Upload
others
View
9
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
1
8. SISTEME MULTIRATĂ
8.1 Introducere
În multe aplicaţii practice privind prelucrarea şi transmiterea
numerică a semnalelor apare necesitatea modificării (conversiei) frecvenţei de
eşantionare. Vom denumi "sisteme multirată" acele sisteme de prelucrare
numerică a semnalelor în care se lucrează cu mai multe frecvenţe de
eşantionare.
Conversia frecvenţei de eşantionare poate fi realizată în principiu pe două
căi:
-trecerea semnalului discret printr-un convertor numeric-analog, iar după o
eventuală filtrare, reeşantionarea cu noua frecvenţă de eşantionare şi conversia
analog-numerică;
-modificarea frecvenţei de eşantionare operând numai asupra semnalelor
discrete în timp.
Prima metodă are avantajul că permite conversia în orice raport a
frecvenţei, dar şi dezavantajul apariţiei unor distorsiuni ce apar la reconstituirea
semnalului analogic în urma conversiei numeric-analogice, precum şi al
introducerii unor erori de cuantizare suplimentare la conversia analog-numerică.
În cele ce urmează ne vom ocupa numai de al doilea procedeu. Notând cu
Tx=1/Fx şi Ty=1/Fy perioadele de eşantionare la intrarea, respectiv la ieşirea
sistemului, vom avea în vedere următoarele situaţii:
-reducerea frecvenţei de eşantionare (decimare),
xy MTT = , xy FM
F 1= , N∈M (1)
-mărirea frecvenţei de eşantionare (interpolare),
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
2
xy TL
T 1= , xy LFF = , N∈L (2)
-modificarea fracţionară a frecvenţei de eşantionare
xy TLMT = , xy F
MLF = , N∈LM , (3)
8.2 Reducerea frecvenţei de eşantionare (decimare)
Decimarea reprezintă procesul reducere a ratei de eşantionare conform
relaţiilor:
xy MTT = , xy FM
F 1= , N∈M . (4)
Vom defini pentru început un operator de reducere a frecvenţei de eşantionare, pe
care-l vom numi decimator elementar, prin relaţia:
( ) ( )nMxny = (5)
Fig. 1
Pentru acesta vom utiliza notaţia simbolică din figura 1.
Caracterizarea în domeniul timp a decimatorului elementar este ilustrată
în figura 2, pentru o secvenţă ( )nx dată şi M=3.
Fig. 2
( )ny
xy MTT =
( )nx
xTM
( )nx ( )ny
n n
2 100 1 3 4 5 6 7 8 9 11 0 1 2 3 4
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
3
Să găsim relaţia dintre spectrele celor două semnale.
Reeşantionarea unui semnal discret în timp
Vom considera mai întâi un semnal ( )nv , având aceiaşi frecvenţă de
eşantionare ca şi ( )nx , definit prin relaţia: ( ) ( ) =
=restin ,0
, mMnnxnv
El este reprezentat în figura 3a.
Se poate considera că ( )nv provine din înmulţirea secvenţei ( )nx cu
secvenţa "delta periodic":
( ) ( ) ( )nnxnv Mδ= (6)
unde
( ) ( )∑∞
−∞=−=
mM mMnn δδ (7)
este reprezentat în figura 3b, pentru M=3.
Fig. 3
Semnalul ( )nv poate fi privit ca provenind din ( )nx printr-un proces de
reeşantionare, cu o perioadă xy MTT = .
Semnalul periodic ( )nMδ se poate reprezenta cu ajutorul seriei Fourier
discrete:
( ) ( ) nkM
M
kM WkT
Mn −
−
=∑=
1
0
~1δ , M
jM eW
π2−
= (8)
unde
( )n3δ
n n
0 3 6 9 12 0 3 6 9 12
1
a). b).
( )nv
00
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
4
( ) ( ) ( ) 1~ 1
0
1
0=−== ∑ ∑∑
−
=
∞
−∞=
−
=
M
n
nkM
m
M
n
nkMM WmMnWnkT δδ , k=0,1, …, M-1 (9)
Deci
( ) ∑−
=
−=1
0
1 N
k
nkMM W
Mnδ (10)
Utilizând această exprimare a secvenţei "delta periodic" (sau "pieptene")
se obţine:
( ) ( )∑−
=
−=1
0
1 M
k
nkMWnx
Mnv (11)
Transformata Z a acestui semnal este
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∑ ∑∑−
=
∞
−∞=
−−∞
−∞=
−−
=
−∞
−∞=
− ===1
0
1
0
11 M
k n
nnkM
n
nM
k
nkM
n
n zWnxM
zWnxM
znvzV (12)
sau
( ) ( )∑−
==
1
0
1 M
k
kM zWX
MzV (13)
Trecând pe cercul de rază unitate, rezultă transformata Fourier
∑−
=
−
=
1
0
21)(
M
k
kMxj
xj eXM
eVπ
ωω (14)
unde ωx=ΩTx, având în vedere că v(n) este eşantionat cu frecvenţa Fx.
Se constată că spectrul semnalului x(n), reeşantionat cu δM(n), v(n), se
obţine prin repetarea la intervale de 2π/M a spectrului secvenţei iniţiale x(n).
Ne interesează proprietăţile spectrale ale semnalului y(n). Să observăm
că v(n) şi y(n) au aceleaşi eşantioane nenule, dar diferă frecvenţa de
eşantionare:
( ) ( )nMvny = (15)
Caracterizarea în domeniul transformatelor Z.
Transformata Z a secvenţei de iesire y(n) este
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
5
( ) ( ) ( )∑ ∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−−∞
−∞=
−
====
n n
MMn
n
n
n zVznvznMvznyzY1
)(
(16)
unde
( ) ( ) nvzV Z= (17)
deci
∑−
=
=
1
0
11)(M
k
MkM zwX
MzY (18)
Caracterizarea în domeniul frecvenţă.
Pe cercul de rază unitate,
yTjyj eez Ω==
ω (19)
se găseste:
( ) ( ) ∑−
=
−Ω
Ω
==
1
0
21 M
k
Mk
MyT
jyjyTj eX
MeYeY
πω (20)
sau
( ) ( )∑−
=
−
=
1
0
121 M
k
Mkyjyj eX
MeY
πωω (21)
sau
( ) ( )∑−
=
Ω
−ΩΩ =
=
1
0
21 M
k
xTjMkxTj
yTj eVeXM
eYπ
(22)
În figura 4 sunt reprezentate spectrele în frecvenţe nenormate, iar în figura
5 în frecvenţe normate, având în vedere frecvenţa de eşantionare corespunzătoare
fiecărui semnal. S-a luat M=3.
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
6
( )xTjeX Ω
MΩxTπ
xTπ2 Ω
( ) ( )xTjyTj eVeY ΩΩ =
ΩxTMπ21
xTMπ22
xTπ2
Fig. 4
( )xjeX ω
( )xjeV ω
( )yjeY ω
Mxω π
π
π
π2 xx TΩ=ω
π2
π2
Mπ2
Mπ22 xx TΩ=ω
Myω Myωπ −2yy TΩ=ω
Fig.5
Observaţii
• În frecvenţe nenormate, spectrele lui v(n) şi y(n) coincid, ceea ce era de
altfel de aşteptat, având în vedere că cele două secvenţe conţin aceleaşi
eşantioane nenule.
• În spectrele lui v(n) şi y(n) apar în plus faţă de x(n) termenii pentru
k=1,2,...,M-1.
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
7
• În frecvenţe normate apar diferenţe între spectrele lui v(n) şi y(n) ca
urmare a frecvenţelor diferite de normare. Programele uzuale reprezintă spectrele
de obicei în frecvenţe unghiulare normate, între -π şi π. În consecinţă, în spectrul
lui v(n) se vor putea observa termenii suplimentari, în timp ce în spectrul lui y(n)
se constată doar o lărgire de M ori.
O problemă interesantă este aceea a posibilitaţii refacerii semnalului
analogic iniţial x(t) din semnalul y(n).
Prin eliminarea unui număr de eşantioane poate avea loc o pierdere de
informaţie. Aceasta este efectivă dacă nu mai este posibilă refacerea semnalului
analogic iniţial din y(n). Lucrul acesta se întâmplă dacă se suprapun zonele
spectrale corespunzătoare lui k=0 şi k=1, caz în care rezultă un fenomen de aliere.
Evident, pentru a nu apărea un asemenea fenomen, este necesar ca
yMyM ωπω −≤ 2 (23)
(vezi figura 5), unde
yMyM TΩ=ω (24)
iar ωM reprezintă frecvenţa maximă din spectrul semnalului analogic.
Rezultă
πω ≤yM ; xy
M TMTππ 1
=≤Ω (25)
deci semnalul trebuie să îndeplinească şi condiţiile teoremei eşantionării pentru
noua frecvenţă de eşantionare .
Pentru a avea garanţia că reducerea ratei de eşantionare nu conduce la
un fenomen de aliere, decimatorul elementar va fi precedat de un filtru cu
frecvenţa de tăiere
xyc MTT
ππ==Ω ;
Mxcπ
ω = . (26)
Un circuit complet de decimare va avea deci schema din figura 6, în care
este reprezentată şi caracteristica de frecvenţă a filtrului.
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
8
Mπ
Mπ
−
( )nwFTJ M↓
( )nx ( )ny
xT xT yT xω
( )xjeH ω
Fig.6
Relaţiile intrare/ieşire pentru schema din figura 6 sunt:
( ) ( ) ( )∑∞
−∞=−=
kknhkxnw (27)
( ) ( ) ( ) ( )∑∞
−∞=−==
kkMnhkxMnwny (28)
Operatorul de decimare nu este invariant în timp, deoarece, pentru o
secvenţă de x(n), există M posibilităţi de calcul a ieşirii; întârzierea secvenţei de
intrare cu un tact nu conduce la întârzierea cu un tact a secvenţei de ieşire. El este
totuşi un operator liniar.
4.3 Mărirea frecvenţei de eşantionare (interpolare)
Operatorul elementar de interpolare.
Vom defini mai întâi un operator de mărire a ratei de eşantionare prin
introducerea de eşantioane nule, pe care îl vom numi interpolator elementar,
=Ν∈= kkLn
Lnx
ny,,
restn i,0)( (29)
Reprezentarea simbolică a acestui operator este dată în figura 7, iar în figura 8
este exemplificată acţiunea sa pentru L=3 şi o formă particulară de semnal.
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
9
( )nx
xT
( )ny
xy TL
T 1=
L
Fig. 7
( )nx ( )ny
n n
Fig. 8
Spectrul semnalului y(n)
Transformata Z a secvenţei y(n) este:
)()()()( LzXzkxzLnxznyzY
k
Lkn
kLknx
n =⋅⋅
=⋅= ∑∑∑
∞
−∞=
⋅−=−∞
−∞=⋅=
∞
−∞=
− (30)
În domeniul frecvenţă,
=
=
=
xTjΩyTjΩ
xjyjLyj
eXeY
eXeXeYωωω
(31)
Cum era de aşteptat, cele două secvenţe, având aceleaşi eşantioane nenule,
au acelaşi spectru (figura 9).
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
10
( )xTjeX Ω
MΩ
xTπ2
xTπ4
xTπ6
( )yTjeY Ω
yTLπ1
yTLπ21
yTLπ22
yTπ2
Ω
Ω
Fig. 9
În figura 10 sunt reprezentate aceleaşi spectre, dar în frecvenţe normate.
Ca urmare a normărilor la frecvenţe diferite, spectrele nu mai coincid.
( )xjeX ω
π2 π4 π6Mxωxω
( )yjeY ω
π2Lπ2
Lπ22 π4 π6
yω
Fig. 10
Se constată o comprimare a spectrului ca urmare a trecerii prin sistem. În
banda de bază a semnalului de ieşire apar L-1 termeni spectrali suplimentari,
centraţi pe frecvenţele ( )L
LLL
πππ 21,,22,2−L .
Aceştia poartă numele de spectre imagine.
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
11
Spre deosebire de cazul decimării, nu pot apare fenomene de aliere, dacă
eşantionarea iniţială a fost făcută corect.
Structura completă a circuitului de interpolare
Interpolarea cu zerouri, realizată de operatorul prezentat până aici, nu
prezintă însă un interes practic deosebit. Ar fi de dorit ca eşantioanele x(1), x(2),..,
x(L-1) să fie refăcute la valorile corecte ))1((),...,2(),( yayaya TLxTxTx − . Cu alte
cuvinte, am dori să refacem toate eşantioanele semnalului analogic ( )txa ,
eşantionat cu perioada Ty.
Acestea corespund unui spectru periodic, cu perioada 2π/Ty, obţinut din
spectrele din figura 9 prin eliminarea termenilor centraţi pe
( )yyy LT
LLTLT
πππ 21,,22,2−L (32)
Dar un asemenea spectru poate fi simplu obţinut cu ajutorul unui filtru
trece jos care să elimine spectrele imagine. Caracteristica filtrului este
reprezentată punctat în figura 9.
Rezultă că schema completă a interpolatorului este cea din figura 11a, iar
în figura 11b este dată caracteristica amplitudine-frecvenţă a filtrului.
L↑ FTJ( )nx
xT yT yT
( )nw ( )ny
( )yjeH ω
( )yjeH ω Lπ
−Lπ
yω
a) b)
G
Fig. 11
Relaţia intrare-ieşire se poate exprima prin:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞==
−⋅=−⋅
=−⋅=
rkr
rLkrLnhrxknh
Lkxknhkwny (33)
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
12
O altă exprimare a acestei relaţii se poate obţine pornind de la schimbarea
de variabilă
lLnr −
= (34)
unde prin a s-a notat partea întreagă a lui a.
Se observă că
lLnlLLLnnrLn L +=+
−=− (35)
unde
LLnnLnn L
−=⋅= mod (36)
Rămâne
( ) ( )
−
+= ∑
∞
−∞=l
LnxnlLhny
lL (37)
Dar ( ) ( )Ln nlLhlh += reprezintă răpunsul la impuls al unui filtru
variabil periodic în timp, cu perioada L. Deci
( ) ( )∑∞
−∞=
−
=
ln l
Lnxlhny (38)
Calculul câştigului G al filtrului de interpolare
Vom determina câştigul impunând ca ( ) ( )nLynx = la un moment de timp
arbitrar ales. Luând, de exemplu, n=0,
( ) ( ) Ω== ∫∫−
Ω
−
d)(2
d210
xT
xT
xTjxx
xj eXTeXx
π
π
π
π
ω
πω
π(39)
( ) ( ) ( ) yyjyj eWeHy ω
πω
π
π
ω d210 ⋅= ∫
−
(40)
După cum s-a arătat,
)()( xjyj eXeW ωω = (41)
aşa încât
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
13
( ) ( )
==≤Ω≤−Ω
otherwise,0
for,xTxT
GyTjyj eHeHππ
ω (42)
şi
( ) Ω= ∫−
Ω d)(2
0xT
xT
xTjy eGXT
y
π
ππ(43)
Rezultă
yx GTT = (44)
LTTG
y
x == (45)
4.4 Modificarea fracţionară a ratei de eşantionare
Să presupunem că dorim să modificăm frecvenţa de eşantionare într-un
raport raţional
N,, ∈= MLML
FF
x
y (46)
În principiu, lucrul acesta este posibil, utilizând un cicuit de interpolare,
urmat de unul de decimare (figura 12).
Filtrul interpolatorului va trebui să aibă câştigul L în banda de trecere şi
frecvenţa limită a benzii de trecere π/Tx (în frecvenţe nenormate) sau π/L în
frecvenţe normate.
Pentru ca prin decimare să nu rezulte aliere, trebuie ca spectrul secvenţei
( )nv să fie cuprins în intervalul
yy TTππ
≤Ω≤− (47)
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
14
Fig.12
Ca urmare, filtrul decimatorului va avea banda de trecere rezultând din
relaţia de mai sus, sau lucrând în frecvenţe normate
ytDtvD T
ΩM
ππω == sau (48)
S-a aratat deja ca filtrul de interpolare are banda de trecere:
xtItvI T
ΩL
ππω == sau (49)
Fig. 13
Cele două filtre, lucrând cu frecvenţa de tact Fv, vor putea fi înlocuite cu
unul singur (figura 13), a cărui bandă de trecere va îndeplini relaţia:
=
LMtvππ
ω ,min (50)
sau în frecvenţe nenormate :
=
yxt TT
Ω ππ ,min (51)
L↑ )( vjI eH ω )( vj
D eH ω M↓
( )nx ( )nv' ( )nv ( )ny
xvy TLMMTT ==vT
LTT x
v =xT
( )nv ′′
vT
L↑ )( vjeH ω M↓
( )nx ( )nv' ( )nv '' ( )ny
xvy TLMMTT ==vT
LTT x
v =xT
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
15
Se poate pune problema dacă prin aceste operaţii are loc sau nu o
pierdere de informaţie, deci dacă din semnalul discret obţinut mai poate fi
refăcut complet semnalul analogic iniţial.
Să presupunem că semnalul analogic este de spectru limitat la frecvenţa
ΩM şi eşantionarea initială a fost corect făcută:
xM T
π≤Ω (52)
Prin alegerea corectă a filtrului, fenomenele de aliere sunt excluse.
Rămâne doar condiţia ca filtrul să nu distorsioneze semnalul util. Pentru aceasta
este necesar ca:
≤Ω
yxM TT
ππ ,min (53)
Apar două cazuri.
• mărire fractionară a ratei de eşantionare
yx TT > sau 1<=LM
TT
x
y sau 1>x
y
FF
(54)
în care caz x
c Tπ
=Ω şi condiţia de mai sus este îndeplinită dacă semnalul a fost
iniţial corect eşantionat.
• reducere fractionară a ratei de eşantionare
yx TT < or 1>=LM
TT
x
y sau 1<x
y
FF
(55)
În acest caz, y
c Tπ
=Ω şi condiţia de mai sus revine la
ML
TT xyM
ππ=≤Ω (56)
deci se poate realiza o reducere cu un raport
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
16
xM TLM
Ω≤
π (57)
Relaţia intrare-ieşire (figura 13).
( )
=
=restin ,0
,' mLnLnxnv (58)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞==
∞
−∞=−=−
=−=
km
mLk mmLnhmxknh
Lkxknhkvnv ''' (59)
( ) ( ) ( ) ( )∑∞
−∞=−==
mmLnMhmxnMvny '' (60)
O altă expresie se poate obţine pornind de la schimbarea de variabilă
lL
nMm −
= (61)
( )
+
−
−
= ∑
∞
−∞=lLL
LnMnMhl
LnMxny
l(62)
Dar
LnMnMLL
nMnM L mod==
− (63)
deci
( ) ( )∑∞
−∞=+
−
=
lLnMlLhl
LnMxny (64)
Relaţia de mai sus reprezintă însă răspunsul la x(n) al unui filtru variabil
periodic în timp, având funcţia de pondere
( ) ( )Ln nMlLhlh += (65)
Spectrul secvenţei de ieşire
Vom putea scrie succesiv
)()()(' vjLxjvj eXeXeV ωωω == (66)
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
17
≤
≤
==πω
ππωωωωω
v
vvjL
vjvjvj LMeLX
eHeVeVuiintervalul restulin ,0
,min,)()()()(''
(67)
( )∑−
=
−
=
1
0
12''1)(
M
k
Mkyjyj eV
MeY
πωω (68)
Cum însă filtrul previne fenomenul de aliere, rămâne în banda de bază
≤
≤
=πω
ππωω
ω
y
yyM
Ljyj
LMeX
ML
eYuiintervalul restulin ,0
,min),()( (69)
Aplicaţie
Să presupunem că un semnal analogic de bandă limitată, cu frecvenţa
limită superioară ΩM, este eşantionat cu o perioadă Tx,
MxM
x FFT 3;32
=Ω
=π (70)
El este deci eşantionat cu o frecvenţă mai mare decât frecvenţa limită
impusă de teorema eşantionării. Dorim să transmitem acest semnal printr-un
sistem de comunicaţii. Este indicat să se folosească o frecvenţă de eşantionare
cât mai mică pentru a utiliza raţional canalul de comunicaţii. Va trebui deci
trecut la frecvenţa de eşantionare minimă
xM
y TT23
=Ω
=π (71)
Fig. 14
2↑ )( vjeH ω 3↓
( )nx ( )nv' ( )nv '' ( )ny
xvy TTT233 ==vT
2x
vTT =
xT
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
18
Schema va fi cea din figura 14. Spectrele respective sunt date în figura
15.Filtrul trebuie să elimine spectrele imagine, fără a deteriora spectrul util.
Rezultă că el trebuie să aibă o caracteristică de frecvenţă constantă în domeniul
3, πωωω =≤ vMMvv
şi nulă în domeniul
πωωπ ≤≤− vMv
Rezultă că filtrul poate avea o bandă de tranziţie nenulă, aşa cum rezultă
din desen, ceea ce facilitează realizarea lui. Se poate constata că spectrul obţinut
în final "umple" toată banda de bază [-π,π].
Fig.15
vω
vω
)( yjeY ω
)( vjeV ω′′
)( vjeH ω
)( vjeV ω′
xMω xω
yωπ
)( xjeX ω
π2
vω
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
19
4.5 Echivalenţe în circuitele de decimare şi interpolare
A. Inversarea poziţiei unui decimator cu un filtru liniar. Fie circuitele
din figura 16.
a b
Fig. 16
Să demonstrăm că sunt echivalente. Pentru circuitul din figura a) putem
scrie:
( ) ( )nMxnv = (72)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )knhkMxknhkvnykk
−=−= ∑∑∞
−∞≡
∞
−∞≡(73)
În această schemă, filtrul lucrează pe frecvenţa mică xy FM
F 1= . În schema
din figura 16b, filtrul lucrează la frecvenţa mare, Fx şi, având în vedere relaţiile
stabilite la interpolare, functia sa de pondere, ( )nh′ , se obţine din funcţia de
pondere ( )nh′ a filtrului ( )zH , prin:
( )
=
=′restin 0
, mMnMnhnh (74)
Concret, filtrul având ( )MzH se obţine din filtrul cu funcţia de transfer ( )zH ,
înlocuind fiecare circuit de întârziere cu M asemenea circuite conectate în
cascadă.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )Mn-mx mhnMuny
mMnxmhknxMkhknxkhnu
-m
mmMkmk
∑
∑∑∑
∞
∞=
∞
−∞=
∞
=−∞=
∞
−∞=
==
−=−
=−=
.'
(75)
Făcând schimbarea de variabilă k=n-m, rezultă
( )nx
xT xy MTT = yT
MzHM↓ M↓
( )nu ( )ny( )zH( )nx( )nv ( )ny
xT xT xy MTT =
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
20
( ) ( ) ( )∑∞
−∞=−=
kknhkMxny (76)
Se obţine deci aceeaşi relaţie intrare-ieşire în ambele cazuri.
B. Inversarea poziţiei unui interpolator cu un filtru liniar. Fie circuitele
din figura 17.
a b
Fig. 17
Să demonstrăm că şi aceste circuite sunt echivalente. Pentru circuitul din figura
17a:
( ) ( ) ( )
( )
=
=
−= ∑∞
−∞=
restin , 0
, y
mLnLnv
n
knhkxnvk
(77)
aşa încât
( ) ( )
=
−
= ∑∞
∞=
restin , 0
, -k
mLnkLnhkx
ny (78)
Pentru circuitul din figura 17b,
( )
=
=restin , 0
, mLnLnx
nu (79)
Funcţia de pondere a filtrului cu funcţia de transfer ( )LzH este
( )
xT
nx ( )
xT
nvL↑
( )
xy TL
T
n
1
y
=
L↑ )( LzH( )
yT
ny( )zH
( )
xT
nx ( )
xy TL
T
nu
1
=
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
21
( )
=
=restin , 0
, mLn Lnh
nh' (80)
aşa incât se obţine
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )∑ ∑
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
=−∞=
∞
−∞=
=
−
=−=
=−
=−=
mm
mLkk
k
rLnmLnhmx
mLnhmx
knhLkxknhkuny
restin , 0
, '
''
(81)
-aceiaşi relaţie intrare-ieşire ca în cazul a.
C. Inversarea poziţiei unui decimator cu un interpolator. Să stabilim în
ce condiţii structurile din figura 18 sunt echivalente. În general, cele două
sisteme nu sunt identice, aşa cum se poate uşor verifica pentru L=M.
a) b)
Fig. 18
Pentru configuraţia a):
( )
∑∑−
=
−
=
==
=
1
0
11
0
1)(1)(
)(M
m
ML
mLM
MM
m
mM
L
zWXM
zWVM
zY
zXzV
(82)
Pentru configuraţia b):
)(1)()(
)(1)(
1
0
11
0
∑
∑
−
=
−
=
==
=
M
m
ML
mM
L
MM
m
mM
zWXM
zVzY
zWXM
zV(83)
( )
xv MTT
nv
=
( )
xv TL
T
nv
1
=
M↓ M↓( )
xT
nx ( )
xv TLMT
ny
=
( )
xT
nx ( )
xv TLMT
ny
=
L↑ L↑
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
22
Cele două expresii obţinute pentru Y(z) nu sunt identice. Ele coincid totuşi dacă
mulţimile
[ ] [ ] 1,0,
1,0,
−∈
−∈
MmW
MmWmL
M
mM (84)
conţin aceleaşi elemente.
In general, mulţimea Z∈mW mM , conţine un număr de M elemente
distincte, ce se obţin pentru m=0,1,...,M-1, deoarece mMW este o funcţie periodică
de m, cu perioada M. Mulţimea [ ] 1,0 , −∈ MmW mLM va trebui să aibă tot M
elemente distincte, adică
1 sau )( ≠≠ − LmkM
mLM
kLM WWW (85)
pentru orice pereche [ ] m , k.M-k,m ≠∈ 10 . Aceasta implică
pMLmk ≠− )( (86)
deci L şi M trebuie să fie relativ prime.
Prin urmare, poziţiile celor două blocuri din figura 18 se pot inversa dacă
şi numai dacă M şi L sunt relativ prime.
4.6 Realizări eficiente pentru filtrele de decimare şi interpolare.Filtre
polifazice
Să considerăm pentru început cazul unui decimator, utilizând un filtru RFI
(figura 19), caracterizat prin ecuaţiile:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )∑
∑−
=
−
=
−==
−=
1
0
1
0N
k
N
k
knMxkhnMvny
knxkhnv(87)
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
23
1−z 1−z 1−z
( )0h ( )1h ( )1−Nh
( )nx
( )nyM↓
( )nv
xT
yTxT
Fig. 19
Pentru a obţine un eşantion la iesire, într-un interval de timp Ty vor fi
efectuate un număr de NM înmulţiri şi (N-1)M adunări. O mare parte din
rezultatele acestor operaţii sunt însă neutilizate în final, datorită decimării, aşa
încât eficienţa schemei este redusă. Numărul de operaţii pe tact se poate reduce
efectuând decimări imediat după circuitele de întârziere (figura 20).
1−z 1−z 1−z( )nx
xT
( )0h ( )1h ( )1−Nh
( )ny
yT
M↓ M↓ M↓
( )1−nx ( )1+− Nnx
( )nMx ( )1−nMx ( )1+− NnMx
Fig.20
Pentru această schemă vor fi necesare N înmulţiri şi N-1 adunări pentru un
eşantion la ieşire. Să analizăm acum un interpolator, pentru care filtrul poate fi
realizat în oricare din variantele din figura 21 (forma directă şi forma transpusă).
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
24
1−z 1−z 1−z
( )0h ( )1h ( )1−Nh
( )nx
( )ny
L↑( )nv
xT
yT
yT
( )0h( )1−Nh
( )nx
( )ny
L↑( )nv
xT
yT
yT
1−z 1−z 1−z
( )2−Nh
Fig.21
( )0h( )1−Nh
( )nx
( )ny
L↑
xT
yT1−z 1−z 1−z
( )2−Nh
L↑L↑
Fig.22
Se observă în oricare din cele două variante că, pe durata unui tact Tx, se
vor efectua un număr de LN înmulţiri şi L(N-1) adunări. Din aceste operaţii, o
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
25
mare parte au un operand nul. Va fi deci de preferat ca interpolările să se facă
după efectuarea înmulţirilor (figura 22).
Vom arăta în continuare că filtrul de ordin N-1 se poate înlocui cu un set
de filtre de ordine inferioare.
Să reluăm cazul decimatorului. Să presupunem că N este multiplu de M şi
vom putea scrie:
( ) ( )∑−
=
−=1
0
N
k
kzkhzH (88)
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∑ ∑−
=
−
=
−−−
=
−
=
+− +=+=1
0
1
0
1
0
1
0
M
p
MN
l
lMpMN
l
M
p
plM zplMhzzplMhzH (89)
în care s-a utilizat exprimarea:
1,,0,1,,0, −=−=+=MNlMpplMk LL (90)
pentru indicele de însumare.
Notând
( ) ( ) ( )( ) ( ) 1,,0,
1
0
1
0−=+=
=+= ∑∑−
=
−−
=
−
MppnMhne
zlezplMhzE
p
MN
l
lp
MN
l
lp
L
(91)
rezultă
( ) ( )∑−
=
−=1
0
M
p
Mp
p zEzzH (92)
1−z 1−z 1−z( )nx
( )nyM↓
xT
yT
( )MzE0 ( )MzE1 ( )MM zE 1−
Fig.23
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
26
Cu această observaţie, structura din figura 19 se poate înlocui prin schema
din figura 23, sau, ţinând seama de echivalenţele demonstrate în paragraful
precedent, cu aceea din figura 24.
1−z 1−z 1−z( )nx
( )ny
M↓xT
yT
( )zE0 ( )zE1 ( )zEM 1−
M↓ M↓
( )1−nx ( )1+−Mnx
( )nMx ( )1−nMx ( )1+−MnMx
Fig.24
Ep(z), pentru p=0,...,M-1 formează un banc de filtre, numite filtre polifazice.
Ordinul fiecăruia dintre acestea este N/M. Aceste filtre lucrează la frecvenţa mică:
Fy=Fx/M. Filtrul ( )zE p poate fi considerat versiunea decimată cu factorul M a
filtrului având funcţia de pondere ( )pnh + . Dacă ( )zH este un filtru trece jos, cu
frecvenţa de tăiere Mπ , filtrele ( )zE p vor avea în consecinţă o frecvenţă de tăiere
de M ori mai mare, deci π şi prin urmare sunt toate de tip trece tot. Ele se
diferenţiază numai prin caracteristicile de fază, de unde le vine şi denumirea.
In principiu, ( )zE p depind deci şi de M. Cum însă de obicei M este fix, s-
a evitat complicarea notării prin introducerea unui indice suplimentar.
Operaţiile de întârziere-decimare din structura filtrului din figura 24 sunt
echivalente cu un comutator care comută pe rând filtrele cu un tact Tx (figura 25).
O altă variantă de descompunere a filtrului H(z) în filtre polifazice se
obţine făcând în relaţia (92) schimbarea de indice de însumare
1,,0,1,,0,1 −=−=−−+=MNlMppMlMk LL (93)
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
27
( )zE0 ( )zE1 ( )zEM 1−
( )nx
( )ny
( )nMx ( )1−nMx ( )1+−MnMx
Fig.25
( ) ( ) ( )
( ) ( )∑ ∑
∑ ∑
−
=
−−
=
−−−
−−+−−
=
−
=
−−+=
=−−+=
1
0
1
0
1
11
0
1
0
1
1
M
p
lMMN
p
pM
pMlMMN
l
M
p
zpMlMhz
zpMlMhzH(94)
sau
( ) ( ) ( )Mp
M
p
pM zRzzH ∑−
=
−−−=1
0
1 (95)
unde s-a notat
( ) ( ) ( )zEzpMlMhzR pMlM
N
lp −−
−−
==−−+= ∑ 1
1
01 (96)
Filtrele cu funcţia de transfer ( )zE p vor fi numite filtre polifazice de tipul
1, iar cele cu funcţia de transfer ( )zR p , filtre polifazice de tipul 2.
Să revenim asupra circuitului de interpolare din figura 21. Filtrul H(z) se
va putea înlocui cu un banc de filtre polifazice de tip 2, conform schemei 26, sau
de tip 1, ca în figura 27. Se poate obţine o structură mai eficientă, inversând
ordinea interpolatorului cu a filtrelor şi aplicând relaţiile de echivalenţă. De
exemplu, pornind de la schema din figura 27, rezultă aceea din figura 28, în care
filtrele ( )zE p lucrează la frecvenţa mică Tx.
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
28
( )nx
( )ny
L↑( )nv
xT
yT
yT
1−z 1−z 1−z
( )LzR0 ( )LzR1 ( )LL zR 1−
Fig.26
( )nx
( )ny
L↑( )nv
xT
yT
yT
1−z 1−z 1−z
( )LL zE 1− ( )L
L zE 2− ( )LzE0
Fig. 27
( )nx
( )ny
L↑
xT
yT1−z 1−z 1−z
( )zEL 1− ( )zEL 2− ( )zE0
L↑ L↑
Fig.28
Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina
29
Şi în această schemă grupul de interpolatoare şi circuite de întârziere poate
fi înlocuit cu un comutator (figura 29), care comută cu perioada Ty.
( )zEL 1− ( )zEL 2− ( )zE0
( )nx
( )ny
Fig. 29
. Practic acest comutator se realizează cu un circuit multiplexor cu liniile
de adresă conectate la ieşirile unui numărător modulo L.