да уређени пар (р, 1) буде решење једначине:

а) Зх - 2у - 1 = 0;

в )7х — 2 у — ;— + ~

б) — 2х + 6т/ — 3 = 0;

4 5

8. Системи линеарних једначина81

608. Доказати да следеће ва: једначине немају решења у скупу целих броје-

а) 12х - 38у = 7; б) 6 х - 1 4 у = 15; в) Зх + 9у = 34.

ћ ?9 П 3а 4Х~ ЗУ = 5 0дредити х ° и Уо так° Да УРеђени парови (+о,-1ђ и (4, т/о) буду решења ове једначине.

610. У једначинама:

а) Зх + у = 1; 2б) - Д - г / = 5;

. х у. + + ! = г , с 3

г) —5х + - у = 12,

изразити променљиву х у зависности од променљиве у и променљиву у у зависности од променљиве х .

Нека је (х0,у0) решење система једначина

х + = т + 1, 3 х — у = —771 + 8.

Одредити т тако да буде х 0 = 2у0 .

612. Одредити полином р(х) = ах + 6 ако је:

а) р(0) = 3, р( 1) = 4; б) р(1) = 2, р(2) = 0; в) р(3) = 10, р(6) = 9.

613. Обим паралелограма чије су дужине страница природни бројеви Једнак је 18. Колике су дужине страница тог паралелограма?

614. У зависности од реалних параметара т и р одредити природу решења система једначина:

т х + Ау = 3б)

Г т х + 4у = 35 х ~ 2 у = р; \ х + у = -

т х + 4у = - 8г) <

( Зх ~ 5у = 2х + у = ~ 2;

1 ж - 2 у = р ;

2х + Зу = р — 1ђ) ■

( Зх — 5у = 2т х + 9у = 2;

)\ х - 2 у = р .

615. Збир цифара једног двоцифреног броја је 14. Ако се цифрама замене места, добија се број за 18 већи од полазног. Који је то број?

616. Збир цифара једног двоцифреног броја је 9. Ако између цифара тог броја напишемо нулу и добијени број поделимо полазним, добијамо количник 9 и остатак 18. Који је то број?


617. Ако се један двоцифрени број увећа за осмоструку вредност цифре јединица, добија се 77. Ако се исти број умањи за 18, добија се број састављен од истих цифара. али написаних обрнутим редом. Који је то број?

618. Када се један двоцифрени број подели збиром својих цифара, добије се количник 4 и остатак 3, а када се тај број сабере са збиром својих цифара, добија се 28. Који је то број?

619. Ако се један двоцифрени број подели збиром својих цифара, добија се количник 5 и остатак 1. Ако се том броју дода 9, добија се број написан истим цифрама, али обрнутим редом. Одредити тај број.

620. Збир цифара једног двоцифреног броја је 9. Ако му избришемо цифру десетица, добија се број шест пута мањи од полазног. Који је то двоцифрени број?

621. Антикварница је купила два предмета за 225 динара и продала их са 40% зараде. Колико је антикварница платила сваки од предмета ако је зарада на првом 25%, а на другом 50% ?

622. 10% једног броја и 20% другог броја дају 62,4, док 20% првог и 10% другог броја дају 69. Наћи те бројеве.

623. Збир два броја је 88. Наћи те бројеве ако је један од њих за 20% већи од другог.

624. Три десетине од једног комада платна једнако је половини другог

комада, а — другог комада једнако је првом комаду скраћеном за 2 т . 5

Колико метара има сваки од та два комада платна?

625. Из града А у 12 ћ кренуо је воз. У 14 ћ у истом смеру креће други воз и стиже први у 20 ћ . Наћи средње брзине оба воза ако је збир њихових средњих брзина 7 0 к т /ћ .

626. Пловећи узводно брод пређе 63 к т за 5 сати, а пловећи низ реку брод пређе исти пут за 3 сата. Којом се брзином креће брод у мирној води и која је брзина речног тока?

627. Кад лети низ ветар, један авион пређе за два часа 1260 к т , а кад лети уз ветар, пређе за три часа 1710 к т . Израчунати бризну авиона у мирном ваздуху и брзину ветра.

628. Разлика два броја је 7, а разлика њихових квадрата је 385. Који су то бројеви?


629. Јоца се хвали: „У левом и у десном џепу имам укупно 350 динара. Ако из десног џепа пребацим у леви онолико динара колико их је било у левом, онда ћу у десном имати 30 динара више него у левом џепу. “ Колико новца Јоца има у сваком џепу?

630. Сандук пун дуката има масу 100 к§, а сандук са петином укупне количине дуката има масу 32 к§ . Колико килограма дуката стане у сандук?

631. Милан и Никола су се опкладили у 12 динара. Ако добије Милан, имаће три пута више новцаод Николе, а ако добије Никола, имаће два пута мање новца од Милана. Колико сваки од њих има новаца?

632. Разговарају Ана и Марија.

Ана: „Марија, дај ми 5 оловака, па ћу их имати два пута више од тебе.“ Марија: „Ана, дај ми 5 оловака, па ћу их имати три пута више од тебе.“ Колико оловака укупно имају Ана и Марија?

633. Милица може да окречи своју собу за 6 часова. Ако би радила заједно са Соњом, собу би окречиле за 3 часа и 20 минута. За које време би Соња сама окречила Миличину собу?

634. Два радника могу да заврше неки посао за 12 дана. После заједнич- ког рада од 5 дана, један радник је напустио посао, па је други продужио Да РаДи сам и завршио посао за наредних 17,5 дана. За колико дана би посао завршио сваки од тих радника радећи сам?

635. Јована и Ивана су заједно имале 713 динара и решиле су да учешћем4по пола купе једну књигу. Јована је за књигу дала - свог новца, а Ивана

А о— свог новца. Колико кошта књига и колико новца су имале Јована и Ивана?

636. Деда жели да известан број јабука подели својим унуцима. Ако сваком унуку да по 5 јабука, преостају му 3 јабуке, а ако би сваком хтео да да по 6 јабука, једна јабука би му недостајала. Колико има унука, а колико јабука?

637. Два ученика имају заједно 444 динара. Када би први имао 14 пута више, а други 12 пута више, имали би 6086 динара. Колико динара има свако од њих?

638. У једној породици сваки син има исто толико браће колико и сестара, а свака кћи има два пута више браће него сестара. Колико има деце у тој породици?


639. Маја је шест година млађа од Петра. Кроз седам година Маја ће3

имати - Петрових година. Колико година има Петар?

640. Александар и Бранислав имају заједно 59 динара, Бранислав и Владимир заједно имају 55 динара, а Владимир и Александар заједно имају 51 динар. Колико новца има свако од њих?

641. Базен се пуни кроз две цеви. Ако је прва отворена 5, а друга 8 минута, у базен уђе 3401 воде. Ако је, пак, прва отворена 8, а друга 5 минута, онда у базен уђе 3101 воде. Колико литара воде у минуту даје свака цев посебно?

642. У два базена има укупно 1000 т 3 воде. Ако се из једног базена прелије шестина његове воде у други базен, онда оба базена садрже једнаке количине воде. Израчунати првобитну количину воде у сваком од базена.

643. Два суда, запремине 1441 и 701, садрже извесну количину воде. Ако се већи суд допуни из мањег, у мањем ће остати 11 воде. Ако се, пак,

мањи суд допуни из већег, тада у већем остаке — првобитне количине воде. Колико воде има у сваком суду?

8.3. Д О Д А Т А К У З Г Л А В У V II I

644. Решити системе једначина:

») = 1 Ј х’ З + х 3 V 4

3 1 +2х

* + ! ! ! 2] у — х + 1 2х + у + 4

Зт + 4у — 2 4 ’ ж + З(х + 4)2 - (у ~ 2)2

Зд ~ 2у х + 2у =2 + у 2 + у

3 2 у + 1 __ у + 5 _ж + 3 ’

1, х — 2у = 6.

■2’

х 2 — у2 + 10

645. Ако су а и 6 дати реални бројеви, решити систем једначина:а) х + у — 2а — 6, Зж — 2у = а + 26;б) 4ж — 5у = —11 а + 256, Зх + 2у = 9а + 136;

х — 6 у — а. х — а г/ — 60 2 1 3 = 3 ' 2г) х + у = 5а + 36, Зх — у = За — 76.

6;


646. Изразити променљиву х у зависности од променљиве к из једначине к{х — к) = х + 7. Затим наћи све целобројне вредности параметра к за које је х природан број.

647. Решити системе једначина:а) 2х - у + г = 2, Зх + 2у + 2г = - 2 , х - 2 у + г = 1 ;б) х + 2у + 3х = 5, 2х — у — г = 1, х + 3у + 4.г = 6;в) а; + 5 у - 4 г + 5 = 0, 2х - Зу + * - 2 = 0, 4х + у - Зг + 4 = 0.

648. Решити систем једначина:а) у — 2|ж( + 3 = 0, |у| + ж — 3 = 0;б) |2ж — 11 — а/ = 2, х - | 4 - у | = - 1 ;в) |х| + у = 2, ж + |у| = 0.

649. Одредити све природне бројеве т и п такве да је:а) т 2 — п2 = 24; б ) ш 2 - п 2 = 105.

650. Ученик је у току 19 дана решио 73 задатка. Сваког од првих 11 дана решио је по х задатака, а сваког од наредних дана по у задатака. Наћи X и у.

651. Наћи целобројна решења једначине х 2 + 2ху - 3у2 = 1.

652. а) Човек, рођен у XX веку, пуни 1999. године онолико година колики је збир цифара његове године рођења. Које је године рођен?

б) 1876. године Никола Тесла је напунио онолико година колики је збир цифара његове године рођења. Које године је рођен Никола Тесла?

653. Ако се у једном троцифреном броју замене места прве и последње цифре, добија се број за 99 мањи од полазног. Наћи тај троцифрени број ако је познато да је збир његових цифара једнак 10 и да је средња цифра за 8 мања од збира прве и последње.

654. Ако је /(ж) + 2 / = х {х ф 0), одредити ј { х ) .

655. Наћи најмању вредност израза г = х 2 + 2ху + Зу2 + 2х + 6у + 4.656. Наћи целобројна решења једначине:

а) х 2 + 4х = у 2 + 44; б) х 2 + 2х = у2 + 4.

657. Из места А и В истовремено полазе два аутомобила један другом У сусрет. После сусрета аутомобил који је пошао из А продужава за В

и стиже за 2ћ , а аутомобил који је пошао из В стиже у 4 — ћ после8

сусрета. Одредити брзине аутомобила ако је удаљеност места А и В 210 к т .


658. По кружној стази дужине 360 к т крећу се два мотодикла. Један од њих прелази 4 т / з више од другог и због тога обиђе целу стазу за један секунд брже. Колико метара у секунди прелази сваки од њих?

659. Четрдесет крава попасе једну ливаду за 50 дана. Исту ливаду попасе 60 крава за 30 дана. Колико ће дана дату ливаду пасти 20 крава? Колико крава може да пасе на ливади 75 дана? (Задатак Исака Нјутна)

660. Површине два круга разликују се за 7п с ш 2 , а њихови обими за 27гст. Израчунати полупречнике ових кругова.

661. Милан са сином и Зоран са сином су били у риболову. Милан је уловио три пута више риба него његов син, а Зоран је уловио пет пута више риба него његов син. Сви заједно су уловили 63 рибе (свако је уловио цео број риба). Колико риба је уловио најмлађи члан овог друштва?

662. Директор једне гимназије обавестио је заинтересоване новинаре да је уписано осам одељења ученика I разреда. У првом, другом и трећем одељењу уписано је укупно 96 ученика, у другом, трећем и четвртом - 98, у трећем, четвртом и петом - 98, у четвртом, петом и шестом - 95, у петом, шестом и седмом - 93, у шестом, седмом и осмом — 97, у седмом, осмом и првом - 99 и у осмом, првом и другом - 98 ученика. Колико је ученика уписано у свако одељење?

663. Ако две цеви истовремено пуне један базен, напуниће га за 15 ћ. Ако прва цев пуни базен само 6 ћ , другој треба 30 ћ да би допунила базен до краја. Колико је часова потребно свакој цеви посебно да напуни базен?

664. Два радника, радећи заједно, заврше неки посао за пет дана. Ако би први радник радио два пута брже, а други два пута спорије, посао би завршили за четири дана. За колико би дана цео посао завршио први радник радећи сам?

Documents

8. СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА СА ДВЕ НЕПОЗНАТЕbrankoradicevic-bl.rs.ba/wp-content/uploads/2018/... · 72 Текстови задатака