95844802 Fisica Ejercicios Resueltos Soluciones Movimiento Armonico Simple Selectividad

6 El movimiento armnico simple (MAS)

1. Escribe la ecuacin senoidal del movimiento del muelle de la figura cuya grfica posicin-tiempo es la que se indica:

x(cm)

0,31,3

2,3

3,3

4,3 t (s)

5

-10

Laecuacindelmovimientodelmuellesecorrespondeconlaexpresin:

x = A sen(w t + f0)

Elongacin Amplitud

Frecuenciaangular Faseinicial

Fase

Identificamostrminosapartirdelagrfica:

Amplitud:A= 10cm.

Frecuenciaangular:w n= =2 2T

.Elperiodoeseltiempoentre

dosmximossucesivos:

T = - =2 3 0 3, ,s s 2 s

w = =22

rad/s

Faseinicial: x A t0 0 0= +sen( )w f ;parat0= 0,x0= 5cm:

5 10 0= sen( )f

f 0 0 56

= =arc sen rad( , )

Portanto:

x t= +

0 1 6

, sen m

2. Se estira un muelle hasta que su longitud aumenta 5 cm. A continuacin se suelta y se le deja oscilar libremente, de forma que da 30 oscilaciones completas en 5 segundos.

Determina: a) La ecuacin de su movimiento suponiendo que empezamos a estudiarlo

cuando se encuentra en la posicin ms estirada. b) La posicin en la que se encuentra el muelle a los 10 s de iniciado

el movimiento. c) El tiempo que tarda el muelle en alcanzar la posicin de equilibrio

desde que est en la posicin de mximo estiramiento.

a) Dadoqueenelenunciadosemencionaquelaposicininicialdeestudio(t = 0)coincideconunmximo,utilizaremoslaecuacincosenoidalparadescribirelmovimiento.Deestamanerasudesfaseinicialsernulo: ;parat= 0,x = A.Laamplituddelmuellecoincideconsuelongacinmxima:A= 5cm= 0,05m.

Sustituyendo:

b) .

Elmuelleseencuentraensuposicindeelongacinmximapositiva(estiradoalmximo).

c) Enlaposicindeequilibrox = 0:

3. Representa la grfica posicin-tiempo de un muelle cuyo movimiento se describe en la actividad anterior.

4. Cul ser la velocidad del mvil del ejemplo 2 cuando se encuentra a 2 cm del punto ms bajo?

Enestecasoseencuentraenlaposicinx= 4cm.

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1

El movimiento armnico simple

Escribe la ecuacin senoidal del movimiento del muelle de la figura cuya grfica posicin-tiempo es la que se indica:

Laecuacindelmovimientodelmuellesecorrespondeconlaexpresin:

Identificamostrminosapartirdelagrfica:

Amplitud:A= 10cm.

Frecuenciaangular: .Elperiodoeseltiempoentre

dosmximossucesivos:

Faseinicial: ;parat0= 0,x0= 5cm:

Portanto:

Se estira un muelle hasta que su longitud aumenta 5 cm. A continuacin se suelta y se le deja oscilar libremente, de forma que da 30 oscilaciones completas en 5 segundos.

Determina: a) La ecuacin de su movimiento suponiendo que empezamos a estudiarlo

cuando se encuentra en la posicin ms estirada. b) La posicin en la que se encuentra el muelle a los 10 s de iniciado

el movimiento. c) El tiempo que tarda el muelle en alcanzar la posicin de equilibrio

desde que est en la posicin de mximo estiramiento.

a) Dadoqueenelenunciadosemencionaquelaposicininicialdeestudio(t = 0)coincideconunmximo,utilizaremoslaecuacincosenoidalparadescribirelmovimiento.Deestamanerasudesfaseinicialsernulo: x A t= cos( )w ;parat= 0,x = A.Laamplituddelmuellecoincideconsuelongacinmxima:A= 5cm= 0,05m.

w n = = = =2 2 2 12T

30 ciclos5 s

rad/s

Sustituyendo:x t= 0 05 12, cos( ) m

b) x t( ) , cos( )= = = =10 s 0,05 m 5 cm0 05 12 10 .Elmuelleseencuentraensuposicindeelongacinmximapositiva(estiradoalmximo).

c) Enlaposicindeequilibrox = 0:0 0 05 12= , cos( ) t

arc cos( )0 122

1

2 12= = = = t t

0,042 s

3. Representa la grfica posicin-tiempo de un muelle cuyo movimiento se describe en la actividad anterior.

x(m)0,05

-0,05

0

0,0 1,0 5,04,03,02,0 t (s)

4. Cul ser la velocidad del mvil del ejemplo 2 cuando se encuentra a 2 cm del punto ms bajo?

Enestecasoseencuentraenlaposicinx= 4cm.

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2


Sustituyendoigualqueenelejemplo:

v A x= - = - -2 2 0 25 6 4 72 2 2 2n , ( (Hz cm) cm) cm/s

Esdecir,elmdulodelavelocidadeselmismoqueenlaposicincalculadaenelejemplo.(Noconfundirlavelocidad,v,conlafrecuencia,n.)

5. En el extremo de un muelle colocamos un cuerpo, lo estiramos una longitud de 4 cm y lo dejamos oscilar libremente. Escribe la funcin que permite conocer su elongacin, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo si vibra con una frecuencia de 2 Hz. Representa grficamente dichas funciones tomando valores del tiempo que permitan conocer lo que sucede en dos oscilaciones completas.

Comolaposicininicialconsideradasecorrespondeconsuelongacinmxima,utilizaremoslaecuacincosenoidaldelMAS.

Elongacin:LaelongacinmximaesprecisamenteA = 0,04m.Calculamosw:

w n = = =2 2 2 4Hz rad/s

Laecuacindelaelongacinser:

x t= 0 04 4, cos( ) m

Velocidad:Lavelocidadseobtienederivandolaexpresindelaelongacinconrespectoaltiempo:

vdxdt

A t

t

= = - + =

= -

w w f

sen

sen

( )

, ( )

0

4 0 04 4 v t= - 0 16 4, ( ) sen m/s

Aceleracin:Laaceleracinseobtienederivandolaexpresindelavelocidadconrespectoaltiempo:

advdt

A t= = - + =

= -

w w f

20

24 0 04 4

cos( )

( ) , cos(

= -

t

a t

)

, cos( )

0 64 42 m/s2

6. Haz la representacin grfica de las funciones x (t ), v (t ) y a (t ) para un muelle que oscila apoyado en una superficie horizontal sin rozamiento. De forma similar a la figura 6.23, indica en qu posicin las magnitudes x, v y a alcanzan sus valores mximos y mnimos.

Respuestagrfica:

7. Calcula la aceleracin y la velocidad en el instante inicial, t = 0 s, para un muelle cuyo movimiento viene descrito por la ecuacin:

(x en cm)

Laecuacindelaposicines:

Enelinstantet= 0:

Lavelocidadseobtienederivandolaposicinconrespectoaltiempo:

Enelinstantet= 0:

x(m)0,04

0,02

0

-0,02

-0,04

0 0,5 1,0t

v(m/s2)0,6

0

-0,6

0 0,5 1,0

a(m/s2)

-8

-4

0

4

8

0 0,5 1,0

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3


Sustituyendoigualqueenelejemplo:

v A x= - = - -2 2 0 25 6 4 72 2 2 2n , ( (Hz cm) cm) cm/s

Esdecir,elmdulodelavelocidadeselmismoqueenlaposicincalculadaenelejemplo.(Noconfundirlavelocidad,v,conlafrecuencia,n.)

En el extremo de un muelle colocamos un cuerpo, lo estiramos una longitud de 4 cm y lo dejamos oscilar libremente. Escribe la funcin que permite conocer su elongacin, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo si vibra con una frecuencia de 2 Hz. Representa grficamente dichas funciones tomando valores del tiempo que permitan conocer lo que sucede en dos oscilaciones completas.

Comolaposicininicialconsideradasecorrespondeconsuelongacinmxima,utilizaremoslaecuacincosenoidaldelMAS.

Elongacin:LaelongacinmximaesprecisamenteA = 0,04m.Calculamosw:

Laecuacindelaelongacinser:

Velocidad:Lavelocidadseobtienederivandolaexpresindelaelongacinconrespectoaltiempo:

Aceleracin:Laaceleracinseobtienederivandolaexpresindelavelocidadconrespectoaltiempo:

6. Haz la representacin grfica de las funciones x (t ), v (t ) y a (t ) para un muelle que oscila apoyado en una superficie horizontal sin rozamiento. De forma similar a la figura 6.23, indica en qu posicin las magnitudes x, v y a alcanzan sus valores mximos y mnimos.

Respuestagrfica:

x = A sen(w t )

v = A w cos(w t )

a = -w2 A sen(w t ) = -w2 x-w2 A

-w A

-A

w2 A

w A

A

a

v

x Mximo:T/4Mnimo:3T/4

Mximo:0Mnimo:T/2

Mximo:3T/4Mnimo:T/4

T/4 T/2 3T/4 T

7. Calcula la aceleracin y la velocidad en el instante inicial, t = 0 s, para un muelle cuyo movimiento viene descrito por la ecuacin:

x t t( ) , cos= +

0 3 2 6

(x en cm)

Laecuacindelaposicines:

x t t( ) , cos= +

0 3 2 6

Enelinstantet= 0:

x ( , cost = = +

=0) 0,26 m0 3 2 0 6

Lavelocidadseobtienederivandolaposicinconrespectoaltiempo:

vdxdt

A t t= = - + = - +w w f sen sen( ) ,0 2 0 3 2

6

Enelinstantet= 0:

v ( , ,t = = - +

= - 0) sen s2 0 3 2 0 6

2 0 3

een 0,3 m/s6

= -

1,0t

1,0

1,0

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4


Identificando:

Calculamoslafrecuenciaapartirdelafrecuenciaangular:

Ahorayasepuedecalcularlavelocidad:

b) Paracalculareltiempoquetardaentrasladarsedeunpuntoalotroobtendremoselvalordeltiempocuandoseencuentraencadaunadeesasposiciones.Paraestonecesitamosconocerlaecuacinquerigesumovimientoyque,suponiendoquenoexistedesfaseinicial,puedeobtenersecomo:

Enx= 4m:

[1]

Enx= 2m:

[2]

Restandolasexpresiones[1]y[2]:

10. Un punto material pende del extremo de un muelle. Se tira de l y se le hace oscilar de manera que entre el punto ms alto y el ms bajo este recorre una distancia de 20 cm y tarda 20 s en completar cinco oscilaciones. Determina la velocidad y la aceleracin del mvil cuando se encuentra a 6 cm del punto ms bajo.

Siladiferenciaentreelpuntomsaltoymsbajodelrecorridoes20cm,laelongacinmximadelMASesA = 10cm= 0,1m.Obtenemoslafrecuenciadelmovimiento:

Laaceleracinseobtienederivandolavelocidadconrespectoaltiempo:

advdt

A t x= = - + = -w w f w2 0 2cos( )

Enelinstantet= 0:

ax t

( ,( )

t = = - = -=

0) 1,04 m/s22 0 2620

8. Un objeto de 2,5 kg est unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armnico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz. Determine:

a) El periodo del movimiento.

b) La velocidad mxima y la aceleracin mxima del objeto.

a) Eldatodelafrecuencianospermiteconocerelperiodo,T:

T = = =1 13 3n , Hz

0,303 s

b) Calculamoswapartirdeldatodelperiodo,segn:

w = = =2 20 303

20 73T ,

,s

rad/s

LavelocidadmximaenunMASes:

v Amx. rad/s m 1,037 m/s= = =w 20 73 0 05, ,

LaaceleracinmximaenunMASes:

a Amx. 2rad/s m 21,49 m/s= = =w2 2 220 73 0 05, ( ) ,

9. Una partcula puntual realiza un movimiento armnico simple de amplitud 8 m que responde a la ecuacin a = 16x, donde x indica la posicin de la partcula en metros y a es la aceleracin del movimiento expresada en m/s2.

a) Calcula la frecuencia y el valor mximo de la velocidad. b) Calcula el tiempo invertido por la partcula para desplazarse

desde la posicin x1 = 2 m hasta la posicin x2 = 4 m.

a) ApartirdelaexpresinquedeterminalaaceleracindeuncuerpoenunMAS:

advdt

d A tdt

A t

= = + =

= - +

[ cos( )]

(

w w f

w w

0

2 sen ff w0 2) = - x

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5


Identificando:- = - = =w w w2 216 16 4x x rad/s

Calculamoslafrecuenciaapartirdelafrecuenciaangular:

w n n w

= = = = =2 22

4

2T rad/s 0,64 Hz

Ahorayasepuedecalcularlavelocidad:

v A t v A= + = = =w w f wcos( )0 4 8 mx. rad/s m 32 m/sb) Paracalculareltiempoquetardaentrasladarsedeunpuntoalotro

obtendremoselvalordeltiempocuandoseencuentraencadaunadeesasposiciones.Paraestonecesitamosconocerlaecuacinquerigesumovimientoyque,suponiendoquenoexistedesfaseinicial,puedeobtenersecomo:

x A t t= + = +sen sen( ) ( )w f f0 08 4Enx= 4m:

4 8 41

242 0 2 0= + = + sen sen( ) ( )t tf f

4 12 6

2 0t + =

=f

arc sen [1]

Enx= 2m:

2 8 41

441 0 1 0= + = +sen sen( ) ( )t tf f

4 14

0 2531 0t + =

=f arc sen , [2]

Restandolasexpresiones[1]y[2]:

( ) ( ) ,4 46

0 2532 0 1 0t t+ - + = -f f

4 0 27 0 274

2 1 2 1 - = - = =( ) ,,

t t t t 0,0675 s

10. Un punto material pende del extremo de un muelle. Se tira de l y se le hace oscilar de manera que entre el punto ms alto y el ms bajo este recorre una distancia de 20 cm y tarda 20 s en completar cinco oscilaciones. Determina la velocidad y la aceleracin del mvil cuando se encuentra a 6 cm del punto ms bajo.

Siladiferenciaentreelpuntomsaltoymsbajodelrecorridoes20cm,laelongacinmximadelMASesA = 10cm= 0,1m.Obtenemoslafrecuenciadelmovimiento:

n w n = = = = =5 ciclos20 s

0,25Hz Hz rad/s 2 2 0 252

,

Laaceleracinseobtienederivandolavelocidadconrespectoaltiempo:

Enelinstantet= 0:

Un objeto de 2,5 kg est unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armnico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz. Determine:

a) El periodo del movimiento.

b) La velocidad mxima y la aceleracin mxima del objeto.

(C. Madrid. Junio, 2007)

a) Eldatodelafrecuencianospermiteconocerelperiodo,T:

b) Calculamoswapartirdeldatodelperiodo,segn:

LavelocidadmximaenunMASes:

LaaceleracinmximaenunMASes:

Una partcula puntual realiza un movimiento armnico simple de amplitud 8 m que responde a la ecuacin a = 16x, donde x indica la posicin de la partcula en metros y a es la aceleracin del movimiento expresada en m/s2.

a) Calcula la frecuencia y el valor mximo de la velocidad. b) Calcula el tiempo invertido por la partcula para desplazarse

desde la posicin x1 = 2 m hasta la posicin x2 = 4 m.(C. Valenciana. Septiembre, 2006)

a) ApartirdelaexpresinquedeterminalaaceleracindeuncuerpoenunMAS:

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6


12. Se dispone de un muelle elstico sujeto por un extremo al techo de una habitacin. Si colgamos por el otro extremo un cuerpo de 6 kg de masa, el muelle se alarga 20 cm. Calcule:

a) La constante elstica del muelle.

b) El periodo de las oscilaciones que realizar si se le aparta de su posicin de equilibrio y se le deja libremente para que ejecute un movimiento armnico simple.

(Extremadura. Junio, 2005)

a) DeterminaremoslaconstantedeelasticidadestticapormediodelaleydeHooke:

b) Aunquelaconstantedeelasticidadestticaydinmicanoson

exactamenteiguales,utilizaremoseldatocalculadoenelapartadoanteriorparaobtenerelperiododelaoscilacin:

13. Se tienen dos muelles de constantes elsticas k1 y k2 en cuyos extremos se disponen dos masas m1 y m2, respectivamente, tal que m1 < m2. Al oscilar, las fuerzas que actan sobre cada una de estas masas en funcin de la elongacin aparecen representadas en la figura.

a) Cul es el muelle de mayor constante elstica?b) Cul de estas masas tendr mayor periodo de oscilacin?(C. Madrid. Septiembre, 2005)

a) LaleydeHookeindicaque ,dondekeslapendientedelagrficaenlacualserepresentaFfrenteax.Puestoquelapendientedelagrfica1esmayorqueladelagrfica2,podemosconcluirquek1>k2.

b) Elperiododeoscilacindeunmuellevienedadoporlaexpresin:

Elperiododeoscilacindeunmuelleesmayorcuantomayor

seasumasaycuantomenorseasuconstanteelstica.Ambascircunstanciasindicanqueelperiododelsegundooscilador(m2)esmayorqueeldelprimero.

A6cmdelpuntomsbajoelpuntoseencuentra4cmpordebajodesuposicindeequilibrio,esdecir,enx= 4cm.SepuedenobtenerlavelocidadylaaceleracininstantneadeunMASconlasrelaciones:

v A x= - = - =w 2 2 2 22

0 1 0 04 0 144, , , m/s

a x= - = -

- =w

22

20 04 0 098( , ) , m/s2

11. Disea una experiencia para comprobar que el periodo de un oscilador armnico no depende de la amplitud de la oscilacin.

Material:

Soportedelaboratorio. Muelle. Portapesas. Unapesa. Cronmetro.

Procedimiento:

1. Colocarelmuelleenelsoportecomosemuestraenlafigura.Ponerunportapesasensuextremoinferior.

2. Colocarenelportapesaslapesaelegida.Estirarlademaneraquesedesplaceunpocodesuposicindeequilibrioydejarlaoscilar.

3. Cuandoosciledemanerauniforme(despusdelas3o5primerasoscilaciones),ponerelcronmetroenmarchaymedireltiempoquetardaendar20oscilaciones.Anotarelresultado.

4. Repetirlospasos2y3utilizandosiemprelamismamasayvariandolaamplitudinicialdelaoscilacin.

5. Deacuerdoconlaexpresin:

T

mk

= 2

alusarsiemprelamismamasamyelmismomuelle(mismak),elperiodoobservadodeberadeserconstante.

Muelle

Portapesas

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12. Se dispone de un muelle elstico sujeto por un extremo al techo de una habitacin. Si colgamos por el otro extremo un cuerpo de 6 kg de masa, el muelle se alarga 20 cm. Calcule:

a) La constante elstica del muelle.

b) El periodo de las oscilaciones que realizar si se le aparta de su posicin de equilibrio y se le deja libremente para que ejecute un movimiento armnico simple.

a) DeterminaremoslaconstantedeelasticidadestticapormediodelaleydeHooke:

P m g F k x k

m gx

= - = = - = = =6 9 80 2

294,

,Nm

b) Aunquelaconstantedeelasticidadestticaydinmicanosonexactamenteiguales,utilizaremoseldatocalculadoenelapartadoanteriorparaobtenerelperiododelaoscilacin:

T

mk

= = =2 2 6294

0,9 s

13. Se tienen dos muelles de constantes elsticas k1 y k2 en cuyos extremos se disponen dos masas m1 y m2, respectivamente, tal que m1 < m2. Al oscilar, las fuerzas que actan sobre cada una de estas masas en funcin de la elongacin aparecen representadas en la figura.

a) Cul es el muelle de mayor constante elstica?b) Cul de estas masas tendr mayor periodo de oscilacin?

a) LaleydeHookeindicaqueF k x= - ,dondekeslapendientedelagrficaenlacualserepresentaFfrenteax.Puestoquelapendientedelagrfica1esmayorqueladelagrfica2,podemosconcluirquek1>k2.

b) Elperiododeoscilacindeunmuellevienedadoporlaexpresin:

T

mk

= 2

Elperiododeoscilacindeunmuelleesmayorcuantomayorseasumasaycuantomenorseasuconstanteelstica.Ambascircunstanciasindicanqueelperiododelsegundooscilador(m2)esmayorqueeldelprimero.

A6cmdelpuntomsbajoelpuntoseencuentra4cmpordebajodesuposicindeequilibrio,esdecir,enx= 4cm.SepuedenobtenerlavelocidadylaaceleracininstantneadeunMASconlasrelaciones:

Disea una experiencia para comprobar que el periodo de un oscilador armnico no depende de la amplitud de la oscilacin.

Material:

Soportedelaboratorio. Muelle. Portapesas. Unapesa. Cronmetro.

Procedimiento:

1. Colocarelmuelleenelsoportecomosemuestraenlafigura.Ponerunportapesasensuextremoinferior.

2. Colocarenelportapesaslapesaelegida.Estirarlademaneraquesedesplaceunpocodesuposicindeequilibrioydejarlaoscilar.


4. Repetirlospasos2y3utilizandosiemprelamismamasayvariandolaamplitudinicialdelaoscilacin.

5. Deacuerdoconlaexpresin:

alusarsiemprelamismamasam

yelmismomuelle(mismak),elperiodoobservadodeberadeserconstante.

1

1

2 x

F

2

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8


15. Disea una experiencia de laboratorio que te permita comprobar que el periodo de un pndulo armnico no depende de su masa.

Material: Soportedelaboratorio. Hilodenailon. Variasbolascongancho

depesosconocidos. Metro(paramedirlongitudes). Cronmetro.

Procedimiento:1. Atarunhilodeaproximadamente

1,5mdelongitudalextremodeunabolapequeademasaconocida.

2. Colocarloluegoenelsoportedemaneraquepuedaoscilar,comoseindicaenlafigura.

3. Medirexactamentelalongituddelhilodesdeelextremodelsoportehastalabola.Debesersiempreexactamentelamismalongitud.Separarlaenelplanoverticaldemaneraquesedesplaceunpocodesuposicindeequilibrioydejarlaoscilar.


5. Cambiarlabolaporotrademasadiferenteyrepetirlospasos2y3.Deacuerdocon:

silalongituddelhiloessiemprelamisma,elperiodoobtenido

debesersiempreelmismo.

6. Paracalcularelperiodoencadacasohayquetenerencuentaque:

Sisiempresemideeltiempoqueseempleaencompletar20ciclos,eltiempoquehemosmedidodebesersiempreequivalente.

14. Disea una experiencia de laboratorio que te permita comprobar que el periodo de un pndulo armnico no depende de la amplitud de la oscilacin.

Material: Soportedelaboratorio. Hilodenailon. Bolaconganchodepesoconocido. Metro(paramedirlongitudes). Cronmetro.




3. Medirexactamentelalongituddelhilodesdeelextremodelsoportehastalabola.Debesersiempreexactamentelamismalongitud.Separarlabolaenelplanoverticaldemaneraquesedesplaceunpocodesuposicindeequilibrioydejarlaoscilar.


5. Repetirlospasos2y3,separandolaboladiferentesngulosq(conelloseconsiguendistintasamplitudes).Deacuerdocon:

T

Lg

= 2

silalongituddelhiloessiemprelamisma,elperiodoobtenidodebesersiempreelmismo.


T = TiempoN. de ciclos


Hilo

Bola

q

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15. Disea una experiencia de laboratorio que te permita comprobar que el periodo de un pndulo armnico no depende de su masa.

Material: Soportedelaboratorio. Hilodenailon. Variasbolascongancho

depesosconocidos. Metro(paramedirlongitudes). Cronmetro.




3. Medirexactamentelalongituddelhilodesdeelextremodelsoportehastalabola.Debesersiempreexactamentelamismalongitud.Separarlaenelplanoverticaldemaneraquesedesplaceunpocodesuposicindeequilibrioydejarlaoscilar.


5. Cambiarlabolaporotrademasadiferenteyrepetirlospasos2y3.Deacuerdocon:

T

Lg

= 2

silalongituddelhiloessiemprelamisma,elperiodoobtenidodebesersiempreelmismo.


T = TiempoN. de ciclos


Disea una experiencia de laboratorio que te permita comprobar que el periodo de un pndulo armnico no depende de la amplitud de la oscilacin.

Material: Soportedelaboratorio. Hilodenailon. Bolaconganchodepesoconocido. Metro(paramedirlongitudes). Cronmetro.




3. Medirexactamentelalongituddelhilodesdeelextremodelsoportehastalabola.Debesersiempreexactamentelamismalongitud.Separarlabolaenelplanoverticaldemaneraquesedesplaceunpocodesuposicindeequilibrioydejarlaoscilar.


5. Repetirlospasos2y3,separandolaboladiferentesngulosq(conelloseconsiguendistintasamplitudes).Deacuerdocon:

silalongituddelhiloessiemprelamisma,elperiodoobtenido

debesersiempreelmismo.



Bola

Hilo

Bola

q

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10


EW gW

b

-

Elsistemadefuerzasresultanteser:

FW=FWE+PW=-qEW+PW

Comoelsentidodelasfuerzasesopuesto,elmdulodelaresultanteserigualaladiferenciadelosmdulosdecadaunadeellas(P>|FE |):

ElpndulotieneunMAS.Enconsecuencia:

Nota:suponemosqueqesmuypequeoyhacemosquelacuerdacoincidaconelarco(x.q,qenradianes).DespejamosT:

18. Se quiere medir g a partir del periodo de oscilacin de un pndulo formado por una esfera de cierta masa suspendida de un hilo. La esfera tiene una carga q positiva y el pndulo se encuentra en una regin con un campo elctrico dirigido hacia abajo; sin embargo, el experimentador no conoce estos hechos y no los tiene en cuenta. Responda, justificando su respuesta, si el valor de la gravedad que obtiene es mayor o menor que el real.

(R. Murcia. Junio, 2005)

Elvalordelagravedadqueobtieneesmayorqueelreal.Alserunacargapositivabajouncampoelctricodirigidoverticalmentehaciaabajo,seveafectadaporunafuerzaelectrostticaenlamismadireccinysentidoquelafuerzagravitatoria.

EstosignificaquelafuerzaelectrostticasesumaalafuerzagravitatoriaqueproduceelMASy,portanto,lafuerzaresultanteejercerunaaceleracinresultantemayorquelaejercidanicamenteporlafuerzagravitatoria,yaqueF= ma.

16. En una catedral hay una lmpara que cuelga desde el techo de una nave y que se encuentra a 2 m del suelo. Se observa que oscila levemente con una frecuencia de 0,1 Hz. Cul es la altura h de la nave?

Dato: g=9,8 m/s2.

Calculamoselperiodo:

T = = =1 10 1n , Hz

10 s

Necesitamosobtenerlalongituddelhilodelquependelalmpara.Paraellopodemosutilizarlaexpresin:

TLg

L gT

L= = = =24

9 810

4

2

2

2

2

, m/s s 24,82m2

2

Silalmparaseencuentraa2mdelsuelo,laalturatotalser:

h= L+ 2m= 26,82m

17. Sea un pndulo electrosttico situado en un laboratorio en la superficie de la Tierra, formado por una pequea esfera atada al extremo de un hilo aislante muy delgado de 20 cm de longitud, estando el otro extremo atado a un punto fijo. La esfera tiene 1 g de masa y es portadora de 2 nC de carga elctrica de signo negativo y se encuentra sometida a la accin del campo gravitatorio terrestre y tambin a un campo elctrico uniforme de mdulo 3,3 106 N/C, direccin vertical y sentido hacia abajo. Calcular el periodo de oscilacin del pndulo en esas condiciones.

Dadoquelacargadelaesferaesnegativa,tendremosunafuerzaelectrostticadesentidocontrarioalcampoelctricodescritoenelenunciado.Estafuerzaelectrostticaqueactasobrelaesferatendrdireccinverticalysentidohaciaarribay,portanto,opuestoaldelafuerzagravitatoriaquetambinactasobrelamisma.

h

2m

833523 _ 0205-0244.indd 218 14/5/09 08:20:40

11


gW

mg

F cos q

F sen q

q

q

TW

EW

Fuerza restauradora

q

WFE

Elsistemadefuerzasresultanteser:

FW=FWE+PW=-qEW+PW

Comoelsentidodelasfuerzasesopuesto,elmdulodelaresultanteserigualaladiferenciadelosmdulosdecadaunadeellas(P>|FE |):

F P F

F

= - == -

=

- -

E

10 9 8 2 10 3 3 10

3 2 10

3 9 6, ,

, --3 N

ElpndulotieneunMAS.Enconsecuencia:

F m a m x

F mT

L

= =

=

sen

sen sen

q w

q q

2

2

2

2

( )

Nota:suponemosqueqesmuypequeoyhacemosquelacuerdacoincidaconelarco(x.q,qenradianes).DespejamosT:

Tm L

F= =

=

-

-2 2

10 0 2

3 2 10

3

3 kg m

N1,57 s

,,

18. Se quiere medir g a partir del periodo de oscilacin de un pndulo formado por una esfera de cierta masa suspendida de un hilo. La esfera tiene una carga q positiva y el pndulo se encuentra en una regin con un campo elctrico dirigido hacia abajo; sin embargo, el experimentador no conoce estos hechos y no los tiene en cuenta. Responda, justificando su respuesta, si el valor de la gravedad que obtiene es mayor o menor que el real.

Elvalordelagravedadqueobtieneesmayorqueelreal.Alserunacargapositivabajouncampoelctricodirigidoverticalmentehaciaabajo,seveafectadaporunafuerzaelectrostticaenlamismadireccinysentidoquelafuerzagravitatoria.

EstosignificaquelafuerzaelectrostticasesumaalafuerzagravitatoriaqueproduceelMASy,portanto,lafuerzaresultanteejercerunaaceleracinresultantemayorquelaejercidanicamenteporlafuerzagravitatoria,yaqueF= ma.

En una catedral hay una lmpara que cuelga desde el techo de una nave y que se encuentra a 2 m del suelo. Se observa que oscila levemente con una frecuencia de 0,1 Hz. Cul es la altura h de la nave?

Dato: g=9,8 m/s2.(P. Asturias. Junio, 2007)

Calculamoselperiodo:

Necesitamosobtenerlalongituddelhilodelquependelalmpara.Paraellopodemosutilizarlaexpresin:

TLg

L gT

L= = = =24

9 810

4

2

2

2

2

, m/s s 24,82m2

2

Silalmparaseencuentraa2mdelsuelo,laalturatotalser:

h= L+ 2m= 26,82m

Sea un pndulo electrosttico situado en un laboratorio en la superficie de la Tierra, formado por una pequea esfera atada al extremo de un hilo aislante muy delgado de 20 cm de longitud, estando el otro extremo atado a un punto fijo. La esfera tiene 1 g de masa y es portadora de 2 nC de carga elctrica de signo negativo y se encuentra sometida a la accin del campo gravitatorio terrestre y tambin a un campo elctrico uniforme de mdulo 3,3 106 N/C, direccin vertical y sentido hacia abajo. Calcular el periodo de oscilacin del pndulo en esas condiciones.

Dadoquelacargadelaesferaesnegativa,tendremosunafuerzaelectrostticadesentidocontrarioalcampoelctricodescritoenelenunciado.Estafuerzaelectrostticaqueactasobrelaesferatendrdireccinverticalysentidohaciaarribay,portanto,opuestoaldelafuerzagravitatoriaquetambinactasobrelamisma.

h

W

833523 _ 0205-0244.indd 219 22/5/09 12:18:24

12


21. Una partcula de masa m = 0,1 kg oscila armni camente en la forma x = A sen t, con amplitud A = 0,2 m y frecuencia angular = 2 rad/s.

a) Calcula la energa mecnica de la partcula.

b) Determina y representa grficamente las energas potencial y cintica de m en funcin de la elongacin x.

(Aragn. Junio, 2005)

a) Sepuedeobtenerlaenergamecnicadelapartculaapartirdelaexpresin:

Paraunosciladorarmnico:

b) Enestecaso:

Energapotencial: Energacintica:

19. Un oscilador armnico se encuentra en un instante determinado en una posicin que es igual a un tercio de su amplitud A. Determina para dicho instante la relacin existente entre la energa cintica y la energa potencial (EC/EP).

Utilizamoslasexpresiones:

E k xP =1

22

E E E k A k x k A xC M P= - = - = -1

2

1

2

1

22 2 2 2( )

Obtenemoslarelacinentreambas:

EE

k A x

k x

A xx

A AA

C

P

/3/3

= -

= - = -1

2

1

2

2 2

2

2 2

2

2 2( )

( )( ))

( )2

2

2

18= - =A

A1/9

1/9

20. Una partcula describe un movimiento vibratorio armnico de amplitud A y pulsacin . Si duplicamos a la vez la amplitud y el periodo del movimiento, cambiar la energa cintica de la partcula cuando pase por el punto central de la oscilacin? Cambiar su energa potencial en ese punto? Justifique la respuesta.

Enesteproblema:

E E E k A k x k A xC M P= - = - = -1

2

1

2

1

22 2 2 2( )

E k xP =1

22

Enelpuntocentraldelaoscilacin,x= 0,porloquelaenergapotencialsersiemprenula.Enesepunto:

E k AC =1

22

Paraelosciladorarmnico:

k m mT

E mT

A

k

= = = w 22

2

2

224 1

2

4C

Siseduplicanalavezlaamplitudyelperiodo:

E mT

A EC C' = =1

2

4

22

2

22

( )( )

Esdecir,laenergacinticanovara.

833523 _ 0205-0244.indd 220 14/5/09 08:20:42

13


21. Una partcula de masa m = 0,1 kg oscila armni camente en la forma x = A sen t, con amplitud A = 0,2 m y frecuencia angular = 2 rad/s.

a) Calcula la energa mecnica de la partcula.

b) Determina y representa grficamente las energas potencial y cintica de m en funcin de la elongacin x.

a) Sepuedeobtenerlaenergamecnicadelapartculaapartirdelaexpresin:

E E E k A x k x k AM C P= + = - + =

1

2

1

2

1

22 2 2 2( )

Paraunosciladorarmnico:

k m

E k A

= = =

= =

w 2 2

2

0 1 2 3 95

1

2

1

23 95 0

, ( ) ,

,

Nm

M

,, ,2 7 9 102 2= - J

b) Enestecaso:

E k x k A t

E

P

P

[sen

[se

= = +

=

1

2

1

20 079

2 20

2( )]

,

w f

nn( )]2 2 t

Energapotencial: Energacintica:

E tP [sen= 0 079 2 2, ( )] E tC = 0 079 2 2, [cos( )]

Un oscilador armnico se encuentra en un instante determinado en una posicin que es igual a un tercio de su amplitud A. Determina para dicho instante la relacin existente entre la energa cintica y la energa potencial (EC/EP).

(Canarias. Junio, 2005)

Utilizamoslasexpresiones:

Obtenemoslarelacinentreambas:

EE

k A x

k x

A xx

A AA

C

P

/3/3

= -

= - = -1

2

1

2

2 2

2

2 2

2

2 2( )

( )( ))

( )2

2

2

18= - =A

A1/9

1/9

Una partcula describe un movimiento vibratorio armnico de amplitud A y pulsacin . Si duplicamos a la vez la amplitud y el periodo del movimiento, cambiar la energa cintica de la partcula cuando pase por el punto central de la oscilacin? Cambiar su energa potencial en ese punto? Justifique la respuesta.

(Catalua. Septiembre, 2007)

Enesteproblema:

Enelpuntocentraldelaoscilacin,x= 0,porloquelaenergapotencialsersiemprenula.Enesepunto:

Paraelosciladorarmnico:

Siseduplicanalavezlaamplitudyelperiodo:

Esdecir,laenergacinticanovara.

0,08

0,04

050 1 2 3 4

E P(J)

t (s)

0,04

00 1 2 3 4 5

0,08

E C(J)

t (s)

E m A t

k A t

C = + =

=

1

21

2

2 20

2

2

w w f

w

[cos( )]

[cos( ++

=

f

02

20 079 2

)]

, [cos( )]

E tC

833523 _ 0205-0244.indd 221 22/5/09 12:18:26

14


23. Las lneas siguientes representan la posicin frente al tiempo para dos mviles con MAS. Obsrvalas y responde:

a) Cul de los dos mviles tarda ms en completar una oscilacin? b) Cul de los dos mviles tiene mayor energa mec nica? c) Suponiendo que los dos mviles tienen la misma masa, cul de ellos

se ve sometido a una mayor fuerza de recuperacin?

a) ElmvilAtardamsencompletarunaoscilacin,yaquelaseparacinentremximosconsecutivosesmayorenestecasoqueenlagrficaB.Estosignificaquesuperiododeoscilacinesmayory,portanto,tardamsencompletarunaoscilacin.

b) ParaunmvilconMAS,laenergamecnicaes:

[1]

Laconstantekvale:

[2]

Relacionandolasexpresiones[1]y[2]:

Suponiendoqueambosmvilestienenlamismamasa(como

seindicaenelapartadoc),ydadoqueambostienenlamismaamplitud(A),laenergamecnicaresultaserinversamenteproporcionalalcuadradodelperiodo.LamasaAtieneunperiododeoscilacinmayor,loqueindicaquetieneunaenergamecnicamenorquelamasaB.

c) ParaunmvilconMAS,lafuerzaderecuperacines :


x

x

t

-x

x'

-x'

0

A

B

a) Cul de los dos mviles tarda ms en completar una oscilacin? b) Cul de los dos mviles tiene mayor energa mecnica? c) Suponiendo que los dos mviles tienen la misma masa, cul de ellos


a) Losdosmvilestardanelmismotiempoencompletarunaoscilacin.ElperiododelMASsecalculaapartirdelaseparacinentredosmximossucesivosdelagrfica.Estaseparacinesidnticaenamboscasos.

b) Como:

E E E k A x k x k AM C P= + = - + =

1

2

1

2

1

22 2 2 2( )

resultaquelaenergamecnicaesdirectamenteproporcionalalcuadradodelaamplituddelMAS.DadoquelaamplitudesmayorenelcasodelagrficaA,tambinsermayorsuenergamecnica.

Laenergamecnicatambindependedek.Suponemosquesecumpleloqueseindicaenelapartadoc),dedondesededucequektieneelmismovalorparaambosmviles.

c) ParaunmvilconMAS,lafuerzaderecuperacinesF k x= - .Enestecaso:

k mT

=

22

Silasmasassoniguales,ambosmvilestienenlamismaconstantedeelasticidad,yaque,comohemosrazonado,tienenelmismoperiododeoscilacin.

Enlagrficasemuestraque,enunmismoinstante,elvalordexdelmvilBesmenorqueeldelmvilA,porloquelafuerzarecuperadoradelmvilAesmayorqueladelBencadainstante.

833523 _ 0205-0244.indd 222 14/5/09 08:20:44

15



A

B

x

x

t

-x

0

a) Cul de los dos mviles tarda ms en completar una oscilacin? b) Cul de los dos mviles tiene mayor energa mec nica? c) Suponiendo que los dos mviles tienen la misma masa, cul de ellos


a) ElmvilAtardamsencompletarunaoscilacin,yaquelaseparacinentremximosconsecutivosesmayorenestecasoqueenlagrficaB.Estosignificaquesuperiododeoscilacinesmayory,portanto,tardamsencompletarunaoscilacin.

b) ParaunmvilconMAS,laenergamecnicaes:

E E E k A x k x k AM C P= + = - + =

1

2

1

2

1

22 2 2 2( ) [1]

Laconstantekvale:

k m

T=

22 [2]

Relacionandolasexpresiones[1]y[2]:

E m

TAM =

1

2

2 2

22( )

Suponiendoqueambosmvilestienenlamismamasa(comoseindicaenelapartadoc),ydadoqueambostienenlamismaamplitud(A),laenergamecnicaresultaserinversamenteproporcionalalcuadradodelperiodo.LamasaAtieneunperiododeoscilacinmayor,loqueindicaquetieneunaenergamecnicamenorquelamasaB.

c) ParaunmvilconMAS,lafuerzaderecuperacinesF k x= - :

k m

T=

22

Las lneas siguientes representan la posicin frente al tiempo para dos mviles con MAS. Obsrvalas y responde:

a) Cul de los dos mviles tarda ms en completar una oscilacin? b) Cul de los dos mviles tiene mayor energa mecnica? c) Suponiendo que los dos mviles tienen la misma masa, cul de ellos


a) Losdosmvilestardanelmismotiempoencompletarunaoscilacin.ElperiododelMASsecalculaapartirdelaseparacinentredosmximossucesivosdelagrfica.Estaseparacinesidnticaenamboscasos.

b) Como:

resultaquelaenergamecnicaesdirectamenteproporcionalal

cuadradodelaamplituddelMAS.DadoquelaamplitudesmayorenelcasodelagrficaA,tambinsermayorsuenergamecnica.

Laenergamecnicatambindependedek.Suponemosquesecumpleloqueseindicaenelapartadoc),dedondesededucequektieneelmismovalorparaambosmviles.

c) ParaunmvilconMAS,lafuerzaderecuperacines .Enestecaso:

Silasmasassoniguales,ambosmvilestienenlamismaconstantedeelasticidad,yaque,comohemosrazonado,tienenelmismoperiododeoscilacin.

Enlagrficasemuestraque,enunmismoinstante,elvalordexdelmvilBesmenorqueeldelmvilA,porloquelafuerzarecuperadoradelmvilAesmayorqueladelBencadainstante.

833523 _ 0205-0244.indd 223 14/5/09 08:20:45

16


Elenunciadoespecificaqueparat= 0,v= 0.Portanto:

Elongacin:

Velocidad:

Ambasgrficassonfuncionessinusoidalesconelmismoperiodo.Lasdosgrficasestndesfasadas/2.

b) Laenergapotenciales:

Parat= 0,x= 0,5cm:

Portanto:

Sisuponemosquelasmasassoniguales,laconstantedeelasticidadserinversamenteproporcionalalcuadradodelperiododeoscilacin.EstosignificaquelaconstanterecuperadoradelamasaAesmenorqueladelamasaB,yaquetieneunperiodomayor.Paraunmismox,lafuerzarecuperadoradelamasaAesmenorqueladelamasaB.Observandolagrficavemosque,dependiendodelinstanteconsiderado,laxdelamasaBpuedesermayor,menoroigualqueladelamasaA.Portanto,nosepuedepredecir,concarctergeneral,qumasatendrmayorfuerzaderecuperacin.

24. Dos partculas tienen un MAS con la misma frecuencia y amplitud y se mueven en la misma trayectoria. Si se cruzan en el centro de la trayectoria, la diferencia de fase entre ellas ser:

a) /2 radianes. d) /4 radianes. b) radianes. e) /3 radianes. c) 3/2 radianes.

Larespuestacorrectaeslab),yaqueenunmovimientogobernadoporunafuncinsenoidalestoequivaleaundesfasede180(invertirelsigno)y,portanto,secruzarnenlosmismospuntosconsentidodeavanceopuesto.

25. Una partcula de masa m, que solo puede moverse a lo largo del eje OX, se sita inicialmente (t = 0) en la posicin x = x0 y se libera con velocidad nula. Sobre ella acta una fuerza, dirigida segn el eje OX, F = kx, donde k es una constante positiva.

a) Qu tipo de movimiento realiza la partcula? Describe analtica y grficamente cmo dependen del tiempo su posicin, x (t), y su velocidad, v (t).

b) Para m = 0,1 kg, k = 30 N/m y x0 = 0,5 cm, calcula las energas cintica y potencial de la partcula cuando pasa por x = 0.

a) DescribirunMAS,unmovimientooscilatorioaambosladosdelaposicindeequilibrio(x = 0).Lafuerzarecuperadoraserlaqueproduzcalaoscilacin,oponindosealavancedelapartcula.ElmovimientoessiempreenladireccindelejeX,yaquetantoelmovimientodelapartculacomolafuerzarecuperadoraactanenesteeje.

LasecuacionesquedeterminanlaposicinylavelocidaddeunmvilconMASson:

x A t= +cos( )w f0

vdxdt

A t= = - +w w fsen( )0

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17


Elenunciadoespecificaqueparat= 0,v= 0.Portanto:

0 0 0 00 0 0= - + = =w f f fA sen sen( )

Elongacin:

-A

A

Tiempo

Velocidad:

Tiempo

0

4

vmx.

-vmx.

-0,4

Ambasgrficassonfuncionessinusoidalesconelmismoperiodo.Lasdosgrficasestndesfasadas/2.

b) Laenergapotenciales:

E k xP = = =1

2

1

230 0 02

Parat= 0,x= 0,5cm:

0,5 cm cm= =A Acos( ) ,w 0 0 51

Portanto:

E k A xC J= - = - = -1

2

1

230 0 005 0 3 75 102 2 2 4( ) ( , ) ,

Sisuponemosquelasmasassoniguales,laconstantedeelasticidadserinversamenteproporcionalalcuadradodelperiododeoscilacin.EstosignificaquelaconstanterecuperadoradelamasaAesmenorqueladelamasaB,yaquetieneunperiodomayor.Paraunmismox,lafuerzarecuperadoradelamasaAesmenorqueladelamasaB.Observandolagrficavemosque,dependiendodelinstanteconsiderado,laxdelamasaBpuedesermayor,menoroigualqueladelamasaA.Portanto,nosepuedepredecir,concarctergeneral,qumasatendrmayorfuerzaderecuperacin.

Dos partculas tienen un MAS con la misma frecuencia y amplitud y se mueven en la misma trayectoria. Si se cruzan en el centro de la trayectoria, la diferencia de fase entre ellas ser:

a) /2 radianes. d) /4 radianes. b) radianes. e) /3 radianes. c) 3/2 radianes.

Larespuestacorrectaeslab),yaqueenunmovimientogobernadoporunafuncinsenoidalestoequivaleaundesfasede180(invertirelsigno)y,portanto,secruzarnenlosmismospuntosconsentidodeavanceopuesto.

Una partcula de masa m, que solo puede moverse a lo largo del eje OX, se sita inicialmente (t = 0) en la posicin x = x0 y se libera con velocidad nula. Sobre ella acta una fuerza, dirigida segn el eje OX, F = kx, donde k es una constante positiva.

a) Qu tipo de movimiento realiza la partcula? Describe analtica y grficamente cmo dependen del tiempo su posicin, x (t), y su velocidad, v (t).

b) Para m = 0,1 kg, k = 30 N/m y x0 = 0,5 cm, calcula las energas cintica y potencial de la partcula cuando pasa por x = 0.


a) DescribirunMAS,unmovimientooscilatorioaambosladosdelaposicindeequilibrio(x = 0).Lafuerzarecuperadoraserlaqueproduzcalaoscilacin,oponindosealavancedelapartcula.ElmovimientoessiempreenladireccindelejeX,yaquetantoelmovimientodelapartculacomolafuerzarecuperadoraactanenesteeje.

LasecuacionesquedeterminanlaposicinylavelocidaddeunmvilconMASson:

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Elvalordelavelocidadescero,porloqueelcuerpoestarenalgunodelosextremos(elongacinmxima).Elvalordelaaceleracincorrespondienteeselmximo.Comolaaceleracinesdevalornegativo,resultaqueelresorteestarprximoasucompresinmxima.

27. Una masa de 20 g realiza un movimiento vibratorio armnico simple en el extremo de un muelle que realiza dos oscilaciones por segundo, siendo la amplitud del movimiento 5 cm.

Calcula: a) La velocidad mxima que llega a alcanzar la masa que oscila. b) La aceleracin de la masa en el extremo del movimiento vibratorio

armnico. c) La constante del muelle.

(Cantabria. Septiembre, 2007)

a) Calculamoslafrecuenciaangularapartirdelafrecuenciadeoscilacindeterminadaenelenunciado.

Lavelocidadmximaalaquesemuevelamasapuedeobtenerse

apartirde:

b) LaaceleracinalaquesemueveelMASsecalculaas:

c) Obtenemoslaconstantedelmuelle:

28. Un objeto realiza un MAS. Cules de las siguientes magnitudes son proporcionales entre s?:

a) La elongacin y la velocidad. b) La fuerza recuperadora y la velocidad. c) La aceleracin y la elongacin.

(Galicia. Septiembre, 2006)

a) LaexpresindelavelocidadenunMASes:

Portanto,vyxnosondirectamenteproporcionales.

26. Estiramos un resorte 5 cm y lo dejamos oscilar libremente, resultando que completa una oscilacin cada 0,2 s.

Determina:

a) La ecuacin que nos permite conocer su posicin en funcin del tiempo. b) La velocidad y la aceleracin a la que estar sometido su extremo libre

a los 15 s de iniciado el movimiento. Interpreta el resultado.

a) Elmovimientoempiezaenelpuntodemximaelongacin:A = 0,05m.Apartirdelperiodocalculamoslafrecuenciaangular:

w = = =2 20 2

10T , s

rad/s

Contodosestosdatospodemosexpresarlaposicinenfuncindeltiempocomo:

x A t= +sen( )w f0Parat= 0,x= A:

A A= + =sen( )w f f 02

0 0

Portanto:

x t= +

0 05 10 2

, sen m

b) Lavelocidadseobtienederivandolaexpresindelaelongacinconrespectoaltiempo:

vdxdt

d A tdt

A t= = + = +[ ( )] cos( )sen w f w w f0 0

v t= +

10 0 05 10 2

, cos m/s

Parat= 15s:

v t( ) , cos= = +

=15 1 571 10 15 2

s 0 m/s

Laaceleracinsecalculaderivandolaexpresindelavelocidadconrespectoaltiempo:

advdt

d A tdt

A t= = + = - +[ cos( )] (w w f w w f0 2 sen 00)

a t= - +

( ) ,10 0 05 10 2

2 sen m/s2

Parat= 15s:

a t( ) ( ) ,= = - +

15 10 0 05 10 15

22s sen = -49,35 m/s

2

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19


Elvalordelavelocidadescero,porloqueelcuerpoestarenalgunodelosextremos(elongacinmxima).Elvalordelaaceleracincorrespondienteeselmximo.Comolaaceleracinesdevalornegativo,resultaqueelresorteestarprximoasucompresinmxima.

27. Una masa de 20 g realiza un movimiento vibratorio armnico simple en el extremo de un muelle que realiza dos oscilaciones por segundo, siendo la amplitud del movimiento 5 cm.

Calcula: a) La velocidad mxima que llega a alcanzar la masa que oscila. b) La aceleracin de la masa en el extremo del movimiento vibratorio

armnico. c) La constante del muelle.

a) Calculamoslafrecuenciaangularapartirdelafrecuenciadeoscilacindeterminadaenelenunciado.

n w n

w

= = = =

=

2 ciclos1 s

2Hz Hz

rad/s

2 2 2

4

Lavelocidadmximaalaquesemuevelamasapuedeobtenerseapartirde:

v Amx. = = =w 4 0 05 0 63rad/s m m/s, ,

b) LaaceleracinalaquesemueveelMASsecalculaas:

a x A= - = - = - = -w w 2 2 24 0 05 ( ) ( ,rad/s) m 7,9 m/s2 2

c) Obtenemoslaconstantedelmuelle:

k m= = =w 2 20 02 4 3 16, ( ) , N

m

28. Un objeto realiza un MAS. Cules de las siguientes magnitudes son proporcionales entre s?:

a) La elongacin y la velocidad. b) La fuerza recuperadora y la velocidad. c) La aceleracin y la elongacin.

a) LaexpresindelavelocidadenunMASes:

v A x= -w2 2

Portanto,vyxnosondirectamenteproporcionales.

Estiramos un resorte 5 cm y lo dejamos oscilar libremente, resultando que completa una oscilacin cada 0,2 s.

Determina:

a) La ecuacin que nos permite conocer su posicin en funcin del tiempo. b) La velocidad y la aceleracin a la que estar sometido su extremo libre

a los 15 s de iniciado el movimiento. Interpreta el resultado.

a) Elmovimientoempiezaenelpuntodemximaelongacin:A = 0,05m.Apartirdelperiodocalculamoslafrecuenciaangular:

Contodosestosdatospodemosexpresarlaposicinenfuncindeltiempocomo:

Parat= 0,x= A:

Portanto:

b) Lavelocidadseobtienederivandolaexpresindelaelongacinconrespectoaltiempo:

Parat= 15s:

Laaceleracinsecalculaderivandolaexpresindelavelocidadconrespectoaltiempo:

Parat= 15s:

a t( ) ( ) ,= = - +

15 10 0 05 10 15

22s sen = -49,35 m/s

2

833523 _ 0205-0244.indd 227 14/5/09 08:20:48

20


PodemosobtenerlafrecuenciaangulardelMASconeldatodelperiodo:

a) Cuandolapartculapasaporelcentrodeoscilacin,laelongacinesnula(x = 0):

b) Necesitamosconocerlasexpresionesdex,vyaenfuncindeltiempo:

Obtengamoslafaseinicial.Suponiendoquecomienzasumovimientoenlaposicindeequilibrio:t= 0,x= 0:

Entonces:

Derivandolaposicin:

Ylaaceleracines:

Teniendoencuentaelvalordelperiodo,lapartculatarda1senllegardesdelaposicindeequilibrioaunextremo.Tenemosquecalcularx,vyaenelinstantet= 1,5s:

b) LaexpresindelafuerzarecuperadoradelMASes:

F m a m x= = - ( )w2

Portanto,lafuerzarecuperadoraylavelocidadnosonproporcionalesentres.

c) LaexpresindelaaceleracindeunMASes:

advdt

d A tdt

A t

= = + =

= - +

[ cos( )]

(

w w f

w w

0

2 sen ff w0 2) = - xPortanto,laaceleracinylaelongacinsonmagnitudesdirectamenteproporcionales.

29. Una partcula que describe un movimiento armnico simple recorre una distancia de 16 cm en cada ciclo de su movimiento, y su aceleracin mxima es de 48 m/s2. Calcule:

a) La frecuencia y el periodo del movimiento. b) La velocidad mxima de la partcula.

a) LaaceleracinmximadeunMASsepuedeobtenerapartirde:a A= w2 .Siencadaciclorecorre16cm,suelongacinmximaesA = 8cm.ConestopodemosobtenerlafrecuenciaangulardelMAS:

a AaA

= = = =w w2 480 08

24 5 m/sm

rad/s,

,

Como:

w n n w

= = = =22

24 5

2 , rad/s 3,9Hz

Elperiodoes:

T = = =1 13 9n , Hz

0,26 s

b) Lavelocidadmximadeunapartculaes:

v A= = =w 24 5 0 08, ,rad/s m 1,96m/s

30. Una partcula oscila segn un movimiento armnico simple de 8 cm de amplitud y 4 s de periodo. Calcula su velocidad y aceleracin en los siguientes casos:

a) Cuando la partcula pase por el centro de oscilacin. b) Medio segundo despus de que la partcula haya pasado

por uno de los extremos de la trayectoria.

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21


PodemosobtenerlafrecuenciaangulardelMASconeldatodelperiodo:

w = = =2 24 2T s

rad/s

a) Cuandolapartculapasaporelcentrodeoscilacin,laelongacinesnula(x = 0):

v A x= - = - = =w 2 2 2 22

0 08 02

0 08, , 0,126m/s

a x= - = - =w w2 2 0 0

b) Necesitamosconocerlasexpresionesdex,vyaenfuncindeltiempo:

x A t= +( )cos w f0Obtengamoslafaseinicial.Suponiendoquecomienzasumovimientoenlaposicindeequilibrio:t= 0,x= 0:

0 0 02

0 0 0= +( ) = =A cos cosw f f f rad

Entonces:

x t= +

0 08 2 2

, cos

m

Derivandolaposicin:

vdxdt

d A tdt

A t= = + = - + =

= -

[ cos( )]( )

w f w w f0 0sen

00 082 2 2

, +

sen m/st

Ylaaceleracines:

a x t= - = -

+

w

22

20 08

2 2, cos

m/s

2

Teniendoencuentaelvalordelperiodo,lapartculatarda1senllegardesdelaposicindeequilibrioaunextremo.Tenemosquecalcularx,vyaenelinstantet= 1,5s:

x t( , ) , cos ,= = +

= -1 5 0 08 2

1 52

s 0,0

557m

v t( , ) , ,= = - +

=1 5 0 08 2 2

1 52

s sen

00 089, m/s

a t x t( , ) ( , ) ( ,= = - = -

-1 5 1 5 2

022

s sw 0057) = 0,141m/s2

b) LaexpresindelafuerzarecuperadoradelMASes:

Portanto,lafuerzarecuperadoraylavelocidad

nosonproporcionalesentres.

c) LaexpresindelaaceleracindeunMASes:

Portanto,laaceleracinylaelongacinsonmagnitudesdirectamenteproporcionales.

Una partcula que describe un movimiento armnico simple recorre una distancia de 16 cm en cada ciclo de su movimiento, y su aceleracin mxima es de 48 m/s2. Calcule:

a) La frecuencia y el periodo del movimiento. b) La velocidad mxima de la partcula.

(C. Madrid. Septiembre, 2006)

a) LaaceleracinmximadeunMASsepuedeobtenerapartirde:.

Siencadaciclorecorre16cm,suelongacinmximaesA = 8cm.ConestopodemosobtenerlafrecuenciaangulardelMAS:

Como:

Elperiodoes:

b) Lavelocidadmximadeunapartculaes:

Una partcula oscila segn un movimiento armnico simple de 8 cm de amplitud y 4 s de periodo. Calcula su velocidad y aceleracin en los siguientes casos:

a) Cuando la partcula pase por el centro de oscilacin. b) Medio segundo despus de que la partcula haya pasado

por uno de los extremos de la trayectoria.

(P. Asturias. Junio, 2003)

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22


31. Un cuerpo de masa M = 0,1 kg oscila armnicamente en torno al origen O de un eje OX. En la figura se representa la aceleracin de M en funcin del tiempo.

10

5

0

-5

-100 0,1 0,2 0,3 0,4

t(s)

a(m/s2)

a) Determina la frecuencia y la amplitud de oscilacin de M. b) Determina y representa grficamente la energa cintica de M

en funcin del tiempo.

a) Lafrecuenciadeoscilacindelamasaserlamismaquelafrecuenciadeoscilacindesuaceleracin.Susperiodosyfrecuenciasangularestambinsoncoincidentes:T = 0,2s.Portanto:

w w n

n w

= = = =

= =

2 2

0 210 2

2

10

T , srad/s

rad/s

22

= 5Hz

CalculamoslaamplitudconeldatodelaaceleracinmximadelMAS:

a A Amx. 2m/s= = = w 2 210 10 10 ( )

A = = =-1010

1 013 10 12

2

( ),

m ,013 cm

b) LaenergacinticainstantneaenunMASsecorrespondeconlasiguienteexpresin:

E mv m A tC = = 1

2

1

22 2 2 2w w[cos( )]

Identificandolostrminosconlosdatosquetenemosseobtienelaexpresin:

E tC = -1

20 1 10 1 013 10 102 2 2, ( ) ( , ) [cos( )] 22

3 25 06 10 10

E tC J= -, [cos( )]

Representacingrfica:

32. a) En un movimiento armnico simple, cul es la relacin entre la energa total y la am plitud?

b) Un oscilador armnico se encuentra en un momento dado en una posicin igual a la mitad de su amplitud (x = A/2). Cul es la relacin entre la energa cintica y potencial en ese momento?

(Cantabria. Junio, 2003)

a) EnunMASlaenergamecnicatotalencadapuntosepuedeobtenerapartirde:

Portanto,laenergamecnicatotalesfuncindelcuadradodelaamplitud.

b) LasenergascinticaypotencialenunMASsepuedencalcularapartirde:

Calculamoslarelacinentreambas:

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23


Un cuerpo de masa M = 0,1 kg oscila armnicamente en torno al origen O de un eje OX. En la figura se representa la aceleracin de M en funcin del tiempo.

a) Determina la frecuencia y la amplitud de oscilacin de M. b) Determina y representa grficamente la energa cintica de M

en funcin del tiempo.


a) Lafrecuenciadeoscilacindelamasaserlamismaquelafrecuenciadeoscilacindesuaceleracin.Susperiodosyfrecuenciasangularestambinsoncoincidentes:T = 0,2s.Portanto:

CalculamoslaamplitudconeldatodelaaceleracinmximadelMAS:

b) LaenergacinticainstantneaenunMASsecorrespondeconlasiguienteexpresin:

Identificandolostrminosconlosdatosquetenemosseobtienelaexpresin:

Representacingrfica:

t(s)

EC(J)0,006

0,004

0,002

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00

32. a) En un movimiento armnico simple, cul es la relacin entre la energa total y la am plitud?

b) Un oscilador armnico se encuentra en un momento dado en una posicin igual a la mitad de su amplitud (x = A/2). Cul es la relacin entre la energa cintica y potencial en ese momento?

a) EnunMASlaenergamecnicatotalencadapuntosepuedeobtenerapartirde:

E E E k A x k x k AM C P= + = - + =1

2

1

2

1

22 2 2 2( )

Portanto,laenergamecnicatotalesfuncindelcuadradodelaamplitud.

b) LasenergascinticaypotencialenunMASsepuedencalcularapartirde:

E k xP =1

22

E mv m A x k A xC = = - = -1

2

1

2

1

22 2 2 2 2 2w ( ) ( )

Calculamoslarelacinentreambas:

EE

k A x

k x

A xx

EE

AA

C

P

C

P

= -

= -

=-

1

2

1

2

2

2 2

2

2 2

2

2

( )

= -

2

2

2

2

11

4

A

A

=

A21

4

3

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24


Lavelocidadmximaesv= wA,ylaenergacinticadeunMASse

obtienecomo ,porloquelaenergacinticamximaser:

a) Definimoslafrecuenciaangularenfuncindelaconstantek:

Llamamosw'alanuevafrecuenciaangular:

b) LlamamosE 'Calanuevaenergacintica:

As,laenergacinticamximanohavariado.

c) Llamamosv 'alanuevavelocidadmxima,queser:

36. Un bloque de 0,5 kg cuelga del extremo inferior de un resorte de constante elstica k = 72 N m1. Al desplazar el bloque verticalmente hacia abajo de su posicin de equilibrio comienza a oscilar, pasando por el punto de equilibrio con una velocidad de 6 m s1.

a) Razone los cambios energticos que se producen en el proceso. b) Determine la amplitud y la frecuencia de oscilacin.

(Andaluca, 2006)

a) ObservamosloscambiosenergticosproducidosenlaoscilacindeunMASproducidaporunresorte,talycomoseplanteaenelenunciado:

33. Supn un mvil que describe un MAS con una amplitud igual a 10 cm y con una frecuencia de 0,2 Hz. En qu punto de su trayectoria las energas cintica y potencial coinciden?

VeamoslasexpresionesdelaenergacinticaypotencialenfuncindelaposicindelMAS:

E k xP =1

22

E mv m A x k A xC = = - = -1

2

1

2

1

22 2 2 2 2 2w ( ) ( )

Queremosdeterminarenqupuntoseigualan:

E E k x k A x x A x x AP C= = - = - = 1

2

1

222 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )

x A= = = =-2

0 1

27 07 10 2

,,

mm 7,07 cm

34. De dos resortes con la misma constante elstica k se cuelgan sendos cuerpos con la misma masa. Uno de los resortes tiene el doble de longitud que el otro. El cuerpo vibrar con la misma frecuencia? Razone su respuesta.

Tenemos:

k m mk

m= = =

w n n

2 2

22

4( )

Sededucequelafrecuenciadependedelaconstanteelsticaylamasa,peronodelalongituddelmuelle.Comolaconstantekylamasadeloscuerposeslamisma,lavibracintendrlamismafrecuenciaaunquevarelalongituddelresorte.

35. A un muelle de constante elstica k le colocamos una masa m0. Al estirarlo un valor A, comienza a oscilar con una frecuencia angular o pulsacin 0, teniendo una energa cintica mxima E0 y una velocidad mxima v0. Si al mismo muelle en lugar de m0 le colocamos una masa 4m0 y lo estiramos el mismo valor A, en funcin de 0, E0 y v0, determinar:

a) La nueva frecuencia angular. b) La nueva energa cintica mxima. c) La nueva velocidad mxima.

Laexpresinquepermitedeterminarelvalordelaconstanteelsticakenfuncindelosparmetrosdadosenelenunciadoes:k = mw2.

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25


Lavelocidadmximaesv= wA,ylaenergacinticadeunMASse

obtienecomoE mvC =1

22 ,porloquelaenergacinticamximaser:

E mv m AC = = 1

2

1

22 2( )w

a) Definimoslafrecuenciaangularenfuncindelaconstantek:

w w= =km

km

00

Llamamosw'alanuevafrecuenciaangular:

w w''

= = = = km

km

km4

1

2

1

20 00

b) LlamamosE 'Calanuevaenergacintica:

E m A m AC' ' '= =

1

2

1

24

1

22

0 0

2

( )w w == =12

0 02

0m A E( )w C

As,laenergacinticamximanohavariado.

c) Llamamosv 'alanuevavelocidadmxima,queser:

v A A v' '= = =w w12

1

20 0

36. Un bloque de 0,5 kg cuelga del extremo inferior de un resorte de constante elstica k = 72 N m1. Al desplazar el bloque verticalmente hacia abajo de su posicin de equilibrio comienza a oscilar, pasando por el punto de equilibrio con una velocidad de 6 m s1.

a) Razone los cambios energticos que se producen en el proceso. b) Determine la amplitud y la frecuencia de oscilacin.

a) ObservamosloscambiosenergticosproducidosenlaoscilacindeunMASproducidaporunresorte,talycomoseplanteaenelenunciado:

0Mxima

compresin Equilibrio

Mximoestiramiento

T 4

T 2

-A

A

T 4

EC=0

EP=1 2kA2 EC=

1 2kA2

EP=0EC=0

EP=1 2kA2

Supn un mvil que describe un MAS con una amplitud igual a 10 cm y con una frecuencia de 0,2 Hz. En qu punto de su trayectoria las energas cintica y potencial coinciden?

VeamoslasexpresionesdelaenergacinticaypotencialenfuncindelaposicindelMAS:

Queremosdeterminarenqupuntoseigualan:

E E k x k A x x A x x AP C= = - = - = 1

2

1

222 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )

De dos resortes con la misma constante elstica k se cuelgan sendos cuerpos con la misma masa. Uno de los resortes tiene el doble de longitud que el otro. El cuerpo vibrar con la misma frecuencia? Razone su respuesta.

(Castilla y Len. Junio, 2006)

Tenemos:

Sededucequelafrecuenciadependedelaconstanteelsticaylamasa,peronodelalongituddelmuelle.Comolaconstantekylamasadeloscuerposeslamisma,lavibracintendrlamismafrecuenciaaunquevarelalongituddelresorte.

A un muelle de constante elstica k le colocamos una masa m0. Al estirarlo un valor A, comienza a oscilar con una frecuencia angular o pulsacin 0, teniendo una energa cintica mxima E0 y una velocidad mxima v0. Si al mismo muelle en lugar de m0 le colocamos una masa 4m0 y lo estiramos el mismo valor A, en funcin de 0, E0 y v0, determinar:

a) La nueva frecuencia angular. b) La nueva energa cintica mxima. c) La nueva velocidad mxima.

(Cantabria. Junio, 2005)

Laexpresinquepermitedeterminarelvalordelaconstanteelsticakenfuncindelosparmetrosdadosenelenunciadoes:k = mw2.

3

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26


Aspues,laenergamecnicatotalesconstante,deacuerdoconelteoremadeconservacindelaenergamecnica.

EC(x )+EP(x )

EP(x )

EC(x )

+A-A 0x

E

Enelpuntodeequilibriodelosciladorlaenergapotencialsernula,ylaenergacinticasermximaeigualalaenergamecnicatotal.Enlosextremosdelaoscilacinlaenergacinticasernulaylaenergapotencialserigualalaenergamecnicatotal.

b) Comosepuedeobservarenelgrficodelapartadoanterior,alpasarporelpuntodeequilibriosetienelavelocidadmximadelMAS,v= wA.Porotraparte,conocemoselvalordelaconstantedeelasticidaddelresorte,queenfuncindelafrecuenciaangularpuedeexpresarsecomok= mw2.Apartirdeesteltimodatoobtendremoselvalordelafrecuenciaangular:

w = = =km

72

0 5

N/mkg

12 rad/s,

Portanto:

Av= = =w

6

12

m/srad/s

0,5m

37. Un muelle se deforma 12 cm cuando se cuelga de l una partcula de 2 kg de masa.

a) Determina la constante elstica k del muelle. b) A continuacin se separa otros 10 cm de la posicin de equilibrio

y se deja oscilar en libertad. Cules son la frecuencia angular y el periodo de oscilacin en estas condiciones?

c) Escribe la ecuacin de la posicin de la partcula en funcin del tiempo. (g = 9,81 m/s2.)

a) Apartirdelpeso:

b) Calculamoslafrecuencia:

Yelperiodo:

Tantolafrecuenciaangularcomoelperiododelaoscilacin

sonindependientesdelaamplituddelMAS.

c) Consideramosqueelmovimientoseiniciaensuposicindeelongacinmxima.UtilizamoslaecuacincosenoidaldelMAS,yaquelafuncincosenoesmximaent = 0.

38. Un cuerpo de 200 g de masa est en reposo y colgado de un muelle cuya constante elstica es de 5 N/m. Se tira de dicho cuerpo con una fuerza de 0,3 N y se le abandona libremente. Suponiendo ausencia de rozamiento:

a) Calcular la amplitud y la pulsacin del movimiento vibratorio. Proporcionar la expresin matemtica de la ecuacin del movimiento

vibratorio armnico simple (suponer que en t = 0 la constante de fase es 3/2).

b) Determinar los valores mximos de la velocidad y de la aceleracin de dicho movimiento vibratorio.


a)Laexpresindelafuerzaenfuncindelaelongacines:F= kx.Cuandosetiradelcuerpoparaluegoliberarlo,selellevaasuelongacinmxima.Conociendolaconstantedelresorteylafuerzaquesehaaplicado(lafuerzaderecuperacinserequivalente,perodesentidocontrario),sepuedeobtenerlaamplitudresultante:

Teniendoencuentaque:

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27


Aspues,laenergamecnicatotalesconstante,deacuerdoconelteoremadeconservacindelaenergamecnica.

Enelpuntodeequilibriodelosciladorlaenergapotencialsernula,ylaenergacinticasermximaeigualalaenergamecnicatotal.Enlosextremosdelaoscilacinlaenergacinticasernulaylaenergapotencialserigualalaenergamecnicatotal.

b) Comosepuedeobservarenelgrficodelapartadoanterior,alpasarporelpuntodeequilibriosetienelavelocidadmximadelMAS,v= wA.Porotraparte,conocemoselvalordelaconstantedeelasticidaddelresorte,queenfuncindelafrecuenciaangularpuedeexpresarsecomok= mw2.Apartirdeesteltimodatoobtendremoselvalordelafrecuenciaangular:

Portanto:

Un muelle se deforma 12 cm cuando se cuelga de l una partcula de 2 kg de masa.

a) Determina la constante elstica k del muelle. b) A continuacin se separa otros 10 cm de la posicin de equilibrio

y se deja oscilar en libertad. Cules son la frecuencia angular y el periodo de oscilacin en estas condiciones?

c) Escribe la ecuacin de la posicin de la partcula en funcin del tiempo. (g = 9,81 m/s2.)

(Castilla-La Mancha, 2006)

a) Apartirdelpeso:

P m g F k x

km g

x

= - = = -

= = =

2 9 80 12

163kg m/s

m

2,,

,333Nm

b) Calculamoslafrecuencia:

k m

km

= = = =w w2 163 332

, N/mkg

9,04 rad/s

Yelperiodo:

T

mk

= = =2 2 2163 33

kgN/m

0,695 s,

TantolafrecuenciaangularcomoelperiododelaoscilacinsonindependientesdelaamplituddelMAS.

c) Consideramosqueelmovimientoseiniciaensuposicindeelongacinmxima.UtilizamoslaecuacincosenoidaldelMAS,yaquelafuncincosenoesmximaent = 0.

x A t t= = cos( ) , cos( , )w 0 1 9 04 m

38. Un cuerpo de 200 g de masa est en reposo y colgado de un muelle cuya constante elstica es de 5 N/m. Se tira de dicho cuerpo con una fuerza de 0,3 N y se le abandona libremente. Suponiendo ausencia de rozamiento:

a) Calcular la amplitud y la pulsacin del movimiento vibratorio. Proporcionar la expresin matemtica de la ecuacin del movimiento

vibratorio armnico simple (suponer que en t = 0 la constante de fase es 3/2).

b) Determinar los valores mximos de la velocidad y de la aceleracin de dicho movimiento vibratorio.

a)Laexpresindelafuerzaenfuncindelaelongacines:F= kx.Cuandosetiradelcuerpoparaluegoliberarlo,selellevaasuelongacinmxima.Conociendolaconstantedelresorteylafuerzaquesehaaplicado(lafuerzaderecuperacinserequivalente,perodesentidocontrario),sepuedeobtenerlaamplitudresultante:

F k A AFk

= = = = = 0 35

0, NN/m

,06m 6 cm

Teniendoencuentaque:

k mkm

= = = =w w2 50 2

N/mkg

5 rad/s,

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28


40. Para el resorte del ejercicio anterior, determina el valor de la velocidad y la aceleracin cuando se encuentra a 2 cm de la posicin de equilibrio. Haz un estudio del signo que tendrn estas magnitudes.

Suponemosx>0pordebajodelaposicindeequilibrio(inicio:muelleestirado).A2cmdelaposicindeequilibrio(pordebajo),x>0.Velocidad:

Aceleracin:

Elsignodelavelocidadserpositivomientraselmuelleseestestirando,ynegativomientrasseestcomprimiendo.Elsignodelaaceleracinserelcontrario:negativocuandoseestestirandoypositivocuandoseestcomprimiendo.

41. Para medir el tiempo construimos un reloj de pndulo formado por una bola metlica unida a una cuerda. Lo hacemos oscilar de manera que en los extremos toque unas lminas metlicas.

a) Cul debe ser la longitud de la cuerda si queremos que de un toque al siguiente haya un intervalo de tiempo de 1 s?

b) Con el tiempo, es muy probable que la cuerda se estire. Significa esto que nuestro reloj va ms rpido o ms lento?

Dato: suponemos que el pndulo es ideal y que estamos en un lugar en que g = 9,8 m s2.

Siqueremosqueduntoquecadasegundoylaslminassecolocanaamboslados,elperiodototaldeoscilacindelpnduloserT = 2s.Enellibrodelalumnosehadeducidoqueparaunpndulo:

Conlosresultadosobtenidos:

x t= +

0 06 5

3

2, sen m

b) Secalculanlosvaloressolicitados:

v Amx. rad/s m 0,3m/s= = =w 5 0 06, a Amx. 2rad/s m 1,5m/s= = =w2 25 0 06,

39. De un resorte de 40 cm de longitud se cuelga un peso de 50 g de masa y, alcanzado el equilibrio, la longitud del resorte es de 45 cm. Se estira con la mano el conjunto masa-resorte 6 cm y se suelta.

Obtener: a) La constante del resorte. b) La ecuacin del MAS que describe el movimiento. c) Deduce la ecuacin de la energa potencial elstica.

(g = 9,8 m/s2.)

a) Comoalcolgarlamasaelconjuntosehaestiradode40a45cm,resultaquelamasahaproducidounaelongacinde5cm.Conocidaesta,obtendremoslaconstantekapartirdelpeso:

P m g F k x

km g

x

= - = = -

= = =

0 05 9 80 05

9, ,

,kg N/kg

m,,8 N/m

b) Consideramosqueelmovimientoseiniciaensuposicindemximaelongacin.Describiremoselmovimientomedianteunafuncincosenoidal,yaquelafuncincosenoesmximaent = 0:

x A t= cos( )wDeacuerdoconelenunciado,laelongacinmximaserA= 6cm.Calculamoslafrecuenciaangular:

k mkm

= = = =w w2 9 80 05

,,N/mkg

14 rad/s

Portanto:x t= 0 06 14, ( )cos m

c) Laenergapotenciales:

E k x k A tP = = = 1

2

1

2

1

29 8 0 062 2 2 2[cos( )] , , [cw oos( )]

, [cos( )]

14

1 76 10 14

2

2 2

= -

t

E t

P J

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29


40. Para el resorte del ejercicio anterior, determina el valor de la velocidad y la aceleracin cuando se encuentra a 2 cm de la posicin de equilibrio. Haz un estudio del signo que tendrn estas magnitudes.

Suponemosx>0pordebajodelaposicindeequilibrio(inicio:muelleestirado).A2cmdelaposicindeequilibrio(pordebajo),x>0.Velocidad:

v A x= - = - =w 2 2 2 214 0 06 0 02 0 79rad/s m m m/s2 2, , ,Aceleracin:

a x= - = - = -w2 214 0 02 3 92( , ,rad/s) m m/s2

Mximacompresin

EC=1 2kA2

EP=0

Elsignodelavelocidadserpositivomientraselmuelleseestestirando,ynegativomientrasseestcomprimiendo.Elsignodelaaceleracinserelcontrario:negativocuandoseestestirandoypositivocuandoseestcomprimiendo.

41. Para medir el tiempo construimos un reloj de pndulo formado por una bola metlica unida a una cuerda. Lo hacemos oscilar de manera que en los extremos toque unas lminas metlicas.

a) Cul debe ser la longitud de la cuerda si queremos que de un toque al siguiente haya un intervalo de tiempo de 1 s?

b) Con el tiempo, es muy probable que la cuerda se estire. Significa esto que nuestro reloj va ms rpido o ms lento?

Dato: suponemos que el pndulo es ideal y que estamos en un lugar en que g = 9,8 m s2.

Siqueremosqueduntoquecadasegundoylaslminassecolocanaamboslados,elperiodototaldeoscilacindelpnduloserT = 2s.Enellibrodelalumnosehadeducidoqueparaunpndulo:

gL

Lg g

T

= = =

=

ww

22 2

2

9 8

2

2

, m/s

s

2

= =2 2

9 80

,

m ,993m

Conlosresultadosobtenidos:

b) Secalculanlosvaloressolicitados:

De un resorte de 40 cm de longitud se cuelga un peso de 50 g de masa y, alcanzado el equilibrio, la longitud del resorte es de 45 cm. Se estira con la mano el conjunto masa-resorte 6 cm y se suelta.

Obtener: a) La constante del resorte. b) La ecuacin del MAS que describe el movimiento. c) Deduce la ecuacin de la energa potencial elstica.

(g = 9,8 m/s2.)(Galicia. Septiembre, 2007)

a) Comoalcolgarlamasaelconjuntosehaestiradode40a45cm,resultaquelamasahaproducidounaelongacinde5cm.Conocidaesta,obtendremoslaconstantekapartirdelpeso:

b) Consideramosqueelmovimientoseiniciaensuposicindemximaelongacin.Describiremoselmovimientomedianteunafuncincosenoidal,yaquelafuncincosenoesmximaent = 0:

Deacuerdoconelenunciado,laelongacinmximaserA= 6cm.Calculamoslafrecuenciaangular:

Portanto:

c) Laenergapotenciales:

E k x k A tP = = = 1

2

1

2

1

29 8 0 062 2 2 2[cos( )] , , [cw oos( )]

, [cos( )]

14

1 76 10 14

2

2 2

= -

t

E t

P J

Mximoestiramiento(inicio)

EC=0

EP=1 2kA2

EC=0

EP=1 2kA2

A2cmdelaposicin

deequilibrio(x>0)

-A0

AEquilibrio

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30


b) Lavelocidadsepuedeexpresaras: .Apartirdek:

Entonces:

43. Un cuerpo de 5 kg se desplaza sobre una superficie cuyo coe ficiente de rozamiento es 0,2 a una velocidad de 3 m/s. En un momento dado impacta con un resorte y queda unido a l vibrando como un oscilador armnico. Si el muelle tiene una constante k = 750 N/m, determina:

a) La mxima compresin que puede alcanzar el muelle. b) La distancia que recorre el oscilador hasta pararse.

a) Enestecaso,laenergacinticadelcuerpoquesedeslizaseinvierteenenergapotencialelsticayenvencereltrabajoderozamientomientrassealcanzalacompresinmxima.

Elbalanceeselsiguiente:

Comovemos,debidoalrozamientolaamplitudesmenorqueenlaactividadanterior.

b) Elresorteestaroscilandohastaquetodalaenergacinticainicialsehayatransformadoentrabajoderozamiento.Calculamoselespacioqueharecorridoelcuerpo:

Larelacinentrelalongituddelhiloyelperiododeoscilacindelpndulovienedadaporlaexpresin:

TLg

= 2

SiLaumenta,aumentartambinTy,conesto,sermayorlaseparacinentretoquessucesivos.Estosignificaquelavelocidaddisminuyeyelrelojvamslento.

42. Un cuerpo de 5 kg se desplaza sobre una superficie sin rozamiento a una velocidad de 3 m/s. En un momento dado impacta con un resorte y queda unido a l vibrando como un oscilador armnico. Si el muelle tiene una constante k = 750 N/m, determina:

a) La mxima compresin que puede alcanzar el muelle. b) La velocidad del oscilador cuando se encuentre a la mitad

de la compresin mxima.

a) Laenergacinticadelcuerpoquesedeslizasetransformaenenergapotencialelsticadelresorte.Laenergacinticainicialcoincideconlaenergapotencialdelresorteenestadodecompresinmxima.

O

1

2

k

Deacuerdoconelprincipiodeconservacindelaenerga:

E E E E E E E EM M C P C P C P1 2 1 1 2 2 1 2= + = + =

Calculamoslaenergacinticaquetenaelcuerpoensumovimiento:

E mvC = = =

1

2

1

25 3 22 52 2 kg (m/s) J2 ,

Estaenergacoincideconlaenergapotencialmximadelresorte:

E k A A

E

kPmx.

Pmx. J

N/m0,2= = = =1

2

2 2 22 5

7502 , 445m

LamximacompresinquepuedealcanzarelmuelleesA= 0,245m.

833523 _ 0205-0244.indd 238 14/5/09 08:20:58

31


b) Lavelocidadsepuedeexpresaras:v A x= -w 2 2 .Apartirdek:

k m

km

= = = =w w2 7505

12 25 N/mkg

rad/s,

Entonces:

v A x= - =

= ( ) -

w 2 2

212 25 0 245

0 245

2, ,

,rad/s m

m

=2

2,6m/s

43. Un cuerpo de 5 kg se desplaza sobre una superficie cuyo coe ficiente de rozamiento es 0,2 a una velocidad de 3 m/s. En un momento dado impacta con un resorte y queda unido a l vibrando como un oscilador armnico. Si el muelle tiene una constante k = 750 N/m, determina:

a) La mxima compresin que puede alcanzar el muelle. b) La distancia que recorre el oscilador hasta pararse.

a) Enestecaso,laenergacinticadelcuerpoquesedeslizaseinvierteenenergapotencialelsticayenvencereltrabajoderozamientomientrassealcanzalacompresinmxima.

O

1

2

k

Elbalanceeselsiguiente:

E E F AC P elstica R= + 1

2

1

22 2m v k A mg A = +

12

5 31

2750 0 2 5 9 82 2 = + A A, ,

22 5 375 9 82, ,= + =A A A 0,232mComovemos,debidoalrozamientolaamplitudesmenorqueenlaactividadanterior.

b) Elresorteestaroscilandohastaquetodalaenergacinticainicialsehayatransformadoentrabajoderozamiento.Calculamoselespacioqueharecorridoelcuerpo:

1

2

1

25 3 0 2 5 9 82 2m v mg s s s = = = , , 2,3m

Larelacinentrelalongituddelhiloyelperiododeoscilacindelpndulovienedadaporlaexpresin:

SiLaumenta,aumentartambinTy,conesto,sermayorlaseparacinentretoquessucesivos.Estosignificaquelavelocidaddisminuyeyelrelojvamslento.

Un cuerpo de 5 kg se desplaza sobre una superficie sin rozamiento a una velocidad de 3 m/s. En un momento dado impacta con un resorte y queda unido a l vibrando como un oscilador armnico. Si el muelle tiene una constante k = 750 N/m, determina:

a) La mxima compresin que puede alcanzar el muelle. b) La velocidad del oscilador cuando se encuentre a la mitad

de la compresin mxima.

a) Laenergacinticadelcuerpoquesedeslizasetransformaenenergapotencialelsticadelresorte.Laenergacinticainicialcoincideconlaenergapotencialdelresorteenestadodecompresinmxima.

Deacuerdoconelprincipiodeconservacindelaenerga:

Calculamoslaenergacinticaquetenaelcuerpo

ensumovimiento:

Estaenergacoincideconlaenergapotencialmximadelresorte:

E k A A

E

kPmx.

Pmx. J

N/m0,2= = = =1

2

2 2 22 5

7502 , 445m

LamximacompresinquepuedealcanzarelmuelleesA= 0,245m.

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32


a) Necesitamosdeterminarlapendientedelarectaresultantedelasobservaciones.

Paraello,tomamosdospuntosdelamisma,expresandolascantidadesenunidadesdelSI:

A(0,05,0,13).

B(0,2,0,42). Lapendienteser:

Tenemosencuentaque:

Queda:

b) Cuandoseestiraelmuelleapareceunafuerzarecuperadoraqueleobligaarealizarunmovimientoarmnicosimple.Comosehadeducidoenellibrodelalumno,elcuadradodelperiododeoscilacinesdirectamenteproporcionalalamasadelresorte.

44. La grfica representa la fuerza que debe hacerse para estirar un muelle en funcin de su alargamiento. Cunto vale la constante recuperadora del muelle? Cunto trabajo hay que hacer para estirar el muelle 30 cm a partir de su longitud natural?

200

00 40

F(N)

L(cm)

DadoqueF= kx,siidentificamosx= Lenlagrfica,resultaquelaconstanterecuperadoraserlapendientedelamisma:

k = =2000 4

500Nm

N/m,

Podemoscalculareltrabajocomoladiferenciadeenergapotencialentreambospuntos.Ensulongitudnatural,laenergapotencialesnula.A30cmdelaposicindeequilibrio:

E k x WP N/m m 22,5 J= = ( ) = =12

1

2500 0 32

2,

45. Un estudiante dispone de un muelle y de cuatro masas (M), las cuales suspende sucesivamente del primero y realiza experimentos de pequeas oscilaciones, midiendo en cada caso el periodo de oscilacin (T). El estudiante representa los resultados experimentales segn se muestra en la figura.

0,4

0,3

0,2

0,1

0,00 25 50 75 100 125 150 175 200

T2(s2)

M(g)

Se pide:a) Determinar la constante elstica del muelle.b) Justificar fsicamente el comportamiento observado.

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33


a) Necesitamosdeterminarlapendientedelarectaresultantedelasobservaciones.

Paraello,tomamosdospuntosdelamisma,expresandolascantidadesenunidadesdelSI:

A(0,05,0,13).

B(0,2,0,42). Lapendienteser:

ayx

= = --

=

0 42 0 13

0 2 0 051 933

, ,, ,

,

0,4

0,3

0,2

0,1

0,00 25 50 75 100 125 150 175 200

T2(s2)

M(g)

Tenemosencuentaque:

TMk

= 2

y= ax + b

T 2= 42

k M+ 0

Queda:

1 9334 4

1 93320 42

2 2

,,

,= = = k

k N/m

b) Cuandoseestiraelmuelleapareceunafuerzarecuperadoraqueleobligaarealizarunmovimientoarmnicosimple.Comosehadeducidoenellibrodelalumno,elcuadradodelperiododeoscilacinesdirectamenteproporcionalalamasadelresorte.

La grfica representa la fuerza que debe hacerse para estirar un muelle en funcin de su alargamiento. Cunto vale la constante recuperadora del muelle? Cunto trabajo hay que hacer para estirar el muelle 30 cm a partir de su longitud natural?

(Catalua. Septiembre, 2007) L(cm)

DadoqueF= kx,siidentificamosx= Lenlagrfica,resultaquelaconstanterecuperadoraserlapendientedelamisma:

Podemoscalculareltrabajocomoladiferenciadeenergapotencialentreambospuntos.Ensulongitudnatural,laenergapotencialesnula.A30cmdelaposicindeequilibrio:

Un estudiante dispone de un muelle y de cuatro masas (M), las cuales suspende sucesivamente del primero y realiza experimentos de pequeas oscilaciones, midiendo en cada caso el periodo de oscilacin (T). El estudiante representa los resultados experimentales segn se muestra en la figura.

Se pide:a) Determinar la constante elstica del muelle.b) Justificar fsicamente el comportamiento observado.


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34


Conestedatocalculamosgenlasuperficiedelplaneta:

Comoseestudieneltema2,elvalordegenlasuperficiedelplanetaes:

47. Se construye un pndulo colgando un cuerpo de 1 kg de una cuerda de 1 m. Se le hace oscilar de manera que el cuerpo llega a subir hasta una altura de medio metro en la posicin ms elevada. Calcula la velocidad en el punto ms bajo de las dos formas siguientes:

a) Utilizando el principio de conservacin de la energa. b) Considerando que describe un MAS. c) Explica las diferencias que se obtienen entre ambos resul tados.

a) Segnelprincipiodeconservacindelaenerga:

TomandocomocerodeenergapotenciallaquetienelabolaenA:

b) SidescribeunMAS,enelpuntomsbajodelatrayectoriatendrunavelocidad:

Elperiododelpnduloes:

CalculamosApormediodelarelacintrigonomtrica:

Entonces:

c) ElmovimientodeestepndulonocorresponderealmenteaunMAS,yaquelaamplitudangularexcedeconmucholos15enlosqueseadmitelaequivalenciaq.senq.

cosq = 0,5/1q = arccos0,5 = 60

46. Un astronauta realiza un viaje espacial a un planeta del Sistema Solar. Durante su aproximacin determina, con sus aparatos de telemetra, el radio de dicho planeta, que resulta ser R = 3,37 106 m. Una vez en la superficie del planeta utiliza un pndulo simple, formado por una pequea esfera de plomo y un hilo de 25 cm de longitud, y realiza el anlisis de sus oscilaciones, variando la amplitud angular de la oscilacin () y midiendo, en cada caso, el tiempo (t) correspondiente a 5 oscilaciones completas del pndulo. El astronauta representa los valores experimentales segn la grfica:

q()

10,0

9,5

9,0

8,5

8,0

7,5

7,00 10 20 30 40 50 60 70 80 90

t(s)

a) Comentar fsicamente los resultados mostrados en la figura.b) Determinar la masa del planeta.Dato: G = 6,67 1011 N m2/kg2.

a) Elperiododelpnduloserelacionaconsulongitudyelvalordegenelpuntodondeoscila:

TLg

= 2

Deacuerdoconladeduccinqueserecogeenellibrodelalumno,elperiodoesindependientedelaamplitudangularsiemprequeestanoexcedade15,yaque,paravaloresmsaltos,nosecumplelasimplificacinq.senq.Enlagrficaseobservaqueeltiempoquetardaelpnduloendarcincooscilaciones(y,portanto,superiodo)aumentaamedidaqueaumentalaamplitudangular.Paraamplitudesmayoresde15elmovimientodelpndulodejadeserarmnico.

b) Enlagrficaleemosqueelperiododelpnduloes:

T = =TiempoN. de oscilaciones

8,4 s5 oscilaciones

== 1,68 s

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35


Conestedatocalculamosgenlasuperficiedelplaneta:

gT

L= = =4 41 68

0 25 3 52

2

2

2

( ,

, ,s)

m m/s2

Comoseestudieneltema2,elvalordegenlasuperficiedelplanetaes:

g GMR

Mg R

G= = =

=

-2

2 6 2

11

3 5 3 37 10

6 67 106 , ( , )

,,,55 1020 kg

47. Se construye un pndulo colgando un cuerpo de 1 kg de una cuerda de 1 m. Se le hace oscilar de manera que el cuerpo llega a subir hasta una altura de medio metro en la posicin ms elevada. Calcula la velocidad en el punto ms bajo de las dos formas siguientes:

a) Utilizando el principio de conservacin de la energa. b) Considerando que describe un MAS. c) Explica las diferencias que se obtienen entre ambos resul tados.

a) Segnelprincipiodeconservacindelaenerga:

E E E E E E E EMA MB C A P A CB PB C A PB= + = + = TomandocomocerodeenergapotenciallaquetienelabolaenA:

1

2

2 2 9 8 0 5

2mv mgh

v g h

A

A 3,13 m/s

=

= = =

, ,

b) SidescribeunMAS,enelpuntomsbajodelatrayectoriatendrunavelocidad:

v AT

Amx. = = w2

Elperiododelpnduloes:

TLg

= = =2 2 19 8

mm/s

2 s2,

CalculamosApormediodelarelacintrigonomtrica:

A = - =( ( ,1 0 52 2m) m) 0,87m

Entonces:

vT

Amx.s

m 2,73m/s= = =2 22

0 87

,

c) ElmovimientodeestepndulonocorresponderealmenteaunMAS,yaquelaamplitudangularexcedeconmucholos15enlosqueseadmitelaequivalenciaq.senq.

cosq = 0,5

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