8 Vyrovnávanie časových radov Pre riadiacich pracovníkov je dôležitá analýza údajov z časových radov jednotlivých ukazovateľov, aby na ich základe vedeli odhadnúť vývoj týchto veličín a prijímať rozhodnutia. V tejto a nasledujúcich dvoch kapitolách budeme venovať pozornosť modelom časových radov, ich analýze a prognostickému využitiu. Východiskom pre tvorbu štatistických radov sú údaje. Najťažšou úlohou je neraz práve získavanie údajov, ktoré by nám umožnili vytvoriť prognostický model a pomocou neho potom riešiť špecifický rozhodovací problém. Taký údaj, na základe ktorého prijíma riadiaci pracovník rozhodnutie, nazývame informácia. Získané údaje by mali mať tieto vlastnosti: a) Spoľahlivosť a presnosť. Zdroj, od ktorého údaje získavame, by mal byť hodnoverný a mal by klásť dôraz na presnosť zaznamenávaných údajov. b) Relevantnosť. Znamená to, že údaje by mali reprezentovať okolnosti, pre ktoré sa následne využívajú v procese výstavby, kvantifikácie a aplikácie modelu. c) Konzistentnosť. Spracovateľ údajov by mal zabezpečiť nadväznosť údajov z pohľadu ich vecného obsahu v jednotlivých obdobiach vzhľadom na ich obsahovú štruktúru v minulých obdobiach. d) Aktuálnosť. Čím skôr má riadiaci pracovník údaje k dispozícii, tým väčší význam majú pre analýzu, pre prognózu i pre riadenie. Štatistické údaje, ktoré máme k dispozícii na začiatku štatistického skúmania, sú číselnou charakteristikou štatistických jednotiek. Usporadúvame ich do štatistických radov, ktoré môžu mať charakter: - prierezových údajov, ktoré tvoria pozorovania zozbierané v jednom časovom okamihu, - časových údajov, t.j. pozorovania sú zaznamenané v za sebou nasledujúcich obdobiach. Údaje zostavené v časových radoch musia zodpovedať týmto požiadavkám: a) štatistické údaje sú zoradené chronologicky, b) štatistické údaje musia byť porovnateľné z pohľadu: - dĺžky časového obdobia, za ktoré sa údaje zaznamenávajú, - veľkosti priestorového celku, v ktorom sa údaje zaznamenávajú - spôsobu získania údajov a použitých merných jednotiek skúmaných veličín. 8.1 Základné charakteristiky časových radov Časové rady vytvárame postupnosťou priestorovo a vecne porovnateľných údajov, pričom sú tieto údaje jednoznačne usporiadané z pohľadu času. Jednotlivé hodnoty časového radu označujme . Indexom t vyjadrujeme jednotlivé časové body, v ktorých sme namerali ty

139

príslušnú hodnotu premennej y, pričom platí, že nt ...,,2,1= . Písmenom n tu vyjadrujeme dĺžku časového radu, t.j. počet hodnôt v skúmanom časovom rade. nyyy ,...,, 21

Podľa periodicity, s akou zaznamenávame údaje pozorovanej premennej, rozdeľujeme časové rady na - dlhodobé – s periodicitou jedného roku, medzi ktoré môžeme zaradiť napríklad ročné hodnoty HDP, - krátkodobé – s periodicitou kratšou ako jeden rok, napr. rady štvrťročných, mesačných, týždenných alebo denných údajov. Ako príklad uvedieme denné údaje o vývoji menového kurzu eura voči americkému doláru od 1. januára 2004 do 30. júna 2004. Časové rady členíme podľa vyjadrovaných veličín na a) okamihové, ktoré vyjadrujú stav skúmaného javu k danému časovému okamihu (napr. stav na bankovom účte ku koncu kalendárneho mesiaca), a b) intervalové, ktoré sa viažu na určité časové obdobie (napr. mzdové náklady za obdobie jedného mesiaca). Okamihové časové rady charakterizujeme ich priemerom. Celkový priemer z okamihových hodnôt časového radu získame tzv. chronologickým priemerom chy , ktorý uvádzame v tvare

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

+++

++

−= −

2...

2211 13221 nn

chyyyyyy

ny (8.1)

pričom z n období môžeme zostaviť n-1 čiastkových priemerov. Čiastkový priemer z obdobia t potom určíme zo vzťahu

21++

= ttt

yyy

kde

ty je počiatočný stav v období t,

1+ty je stav na konci obdobia t. Uvedený vzťah (8.1) používame na výpočet priemernej hodnoty vtedy, keď je vzdialenosť medzi n pozorovaniami radu rovnaká. V prípade, že vzdialenosť medzi n pozorovaniami radu nie je rovnaká, použijeme na výpočet vážený chronologický priemer

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

+++

++

= −−

−

=∑

11

232

121

1

1

2...

221

nnn

n

ti

ch dyydyydyy

dy (8.2)

kde je dĺžka medzi dvomi pozorovaniami okamihovej premennej. td

140

Intervalové časové rady zlučujeme v čase sčítavaním. Predovšetkým v krátkodobých časových radoch sa údaje kvôli porovnaniu očisťujú tak, aby vyjadrovali hodnotu veličiny za rovnako dlhé časové úseky. Uvádzame vzťah pre očisťovanie údajov na kalendárne dni

ttt m

myy =′ (8.3)

kde

ty je hodnota premennej v mesiaci t,

tm je počet kalendárnych dní v mesiaci t, m je priemerná dĺžka kalendárneho mesiaca. Výsledkom výpočtu sú potom kalendárne očistené údaje za príslušný mesiac, ktorými nahradzujeme pôvodný rad údajov, ktorý nezohľadňoval rozdielnu dĺžku časového intervalu. Časové rady vytvárame aj z odvodených veličín, a to buď z priemerných hodnôt skúmanej premennej alebo z pomerných hodnôt skúmanej premennej, ktoré zvyčajne konštruujeme na princípe bázických a reťazových indexov. V štatistických ročenkách sa stretávame napríklad s časovými radmi zaznamenávajúcimi vývoj hrubého domáceho produktu vzhľadom na východiskové obdobie, ktorý vývoj sa vyjadruje pomocou relatívnych ukazovateľov. Dynamiku štatistického radu sledujeme tak, že zaznamenávame zmeny vo vývoji skúmanej veličiny v jednotlivých obdobiach. Zmeny meriame buď pomocou - absolútnych diferencií alebo - pomerných čísel. Absolútne diferencie (prírastky alebo úbytky) definujeme ako veličiny majúce vlastný rozmer, ktoré získame ako rozdiely susedných hodnôt v časovom rade. Ak uvažujeme časový rad hodnôt premennej y v časových bodoch , tak rad prvých diferencií definujeme všeobecným predpisom

nyyy ,...,, 21 nt ,...,2,1=

1

)1(−−=∆ ttt yy pre (8.4) nt ,...,3,2=

Celkový počet prvých diferencií je 1−n . Z prvých diferencií získavame druhý diferenčný rad, ako rozdiel susedných hodnôt prvého diferenčného radu. Druhý diferenčný rad vyjadruje zrýchlenie (spomalenie) vývoja v časovom rade a môžeme ho definovať vzťahom

)1(1

)1()2(−∆−∆=∆ ttt pre (8.5) nt ,...,4,3=

Celkový počet druhých diferencií je 2−n . Analogicky určujeme prvé diferencie vyšších stupňov. Pomer druhých diferencií k prvým diferenciám vyjadruje koeficient zrýchlenia (spomalenia), ktorý vyjadríme vzorcom

141

1

)1(1

)1(

)1(

)2(

−

−

−∆−∆

=∆∆

=tt

tt

t

tt yy

ϕ (8.6)

Priemerná absolútna diferencia sa vypočíta z absolútnych diferencií pomocou aritmetického priemeru, a to

1112

)1(

)1(

−−

=−

∆=∆∑=

nyy

nn

n

tt

(8.7)

Na vyjadrenie dynamiky časového radu používame aj pomerné čísla, ktoré sú na rozdiel od absolútnych diferencií nemajú rozmer. Často sa používa koeficient rastu príslušnej veličiny, ktoré vyjadríme všeobecným vzťahom

1−

=t

tt y

yk pre . (8.8) nt ,...,3,2=

Priemerný koeficient rastu časového radu vypočítame ako geometrický priemer 1−n koeficientov rastu

1

1

132 ... −− =×××= n nn

n yykkkk (8.9)

ak časový rad začína hodnotou . 1y Ďalším z pomerných ukazovateľov vyjadrujúcich vývoj hodnôt časového radu je koeficient prírastku, ktorý definujeme ako podiel absolútnej diferencie v čase t a hodnoty skúmanej premennej v čase t-1. Vyjadríme ho vo vzorci

1

1

1

)1(

−

−

−

−=

∆=

t

tt

t

tt y

yyy

κ pre . (8.10) nt ,...,3,2=

Jednoduchou úpravou výrazu (8.10) zistíme vzťah medzi koeficientom rastu a koeficientom prírastku

1−= tt kκ pre . nt ,...,3,2= Relatívnu zmenu hodnôt časového radu môžeme popísať tiež ukazovateľom vo vzťahu k východiskovej hodnote časového radu. Vznikne takto časový rad bázických indexov, ktoré definujeme vo vzťahu

1000

×=yyi tb

t (%) pre . (8.11) nt ,...,2,1=

142

Hodnota tu predstavuje bázu, ku ktorej vzťahujeme všetky hodnoty časového radu. Časový rad bázických indexov tak vyjadruje celkový trend skúmanej premennej vzhľadom na východiskové obdobie.

0y

Postupné zmeny skúmanej premennej vyjadríme pomocou reťazových indexov. Ide v podstate o koeficienty rastu (8.8), ktoré vyjadríme v percentách

1001

×=−t

trt y

yi (%) pre . (8.12) nt ,...,3,2=

Podrobnosti o indexoch, o ich vlastnostiach a o vzťahoch medzi nimi nájdeme v literatúre [7]. 8.2 Charakteristiky presnosti predpovede Presnosť použitých prognostických metód overujeme pomocou vybraných charakteristík. Všetky uvádzané charakteristiky vychádzajú z reziduálnej odchýlky vyjadrenej vzťahom

ttt yye ˆ−= (8.13) Symbolom e označujeme tzv. rezíduum. Čím je hodnota rezíduí bližšia nule, tým presnejší model sa podarilo získať. Jedna z metód hodnotenia presnosti predpovede využíva absolútnu hodnotu reziduálnej odchýlky. Nazývame ju priemerná absolútna chyba a označíme skratkou PACH. Túto charakteristiku využívame vtedy, keď chceme vyjadriť chybu prognózy v tých istých jednotkách, ktoré sú vlastné hodnotám pôvodného štatistického radu.

∑=

−=n

ttt yy

nPACH

1

ˆ1 (8.14)

Charakteristika presnosti predpovede založená na štvorcoch rezíduí sa nazýva priemerná štvorcová chyba (PŠCH). Táto charakteristika penalizuje veľké odchýlky predpovede, pretože chyba je umocnená na druhú. Na základe priemernej štvorcovej chyby preferujeme model, ktorý vykazuje mierne hodnoty chýb predpovede pred takým, ktorý vykazuje veľmi nízke hodnoty chýb a jednu extrémnu hodnotu chyby predpovede.

∑=

−=n

ttt yy

nPŠCH

1

2)ˆ(1 (8.15)

Niekedy je užitočné vyjadrenie chyby predpovede s využitím relatívnych mier presnosti. Medzi takéto charakteristiky patrí priemerná absolútna percentuálna chyba (PAPCH). Spôsob výpočtu tejto charakteristiky je ten, že vyjadríme odchýlku predpovede v absolútnej hodnote v každom z období, a vydelíme ju empirickou hodnotou závisle premennej z daného obdobia, a potom vypočítame priemer zo všetkých týchto chýb. Metodiku používame vtedy, keď chceme zdôrazniť veľkosť prognózovanej premennej a pomer medzi veľkosťou chyby a veľkosťou prognózovanej premennej. Túto charakteristiku používame zvlášť vtedy, keď je hodnota premennej y vysoká. Keďže ide o relatívnu charakteristiku presnosti, môžeme ju

143

využiť aj pre porovnanie presnosti rovnakých alebo rozličných techník na dvoch celkom odlišných štatistických radoch.

∑=

−=

n

t t

tt

yyy

nPAPCH

1

ˆ1 (8.16)

O prípadnom skreslení prognostického modelu sa môžeme presvedčiť, keď použijeme priemernú percentuálnu chybu (PPCH). Vypočítame odchýlku predpovede v každom období a delíme ju empirickou hodnotou závisle premennej z daného obdobia. Následne vypočítame priemer zo všetkých relatívnych chýb. Ak je prognóza neskreslená, tak výsledná hodnota PPCH sa približuje nule. Ak je výsledkov vysoko negatívne percento, tak prognóza je nadhodnotená. Ak je naopak výsledná hodnota PPCH vysoko pozitívna, tak prognostická metóda podhodnocuje skutočnosť.

∑=

−=

n

t t

tt

yyy

nPPCH

1

)ˆ(1 (8.17)

Manažér očakáva, že dobrá predpovedná metóda vykazuje nízku hodnotu chyby predpovede, ktorá sa významne neodchyľuje od svojho priemeru, t.j. je konštantná. Popísané charakteristiky presnosti predpovede využívame na tieto účely: - porovnanie presnosti dvoch alebo viacerých rozličných metód, - použiteľnosť a spoľahlivosť príslušnej metódy, - vyhľadanie optimálnej prognostickej metódy. 8.3 Naivné modely Naivné modely vyjadrujú hypotézy o vzťahu medzi dvoma hodnota tej istej premennej, ktorú sledujeme v obdobiach bezprostredne nasledujúcich po sebe [2]. Na rozdiel od iných prognostických techník ich môžeme použiť pre tvorbu prognózy aj vtedy, keď disponujeme malým rozsahom empirických pozorovaní. Tento typ modelov slúži tiež na porovnanie presnosti predpovede s ostatnými prognostickými modelmi, napríklad s regresnými modelmi. Jeden z typov naivných modelov vychádza z predpokladu, že očakávanú hodnotu premennej v budúcom období najlepšie vystihuje hodnota premennej z bežného obdobia . Súčasne predpokladáme, že vzniknutá chyba formulovaného vzťahu je náhodná zložka modelu s nulovou strednou hodnotou a konštantným rozptylom.

1ˆ +ny ny

nn yy =+1ˆ (8.18)

Všetku váhu sme v modeli položili na súčasné pozorovanie a jeho hodnotu sme vzali ako jedinú určujúcu pre budúci vývoj premennej Niekedy hovoríme aj tzv. predpovedi „bez zmeny“. Ak hodnoty premennej v čase rastú, tak môžeme použiť iný typ naivného modelu. Tento typ určuje budúcu hodnotu pomocou súčasnej hodnoty veličiny zväčšeného o zmenu zaznamenanú oproti jej predchádzajúcej hodnote . Model môžeme zapísať v tvare 1−ny

144

)(ˆ 11 −+ −+= nnnn yyyy (8.19) Model vychádza z predpokladu, že rovnaký prírastok ako zaznamenávame v súčasnom období, zaznamenáme aj v období prognózovanom. Spomenieme ešte jeden typ naivného modelu, ktorý vychádza z predpokladu, že miera zmeny premennej môže presnejšie determinovať jej budúci vývoj ako jej absolútna zmena. Predpoveď potom generujeme pomocou vzťahu

11ˆ

−+ =

n

nnn y

yyy (8.20)

Model používame vtedy, ak očakávame exponenciálny rast premennej. Koeficient rastu premennej je konštantný, absolútne prírastky rastú. V literatúre [3] sa uvádzajú modely, ktoré berú do úvahy sezónne výkyvy skúmanej premennej. Ak vytvárame predpoveď pre štvrťrok, tak môžeme použiť model

31ˆ −+ = nn yy (8.21) Na základe tohto modelu budeme predpovedať v budúcom štvrťroku rovnakú hodnotu premennej ako v tom istom štvrťroku predchádzajúceho roku. Model (8.21) má nevýhodu v tom, že neberie do úvahy všetky zmeny, ktoré sa nastali od minulého roku. Preto používame model, ktorý zahŕňa tak sezónny, ako aj trendový výkyv. Uvádzame ho v tvare

4ˆ 4

31−

−+−

+= nnnn

yyyy (8.22)

Ku kvartálnej hodnote premennej z minulého roku pripočítame priemernú zmenu zaznamenanú za minulé štyri kvartály, čím zahrnieme do modelu odhad trendu. ■ Príklad 8.1 Naivné modely Za kľúčovú determinantu vývoja investícií v podniku považuje jeho vedenie množstvo výkonov. Pomocou naivných modelov predpovedajme výšku výkonov (v tis. oskm) na druhý kvartál roku 2004 na základe štvrťročných údajov zapísaných v tab. 8.1. Za obdobie kvantifikácie modelu považujme obdobia rokov 2002q1-2004q1, teda platí, že . 9=n Podľa modelu (8.18) považujeme pri stanovení prognózy za najdôležitejšie predchádzajúce obdobie

919ˆ yy =+

8145ˆ10 =y

145

Chyba predpovede 21183568145ˆ 101010 −=−=−= yye . Ako vidíme aj na obr. 8.1 údaje o prepravných výkonoch vykazujú stúpajúci trend, dokonca v jednom z období sa javí významnejšia sezónna odchýlka. Použijeme teda iné typy naivných modelov a vyhodnotíme ich chyby predpovede.

Obdobie t Výkony 2002-Q1 1 7045 2002-Q2 2 7314 2002-Q3 3 7898 2002-Q4 4 7463 2003-Q1 5 7512 2003-Q2 6 7825 2003-Q3 7 8223 2003-Q4 8 7984 2004-Q1 9 8145 2004-Q2 10 8356 2004-Q3 11 8678 2004-Q4 12 8267

7000

7500

8000

8500

9000

02-Q1

02-Q2

02-Q3

02-Q4

03-Q1

03-Q2

03-Q3

03-Q4

04-Q1

04-Q2

04-Q3

04-Q4

Výko

ny (t

is. o

skm

)

Tab. 8.1 Prepravné výkony Obr. 8.1 Prepravné výkony Podľa modelu (8.19) získame predpokladanú hodnotu výkonov v desiatom období

)(ˆ 199919 −+ −+= yyyy

8306)79848145(8145ˆ10 =−+=y Chyba predpovede 5083568306ˆ 101010 −=−=−= yye . Ako vidíme, chyba predpovede sa oproti modelu (8.18) výrazne znížila. Nakoniec sa pokúsime na odhad použiť niektorý z modelov zohľadňujúci sezónny výkyv. Keďže potrebujeme v modeli zohľadniť i rastúci vývoj veličiny i kvartálny výkyv, vyberieme model (8.22), a vypočítame hodnotu prognózy na desiate obdobie.

4ˆ 499

3919−

−+−

+=yyyy

25,79834

7512814578254

ˆ 59610 =

−+=

−+=

yyyy

Chyba predpovede 75,372835625,7983ˆ 101010 −=−=−= yye . Pomocou naivných modelov môžeme pomerne jednoducho dospieť k predpovedi prepravných výkonov. Riziká ich použitia spočívajú v tom, že predpovedaná hodnota závisí iba od vybraných hodnôt z časového radu, čo v konečnom dôsledku môže významne skresliť prognózu. ■

146

8.4 Vyrovnávanie časového radu kĺzavými priemermi Pod pojmom vyrovnávanie časového radu rozumieme vylučovanie sezónnych a náhodných výkyvov v časovom rade. Až po jeho očistení môžeme posudzovať vývojovú tendenciu skúmaného javu. K najpoužívanejším metódam v praxi patrí metóda kĺzavých priemerov. Princíp metódy spočíva vo výpočte priemerných hodnôt skúmanej premennej z určitého (zvoleného) počtu empirických hodnôt časového radu. Vypočítanú priemernú hodnotu priraďujeme k prostrednému obdobiu tzv. kĺzavej časti časového radu. Dĺžku kĺzavej časti (h) volíme nepárne číslo, teda platí 12 += mh . Miera očistenia časového radu závisí od zvolenej dĺžky kĺzavej časti. Ak zvolíme vysokú dĺžku kĺzavej časti, tak vyrovnaný časový rad má hladký priebeh, ale stratíme väčší počet hodnôt vyrovnaného časového radu. Predovšetkým strata aktuálnych hodnôt spôsobuje komplikácie pri tvorbe prognóz na základe vyrovnaného časového radu. Ak zvolíme nízku dĺžku kĺzavej časti radu, tak stratíme menej priemerných hodnôt, avšak vo vyrovnanom rade sa môžu stále objavovať výkyvy podobné tým, ktoré sme zaznamenávali aj v rade empirických hodnôt. Vyrovnanie časových radov jednoduchou metódou kĺzavých priemerov vyjadríme vzorcom

12...... 1111

+++++++++

=′ +−++−+−−

myyyyyyyy mtmttttmtmt

t (8.23)

Vážený kĺzavý priemer vyjadríme vzťahom

mt

mmtmtttttttt wwww

wyywyywyywyy2...22

)(...)()(

21

222111

++++−++++++

=′ −+−+−+ (8.24)

kde w je označenie pre použité váhy. Kĺzavý priemer používame na vyrovnanie radu a elimináciu sezónnych výkyvov. Pri tejto eliminácii volíme dĺžku kĺzavej časti rovnú perióde sezónneho výkyvu. Jedným zo spôsobov, ako vyrovnať časový rad, ktorý evidentne vykazuje lineárny trend, je použiť tzv. dvojité kĺzavé priemery. V prvom kroku vypočítame z empirických hodnôt radu kĺzavé priemery a v druhom kroku určíme kĺzavé priemery z hodnôt vypočítaných v prvom kroku, tzv. dvojité kĺzavé priemery.

12...... 1111

+′+′++′+′+′++′+′

=′′ +−++−+−−

myyyyyyyy mtmttttmtmt

t (8.25)

V niektorých prípadoch však musíme zvoliť dĺžku kĺzavej časti rovnú párnemu číslu (napr. v štvrťročných radoch, kde ). Vypočítané kĺzavé priemery zodpovedajú prostrednému obdobiu ( ), ktoré nekorešponduje s pôvodným empirickým radom hodnôt, nakoľko ide o neceločíselný bod. Centrovanie spočíva vo výpočte priemernej hodnoty z každých dvoch po sebe nasledujúcich kĺzavých priemerov. Vypočítaný priemer (tzv. centrovaný) zodpovedá príslušnému obdobiu, ktorému tak môžeme priradiť vypočítanú vyrovnanú hodnotu. Pri výpočte kĺzavých priemerov, ak h je párne číslo, postupujeme podľa vzorca

4=hmnm −+ ...,,1

147

hyyyyyyyy hthtttththt

t12/22/1112/2/

5,0...... −+−++−+−−

−++++++++

=′ (8.26)

hyyyyyyy hthttttht

t2/12/1112/

5,0...... +−++−+−

++++++++

=′ (8.27)

Centrovaný kĺzavý priemer pre obdobie t vypočítame

25,05,0 +− ′+′

=′ ttt

yyy (8.28)

Prognostické využitie metódy kĺzavých priemerov spočíva v uplatnení takého prístupu, ktorý považuje vypočítanú hodnotu kĺzavého priemeru z aktuálnych hodnôt najneskorších období za hodnotu prognózovanú pre budúce obdobie. Takýto prístup sa uplatňuje v literatúre [3], pochopiteľne výsledná hodnota predpovede opäť závisí od zvolenej dĺžky kĺzavej časti časového radu. Každú ďalšiu novú predpoveď konštruujeme zo zvoleného počtu bezprostredne predchádzajúcich hodnôt empirických pozorovaní, pričom najskorší údaj vypúšťame. ■ Príklad 8.2 Vyrovnanie časového radu kĺzavými priemermi Pri analýze vývoja čistých investícií v dopravnom podniku (viď príklad 7.1) za obdobie jeho existencie stojíme pred úlohou vyrovnania tohto radu. Vyrovnanie vykonáme pomocou 3-členných kĺzavých priemerov. Index čistých investícií je vyjadrený v percentách a ako vidíme aj z obr. 8.2, vykazuje približne lineárny trend. Na základe tohto zistenia použijeme ďalej aj dvojitý 3-členný kĺzavý priemer, aby sme lepšie vystihli vývoj čistých investícií v čase.

Kĺzavý priemer Dvojitý kĺzavý priemer Obdobie Index 3-členný odchýlka 3-členný odchýlka

1 100 X X X X 2 95 103,33 -8,33 X X 3 115 111,67 3,33 111,67 3,33 4 125 120 5 117,78 7,22 5 120 121,67 -1,67 121,78 -1,78 6 120 123,67 -3,67 124,67 -4,67 7 131 128,67 2,33 130,33 0,67 8 135 138,67 -3,67 136,89 -1,89 9 150 143,33 6,67 144,56 5,44

10 145 151,67 -6,67 151,11 -6,11 11 160 158,33 1,67 159,22 0,78 12 170 167,67 2,33 X X 13 173 X X X X

Tab. 8.2 Výpočet kĺzavých priemerov

Jednotlivé 3-členné priemery v treťom stĺpci v tab. 8.2 vypočítame podľa vzťahu (8.23), uvedieme spôsob výpočtu prvého člena vyrovnaného radu

33,1033

11595100112

122122 =

++=

+×++

=′ +− yyyy

148

pričom , z čoho vyplýva, že 3=h 1=m . Dvojité kĺzavé priemery vypočítame podľa vzorca (8.25), uvedieme opäť iba vzorový výpočet prvého člena vyrovnaného radu pre 1=m .

67,1113

12067,11133,103112

133133 =

++=

+×′+′+′

=′′ +− yyyy

8090

100110120130140150160170180

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Inde

x či

stýc

h in

vest

ícií

Empirické hodnoty3-členný k ĺzavý priemer

t

Obr. 8.2 Vyrovnanie radu pomocou 3-členných kĺzavých priemerov

8090

100110120130140150160170180

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Inde

x či

stýc

h in

vest

ícií

Empirické hodnoty

dvojitý 3-členný k ĺzavýpriemer

t

Obr. 8.3 Vyrovnanie radu pomocou dvojitých 3-členných kĺzavých priemerov

Ako je vidno aj z obr. 8.3, tak pri výpočte dvojitých kĺzavých priemerov strácame rovnaký počet priemerov, ako keby sme rátali jednoduché 5-členné kĺzavé priemery. ■ ■ Príklad 8.3 Centrované kĺzavé priemery Máme ďalej za úlohu vyrovnať časový rad kvartálnych údajov o vývoji výkonov dopravného podniku za obdobie 2002q1-2004q4 (viď príkladu 8.1). Údaje sú zapísané v treťom stĺpci tabuľky 8.3 (v tis. oskm) spolu s ostatnými výpočtami. Nakoľko disponujeme štvrťročnými údajmi, veľkosť kĺzavej časti zvolíme 4=h , zvolíme na vyrovnanie metódu centrovaných kĺzavých priemerov.

149

Centrovaný kĺzavý priemer Kĺzavý priemer Obdobie Kvartál Výkony 4-členný odchýlka Obdobie 4-členný

1 02-Q1 7045 X X 1,5 X 2 02-Q2 7314 X X 2,5 7430 3 02-Q3 7898 7488,375 409,625 3,5 7546,75 4 02-Q4 7463 7610,625 -147,625 4,5 7674,5 5 03-Q1 7512 7715,125 -203,125 5,5 7755,75 6 03-Q2 7825 7820,875 4,125 6,5 7886 7 03-Q3 8223 7965,125 257,875 7,5 8044,25 8 03-Q4 7984 8110,625 -126,625 8,5 8177 9 04-Q1 8145 8233,875 -88,875 9,5 8290,75

10 04-Q2 8356 8326,125 29,875 10,5 8361,5 11 04-Q3 8678 X X 11,5 X 12 04-Q4 8267 X X 12,5 X

Tab. 8.3 Výpočet centrovaných kĺzavých priemerov

Čiastkové výpočty kĺzavých priemerov, pre 4=h , sú zahrnuté v 6. a 7. stĺpci tab. 8.3: Postupujeme podľa vzorcov (8.26), (8.27). Uvedieme vzorový výpočet prvých dvoch členov radu

74304

746378987314704512/43312/432/435,03 =

+++=

+++=′ −++−−

− hyyyyy

75,75464

75127463789873142/4313312/435,03 =

+++=

+++=′ +++−

+ hyyyyy

Centrovaný kĺzavý priemer pre obdobie 3=t vypočítame podľa (8.28).

37,74882

75,754674302

5,035,033 =

+=

′+′=′ +− yy

y

7000

7500

8000

8500

9000

02-Q1

02-Q2

02-Q3

02-Q4

03-Q1

03-Q2

03-Q3

03-Q4

04-Q1

04-Q2

04-Q3

04-Q4

Výko

ny (t

is. o

skm

)

Empirické hodnoty

Centrovaný 4-člennýk ĺzavý priemer

t

Obr. 8.4 Vyrovnanie radu pomocou centrovaných 4-členných kĺzavých priemerov

Vyrovnanie radu 4-člennými kĺzavými priemermi sme znázornili na obr. 8.4. ■

150

8.5 Exponenciálne vyrovnávanie časových radov Exponenciálne vyrovnávanie patrí medzi tzv. adaptívne modely, ktorých hlavnou vlastnosťou je, že najnovšie pozorovania časového radu považujeme za najdôležitejšie pre vytvorenie prognózy. Zdôraznenie najneskorších hodnôt premennej je možné dosiahnuť voľbou odlišných váh jednotlivých pozorovaní tak, aby tie najnovšie údaje mali najväčšiu váhu. Exponenciálne vyrovnávanie sa v praxi využíva najmä na krátkodobé prognózovanie. Výhodou metódy je jej nenáročnosť a nízke náklady. Metodika zohľadňuje minulý vývoj sledovanej veličiny pomocou jej vážených priemerov. Výkyvy časového radu sa vyrovnávajú a získavajú sa očistené časové rady. 8.5.1 Brownovo exponenciálne vyrovnávanie Metóda exponenciálneho vyrovnávania obsahuje automatické váženie všetkých predchádzajúcich údajov a to tak, že váhy klesajú exponenciálne s časom. Najneskorším pozorovaniam priraďujeme najväčšie hodnoty váh a čím sú pozorovania staršie, tým sú nižšie hodnoty ich váh. Výhoda exponenciálneho vyrovnávania spočíva tiež v tom, že na vytvorenie prognózy postačuje niekoľko údajov časového radu. Metódou exponenciálneho vyrovnania určujeme prognózu na jedno obdobie dopredu a je vhodná iba pre časové rady s konštantným trendom. Princíp metódy vyjadruje [5] rovnosťou Nová predpoveď = Stará predpoveď + Určitá časť z chyby predpovede Jednoduchý vzorec, ktorý vyjadruje tento princíp Nová predpoveď = Stará predpoveď + α (Najneskoršie pozorovanie – Stará predpoveď) kde α je vyrovnávacia konštanta. Formálne zapíšeme v tvare

)ˆ(ˆˆ 1 tttt yyyy −+=+ α (8.29) Po úprave (8.29) dostávame tvar

ttt yyy ˆ)1(ˆ 1 αα −+=+ (8.30) kde

1ˆ +ty nová vyrovnaná hodnota, ktorá je prognózou na nasledujúce obdobie, α je vyrovnávacia konštanta )10( ⟨⟨α ,

ty nové pozorovanie, aktuálna hodnota z obdobia t,

ty vyrovnaná hodnota z obdobia t, ktorá bola prognózovaná na toto obdobie.

151

Hodnota vyrovnávacej konštanty sa môže nachádzať v intervale od 0 do 1. Čím je hodnota konštanty vyššia (bližšia k 1), tým je predpoveď citlivejšia na súčasné podmienky a naopak v prípade, že jej hodnota je nižšia, tak dávame nižšiu váhu súčasným pozorovaniam. Ak je hodnota konštanty blízka jednej, tak vyrovnaný rad je podobný pôvodnému, takže vyrovnanie je slabé. Čím je hodnota konštanty bližšia nule, tým je vyrovnanie radu silnejšie a rad je hladší. Práve výber vyrovnávacej konštanty je veľmi dôležitý pri aplikovaní metódy. V literatúre [4] odporúčajú autori postupovať tak, že zvolíme niekoľko vyrovnávajúcich konštánt a porovnávame štandardné odchýlky rezíduí príslušných radov exponenciálnych priemerov. Najvhodnejší je ten model, ktorého štandardná odchýlka rezíduí je najnižšia. ■ Príklad 8.4 Brownovo exponenciálne vyrovnanie V riešenom príklade si ukážeme, akým spôsobom môžeme využiť Brownovo exponenciálne vyrovnanie na vyrovnanie časového radu a stanovenie prognózy. Disponujeme kvartálnymi údajmi o prepravných výkonoch v tis. oskm v rokoch 2002-2004. Všetky empirické údaje, vyrovnané hodnoty i rezíduá sú v tabuľke 8.4. Pri výpočte vyrovnaných hodnôt postupujeme podľa vzorca (8.30). Prioritou je voľba vyrovnávacej konštanty alfa. Situácia sa výrazne zjednoduší vtedy, ak sa úloha rieši s využitím programového vybavenia počítača. Uvádzame výpočty pre 216,0=α . Východiskovú vyrovnanú hodnotu zvolíme rovnú jej empirickej hodnote.

Obdobie Kvartál Výkony Vyrovnané

hodnoty Rezíduá 1 2002-Q1 8450 8450 0 2 2002-Q2 8002 8450 -448 3 2002-Q3 8625 8353,23 271,768 4 2002-Q4 7864 8411,93 -547,934 5 2003-Q1 7546 8293,58 -747,58 6 2003-Q2 8005 8132,1 -127,103 7 2003-Q3 8460 8104,65 355,3514 8 2003-Q4 7963 8181,4 -218,405 9 2004-Q1 8456 8134,23 321,7708

10 2004-Q2 8000 8203,73 -203,732 11 2004-Q3 8100 8159,73 -59,7256 12 2004-Q4 8500 8146,82 353,1751

Tab. 8.4 Empirické a vyrovnané hodnoty

Pre poriadok uvedieme spôsob výpočtu druhého a tretieho vyrovnaného údaja

84508450)216,01(8450216,0ˆ)1(ˆ 112 =×−+×=−+= yyy αα 2,83538450)216,01(8002216,0ˆ)1(ˆ 223 =×−+×=−+= yyy αα

Prognózu na trináste obdobie stanovíme podľa rovnakého vzorca

1,822382,8146)216,01(8500216,0ˆ)1(ˆ 121213 =×−+×=−+= yyy αα Na prvý kvartál roku 2005 predpokladáme prepravné výkony vo výške asi 8223 tis. oskm. ■

152

8.5.2 Holtovo exponenciálne vyrovnávanie U mnohých ekonomických javov môžeme pozorovať v krátkych časových úsekoch lineárny trend. Holtova metóda exponenciálneho vyrovnania berie do úvahy tento vývoj a umožňuje nám vytvoriť na základe modelu prognózu ďalšieho vývoja skúmanej premennej. Ide o tzv. dvojité exponenciálne vyrovnanie. V modeli predpokladáme aj trendovú zložku, preto odhadujeme okrem bežnej hodnoty premennej aj bežný prírastok vyvolaný trendom. Holtova metóda uplatňuje vyrovnanie úrovne aj prírastku priamo prostredníctvom špecifických konštánt pre obidve zložky. Práve to považujeme za najväčšiu výhodu tejto metódy, teda vysokú flexibilitu pri navrhovaní vyrovnávacích konštánt. Prognózu na budúce obdobie vytvoríme sčítaním obidvoch vyrovnaných zložiek modelu. Metóda pozostáva z troch rovníc [3]: 1. Exponenciálne vyrovnaný rad (odhad priebežnej úrovne):

))(1( 11 −− +−+= tttt TLyL αα (8.31) 2. Odhad trendu:

11 )1()( −− −+−= tttt TLLT ββ (8.32) 3. Predpoveď na p období:

ttpt pTLy +=+ˆ (8.33) kde

tL je nová vyrovnaná hodnota (odhad priebežnej úrovne), α vyrovnávacia konštanta pre úroveň )10( ⟨⟨α ,

ty nové pozorovanie (aktuálna hodnota v období t), β vyrovnávacia konštanta pre odhad trendu )10( ⟨⟨ β ,

tT odhad trendu, p počet období predpovede,

pty +ˆ predpoveď premennej na p období do budúcnosti. Bližším rozborom rovnice (8.31) zistíme, že vyrovnanú hodnotu získavame z dvoch zdrojov. Prvým zdrojom je skutočná hodnota v príslušnom období , druhým zdrojom je predchádzajúca vyrovnaná hodnota zväčšená o trendovú zložku z minulého obdobia. Konštanta alfa udáva váhy skutočnej hodnote a trendovému prvku vo vyrovnanom modeli.

tL

ty

Konštanta beta v rovnici (8.32) určuje odhad trendu. Odhad trendu koncipujeme ako vážený priemer z dvoch trendových zložiek. Prvú zložku definujeme zmenou v úrovni vyrovnaných hodnôt z obdobia súčasného a predchádzajúceho. Druhú zložku potom určuje hodnota predchádzajúceho vyrovnaného trendu.

tT

153

Predpoveď vypočítavame na zvolený počet období dopredu (p). Jej hodnota vznikne po vynásobení trendového odhadu počtom období a pripočítaním priebežnej hodnoty premennej. Hodnoty obidvoch konštánt volíme nezávisle, kritériom voľby je priemerná štvorcová chyby. Čím väčšie váhy použijeme, tým väčšie zmeny v komponentoch rovníc nastanú, a tým vyrovnanejší bude výsledný model. Opačne platí, že použitím menších váh sa nám model výraznejšie nevyrovná. Teoreticky môžeme použiť všetky kombinácie vyrovnávacích konštánt alfa a beta, a vybrať kombináciu s najmenšou hodnotou PŠCH. Pre odhad východiskových hodnôt a v rovniciach (8.31) a (8.32) uvedieme dve možnosti. Buď prvú vyrovnanú hodnotu zvolíme totožnú s prvým pozorovaním, trend potom zvolíme rovný nule. Alebo namiesto prvej vyrovnanej hodnoty dosadíme priemernú hodnotu z prvých piatich pozorovaní, a trend dopočítame ako priemerný prírastok v prvých piatich obdobiach.

tL tT

tL

tL

■ Príklad 8.5 Holtovo exponenciálne vyrovnanie Holtovo exponenciálne vyrovnanie použijeme na výpočet teoretických hodnôt indexu čistých investícií z príkladu 7.1. Ide o vývoj investičnej aktivity dopravného podniku v dvanástich po sebe nasledujúcich obdobiach. Údaje podľa grafického vyjadrenia vykazujú približne lineárny vzostup. Prehľad empirických a teoretických hodnôt sa nachádza v tabuľke 8.5.

Obdobie Index

Lt Tt

Vyrovnané hodnoty Rezíduá

1 100 100 0 100 0 2 95 98,5 -1,05 100 -5 3 115 102,715 2,6355 97,45 17,55 4 125 111,2454 6,761895 105,3505 19,6495 5 120 118,6051 7,180374 118,007245 1,992755 6 120 124,0498 5,96543 125,7854451 -5,78545 7 131 130,3107 6,172229 130,0152416 0,984758 8 135 136,038 5,860821 136,4828985 -1,4829 9 150 144,3292 7,562062 141,8988496 8,10115

10 145 149,8239 6,114898 151,891257 -6,89126 11 160 157,1571 6,967755 155,9387782 4,061222 12 170 165,8874 8,201526 164,1248996 5,8751

Tab. 8.5 Empirické a vyrovnané hodnoty

Výpočty sme vykonali pre vyrovnávacie konštanty 7,0;3,0 == βα . Prvú hodnotu Lt položíme rovnú empirickej hodnote z príslušného pozorovania, prvú hodnotu trendu Tt zas položíme rovnú nule. Vyrovnanú hodnotu z prvého obdobia položíme rovnú hodnote empirického pozorovania toho istého obdobia. Alternatívny spôsob určenia by spočíval vo využití regresného modelu na vyrovnanie empirických hodnôt, pričom odhadnutú úrovňovú konštantu modelu by sme dosadili za prvú hodnotu Lt a sklon regresnej priamky potom za prvú hodnotu Tt. Uvedieme priebežné výpočty pre dvanáste obdobie podľa (8.31) a (8.32)

154

8874,165)9677,61571,157)(3,01(1703,0))(1( 1121121212 =+−+×=+−+= −− TLyL αα

2015,89677,6)7,01()1571,1578874,165(7,0)1()( 1121121212 =−+−=−+−= −− TLLT ββ

Prognózovanú hodnotu na trináste obdobie vypočítame podľa (8.33)

0889,1742015,88874,165ˆ 1212112 =+=+=+ TLy Na základe rezíduí môžeme vypočítať charakteristiku presnosti predpovede podľa (8.15)

. ■ 9871,76=PŠCH Otázky 1. Definujte pojem diferencia a uveďte spôsob jej výpočtu z hodnôt časového radu. 2. Porovnajte uvedené charakteristiky presnosti predpovede. 3. Na akom princípe je založená technika vyrovnávania časových radov kĺzavými priemermi? 4. Ako vyriešite situáciu, kedy je dĺžka kĺzavej časti časového radu rovná párnemu číslu? 5. Kedy sa používa na vyrovnanie hodnôt časového radu Brownovo a kedy Holtovo exponenciálne vyrovnávanie? Literatúra [1] GARAJ, V.: Úvod do ekonometrického modelovania. Bratislava: Ekonomická univerzita, 1993. [2] GARAJ, V., ŠUJAN, I.: Ekonometria. Bratislava: ALFA, 1980. [3] HANKE, J.E., WICHERN, D.W.: Business Forecasting. New Jersey: Pearson Education, Inc., 2003. [4] CHAJDIAK, J., RUBLÍKOVÁ, E., GUDÁBA, M.: Štatistické metódy v praxi. Bratislava: Statis, 1994. [5] LUCEY, T.: Quantitative Techniques. London: DP Publications Ltd., 1992. [6] MIKOLAJ, J., VANČO, B.: Ekonometria pre manažérov. Košice: Multiprint s.r.o., 2004. [7] MIKOLAJ, J., VANČO, B.: Štatistika pre manažérov. Žilina: Fakulta špeciálneho inžinierstva ŽU, 2000.

155