9. Оценивание параметров сигналов 9.1.strts-online.narod.ru/files/lec9.pdfзволяет принять решени е о т ом, како е значение

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

9. Оценивание параметров сигналов

9.1. Постановка задачи оценивания параметра сигнала

Рис.9.1. К постановке задачи оценивания параметра сигнала

Радиопередающее устройство (РПдУ) на интервале времени

],0[ сT передаёт детерминированный (квазидетерминированный)

сигнал ),( ts длительностью сT с неизвестным значением де-

терминированного параметра 0 . Распространяясь от РПдУ к

радиоприёмному устройству (РПУ), сигнал подвергается иска-

жающему воздействию аддитивной помехи в виде центрирован-

ного белого гауссова шума )(tn со спектральной плотностью

мощности 2

)( 0NN , в результате чего на входе РПУ наблюда-

ется реализация процесса

)(),()( ttst nξ 0 . (9.1)

Требуется определить правило и соответствующую ему

структуру устройства (оценивателя), которое оптимальным обра-

зом по результатам обработки реализации )(tξ процесса )(tξ по-

зволяет принять решение о том, какое значение принял параметр

.

9.2. Критерий оптимальности решения задачи оценивания

параметра сигнала

При повторении опытов по оцениванию параметра сигнала, из-за воздействия шума, отклик приёмника будет принимать раз-

личные значения, то есть результат оценивания (оценка) является

случайной величиной, которая при дискретной обработке про-

цесса )(tξ зависит от его отсчётов:

РПдУ РПУ +

)(tn

Среда, где распространяется сигнал

),( 0ts )(),()( ttst nξ 0 λ

http://strts-online.narod.ru/


),...,,(ˆ110 Na ξξξλ , (9.2)

где ),...,,( 110 Nxxxa - детерминированная функция N перемен-

ных, которая соответствует правилу (алгоритму, способу) оцени-

вания.

Оптимальной является такая оценка, значения которой, по-лучаемые в различных опытах оказываются локализованными

около истинного значения параметра сигнала. Такая оценка обла-

дает свойствами: 1. Несмещённость. То есть математическое ожидание оценки

совпадает с истинным значением параметра сигнала:

|ˆˆ λλ

Mm . (9.3)

2. Эффективность. То есть среди всех возможных оценок она обеспечивает минимальную дисперсию:

min|ˆˆ λλ

D2 . (9.4)

9.3. Потенциальная точность оценивания параметра сигнала.

Неравенство Крамера-Рао.

Точность оценивания параметра сигнала характеризуется

дисперсией оценки 2λ

. Покажем, что независимо от способа

оценивания существует нижняя граница для достижимых значе-

ний дисперсии оценок. Последующие рассуждения проведём в

предположении, что условная ПРВ обрабатываемого процесса

)|,...,,( 110 Nxxxwξ , рассматриваемая как функция и называе-

мая функцией правдоподобия, дважды дифференцируема по , а её первая и вторая производные абсолютно интегрируемы.

С учётом свойства математического ожидания (3.25), запи-

шем

101010 NNN dxdxxxwxxam ...)|,...,(),...,(...ˆ ξλ

dxxwxa )|()(

ξ .

(9.5)

В последнем выражении использована символическая за-пись многомерных интегралов, используемая для уменьшения



громоздкости математических выражений, в частности обозначе-

но:

}...,,{ 110 Nxxxx

- вектор переменных;

110 ... Ndxdxdxdx .

Математическое ожидание оценки также можно предста-

вить в виде:

)(ˆ λ

m , (9.6)

где )( - смещение, в общем случае зависит и от параметра сиг-

нала.

С учётом условия нормировки для ПРВ (3.5), приравнивая (9.5) и (9.6), получим:

1

)|())(()|()(

dxxwdxxwxa ξξ

Продифференцируем обе части записанного равенства по :

1

)|())('1()|(

)( dxxwdxxw

xa

ξ

ξ

dx

xw

m

)|())((

ˆ

ξ

λ

,

откуда

)(')|(

)( ˆ

1dxxw

mxa

ξ

λ. (9.7)

Заметим, что равенство

)|(ln)|()|(

)|(

)|()|(

1

xwxw

xw

xw

xwxw

ξξξ

ξ

ξξ

(9.8)

позволяет переписать (9.7) в виде:

2

dxxwxwxwmxa

xgxf

)()(

ˆ )|(ln)|()|()(

ξξξλ



2)('1 . (9.9)

Воспользовавшись неравенством Буняковского – Шварца

dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 22

2

, (9.10)

из последнего выражения получим:

dxxwxwdxxwmxa )|()|(ln)|()( ˆ

ξξξλ

22

2)('1 .

Поскольку (в соответствии с (3.25))

222 λλξλ

λ ˆˆˆ |)ˆ()|())(( mMdxxwmxa

- дисперсия

оценки при условии, что истинное значение параметра детерми-

нировано, и

22

)|(ln)|()|(ln ξξξξ

wMdxxwxw ,

то последнее неравенство можем переписать в виде:

2

22 1

)|(ln

)('ˆ

ξξ

λ wM

.

(9.11)

(Для краткости в записи математического ожидания условие де-

терминированности опущено). Неравенство (9.11) называется неравенством Крамера-Рао.

Оно определяет нижнюю границу дисперсии любых оценок. Не-

зависимо от структуры оценивателя и способа оценивания невоз-можно получить дисперсию меньше чем

2

22 1

)|(ln

)('minˆ

ξξ

λ wM

.

(9.12)

Нижняя граница дисперсии определяется объёмом выборки и

ПРВ обрабатываемого процесса, а также может зависеть от зна-

чения параметра . Рассмотрим другие формы записи (9.12), которые в ряде



случаев оказываются более удобными. Поскольку функция прав-

доподобия )|( xw

ξ удовлетворяет условию нормировки

1

dxxw )|(

ξ ,

после дифференцирования левой и правой частей, имеем:

0

dxxw )|(

ξ ,

что ввиду (9.8) можно переписать в виде

0

dxxwxw )|(ln)|(

ξξ .

Дифференцирование последнего выражения по даёт:

02

2

dxxwxwdxxwxw )|(ln)|()|(ln)|(

ξξξξ .

Первый интеграл в полученном выражении с учётом (9.8)

dxxwxwdxxwxw )|()|(ln)|(ln)|(

ξξξξ

2

2

)|(ln

ξξ

wM .

Второй интеграл

)|(ln)|(ln)|(

ξξξξ

wMdxxwxw

2

2

2

2

.

Таким образом:

)|(ln)|(ln

ξξ ξξ

wMwM

2

22

и (9.11) можно также записать в виде:

)|(ln

)('minˆ

ξξ

λ wM

2

2

22 1 .

(9.13)

Введём в рассмотрение отношение правдоподобия, как от-ношение ПРВ обрабатываемого процесса, при условии, что пара-



метр сигнала принял значение к ПРВ обрабатываемого процес-

са, при условии, что сигнал не передавался, то есть на входе оце-

нивателя присутствовал только шум:

)(

)|()|(

xw

xwx

n

ξ .

Рассмотрим также логарифм отношения правдоподобия и его

производные (в предположении их существования):

)|(ln)|(ln

xwx

ξ

; (9.14а)

)|(ln)|(ln

xwx

ξ

; (9.14б)

)|(ln)|(ln

xwx

ξ2

2

2

2

. (9.14в)

С учётом (9.14в), нижняя граница дисперсии оценок (9.13) может

быть представлена в виде:

)|(ln

)('minˆ

ξ

λ 2

2

22 1

M

. (9.15)

В случае непрерывной обработки принимаемого колебания используется функционал правдоподобия:

]|)([ln

)('minˆ

tM ξ

λ

2

2

22 1 .

(9.16)

9.4. Оценка максимального правдоподобия

Согласно п.9.2 оптимальной оценкой

),...,,(ˆ110оптопт Na ξξξλ является несмещённая оценка с мини-

мальной дисперсией. (Здесь ),...,,( 110опт Nxxxa обозначена опти-

мальная функция оценивания.) Для такой оценки смещение

0 )( , а неравенство Крамера-Рао обращается в равенство

]|)([lnminˆˆ

tM ξ

λλ

2

2

22 1

опт

.

(9.17)



С другой стороны неравенство Крамера-Рао обращается в

равенство, когда обращается в равенство неравенство Буняков-

ского-Шварца (9.10). Это имеет место, если )()( xkfxg

, где

)(k - произвольная функция, независящая от x

и, в соответст-

вии с (9.9),

)|()()( ˆ xwmxaxf

ξλ опт ,

)|(ln)|()(

xwxwxg

ξξ

,

то есть

λξ ˆ)()()|(ln mxakxw

опт

.

Так как λ

m , то

)()()|(ln xakxw

оптξ . (9.18)

Полученное равенство выполняется для всех наборов x

, в том

числе и для набора отсчётов реализации обрабатываемого про-

цесса },...,,{ 110 Nx

, а также для всех значений парамет-

ра , в том числе и для )( 110опт N,...,ξ,ξξa . В указанном част-

ном случае получим, что значение оптимальной оценки является

корнем уравнения

0

110опт

110

)(

)|(ln

N,...,ξ,ξξaN,...,ξ,ξξw

ξ . (9.19)

Полученное уравнение называется уравнением максималь-ного правдоподобия, а полученная оценка – оценкой максималь-

ного правдоподобия.

С учётом (9.14б) уравнение максимального правдоподобия можем также записать в виде:

0

110опт

110

)(

)|(ln

N,...,ξ,ξξaN,...,ξ,ξξ

. (9.20)

Уравнения (9.19)-(9.20) показывают, что оптимальное оце-

нивание соответствует поиску локального экстремума функций

)|(ln 110 N,...,ξ,ξξwξ и )|(ln 110 N,...,ξ,ξξ : оптимальный алго-

ритм оценивания при каждом фиксированном наборе отсчётов

обрабатываемой реализации формирует такое значение оценки



)(ˆ110оптопт N,...,ξ,ξξaλ , которое соответствует значению пара-

метра сигнала в точке локального экстремума. В дальнейшем мы ограничиваемся предположением, что

экстремальная точка m существует, единственна и соответству-

ет глобальному максимуму. Тогда вместо уравнений максималь-ного правдоподобия (9.19)-(9.20), имея в виду также монотон-

ность логарифма, можем рассматривать следующие правила при-

нятия решения

mm ξwξwξa

ˆ)|(max)|(:)(

ξξ опт . (9.21)

mm ξξξa

ˆ)|(max)|(:)(

ξξ опт . (9.22)

Возвращаясь к определению ПРВ (3.3), выражение (9.21) пере-

пишем в виде:

)|)((:)( mii

N

i ii tPξa

1

0опт ξ

miiN

i ii tP

ˆ)|)((max

1

0 ξ . (9.23)

Как показывает (9.23), в качестве оценочного принимается

такое значение параметра сигнала, для которого наблюдаемая со-

вокупность отсчётов обрабатываемой реализации },...,,{ 110 N

является наиболее вероятной.

При непрерывной обработке принимаемого колебания алго-

ритм оптимального оценивания определяется функционалом

)]([ˆ ta опт , а (9.20) и (9.22) преобразуются к виду:

0

опт

)]([

]|)([lntξa

tξ

. (9.24)

mm tξtξtξa

ˆ]|)([max]|)([:)]([опт . (9.25)

mm tξtξtξa

ˆ]|)([lnmax]|)([ln:)]([опт . (9.26)

9.5. Структура оптимального оценивателя

Рассмотрим случай, когда параметр сигнала является кван-

тованной величиной },...,,{ 110 M . Оптимальный оценива-

тель, реализующий правило (9.25), должен определить отноше-ние правдоподобия для всех возможных значений параметра сиг-



нала, и то значение, для которого отношение правдоподобия мак-

симально, предложить в качестве оценки, чему соответствует

следующее правило принятия решения:

miMi

m tξtξtξa

ˆ]|)([max]|)([:)]([... 10

опт . (9.27)

Полученному правилу соответствует схема, показанная на

рис.9.1. Оцениватель является многоканальным устройством.

Рис.9.1. Структурная схема оптимального оценивателя

Каждый канал содержит блок, в котором определяется функцио-

нал отношения правдоподобия от принимаемой реализации при

соответствующем значении параметра сигнала. Схема выбора максимума (СВМ) определяет канал с максимальным откликом,

соответственно которому и формируется значение оценки. Схема, соответствующая (9.26) аналогична показанной на

рис.9.1, с той разницей, что в каждом канале оценивателя форми-

руется значение логарифма функционала отношения правдопо-добия.

При уменьшении шага квантования параметра полученные в

п.9.5 результаты приближаются к случаю непрерывного измене-ния параметра.

При использовании многоканальных оценивателей для

оценки непрерывного параметра, шаг квантования для формиро-вания значений параметра, соответствующих различным каналам,

можно выбирать, руководствуясь средним квадратическим от-

клонением оценки λ

. Чрезмерное уменьшение шага кван-

тования приведёт лишь к более точному представлению ошибок

)(t

СВМ

]|)([ 0 t

]|)([ 1 t

]|)([ 1 Mt



оценивания.

9.6. Оценивание параметров детерминированного сигнала

9.6.1. Оценивание амплитуды детерминированного сигнала

Оцениваемым параметром сигнала является амплитуда

A . Выражение для сигнала запишем в виде:

)(),( tAsAts 0 , (9.28)

где )(ts0 - детерминированный сигнал с энергией 0E . Отношение

правдоподобия в рассматриваемом случае даётся (7.27):

00

2

N

R

N

EAt

s expexp]|)([ ,

где 02

0

20

2

0

2 EAdttsAdtAtsEcc TT

)(),( ;

00

0

0

s

TT

s ARdttAstdtAtstRcc

)()(),()( .

Логарифм отношения правдоподобия

0

02

0

02

N

EA

N

ARAt

s

]|)([ln , (9.29)

Рассматривая (9.29) как функцию A нетрудно установить,

что мы имеем дело с многочленом второй степени. График ука-занной функции представляет собой параболу, ветви которой на-

правлены в сторону отрицательных ординат. Эта функция имеет

единственный локальный максимум, который является и гло-бальным.

Функционал оптимального оценивания определим, исполь-

зуя уравнение максимального правдоподобия (9.24). Для этого найдём производную (9.29):

0

0

00

02

0

22200

N

AE

N

R

N

EA

N

AR

AAtξ

A

ss

]|)([ln ;

запишем уравнение максимального правдоподобия:

02222

0

0опт

00

0

0

0

опт

0

N

Etξa

N

R

N

AE

N

R s

tξaA

s )]([

)]([

;

найдём его решение:



cT

sdttst

EE

Rtξa

0

000

опт

10 )()()]([

. (9.30)

Структурные схемы, соответствующие (9.30), показаны на

рис.9.2.

Рис.9.2. Структурные схемы оценивателей амплитуды

детерминированных сигналов

Для определения потенциальной точности оценивания ам-плитуды детерминированного сигнала найдём вторую производ-

ную (9.29)

,]|)([ln 20

0

02

2 2сфq

N

EAtξ

A

где 0

00

2

N

Eqсф - отношение сигнал/шум на выходе фильтра со-

гласованного с сигналом )(ts0 , и воспользуемся (9.17):

20

20

2

2

2 111

сфсф qqMAtM

]|)([ln

ˆ

ξ

A

.

(9.31)

9.6.2. Оценивание неэнергетического параметра

детерминированного сигнала

Отношение правдоподобия в рассматриваемом случае даёт-

ся (7.27):

00

2

N

R

N

Et

s expexp]|)([ ,

где cT

dttsE0

2 ),( - энергия сигнала, независящая от ;

)(),()( s

T

s RdttstRc

0

- коэффициент корреляции.

)(t К

)(ts0

0sR A

01 E/

СФ

cTt

A )(t

)(ts0

01 Ek /



Логарифм отношения правдоподобия

00

2

N

E

N

Rt

s)(

]|)([ln

, (9.32)

Правило (9.27) конкретизируется в виде:

msMi

ms RRtξa

ˆ)(max)(:)]([... 10

опт . (9.33)

Структурные схемы многоканальных оценивателей, соответст-

вующие (9.33), показаны на рис.9.3.

Рис.9.3. Структурные схемы многоканальных оценивателей неэнергети-

ческого параметра детерминированного сигнала. К – коррелятор, СФ –

согласованный фильтр, СВМ – схема выбора максимума.

Отметим, что аналогичные схемы рассматривались в разделе 5 (ср. рис.5.4).

Для определения потенциальной точности оценивания най-

дём производные (9.32):

)(]|)([ln

sRN

t

0

2,

)(]|)([ln

sRN

t2

2

02

2 2

,

и (привлекая (9.1)) математическое ожидание:

)(t

С

В

М

К

),( 0ts

)( 0sR

К

),( 1ts

)( 1sR

)( 1MsR

К

),( 1Mts

СФ0

)( 0sR

cTt

С

В

М

СФ1

)( 1sR

cTt

СФM-1

)( 1MsR

cTt

),( 1Mts

),( 1ts

),( 0ts

)(t



)(]|)([ln

sRM

NtM ξξ

2

2

02

2 2

cc TT

dttstMN

dttstMN

02

2

002

2

0

22),()(),()(

ξξ

),(),(),(),( 02

22

02

2

00

02

2

0

22

rqr

N

Edttsts

Nсф

Tc

,

где 0

2

N

Eqсф - максимальное отношение сигнал/шум на выходе

фильтра, согласованного с сигналом ),( ts ,

cT

dttstsE

r0

00

1),(),(),( - нормированная АКФ по параметру.

Дисперсия оценки из (9.17)

),(minˆ

02

22

2 1

rqсф

λ.

Дисперсия оценки, соответствующая истинному значению пара-

метра 0 :

0

02

22

2 1

),(minˆ

rqсф

λ.

(9.34)

В п.5.5 (см.(5.69)-(5.69в)) показано, что АКФ является функцией только разности своих аргументов, тогда

)()(),( rrr 00 и последнее выражение перепишется в

виде:

)(minˆ0

12

2

rqсф

λ . (9.35)

В частности, при оценивании начальной фазы, из (5.69в) по-

лучим:

)cos()( r ; )cos()( r ;

2

2 1

сфq

minθ .



Дисперсия оцен-

ки, как видно из (9.35),

определяется отноше-нием сигнал/шум на

выходе согласованного

фильтра и второй про-изводной АКФ сигнала

по параметру в окрест-

ности нуля, которая ха-рактеризует «остроту»

графика АКФ. Для по-

яснения сказанного аппроксимируем АКФ в окрестности нуля выражением

21 )(r .

Тогда для второй производной приближённо имеем:

2 )(r .

Фрагменты графиков аппроксимирующей функции в окрестности

нуля показаны на рис.9.4 при различных значениях параметра . Из рисунка видно, что чем больше значение тем «острее» пик

АКФ в окрестности нуля. При этом оказывается и большей по аб-солютному значению производная АКФ и, соответственно (9.35),

меньшей дисперсия оценки. (Другие качественные соображения

были высказаны в п.5.5, см. также рис.5.5)

9.7. Оценивание неэнергетического параметра

квазидетерминированного сигнала

9.7.1. Структура оценивателя и потенциальная точность

В случае сигнала со случайной амплитудой и фазой (7.61)

)),(cos(),(),( θA tttvts 0 ,

где A и θ – независимые случайные величины, A имеет распре-

деление Релея с параметром s , θ – равномерно распределена на

интервале ],[ .

Функционал отношения правдоподобия определяемый

(7.74) удобно представить в виде:

)exp(]|)([ 2

0sbat , (9.36)

)( r

1

0

1 2

3

321

Рис.9.4. Графики АКФ в окрестности нуля



где срEN

Na

0

0 , )( срENN

b

00

2

2s

, срE - средняя энергия сиг-

нала, )),(cos(),(),( tttvts 00 - опорный сигнал корреля-

тора огибающих.

Рис.9.5. Структурные схемы многоканальных оценивателей неэнергети-

ческого параметра квазидетерминированного сигнала. КО – коррелятор

огибающих, СФ – согласованный фильтр, ДО – детектор огибающей,

СВМ – схема выбора максимума.

Логарифм функционала отношения правдоподобия: 2

0sbat ln]|)([ln , (9.37)

С учётом (9.37) правило (9.27) конкретизируется в виде:

msMi

mstξa

ˆ)(max)(:)]([... 00 10

опт . (9.38)

То есть оптимальный оцениватель должен определить при каком

значении параметра модуль коэффициента корреляции ком-плексных огибающих обрабатываемого колебания и опорного

сигнала максимален. Это значение и принимается в качестве

оценки. Структурные схемы многоканальных оценивателей, соот-

ветствующие (9.38) показаны на рис.9.5.

Для определения потенциальной точности оценивания най-

СФ0

)(t

С

В

М

КО

),( 00 ts

)( 00s

КО

),( 10 ts

)( 10s

)( 10 Ms

КО

),( 10 Mts

cTt

С

В

М

СФ1

)( 10s

cTt

СФM-1

)( 10 Ms

cTt

),( 10 Mts

),( 10 ts

),( 00 ts

)(t

ДО

)( 00s

ДО

ДО



дём производные (9.37):

2

0sbt

]|)([ln ,

2

2

2

2

2

0sbt

]|)([ln ,

и математическое ожидание:

}{]|)([ln 2

2

2

2

2

0sMbtM ξξ

. (9.39)

0sξ представляет собой отклик коррелятора огибающих с опор-

ным сигналом ),( ts0 на воздействие аддитивной смеси сигнала

со случайной начальной фазой и амплитудой ),( 0ts и белого

шума. Анализ этой ситуации выполнен в п.5.4, где установлено,

что 0sξ имеет распределение Релея (5.63) с параметром

00222

1 20

ENss s (где 0E - энергия сигнала ),( ts0 ), матема-

тическое ожидание и дисперсию (5.64). Используя (3.77), запи-

шем

2

121

222

22

2000

sss MM

ξξξ }{}{

00222

1 4220

ENss s .

Возвращаясь к (9.39), получим:

2

2

22

2

2

02 ssbtM

sξ ]|)([ln . (9.40)

Здесь

)(),(),(),( 0

0

00

cT

ss dttvtv - автокорреляционная

функция комплексной огибающей ),( tv по параметру . По-

скольку параметр для комплексной огибающей является не-энергетическим, то (см. п. 5.5) корреляционная функция является

функцией разности 0 .

Дисперсия оценки из (9.17):



),(minˆ

02

2

22

2

2

1

bs

λ.

Дисперсия оценки, соответствующая истинному значению пара-

метра

0

02

2

22

2

2

1

),(minˆ

bs

λ,

или

0

2

2

22

2

2

1

)(minˆ

bs

λ.

Далее, с учётом (3.79), рассмотрим

20

20

00

4

00

42

4

4

2

22

E

E

ENNENNb

срср )()(ss

s

21

16

11

2

2116

41

142

4

20

20

0

20

2

20

0

20

2

срсф

срсф

ср

ср

ср

ср

q

q

EE

N

EN

E

E

N

EN

E

.

.

,

где 0

2

N

Eq

срсрсф . - среднее отношение сигнал/шум на выходе

согласованного фильтра.

И окончательно

0

2

2

2

2

4

20

2

21

16

1

1

)(

.

.minˆ

срсф

срсф

q

q

E

λ.

(9.41)

Дисперсия оценки определяется средним отношением сиг-

нал/шум и второй производной (остротой пика графика) квадрата

модуля нормированной АКФ сигнала по огибающим 20

2

4E

)( .

В дальнейшем будет полезно следующее выражение для

расчёта второй производной модуля корреляционной функции,



входящей в (9.41):

)()()(

2

22

2

2

)()()()(

)()(Re

2

)()()()(Re

2

2

2

2

2

2

22 )()()(Re

.

Теперь, поскольку 020 E)( , можем записать:

0

2

02

2

0

0

2

2

2

24

)()(Re)( E . (9.42)

9.7.2. Потенциальная точность оценивания времени

запаздывания квазидетерминированного сигнала

При оценивании времени запаздывания сигнала

))()(cos()(),( θA tttvts 0

))(cos()(

),(),(

θA

ttv

tttv 00

потенциальная точность характеризуется временной корреляци-

онной функцией комплексных огибающих (5.97):

deVdttvtv j2

2

1|)(|)()()( .

Найдём первую и вторую производные для (9.42):

deVj j2

2

1|)(|)( ;

deV j22

2

2

2

1|)(|)( ;



2

2

0

2

2

1

dV |)(|)( ;

dV 22

0

2

2

2

1|)(|)(Re .

Подставив полученные результаты в (9.42), получим: 2

2220

0

2

2

2

2

12

2

14

dVdVE |)(||)(|)(

(9.43)

Введём в рассмотрение нормированный энергетический

спектр комплексной огибающей сигнала

022

1

0

2

E

VW

|)(|)(

.

Поскольку

dVE 20

2

12 |)(| ,

то введенная нормировка обеспечивает выполнение условия:

1

dW )( . (9.44)

(Ср. аналогичное условие нормировки для ПРВ)

Обозначим

dWdE

V)(

|)(|

0

2

22

1 -

(9.45)

первый начальный момент нормированного энергетического

спектра сигнала. Он определяет координату центра симметрии фигуры, образованной графиком энергетического спектра и осью

абсцисс. (Ср. аналогичное определение для математического

ожидания). Обозначим

dWd

E

V)()(

|)(|)( 2

0

22

2

22

1

2

- (9.46)

второй центральный момент нормированного энергетического спектра. Он характеризует отклонение графика энергетического



спектра от своего центра симметрии – эффективную ширину

спектра . (Ср. аналогичное определение дисперсии).

В качестве примера на рис.9.6 показаны несколько графиков нормированного энергетического спектра, обозначены абсциссы

и ширина спектра . В большинстве случаев ориентировоч-

но можно считать, что гармонические составляющие сигнала, оп-ределяющие его форму, локализованы в интервале

].,,[ 5151 .

4 2 0 2 4

0.1

0.2

0.3

0.4

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

4 2 0 2 4

0.1

0.2

0.3

0.4

4 2 0 2 4 6 8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

Рис.9.6. Примеры энергетических спектров комплексных огибающих

сигналов

С учётом введённых обозначений (9.43) преобразуется сле-

дующим образом:

220

220

0

2

2

2

82

14

EdVE |)(|)(

22220

2

0

222

0 2822

18

dWEd

E

VE )(

|)(|

dWdWdWE )()()( 2220 28

220

220

288

EdWE )()( .

)(W )(W

)(W )(W

3 3

3

3



Возвращаясь к (9.41) получим:

24

22 42

срсф

срсф

q

q

.

.

minτ. (9.47)

При малых отношениях сигнал/шум

241

2 8

срсф

q qсрсф .minˆ

.τ

, (9.47а)

при больших отношениях сигнал/шум

221

2 4

срсф

q qсрсф .minˆ

.τ

. (9.47б)

Потенциальная точность оценивания времени запаздывания

определяется отношением сигнал/шум и шириной спектра сигна-ла. Для повышения точности (уменьшения дисперсии оценки)

следует увеличивать ширину спектра сигнала.

9.7.3. Потенциальная точность оценивания смещения

частоты квазидетерминированного сигнала При оценивании смещения частоты сигнала

))()cos(()(),( θA tttvts 0

))(cos()(

),(

θA

t

ttttv

0

потенциальная точность характеризуется частотной корреляци-

онной функцией комплексных огибающих (5.99):

dVVdtetv tj )()(|)(|)( 2

12 .

Найдём первую и вторую производные для (9.42):

dtetvjt tj2|)(|)( ;

dtetvt tj22

2

2

|)(|)( ;

2

2

0

2

dttvt |)(|)(



dttvt 22

02

2

|)(|)(Re .

Подставив полученные результаты в (9.42), получим: 2

2220

0

2

2

2

24

dttvtdttvtE |)(||)(|)(

(9.48)

Введём в рассмотрение нормированную огибающую сигнала

02 0

2

E

tvtw

|)(|)(

.

Поскольку

dttvE 202 |)(| ,

то введенная нормировка обеспечивает выполнение условия:

1

dttw )( . (9.49)

Обозначим

dtttwdtE

tvtt )(

|)(|

0

2

2

- (9.50)

первый начальный момент нормированной огибающей сигнала;

dttwttdt

E

tvttи )()(

|)(|)( 2

0

22

2

22

- (9.51)

второй центральный момент нормированной огибающей сигнала.

Он характеризует отклонение её графика от своего центра сим-

метрии – эффективную длительность сигнала и .

С учётом введённых обозначений, (9.48) преобразуется сле-

дующим образом:

220

220

0

2

2

2

84 tEdttvtE |)(|)(

22220

2

0

222

0 282

8 ttdttwtEtdtE

tvtE )(

|)(|

dttwtdtttWtdttwtE )()()( 2220 28



220

220

288

иEdttwttE

)()( .

Возвращаясь к (9.41) получим:

24

22 42

исрсф

срсф

q

q

.

.

minˆ

Ω. (9.52)

При малых отношениях сигнал/шум

241

2 8

исрсфq qсрсф

.

minˆ.

Ω

, (9.52а)

при больших отношениях сигнал/шум

221

2 4

исрсфq qсрсф

.

minˆ.

Ω

. (9.52б)

Потенциальная точность оценивания смещения частоты оп-ределяется отношением сигнал/шум и длительностью сигнала.

Для повышения точности (уменьшения дисперсии оценки) следу-

ет увеличивать длительность сигнала.

Главная страница


http://www.strts-online.narod.ru/

Documents

9. Оценивание параметров сигналов 9.1.strts-online.narod.ru/files/lec9.pdfзволяет принять решени е о т ом, како е значение