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9º ANO UNIDADE IV
Intersecção e Reunião de Intervalos
Escola Básica Integrada de Ínsua
Intersecção de Intervalos
Sendo os intervalos conjuntos, cujos elementos são números reais, é possível, quando temos dois ou mais intervalos, fazer a sua intersecção.
A intersecção de dois intervalos, A e B, é por definição, um conjunto constituído pelos elementos comuns a A e a B.
Para melhor perceber a intersecção de intervalos estudemos alguns exemplos:
Intersecção de Intervalos
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
Exemplo 1
Consideremos os intervalos 3, 2A 1, 4B
Vamos determinar A B
e
começando por fazer a sua representação gráfica
A partir desta representação é possível observar que os elementos comuns estão entre . 1 2e
E o que podemos dizer relativamente aos extremos, pertencem ou não à intersecção?
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
Intersecção de Intervalos
Neste caso, podemos ver que nem o nem o pertencem, já que
1 B 2 AEntão, 1, 2A B
e
21
Intersecção de Intervalos
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
- 2
Não existem elementos comuns aos dois intervalos.
A intersecção é assim um conjunto vazio C D ou
Sejam
Exemplo 2
Façamos a sua representação gráfica afim de determinar
4, 2C 1,D
C D
e
Intersecção de Intervalos
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
1
2
Exemplo 3
Dados os intervalos 1,
2E
1, 3
2F e
encontremos a sua intersecção.A representação gráfica é
Neste caso o único elemento comum aos dois intervalos é o
1 1 1,
2 2 2E F
1
2
Logo,
Exemplo 4
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 50, 5
Dados os intervalos e procuremos a intersecção dos dois intervalos.
A representação gráfica é
; 0, 5G 0, 5; 3H
Intersecção de Intervalos
Agora não existem elementos que pertençam simultaneamente aos dois intervalos já que o pertence a mas não pertence a .
Assim,
0, 5 GH
0, 5; 0, 5G H ou
Exemplo 5
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 50, 5
Neste caso temos ,
Logo,
Assim,
H B
Intersecção de Intervalos
Dados os intervalos e procuremos a intersecção dos dois intervalos.
A representação gráfica é
0, 5; 3H 1, 4B
B H H
0,5;3B H
Reunião de Intervalos
A reunião de intervalos, A e B, é por definição um conjunto constituído pelos elementos que pertencem a A ou a B.
Isto significa que para que um dado elemento pertença ao conjunto reunião basta que pertença a um dos conjuntos.Na prática, para obter a reunião de dois ou mais conjuntos o que fazemos é “juntar” os elementos dos conjuntos dados.
Mais uma vez a observação de alguns exemplos pode ajudar-nos a compreender melhor a reunião de intervalos:
Reunião de Intervalos
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
Consideremos os intervalos
Comecemos por fazer a representação gráfica de e .
2 1, 4, BA
A
e
B
Exemplo 1
, 4A B Assim,
Reunião de IntervalosExemplo 2
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
AC
,A C
Neste caso verificamos que, unindo os elementos de com os de obtemos todos os elementos de .
Portanto
Consideremos os intervalos
Mais uma vez, vamos começar por fazer a representação gráfica, de e .
, 2,2 CA
A C
e
Reunião de IntervalosExemplo 3
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
2, 3, 0C D
A intersecção dos intervalos e é o conjunto vazio.
Não nos é possível representar esta reunião sob a forma de um único intervalo.
C D
Consideremos os intervalos
A representação gráfica destes dois intervalos é.
3 02, ,DC e
Reunião de IntervalosExemplo 4
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
Atendendo a que temos que a reunião éD A
, 2A D
Ou seja, a reunião destes dois conjuntos é o próprio conjunto . A
Consideremos os intervalos
No nosso último exemplo pretendemos determinar a reunião de com .
2 3, 0, DA
AD
e
FIM