Embed Size (px)
Citation preview
1
9. Trigonometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk:
1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket!
𝑥 = cos 150 °; 𝑦 = sin 225° ; 𝑧 = 𝑡𝑔2(−60°)
BME 2015. szeptember (16A)
Megoldás:
Ha az 𝒆 egységvektor irányszöge 𝛼, akkor az 𝒆 vektor első koordinátája cos 𝛼, második
koordinátája sin 𝛼. Az ábrán látható az egység sugarú 𝑘 kör és a megfelelő egységvektorok.
A tg 𝛼 =sin 𝛼
cos 𝛼 definícióval adható meg. A harmadik ábra a tg 𝛼 szemléletes jelentését mutatja: az
(1; 0) pontban rajzolt érintőből kimetszett szakasz hossza.
(𝐴) 𝑧 < 𝑥 < 𝑦 (𝐵) 𝑥 < 𝑦 < 𝑧 (𝐶) 𝑦 < 𝑥 < 𝑧 (𝐷) 𝑧 < 𝑦 < 𝑥 (𝐸) 𝑦 < 𝑧 < 𝑥
2
A szögfüggvények értékét kifejezzük hegyesszögek szögfüggvényével. Pontos értékekkel
számolunk:
x = cos 150° = − cos(180° − 150°) = − cos 30° = −√3
2≈ −0,87
y = sin 225° = − sin(225° − 150°) = − sin 45° = −√2
2≈ −0,71
z = tg2(−60°) = [tg(−60°)]2 = [−tg(60°)]2 = (−√3)2
= 3 .
Vagyis: 𝑥 < 𝑦 < 𝑧.
Tehát a jó válasz a (𝐵).
2. Mennyivel egyenlő a sin(75°) ∙ cos(75°) szorzat?
BME 2010. szeptember 12. (16A)
Megoldás:
Alkalmazzuk a következő azonosságot: sin 2𝛼 = 2 ∙ sin 𝛼 ∙ cos 𝛼 .
Szorozzuk be a kifejezést 2-vel: 2 ∙ sin 75 ° ∙ cos 75 °, majd alkalmazva az azonosságot:
2 ∙ sin75° ∙ cos75° = sin(2 ∙ 75°) = sin 150 ° = sin 30 ° =1
2 .
Mivel 2-vel szoroztunk, így ezzel el is kell osztanunk. Tehát a végeredmény:
1
2: 2 =
1
4 .
A jó válasz a (D).
3. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
tg2𝑥 + 4sin2𝑥 − 3 = 0
ELTE 2015. szeptember (fizika BSc)
Megoldás:
Először vizsgáljuk meg az egyenlet értelmezési tartományát!
tg𝑥 =sin 𝑥
cos 𝑥 azonosság miatt: cos 𝑥 ≠ 0 vagyis 𝑥 ≠
π
2+ k ∙ π, (k ∈ ℤ)
Alkalmazzuk ezt az azonosságot:
sin2𝑥
cos2𝑥+ 4sin2𝑥 − 3 = 0.
Beszorzunk a nevezővel:
(𝐴) −√3
4 (𝐵)
√3
4 (𝐶)
√2
2 (𝐷)
1
4 (𝐸)
1
2
3
sin2 𝑥 + 4sin2𝑥 ∙ cos2𝑥 − 3cos2𝑥 = 0.
Alkalmazzuk a sin2𝑥 = 1 − cos2𝑥 azonosságot:
1 − cos2𝑥 + 4(1 − cos2𝑥) ∙ cos2𝑥 − 3cos2𝑥 = 0 .
Zárójel felbontás és az összevonás elvégzése után a következő egyenletet kapjuk:
1 − 4cos4𝑥 = 0
cos4𝑥 =1
4
cos 𝑥 =1
√2 vagy cos 𝑥 = −
1
√2 .
Az egyenlet megoldása tehát 𝑥 =𝜋
4+ 𝑘
𝜋
2, 𝑘 ∈ ℤ, és ez eleme az értelmezési tartománynak.
4. Egy háromszög oldalainak mérőszámai egymást követő 3-nál nagyobb egész számok. Bizonyítsa
be, hogy a háromszög hegyesszögű!
ELTE 2013. szeptember (matematika BSc)
Megoldás:
Legyenek a háromszög oldalai: 𝑎, 𝑎 + 1, 𝑎 + 2 hosszúságúak, ahol a > 3 teljesül. A leghosszabb
oldallal (𝑎 + 2) szemközti szög legyen: 𝛾.
Írjuk fel a koszinusz tételt a leghosszabb oldalra:
(𝑎 + 2)2 = (𝑎 + 1)2 + 𝑎2 − 2(𝑎 + 1) ∙ 𝑎 ∙ cos 𝛾.
Végezzük el a négyzetre emelést és a zárójelbontást:
𝑎2 + 4𝑎 + 4 = 𝑎2 + 2𝑎 + 1 + 𝑎2 − 2(𝑎 + 1) ∙ 𝑎 ∙ cos 𝛾.
Összevonás és rendezés után: 𝑎2 − 2𝑎 − 3 = 2𝑎 ∙ (𝑎 + 1) ∙ cos 𝛾 .
A bal oldalt felírjuk szorzatalakban: 𝑎2 − 2𝑎 − 3 = (𝑎 + 1)(𝑎 − 3) .
Mindkét oldalt osztjuk (𝑎+1)-gyel:
(a − 3) = 2a ∙ cos 𝛾vagyis
a − 3
2a= cos 𝛾 .
Mivel a > 3, ezért cos 𝛾 > 0, amiből következik, hogy 𝛾 < 90°.
Tehát a háromszög hegyesszögű.
4
II. Ismételjünk!
1. Szögfüggvények értelmezése
https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/13.pdf 1-3. oldal
https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/12.pdf 3-4. oldal
2. Összefüggések a szögfüggvények között
https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/13.pdf 4. oldal
3. Trigonometrikus egyenletek
https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/13.pdf 7-10. oldal
4. Szinusz és koszinusz tételek alkalmazása
https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/13.pdf 5. oldal
5
III. Gyakorló feladatok
1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét!
a) cos 135 ° + sin 45 ° = b) tg 300° + ctg 150°= c) cos 165 ° + sin 75 °= d)
d) cos7π
6= e) (2tg
2003π
4)
3= f) sin2 (
π
3) − cos2 (
π
3) =
2. Egyszerűsítse a következő kifejezést!
cos(−𝛼) ∙ cos(180° + 𝛼)
sin(−𝛼) ∙ sin(90° + 𝛼)=
3. Írja egyszerűbb alakba a következő kifejezéseket!
a) cos(𝑥) + cos(2π − 𝑥) b) cos (π+2𝑥
2) c) sin (
3π
2− 𝑥)
4. Állítsa növekvő sorrendbe a 𝑥 = tg1; 𝑦 = tg2; 𝑧 = tg3 mennyiségeket! A szögeket radiánban
mérjük.
BME 2012. szeptember 7. (15A)
5. Legyen sin α = 0,6. Számítsa ki tgα értékét, ha 𝛼 ∈ [𝜋
2; 𝜋] !
(A) 3
4 (B)
4
3 (C) 0 (D) −
3
4 (E) −
4
3
BME 2013. szeptember 13. (15A)
6. Legyen cos 𝛼 =3
5 . Mennyi lehet ekkor a sin 2𝛼 , ha α ∈ [−
𝜋
2; 0] ?
7. Határozza meg a következő kifejezések legbővebb értelmezési tartományát!
a) 1
1−tg𝑥
b) √sin 𝑥 − 0,5
8. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!
a) 4cos2 𝑥 = 1
b) sin (10𝑥 +π
3) = −
√2
2
9. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!
a) sin 2𝑥 = sin (𝑥 +π
4)
b) cos (5𝑥 −2π
3) = cos (𝑥 +
3π
4)
c) tg2𝑥 = tg 𝑥
10. Mely valós x értékekre teljesül az egyenlet?
(𝐴) 𝑥 < 𝑦 < 𝑧 (𝐵)𝑦 < 𝑧 < 𝑥 (𝐶)𝑥 < 𝑧 < 𝑦 (𝐷) 𝑧 < 𝑦 < 𝑥 (𝐸) 𝑦 < 𝑥 < 𝑧
6
a) √3 cos 𝑥 + sin 𝑥 = 0
b) sin 2𝑥 = tg𝑥
c) 2sin2𝑥 + 5 cos 𝑥 − 4 = 0
d) sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 = −√3
2
e) sin 𝑥 + cos 𝑥 = √2
11. Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán!
cos 𝑥 +sin2 𝑥
cos 𝑥+ sin 𝑥 + sin 2𝑥 =
1
cos 𝑥
ELTE 2007. szeptember (földtudományi szak)
12. Hány megoldása van a következő egyenletnek a [−𝜋
2; 2𝜋] intervallumon?
2 cos 𝑥 − 1
sin2𝑥 −34
= 0
13. Hány megoldása van sin2𝑥 ≤ 0 egyenlőtlenségnek a [−10; 10] zárt intervallumon?
14. Egy torony árnyéka a vízszintes talajon kétszer olyan hosszú, mint a torony magassága. Hány
fokos szöget zár be ekkor a nap a vízszintes talajjal?
Középszintű érettségi 2009. október
15. Egy háromszög két oldalának arány 3: 2, az általuk bezárt szög 120°, a harmadik oldala 𝑐 = 38
cm. Mekkorák az ismeretlen oldalak és szögek?
16. Tegyük fel, hogy egy háromszög szögeire fennáll, hogy tgβ ∙ sin2γ = tgγ ∙ sin2β. Igazolja, hogy
ekkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű.
(𝐴) 3 (𝐵) 4 (𝐶) 2 (𝐷) 1 (𝐸) 0
(𝐴) 1 (𝐵) 7 (𝐶) 6 (𝐷) 20 (𝐸) nincs megoldása
7
IV. Megoldások
1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét!
a) cos 135 ° + sin 45 ° = b) tg 300° + ctg150°= c) cos 165 ° + sin 75 °= d)
d) cos7π
6= e) (2tg
2003π
4)
3= f) sin2 (
π
3) − cos2 (
π
3)
Megoldás:
a) cos 135° + sin 45 ° = − cos 45 ° + sin 45 ° = 0
b) tg 300° + ctg 150° = −tg 60° − ctg 30° = −√3 − √3 = −2√3
c) cos 165° + sin 75 ° = = − cos 15 ° + sin 75 ° = − sin 75 ° + sin 75 ° = 0
d) cos7π
6= cos (π +
𝜋
6) = − cos (
𝜋
6) = −
√3
2
e) mivel tg2003π
4= tg (
3π
4+ 500π) = tg (
3π
4) = −1, tehát (2 ∙ (−1))3 = −8
f) sin2 (π
3) − cos2 (
π
3) = (
√3
2)
2
− (1
2)
2=
3
4−
1
4=
1
4=
1
2
2. Egyszerűsítse a következő kifejezést!
cos(−𝛼) ∙ cos(180° + 𝛼)
sin(−𝛼) ∙ sin(90° + 𝛼) =
Megoldás:
A szögfüggvények következő tulajdonságait alkalmazzuk:
cos(−α) = cos α ; sin (−α) = − sin α ; cos (180° + α) = − cos α ;
sin (90° + α) = cos α ; cos α
sin α= ctg α.
cos α ∙ (−cos α)
−sin α ∙ cos α= ctg α .
3. Írja egyszerűbb alakba a következő kifejezéseket!
a) cos 𝑥 + cos (2π − 𝑥) b) cos (π+2𝑥
2) c) sin (
3π
2− 𝑥)
Megoldás:
a) cos 𝑥 + cos (2π − 𝑥) = 2 cos 𝑥, mivel cos (2π − 𝑥) = cos 𝑥
b) cos (π+2𝑥
2) = cos (
π
2+ 𝑥) = −sin 𝑥, az alábbi ábra jól mutatja a (cos 𝑥)-nek a (
π
2)-vel való
eltolása, éppen a (– sin 𝑥) lesz.
8
c) Alkalmazhatjuk a sin(α − β) = sin α ∙ cos β − cos 𝛼 ∙ sin β addíciós tételt:
sin (3π
2− 𝑥) = sin
3π
2∙ cos 𝑥 − cos
3π
2∙ sin 𝑥 = (−1) ∙ cos 𝑥 − 0 ∙ sin 𝑥 = − cos 𝑥.
4. Állítsa növekvő sorrendbe a 𝑥 = tg1; 𝑦 = tg2; 𝑧 = tg3 mennyiségeket! A szögeket radiánban
mérjük.
BME 2012. szeptember 7. (15A)
Megoldás:
1 <𝜋
2< 2 < 3 < 𝜋, ezért a tg1 az első negyedben van, tg2 és tg3 pedig a második negyedben
van. Ebből következik, hogy 𝑡𝑔1 > 0; 𝑡𝑔2 < 0; 𝑡𝑔3 < 0.
A tg függvény a ]𝜋
2; 𝜋] intervallumon szigorú monoton nő ⇒ tg2 < tg3.
Tehát: tg2 < tg3 < tg1.
A helyes válasz a (𝐵).
5. Legyen sin α = 0,6. Számítsa ki tgα értékét, ha 𝛼 ∈ [𝜋
2; 𝜋] !
(A) 3
4 (B)
4
3 (C) 0 (D) −
3
4 (E) −
4
3
BME 2013. szeptember 13. (15A)
(𝐴) 𝑥 < 𝑦 < 𝑧 (𝐵) 𝑦 < 𝑧 < 𝑥 (𝐶)𝑥 < 𝑧 < 𝑦 (𝐷) 𝑧 < 𝑦 < 𝑥 (𝐸) 𝑦 < 𝑥 < 𝑧
9
Megoldás:
Használjuk fel a következő azonosságokat: tg α =sin 𝛼
cos 𝛼; cos2α = 1 − sin2α !
cos2α = 1 − 0,62 = 0,64 ⇒ cosα = −0,8 mert α ∈ [π
2; π].
tgα =0,6
−0,8= −
3
4 .
A helyes válasz: a (𝐷).
6. Legyen cosα =3
5 . Mennyi lehet ekkor a sin 2𝛼 , ha α ∈ [−
𝜋
2; 0] ?
Megoldás:
sin 2𝛼 = 2 ∙ sin 𝛼 ∙ cos 𝛼 é𝑠 sin2α = 1 − cos2α , ezért:
sin2α = 1 − (3
5)
2
=16
25
sin 𝛼 = −4
5, mert α ∈ [−
π
2; 0]
sin 2𝛼 = 2 ∙ (−4
5) ∙
3
5= −
24
25
7. Határozza meg a következő kifejezések legbővebb értelmezési tartományát!
a) 1
1−tg𝑥
b) √sinx − 0,5
Megoldás:
a) A tangens értelmezési tartománya miatt: 𝑥 ≠𝜋
2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ.
A nevező miatt: 1 − tg𝑥 ≠ 0 ⇒ tg𝑥 ≠ 1 ⇒ 𝑥 ≠𝜋
4+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ.
A kifejezés értelmezési tartománya: 𝑥 ∈ ℝ\ {𝑥 =𝜋
2+ 𝑘𝜋; 𝑥 =
𝜋
4+ 𝑘𝜋} ahol 𝑘 ∈ ℤ.
b) A négyzetgyök miatt:
sin 𝑥 − 0,5 ≥ 0 sin 𝑥 ≥ 0,5
Az értelmezési tartomány: {𝑥 ∈ ℝ|𝜋
6+ 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤
5𝜋
6+ 2𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ} .
10
8. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!
a) 4cos2𝑥 = 1
b) sin (10𝑥 +π
3) = −
√2
2
Megoldás:
a)
4cos2𝑥 = 1
cos2𝑥 =1
4
cos 𝑥 = ±1
2;
cos 𝑥 =1
2 megoldásai: 𝑥1 =
𝜋
3+ 2𝑘𝜋; 𝑥2 = −
𝜋
3+ 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ.
cos 𝑥 = −1
2 megoldásai: 𝑥3 =
2𝜋
3+ 2𝑘𝜋; 𝑥4 = −
2𝜋
3+ 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ.
b) A sin (10𝑥 +𝜋
3) = −
√2
2 a szinusz függvény –
𝜋
4 é𝑠
5𝜋
4 –nél lesz −
√2
2:
I. 10𝑥1 +𝜋
3= −
𝜋
4+ 2𝑘𝜋 II. 10𝑥2 +
𝜋
3=
5𝜋
4+ 2𝑘𝜋
Rendezzük az egyenleteket x-re:
10𝑥1 = −𝜋
4−
𝜋
3+ 2𝑘𝜋 10𝑥2 =
5𝜋
4−
𝜋
3+ 2𝑘𝜋
10𝑥1 =7𝜋
12+ 2𝑘𝜋 10𝑥2 =
11𝜋
12+ 2𝑘𝜋 (10-zel osztva)
𝑥1 =7𝜋
120+
𝑘𝜋
5 , 𝑘 ∈ ℤ 𝑥2 =
11𝜋
120+
𝑘𝜋
5 , 𝑘 ∈ ℤ
11
9. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!
a) sin 2𝑥 = sin (𝑥 +𝜋
4)
b) cos (5𝑥 −2π
3) = cos (𝑥 +
3π
4)
c) tg2𝑥 = tg 𝑥
Megoldás:
A megoldás során felhasználjuk, hogy
ha sin 𝛼 = sin 𝛽 akkor 𝛼 = 𝛽 + 2𝑘𝜋 vagy 𝛼 = 𝜋 − 𝛽 + 2𝑘𝜋,
ha cos α = cos β akkor 𝛼 = 𝛽 + 2𝑘𝜋 vagy 𝛼 = −𝛽 + 2𝑘𝜋,
ha tgα = tg β akkor 𝛼 = 𝛽 + 𝑘𝜋.
a) sin 2𝑥 = sin (𝑥 +𝜋
4)
2𝑥 = 𝑥 +𝜋
4+ 2𝑘𝜋, rendezve az egyenletet azt kapjuk, hogy 𝑥1 =
𝜋
4+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
vagy
2𝑥 = 𝜋 − (𝑥 +𝜋
4) + 2𝑘𝜋. Rendezzük az egyenletet x-re:
3𝑥 = 𝜋 −𝜋
4+ 2𝑘𝜋
3𝑥 =3𝜋
4+ 2𝑘𝜋
𝑥2 =3𝜋
12+
2𝑘𝜋
3, 𝑘 ∈ ℤ.
Tehát az egyenlet megoldásai:
𝑥1 =𝜋
4+ 2𝑘𝜋; 𝑥2 =
3𝜋
12+
2𝑘𝜋
3, 𝑘 ∈ ℤ .
b) cos (5𝑥 −2𝜋
3) 𝑥 = cos (𝑥 +
3𝜋
4)
5𝑥 −2𝜋
3= 𝑥 +
3𝜋
4+ 2𝑘𝜋
Rendezzük az egyenletet!
4𝑥 =3𝜋
4+
2𝜋
3+ 2𝑘𝜋
4𝑥 =17𝜋
12+ 2𝑘𝜋
𝑥1 =17𝜋
48+
𝑘𝜋
2, 𝑘 ∈ ℤ
vagy
5𝑥 −2𝜋
3= − (𝑥 +
3𝜋
4) + 2𝑘𝜋
12
5𝑥 −2𝜋
3= −𝑥 −
3𝜋
4+ 2𝑘𝜋
6𝑥 =2𝜋
3−
3𝜋
4+ 2𝑘𝜋
6𝑥 = −𝜋
12+ 2𝑘𝜋
𝑥2 = −𝜋
72+
𝑘𝜋
3, 𝑘 ∈ ℤ.
Tehát az egyenlet megoldásai:
𝑥1 =17𝜋
48+
𝑘𝜋
2; 𝑥2 = −
𝜋
72+
𝑘𝜋
3, 𝑘 ∈ ℤ.
c) tg2𝑥 = tg 𝑥
2𝑥 = 𝑥 + 𝑘𝜋 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
Meg kell vizsgálni a két tangens értelmezési tartományát, hogy minden megoldás jó e.
Elég megnézni, hogy a cos 2𝑥 és a cos 𝑥 hol lenne nulla.
cos 2𝑥 = 0
𝑥 =𝜋
4+
𝑘𝜋
2
cos𝑥 = 0
𝑥 =𝜋
2+ 𝑘𝜋
Az ábrán jól látható, hogy a pirossal jelzett megoldásoknál ( 𝑥 = 𝑘𝜋 ) egyik koszinusz sem
lesz nulla.
10. Mely valós x értékekre teljesül az egyenlet?
a) √3 cos 𝑥 + sin 𝑥 = 0
b) sin 2𝑥 = tg 𝑥
c) 2sin2𝑥 + 5 cos 𝑥 − 4 = 0
d) sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 = −√3
2
e) sin 𝑥 + cos 𝑥 = √2
Megoldás:
a) √3 cos 𝑥 + sin 𝑥 = 0
Első megoldás:
Rendezzük át az egyenletet:
sin 𝑥 = −√3 cos 𝑥 .
Oszthatunk cos 𝑥-el, mivel cos 𝑥 = 0 nem megoldása az egyenletünknek, így nem vesztünk
gyököt.
13
sin 𝑥
cos 𝑥= −√3
tg𝑥 = −√3
A megoldás: 𝑥 = −𝜋
3+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
Második megoldás:
Emeljük az átrendezett egyenletet négyzetre: sin2𝑥 = 3cos2𝑥
Helyettesítsük be a sin2𝑥 = 1 − cos2𝑥 összefüggést:.
1 − cos2𝑥 = 3cos2𝑥
Rendezzük az egyenletet: 4cos2𝑥 = 1.
A 8.a feladatnál láttuk ennek az egyenletnek a megoldásait:
cos 𝑥 =1
2 megoldásai: 𝑥1 =
𝜋
3+ 2𝑘𝜋; 𝑥2 = −
𝜋
3+ 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ
cos 𝑥 = −1
2 megoldásai: 𝑥3 =
2𝜋
3+ 2𝑘𝜋; 𝑥4 = −
2𝜋
3+ 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ .
Mivel négyzetre emeltünk és ez nem ekvivalens átalakítás, ezért az eredményt mindenképpen
ellenőriznünk kell. Látszik, hogy a megoldás csak azokban a negyedekben lehet, ahol a
szinusz és a koszinusz ellentétes előjelű, vagyis a második és a negyedik negyedben. Tehát itt
csak az 𝑥2 és az 𝑥3 jó megoldás.
Harmadik megoldás:
Osszuk el az egyenletet 2-vel:
√3
2cos 𝑥 +
1
2sin 𝑥 = 0.
Észrevehetjük, hogy √3
2= sin
𝜋
3 és
1
2= cos
𝜋
3 .
Ezeket behelyettesítve:
sin𝜋
3 cos 𝑥 + cos
𝜋
3sin 𝑥 = 0 egyenlethez jutunk.
Felhasználva a sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 ∙ cos 𝛽 + cos 𝛼 ∙ sin 𝛽, addíciós tételt:
sin𝜋
3 cos𝑥 + cos
𝜋
3sin𝑥 = sin (
𝜋
3 + 𝑥) = 0 .
Ennek megoldása: 𝜋
3 + 𝑥 = 𝑘𝜋 ⇒ 𝑥 = −
𝜋
3 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ .
b) sin 2𝑥 = tg𝑥
A tangens miatt az egyenlet értelmezési tartománya: 𝑥 ∈ ℝ; és 𝑥 ≠𝜋
2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ
Felhasználva az azonosságokat:
2 sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 =sin 𝑥
cos 𝑥.
Szorozzunk be cos 𝑥-el és rendezzük 0-ra az egyenletet!
2 sin 𝑥 ∙ cos2𝑥 − sin 𝑥 = 0
Emeljük ki a sin 𝑥-et!
sin 𝑥 ∙ (2cos2𝑥 − 1) = 0
Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, így
sin 𝑥 = 0 vagy 2cos2𝑥 − 1 = 0.
14
Ha sin 𝑥 = 0, akkor 𝑥1 = 𝑘𝜋,
ha 2cos2𝑥 − 1 = 0, akkor cos 𝑥 = ±1
√2 .
Ekkor 𝑥2 =𝜋
4+ 2𝑘𝜋; 𝑥3 = −
𝜋
4+ 2𝑘𝜋; 𝑥4 =
3𝜋
4+ 2𝑘𝜋; 𝑥5 = −
3𝜋
4+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Megjegyzés: Gyakori hiba a sin 𝑥-el való leosztás, ami gyökvesztéshez vezet.
c) 2sin2𝑥 + 5 cos 𝑥 − 4 = 0
Használjuk a 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 azonosságot!
2(1 − cos2𝑥) + 5 cos 𝑥 − 4 = 0
2 − 2cos2𝑥 + 5 cos 𝑥 − 4 = 0 −2cos2𝑥 + 5 cos 𝑥 − 2 = 0
2cos2𝑥 − 5 cos 𝑥 + 2 = 0
Másodfokú egyenletet kapunk 𝑐𝑜𝑠𝑥-re nézve. A másodfokú egyenlet megoldóképletének
segítségével megkapjuk a két gyököt:
cos 𝑥1,2 =5 ± √25 − 16
4=
5 ± 3
4,
ahonnan cos 𝑥1 = 2 és cos 𝑥2 =1
2 .
Mivel −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1, ezért a cos 𝑥1 = 2 -nek nincs megoldása.
A cos 𝑥2 =1
2 megoldásai: 𝑥1 =
𝜋
3+ 2𝑘𝜋; 𝑥2 = −
𝜋
3+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
d) A sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 = −√3
2 egyenletet szorozzuk be 2-vel:
2 sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 = −√3 .
Helyettesítsük be a sin 2𝑥-re vonatkozó azonosságot:
sin 2𝑥 = −√3 ,
−√3 < −1 és − 1 ≤ sin 2𝑥 ≤ 1, ezért a sin 2𝑥 = −√3 -nak nincs megoldása.
e) sin 𝑥 + cos 𝑥 = √2
Osszuk el az egyenletet √2-vel!
1
√2sin 𝑥 +
1
√2cos 𝑥 = 1
Vegyük észre, hogy 1
√2= cos
𝜋
4 ;
1
√2= sin
𝜋
4 .
Ezeket behelyettesítve az egyenletbe:
cos𝜋
4∙ sin𝑥 + sin
𝜋
4∙ cos𝑥 = 1
sin (𝑥 +𝜋
4) = 1
𝑥 +𝜋
4=
𝜋
2+ 2𝑘𝜋.
Tehát az egyenlet megoldása: 𝑥 =𝜋
4+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
11. Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán!
cos 𝑥 +sin2 𝑥
cos 𝑥+ sin 𝑥 + sin 2𝑥 =
1
cos 𝑥
ELTE 2007. szeptember (földtudományi szak)
15
Megoldás:
Értelmezési tartomány: cos 𝑥 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ∈ ℝ és 𝑥 ≠𝜋
2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ
cos 𝑥 +sin2𝑥
cos 𝑥 + sin 𝑥 + sin 2𝑥 =
1
cos 𝑥
Szorozzuk be az egyenletet cos 𝑥-el:
cos 2𝑥 + sin2𝑥 + sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 + sin 2𝑥 ∙ cos 𝑥 = 1.
Alkalmazzuk az következő összefüggéseket: cos 2𝑥 + sin2𝑥 = 1 és sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 ∙ cos 𝑥:
1 + sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 + 2 ∙ sin𝑥 ∙ cos 2𝑥 = 1sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 + 2 ∙ sin 𝑥 ∙ cos 2𝑥 = 0 .
Emeljük ki a sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 -et:
sin 𝑥 ∙ cos 𝑥(1 + 2 cos 𝑥 ) = 0 .
Ez akkor teljesül, ha sin 𝑥 = 0 vagy (1 + 2 cos 𝑥) = 0 vagy cos 𝑥 = 0, de ez utóbbi nem
megoldás az értelmezési tartomány miatt.
Ha sin 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥1 = 𝑘𝜋,
ha (1 + 2 cos 𝑥) = 0 ⇒ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −1
2 ⇒ 𝑥2 =
2𝜋
3+ 2𝑘𝜋; 𝑥3 = −
2𝜋
3+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
12. Hány megoldása van a következő egyenletnek a [−𝜋
2; 2𝜋] intervallumon?
2 cos 𝑥 − 1
sin2 𝑥 −34
= 0
Megoldás:
Először vizsgáljuk meg az értelmezési tartományt:
sin2𝑥 −3
4≠ 0
sin2𝑥 ≠3
4
sin 𝑥 ≠ ±√3
2
𝑥1 ≠ 𝜋
3+ 𝑘𝜋 és 𝑥 2 ≠ −
𝜋
3+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ .
Egy tört értéke akkor nulla, ha a számlálója nulla és a nevezője nem nulla.
2 cos 𝑥 − 1 = 0
cos 𝑥 =1
2 .
Ennek a megoldásai:
𝑥1 =𝜋
3+ 2𝑘𝜋 és 𝑥2 = −
𝜋
3+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
(𝐴) 3 (𝐵) 4 (𝐶) 2 (𝐷) 1 (𝐸) 0
16
Összevetve az értelmezési tartománnyal megállapíthatjuk, hogy nincs megoldása ennek az
egyenletnek.
Tehát a helyes válasz az (𝐸).
13. Hány megoldása van sin2𝑥 ≤ 0 egyenlőtlenségnek a [−10; 10] zárt intervallumon?
Megoldás:
A négyzetre emelés miatt sin2𝑥 ≥ 0. A két feltételből következik, hogy
sin2𝑥 = 0 sin 𝑥 = 0
𝑥 = 𝑘𝜋
Azt kell még megvizsgálni, hogy ezek a gyökök közül mennyi esik a megadott intervallumba.
Mivel
−4𝜋 < −10 < −3𝜋 és 3𝜋 < 10 < 4𝜋,
a következő ábrán jól látható, hogy 7 megoldása (−3𝜋; −2𝜋; −𝜋; 0; 𝜋; 2𝜋; 3𝜋) van az
egyenlőtlenségnek ezen az intervallumon.
Tehát a helyes válasz a (𝐵).
14. Egy torony árnyéka a vízszintes talajon kétszer olyan hosszú, mint a torony magassága. Hány
fokos szöget zár be ekkor a nap a vízszintes talajjal?
Középszintű érettségi 2009. október
Megoldás:
A hosszabb befogó legyen: 2𝑥, a rövidebb 𝑥.
A derékszögű háromszögre felírhatjuk, hogy tg𝛼 =𝑥
2𝑥, és
𝑥-el egyszerűsítve kapjuk, hogy tgα =1
2,
ahonnan az 𝛼 = 26,57°.
(𝐴) 1 (𝐵) 7 (𝐶) 6 (𝐷) 20 (𝐸) nincs megoldása
17
15. Egy háromszög két oldalának arány 3:2, az általuk bezárt szög 120°, a harmadik oldala c=38 cm.
Mekkorák az ismeretlen oldalak és szögek?
Megoldás:
Legyenek az oldalak 𝑎, 𝑏 és 𝑐. Ekkor 𝑎 = 3𝑥 é𝑠 𝑏 = 2𝑥 és 𝛾 = 120°. A két oldal és a közbezárt
szög segítségével felírhatjuk a koszinusz tételt:
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏cos𝛾.
Helyettesítsünk be: 382 = (3𝑥)2 + (2𝑥)2 − 2(3𝑥) ∙ (2𝑥) ∙ cos 120 °.
Végezzük el a műveleteket:
1444 = 9𝑥2 + 4𝑥2 − 12𝑥2 ∙ (−1
2)
1444 = 9𝑥2 + 4𝑥2 + 6𝑥2
1444 = 19𝑥2
76 = 𝑥2
𝑥 = √76 , (𝑥 > 0).
Tehát az 𝑎 = 3√76 ≈ 26,15 (𝑐𝑚) és a 𝑏 = 2√76 ≈ 17,44(𝑐𝑚).
A hiányzó szöget kiszámolhatjuk a szinusztétel segítségével (𝛼 biztos, hogy hegyesszög, mert 𝛾
tompaszög):
sin 𝛼
sin 120 °=
3√76
38sin 𝛼 = 0,6𝛼 = 36,6°.
A háromszög szögeinek összege 180°, így 𝛽 = 180° − 120° − 36,6° = 23,4°.
Tehát a háromszög hiányzó adatai:
𝑎 = 3√76 𝑐𝑚 ≈ 26,15 𝑐𝑚; 𝑏 = 2√76 𝑐𝑚 ≈ 17,44; 𝛼 = 36,6°; 𝛽 = 23,4°.
16. Tegyük fel, hogy egy háromszög szögeire fennáll, hogy tgβ ∙ sin2γ = tgγ ∙ sin2β. Igazolja, hogy
ekkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű.
Megoldás:
Mivel létezik a tg𝛽 é𝑠 tg𝛾, ezért sem 𝛽, sem 𝛾 nem lehet 90°.
A szögfüggvények közötti összefüggéseket használva, felírhatjuk:
sin 𝛽
cos 𝛽∙ sin2𝛾 =
sin 𝛾
cos 𝛾∙ sin2𝛽 .
Oszthatunk 𝑠𝑖𝑛β-val és sin 𝛾-val, mivel ezek nem lehetnek nullák:
sin 𝛾
cos 𝛽=
sin 𝛽
cos 𝛾 .
Szorozzunk be a nevezőkkel:
sin 𝛾 ∙ cos 𝛾 = sin 𝛽 ∙ cos 𝛽 .
Szorozzuk meg mindkét oldalt 2-vel:
2 sin 𝛾 ∙ cos 𝛾 = 2 sin 𝛽 ∙ cos 𝛽 .
18
2 sin 𝛾 ∙ cos 𝛾 = sin 2𝛾 é𝑠 2 sin 𝛽 ∙ cos 𝛽 = sin 2𝛽 ezért:
sin 2𝛾 = sin 2𝛽.
Ez akkor teljesül, ha
2𝛾 = 2𝛽, amiből következik, hogy 𝛾 = 𝛽 vagyis a háromszög egyenlő szárú,
VAGY, ha
2𝛾 = 180° − 2𝛽 Rendezzük ezt az egyenletet:
2𝛾 + 2𝛽 = 180°
2(𝛾 + 𝛽) = 180°
𝛾 + 𝛽 = 90° ⇒ 𝛼 = 90,
tehát a háromszög ebben az esetben derékszögű.
