امليكانيكا :الكميات القياسية والكميات املتجهة - ١

:الكمية القياسية هلا مقدار فقط، وحتدد بواسطة عدد ووحدة، ومثال ذلك .Kg 70 كتلة جسم اإلنسان هي يف املتوسط :الكتلة .m3 300 حجم قاعة الدراسة هو حوايل :احلجم .Hz 60 هو V 110 تردد التيار الكهربائي يف البيوت للخط :التردد

.يتم مجع وطرح الكميات القياسية املتشاهبة بالطرق الرياضية العادية :الكميات املتجهة هلا مقدار واجتاه معا، وهي حتدد بعدد ووحدة واجتاه، ومثال ذلك

. باجتاه الشرقKm 20 سيارة قطعت إزاحة :اإلزاحة . إىل األسفل على الطاولةN 10 يسلط رجل قوة مقدارها :القوة

. باجتاه اجلنوب الغريبKm/h 600 يسري قطار بسرعة منتظمة مقدارها :السرعةويتم متييز الكميات املتجهة عند كتابتها بوضع عالمة سهم على رمز الكمية فمثال نكتب

v. F: ، والسرعة :القوة

، فإنه جيب أن نأخذ االجتاه يف االعتبـار، عندما يتم مجع وطرح الكميات املتجهة املتشاهبة .ولذا البد من معرفة طرق مجع املتجهات

:مجع املتجهات :الطريقة البيانية جلمع املتجهات: أوال

ميثل املتجه بيانيا خبط مستقيم ويف هنايته سهم، وحبيث يكون طول املستقيم متناسبا مـع :ه الكمية املتجهة، فمثالمقدار الكمية املتجهة واجتاه السهم ميثل اجتا

B. A له طول ومقدار خمتلف عن املتجه املتجه

:ونعبر عن طول أو مقدار املتجه عادة بالطريقة التاليةAجه املت) أو مقدار(طول A A= =

Bاملت) أو مقدار(طول B B جه= =

AB : بيانيا نتبع اآليت و جلمع

AB

١

R باملتجـه وهنايـة ، مث نوصل بني بداية Aعند هناية حبيث أن بدايته نرسم ، أي أB و Aوالذي ميثل اجلمع االجتاهي للمتجهني

BAB

R: ن A= +B

= = + B AB

R: وميكن احلصول على نفس النتيجة بتغيري الترتيب، أي أن B A= +

B والذي له نفـس AR باملتجه وهناية B مث نوصل بني بداية وبيانيا نرسم عند بداية . باحملصلةRويسمى املتجه . االجتاه السابق

+ = =

:ونتبع نفس األسلوب السابق عند مجع أكثر من متجهني كما يف املثال التايل

: ١ مثال

مث باالجتاه اجلنـوب km 50 باجتاه الشمال، مث تتحرك غربا ملسافة km 30سيارة تقطع ما هو البعد بني نقطيت البداية والنهاية؟. km 20 ملسافة الشرقي : احلل

.Aنسمي اإلزاحة باجتاه الشمال املتجه .Bنسمي اإلزاحة باجتاه الغرب املتجه

.C املتجه الشرقينسمي اإلزاحة باجتاه اجلنوب اR وحنددها بتوصيل بداية املتجه فتكون احملصلة

:R A B C

هي اجلمع االجتاهي للمتجهات الثالث، كما هو مبني بالشكل R واجتاه األول مع هناية املتجه األخري ونكت

: هوRهو الشمال الغريب، ومقدار =ب + +

R R 39km= ≅ .بالقياس املباشر بعد أخذ مقياس مناسب للرسم) الطول(حيث مت حتديد املقدار

AR R

RBABA

R

B

R

CA

٢

:ية جلمع املتجهاتالطريقة املثلث: ثانيا

ملتجهني أو أكثـر بالطريقـة البيانيـة Rبالرغم من إمكانية حتديد مقدار واجتاه احملصلة وللحصول على نتيجة دقيقـة للمحـصلة . السابقة، إال أن هذا األسلوب غري دقيق متاما

.نستخدم املثلثات :للمثلث القائم الزاوية اجملاور، لدينا

b

: ومن نظرية فيثاغورث2 2 2 2c a b c a= + ⇒ = + 2b 2 2 2 2a c b a c b= − ⇒ = − 2 2 2 2 2 2b c a b c a= − ⇒ = −

180= جمموع زوايا املثلث: كذلك لدينا العالقة املشهورة90θ + φ =

A

: لزاوية، جمموع الزاويتنيلذلك يف املثلث القائم ا :ومن املناسب استخدام هذه الطريقة يف احلالة التالية

R فإنه من السهل إجياد مقدار احملـصلة هلمـا B و إذا كان لدينا متجهني متعامدين :بتطبيق نظرية فيثاغورث

ca

b

R

A

B

٣

2 2R A B= + : من العالقةθ مبعرفة الزاوية Rكذلك ميكن حتديد اجتاه

1B Btan tanA A

−θ = ⇒ θ =

A

ت جلمـع غري متعامدين، فإننا نستخدم طريقة املركبـا B و أما إذا كان املتجهان .املتجهات

:طريقة املركبات جلمع املتجهات: ثالثا

فإنه للحصول على اجلمع االجتاهي هلمـا B و Aإذا كان لدينا متجهني غري متعامدين األخرى على و xنقوم أوال بتحليل كل منهما إىل مركبتني متعامدتني أحدمها على االجتاه

: ، ونستخدم طريقة مجع املتجهات بيانيا للحصول على اآليتyاالجتاه x yA A A= +

x yB B B

= +

:تحديد مقدار املركبات لكل متجه كاآليتونستخدم طريقة املثلثات ل

:Aيف املثلث القائم الزاوية اخلاص باملتجه

A B

B A

xB

yByA

xA

B

xB

yBA Ay

xA

٤

:Bوبنفس الطريقة للمثلث القائم الزاوية اخلاص باملتجه

مركبات املتجهات لكل اجتاه على حدة فنحصل على املركبـة احملـصلة يف نقوم جبمع مث

: من العالقةxاالجتاه

x xR A xB= +

y yR A

: من العالقةyوعلى املركبة احملصلة يف االجتاه

yB= +

xRR

بتني متعامدتني،y فإننا نطبق نظرية فيثاغورث للحصول على مقدار مرك و ومبا أن

: كالتايلRاملتجه الفضائي والذي ميثل احملصلة 2 2x yR R= + R

: من العالقة املثلثيةRوحندد اجتاه y y1

x x

R Rtan tan

R R−α = ⇒ α =

:٢مثالF ة يقوم رجل بسحب العربة املبينة بالشكل بواسطة قوة مائل

30

وحبيـث N 10 مقـدارهاθ =.

F ؟Fحدد مقدار املركبات األفقية والعمودية للقوة

xF

yF

:احلل

:بالنظر إىل املثلث القائم الزاوية جند أنy

y

Fsin F Fsin 10 sin30 10 0.5

Fθ = ⇒ = θ = × = ×

yF 5

F

N∴

yF

xF

=

٥

xx

Fcos F Fcos 10 cos30 10 0.866F

θ = ⇒ = θ = × = ×

xF 8.66

N∴ =

:٣مثالkm/h km 3 يف هنر جيري بسرعة 10قارب يتجه حنو الشمال الغريب بسرعة / hباجتـاه

الشرق، ما هو مقدار واجتاه سرعة القارب بالنسبة لألرض؟ :احللB .ومنثل سرعة النهر باملتجه . A منثل سرعة القارب باملتجه -١

A

yA Asin 45 10 0.707 7.07= = × =

xA Acos45 10 0.707 7.07= = × =

B

xB B

:نقوم بتحليل املركبات - ٢

: إىل مركبتنيحنلل

أx هي باالجتاه املركبة

BA

:ي أن،

3= =

yB 0

=) yأي ال توجد مركبة باالجتاه (نقوم جبمع املركبات يف كل اجتاه على حدة، لنحصل على املركبتني املتعامـدتني - ٣

xR : كالتايلyR و

x xR A xB= +

yAA

xA

٦

xR 7.07 3 4.07= − + = −

y y y y yR A B A 0 A 7.07= + = + = =

=

:Rنطبق نظرية فيثاغورث للحصول على احملصلة - ٤2 2x y

2 2

R R R

(4.07) (7.07)8.2km / h

= +

= +

≅

: من العالقةRوحندد اجتاه y y1 1

x x

R R 7.07tan tan tan 1.75R R 4.07

− −θ = ⇒ θ = = =

60

∴ θ=

:متجهات الوحدة، فإنه ميكن أن يكتب على صورة اجلمع االجتاهي ملركبتني عل Aإذا كان لدينا املتجه

: كاآليتy و xاالجتاه

x yA A A= +

x على االجتاهني A املبينة يف الرسم اجملاور من إسقاط yA و xAوقد حصلنا على . على التوايل، وهذه هي طريقة كتابة املتجه بتحليله إىل مركباته األصليةyو

: على الصورةxAومن املمكن كتابة املتجه

x xˆA i= A

x: حيث xA A= ميثل طول املتجه Ax.

xA 7.07=

xB 3=

R x

R

xR

yR

x

y

A

xA

yAA

٧

)ه i يسمى متجه الوحدة يف االجتا: و x)+ ويكون موازيا لالجتاه ،x ومقـداره ،i: ن وحدة واحدة، أي أ 1=

.املتجه فهو حيدد االجتاه فقط) أو طول( متجه الوحدة ال يؤثر على مقدار ولذا فإن : على الصورةyAوبصورة مشاهبة ميكن أن نكتب

y yˆA j= A

y: حيث yA A= ميثل طول املتجه Ay. )ه j يسمى متجه الوحدة يف االجتا: و x)+ ويكون موازيا لالجتاه ،x ومقـداره ،

j: ن أيضا وحدة واحدة، أي أ 1=

وميكن تعريف متجه الوحدة بأنه أداة رياضية لتحديد اجتاه املتجه فقط، وليس هلا عالقـة .ول املتجهمبقدار أو ط

xyA و بالتعويض عن A حنصل على(1) يف املعادلة (3) و (2) يف املعادلتني :

x yˆ ˆA A i A= + j

:مثال

املثلثية، وحتقق مـن والبيانية : ، مث عدد املتجه بالطريقتني Aاكتب مركبات املتجه التايل صحة احلل بطريقة حتليل املتجه إىل مركباته؟ˆ ˆA 2i 4 j= −

:احلل : جند أن(4) و (3) و (2) و (1)باملقارنة مع املعادالت

xˆA 2i =

xA 2= y

ˆA 4j= −

yA 4= − :ولتحديد املتجه بيانيا نتبع اآليت

cm 1= نعترب كل وحدة - ١

٨

xA: ، ألنx باالجتاه املوجب لـ cm 2حنسب - ٢ 2= yA : ، ألنy باالجتاه السالب لـ cm 4حنسب - ٣ 4= −

بالرجوع للطريقة yA و xAلمتجهني والذي ميثل احملصلة ل Aحندد املتجه - ٤ .البيانية، كما هو مبني بالشكل اجملاور

:لتحديد املتجه بالطريقة املثلثية نتبع اآليت :حندد املقدار - ١

2 2x y

2 2

A A A

(2) ( 4)4.48

= +

= + −

=

: جتاهحندد اال - ٢y

x

Atan

A

4 22

θ =

−= =

1tan 2 63.4−

∴θ = =A

: إىل مركباته نكتب اآليتوللتحقق من صحة احلل بتحليل املتجه

xA Acos4.48 cos63.4 2

= θ= ≅

yA Asin4.48sin 63.4 4

= θ

= ≅

:مثالوحتقق من . املركبات، مث حدد املتجه بالطريقتني البيانية و املثلثية B: اكتب للمتجه التايل

.صحة احلل بطريقة حتليل املتجه إىل مركباته

xAx

y

A yA

xA

yA A

٩

ˆ ˆB 2i 2 j= + :احلل

: جند أن(4) و (3) و (2) و (1)باملقارنة مع املعادالت

xˆB 2i=

xB 2= x

y

xB

yB B

yˆB 2j=

yB 2= . نفس طريقة املثال السابق، حندد املتجه بيانيا كما هو مبني بالشكل اجملاوروبإتباع

:حندد املقدار -١2 2x y

2 2

B B B

(2) (2)2.82

= +

= +

=

B

xB

yB

: حندد االجتاه - ٣y

x

Btan

B

2 12

θ =

∴

= =

1tan 1 45−θ = =B

: إىل مركباته نكتبوللتحقق من صحة احلل بتحليل املتجه

xB Bcos2.82 cos45 2

= θ= ≅

yB Bsin2.82sin 45 2

= θ

= ≅

:مثال

املثالني السابقني، بالطريقة البيانيـة املذكورين يف B و Aبني اجلمع االجتاهي للمتجهني ).املثلثية والتحليل إىل املركبات(واحلسابية

ˆ ˆA 2i 4 j= −

١٠

ˆ ˆB 2i 2 j= + :احلل

: حبيث أنR هو املتجه B و Aأن احملصلة للمتجهني نفرض

R A B= +R

R

. بالطريقة البيانية كما هو موضح بالشكل اجملاوروحندد املتجه

:الطريقة احلسابية : بالتحليل إىل املركبات كاآليتنكتب املتجه

x y

x y

R R Rˆ ˆR i R j

= +

= +

:حيثx xR (A B

2 2 4x )= +

= + =

y y yR (A B )4 2 2

= +

= − + = −

:Rفيكون املتجه ˆ ˆR 4i 2 j= −

:Rولتحديد طول املتجه 2 2

x y

2 2

R R (R ) (R )

(4) ( 2) 20 4.47

= = +

= + − = =

R

:ولتحديد املتجه y

x

R 2tan 0.5R 4

−θ = = =

1tan 0.5 2.26−

∴θ= =

:مثال :إذا كان

x

yB

A

A

B

R

R

yyxR

yR

١١

A 2

B 4

C 3

0

0

0

=

=

=

: فاحسب . للمحصلة للمتجهات الثالثy و xاملركبات - ١ .مقدار واجتاه احملصلة - ٢ :احلل

:من الشكل

xA Acos90 20 0 0= = × =

yA Asin90 20 1 2= = ×

xB Bcos45 40 0.707 28.3= = × ≅

yB Bsin 45 40 0.707 28.3= = × ≅

xC Ccos45 30 0.707 21.21= = × ≅

yC Csin 45 30 0.707 21.21= − = − × = −

0=

:، حيثRنفرض ملتجه احملصلة x y

x y

R R Rˆ ˆR i R

= +

= + j

x x x xR A B C0 28.3 21.21 49.5

= + += + + ≅

xˆR 49.5i

:فيكون

∴ = :ويكون

y y y yR A B C20 28.3 21.21 27.1

= + +

= + − ≅

yˆR 27.

1j∴ = R :فيصبح املتجه

ˆ ˆR 49.5i 27.1j= +

y

x

B

C

A

١٢

:Rمث حنسب مقدار 2 2

x y

2 2

R (R ) (R )

(49.5) (27.1) 3185 56.4

= +

= + = ≅

:R اجتاهوحندد y

x

R 27.1tan 0.547R 49.5

θ = = ≅

1tan 0.475 28.7−

∴θ = =

):الشرط األول للتوازن(األجسام يف حالة السكون

x

y

yR

xR

R

وإذا . يقال أن اجلسم يف حالة توازن خطي إذا كانت حمصلة القوى املؤثرة عليه متـساويةملا بقيت حمـصلة كان اجلسم ساكنا يف األصل، فإنه سوف يستمر على حالة السكون طا

.القوى املؤثرة عليه متعادلةF :وميكن كتابة ذلك رياضيا بالعالقة 0=∑

:وبالنظر إىل مركبات القوة، نكتب بصورة أكثر تفصيالxF) رصف = xحمصلة جمموع القوى يف االجتاه ( 0=∑ yF) ر صف =yحمصلة جمموع القوى يف االجتاه ( 0=∑

:١مثال ما هو الشد احلاصل يف . وهو مثبت حببل عدمي الوزنN 50يزن اجلسم يف الشكل اجملاور

.احلبل :احلل

١٣

ونرمز لقوة الشد يف احلبـل . واجتاهه إىل أسفلW=50 N، فيكون Wنرمز لوزن اجلسم و xى املؤثرة على اجلسم يف االجتـاهني حندد حمصلة القو . ، واجتاهها إىل األعلى Tبالرمز

y. x (xFألنه ليس هناك قوى يف االجتاه ( 0=∑ yF ∑ ) ألن اجلسم ساكن( 0=

W T W 0− = T قوة الشد يف اخليط W 50 N∴ = =

:٢ال مث

يف الشكل اجملاور؟ ، فاحسب وزن اجلسم N 30الشد يف احلبل األفقي هو إذا كان :احلل

.، كما هو مبني يف الشكلPنقوم بتحليل القوى عند النقطة

x 2F 0 30 T cos40 0= ⇒ − =∑

2T cos40 30 (1)∴ = y 2F 0 T sin 40 W 0= ⇒ −∑ =

2T sin 40 W (2)∴ = : حنصل على(1) على املعادلة (2)بقسمة املعادلة

Wtan 4030

=

W 30 tan 40 30 0.839 25.2 N∴ = × = × ≅

:مثال يف الـشكل W ومقدار B، فاحسب الشد يف احلبل N 30 هو Aإذا كان الشد يف احلبل

.اجملاور :احلل

:يل للقوى املؤثرة عند نقطة التقاطع، كما هو مبني بالشكلنقوم بإجراء التحل

x

y

W

T

w

x

y

P

P

١٤

x B AF 0 T cos60 T cos50 0 (1)= ⇒ − =∑y B AF 0 T sin 60 T sin50 W 0 (2)= ⇒ + − =∑

A 0 N

Tبالتعويض 3 : حنصل على(1) يف املعادلة =عن

BT cos60 30cos50 0− = 30cos50 30 0.643T 38.6 N

cos60 0.5×

= = ≅B

BAT

B AW T sin 60 T sin500.866 30 0.76623

56.4 N

= +× + ×+

=

T : حنصل على(2) يف املعادلة و بالتعويض عن

38.633.4

==

:معادالت احلركة املنتظمة يف بعد واحد( xعندما يقطع جسم ما إزاحة : v)متوسط السرعة

A B

، وكانـت t خالل زمن مقـدارهivfv : فإن متوسط السرعة يعطى بالعالقة وسرعته النهائية سرعته االبتدائية

f iv vv

2 tx+

= =

1

.−msوالسرعة كمية متجهة ووحدهتا :قدار سرعة اجلسم عند حلظة معينة، وتعطى بالعالقة هي م:(v)السرعة اآلنية

t 0

xv limtΔ →

Δ=

Δ

W

BTAT

Wx

y

١٥

:مثال 22791، مث أصبحت القـراءة km 22687إذا كانت القراءة لعداد سيارة يف بداية رحلة

km 4 يف هناية الرحلة اليت استغرقت h احسب متوسط سرعة السيارة على اعتبـار أن ، . خط مستقيمالسيارة كانت تسري على

:احللx 22791 22687v 26 km / ht 4

km 1000 m / km26 7.2 m /sh 3600 s / h

−= = =

= × =

ويكون التسارع موجبا عندما تتزايد . هو معدل تغري السرعة بالنسبة للزمن :)a(التسارع

وسوف . وهو كمية متجهة ووحدته . السرعة، ويكون سالبا عندما تتناقص السرعة املنتظم حيث يكون معدل تغري السرعة ثابتـا بالنـسبة نقتصر يف دراستنا على التسارع

.للزمن

2ms−

f iv va

t−

=

i

fv

ivfv

. متثل السرعة االبتدائية للجسمvحيث . متثل السرعة النهائية للجسم

وتغري السرعة . اجلسم بتسارع منتظم عندما تتغري سرعته مبعدل ثابت بالنسبة للزمنيتحرك .حيصل إما بتغري مقدارها أو تغري اجتاهها أو كليهما معا

ولكتابة معادالت احلركة املنتظمة يف بعد واحد، نفرض أن هناك سيارة تتحرك بـسرعة فـإذا . والذي عنده تصبح سرعتها النهائية t خالل زمن x وتقطع إزاحة ابتدائية

، فإنه ميكن كتابة معادالت احلركة التالية اليت نستطيع بواسطتها aكان تسارع السيارة هو .حتديد الكمية اجملهولة يف السؤال إذا كانت الكميات األخرية معلومة

x0 t

iv fva

١٦

عد واحدمعادالت احلركة املنتظمة يف ب

f i

i f

2i

2 2f i

i f

v v atv vv

21x v t at2

v v 2ax(v v )tx vt

2

= + ⎫⎪+ ⎪=⎪⎪⎪= + ⎬⎪⎪= +⎪+ ⎪= ⇒⎪⎭

10ms سيارة تتحرك بسرعة ابتدائية :مثال )− 2ms )−− وبتسارع2) ،( احسب سرعتها بعـد . 1 .(s 10)مرور :احلل

vf = vi + at = 20 + (-1) x 10 = 20 – 10 = 10 ms-1 إحسب سرعتها واملسافة اليت تقطعها . 5ms-2سري بتسارع شاحنة تتحرك من السكون وت :مثال

. 4sالشاحنة بعد مرور :احلل

2i

2

1x v t at2

10 4 5 (4)2

10 5 162

= +

= × + × ×

= + × ×

x 40

m∴ =2 2f iv v 2ax

0 2 5 40 40

0= += + × × =

1fv 400 20 ms∴ −= =

يف (m/s 5)تها تبدأ سيارة حركتها من السكون وتتسارع بانتظام حىت تصبح سرع :مثال جد تسارع السيارة واملسافة املقطوعة خالل هذا الزمن؟. (s 10)زمن قدره

:احلل

25 0a 0.510

ms−−∴ = =f i

f i

v vv v at at−

= + ⇒ =

i f(v v ) (0 5)x t 10 25 m

2 2+ +

= × = × =

١٧

:السقوط احلرسقوطا حـرا ميكن تطبيق معادالت احلركة املنتظمة يف بعد واحد على األجسام الساقطة

والـذي قيمتـه تـساوي g يف املعادالت بتسارع اجلاذبية aبعد استبدال قيمة التسارع −2ms :وبالتايل تكون املعادالت هي. واجتاهه دائما إىل األسفل9.8

معادالت احلركة لألجسام الساقطة سقوطا حرا f i

2i

2 2f i

v v gt1y v t gt2

v v 2gy

= − ⎫⎪⎪= − ⎬⎪⎪= − ⎭

:مثال

: بإمهال مقاومة اهلواء، احسب. m 450ر من بناية ارتفاعها يسقط حج .الوقت الالزم لوصول احلجر إىل األرض - ١ .سرعة احلجر حني اصطدامه باألرض - ٢ :احلل

)١ (

2

i

2

1y v t gt2

1y 0 t g2

= −

= × − t

2 2y 2 450t 9

g 9.8− − ×

∴ 2= = =−

t 9.6

s∴ =

f iv v

)٢(

gt= −

fv 0 9.8 9.6 94 m /s

∴ = − × = − .ظهرت إشارة السرعة سالبة ألن اجتاه السرعة هو إىل األسفل

١٨

:مثال :احسب. m/s 16يقذف حجر من األرض إىل األعلى بسرعة ابتدائية

.أقصى ارتفاع يصل إليه احلجر - ١ .الزمن الالزم لرجوع احلجر إىل األرض - ٢

:احلل

)١ =0: عند أقصى ارتفاع )2f f iV 0 v v 2gy= ⇒ = −

2 22 ii

v (16)2gy v y 13m2g 2 9.8

∴ = ⇒ = = =×

٢( إن الزمن الالزم لرجوع احلجر إىل األرض هو ضعف زمن الصعود، فنحسب ( :tأوال زمن الصعود

if i

v 6v v gt 0 t 1.6 sg 9.8

= − = ⇒ = = =

3.2 s 2 1.6= ×

=2t= الزمن املطلوب ∴

:قوانني نيوتن للحركةاصية اليت ميتلكها اجلسم ملقاومة التغري يف حالتـه هي اخل ):عزم القصور الذايت (العطالة

.السكونية أو احلركة املنتظمة على خط مستقيم هي املقياس الكمي لعطالة اجلسم، فإذا كانت مقاومة اجلسم لتغيري حالتـه :)m(الكتلة

.kgوتقاس الكتلة بوحدة . السكونية أو احلركية كبرية فهذا يعين أن كتلته كبرية هي مؤثر قد يؤدي إىل تغيري احلالة احلركية للجسم ويـدل عليهـا وجـود :)F( القوة

.Nتسارع يغري من قيمة أو اجتاه سرعة اجلسم، وتقاس القوة بوحدة :، حيثWومن أمثلة القوة، قوة اجلاذبية املؤثرة على اجلسم واليت تساوي وزن اجلسم

F W mg= = يبقى اجلسم على حالته من الـسكون أو احلركـة ): العطالة قانون(قانون نيوتن األول

. بسرعة ثابتة ما مل تؤثر عليه حمصلة قوى خارجية ال تساوي الصفر

١٩

:وبالصورة الرياضية نكتبa 0⇒ v ثابت = Fة السرع = 0= ⇒∑

F

v

F m

. حمصلة القوى املؤثرة على اجلسم∑حيث . سرعة اجلسم aتسارع اجلسم .

إن حمصلة القوى املؤثرة على اجلسم يتناسب طرديـا ): قانون التسارع (قانون نيوتن الثاين .ه اجتاه تسارع اجلسممع كتلة اجلسم ومع تسارعه، واجتاه حمصلة القوة هو نفس

∑a: وبصورة رياضية نكتب القانون نكتب

=

:وإذا كانت القوى املؤثرة يف أكثر من اجتاه،

∑ x xF ma=

y yF ma=∑

: مثال6ما هي القوة الالزمة للحصول على تسارع m 2s− 5لكتلة مقدارها kg؟

F :احلل ma=∑ F لدينا قوة واحدة فقط ma∴ =

5 6

= ×

F 30 N

∴ =

:مثال

إذا يف الشكل اجملاور، ما هو الشد املطلوب يف احلبل لسحب العربة بتـسارع ؟N 80كان وزن العربة هو

20.5 ms−

:احلل .نرسم خمطط القوى املؤثرة على العربة

y ليس هناك حركة باالجتاه

T

yF 0= ⇐∑

٢٠

xF ma=∑

y

x

xF T ma= = Wm

g=∵

W 80T a 0.5 4.g 9.8

1 N∴ = × = × =

:مثال

ا م. كما هو مبني بالشكل اجملاورN 6 بقوة مائلة مقدارها N 39.2يتم سحب عربة وزهنا هو تسارع العربة؟

:احللy yF ليس هناك حركة يف االجتاه 0= ⇐∑

xF ma=∑

xF Tcos37 ma= = Tcos37a

m∴ =

W 39.2W mg m 4 kgg 9.8

= ⇒ = = =∵

: يف املعادلةm و Tبالتعويض عن 26 cos37a 1

4.2 ms−×

∴ = ≅

:مثال

موضوعة على طاولـة عدميـة B=30 kg ، والكتلة A=12 kgيف الشكل اجملاور، الكتلة احسب تسارع اجملموعة ومقدار الشد يف احلبل؟. االحتكاك

:احلل .للمجموعةنعترب اجتاه اليسار هو االجتاه املوجب وهو اجتاه التسارع

:م على حدةنقوم بتحليل القوى املؤثرة على كل جس

80 N

80 NT

T

Tx

y

B

A

٢١

B :Fللكتلة ma=∑

BT m a (1)∴ =

F m

∑=A :aللكتلة

B

A Am g T m a (2)− = : حنصل على(2) و (1)جبمع املعادلتني

A Am g T T m a m a− + = +

A A Bm g (m m )a= + A

A B

m gam m

∴ =+

212 9.8a 2.12 30

8 ms−×∴ = =

+

BT m a 30 2.8 84= = × =

:T حنسب (1) يف (a)بالتعويض عن

N

:مثال هلما نفس الكتل يف املثال B و Aاحسب التسارع للمجموعة املبينة بالشكل اجملاور حيث

مث احسب الشد يف اخليط؟. السابق :احلل

حنلل القوى املؤثرة على كل . واالجتاه املوجب مبني بالشكل الكتلتني هلما نفس التسارع :كتلة على حدة

A : Fالكتلة ma=∑

A AT m g m a (1)− =

F ma

∑= : Bالكتلة

B Bm g T m a (2)− =

A B AT m g m g T m a m− + − = +

B A A B(m m )g (m m )a

: حنصل على(2) و (1)جبمع املعادلتني

Ba − = +

T B

Am g

A

T

T

m g

B

T

A

Am g B

٢٢

2B A

A B

(m m )g (30 12) 9.8a 4(m m ) (12 30)

.2 ms− − ×∴ −= = =

+ +

A A AT m a m g m (a g) 12(4.2 9.8) 168 N

:(1) يف (a)بالتعويض عن

∴ = + = + = + = .m ذو الكتلةإحسب تسارع اجلسم املنزلق اىل أسفل السطح املائل يف الشكل اجملاور :مثال

F = ma∑ : احلل

mgsinӨ = ma a = gsinӨ

:مثال بواسطة حبـل قـوة 10 يسحب إىل أسفل سطح مائل بزاوية kg 1000صندوق كتلته

احسب أقصى تسارع للصندوق؟. N 2000الشد فيه :احلل

:حنلل القوى املؤثرة على الصندوقyFل على السطح املائليس هناك حركة باالجتاه العمودي 0= ⇐∑

F ma

:(x)بالنسبة لالجتاه املوازي للسطح املائل

T

=∑ T mgsin ma+ θ =

Ta gsinm

∴ = + θ

22000a 9.8 sin10 3.71000

−= + × ≅ ms

:مثالما . بواسطة حبل متدل من سقف مصعد كما يف الشكل اجملاورkg 30علق جسم كتلته

:هو الشد يف احلبل إذا كان املصعد متسارعا مبعدل24ms−s . إىل أسفل4m -٢ . إىل أعلى -١ 2−

aF: ∑حنلل القوى املؤثرة على اجلسم، ونكتب العالقة :احلل m=

T mg ma )١ ( − =

T Mgsin10

mg mg cos10

٢٣

T m(g a)

30(9.8 4)402 N

= += +=

T

mg

↑•

↓

mg T ma

)٢ ( − =T m(g a)

30(9.8 4)174 N

= − = −

=

):قانون الفعل ورد الفعل(قانون نيوتن الثالث

إذا أثر جسم بقوة ما على جسم ثاين، فإن اجلسم الثاين يؤثر على األول بقوة مساوية هلا وتسمى إحدى القوتني بقوة الفعل وتسمى األخرى بقوة رد . يف املقدار ومضادة يف االجتاه

.الفعل

:مثالحدد قوة الفعل وقوة رد الفعـل . ح طاولة الكتلة املبينة بالشكل اجملاور موضوعة على سط

.Wإذا كان وزن الكتلة :احلل

.ومها الكتلة والطاولةحنلل القوى املؤثرة على اجلسمني . واجتاهها إىل أسفل، وهذه قوة الفعلWتؤثر الكتلة على الطاولة بقوة متثل وزن الكتلة

بالقوة Nتسمى . اهها إىل أعلى مساوية لوزن الكتلة واجت Nتؤثر الطاولة على الكتلة بقوة .العمودية أو هي متثل قوة رد الفعل

W

N

٢٤

:مثالحدد قوى الفعل ورد . حبل مثبت من جهة اليسار يتم سحبه من جهة اليمني بواسطة اليد

.الفعل بني اليد واحلبل :احلل

فإن احلبل )قوة الفعل (Tإذا اعتربنا قوة سحب اليد للحبل حنو اليمني ومقدارها

T

يـؤثر ، ).قوة رد الفعل( على اليد أيضا ولكن حنو اليسار Tبقوة مقدارها

: قوى االحتكاك بني السطوح

هي القوى الناشئة بني سطحني متالصقني واليت تعمل على إعاقة احلركة بينها، واجتاههـا . وسوف نركز على االحتكاك احلاصل أثناء احلركة فقط. دائما عكس اجتاه احلركة

fF االحتكاك إن قوة

fF N

تزداد بزيادة القوة العمودية اليت يؤثر هبا أحد السطحني على اآلخر، :أي أن

α

fF N= μ قيمة خاصة معامل االحتكاك بني السطحني املتصلني، ولكل سطحني متالصقني μ حيث

μ . أي أن معامل االحتكاك يعتمد على طبيعة السطوح املتالصقةلـ

: مثال

احسب تسارع .N 350 على سطح بقوة مقدارهاkg 100 يتم دفع صندوق خشيب كتلته . 0.3 الصندوق إذا كان معامل االحتكاك

: احلل : قحنلل القوى املؤثرة على الصندو

y yF ma 0= =∑

N mg 0− = N mg 100 9.8 980 N∴ = = × =

F

N

mg

fF F

٢٥

∑ x xF ma=

f xF F ma− = f

x

F Fam−

=

fF N 0.3 980 294 N= μ = × =

fF

: يف املعادلةنعوض عن

2f

x

F F 350 294a 0m 100

.56 ms−− −= = =

:مثال

. كما يف الشكل اجملـاور N 400 بواسطة قوة مقدارهاkg 70 يتم سحب صندوق كتلته ؟ فاحسب تسارع الصندوق،0.5 إذا كان معامل االحتكاك

:احلل :حنلل القوى املؤثرة على الصندوق

400 N

y yF ma 0= =∑

N 400sin30 mg 0+ − =

N mg 400sin30

fF

N

mg

400sin30

400cos30

400N

= −

N 70 9.8 400 0.5

= × − ×

686 200

= −

N 786 N

=

fF N= μ

0.5 486 243 N= × =

x xF ma

∑ =

f x400cos30 F ma− = f

x

400cos30 Fm

a −=

٢٦

x

400 0.866 24370

a × −=

2xa 1.47 ms

−∴ =

: مثالحركها تتما هي املسافة اليت . 0.7 على طريق مبعامل احتكاكm/s 22 سيارة بسرعةتسري

السيارة قبل أن تتوقف عندما يتم استخدام فرامل السيارة بالكامل إلجبارها على التوقف؟ : احلل

fF N mg = μ = μ

F ma

=∑ iv 22m= fv 0/ s =

fF ma= mg ma−μ =

2a g 0.7 9.8 6.9 m

s−∴ = −μ = − × = −

fv 0

= : صفر ، أي أن = السرعة النهائية

2 2f iv v 2as 0∴ = + = 2 20v (22)s 3

2a 2 6.9− −

= = = 5 m×−

)W(: الشغل

عرف الشغل املنجز بواسطة قوة ثابتة بأنه حاصل ضرب مركبة القوة يف اجتاه اإلزاحـة ي :(J) والشغل كميه قياسية ووحدته اجلول. ومقدار تلك اإلزاحة

1 J N.m=

s

FFcosθ

s

٢٧

، فـإن sبالشكل وتزحيه إزاحة مقـدارها على اجلسم املبني F فعندما تؤثر قوة مقدارها Fcosθ : لذا يكون مقدار الشغل هو :مركبة القوة باجتاه اإلزاحة هي

W (Fcos ) s= θ ×

cos 1

0θ . ، وتصب ، فإنs مبوازاةF وإذا كانت = ⇐θ =W Fs= ح

:مثال

، مما يؤدي إىل حتريكـه N 150 مقدارها F اجلسم املبني بالشكل بواسطة قوةيتم سحب . احسب الشغل املنجز على اجلسم خالل هذه اإلزاحة. m 20 إزاحة :احلل

W Fscos= θ

150 20 0.866

= × ×3W 2.6 10

J∴ = ×

:مثال

إذا كـان معامـل . N 250 يدفع على أرضية أفقية بقوة مقدارها N 500صندوق وزنه .m 20، فاحسب الشغل املنجز على الصندوق لدفعه مسافة 0.4االحتكاك احلركي هو

:احلل

W Fscos= θ ة، وهي بالرجوع إىل يف املعادلة، واملؤثرة على الصندوق باجتاه اإلزاح F حندد حمصلة القوة

: الشكل أدناه

F

2 0 m

FF

W m=

N

ff−F F

g

٢٨

fF F− fF N W= μ = μ

fF 0.4 500 200 N

= × =

s 1 0

θ :، يصبح مقدار الشغلco: املعادلة، ومالحظة أنبالتعويض يف = ⇐θ =

fW (F F ) s 1(250 200) 20 150 20 11000J1KJ

= − × ×= − ×= × ×==

×

)KJ=1000 J 1 :حيث(

: )P( القدرة الجناز الشغل بواسطة قوة ما، أو هي الشغل املنجز بواسطة قـوة مـا هي املعدل الزمين

. خالل وحدة الزمن، والقدرة كميه قياسية

WPt

=

وإذا كانت القوة املنجزة للشغل 1w: ، حيث أن (w) وتقاس القدرة بوحدة الوات

: ، وبالتايل يكون متوسط القدرة هو: ،فإن الشغل يساوي :هي

1Js

=

FcosθW Fscos = θ

FscosPt

θ=

P Fvcos= θ واجتاه القوة ) احلركة ( متثل الزاوية بني اجتاه لسرعة متوسط السرعة، و v حيث متثل

. املؤثرةθ

:مثال

٢٩

. s 2 خالل 3m ارتفاعها سلمkg 70ته يرقى رجل كتل ذله الرجل ضد قوة اجلاذبية؟ ما هو الشغل الذي يب-أ

ما–ب هو متوسط قدرة الرجل؟ :احلل

)أ(، لذا حيتاج الرجل إىل W = mg :، وتساويWه مبا أن قوة اجلاذبية على الرجل هي وزن

F=W=mg: ضد اجلاذبية خالل صـعوده إىل أعلـى، أي أن Fبذل قوة ثابتة مقدارها θ اه اإلزاحة إىل أعلى، أي أن وهذه القوة اليت حيتاج لبذهلا هي بنفس اجت ، وبالتـايل =

: يكون الشغل املطلوب هو0

W Fscos0mgs70 9.8 32060 J

=== × ×=

)ب(WPt

2060 1030 W2

=

= =

:مثال

10.1 ما. بواسطة رافعة وبسرعة ثابتةkg 250 يتم رفع جسم كتلته ms−ة القـدر هـي ؟ فذة بواسطة الرافعةاملستن : احلل

P Fvcosmg vcos250 9.8 0.1 1245W

= θ= θ= × ×=

×

٣٠

:مثال . بواسطة حمرك0.4 على سطح أفقي مبعامل االحتكاكkg 200 سحب صندوق كتلتهي

؟ m/s 5 هي قدرة احملرك الالزمة كي يتحرك الصندوق بسرعة ثابتة ما–أ ؟ min 3 هو الشغل املنجز بواسطة احملرك خالل ما-ب

:حللا )أ(

P Fv= vfة لتحريك الصندوق بسرعة ثابت ةالزملوالقوة ا

fF F mg 0.4 200 9.8 784 N= = μ = × × =

، أي Fن تساوي قوة االحتكاك أ جيب : أن

P : لة املعاد يفF بالتعويض عن Fv=

P Fv 784 5 3920W= = × = )ب(

W P.t 3920 3 60 705600J 705.6kJ= = × × = =

: )K( الطاقة احلركية فإذا كان لدينا جسم كتلته . بسبب حركته ةر الطاقة احلركية جلسم ما عن طاقته الناجت تعبm يتحرك يف حلظة معينه بسرعة v على خط مستقيم ، فإن طاقته احلركيـة K يف تلـك

: اللحظة هي21K m

2=

iv

:

v

فتكـون ) كما يف الشكل اجملاور ( والسرعة االبتدائية mلنعترب اآلن اجلسم ذو الكتلة

إذا أردنا تسريع هذا اجلـسم لتـصبح ، احلركية االبتدائية طاقته

، فإنه جيب التأثري عليه بقـوة )وبالتايل طاقته احلر ( ئيةسرعته النها

iK 2هيi i

1K mv2

=

tv : 2كيةf fv=

1K m2

٣١

net

snet netW F= ×

وهذا الشغل املنجز البد أن يساوي مقدار التغري يف الطاقة احلركية خالل تلك املسافة، أي : أن

net f iW K K= − 2 2

net f i

1 1F s mv mv2 2

= −

: مثال

؟ m/s 30 إىل m/s 20 من 1000kgكم هو الشغل الالزم لتسريع سيارة كتلتها : احلل

2 2f i

1 1v m2 2

= −W m v

2 2f i

1 m(v v )2

= −

( ) ( )( )2 21 1000 30 202

= × × −

500 (900 400)

= × −

500 500

= ×

250000 J 250 kJ

= =

: u) طاقة الوضع(الطاقة الكامنة

بسبب الشغل املنجز عليه مما يـؤدي إىل تغـري )جسم ما (هي الطاقة املختزنة يف نظام ما أو تغري شكله وأبعاده ) اجلاذبية ةكما يف حالة الشغل املنجز لرفع جسم ضد قو (موضعه

netFm miv fv

s

٣٢

عن األرض، فإنه ميتلـك طاقـة h وموضوع على ارتفاع mإذا كان لدينا جسم كتلته : تعطى بالعالقة بالنسبة لألرض u وضع

u mgh= : )E(الطاقة امليكانيكية الكلية

أي أن

m

:ومتثل جمموع الطاقة احلركية وطاقة الوضع للجسم،

E K u= + :مبدأ حفظ الطاقة

أي أن

h

:ينص هذا املبدأ على أن الطاقة الكلية ألي نظام معزول تبقى دائما ثابتة،

E K u cons tan t= + =

i fE E cons tan

: وبصورة أوضح

t= =

i i f fK u K u cons tan+ = + =

ifK

iufu

t

.الطاقة احلركية االبتدائية والنهائية على الترتيب و K :حيث . طاقة الوضع االبتدائية والنهائية على الترتيب و :

:مثال

).كما يف الشكل اجملاور (3m سقوطا حرا من ارتفاع ةتسقط كر . من األرض1mرتفاع على ا-أ : احسب سرعة الكرة

. دم باألرضط عندما تص-ب : احلل

: الطاقة الكلية ثابتة، أي أن)أ(

A BE E EC= =

A A BK u K Bu+ = +

A

B

C

3m

1m

٣٣

2 2A 1 B

1 1mv mgh mv mgh2 2

+ = +

Av 0=

2

: من الطرفني حنصل علىm، وباختصار : مبا أن2B 1

1 v g(h h2

= − 2 )

B 1 2v 2g(h h )

2 9.8 (3 1) 39.2

∴ = −

= × × − =

Bv 6.3 m

/ s∴ =

A CE E

)ب(

= 2 2A A C

1 1mv mgh mv mgh2 2

+ = + B

C 2 1v 2g(h h )

2 9.8 (3 0) 7.7 m /s

∴ = −

= × × − =

الفقدان يف الطاقة يف حالة وجود االحتكاك، فإن :قانون حفظ الطاقة بوجود االحتكاك

i كية . الشغل الناتج عن االحتكاك حيث امليكاني f fE E W≠ = =fW

:مثال

، Aبالنظر إىل املسار املبني يف الشكل اجملاور، تتحرك العربة من السكون عنـد النقطـة عـدمي (على اعتبار أن السطح أملس ) Bالنقطة (احسب سرعة العربة عند أسفل املرتفع

). حتكاكاال

A

B

C40m20m

100 m

50 m

٣٤

: احلل

A BE E= 2 2A 1 B

1 1mv mgh mv mgh2 2

+ = + 2

21 B

1mgh mv2

=

2B 1v 2g

h=

Bv 2gh 2 9.8 40 28 m /s= × × =

:مثالإذا اعتربنا السطح الذي تسري عليه العربة يف املثال السابق له قوة احتكاك ثابتة مقـدارها

6N 30، وكانت كتلة العربة kg النقطة ( ، فما هي سرعة العربة عند أسفل املرتفعB ( ؟ ؟ Cوما هي سرعتها عند النقطة

: احلل

A BE E fW− = 2 2A A B B

1 1mv mgh ( mv mgh ) 6 1002 2

+ − + = × 2

A B

1mgh mv 6002

− =

2 AB

mgh 600 30 9.8 40 600v 2 2m 3− × ×⎛ ⎞ ⎛= = ×⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ 0− ⎞

⎟⎠

Bv 744 27.3 m /s= =

A CE E

fW− = 2 2A A C C

1 1mv mgh ( mv mgh ) 6 502 2

+ − + = × 2

A C

1mg(h h ) 300 mv2

− = +

2C C5580 15v v 19.3 m /s= ⇒ =

C

٣٥

: خواص املادة-٢ : حاصل قسمة كتلتها على حجمها، أي أنتعرف الكثافة للمادة بأهنا : (d) الكثافة

mdV

=

كتلة املادة،: mحيث V : حجم املادة

: ووحدة الكثافة هي3

kgm

. يف النظام العاملي للوحدات

:مثال

3 كثافة األملنيوم هي

gm2.7cm

املي للوحدات؟ ، فما هي كثافته يف النظام الع

: احلل3

3(A1) 3 36

3

3

kg10g g gd 2.7 2.7

mcm cm 10cm

kg2700m

−

−

= = ×

=

:مثال

إذا علمت أن كثافة m 3 وارتفاعهاm 4 اهكم هي كتلة ووزن اهلواء يف غرفة مربعه ضلع

اهلواء هي3

kgm

عند مستوى سطح البحر؟ 1.28

: احللVحجم الغرفة 4 4 3= × ×

348m

= m dV 1.28 48 61.44 kg= = × =

w mg 61.44 9.8 602 N

كتلة اهلواء يف الغرفة= = × وزن اهلواء يف الغرفة=

٣٦

:اإلجهاد . هو القوة املطبقة على وحدة املساحات من السطح الذي تطبق عليه القوة

2 : حيث أن(Pa) ووحدة اإلجهاد هي باسكال

1Nam

=1P

:االنفعال الطويل . هو التغري النسيب احلاصل يف طول قضيب ما بسبب تأثري اإلجهاد

LLΔ

االنفعال=

.ةواالنفعال ليس له وحدLΔ . و الطول األصلي هL هو التغري احلاصل يف الطول ،حيث

:معامل املرونةإىل االنفعـال ) القـص االنضغاط أو الشد أو (يعرف معامل املرونة بالنسبة بني اإلجهاد

:بالعالقة

FAL

L

=Δ

معامل املرونة

.(Pa)ووحدته هي باسكال مبعامل يـونج وإذا كان اإلجهاد ناتج عن قوة شد أو انضغاط، فإن معامل املرونة يسمى

Y : ، أي أن

FAY LL

=Δ

. ومعامل يونج يعتمد على نوع مادة اجلسم وال يعتمد على شكله أو حجمه

٣٧

:قانون هوك واالستطالة Fيوضح هذا القانون العالقة بني القوة اخلارجية املطبقة على جسم مرن

:كالتايل xاحلاصلة يف ذلك اجلسم F قانون هوك k=

S eY=

x

).أو ثابت القوة أو ثابت النابض( هو ثابت التناسب kحيث مث نقوم بتطبيق ). أ(لنفرض أن اجلسم املرن عبارة عن نابض حلزوين معلق كما يف الشكل

، مث )ب(قوة خارجية عليه عن طريق تثبيت أثقال خمتلفة يف طرفه الطليق كما يف الشكل وإن زيادة األثقال تؤدي إىل زيادة االستطالة يف النابض بصورة خطية طاملا ).جـ(الشكل

).أي يرجع إىل وضعه األصلي بعد إزالة الثقل(أن النابض الزال مرنا

وميكن تعميم العالقة السابقة لقانون هوك تشمل أي جسم مرن، ولـيس بالـضرورة أن

:كن كتابة صياغة أخرى لقانون هوك كالتايلكما مي. يكون نابضا حلزونيا صياغة أخرى لقانون هوك

اإلجهادSحيث e االنفعال Yمعامل يونج

:مثال

وبعد تغـيري . cm 32 بنابض، وعند قياس طول النابض وجد أنه N 45علق ثقل قدره . cm 13، فاستطال النابض مبقدار N 55الثقل بثقل آخر وزنه

٣٨

: احسب .ثابت النابض ) أ( .الطول األصلي للنابض ) ب(

:احللF: من قانون هوك ) أ( k x=

:وبتطبيق القانون على الثقل الثاين

2

2

Fkx

=

255k 423 N / m0.13

= =

1 1F k x

: نطبق القانون بالنسبة للثقل األول ) ب(

= 1

1F 45x 0.106m 10.6cmk 423

∴ = = = =

0L 32 10.6 21.4 cm= − =

: فيكون طول النابض األصلي

Shear Stress (Ss): إجهاد القصمـا يف ضمن املرونة ك F ويتعرض لقوة قص A الذي مساحته ABCDلنفرض الشكل .الشكل املبني

٣٩

، وبالتايل نعرف إجهـاد القـص 'A'B'C'D إىل تغري شكله ليصبح F تؤدي قوة القص

(Ss):

sFSA

=

:esونعرف انفعال القص

sxeh

=

:ومن الشكل جند أنxnh

ta φ =

xوعندما h :، فإنه ميكن أن نكتب>>: تكون

sxtan eh

φ ≅ φ = =

.(Radian) هي زاوية القص وتقاس بوحدة الراديان φحيث :كالتايل) أو معامل الصالبة (Gكما ميكن تعريف معامل القص

F/ A FGx / h A

= =φ

٤٠

:)B(معامل احلجم

وإذا كانت القوة . ؤثر قوة انضغاطية على مجيع السطح جلسم ما، فإن حجمه يقل ت عندما ظمة، فإن اإلجهاد يف هذه احلالة هو الضغط املطبـق هي منتF/A املطبقة لوحدة املساحة

P، وبالتايل نعرف معامل احلجم :

0

FP PVAB V V= = =

Δ Δ

0 0

VV V

Δ

ووحدة معامـل . بة اليت تنضغط هبا املادة ياسا لدرجة الصعو . (Pa)حلجم هي باسكال

أي أن معامل احلجم يعترب مقا

:مثال

26 ساحة مقطع مبm 2.5 سلك طوله mm45ة ق هنايته بكتل تعل kg ةستطالا فتحصل فيه 1.27 m.

.ى السلك

.ل يونج ملادة السلك

mمقدارها

: احسب اإلجهاد عل-١ . االنفعال-٢ معام-٣ : لاحل

اإل -١ F mgA A

= جهاد =

76

45 9.8 7.35 10 Pa6 10−

×= = ×

×

٢- 3

0

L 1.27 10 5.08 10L 2.5

−4−Δ ×

= = = االنفعال×

٤١

٣- 7

114

0

F7.35 10AY 1.L 5.08 10

L

−

×= = = ×Δ ×

44 10 Pa

:مثالمـا هـي . kg 50 يستخدم إلسناد كتله مقدارها 4m وطوله3mm سلك أملنيوم قطره

a107 : . )معامل يونج لألملنيوم يساوي(االستطالة يف السلك؟ 10 P×

: احلل2A r= π

3 2 63A 3.14 ( 10 ) 7.07 10 m2

− −= × × = ×

F mg 50 9.8 490= = × =

2

N

0

FAY LL

=Δ

∵

0L FLY A

Δ = ×

310 6

4 490 3.96 10 m7 10 7.07 10

−

−

×= =

× × ×

3.96 mm

×

=

:مثال62 يسلط ضغط مقداره 10 Pa× احسب . من الزئبق فيتقلص مبقدار ة على عين

. ل احلجمي للزئبقاملعام0.008%

: احلل

0

PB VV

=Δ

62 100.008/100

×=

102.5 10 Pa

= ×

٤٢

: )P(الضغط

:هو القوة العمودية املؤثرة على وحدة املساحات من السطح، ويعطى بالعالقةFPA

=

. مساحة السطحA القوة العمودية،Fحيث 1P. 2a: ، حيث(Pa)ويقاس الضغط بوحدة باسكال 1N / m=

:مثال على جليد لربكة متجمدة حبيث أن قدميه مالصقة ملساحةN 500 يقف شخص وزنه- أ

2m من اجلليد، فما هو الضغط املسلط على اجلليد؟ 0.05

، فكـم هـو وزن Pa 16000 ط مقداره إذا علمت أن اجلليد سوف ينهار عند ضغ-ب الشخص الالزم حلصول اهنيار اجلليد باعتبار نفس مساحة االتصال السابقة ؟

:احلل

F -أ 500P 10000Pa 10k PaA 0.05

= = = =

F PA 16000 0.05 800 N= = × =

- ب

املوائع الساكنة :زيادة الضغط مع العمق

يف A علـى املـساحة الـسفلية h حلساب الضغط املسلط من عمود السائل الذي طوله : نطبق العالقة،الشكل اجملاور

FPA

=

hA

٤٣

: ، وهي تساوي وزن عمود السائل، أي أنA القوة العمودية على املساحة F حيثF mg

Vdg==

F hAd

g= . ة السائلكثاف: dحجم عمود السائل، : Vحيث

hAdgPA

∴ =

P hdg= .والعالقة تبني زيادة الضغط مع زيادة العمق ومع زيادة كثافة السائل

A tP املؤثر على املساحة السفلية وإذا أردنا حساب الضغط الكلي

0P

t 0P P

فإننا نضيف الـضغط :إىل ضغط عمود السائل، أي أن) ألن اإلناء مفتوح ( اجلوي

P= +

t 0P P hdg

= +

: 50 .013 10 Pa≅ ×

Pومن املعروف أن الضغط اجلوي يف الظروف القياسية يـساوي 1

:ملثال التايل كما هو موضح يف اcm 76 وهذه متثل ضغط عمود من الزئبق ارتفاعه

:مثال3g .13.6 علما أن كثافة الزئبق cm 76جد ضغط عمود من الزئبق ارتفاعه / cm

:احلل

P hdg=

3 2

kg m0.76m 13600 9.8m s

= × ×

51.01 10 Pa 1atm≅ × =

:مثال

. لوءة متاما باملاء وممm 2 ما هو الضغط الكلي يف أسفل بركة سباحة عمقها : احلل

٤٤

t aP P hdg= +

51.013 10 2 1000 9.8= × + × ×51.013 10 19600= × +

1209600 Pa

=

:قاعدة باسكال فإن أي ،بالنظر إىل أن الضغط متساوي عند مجيع النقاط ذات العمق املتساوي يف السائل

لسطح جيب أن تنتقل إىل أي نقطة يف السائل بصورة متساوية وهو زيادة يف الضغط على ا : ما يسمى بقانون باسكال الذي ينص على اآليت

الضغط اخلارجي املطبق على سائل ضمن وعاء مغلق ينتقل دون أي نقصان إىل مجيـع " . "نقاط السائل وإىل جدران الوعاء املغلق

:يدروليكية املبينة يف الشكل اجملاور، حيث أنكتطبيق على قاعدة باسكال لدينا الرافعة اهلو

1 2P P= 1 2

1 2

F FA A

=

:مثالفع ر بينما مساحة مكبس الcm 10 كرسي حالقة موضوع على مكبس هيدروليكي قطره

kg 160 اجلالس هي إذا كانت كتلة الكرسي والشخص. 10 هي

2F

2A1F

1A

2cmفما هي القـوة ، الالزم تطبيقها لرفع املكبس؟

: احلل2 2

1 1A 10cm 0.001 m ; F ?= = =2 2

2 2 2r 5cm 0.05m A r 3.14 (0.05) 7.85 10 m−= = ⇒ = π = × = ×

3 2

٤٥

سريان املوائع

: معادلة االستمرار للجريان االنسيايبطـوط دعى املسار ألجزاء السائل الواقعة حتت تأثري اجلريان الثابت باخلط االنسيايب واخل ي

والنوع اآلخر . االنسيابية املمثلة للجريان االنسيايب ال تتقاطع كما هو مبني بالشكل اجملاور ) دوارة ( ربمـة ت م ) اجلريان ( التدفق من اجلريان هو املضطرب والذي تكون فيه خطوط

وهذا النوع من اجلريان حيصل عند السرعات ،كس االجتاه األصلي للجريان اوميكن أن تع . أو بسبب وجود عائق أو حافة حادة خالل مسار السائلالعالية

. لنعترب األنبوب املبني يف الشكل اجملاور والذي مير فيه سائل جبريان انسيايب باالجتاه املـبني

حمفوظة، لذا فإن معـدل ةمبا أن معدل الكتلة املارة خالل أي مقطع من األنبوب هو كمي ). ٢( مساويا ملعدل الكتلة املار خالل املقطع ، يكون) ١(الكتلة املار خالل املقطع

٤٦

: أي أن

1 1 1 2 2 2d A v d A v cons tan t= = =

12

1v2v

1A2A

1 1 2 2Q A v A v cons tan

معدل اجلريان الكتلي . على الترتيب ) ٢(و ) ١( متثل الكثافة عند املقطع d ، d :حيث

.على الترتيب ) ٢(و ) ١(متثل السرعة عند املقطع ، .على الترتيب ) ٢(و ) ١(متثل مساحة املقطع عند املقطع ،

بالتايل يكون وبالنسبة للسوائل غري قابلة لالنضغاط كاملاء مثال تكون قيمة الكثافة ثابتة، و : ثابتا، أي أنQ معدل اجلريان احلجمي

معادلة االستمرار للسوائل غري قابلة لالنضغاط t= = احلجمي) اجلريان( التدفق معدل =

Q احلجمي ) اجلريان( التدفق ويقاس معدل3m

s( ).

:مثال : احسب. يسري فيه املاء جبريان انسيايب كما هو مبني بالشكلأنبوب

. السرعة عند اجلزء الضيق من األنبوب-أ . احلجمي )اجلريان(التدفق ما هو معدل -ب . الكتلي) اجلريان( التدفق ما هو معدل-جـ

١ : (r1= 12.5 mm ، نصف القطر v1= 1.8 m/sعند النقطة السرعة)٢ : (r2 = 9 mmنصف القطر ، v2= ? ة عند النقط السرعة )

: احلل1 -أ 1 2A v A v2=

21 1 1

2 1 22 2

v A rv vA r

π= =

π

٤٧

2 2

12 1

2

r 1v v 1.8r 9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞2.5∴ = = ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

2v 3.5 m

/ s∴ =

1 1 2 2Q A v A v

= ) ب( =

3 2

4 3

Q 3.14 (12.5 10 ) 1.88.8 10 m /s

−

−

احلجميالتدفق معدل

∴ = × × ×

= ×

1 1 2d v A d v A

)جـ( 2= =

3 41 10 8.8 100.88 kg / s

الكتليلتدفق معدل ا

−= × × ×

=

: معادلة برنويل

إثبات أن الضغط يتناسب عكسيا مع سرعة السائل للجريان م١٧٣٨استطاع برنويل عام وميكن اعتبار معادلة برنويل على أهنا عالقة حلفظ الطاقة خالل حجـم معـني . االنسيايب

: ثابت من السائل، واليت ميكن كتابتها بالرجوع إىل الشكل اجملاور على الصورة2 2

1 1 1 2 2 2

1 1P dv dgy P dv dgy cons tan t2 2

+ + = + + =

21 الضغط والطاقة احلركية لوحدة احلجم جمموع: وهذا يعين أن dv

2dgy

:1 2v v 0= =

والطاقـة الكامنـة

. ثابتة عند مجيع النقاط على خط اجلريان االنسيايب للسائل ة هو كمي لوحدة احلجم دينا ، يكون لبرنويل عندما يكون السائل ساكناوكحالة خاصة للمعادلة

٤٨

1 2 2P P dg(y y1)− = −

:مثال، فما هو الـضغط عنـد (51kPa) هو) ١(للمثال السابق إذا كان الضغط عند املوضع

؟)٢(املوضع

1 وكذل مبا أن:احلل 2y y=1 2d d d ك = : لذا تكون معادلة برنويل،، =

2 21 1 2 2

1 1P dv P dv cons tan t2 2

+ = + =

2 22 1 1 2

3 3 2

4

1P P d(v v )2

15.1 10 10 (1.8) (3.5)2

4.7 10 Pa

= + −

= × + × −⎡ 2 ⎤⎣ ⎦

= ×

:مثال

على اجلانب ويبتعـد مـسافة (15mm) قطرها ة وفتح (1.5m) داخليال هخزان ماء قطر (2.5m) ما هي سرعة املـاء اخلـارج مـن ). انظر الشكل ( عن ارتفاع املاء يف اخلزان الفتحة؟

٤٩

: احلل

2 21 1 1 2 2 2

1 1P dgy dv P dgy dv2 2

+ + = + +

1 2P P=

. أي أن . هو واحد، ويساوي الضغط اجلوي ) ٢(و ) ١(لضغط على املوضعني ا : ومبا أن الكثافة واحدة، لذا تكون معادلة برنويل على الصورة

:

2 21 1 2

1 1gy v gy v2 2

+ = +

2 2 1v A v A

2

1= 1

2 12

Av vA

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2

1

0.015 v1.5

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1v 0.0001v 0

∴ = ≅

21 2v 2g(y y

2 9.8 2.= −= × ×

:بالتعويض يف املعادلة

1)5

2

21 2

mv 49s

=

1v 7 m

/ s∴ = : احلرارة-٣

:احلرارة ودرجة احلرارة والطاقة احلراريةوالوسط احملـيط فيـه ) سم مثال اجل(قلة بني النظام نتتعترب احلرارة نوعا من أنواع الطاقة امل

وتقاس احلرارة بالنظام العاملي للوحدات بوحدة اجلـول . بسبب فرق درجة احلرارة بينهما (J) وهناك وحدة قدمية لقياس احلرارة وتسمى بالسعر ، (calorie) ويرمز هلا بالرمز (cal.)

: وهي أكرب من اجلول وتساوي

1Cal. 4.186 J= 186J .ة باملكافئ امليكانيكي للحرار.4 املقدارعرب عنوي / cal.

٥٠

وتقـاس ) اجلـسم ( احلرارة مقياسا ملتوسط الطاقة احلركية جلزيئات النظام درجة ومتثل)يوسس يف النظام العاملي للوحدات، أو بوحدة سل بوحدة الكلفن C بالنظـام

. بالنظام الفهرهناييتاملئوي أو بوحدة )0( K0 )

0( F

)

فهي متثل الطاقة الناجتة عن مجيع اجلزيئات املوجودة ) الطاقة الداخلية ( أما الطاقة احلرارية . ، وتقاس بوحدة اجلول)اجلسم ( يف النظام

: املقاييس احلرارية

ومقياس احلرارة املعتمد على ) انظر الشكل اجملاور ( ئبقي ومن أشهرها مقياس احلرارة الز . املقاومة الكهربائية

: والتدرجيات املستخدمة يف مقاييس احلرارة هي على ثالثة أنواع مشهورة، وهي)0 التدريج املئوي - ١ C) )0التدريج الفهرهناييت - ٢ F) )0 التدريج املطلق - ٣ K) وهو املستخدم يف النظام العاملي للوحدات ،.

: والعالقات بني التدرجيات الثالثة هي

C F F C

5 9T (T 32) ; T T9 5

= − = +

C K K CT T 273 ; T T 273= − = +

K FT , T , T

32

على متثل درجات احلرارة يف التدريج املئوي والفهرهناييت واملطلق حيث أن : وفيما يلي مقارنه بني درجات احلرارة يف املقاييس الثالثة . الترتيب

C

:مثال

77)0 ، ما هي الدرجة بالتدريج املئوي؟ درجة حرارة غرفة هي F)

: احلل0

C F

5 5T (T 32) (77 32) 25 C9 9

= − = − =

:مثال

٥١

يه درجة حـرارة الطقـس ما هي درجة احلرارة على التدريج الفهرهناييت يف يوم تكون ف 010 ؟ C−

: احلل

F C

0

9T T 3259 10 32 14 F5

= +

= ×− + =

:مثال

070 إذا كانت درجة احلرارة على التدريج املئوي C− فما هي الدرجة علـى التـدريج ، املطلق؟ : احلل

K CT T 273= +070 273 203 K= − + =

)c(): احلرارة النوعية ( السعة احلرارية النوعية

) أو مطلقـة ( هي احلرارة الالزمة لرفع درجة حرارة وحدة الكتل من املادة درجة مئوية

أو بالنظام العاملي :ووحدهتا. واحدة0

calg. C0

Jkg. K

w: فمثال احلرارة النوعية للماء هي 0 0

4186J 1cal.ckg. K g. C

= =

كي ترتفع .cal 1 حتتاج أن تكتسب حرارة قدرها 1g من املاء قدرهاةوهذا معناه أن كتل من املاء حيتاج أن يكتسب حرارة قدرهاkg 1 أو أن. درجة حرارهتا درجة مئوية واحدة

4186 Jكي ترتفع درجة حرارته درجة مطلقة واحدة .

وللخــشب 820 وللرمــل يــد هــي واحلــرارة النوعيــة للحد

لرفـع وعلى ضوء التعريف أعاله نستطيع حساب احلرارة الالزم 1680

: من العالقة التالية درجة حرارة مقدارها(m) من املادةةدرجة حرارة كتل

0

J450kg. K0

Jkg. K

0

Jkg. K

( Q)Δ

Δ

ة

T

٥٢

Q mc TΔ = Δ

T

Δ . متثل الفرق بني درجة احلرارة االبتدائية والنهائية احلرارة النوعية للمادة،c حيث

:مثال

00 ؟90 إىل من املاء من g 20 ما هي احلرارة الالزمة لتسخني C 30 C

:احلل

احلرارة النوعية للماء هي 0

calg. C

1 Q mc T

20 1 60J1200cal. 1200cal. 4.186 5032J

cal.

Δ = Δ= × ×

= = × =

:مثال

039 . ودرجة حرارته kg 30طفل كتلته 037 C

Cكم هي احلرارة الالزم إزالتها مـن جـسم علمـا أن احلـرارة النوعيـة جلـسم اإلنـسان الطفل لتصبح درجة حرارتـه

؟34700

Jkg. K

:احلل

5

Q mc T30 3470 (37 39)

2.1 10 J

Δ = Δ= × × −

= − ×

:قياس احلرارة النوعية بطريقة اخللط

وميكن . Tواليت تدعى بدرجة التوازن عندما يتم خلط مادتني خمتلفتني يف درجة احلرارة، Tتالية على اعتبار بالتايل أن نكتب العالقة ال T. 2أن 1>

in. outQ Q

كمية احلرارة املكتسبة= كمية احلرارة املفقودة

=

٥٣

1 1 1 2 2 2m c (T T ) m c (T T)− = −

1 1c ,m

2 2c ,m

Tحيث 1 . الكتلة واحلرارة النوعية ودرجة احلرارة للمادة األوىل,

T 2 . الكتلة واحلرارة النوعية ودرجة احلرارة للمادة الثانية,

:مثال

ب يف هذا اإلبريق . 90 من املاء عند درجة g 300 على ترمسحيتوي إبريق 0 C0 C

g 50ص للخليط؟ما هي درجة احلرارة النهائية. 15من املاء عند درجة حرارة

:احلل كمية احلرارة املكتسبة= كمية احلرارة املفقودة

1 2m c(T 15) m c(90 T)− = −

50(T 15) 300(90 T)

− = −

T 15 540 6T

− = −

7T 555

=

0555T 79.3 C7

∴ = =

:مثال

. من املاء عند درجـة g 150 حيتوي على g 20وعاء معزول من األملنيوم كتلته فإذا كانت . مث أسقطت يف املاء100 إىل درجة g 30سخنت قطعة من املعدن كتلتها

، فما هي احلرارة النوعيـة درجة احلرارة النهائية للماء والوعاء وقطعة املعدن هي عدن؟للم

020 C0 C

025 C

: احلل احلرارة املكتسبة بواسطة الوعاء+احلرارة املكتسبة بواسطة املاء=احلرارة املفقودة بواسطة املعدن

20 0.21 5 150 1 5 30 c 75× × + × × = × ×

21 750 2250c

+ =

771 2250c

=

٥٤

0

771 cal.c 0.3432250 g. C

∴ = =

:قانون نيوتن للتربيدني درجيت احلرارة املطلقة بني اجلسم الساخن والوسط احمليط عندما يكون الفرق ب

:صغريا، فإن قانون ستيفان يؤول إىل قانون نيوتن للتربيد اآليت( )o

Q e A T Tt

σΔ

= −Δ

T

oT

A

e

σ

مع العلم أن هذا القانون يشمل التأثريات املشتركة النتقال احلرارة بالتوصـيل واحلمـل .واإلشعاع

. درجة حرارة اجلسم الساخنحيث . درجة حرارة الوسط احمليط . املساحة السطحية للجسم الساخن . اإلشعاعية وتتراوح بني الصفر والواحد . ثابت ستيفان

:مثال

وإذا . طالب معرض جسمه مباشرة هلواء الغرفة الذي درجـة حرارهتـا واملـساحة الـسطحية وإشعاعية اجلسم هي كانت درجة حرارة جسمه

.، فاحسب مقدار احلرارة املفقودة من جسمه خالل عشر دقائق1.5جلسم الطالب

o(20 C)

o(37 C(0.9)

2m

)

:احللo

oo

T 37 273 310 KT 20 273 293 K= + =

= + =

4 4( )oQ e A T Tt

σΔ= −

Δ

8 45.67 10 0.9 1.5 (310 293 )−= × × × × − 4

Q 140 Wt

Δ=

Δ

Q 140 10 60

فقودة معدل احلرارة امل

Δ = × ×

48.6 10 J= ×

مقدار احلرارة املفقودة خالل عشر دقائق

٥٥

:احلرارة الكامنة لالنصهار والتبخر

يتم بعد عندما تتغري حالة املادة من الصلبة إىل السائلة أو من السائلة إىل الغازية فإن ذلك . تزويد املادة بطاقة حرارية كافية لتغري حالتها والذي حيصل مع ثبـات درجـة احلـرارة

نـستخدم m إلجراء التحول املطلوب لكتلة مـن املـادة وحلساب مقدار احلرارة :العالقات التالية

(Q)

:أوال ):أو العكس (احلرارة الالزمة لتحول املادة من الصلب إىل السائل

fQ mLΔ =

fL

J احلرارة الكامنة لالنصهار ووحدهتا حيث

kg.cal أو

g.

:ثانيا ):أو العكس(احلرارة الالزمة لتحول املادة من السائل إىل الغاز

vQ mLΔ =

v

J احلرارة الكامنة لالنصهار ووحدهتا Lحيث

kg.cal أو

g.

:مثال0 الوعاء . 20 بدرجة حرارة kg 0.25وعاء حيتوي على كتلة من املاء مقدارها C

0

يوضعاحسب احلرارة الالزم إزالتها من املاء كي يتحول إىل ثلج بدرجة . (Freezer)يف جممدة

0 C واحلرارة النوعية للماء هي 334 إذا علمت أن احلرارة الكامنة النصهار املاء هي

؟

kJkg

kJ4.2kg

:احلل

f i fQ mc(T T ) ( mL )Δ = − + −3 30.25 4.2 10 (0 20) ( 0.25 334 10 )= × × − + − × ×

4 42.1 10 8.35 10= − × − ×51.05 10 J= − ×

٥٦

التمدد احلراري: ٨-١٨ :لطويلالتمدد احلراري ا

وعند رفع درجـة حـرارة . تعترب درجة احلرارة مقياسا للطاقة الداخلية جلزيئاهتا السائل أو الصلب تزداد طاقة جزيئاته وبالتايل تزداد سعة اهتزازها، وهذا يؤدي إىل زيادة

أي أن السائل أو الصلب يتمدد عنـد . متوسط املسافة بني كل جزيء واجلزيئات اجملاورة .تهرفع درجة حرار

بأنه الزيادة يف الطول لوحدة األطوال من يعرف معامل التمدد احلراري الطويل ويكتب هذا التعريف على هيئـة معادلـة . املادة نتيجة لتغري درجة احلرارة درجة واحدة

:كالتايل

α

L / LT

Δα =

Δ

L

TΔ نتيجة لوضع درجة احلرارة مبقدار Δ مبقدار Lأي أنه إذا متدد قضيب طوله

α

، فـإنoي α . هووحدة . تعطى باملعادلة السابقةقيمة 1C− أوo 1K−

5 o 1(1.9 10 C )− −×

: مثال

ما مقدار الزيادة يف طوله عند ارتفـاع درجـة (m 1)ضيب من النحاس طوله ق درجة عن درجة حرارة الغرفة علما أن معامل التمدد الطويل للنحـاس 50حرارته مبقدار

؟يساوي :احلل

L / LT

Δα =

Δ

5

L L T1.9 10 1 500.00095 m

−

∴Δ = α Δ

= × × ×=

:التمدد احلراري احلجميهو التغري النسيب يف احلجم لكل درجة، ويكتب يف صورة : معامل التمدد احلجمي

:معادلة كاآليتV / V

TΔ

γ =Δ

معامل التمدد احلجمي

٥٧

احلاصل بسبب تغري يف درجة احلرارة مقداره احلجم هو مقدار التغري يفΔحيث ووحدة املعامل

VV

γ TΔ، أو وتساوي هي نفس وحدة . o 1K− o 1C− α

:المث

113)3 . عند درجة احلرارة كرة من األملنيوم حجمها mm )o(100 C)

)5 o 1.2 10 C )− −×

فمـا هـوo(0 ؟7) إذا كان معامل التمدد احلجمي لألملنيوم حجمها عند درجة C

:احللV / V V T V

TΔ γ = ⇒Δ = γΔΔ

5 3V 7.2 10 113 100 0.81mm−Δ = × × × ≅o C)o(100 C)

3oV 113 0.8 112.2 mm= − =

، لذا يكون هو أقل عما هو عليه يف درجة 0)مبا أن احلجم عند درجة

o(0 : هواحلجم عند درجة C)

):سلوك املاء(مثال على التمدد احلجمي o من . ← مث يتمدد ينكمش املاء عند تسخينه o4 C 0 C←o4 C

o4 C

أقصى كثافـةمن . سبب انفجار األنابيب يف الشتاء⇐للماء عند

٥٨

الفصل التاسع عشر انتقال احلرارة

:طرق انتقال احلرارةالتوصيل واحلمل : ن أومن جسم إىل آخر بثالث طرق خمتلفة وهيتنتقل احلرارة من مكا

.واإلشعاع :انتقال احلرارة بالتوصيل: أوال

حيدث التوصيل احلراري عندما يكون هنالك فرق يف درجة احلرارة خالل املادة حيث وجد عمليا أن معدل اجلريان احلراري خالل املادة يتناسب طرديا مع الفرق يف درجيت

.كذلك يعتمد معدل اجلريان احلراري على حجم وشكل املادة. رارة هنايتهاح

: بالعالقةQΔ وميكن كتابة معدل اجلريان احلراري 1 2( )KA T TQ

t L−Δ

=Δ

21 2(T T>

. مساحة مقطع اجلسمAحيث Lاملسافة بني هناييت اجلسم . (1T . درجيت احلرارة لنهاييت اجلسم T و

K ثابت التوصيل احلراري للمادة ووحدته هي :os. Ccal

cm.o أو

Jm.s. C

.

٥٩

: مثال ومسكهـا أبعادهـا احسب معدل انتقال احلرارة خالل نافذة منزل

(3.2mm) . و 15إذا كانت درجيت احلرارة على السطحني الداخلي واخلارجي هـي .: على الترتيب وثابت التوصيل احلراري للزجاج هو14

(2m 1.5m)×

o C

o Co

0.84Jm.s. C

:احلل

2A 2 1.5 3m= × = 1 2( )KA T TQ

t L−Δ

=Δ

3

0.84 3 (15 4) J K cal790 0.193.2 10 s s−

× × −= = ≅

×

:مثال

1m . 2m وطوله 2cقضيب من النحاس األصفر مساحة مقطعه

0min)

وضع أحد طـريفما هي كمية الثلج اليت . ماء يغلي ووضع اآلخر على قطعة كبرية من الثلج هذا القضيب يف

تنصهر بواسطة احلرارة املنتقلة من الطرف الساخن للقضيب إىل الطرف البـارد خـالل o ]= ثابت التوصيل احلراري للنحاس األصفر[ ؟ 1)

0.2calcm.s. C

:احلل1 2( )K A t T TQ

LΔ −

= Δ =(10min) كمية احلرارة املنتقلة خالل 0.2 2 10 60(100 0)Q 2

100× × × −

∴ 40cal= =

L

f تساوي ومبا أن احلرارة الكامنة النصهار الثلج 80cal

g m فتكون كمية الثلج املنصهرة

: هي

f

Q 240m 3L 80Δ g= = =

٦٠

:انتقال احلرارة باحلمل: ثانيا

واحلمل هـو . تتميز السوائل والغازات بأهنا نواقل جيدة للحرارة عن طريق احلمل عملية انتقال احلرارة بواسطة حركة جزيئات الوسط من مكان إىل آخر حاملـة معهـا

احلمـل وهنالك نوعان من احلمل، احلمل الطبيعي و . احلرارة وملسافات كبرية من الوسط .اجلربي

بسبب تغـري درجـة ) اهلواء أو املاء (وحيصل احلمل الطبيعي عندما يتحرك املائع وكمثال على ذلك جند أن . حرارته وكثافته نتيجة امتصاص احلرارة من جسم آخر جماور

يسخن فتقل كثافتـه ويرتفـع ) املوجودة يف غرفة مغلقة (اهلواء القريب من املدفأة املنزلية نفس الوقت ينزل اهلواء البارد القريب من السقف وهكذا تستمر دورة تيـار ألعلى ويف

أما يف حالة احلمل اجلربي، . احلمل يف الغرفة حىت تتجانس درجة حرارة اهلواء يف داخلها فإن حركة املائع تتم بواسطة قوة ميكانيكية مثل املضخة خالل راديتر السيارة كي يـتم

.هلواء الساخن إىل مجيع أحناء املنزل لغرض تدفئتهتربيده، واملروحة اليت تدفع ا :انتقال احلرارة باإلشعاع: ثالثا

وذلك أن . إن احلرارة اليت تصل إلينا من الشمس ال تنتقل إلينا بالتوصيل أو احلمل ومن مث فـإن انتقـال . الفراغ اهلائل بيننا وبني الشمس ال حيتوي تقريبا على أية جزيئات

واإلشعاع هو جريان احلرارة من مكان إىل . فراغ حيصل بطريقة اإلشعاع احلرارة خالل ال .آخر بواسطة املوجات الكهرومغناطيسية

إن معدل انتقال احلرارة باإلشعاع من اجلسم الساخن تعطى بعالقة تسمى قـانون :ستيفان، وهي

4Q e ATt

σΔ=

Δ

Qووحدة املقدار t

ΔΔ

، (W) هي الواط

. متثل املساحة السطحية للجسم املشعAحيث Tمتثل درجة احلرارة املطلقة للجسم املشع . eثابت يسمى باإلشعاعية وتتراوح قيمته بني الصفر والواحد حبسب املادة املشعة .

٦١

σ8: ثابت ستيفان وقيمته تساوي2 4

W10m K

−×

oT

5.67.

، فإن درجة حرارته املطلقة ) أو جسم آخر(وإذا كان اجلسم حماطا بوسط :هو) Tبدرجة مطلقة(حمصلة معدل انتقال احلرارة باإلشعاع من اجلسم

4 4( )oQ e A T Tt

σΔ= −

Δ

يشع كمية أكرب ) أي الذي ال يعكس الضوء (وقد أمكن إثبات أن اجلسم األسود وكقاعدة عامة ميكـن . من احلرارة باملقارنة مع األجسام األخرى ذات االنعكاسية األعلى

. القول أن املمتص احلراري اجليد هو مشع حراري جيد

٦٢