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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
ESCOLA POLITCNICA
CURSO DE GRADUAO EM ENGENHARIA ELTRICA
Relatrio Laboratrio Integrado VI
Controle
Ederaldo
Geraldo
Rodrigo
Nailson Santos
Maio de 2012
2
SUMRIO
INTRODUO ...................................................................................... 3
DESENVOLVIMENTO ........................................................................... 4
Estudo da instrumentao ......................................................................................................................... 4
Estudo do processo e obteno do modelo............................................................................................... 5
Diagrama de blocos do modelo no linear ................................................................................................ 5
Linearizao ............................................................................................................................................... 6
Teste de malha aberta ............................................................................................................................... 6
Matriz de transferncia .............................................................................................................................. 7
Projeto dos Controladores ......................................................................................................................... 8
o Malha de controle do tanque 01 ........................................................................................................... 8
o Malha de controle do tanque 02 ......................................................................................................... 11
Desacoplamento ...................................................................................................................................... 13
Simulao dos controladores no Simulink ............................................................................................... 14
CONCLUSO ...................................................................................... 16
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ........................................................ 16
ANEXOS ............................................................................................. 17
Cdigo do programa em Matlab ....................................................................................................................... 17
Grfico das simulaes ...................................................................................................................................... 19
INTRODUO
Este documento tem a finalidade de descrever as etapas seguidas durante a execuo das
atividades da disciplina Laboratrio Integrado VI.
O trabalho consistiu basicamente na modelagem do sistema, proposta dos controladores e
simulao.
O sistema composto de dois tanques acop
entradas de gua, uma para cada tanque e, semelhantemente, duas sadas. Conforme a
figura abaixo:
finalidade de descrever as etapas seguidas durante a execuo das
atividades da disciplina Laboratrio Integrado VI.
O trabalho consistiu basicamente na modelagem do sistema, proposta dos controladores e
O sistema composto de dois tanques acoplados com seces transversais variveis, duas
entradas de gua, uma para cada tanque e, semelhantemente, duas sadas. Conforme a
3
finalidade de descrever as etapas seguidas durante a execuo das
O trabalho consistiu basicamente na modelagem do sistema, proposta dos controladores e
lados com seces transversais variveis, duas
entradas de gua, uma para cada tanque e, semelhantemente, duas sadas. Conforme a
4
DESENVOLVIMENTO
Estudo da instrumentao
O sistema real estudado possui duas bombas que succionam a gua de um reservatrio e
descarregam nos tanques. Essas bombas so descritas pela equao a seguir, que relaciona a
tenso de entrada (Vi) com a vazo de sada (Qi):
= 7.53. + 64.2. 70.8
Alm das bombas o sistema possui dois sensores que indicam o nvel (h) dos tanques. Os
sensores indicam o nvel atravs de um sinal de tenso (Vs) seguindo a equao:
= 0.1311.5
Os perifricos citados acima so de extrema importncia para o funcionamento real do
sistema, contudo foram desconsiderados durante a modelagem do sistema. Isso porque,
como as equaes que os descrevem j so conhecidas possvel adicionar esses blocos ao
sistema posteriormente.
O controlador ser projetado para que tenha um sinal de controle em vazo e a sada do
sistema concede a informao de altura do nvel dos tanques. Combinando as funes da
bomba e dos sensores, inclusive as suas funes inversas possvel montar um sistema em
blocos que relaciona corretamente todas as variveis de entrada e sada, conforme o
diagrama:
5
Estudo do processo e obteno do modelo
Os tanques possuem seco transversal varivel, isto , a rea da seco varia com a altura,
da a no linearidade do sistema. Assim, foram obtidas as seguintes expresses que
relacionam a rea da seco com a altura do tanque:
= 9.5. 8.7 + 0.586. ; = 9.5 2 9.5 4.5
Sendo h1 e h2 o nvel dos tanques 1 e 2.
Em seguida foram levantadas as equaes diferenciais que descrevem a dinmica do
sistema:
= =!""# 1
1$3
1 2$5 + %1
1
1 2$5
2$4+ %2 &
''(
Sendo:
Ri- representa a resistncia oferecida pelas vlvulas passagem dgua.
$3 = 11.39 ; $4 =1
1.39 ; $5 = 2.5
Diagrama de blocos do modelo no linear
6
Linearizao
Com as equaes diferenciais no lineares pode-se aplicar a tcnica de no linearizao para
o ponto de equilbrio:
1_*% = 7 2_*% = 11
Define-se as vazes de entrada que levam o sistema para o ponto de equilbrio especificado:
%1 = 8.13; %2 = 16.89Tem-se tambm as matrizes A, B, C, D que representam o sistema em um modelo no espao
de estados:
+ = ,0.0147 0.00330.0030 0.0136- ; . = ,0.0082 0
0 0.0076-
= ,1 01 1- ; / = 001
Teste de malha aberta
O diagrama em blocos acima foi montado com o intuito de testar o funcionamento dos
sistemas em malha aberta e validar o modelo em torno do ponto de equilbrio. Ou seja,
foram adicionados de maneira incremental a partir do ponto de equilbrio degraus unitrios
a cada 200s para o tanque 1 no modelo linearizado e no modelo no linear a fim de observar
o comportamento de ambas as curvas.
7
No grfico a seguir a curva de cor roxa representa o modelo no linear e a curva amarela o
modelo linearizado. Pode-se verificar que para os primeiros degraus as curvas se mantm
muito semelhantes, contudo a partir do ltimo degrau observa-se uma mudana brusca na
tendncia das curvas, principalmente a curva do modelo no linear.
Portanto, o modelo linearizado vlido nas proximidades do ponto de equilbrio.
Constatado isso possvel projetar os controladores para o caso linearizado, devido a
simplicidade do projeto, e utiliz-lo no caso no linear para a regio em torno do ponto de
equilbrio sem prejuzos.
Matriz de transferncia
O sistema em anlise multivarivel com duas entradas, por isso ao invs de apresentar
uma funo de transferncia verifica-se uma matriz de transferncia de ordem 2 com os
elementos a seguir:
2 = 4 +5 . + /
2 = 2 22 2 `
2 = 0.0082224s + 0.0136s + 0.01737s + 0.01095
8
2 = 2.4985e 005s + 0.01737s + 0.01095
2 = 2.4985e 005s + 0.01737s + 0.01095
2 = 0.0075967s + 0.01472s + 0.01737s + 0.01095
Os elementos com ndice diferentes (G12 e G21) so as funes de transferncia que
representam o acoplamento do sistema, ou seja, o acoplamento entre os tanques.
Projeto dos Controladores
Para projetar os controladores sero consideradas duas situaes: o caso servo e o caso
regulador. Visando a obteno de um controlador que possibilite erro em regime
permanente nulo e utilizando o princpio da parcimnia, sero propostos controladores do
tipo PI (proporcional integrador) com a seguinte forma:
= 89 + :
Assim, a proposta do controlador compreende a alocao do zero (Z) adequadamente e o
ajuste do ganho Kp a fim de alocar os polos de malha fechada no local apropriado.
Para o controlador 1 ser utilizada a funo G11 e para o controlador 2 a funo G22.
o Malha de controle do tanque 01
Caso Servo
Para o caso servo ser utilizada a metodologia de alocar o zero (Z) a 5% esquerda do polo
mais afastado do zero da planta. Tem-se:
: = 1.05 0.01737 = 0.0182385
9
O ganho do controlador ser determinado para que haja um polo a 5% esquerda do zero j
alocado. Pode-se calcular:
; = 1.05 0.0182385 = 0.01915
De posse do valor deste polo com o auxlio do Matlab pode-se determinar o valor do ganho
que ser igual a: 89 = 7.0. Portanto, o controlador assume a seguinte forma:
= 2 0.01737 = 0.03474
O zero que possibilita um ponto de bifurcao nesta posio dado por:
2 = 0
10
Com o auxlio do Matlab pode se determinar facilmente qual o ganho do controlador que
permite que os polos de malha fechada estejam em cima deste ponto de bifurcao:
89 = 6.7. O controlador assume a seguinte forma:
G = 6.7 + 0.0224
Tem-se ento o seguinte LR:
Pr-Filtro:
Para o caso regulador comum utilizar-se um pr-filtro a montante do controlador de com
a finalidade de eliminar o sobre-sinal no momento em que o controlador proposto para o
caso regulador estiver sendo utilizado para seguir uma referncia, ou seja, como caso servo.
O pr-filtro consiste em uma funo de transferncia com ganho unitrio e um plo na
mesma posio do zero do controlador. Assim, tem-se o seguinte pr-filtro para a malha do
tanque 1:
;HJK=HL1 = 0.0224 + 0.0224
Vale dizer que quando o pr-filtro est sendo utilizado soma-se a vazo de equilbrio ao
sistema de forma que o sinal de referncia injetado no sistema a partir de agora dever ser
incremental.
11
o Malha de controle do tanque 02
Caso Servo
Para o caso servo ser utilizada a metodologia de alocar o zero (Z) a 5% esquerda do polo
mais afastado do zero da planta. Tem-se:
: = 1.05 0.01095 = 0.0114975
O ganho do controlador ser determinado para que haja um polo a 5% esquerda do zero
j alocado. Pode-se calcular:
; = 1.05 0.0182385 = 0.01207237
De posse do valor deste polo com o auxlio do Matlab pode-se determinar o valor do ganho
que ser igual a: 89 = 6.25.
Portanto o controlador assume a seguinte forma:
12
Caso Regulador
Para o caso regulador ser utilizada a estratgia de alocar os polos de malha fechada em um
ponto de bifurcao localizado a aproximadamente duas vezes o polo mais distante do zero
da planta. Portanto o ponto de bifurcao ser:
;=.> = 2 0.01095 = 0.0219
O zero que possibilita um ponto de bifurcao nesta posio dado por:
2 = 0
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Desacoplamento
o Modelo Linearizado
Para realizar o desacoplamento do sistema de forma que mudanas no set-point de um
tanques no influencie no outro tanque pode ser feito atravs da utilizao de um artifcio
matemtico. O sinal de controle (Ui(s)) ser modificado para o sinal virtual (Vi(s)), segundo as
equaes a seguir:
\ = $ ]
\ = $ ]
= \ 2
2
= \ 2
2
] = 2. + 2.
] = 2. + 2.
Manipulando algebricamente as expresses pode-se observar que possvel efetuar o
cancelamento da influncia entre os tanques. Isso permite que durante as simulaes
quando a referncia alterada ou uma perturbao ocorre em apenas um dos tanques o
outro no sofre alterao.
o Modelo No Linear
O desacoplamento do modelo no linear foi realizado adicionando ao sinal de controle o
termo que anula a influncia do tanque 1 no tanque 2 e vice-versa. Isso se caracteriza por
uma realimentao de estado. Com isso, faz-se necessrio o clculo de novas vazes de
equilbrio, ou seja, vazes de entrada que mantm o sistema nos pontos de equilbrio
escolhidos. Assim, tem-se o novo sinal de controle (q1 e q2) e as novas vazes de equilbrio:
%1 = ^1 2$5 ; %2 = ^2 1$5
%1*% = 12.53; %2*% = 16.69
14
Simulao dos controladores no Simulink
Utilizando o Simulink foram montados os diagramas em bloco que permitiram a simulao
dos seguintes circuitos: Modelo No Linear; Modelo No Linear Desacoplado; Modelo
Linearizado; Modelo Linearizado Desacoplado.
Para facilitar a comparao e anlise dos resultados todos os circuitos foram testados
seguindo o mesmo mtodo:
No tempo 100s a referncia do tanque 1 teve o acrscimo do degrau unitrio.
No tempo 400s a referncia do tanque 2 teve o acrscimo do degrau unitrio.
No tempo 600s o tanque 1 sofre uma perturbao negativa.
No tempo 800s o tanque 2 sofre uma perturbao positiva.
O esquemtico acima representa o diagrama de blocos montado no Simulink para simular o
funcionamento dos controladores em cada modelo j citado. Para os demais casos, apenas o
bloco Modelo No Linear foi substitudo pelo seu respectivo bloco.
15
Os grficos
1. Modelo No Linear e No Linear Desacoplado:
Observou-se que em ambos os tanques o controlador para o caso servo teve um menor
tempo de subida, contudo no tanque um apresentou um pequeno sobre-sinal. J para a
rejeio de perturbao o controlador para o caso regulador foi mais rpido. Porm, a
diferena foi muito pequena.
Para o caso acoplado percebe-se claramente a influncia de um tanque no outro, ou seja
quando alterou-se o set-point do tanque um o tanque dois apresentou uma pequena
variao.
Aps efetuar o desacoplamento, percebe-se que no h mais influncia de um tanque no
outro e os controladores continuam apresentando o mesmo desempenho.
2. Modelo Linearizado e Linearizado desacoplado.
O desempenho dos controladores no modelo linearizado foi semelhante ao do modelo no
linear. Esse resultado j era esperado, pois o controlador foi projetado baseado no modelo
linearizado, validado para trabalhar nas proximidades do ponto de operao e j testado no
modelo no linear com bom aproveitamento. Assim, observa-se controlador caso servo foi
mais rpido na mudana de set-point com pequeno sobre-sinal e o caso servo melhor no
rejeio de perturbaes. Todavia, o desempenho para a rejeio de perturbao em ambos
os casos foi muito semelhante.
O desacoplamento do sistema com a utilizao das entradas virtuais j apresentadas
tambm mostrou-se muito eficiente. Visto que, durante a simulao do modelo linear ficou
ntida a influncia dos tanques e aps o desacoplamento no se observa mais alteraes no
nvel dos tanques quando se altera o nvel de um dos tanques.
16
CONCLUSO
A atividade proposta consistiu em modelar um sistema com dois tanques acoplados, propor
controladores para este sistema e simular o funcionamento dos mesmos no sistema.
Conforme descrito neste relatrio, foi possvel a realizao de todas essas etapas
satisfatoriamente.
A modelagem do sistema se mostrou vlida e os controladores propostos cumpriram
adequadamente a funo de seguir um sinal de referncia e/ou rejeitar as perturbaes no
sistema.
A eficincia dos controladores, bem como a comparao entre os controladores propostos
para o caso servo e regulador, pode ser observada atravs das simulaes com o Simulink.
Atravs da atividade descrita neste relatrio contribuiu significativamente para a formao
acadmica dos autores, pois por meio dela foi possvel consolidar os conhecimentos obtidos
durante a graduao, principalmente, nas disciplinas Modelagem e Anlise de Sistemas
Dinmicos e Sistemas de Controle I.
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. Prentice Hall. 4a edio, 2003.
17
ANEXOS
Cdigo do programa em Matlab
%Universidade Federal da Bahia %DEE- Departamento de Eng. Eltrica %Laboratrio Integrado VI - Controle %Prof Tito Luis Maia Santos %Alunos: Ederaldo, Geraldo, Nailson e Rodrigo. %Declarao de variveis simblicas syms h1 h2 q1 q2; %Equao da rea dos tanques em funo da altura c1=9.5*(8.7+0.586*h1); c2=9.5*2*sqrt(9.5^2-(h2-4.5)^2); %Definio das constantes R3=1/1.39; R4=1/1.39; R5=2.5; %Definio da altura de equilbrio h1_eq=7; h2_eq=11; %PARA O MODELO NO LINEAR ACOPLADO - Definio da Vazo de equilbrio: dh=[(1/c1)*(-h1/R3 -(h1-h2)/R5 + q1) ; (1/c2)*((h1-h2)/R5 -h2/R4 + q2)]; dh1=subs(dh(1,1),[h1 h2],[h1_eq h2_eq]); dh2=subs(dh(2,1),[h1 h2],[h1_eq h2_eq]); q1_eq=solve(dh1); q2_eq=solve(dh2); q1eq=eval(q1_eq); q2eq=eval(q2_eq); %PARA O MODELO NO LINEAR DESACOPLADO - Definio da Vazo de equilbrio: dh_des=[(1/c1)*(-h1/R3 -(h1-h2)/R5 -h2/R5 + q1) ; (1/c2)*((h1-h2)/R5 -h2/R4 -h1/R5 + q2)]; dh_des1=subs(dh_des(1,1),[h1 h2],[h1_eq h2_eq]); dh_des2=subs(dh_des(2,1),[h1 h2],[h1_eq h2_eq]); q1_eq_des=solve(dh_des1); q2_eq_des=solve(dh_des2); q1eqdes=eval(q1_eq_des); q2eqdes=eval(q2_eq_des); %Clculo das Matrizes do Mmodelo no espao de estados %Jacobiano: Jacob_A=jacobian(dh,[h1 h2]); Jacob_B=jacobian(dh,[q1 q2]); A=eval(subs(Jacob_A,[q1 q2 h1 h2],[q1_eq q2_eq h1_eq h2_eq])); B=eval(subs(Jacob_B,[q1 q2 h1 h2],[q1_eq q2_eq h1_eq h2_eq])); C=[1 0 ; 0 1]; D=[0 0 ; 0 0]; %GErao da Matriz de transferncia: I=[1 0 ; 0 1]; s=tf([1 0],1); G=C*inv(s*I-A)*B+D;
18
zpk(G) %Colhendo os coeficientes das Funes de transferncia G: [num1,den1]=tfdata(G(1,1),'v'); [num2,den2]=tfdata(G(1,2),'v'); [num3,den3]=tfdata(G(2,1),'v'); [num4,den4]=tfdata(G(2,2),'v'); %Gerao das funo de transferncia T %para o desacoplamento do caso linearizado: T1=G(2,2)*G(1,1)/(G(1,1)*G(2,2)-G(1,2)*G(2,1)); T2=G(2,2)*G(1,2)/(G(1,1)*G(2,2)-G(1,2)*G(2,1)); T3=G(1,1)*G(2,2)/(G(1,1)*G(2,2)-G(1,2)*G(2,1)); T4=G(1,1)*G(2,1)/(G(1,1)*G(2,2)-G(1,2)*G(2,1)); %Colhendo os coeficientes das Funes de transferncia T: [numT1,denT1]=tfdata(T1,'v'); [numT2,denT2]=tfdata(T2,'v'); [numT3,denT3]=tfdata(T3,'v'); [numT4,denT4]=tfdata(T4,'v');
19
Grfico das simulaes
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100011
11.2
11.4
11.6
11.8
12
12.2
7
7.2
7.4
7.6
7.8
8
8.2
Time offset: 0
Simulao - Modelo LinearTanque 1
Tanque 2
Caso regulador
Caso servo
NailsonLine
NailsonLine
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100011
11.2
11.4
11.6
11.8
12
12.2
7
7.2
7.4
7.6
7.8
8
8.2
Time offset: 0
Simulao - Modelo Linear DesacopladoTanque 1
Tanque 2
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100011
11.2
11.4
11.6
11.8
12
12.2
7
7.2
7.4
7.6
7.8
8
8.2
Time offset: 0
Tanque 1
Tanque 2
Simulao - Modelo No Linear
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100011
11.2
11.4
11.6
11.8
12
12.2
7
7.2
7.4
7.6
7.8
8
8.2
Time offset: 0
Tanque 1
Tanque 2
Simulao - Modelo No Linear Desacoplado
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10005
10
15
20
25
30
Time offset: 0
Teste de Malha AbertaTanque 1