ANALIZA EES I

USMENI

By N.J.

Sadržaj 

1.  Proračun tokova snaga.......................................................................................................................... 4 

2.  Matrica admitanci čvorova ................................................................................................................... 5 

Formiranje matrice admitansi čvorova Yčv ........................................................................................... 5 

Promjene matrice admitansi čvorova sa promenom konfiguracije mreže ........................................... 6 

3.  Jednačine injektiranja aktivnih i reaktivnih snaga ................................................................................ 7 

3.1.  Opis promenljivih pridruženih svakom čvoru ............................................................................... 9 

Klasifikacija čvorova i izbor (pre)specificiranih i nepoznatih promenljivih ......................................... 10 

4.  Newton‐Raphson‐ov metod ................................................................................................................ 11 

Princip Newton‐Raphson‐ovog metoda .............................................................................................. 11 

Primena Newton‐Raphson‐ovog postupka na proračun tokova snaga .............................................. 13 

4.1.  Modifikovani metodi ................................................................................................................... 16 

5.  Ekonomski Dispečing (ED) i Optimalni Tokovi Snaga (eng. Optimal Power Flow – OPF) .................... 19 

Uvod .................................................................................................................................................... 19 

EKONOMSKI DISPEČING .............................................................................................................................. 19 

5.1.  Troškovne karakteristike proizvodnih jedinica ........................................................................... 19 

5.2.  EKONOMSKA RASPODJELA OPTEREĆENJA IZMEĐU TERMOAGREGATA..................................... 21 

Ekonomska raspodjela opterećenja uz zanemarenje gubitaka prenosa ............................................ 21 

Ekonomska raspodjela opterećenja uz uvažavanje ograničenja za snage geneeratora ..................... 23 

Ekonomska raspodjela opterećenja uz uvažavanje gubitaka prenosa ............................................... 24 

6.  POGONSKA KARTA SINHRONOG GENERATORA ................................................................................. 28 

7.  Proračun kratkih spojeva matričnim postupkom (Rajković) ............................................................... 31 

7.1.  Proračuni trofaznih kratkih spojeva matričnim postupkom pomoću matrice impedansi čvorova  31 

8.  Proračun kratkih spojeva (Prevod s engleskog) .................................................................................. 40 

8.1.  Uvod ................................................................................................................................................ 40 

8.2.  Analiza trofaznih kvarova ................................................................................................................ 41 

Matrične jednačine admitansi ............................................................................................................ 43 

Matrica impedansi .............................................................................................................................. 45 

Računanje kvara .................................................................................................................................. 45 

8.3. Analiza nesimetričnih kvarova ......................................................................................................... 49 

Matrice admitansi ............................................................................................................................... 51 

Proračun kvarova (kratkih spojeva) .................................................................................................... 52 

Kratki spojevi ....................................................................................................................................... 52 

1. Proračun tokova snaga Problem određivanja tokova snaga se može jednostavnije opisati kao zadatak nalaženja stanja

mreže, odnosno nalaženja napona i snaga injektiranja u svim čvorovima i tokova snaga po svim vodovima. Priroda aktivnih snaga u sistemu je takva da su one u direktnoj vezi sa pogonskim troškovima elektrane. Postoje mnoga ograničenja koja uslovljavaju aktivne snage (mehanička, električna,…) i zato su to veličine koje je neophodno konstantno pratiti. Aktivne snage spadaju u grupu osnovnih kontrolnih signala i to ne samo za izolovanu elektranu, već za EES u celosti. Reaktivne snage su takođe od velikog interesa, jer one bitno utiču na radna stanja sistema (naponske prilike, gubici u mreži, …). U sistemu se koriste razni uređaji za kompenzaciju reaktivnih snaga, sa ciljem smanjenja gubitaka u prenosnoj mreži i održavanja napona sabirnica unutar dozvoljenih granica. U EES-u proračun tokova snaga se može koristiti za planiranje novih prenosnih i generatorskih kapaciteta, za operativno planiranje rada sistema, za korekciju faktora snage, određivanje razmene snage između različitih EES-a, izbor naponskih nivoa itd. Zbog svega navedenog može se zaključiti da je proračun tokova snaga od suštinske važnosti u svakom EES-u. Prenosne mreže, transformatori i impedanse predstavljaju se u proračunima tokova snaga po pravilu sa linearnim modelima, te se stoga, u prvom trenutku može učiniti da je i problem tokova snaga linearan. Međutim, pošto su snage nepoznate veličine od interesa, a one su proizvod napona i struja, zaključuje se da je problem nelinearan čak i u slučaju potpune linearnosti elemenata EES-a. Postoje dva osnovna razloga pojave nelinearnosti u EES-u.:

1) Prvi od njih se odnosi na potrošnju, koja se može približno predstaviti konstantnom aktivnom i reaktivnom snagom, tako da, ako napon raste, struja potrošača opada i obrnuto.

2) Drugi razlog nelinearnosti je što elektrane normalno rade s regulisanim naponom i konstantnom aktivnom snagom injektiranja (koja predstavlja promenljivu od primarnog interesa) tako da se nelinearnosti javljaju zbog korišćenja kompleksnih napona i struja, preko kojih se izražavaju snage. Pored toga, neki elementi sistema, kao npr. transformatori sa regulacijom pod opterećenjem, su po svojoj prirodi nelinearni.

Kod samih proračuna tokova snaga prvo se istovremeno određuju naponi (moduli i fazni stavovi) svih čvorova mreže, za koju su poznati konfiguracija i parametri. Nakon određivanja napona pristupa se određivanju snaga injektiranja koje nisu unapred poznate. Kada se odrede i snage injektiranja kaže se da je određeno stanje mreže. Tek tada se pristupa proračunima tokova snaga po granama i određivanju gubitaka po granama i sumarno za celu mrežu koja se analizira. Prilikom proračunavanja napona i tokova snaga pretpostavlja se da je analizirana trofazna mreža uravnotežena tako da se može ekvivalentirati monofaznom ekvivalentnom šemom direktnog redosleda, pri čemu su parametri sistema predstavljeni u admitantnoj ili impedantnoj formi.

2.  Matrica admitanci čvorova Elektroenergetski sistem se može predstaviti pomoću matrice impedansi ili matrice admitansi čvorova. Matrica impedansi čvorova je pogodnija za primene u proračunima kratkih spojeva u elektroenergetskim sistemima, dok se matrica admitansi čvorova više primenjuje u proračunima tokova snaga.

Formiranje matrice admitansi čvorova Yčv 

Direktnom primenom prvog Kirchhoff-ovog zakona dobija se matrica admitansi čvorova. Prema tome, ona je posledica činjenice da je suma struja u svakom čvoru nula. Prvi Kirchhoff-ov zakon se primenjuje na sve čvorove osim na čvor sa potencijalom nula (nulti čvor, nulte sabirnice), koji je linearno strujno zavisan čvor. Ukoliko elektroenergetska mreža sadrži N čvorova može pisati:

1

N

ik

ikI I=

= ∑ (2.1)

Ilustracija struje injektiranja u elektroenergetskoj mreži

U relaciji (1) oznake imaju sledeća značenja: iI - fazor struje injektiranja u čvor i iz nekog spoljnjeg strujnog izvora,

ikI - fazor struje kroz vod i-k (ova struja je 0 ako vod ne postoji, kao što je na sl prikazano za vod i-2). Za svaki od vodova važi sledeća zakonitost prema Omovom zakonu: ( )ik i kik

I = y U -U (2.2)

gde su: ki UU , - fazori napona u čvorovima i i k,

iky - admitansa voda i-k, odnosno povezna (fizička) admitansa voda između čvorova i i k. Kada se jednačina (2) smeni u (1) dobija se:

1

N

i i kikk=

I = y (U -U )∑ (2.3)

Ovakve jednačine se mogu ispisati za svih N čvorova. U slučaju kada su čvorovi 1,2,...,N povezani sa zemljom, dobija se sledeći skup jednačina:

( ) ( )1 11 12 11 2 1 21 12 10

N

NN Nk Nk=

I = y U + - y U + ..+ -y U = Y U +Y U + ...+Y U⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑

( ) ( )2 21 22 21 2 1 221 2 20

N

NN Nk Nk=

I = - y U + y U + ...+ - y U = Y U +Y U + ...+Y U⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑

M

( ) ( ) 1 21 2 1 21 20

N

N N N NNN NN N Nkk=

I = -y U + -y U +...+ y U = Y U +Y U +...+Y U⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑

ili, preko kraćeg zapisa u matričnoj formi:

ČVI = Y U (2.4)

U (4) je: I - vektor fazora struja injektiranja, U - vektor fazora napona čvorova (vektor razlika potencijala posmatranog i referentnog čvora za napone), Yčv - kvadratna matrica admitansi čvorova reda (N×N).

Na osnovu prethodnih relacija uočavaju se pravila za formiranje matrice admitansi čvorova Yčv: - dijagonalni elementi matrice admitansi čvorova, Yii, se određuju kao suma svih admitansi koje se sustiču u tom čvoru, uključujući i admitanse do nultog čvora. - vandijagonalni elementi matrice admitansi čvorova, Yik, su povezne (fizičke) admitanse sa promenjenim znakom, odnosno važi Yik = – yik (uočava se da su velikim slovima označeni elementi matrice admitansi čvorova a malim slovima fizičke admitanse). Ako nema fizičke veze između dva čvora onda su ovi elementi nula.

Od važnijih osobina matrice admitansi čvorova treba uočiti da je ona kompleksna i simetrična matrica koja ima osobinu slabe popunjenosti. Ova osobina znači da matrica ima dominantan broj nultih elemenata u svojoj strukturi, a osetno manji broj nenultih elemenata. Treba istaći da je popunjenost manja za veće mreže.

Promjene matrice admitansi čvorova sa promenom konfiguracije mreže 

Promene konfiguracije mreže dovode dakle do promena i u matrici admitansi čvorova. Mogući su sledeći slučajevi: Ispad grane U slučaju ispada grane koja povezuje čvorove i i k a čija je admitansa yik, nalaženje nove matrice admitansi čvorova se matematički svodi na dodavanje nove grane (-yik) u paralelu sa starom granom koja je ispala. U paraleli ove dve grane daju rezultantnu admitansu jednaku nuli, tj. otvorenu granu. Ispad čvora (sabirnice)

Promena referentnog čvora i efekat na Yčv Ako se menja referentni čvor, a konfiguracija mreže ostaje ista, tada je najjednostavnije formirati matricu (N+1)×(N+1), koja je po prirodi stvari singularna, i u njoj obrisati onu vrstu i kolonu koja odgovara novom referentnom čvoru. Ovim postupkom se elegantno vrši promena referentnog čvora.

3. Jednačine injektiranja aktivnih i reaktivnih snaga Kompleksna (trofazna) snaga injektiranja Si se definiše kao razlika snaga generisanja i potrošnje:

i Gi PS =S -S i (3.1)

Uvođenje pojma injektiranja snaga

Jednačina (3.1) predstavlja bilansnu jednačinu po kompleksnoj (dolazećoj) snazi, koja se može prikazati i preko odlazećih snaga kao:

1,2,...,N

i ikk=1

S = S i = N∑ (3.2)

gde je Sik snaga koja odlazi iz čvora i vodovima označenim sa ik na sljedećoj slici:

Injektiranje u čvor i

Potpuno analogno snazi injektiranja definiše se i struja injektiranja u čvor i:

1

1,2,...,N

i Gi pi ikk=

I = I - I = I i = N∑ (3.3)

gde je Iik struja koja odlazi iz čvora i vodom ik. U praksi se najčešće specificiraju prividne snage injektiranja Si (a ređe struje injektiranja

čvorova Ii), tako da se umesto sa strujama radi sa snagama kao promenljivima od većeg praktičnog značaja. Dakle, polazeći od:

*ii iS =U I

* i i ii

i i

P jQSI =U U

+= (3.4)

može se predhodna formula,posle konjugovanja, napisati u sledećem obliku:

1

1,2,...,N

i iik k*

k=i

P - jQ = Y U i = NU ∑ (3.5)

U prethodna dva izraza razmatraju se trofazne kompleksne snage injektiranja u čvor i, (pa onda i trofazne aktivne i reaktivne snage). Izraz (3.5) obično se piše u sledećem obliku:

1,2,...,N

*iki ki i

k=1P - jQ =U Y U i = N∑ (3.6)

Jednačine (3.5) i (3.6) određuju stacionarne jednačine injektiranja snaga u pojedine čvorove mreže. Svaka od jednačina je kompleksna, tako da se ukupno ima 2N skalarnih jednačina injektiranja (N po aktivnim injektiranjima i N po reaktivnim injektiranjima). U slučaju polarne forme napona ima se: jθ

i iU =Ue (3.7) gde je Ui modul napona Ui, a θi njegov fazni stav. Na analogan način i elementi matrice admitansi čvorova koji figurišu u (3.10) mogu se izraziti ili u polarnom formatu: ikjψ

ik ikY =Y e (3.8) Yik – modul admitanse Yik, ψik – fazni stav admitanse Yik, ili u rektangularnom formatu: ik ik ikY =G + jB (3.9) gde su: Gik i Bik – realni i imaginarni deo elemenata matrice admitansi čvorova. Kombinovanjem ovih formi može se izvesti nekoliko oblika jednačina injektiranja. Ukoliko ponovno krenemo od izraza za prividnu snagu: *

ii iS =U I (3.10)

A struje Ii zamjenimo sa: 1

N

i kk=

ikI = U Y∑ (3.11)

Dobijamo za snagu: 1

N* *

iki i kk=

S =U U Y∑ (3.12)

Ako u ovom izrazu Uk* zamjenimo sa oblikom napona dat izrazom (3.7) a admitance Yik

* sa oblikom datim izrazom (3.9) izraz (3.12) imat će oblik:

1 1

ik

N Njθ

i i k ik ik i k ik ik ik ikk= k=

S =U U e (G - jB )=U U (cosθ - sinθ )(G - jB )∑ ∑ (3.13)

Razdvajanjem realnog i imaginarnog dela u relaciji (3.13) konačno se dobijaju jednačine injektiranja aktivnih i reaktivnih snaga po sabirnicama mreže:

( ) ( )1

1,2,...,N

i i k ik i k ik i kk=

P =U U G cos θ -θ +B sin θ -θ i = N⎡ ⎤⎣ ⎦∑

( ) ( )1

1,2,...,N

i i k ik i k ik i kk=

Q =U U G sin θ -θ - B cos θ -θ i = N⎡ ⎤ ⎣ ⎦∑

(3.14)

(3.15)

Ako se i fazori napona i kompleksni elementi matrice admitansi čvorova izraze u polarnoj formi,

(3.16)

(3.17)

3.1. Opis promenljivih pridruženih svakom čvoru 

čeni i

Tih dvanaest skalarnih veličina su: moduli napona i fazni stavovi za dva čvora (4 veličine),

relacije (3.7) i (3.8), i smene u jednačine (3.5) odnosno (3.6) tada se dobijaju jednačine injektiranja u polarnom obliku:

N

( )1

1,2,...,i i ik k i k ikk=

P =U Y U cos θ -θ -ψ i = N∑

( )1

1,2,...,N

i i ik k i k ikk=

Q =U Y U sin θ -θ -ψ i = N∑

Ukoliko se ima jednostavan sistem od dva čvora (sabirnice), kao na sl., na koje su prikljupotrošači i generatori, može se uočiti ukupno dvanaest veličina, koje su od značaja za proračune tokova snaga, odnosno svakom čvoru se pridružuje po 6 skalarnih veličina.

reaktivne i aktivne snage generisanja i potrošnje oba čvora (8 veličina). Aktivne i reaktivne snage potrošnje su na neki način, sa aspekta vođenja sistema, potpuno van direktne kontrole dispečera, jer su određene snagom priključenih potrošača, odnosno ponašanjem potrošača u skladu sa njihovim potrebama. Preostaje dakle za dalje razmatranje osam veličina i to su: fazni stavovi napona čvorova, moduli napona čvorova i aktivne i reaktivne snage generisanja. Broj promenljivih se na ovaj način smanjuje sa polaznih dvanaest na osam, što je prikazano na slici:

U opštem slučaju preostalih osam skalarnih veličina mogu se svrstati u dve grupe, u zavisne i nezavisne promenljive. Da bi se zadatak ilustrovan na prvoj slici u matematičkom smislu zatvorio neophodno je broj (skalarnih) nepoznatih svesti na četiri, odnosno izjednačiti broj nepoznatih sa brojem jednačina. Uobičajeno se to radi tako da se na sabirnicama br. 2 kao nepoznate ostave modul i fazni stav napona (potrošačke sabirnice) a na sabirnicama br. 1 kao nepoznate se odabiraju aktivna i reaktivna snaga injektiranja zbog potreba bilansiranja snaga. U ovom slučaju imaju se dve veličine po čvoru kao nepoznate i problem je rešiv.

Klasifikacija čvorova i izbor (pre)specificiranih i nepoznatih promenljivih 

Neka se za početak posmatra prethodni slučaj mreže sa dva čvora. Veličine koje mogu da se pojave kao nepoznate su aktivno i reaktivno injektiranje oba čvora (ukupno četiri veličine) te oba fazna stava i oba modula napona (ukupno 8 veličina). Pošto se mora računati s razlikama faznih stavova, uviđa se da je pogodno usvojiti fazni stav jednog fazora napona kao proizvoljnu fiksnu vrednost (uobičajeno je to fazni stav fazora napona čvora 1). Za njega se bira vrednost nula, i tako je čvor 1 referentni za određivanje faznih stavova napona svih ostalih čvorova mreže. Na taj način je broj nepoznatih smanjen za jednu. Pored ovoga aktivno i reaktivno injektiranje čvora br. 2 se takođe specificira, pošto je u osnovi određeno ponašanjem potrošača.

Preostale veličine koje su kandidati za nepoznate su jedan fazni stav, dva modula napona čvorova i reaktivno i aktivno injektiranje čvora 1. Aktivno injektiranje čvora 1 mora se ostaviti kao nepoznata zbog potreba za bilansiranjem aktivnih snaga. Da bi problem bio rešiv mora se specificirati još jedna promenjiva. Može se učiniti da je izbor u potpunosti slobodan, ali nije tako, jer ograničenja proizilaze iz prirode problema. Može se birati između modula napona i reaktivnog injektiranja čvora 1. Veza napona i reaktivnog injektiranja je takva da kad raste napon raste i reaktivno injektiranje, i obrnuto. Vidi se da su ove dve promenljive čvrsto vezane. Bira se U1 kao još jedna specificirana promenjiva. Sada broj nepoznatih odgovara broju jednačina i problem je rešiv. Da je kojim slučajem kao dodatna specificirana promenjiva odabrao napon U2, dobio bi se prespecificiran zadatak, jer je U2 već uslovno “određen” time što je za poznatu veličinu odabrano Q2, ili bi se moralo sa spiska poznatih veličina izbrisati Q2, a dodati napon U2. Prethodna analiza se može uopštiti i na sistem sa N čvorova. Pretpostavlja se da su čvorovi svrstani u tri različite grupe:

- grupa sa NPU generatorskih čvorova, - grupa sa NPQ potrošačkih čvorova i - posebna grupa sa samo jednim balansnim čvorom.

Prema tome, pošto je ukupan broj čvorova (sabirnica) N, to sledi da je N=NPU+NPQ+1. Smisao uvedenih indeksa PU, odnosno PQ je sledeći.

Generatorski, odnosno (P,U) čvorovi su oni čvorovi u kojima se aktivna snaga (P) (injektiranja) održava na zadatoj vrednosti. Reaktivne snage i fazni stavovi napona ovih čvorova zavise od stanja mreže i stoga su nepoznate veličine.

Potrošački, odnosno (P,Q) čvorovi su oni čvorovi u kojima su i aktivno (P) i reaktivno injektiranje (Q) zadate veličine. Nepoznate veličine kod ovih čvorova su moduli i fazni stavovi napona.

Balansni čvor (slack bus) je čvor sa zadatim modulom napona (U) i konstantnim faznim stavom, najčešće jednakim nuli, tako da je istovremeno i referentni čvor za računanje faznih stavova svih ostalih napona u mreži. Iako se za balansni čvor može usvojiti bilo koji čvor, ovaj čvor najčešće je generatorski s regulisanim naponom, s tim da prividnu snagu injektiranja u njemu nije moguće unapred odrediti, jer bi se dobio predodređen problem. Razlog za uvođenje balansnog čvora nalazi se u činjenici da se ne mogu specificirati aktivna injektiranja svih čvorova (jer bi se na taj način predodredili gubici aktivne snage u mreži, a gubici se bez poznavanja modula napona i tokova snaga po granama ne mogu unapred odrediti), tako da se mora ostaviti bar u jednom čvoru aktivno injektiranje kao nepoznato.

Tabela 3.1 Klasifikacija čvorova

Tip čvora Zadate promenljive Nepoznate promenljive

Generatorski (P,U) čvorovi P, U Q, θ

Potrošački (P,Q) čvorovi P, Q U, θ

Balansni (U,θ) čvor U, θ(=0) P, Q

4. Newton­Raphson­ov metod 

Princip Newton­Raphson­ovog metoda 

Newton-Raphson-ov metod se smatra klasičnim postupkom za rešavanje zadatka raspodele snage u elektroenergetskim mrežama. Razlog za to je svakako osobina kvadratne konvergencije koju ovaj postupak posjeduje.

( )1+νx ( )νx

( )( )νxf

: ( )( )νf' x

x

( )f x

α

Određivanje nule nelinearne funkcije

Nalaženje korjena (nule) nelinearne funkcije jedne promenljive, f(x)=0, prikazane na sl., odnosno rešavanje nelinearne jednačine, radi se formalno razvojem funkcije u Taylor-ov red i zanemarivanjem članova višeg reda od linearnog (linearizacija funkcije). Razvoj se vrši u okolini

specificirane, startne tačke x(ν) i za posmatrani slučaj skalarne funkcije skalarnog argumenta razvoj u red izgleda ovako:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )ν ν ν ν νf x + Δx = f x + f x Δx + čl. višeg reda′ (4.1)

Zanemarivanjem članova višeg reda i izjednačavanjem sa nulom desne strane u prethodnoj relaciji izračunava se nepoznati priraštaj funkcije kao jedina nepoznata u (4.1):

( )( )( )( )( )

( ) ( )1ν

ν ν+ νν'

f xΔx = - = x - x

f x (4.2)

Iz (4.2) se sad nalazi nova vrednost promenljive x:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )ν

ν+1 ν ν νν'

f xx = x +Δx = x -

f x (4.3)

Generalno, ukoliko se ima vektorska funkcija vektorskog argumenta dimenzija N tada se razvojem u red dobija:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 11 1 1

1

2 22 2 1

1

11

0

0

0

NN

NN

N NN N N

N

f ff = f + Δx + ...+ Δx + čl.višeg reda =

x xf f

f = f + Δx + ...+ Δx + čl.višeg reda =x x

f ff = f + Δx + ...+ Δx + čl.višeg reda =

x x

∂ ∂∂ ∂

∂ ∂∂ ∂

∂ ∂∂ ∂

x xx + Δx x

x xx + Δx x

x xx + Δx x

M

(4.4)

U vektorskom zapisu, uz zadržavanje samo prva dva člana razvoja, jednačine (4.4) se u iterativnoj formi prikazuju kao: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ν ν ν ν⎡ ⎤

⎣ ⎦f x + Δx = f x + J x Δx ν (4.5)

U poslednjem izrazu sa J je označena Jacobi-jeva matrica (matrica prvih izvoda vektorske funkcije vektorskog argumenta):

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )1 1

( )

( ) ( )

1

1 N

N N

N

f x f x

x x

f x f x

x x

ν ν

ν

ν ν

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

J

L

M O M

L

(4.6)

dok je vektor priraštaja promenljivih stanja:

( )1

( )

( )N

Δ x.

= ..

Δ x

ν

ν

ν

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Δ x (4.7)

Generalna formula pomoću koje se izračunava nova vrednost vektorskog argumenta funkcije, xr,

poznavajući staru vrednost, je:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )⎡ ⎤⎣ ⎦

1-ν+1 ν ν νx = x - J x f x (4.8)

Primena Newton­Raphson­ovog postupka na proračun tokova snaga 

Pretpostavlja se da je u nekom konkretnom slučaju potrebno rešiti zadatak tipa A, zadatak koji odgovara problemu nalaženja raspodele snaga u srednjenaponskim distributivnim mrežama u kojima su jedne sabirnice napojne (balansne), a sve ostale sabirnice su potrošačkog tipa. Dakle, ima se zadatak u kome su sabirnice indeksa 1 balansne, a sabirnice indeksa 2, 3, … N predstavljaju potrošačke (P,Q) sabirnice. Jedančine injektiranja aktivnih i reaktivnih sanaga za N čvorova su:

(4.9) [ ]1

2,3,...,N

i i k ik ik ik ikk=

P = U U G cosθ +B sinθ i = N∑

(4.10) [ ]1

2,3,...,N

i i k ik ik ik ikk=

Q = U U G sinθ - B cosθ i = N∑Jednačina za i=1 je eksplicitna po P1 i Q1 i rešava se na kraju. U ostalim jednačinama Pi i Qi figurišu na levoj strani i prema prethodnim razmatranjima su zadate veličine na potrošačkim sabirnicama (P,Q sabirnice). Desne strane su funkcije modula i uglova fazora napona. Fazor napona na balansnim sabirnicama, sabirnicama indeksa 1, je zadat, 111 UU θ∠= , tako da se ima 2(N-1) nepoznata koju treba odrediti, i to:

- (N-1) nepoznat modul napona, - (N-1) nepoznat fazni stav.

Vektor stanja je vektor nepoznatih veličina koje treba odrediti. On se u razmatranom zadatku sastoji od modula i faznih stavova napona potrošačkih (P,Q) čvorova:

2

2

N

N

U

U

θ

θ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

θx

U

M

M

(4.11)

Jednačine injektiranja aktivnih i reaktivnih snaga potrošačkih (P,Q) čvorova (koje su unapred specificirane), za zadatke tipa A, pišu se kao funkcija vektora stanja:

(4.12) ( ) [ ]

( ) [ ]1

1

2,3,

2,3,

N

i i k ik ik ik ikk=

N

i i k ik ik ik ikk=

P = U U G cosθ +B sinθ i = ...,N

Q = U U G sinθ - B cosθ i = ...N

∑

∑

x

x

Na kraju iterativne procedure potrebno je da su zadovoljene sledeće jednakosti: ( ) 2,3,...,spec

i iP = P i = Nx (4.13a)

( ) 2,3,...,speci iQ =Q i= Nx (4.13b)

U jednačinama (4.13a) i (4.13b) su specificirane vrednosti u potrošačkim (P,Q)

čvorovima, a su određene funkcije nepoznatog vektora implicitnih promenljivih, vektora

speci

speci QiP

( ) ( )i iP i Qx xxr

. U cilju uspostavljanja iterativne logike odabira se iterativni niz ( )νx , tako da desna strana u (4.13a) i (4.13b) za svako popravljeno x što bolje dostigne zadatu levu stranu, odnosno da se ostvari što bolje pogađanje obiju strana, odnosno da se ostvari “match” (ili drugim rečima da se “mismatch” postupno svodi na nulu). Sada se jednačine (4.13) mogu postaviti u obliku

, odnosno u sledećoj formi: ( )f x 0=

0 2,3,...,

0 2,3, ...,i i

speci i

specP ( ) - P i = N

Q ( ) - Q i = N

=

=

x

x (4.14)

Ili

( )

( )

( )( )

( )

2 2

2 2

0

spec

specN N

spec

specN N

P P

P P

Q Q

Q Q

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢=⎢ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

x

xf x

x

x

M

M

⎥ =⎥

⎥

(4.15)

Jakobijan vektorske funkcije (4.15), u kojoj figurišu jednačine injektiranja i po aktivnim i po reaktivnim snagama (dva tipa jednačina) i u kome se diferenciranja vrše i po uglovima i po modulima napona (dve grupe promenljivih), može se predstaviti na sledeći način:

(4.16) ⎡ ⎤

= ⎢⎣ ⎦

11 12

21 22

(ν) (ν)(ν)

(ν) (ν)

J JJ

J JSvaka submatrica u (4.31) je dimenzija (N-1)×(N-1), pri čemu pojedine submatrice (blokovi) predstavljaju parcijalna diferenciranja po sledećoj logici:

( ) ( ) ( ) ( )i i i

k k k

P P Q~ ~ ~ ~

θ U θ U∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂11 12 21 22

x x xJ J J J i

k

Q∂

x

Osnovna jednačina Newton-Raphson-ovog iterativnog sada se dakle svodi na:

( ) ( ) ( )( )ν ν νΔ = −J x f x (4.17)

Priraštaj argumenta nelinearne funkcije između dve iteracije se računa u cilju određivanja popravke prethodnog rešenja pomoću izraza (4.18).

( ) ( ) ( )+1ν ν νΔ = −x x x (4.18)

Vektorska funkcija je podeljena na subvektore, a da bi se u (4.17) izbjegao znak "-",

prelazi se na razliku specificiranih snaga i snaga koje su funkcija vektora stanja, tako da se dobija:

( )( νf x )

( )( )

( )( )

( )

( )

2 2 2 2spec spec

spec specN N N N

P P Q Q

P P Q Q

⎡ ⎤ ⎡− −⎢ ⎥ ⎢

Δ = Δ =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢− −⎣ ⎦ ⎣

x xP x Q x

x xM M

⎤⎥⎥⎥⎦

(4.19)

odnosno:

( )( )( )

Δ= -

Δ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

P xf x

Q x (4.20)

Sada se konačno za matričnu jednačinu pomoću koje se rešava problem tokova snaga Newton-Raphson-ovom metodom i koja je osnova za formiranje algoritma, ima sledeća forma:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )( )( )

Δ

Δ=

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

11 12

ν21 22

νν ν ν

ν ν ν

PΔθ

ΔU

xJ J

J J Q x (4.21)

Vektor stanja se sada izračunava preko iterativne šeme:

( ) ( ) ( )+1 = +ν νx x νΔx (4.22) Newton – Raphson – ov metod ispoljava osobinu kvadratne konvergencije

Drugi tip zadataka od interesa za primenu Newton – Raphson- ove metode su zadaci tipa B, u kojima je čvor indeksa 1 balansni čvor, čvorovi indeksa 2, 3, ... M su generatorski čvorovi (ukupno ih ima M-1), dok su čvorovi počev od M+1, M+2, ..., N potrošačkog tipa (ukupno ih je N-M). Analiza pokazuje da se kod zadataka ovakvog tipa ima redukcija broja jednačina koje se jednovremeno moraju rešavati. Kod ovih zadataka se posle izračunavanja nepoznatih modula napona i faznih stavova unutar iterativne procedure, reaktivne snage injektiranja na generatorskim sabirnicama izračunavaju izvan iterativne procedure kao eksplicitne nepoznate (nepoznate sa leve strane jednačina injektiranja). Iz ovoga se sagledava da je broj jednačina koje treba istovremeno rešavati smanjen. U prethodnom slučaju, (zadaci tipa A), red matrice J je bio 2(N-1), dok u posmatranom slučaju, zadaci tipa B, se ima nepoznat (N-1) fazni stav i svega (N-M) nepoznatih modula napona, [(N-M)=N-1-(M-1)]. Na taj način je ukupan broj nepoznatih (promenljivih stanja) koje se simultano izračunavaju unutar iterativne procedure kod zadataka tipa B za (M-1) manji nego u slučaju zadataka tipa A.

4.1.  Modifikovani metodi 

Kvantitativna vrednost Jakobijana utiče samo na brzinu konvergencije, ali ne i na tačnost konačnog rešenja. Stoga se u brojnim iterativnim šemama koriste aproksimacije Jakobijana u cilju smanjenja broja računskih operacija. Jedan od najuspešnijih postupaka u kome se koristi aproksimacija Jakobijana je Sttot-ov raspregnuti postupak. Rasprezanje (dekuplovanje) u tom postupku je bazirano na sledećoj logici. U realnim elektroenergetskim sistemima elementi vandijagonalnih submatrica, submatrica J12 i J21, su kvantitativno znatno manji od elemenata submatrica na glavnoj dijagonali. Naime, ako se analizira tipični član u J12 uočava se da u njegovoj strukturi figurišu kombinacije proizvoda Gik cosθik i Bik sinθik:

( ) (ii ik i k ik i k

k

P =U G cos θ -θ +B sin θ -θU∂ )⎡ ⎤⎣ ⎦∂ (4.23)

koje su u prenosnim mrežama kvantitativno osetno manje od kombinacije Bik cosθik, koja figuriše u elementima submatrica koje su na glavnoj dijagonali. Ovo je zato što u prenosnim mrežama dominiraju reaktanse nad rezistansama jer su ove mreže dominantno induktivne prirode (imaju se mali odnosi R/X i to 1:11 u 400 kV mreži i 1:4 u 220 kV mreži). Pored ovoga razlike faznih stavova između fazora napona susednih sabirnica su takođe male. Razlike su tipično do 100 i posledica su dve činjenice. Prva je uslovljena sa relativno malim dužinama vodova u razvijenim prenosnim mrežama, koje u našoj mreži, kao i većini evropskih mreža, ne prelaze 150 km. Druga činjenica je da su tipične snage koje se prenose vodovima oko i ispod prirodnih snaga (osim u graničnim radnim stanjima), jer se time ostvaruju ekonomični režimi prenosa (ekonomska gustina struje). Uvažavajući obe činjenice istovremeno dolazi se do razlika uglova po susednim sabirnicama od svega nekoliko stepeni, a po pravilu manje od 100. Na osnovu prethodnih razmatranja vidi se da važe sledeće aproksimacije:

ik ikG << B (4.24)

( ) ( ) ijkikiki sincosodnosno θ≈θ−θ≈θ−θ≤θ−θ 110 o (4.25)

S druge strane analiza tipičnih članova u J11 i u J22 pokazuje da u njima osim kombinacije koja se sigurno može zanemariti, a to je Gik sinθik, figuriše i kombinacija proizvoda Bik cosθik koja je definitivno kvantitativno dominantna. Kada se ovi kvantitativni odnosi uvaže u formulama za određivanje elemenata Jakobijana tada se uočava da se elementi submatrica koje nisu na glavnoj dijagonali mogu aproksimirati nulom. Naravno, submatrice J11 i J22 sadrže elemente koji su dominantni i koji u prvoj aproksimaciji određuju ponašanje Jakobijana. Kada se prethodne analize uzmu u obzir tada se vidi da se Jakobijan može aproksimirati na sledeći način:

(4.26) 0

0⎡ ⎤

≈ ⎢⎣ ⎦

11

22

JJ

J ⎥

Formalno posmatrano, nakon ovih aproksimacija, dve nenulte submatrice Jakobijana J11 i J22 će kod zadataka tipa A biti dvostruko manjih dimenzija od dimenzija kompletnog Jakobijana. U zadacima tipa B Jakobijan će imati takođe dve nenulte submatrice. Prva je J11 dimenzija (N-1)×(N-1) i ona služi za određivanje nepoznatih uglova, a druga je J22 dimenzija (N-M)×(N-M), ukoliko u mreži postoji (M-1) generatorskih čvorova, i ona služi za određivanje nepoznatih

modula napona potrošačkih čvorova. Posledica ovakve aproksimacije Jakobijana je razdvajanje jednačina za izračunavanje napona od jednačina za izračunavanje uglova, odnosno ima se:

≅≅

11

22

J Δθ ΔPJ ΔU ΔQ (4.27)

J11 i dalje zavisi od modula napona a J22 od faznih stavova. Međutim, rasprezanje ipak bitno ubrzava postupak izračunavanja nepoznatih modula napona i uglova jer je red submatrica J11 i J22 dvostruko manji od reda polaznog Jakobijana, kod zadataka tipa A (kod zadataka tipa B ima se i dodatna redukcija problema po nepoznatim modulima napona). Ovakvo dekuplovanje dovelo je do osnovnog Sttot-ovog raspregnutog postupka za proračun tokova snaga, jednačine (4.27).

Raspregnuti postupak ima istu tačnost kao i rešenje dobijeno potpunim Newton-Raphson-ovim postupkom. Greška koju unose izvršene aproksimacije zahteva po pravilu jednu ili dve dodatne iteracije.

Procedura se i dalje može ubrzati, odnosno uprostiti, i preći na brzi Sttot-ov raspregnuti postupak ukoliko je analizirani prenosni sistem potpuno reaktivan (zanemarene aktivne otpornosti) i ukoliko se kao dodatna aproksimacija uzme i zanemarenje otočnih reaktansi (odnosno zanemarenje fizičkih veza od sabirnica prema zemlji). Ova dodatna aproksimacija automatski zahteva redukciju dimenzija matrice susceptansi čvorova koja se realizuje precrtavanjem prve vrste i prve kolone polazne (kompletne) matrice susceptansi. U takvim okolnostima zbir fizičkih (poveznih) susceptansi u posmatranom čvoru daje element matrice susceptansi čvorova na glavnoj dijagonali koji odgovara analiziranom čvoru. Odatle sledi da zbir vandijagonalnih elemenata u jednom redu matrice susceptansi čvorova daje sa promenjenim znakom element glavne dijagonale u tom redu:

1

N

ik iik=k i

B = -B≠

∑ (4.28)

Sa uvažavanjem relacije (4.28) i činjenice da se moduli napona veoma malo razlikuju (Ui ≈ Uk ), za elemente submatrice J11 dobijaju se sledeći izrazi:

( ) ( )

( ) ( )

1 1

N N2i

i k ik i k ik i k i k ik i iik= k=ik i k i

2ii k ik i k ik 2 3 i k ik i ik

k

P = U U -G sin θ -θ + B cos θ -θ = U U B -U Bθ

P =U U G sin θ -θ - B cos θ -θ = -U U B -U Bθ

≠ ≠

∂⎡ ⎤ ≈⎣ ⎦∂

∂⎡ ⎤ ≈⎣ ⎦∂

∑ ∑ (4.29)

dok se za elemente submatrice J22 dobija:

( ) ( )1

1 11

Ni

k ik i k ik i k i iik=iN N

k ik i ii k ik i ii i iik = k =

k

i ii i ii i ii i ii

Q = U G sin θ - θ - B cos θ - θ - U BU

- U B - U B = - U B - U B - U B =

U B - U B - U B = -U B≠

∂⎡ ⎤ ≈⎣ ⎦∂

∑

∑ ∑ (4.30a)

( ) ( )ii ik i k ik i k i i

k

Q =U G sin θ -θ - B cos θ -θ = -U BU

∂⎡⎣∂ k⎤⎦

⎥

(4.30b)

Treba ukazati da se matrica susceptansi čvorova dobija preko razdvajanja realnog i imaginarnog dela u matrici admitansi čvorova i zatim zanemarivanjem realnog dela. Za razmatrani zadatak matrica susceptansi čvorova izgleda prema tome ovako:

(4.31)

( ) ( )

22 2

2 -1 -1

N

N NN N x N

B B=

B B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L

M O M

L

B

Pošto su dimenzije matrice susceptansi smanjene za 1, to onda sledi da i dimenzije dijagonalne matrice modula napona moraju da budu smanjene:

(4.32)

2 0

0 N

U

U

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦

UL

M O M

L

Na osnovu (4.31) i (4.22) submatrice glavne dijagonale postaju: ν ν= −11

(ν) ( ) ( )J U BU (4.33)

(4.34) ( )ν ν−=22

( )J U Bkonačne iterativne relacije za proračune tokova snaga brzim Sttot-ovim raspregnutim postupkom:

( ) ( )( )ν ν-BΔθ = ΔP x (4.35a)

( ) ( )( )ν-B νΔU = ΔQ x (4.36a)

U relacijama (4.35a) i (4.36a) matrica susceptansi (koja je konstantna matrica) aproksimira Jakobijan. Prema tome u ovim relacijama Jakobijan ne zavisi od promenljivih stanja tako da je dovoljna samo jedna njegova inverzija. U zadacima tipa A broj nepoznatih faznih stavova i nepoznatih modula napona je jednak broju potrošačkih čvorova i iznosi (N-1). Međutim, kod zadataka tipa B relacija (4.35) sadrži u sebi (N-1) nepoznati fazni stav, a odgovarajuća matrica susceptansi se označava sa B′ , odnosno ima se:

( ) ( )( )ν'-B νΔθ = ΔP x (4.35b)

S druge strane relacija (4.36a) sadrži u sebi (N-M) nepoznatih modula napona, a što je jednako broju potrošačkih čvorova, i piše se preko odgovarajuće matrice susceptansi B′′ tako da se ima:

( ) ( )( )ν''-B νΔU = ΔQ x (4.36b)

5. Ekonomski Dispečing (ED) i Optimalni Tokovi Snaga (eng. Optimal 

Power Flow – OPF) 

Uvod  

U tradicionalno vođenim sistemima postavljao se cilj planiranja rada sistema tako da ukupni troškovi rada sistema budu minimalni, uz zadovoljenje ograničenja kvaliteta i sigurnosti. Ovaj pristup je poznat kao planiranje rada sistema sa ukupnim minimalnim troškovima (Least Cost Operation Planning). Troškovi rada EES zavise od troškova proizvodnje i „troškova“ gubitaka u prenosu. Troškovi proizvodnje zavise od troškovnih karakteristika proizvodnih agregata, a troškovi gubitaka od raspodjele tokova snaga po mreži. Na troškove proizvodnje utiče iznos aktivne snaga koja se proizvodi, a na gubitke iznosi i aktivne i reaktivne snage generatora. Raspoloživa snaga proizvodnje (ukupna aktivna snaga generacije) je veća od ukupne snage potrošnje i gubitaka tako da je dispečerima dozvoljenjo podešavanje‐zadavanje proizvodnje pojedinih agregata (što se naziva definisanje voznog reda agregata). Zadatak optimalne raspodjele snaga (OPF) se može formulisati kao statički optimizacioni zadatak u kome je kriterijum optimizacije minimum pogonskih troškova, ograničenja tipa jednakosti su jednačine injektiranja aktivnih i reaktivnih snaga, a ograničenja tipa nejednakosti su dopuštene vrijednosti napona, struja i snaga (koji proizilaze iz zahtjeva kvaliteta ili sigurnosti).  

 EKONOMSKI DISPEČING  

5.1. Troškovne karakteristike proizvodnih jedinica  

Pojednostavljena energetska karakteristika termo‐agregata, poznata kao kriva toplotnog porasta, prikazana je na slici 1.(a). Pretvaranjem ordinate krive toplotnog porasta iz Btu/h u $/h rezultira troškovnom krivom prikazanoj na slici 1(b).

Slika 1. (a) Kriva toplotnog porasta Slika 1. (b) Kriva troškova proizvodnje

U svim praktičnim slučajevima, cijena goriva agregata i (troškovi proizvodnje) se može predstaviti kao kvadratna funkcija prozvedene aktivne snage:

(5.1) gdje su:

i o koeficijent linearnih troškova proizvodnje i‐t g agregata u [$/MWh] iβ

α ‐βi‐ oγi‐ koeficijent kvadratnih troškova proizvodnje i‐tog agregata u [$/MW2h]

koeficijent fiksnih troškova proizvodnje i‐t g agregata u [$/h] iα

Svaki agregat ima svoju troškovnu krivu, koja zavisi od više parametara (kvalitet i energetska vrijednost primarnog energenta, odnosno njegova cijena, efikasnost (η) kotlovskog i turbinskog postrojenja itd). Diferenciranjem troškovne krive po aktivnoj snazi dobija se kriva inkrementalnih troškova koja je prikazana na Slici 2:

Slika 2. Tipična kriva inkrementalnih troškova

(5.2)

Kriva inkrementalna troškova je veličina koja pokazuje koliki će biti inkrementalni troškovi proizvodnje sa inkrementalnim povećanjem snage. Pod pojmom inkrementalnih troškova podrazumijeva se količnik povećanja troškova sa povećenjem izlazne snage za neki agregat, kada povećanje snage teži nuli, odnosno inkrementalni troškovi i‐tog agregata predstavljaju prvi izvod njegove troškovne krive po izlaznoj snazi. Obično se povećanje troškova izražava u $/MWh za povećanje proizvodnje za 1MW.

Ukupni radni troškovi termo‐agregata pored cijene goriva uključuju i cijenu rada, cijenu održavanja i investicione troškove. Ovi troškovi su mogu uzeti kao fiksan procenat od cijene goriva i kao takvi uključiti u krivu inkrementalnih troškova.

5.2. EKONOMSKA RASPODJELA OPTEREĆENJA IZMEĐU TERMOAGREGATA  

Ekonomska raspodjela opterećenja uz zanemarenje gubitaka prenosa  

Najjednostavnija definicija zadatka ekonomske raspodjele opterećenja između termoagregata je slučaj kada su gubici prenosa zanemareni. Ukratko rečeno, ovaj model ne uzima u obzir uticaj konfiguracije sistema i impedansi vodova na iznos gubitaka. U suštini, model je zamišljen kao sistem od jedne sabirnice sa cjelokupnom proizvodnjom i potrošnjom vezanom za nju, kao što je prikazano na Slici 3.  

Slika 3. Agregati vezani na zajedničku sabirnicu Za ng agregata, koji pokrivaju potrošnju (ukupnog iznosa snage PD ) kao što je prikazano na Slici 3., definiše se funkcija cilja:

(5.3) koja predstavlja ukupne proizvodne troškove jednake sumi proizvodnih troškova pojedinih agregata u funkciji proizvedene snage. Ako su prenosni gubici u sistemu zanemareni, tada balans snaga proizvodnje i potrošnje može biti definisan jednačinom:

(5.4) pri čemu je:

- ukupna potrošnja u sistemu, [MW] DP

- snaga i-tog agregata, [MW] iPZa ovako definisan zadatak ekonomskog dispečinga problem određivanja optimalnog opterećenja angažovanih agregata se može opisati na sljedeći način:

Odrediti izlazne snage agregata, koji su u pogonu, tako da ukupni proizvodni troškovi u sistemu budu minimalni uz uslov da ograničenja agregata nisu narušena.

Matematička formulacija ovako definisanog zadatka glasi:

Odrediti

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= ∑=

gn

iiit PFF

1)(minmin

Uz ograničenje

01

=− ∑=

gn

iiD PP

Ako se pretpostavi da tehnička ograničenja za svaki agregat neće biti narušena, ovako postavljeni zadatak optimizacije sa ograničenjem tipa jednakosti moguće je riješiti koristeći se metodom Langrange-ovih multiplikatora. Prema ovom metodu koristi se proširena funkcija cilja

(5.5)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= ∑

=

gn

iiDt PPFL

1λ

Minimum ove funkcije se postiže izjednačavanjem prvih parcijalnih izvoda od L po svim promjenljivim sa nulom. Dakle:

0=∂∂

iPL

(5.6) 0=

∂∂λL

(5.7) Prvi uslov, izražen jednačinom (5), rezultira jednačinama:

0)10( =−+∂∂

λi

t

PF

Pošto je

gnt FFFF +++= ...21 onda je

λ==∂∂

i

i

i

t

dPdF

PF

pa uslov za optimalnu raspodjelu postaje

λ=i

i

dPdF

(5.8) gni ,...,1=

ili na osnovu jednačine (5.2)

λλγβ ==+ iiii P2 (5.9)

i predstavlja uslov jednakih inkrementalnih troškova. Drugi uslov, zadan ograničenjem (4), rezultira jednačinom:

(5.10) D

n

ii PP

g

=∑=1

što predstavlja balans proizvodnje aktivne snage agregata i potrošnje u sistemu. Rješavanjem jednačina (8) i (9) određena je optimalna raspodjela proizvodnje na angažovane agregate. Ukratko, kada su gubici zanemareni, za najekonomičniji rad, svi agregati moraju raditi sa jednakim inkrementalnim troškom uz zadovoljenje ograničenja datog jednačinom (9). Da bi se pronašlo rješenje, jednačina (8) se riješava za Pi

i

iiP

γβλ

2−

= (5.11)

Relacije date sa jednačinom (10) su poznate kao koordinacione jednačine. One su funkcija od λ. Analitičko rješenje za λ može biti dobijeno zamjenom Pi u (9), tj.

D

n

i i

i Pg

=−∑

=1 2γβλ (5.12)

odakle je:

∑

∑=

=+

=g

i

g

i

i

n

i

n

iDP

1 21

1 2

γ

γβ

λ (5.13)

Uvrštavanje vrijednosti λ, koja je određena iz jednačine (5.13) u jednačinu (5.11) daje optimalno planiranu proizvodnju.

Ekonomska raspodjela opterećenja uz uvažavanje ograničenja za snage geneeratora 

Izlazna snaga bilo kojeg agregata ne bi trebala prelaziti njegovu maksimalnu snagu, a niti bi trebala biti niža od potrebne minimalne snage sa kojom se može ostvariti stabilan rad kotla. Prema tome, proizvodnje su ograničene između datih minimalnih i maksimalnih ograničenja. Problem je naći proizvodnju aktivne snage za svaki agregat tako da funkcija cilja (tj. ukupan trošak proizvodnje) definisana sa (4) bude minimalna, ovisna o ograničenju datog jednačinom (9) i ograničenjima tipa nejednakosti datih sa:

(max)(min) iii PPP ≤≤ gni ,,1K= (5.14)

gdje su Pi(min) i Pi(max) minimalna i maksimalna ograničenja za svaki agregat i, respektivno.

Kuhn-Tuckerovi uslovi kao dodatni članovi dopunjavaju Lagrangeove uslove uključivanjem ograničenja tipa nejednakosti. Potrebni uslovi za optimalnu raspodjelu uz zanemarene gubitke postaju

λ=i

i

dPdF

za Pi(min) < Pi < Pi(max)

λ≤i

i

dPdF

za Pi = Pi(max) (5.15)

λ≥i

i

dPdF

za Pi = Pi(min)

Ako su ova ograničenja narušena za bilo koji od agregata, onda se problem može riješiti na sljedeći način: za agregate kod kojih je izračunata vrijednost snaga izvan dopuštenih granica usvaja se da je njihovo opterećenje jednako prekoračenom limitu (minimalnoj ili maksimalnoj snazi).

Uz usvojenu pretpostavku proračun se ponavlja bez tih agregata, a opterećenje potrošača se umanjuje za zbirni iznos limitiranih vrijednosti. Na taj način se vrši raspodjela opterećenja, između agregata kod kojih nije došlo do narušavanja ograničenja, po principu jednakih inkrementalnih troškova. Za agregate sa usvojenom vrijednošću snage, koja odgovara limitiranom iznosu, inkrementalni troškovi će biti različiti.

Ekonomska raspodjela opterećenja uz uvažavanje gubitaka prenosa 

Uobičajenih postupaka za uključivanje efekta gubitaka prenosa je izražavanje ukupnih prenosnih gubitaka kao kvadratne funkcije izlazne snage agregata. Najjednostavniji kvadratni oblik je

(5.16) ∑ ∑= =

=g gn

i

n

jjijiL PBPP

1 1

Opšta formula sadrži linearni i konstantni član, a navedena je kao Kronerova formula gubitaka

∑∑ (5.17) ∑= = =

++=g g gn

i

n

j

n

iiijijiL BPBPBPP

1 1 1000

Koeficijenti Bij su nazvani koeficijenti gubitaka ili kraće B-koeficijenti. Za B-koeficijente se pretpostvalja da su konstantni, a prihvatljiva tačnost može biti očekivana ako su stvarni radni uslovi blizu osnovnom stanju gdje su B-konstante izračunate. Problem ED se sada definiše funkcijom ukupnih proizvodnih troškova Fi, koja je funkcija izlaza agregata:

∑∑ (5.18) ==

++==gg n

iiiiii

n

iit PPFF

1

2

1γβα

Ovisno o ograničenjima, proizvodnja bi trebala da bude jednaka zahtijevanoj potrošnji plus gubicima u sistemu, tj. U modelu postoje ograničenja tipa jednakosti:

(5.19) LD

n

ii PPP

g

+=∑=1

Kao i ograničenja data nejednakostima: (max)(min) iii PPP ≤≤ gni ,,1K= (5.20) gdje su Pi(min) i Pi(max) minimalna i maksimalna ograničenja za svaki agregat i, respektivno.

Korištenjem Lagrangeovih multiplikatora i dodavanjem dodatnih članova obuhvaćenih ograničenjima tipa nejednakosti, dobija se proširena funkcija cilja:

(5.21) ∑∑∑===

−+−+−++=ggg n

iiiiii

n

ii

n

iiLDt PPPPPPPFL

1(min)(min)(max)

1(max)

1)()()( μμλ

Ograničenja tipa nejednakosti treba razumjeti na način da je µi(max) = 0 kada je Pi < Pi(max) i µi(min) = 0 kada je Pi > Pi(min). Drugim riječima, ako ograničenje nije narušeno, njegova pridružena promjenljiva µ jednaka je nuli, a odgovarajući oblik u (20) ne postoji. Ograničenja jedino postaju aktivna kada su narušena. Minimum ove funkcije se postiže kada su parcijalni izvodi ove funkcije po njenim promjenljivim jednaki nuli, odnosno kada vrijedi:

0=∂∂

iPL

(5.22)

0=∂∂λL (5.23)

0(max)(max)

=−=∂

∂ii

i

PPLμ

(5.24)

0(min)(min)

=−=∂

∂ii

i

PPLμ

(5.25)

Jednačine (24) i (25) ukazuju da Pi ne bi trebalo da ide izvan granica, a kada je Pi unutar granica µi(min) = µi(max) = 0. Prvi uslov, dat jednačinom (22) rezultira sa:

0)10( =−∂∂

++∂∂

i

L

i

t

PP

PF

λ

Pošto je

gnt FFFF +++= ...21 tada je

i

i

i

t

dPdF

PF

=∂∂

i stoga je uslov za optimalnu raspodjelu

λλ =∂∂

+i

L

i

i

PP

dPdF

gni ,,1K= (5.26)

Član i

LPP

∂∂ je poznat kao inkrementalni prirast gubitaka i-tog agregata.

Drugi uslov, dat jednačinom (22), razultira u

∑ (5.27) =

+=gn

iLDi PPP

1

Preuređivanjem jednačine (26) dobija se

λ=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− ∂∂

i

i

PP dP

dF

i

L11 gni ,,1K= (5.28)

ili

λ=i

ii dP

dFL gni ,,1K= (5.29)

gdje je Li poznat kao penalizacioni faktor i-tog agregata i dat je izrazom

i

LPPiL

∂∂−

=1

1 (5.30)

Dakle, efekat gubitaka prenosa je uveden penalizacionim faktorom sa vrijednošću koja zavisi od lokacije agregata. Jednačina (28) prikazuje da se minimalni trokovi dobijaju kada je inkrementalni trošak svakog agregata pomnožen sa penalizacionim faktorom i koji je isti za sve agregate. Inkrementalni trošak proizvodnje je dat sa (9), a inkrementalni gubici su dobijeni iz formule gubitaka (17) i izraženi su relacijom:

i

n

jjij

i

L BPBPP g

01

2 +=∂∂ ∑

=

(5.31)

Zamjenom izraza za inkrementalni trošak proizvodnje i inkrementalne gubitke u jednačinu (28) rezultira u

λλλγβ =+++ ∑=

i

n

jjijiii BPBP

g

01

22

ili

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + ∑

≠= λ

βλγ i

i

n

ijj

jijiiii BPBPB

g

01

121 (5.32)

Proširivanjem jednačine (31) na sve agregate rezultira linearnim jednačinama u matričnom obliku

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

λ

β

λβλβ

λ

γ

λγ

λγ

gn

gggg

gn

gg

g

g

nnnnnn

n

n

B

BB

P

PP

BBB

BBBBBB

0

02

01

2

1

21

22221

11211

1

11

21 2

1

2

1

MM

L

MOMM

L

L

(5.33)

ili u kraćem obliku (5.34) DEP =Rješavanje jednačina (32) zahtijeva iterativni postupak. U tu svrhu, iz jednačine (31), Pi u k-toj iteraciji može se izraziti iterativnim izrazom:

)(2

2)1()(

)()(0

)()(

iik

i

ijk

jijk

iik

ki B

PBBP

λγ

λβλ

+

−−−=

∑ ≠ (5.35)

Odakle slijedi iterativni postupak:

)(

1)(

)()(0

)(

)(2

2)1(k

LD

n

i iik

i

ijk

jijk

iik

PPB

PBBg

+=+

−−−∑ ∑

=

≠

λγ

λβλ (3.36)

ili (5.37) )()()( k

LDk PPf +=λ

Razvojem lijeve strane gornje jednačine u Taylorov red u okolini radne tačke λ(k) i zanemarivanjem članova višeg reda rezultira u

)()()(

)( )()( kLD

kk

k PPd

dff +=Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ λ

λλλ (5.38)

ili

( ) ( ) )(

)(

)()(

)()(

k

ddP

k

k

ddf

kk

i

PP

∑Δ

=Δ

=Δλλ

λλ (5.39)

gdje je

∑ ∑∑=

≠

= +

−+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ gg n

i iik

i

ijk

jijiiiiiikn

i

i

B

PBBBP1

2)(

)(0

)(

1 )(2

2)1(

λγ

γβγ

λ (5.40)

Dakle )() (5.41) ()1( kkk λλλ Δ+=+

gdje je

(5.42) ∑=

−+=Δgn

i

ki

kLD

k PPPP1

)()()(

Proces se nastavlja sve dok je ΔP(k) manja od zadane tačnosti. Ako se koristi približna formula gubitaka izražena sa

∑ (5.43) =

=gn

iiiiL PBP

1

2

Bij = 0, B00 =0, rješenje jednačine (5.35) svodi se na jednostavniji izraz

)(2 )(

)()(

iik

i

ik

ki B

Pλγ

βλ+

−= (5.44)

a jednačina (5.40) na

∑∑== +

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ gg n

i iik

i

iiii

kn

i

i

BBP

12)(

)(

1 )(2 λγβγ

λ (5.45)

6. POGONSKA KARTA SINHRONOG GENERATORA U analizi tokova snaga moguće je koristiti statički model sinhronog generatora prikazan na

slici 1.

jXs

Eq UG

Slika 1 Uprošćeni model sinhronog generatora u stacionarnom stanju

Na slici 1 sa Eq je označena "unutrašnja" elektromotorna sila iza sinhrone reaktanse Xs koja je srazmerna pobudnoj struji, a UG je napon na krajevima generatora.

U proračunu tokova snaga potrebno je uvažavati ograničenja na injektirane aktivne i reaktivne snage radnih režima sinhronih generatora. Posebno je važno modelovanje ograničenja za reaktivnu snagu, što se zasniva na pogonskoj karti (dijagramu) sinhronih generatora. Pogonska karta opisuje dozvoljenu oblast rada sinhronog generatora u stacionarnom stanju i dobija se na osnovu karakteristika snaga–ugao, koje u opštem slučaju imaju oblik:

2 1 1 2

2q G G

Gd q d

E U UP = sinδ+ - sin δX X X

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ (6.1)

2 2

2q GG G

d q

E U cos δ sin δQ = cosδ - U +X X

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ dX ⎠ (6.2)

Kod turbogeneratora je Xs = Xd = Xq, pa se dobijaju sljedeći pojednostavljeni izrazi:

q GG

s

E UP = sinδ

X (6.3)

2q G G

Gs s

E U UQ = cosδ+X X (6.4)

U prethodnim izrazima je zanemarena otpornost statorskog namotaja, pri čemu su PG i QG aktivna, odnosno reaktivna snaga generatora, a δ je ugao između vektora napona na krajevima generatora i q-ose.

Maksimalna i minimalna generisana reaktivna snaga (i za hidrogeneratore i za turbogeneratore), ako se kao ograničenje uzme zagrijevanje statorskog namotaja, tj. maksimalna dozvoljena struja statora Ia max, su:

2 2 2

2 2 2

Gsmax G amax G

Gsmin G smax G

Q = U I - P

Q = - U I - P (6.5)

Maksimalna reaktivna snaga (za turbogeneratore), ako se kao ograničenje uzme zagrijevanje pobudnog namotaja, tj. maksimalna dozvoljena pobudna struja, je:

2 22

22

G qmaxGGrmax G

d d

U EUQ = + - PX X (6.6)

gde je Eqmax elektromotorna sila iza sinhrone reaktanse koja je srazmerna maksimalnoj dozvoljenoj pobudnoj struji.

Za hidrogeneratore se ne može dobiti ovako jednostavan izraz, ali se može numerički izračunati QGr max.

Ograničenje koje se uvodi u slučaju kada je generator u potpobudi je ograničenje ugla rotora δ na neku maksimalnu vrijednost δmax. Ova vrijednost predstavlja maksimalni ugao između vektora napona koji predstavlja "kruti" spoljni sistem i q-ose generatora. Minimalna reaktivna snaga u tom slučaju je:

2G G

Grminmax q

P UQ = -tgδ X (6.7)

Ugao δmax se kreće u granicama od 70° do 85°, dok se u standardima za maksimalne

trajno dozvoljene vrednosti struja statora i pobude definišu 5% veće vrednosti od nominalnih, tj. Ismax = 1,05·Is nom i Eqmax = 1,05·Eqnom, gde su Eqnom i Isnom nominalna elektromotorna sila i nominalna struja statora generatora.

Na slikama 2 i 3 date su pogonske P–Q i Q–U karte (za generator nominalne snage 727,5 MVA u TENT–B, proizvođač je BBC). Na kartama se vidi da je npr. pod pretpostavkom da je aktivna snaga generatora konstantna, raspoloživa reaktivna snaga kad je generator nadpobuđen ograničena dozvoljenim zagrevanjem statorskog i pobudnog namotaja. Na P–Q pogonskoj karti su obeležene krive ograničenja po struji statora (QGs max), po struji pobude (QGr

max) i po uglu rotora (QGr min) za razne vrednosti napona na krajevima generatora. Takođe su prikazana i ograničenja po maksimalnoj (PG max) i minimalnoj snazi turbine (PG min).

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

UG=0,9UG=1,0

UG=1,0

QGrmin UG=0,9UG=1,0

UG=1,0

QGrmax

U t=0,95U t=1,00

U t=1,05

QGsmaxPGmax

PGmin

P [r.j.]

Q [r.j.]

Sl. 2 Pogonska P–Q karta turbogeneratora snage 727,5 MVA

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 2.

1.0

PG=1,0PGmax

QGrmin

UG [r

.j.]

Q [r.j.]

PG=0,8PGmax

PG=0,6PGmax

PG=1,0PGmax

QGsmax

PG=0,8PGmax

PG=0,6PGmax

PG=1,0PGmax

QGrmax

PG=0,8PGmax

PG=0,6PGmax

Sl. 3 Pogonska Q–U karta turbogeneratora snage 727,5 MVA

7. Proračun kratkih spojeva matričnim postupkom (Rajković) Kod velikih EES praktični proračuni struja kratkih spojeva, odnosno napona po pojedinim

sabirnicama u kvazistacionarnim stanjima za vreme trajanja kratkog spoja su nezamislivi bez računara. Iz tih razloga potrebno je raspolagati sa sistematizovanom bazom podataka kao polaznom osnovom za ove proračune (podaci o parametrima pojedinih sistema) kao i odgovarajućim matematičkim modelom, odnosno izrazima primerenim za n-sabirnički elektroenergetski sistem.

7.1. Proračuni trofaznih kratkih spojeva matričnim postupkom pomoću 

matrice impedansi čvorova 

U ovom delu će najpre biti izložen postupak proračuna simetričnih otočnih kvarova, dakle trofaznih kratkih spojeva, matričnim postupkom, za zadatak ilustrovan na sl. 7.1, korišćenjem matrice impedansi čvorova.

a)

n

q

Zk

SPn

SPq

SPi

i

Gi

Ti

Tn

Gn

Viq

Vqn

monofazna šema

b)

n

q

Zk

i

ET=Vqr

jXGi

ZPn

ZPi

jXTi

ZPq

pasivni sistem

jXGn

jXTn

jXViq jBViq/2

jBViq/2

jXVqn

jBVqn/2

jBVqn/2

Iqk

Sl. 7.1 Primer sistema za proračune trofaznih kratkih spojeva matričnim postupkom

Pretpostavlja se da će se trofazni kratki spoj desiti na sabirnicama q. Na tim sabirnicama prikazana je strukturna promena sa jednom granom kojom se simulira kvar i čija je odgovarajuća

impedansa kvara Zk. Radni naponi pre kvara formiraju n-dimenzioni vektor radnih napona, koji se po pretpostavci poznaje na osnovu proračuna tokova snaga. I kod proračuna napona i struja za vreme trajanja kratkog spoja matričnim postupkom najpre se formira Theveninov ekvivalent. Na sl. 7.2 vod koji povezuje sabirnice i i q obeležen je sa Viq. Saglasno prethodnim objašnjenjima Theveninov ekvivalent se formira tako da se sve ems u složenoj ekvivalentnoj šemi celog EES-a kratko spoje, a ostali elementi mreže (generatori, transformatori, vodovi i potrošači) se zamene odgovarajućim pasivnim ekvivalentnim šemama.

Na prethodnoj šemi su (šema pasivnog sistema), zbog pojednostavljenja, aktivne otpornosti generatora, transformatora i vodova zanemarene, dok su u impedansi potrošnje i u impedansi kvara aktivne otpornosti prisutne. Kompleksne snage potrošnje označene su sa PS (na sabirnicama i ta snaga je PiS ), a kompleksne impedanse potrošnje sa PZ . Naravno, imajući u vidu da je ovaj model u osnovi orijentisan na računarske primene ovakva zanemarenja nisu od nekih posebnih potreba, ali se u aproksimativnim proračunima uobičajeno tako radi kako bi se fizička slika problema uvažavala. Naime, ako se uzme u obzir da je u prenosnim mrežama tipičan odnos aktivne i reaktivne otpornosti za 220 kV vodove R:X = 1:4, a za 400 kV vodove čak R:X = 1:11, i nadalje ako se ima u vidu da je kod velikih interkonektivnih transformatora R:X = 1:10 ÷1:20, a kod ogromnih sinhronih generatora R:X = 1:100, onda se vidi da prethodna pojednostavljenja imaju smisla. Primećuje se da kako se ide od voda preko transformatora do generatora ovi odnosi sve više rastu.

Theveninova ems je jednaka faznom radnom naponu koji vlada na sabirnicama q, neposredno pre nastanku kvara. Na slici koja odgovara pasivnom sistemu, naponi sabirnica su jednaki, kako je to već prethodno objašnjeno pri primeni Theveninove teoreme, promenama napona koje su posledica strukturne modifikacije mreže na sabirnicama q. Te promene napona formiraju n-dimenzioni vektor promena napona koji se računa na pasivnom sistemu (zato indeks Δ za ove promene napona):

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ

Δ

ΔΔ

=Δ

n

q

U

U

UU

M

M2

1

U (7.32)

Analizirani n-sabirnički sistem na prethodnoj slici se može predstaviti preko matrice impedansi čvorova, vZ č . Osnovna matrična jednačina pasivnog sistema povezuje struje injektiranja sa naponima čvorova (odnosno sa promenama napona): IZU vč =Δ (7.33) U konkretnom slučaju ta matrična jednačina je primenjena na pasivni sistem. Vektor I je n-dimenzioni vektor struja injektiranja. U pasivnom sistemu struja injektiranja postoji samo na sabirnicama koje su pogođene kvarom, a to su po pretpostavci sabirnice q. Elementi vektora I su pozitivni kad su struje injektiranja usmerene ka sistemu, tako da je u posmatranom slučaju struja injektiranja negativna jer teče iz sistema u zemlju.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

0

00

M

M

qkII (7.34)

Dakle, samo q-ta komponenta vektora struja injektiranja je različita od nule. Sa pasivnog sistema se nalaze elementi vektora ΔU a zatim se nalaze naponi za vreme trajanja kvara, preko sabiranja radnih napona i promena napona: UUU rk Δ+= (7.35) Ako se relacija (7.33) zameni u (7.35) dobija se: IZUU cvrk += (7.36)

U jednačini (7.36) se ima ukupno (n+1) nepoznata, i to n nepoznatih napona za vreme trajanja kvara, koji su u suštini principijelne nepoznate u ovim proračunima, i to su elementi vektora kU kao i struja koja teče u mesto kvara za vreme trajanja kvara, nenulti element vektora I

Prema tome, kako se u jednačini (7.36) ima n skalarnih relacija, to je potrebna još jedna skalarna jednačina da bi se zatvorio problem u matematičkom smislu. Ta relacija je skalarna relacija na impedansi kvara, za vreme trajanja kvara:

.

qkkqk IZU = (7.37) Razvijena forma matrične relacije (7.36) izgleda ovako:

qknqnrnk

qkqqqrqk

qkqrk

qkqrk

IZUU

IZUU

IZUU

IZUU

−=

−=

−=

−=

M

M

222

111

(7.38)

Ako se relacija (7.37) smeni u q-tu relaciju sistema (7.38) dobije se:

qqk

qrqk ZZ

UI

+= (7.39)

Kako je brojilac u prethodnom izrazu, Uqr, radni napon na sabirnicama q pre kvara, poznat iz proračuna tokova snaga, to se onda poznaje i struja kvara Iqk. Vraćanjem relacije (7.39) u

jednačine (7.38) dobijaju se konačni izrazi za napone za vreme trajanja kvara. Za sabirnice indeksa i kao opšti reprezent sabirnica važi:

qi n,=i UZZ

ZUU qr

qqk

iqirik ≠

+−= K1,2, (7.40)

Za sabirnice indeksa q (sabirnice u kvaru) važi:

qrqqk

kqk U

ZZZ

U+

= (7.41a)

Ako je u pitanju metalni trofazni kratki spoj, tada je 0=kZ , pa sledi: 0=qkU (7.41b)

qrqq

iqirik U

ZZ

UU −= (7.42)

U prethodnim formulama je sa Zqq označen element matrice impedansi čvorova na poziciji qq, dakle, element sa glavne dijagonale matrice impedansi čvorova. Formalno je to istovremeno i ekvivalentna Theveninova impedansa, ZT, a kako je ovde u pitanju trofazni kratki spoj, onda se ima samo direktni komponentni sistem, pa je to jednovremeno i ulazna impedansa direktnog komponentnog sistema viđena otočno sa mesta kvara:

ekvdTqq ZZZ ≡≡ .

Proračuni nesimetričnih kratkih spojeva matričnim postupkom pomoću matrice impedansi čvorova Proračuni nesimetričnih kratkih spojeva matričnim postupkom predstavljaju najopštiji zadatak. Za ovaj generalni slučaj mora se i notaciji posvetiti odgovarajuća pažnja. Radno stanje, kao i do sada, biće obeležavano sa indeksom r a stanje za vreme trajanja kvara sa indeksom k, dok veličine pridružene stanju na pasivnom sistemu, tj. na Theveninovom ekvivalentu, biće obeležavane sa T. Indeksi koji su pridruženi odgovarajućim direktnim, inverznim i nultim simetričnim komponentama su: d,i,o.

a

b

c

U ka q

U kcq

U kb q

im pedan sa kva ra

IkcqIk

b qIka q

q

Z k

Sl. 7.2 Predstava impedanse kvara u opštem slučaju

Sabirnice (čvorovi) u EES-u biće obeleženi indeksima 1 do n (sl. 7.1). Naravno, sabirnice

na potencijalu zemlje su linearno strujno zavisne sabirnice i one su u stvari indeksa n+1. Faze EES-a biće obeležene sa a, b i c. EES je određen poznavanjem matrice impedansi čvorova čvZ . Nesimetričan kvar se po pretpostavci dešava na sabirnicama q, sl. 7.2. Priroda (vrsta) kvara mora biti potpuno određena i formalno se to može svesti na poznavanje matrice otočnih impedansi kvara kZ . Ovim pristupom može se postići potpuna generalizacija proračuna, sl. 7.3.

a

b

c

U kaq

U kcq

U kbq

Ikcq Ik

bq Ikaq

Z cZ bZ a

q

Z z

Sl. 7.3 Predstava impedanse kvara u razvijenom obliku

Osnovna naponska jednačina, na osnovu sl. 7.3, je oblika:

( ) zkcq

kbq

kaqa

kaq

kaq ZIIIZIU +++= (7.43)

Ili u matričnom obliku:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

kcq

kbq

kaq

zczz

zzbz

zzza

kcq

kbq

kaq

III

ZZZZZZZZZZZZ

UUU

(7.44)

U prethodnim relacijama sa superskriptom k obeležavano je stanje za vreme trajanja

kvara. Treba uočiti da je i matrica otočnih impedansi kvara obeležena indeksom k. Ova matrica sadrži u svojoj strukturi otočne elemente po fazama ( aZ , bZ , cZ ) i zajednički otočni element, impedansu prema zemlji zZ čija priroda može da bude različita (npr.impedansa luka). Ovakva generalizacija omogućava da se ma koji poseban slučaj otočnog kvara generiše veoma jednostavno. Tako se slučajevi tipičnih kvarova dobijaju kao:

jednofazni kratki spoj (k1Z) se ima ako je: Zb = Zc = ∞ a Za = Zz = 0, dvofazni kratki spoj sa zemljom (k2Z) se ima ako je: Za = ∞ a Zb = Zc = Zz = 0. dvofazni kratki spoj (k2) se ima ako je: Zb = Zc = 0 a Za = Zz = ∞,

Prelaz od matrice kZ kao simetrične matrice u koordinatama faznih veličina, na odgovarajuću matricu sa simetričnim komponentama vrši se primenom već objašnjenih postupaka. U faznim koordinatama opšta jednačina na impedansi kvara, odnosno jednačina (7.44) u matričnoj notaciji izgleda ovako:

cbacba ,,kqk

,,kq IZU = (7.45)

gde je cba ,,

kqI vektor struje kvara na sabirnicama q u faznim koordinatama. Ova relacija se prevodi u koordinate simetričnih komponenata primenom matrice transformacije F i množenjem tako dobijene jednačine sa inverzijom ove matrice, a kako je pokazano u narednoj relaciji:

1oi,d,

kqkoi,d,

kq FIFZUF −= / (7.46) i,od,

kqk1i,od,

kq IFZFU −= (7.47a)

i,od,

kqi,od,

ki,od,

kq IZU = (7.47b) Matrica impedansi kvara u koordinatama simetričnih komponenti uvodi se na osnovu poređenja relacija (7.47a) i (7.47b):

FZFZ k1oi,d,

k−= (7.48a)

Posle naznačenih izračunavanja dobija se:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++++++++++

++++++=

zcbacbacba

cbacbacba

cbacbacba

ZZZZZaZaZZaZaZZaZaZZZZZaZaZZaZaZZaZaZZZZ

922

22

22

od,i,kZ

(7.48b)

Očigledno da matrica u (7.48b) nije simetrična. Pored matrice impedansi kvara ponekad je korisno uvesti u razmatranje i matricu

admitansi kvara oi,d,kY kojom se izbegava problem beskonačno velikih vrednosti pojedinih

impedansi. Osnovni zadatak u proračunima kvazistacionarnih stanja za vreme trajanja kratkog spoja

je nalaženje struja i napona, kako na sabirnicama koje su pogođene kvarom, tako i na svim ostalim sabirnicama. Kako su osnovne nepoznate kod proračuna struja kratkih spojeva naponi za vreme trajanja kvara i pošto su oni vezani sa strujama injektiranja preko matrice impedansi čvorova, to se zaključuje da je matrica impedansi čvorova u principu nešto logički pogodnija kod proračuna kratkih spojeva (kod proračuna raspodela snaga matrica admitansi je osnovna matrica).

U opštem slučaju kod nesimetričnih kvarova, matrica impedansi čvorova je dimenzija (3n×3n) i prema tome ona se ispisuje za sva tri redosleda simetričnih komponenti, direktan, inverzan i nulti: od,i,

vZč . Analogno se naponi i struje predstavljaju kao 3n-dimenzioni vektori po sabirnicama

indeksa 1,2,…,q,…n, odnosno kao:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

on

in

dn

o

i

d

o

i

d

UUU

UUUUUU

M2

2

2

1

1

1

oi,d,U (7.49)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

on

in

dn

o

i

d

o

i

d

III

IIIIII

M2

2

2

1

1

1

oi,d,I (7.50)

U kompaktnoj matričnoj notaciji osnovna matrična jednačina postaje: oi,d,

čvoi,d, IZU = (7.51)

U relaciji (7.51) se ima 3n skalarnih jednačina (n u direktnom, n u inverznom i n u nultom komponentnom sistemu). Ova matrična veza primenljiva je i za radno stanje, i za stanje za vreme trajanja kvara, kao i za stanje na pasivnom sistemu, i samo se formalno menjaju indeksi koji određuju ova stanja Umesto prethodnog načina ispisivanja relacija, nesimetrični kvarovi se mogu modelovati i preko n-dimenzionih matričnih relacija. Međutim, kod ovakve interpretacije svaki od elemenata odgovarajućih vektora ima tri sub-elementa, koji sadrže informacije o d,i,o komponentnim sistemima. Razvijena skalarna relacija za sabirnice indeksa j u tom slučaju izgleda ovako:

o,i,d

no,i,d

jno,i,d

jo,i,d

jjo,i,do,i,d

jo,i,do,i,d

jo,i,d

j IZIZIZIZU +++++= KK2211 (7.52)

Kod ovakvog pristupa, relacija (7.52), očevidno je da se radi o vektorima koji sadrže po tri informacije.

Na osnovu ovakvih razmatranja i na osnovu podataka o matrici impedansi kvara moguće je dati generalne formule za izračunavanje struja i napona za vreme trajanja kvara po svim sabirnicama i po svim granama. Pretpostavlja se da do nesimetričnog kvara dolazi iz simetričnog radnog stanja, a to znači da radnom stanju odgovara vektor napona u kojem su samo direktne komponente različite od nule. Prema tome ima se:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

00

00

00

2

1

dnr

dr

dr

U

U

U

M

oi,d,rU

(7.53)

Prema prethodnim razmatranjima moguće je za izračunavanje napona za vreme trajanja

kvara napisati generalnu relaciju koja uvažava princip superpozicije:

oi,d,

kd.i.očv

dr

oi,d,k IZUU += (7.54)

Matrica impedansi čvorova sistema, vZ č , je matrica impedansi kojom se modeluje cela

mreža, odnosno ceo sistem, dok je kZ matrica impedansi kvara. Vektor struja injektiranja u poslednjoj relaciji ima nenulti element samo na poziciji q, pošto su samo sabirnice q pogođene kvarom. U ekvivalentnoj šemi koja odgovara stanju kad se cela mreža učini pasivnom, jedina nenulta struja injektiranja sa negativnim znakom se prema tome ima samo na sabirnicama pogođenim kvarom:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

0

00

M

Mo,i,d

kqIoi,d,

kI (7.55)

Poredenjem sa proračunima pri trofaznom kratkom spoju vidi se da je ključna razlika u

odnosu na simetričan slučaj tri puta veća dimenzionalnost problema. U matričnoj relaciji (7.54) nepoznate veličine figurišu sa leve strane i to su naponi za vreme trajanja kvara. Struje injektiranja u sva tri komponentna sistema mogu se naći posle naredne analize. Relacija (7.54) se najpre razvije po komponentama:

oi,d,kq

oi,d,nq

drn

oi,d,kn

oi,d,kq

oi,d,qq

drq

oi,d,kq

oi,d,kq

oi,d,2q

dr2

oi,d,k2

oi,d,kq

oi,d,1q

dr1

oi,d,k1

IZUU

IZUU

IZUU

IZUU

−=

−=

−=

−=

M

M

(7.56)

Svaka od relacija (7.56) sadrži po tri skalarne relacije. Koristeći q-tu relaciju iz jednačina (7.56) u kombinaciji sa jednačinom na impedansi kvara: od,i,

kqod,i,

kod,i,

kq IZU = (7.57) može se eliminisati struja za vreme trajanja kvara na sabirnicama q. Izjednačavanjem desnih strana dobija se:

od,i,

kqod,i,

qqdrq

od,i,kq

od,i,k IZUIZ −= (7.58a)

odakle sledi:

{ } drq

od,i,qq

od,i,k

od,i,kq UZZI

1−+= (7.58b)

Relacija (7.58b) omogućava izračunavanje struja u d,i,o komponentnom sistemu koje

teku kroz mesto kvara. Ona sadrži po tri relacije. Zamenom relacije (7.58b) u relacije (7.56) dobijaju se definitivni izrazi za proračune napona svih sabirnica za vreme trajanja kvara:

{ } n,...,=j ,qj 1,2za1

≠+−=−

UZZZUU drq

oi,d,qq

oi,d,k

oi,d,jq

dj

oi,d,kj (7.59a)

{ } qj =+=−

za1 d

rqoi,d,

qqoi,d,

koi,d,

koi,d,

kq UZZZU (7.59b) Struje po granama za vreme trajanja kvara nalaze se na osnovu elementarne veze, tj. na osnovu poznatih napona čvorova i impedansi pojedinih grana.

Matrice tipa oi,d,

jqZ su dijagonalne i nalaze se pomoću algoritma korak po korak primenjenog na ekvivalentne šeme direktnog, inverznog i nultog redosleda. Ove matrice je moguće izračunati i preko matrica admitansi, što se po pravilu za velike mreže pokazuje kao komplikovanije.

Matrice oblika oi,d,

kZ nisu simetrične zbog razloga objašnjenih prilikom izračunavanja opšte impedanse kvara.

8. Proračun kratkih spojeva (Prevod s engleskog) 

8.1.  Uvod 

Glavni cilj analize kvarova je proračun struja kvara i napona, potrebnih za određivanje prekidne sposobnosti (snage) prekidača i performansi zaštitnih releja.

Ranije metode su kod proračuna kvarova podrazumijevale sljedeće aproksimacije:

‐ Pretpostavlja se da svi naponski izvori imaju apsolutnu vrijednost 1 p.u. i relativni fazni ugao(stav) 0 stepeni,što je ekvivalentno zanemarenju doprinosa struje prije kvara.

‐ U proračunu generatora, uzimamo samo induktivne parametre ‐ Dozemni kapaciteti i impedansa magnetiziranja transformatora su zanemareni.

Uzimajući u obzir gore navedene pretpostavke, vrlo lako se izračuna ekvivalentna impedansa mreže,koja se kasnije može upotrijebiti u zavisnosti od vrste kvara. Analiza strujnog kruga biva korištena da se izračunaju simetrične komponente napona i struja i pomoću njih,koristeći transvormaciju inverzne komponente , fazne komponente (tj napone i struje).

Premda je rješavanje problema pomoću kompjutera još uvijek isto, potreba za raznim aproksimacijama je nestala.

Trofazni modeli sistema obrađeni u Poglavlju 2, koji uključuju zajedničke efekte međufaznih i paralelnih vodova, lako se mogu iskombinovati i proizvesti sistem matrice admitansi ili matrice impedansi, i tako omogućiti tačan model za analize kvarova naizmjeničnog sistema.

Kako god, glavni razlozi dati za korištenje u faznom domenu koji se koriste kod tokova snaga su manje relevantni ovdje. Dodatni gubitci i uticaj harmonika predstavljaju manji problem

u manjem vremenskom intervalu, prije nego se kvar otkloni. Studije kvarova se obično koriste za dobro uravnotežene sisteme,bilo za sisteme u pogonu ili sisteme u fazi planiranja; a mogu se koristiti i za sisteme koji su dovoljno provjereni kroz studiju tokova snaga.

Osim toga, nebalansirani kvarovi uključuju velike „pretvaračke“ uređaje, i ako imaju potrebu za za trofaznonim predstavljanjem, ne mogu biti predstavljeni statičkim modelima.

Naposljetku☺, studije kvarova predstavljaju sastavni dio „više mašinskog“(podrazumjeva veći broj generatora) programa tranzijentne stabilnosti, čija složenost uglavnom ne dopušta trofazni pristup.

Jednofazna prezentacija, izvedena uz pomoć transformacije simetričnih komponenti, je korištena u ovom poglavlju kao osnova za razvoj studije kvara.

8.2.  Analiza trofaznih kvarova 

Početna faza analize je prikupljanje potrebnih podataka koji karakterišu sistem, koji će biti analizirani u odnosu na stanja napona, opterećenja i proizvodnje, prije kvara. Takvi podaci se prerađuju u formu jednačina napona čvorova mreže, sastavljene od admitansi i injektiranih struja.

Generatori se predstavljaju kao konstantni naponski izvori EM sa admitansom yM, čija vrijednost zavisi od vremena računanja od momenta početka kvara. Ovo je prikazano na slici 8.1(a).

SLIKA 8.1 predstavljanje generatora

Kada analiziramo prva dva ili tri perioda koja slijede nakon kvara,uglavnom u obzir uzimamo subtranzijentnu admitansu; međutim ako je u pitanju duže vrijeme, prikladnije je da koristimo tranzijentnu admitansu. Model izvora, prikazan na slici 8.1(a), je preoblikovan u čvorni ekvivalent Nortonovom teoremom koja mijenja naponski u strujni izvor, injektiran u sabirnicu j, prikazano na slici 8.1(b). Ovo je najefikasnije, jer je dalji čvor kod j` neophodan za definisanje admitanse yM.

Injektirana struja čvora je data sa

(8.2.1)

Gdje je (8.2.2) pa je (8.2.3)

IjM je struja potrebna kao napon Vj da proizvede snagu Pj

M+jQjM, pa je

(8.2.4)

Iz podataka o tokovima snaga PM, QM i VM možemo izračunati injektiranu struju čvora Ij

kao:

(8.2.5)

Matrične jednačine admitansi 

Uzmimo kao referentni jednostavni sistem dat na slici 8.2. Svaki element je pretvoren u svoj čvorni ekvivalent. Oni su povezani zajedno kao što je prikazano na slici 8.3 i konačno pojednostavljen u ekvivalentni strujni krug na slici 8.4.

Slika 8.2 primjer malog EES-a

Za mrežu na slici 8.4 jednačine su

Ili u matričnom obliku nakon grupisanja zajedničkih elemenata za svaki napon:

Slika 8.3 zamjenski model

Slika 8.4 Konačna ekvivalentna šema

Gdje je Yii=∑yij

Yij=-yij i≠j

Jednačina (8.2.11) se obično zapisuje u obliku

[I]=[Y][V] (8.2.12)

Gdje su [I] i [V] vektori struje i napona, respektivno, a [Y] je matrica admitansi čvorova sistema na slici 8.2.

Može se vidjeti iz jednačina (8.2.6) do (8.2.10) da se nenulti elementi pojavljuju samo gdje postoji veza između čvorova. Kako je svaki čvor ili sabirnica povezana sa manje odčetiri ostala čvora, obično je popriličan broj nultih elemenata u svakom sistemu sa više od deset sabirnica. Ta sparsnost (veliki broj nula u matrici) je iskorištena na taj način što se koriste samo ne nulti elementi.

 

Matrica impedansi 

Jednačina admitansi čvorova je neefikasna jer zahtijeva komletno iterativno rješenje za svaku vrstu kvara i svako mjesto kvara. Umjesto toga, jednačina (8.2.12) može se zapisati i kao

[V]=[Y]-1[I]=[Z][I] (8.2.13)

Ova jednačina koristi matricu impedansi čvorova [Z] i omogućava korištenje Tevenenovog ekvivalenta, prikazano na slici 8.5, što će, biće prikazano kasnije, što će pružiti direktno rješenje uslova kvara svakog čvora. Međutim, inverzija metrice dovodi do matrice impedansi sa nenultim elementima na svakom mjestu Zij.

Sparsnost (rijetkoća, veliki broj nula) matrice [Y] može biti sačuvana korištenjem efikasne tehnike inverzije, te matrica impedansi čvorova može se računati direktno iz faktorizirane matrice admitansi.

Računanje kvara 

Iz početnih podataka, vrijednosti [I] se prvo računaju iz jednačine (8.2.5), korištenjem napona od 1 pu. Ovo se sad može koristiti da se dobije bolja procijena za [V], tj. napon za svaki čvor, prije kvara, korištenjem jednačine (8.2.13). Ako su početni podaci uzeti iz tokova snaga, ovakav način računanja neće imati nikakve razlike.

Program sada ima dovoljno informacija za računanje napona i struja tokom trajanja kvara.

Napon na sabirnici k, na kojoj je kvar, sa slike 8.6 je

Vkf=ZfIf (8.2.14)

Gdje su

k sabirnica na kojoj je kvar

Zf impedansa kvara

If struja kvara

SLIKA 8.5 Thevenenov ekvivalent sistema prije kvara

SLIKA 8.6 Thevenenov ekvivalent sistema poslije kvara

Jednačina (8.2.13) može se zapisati kao

Odabirući red k i proširujući:

Ova jednačina opisuje napon na sabirnici k prije kvara. Za vrijeme kvara, ogromna struja kvara If ide iz sabirnice k. Uvrštavajući ovu struju u jednačinu (8.2.16) i koristeći jednačinu (8.2.14) dobija se:

Ili

Struja kvara je direktno data sa:

Također, iz jednačine (8.2.15) napon bilo koje druge sabirnice j, prije kvara

a za vrijeme kvara

Iz jednačina (8.2.19) i (8.2.22) naponi kvara na svakoj sabirnici u sistemu mogu se izračunati, a svako računanje zahtijeva samo jednu kolonu iz matrice impedansi. Koristeći rutinu bifaktorizacije, k-ta kolona može se dobiti množenjem matrice impedansi sa vektorom koji ima „1“ u k-tom redu i sve ostale „0“ kao npr.

Kada je Zkk poznato If se izračuna iz jednačine (8.2.19). If je oduzeto od početnih čvornih struja prije kvara, te formiramo novi vektor [If], definisan kao

Ijf=Ij za j≠k, j= 1 do n

Ikf=Ik-If za j=k

Naponi za vrijeme kvara su dati kao prozvod matrice impedansi i ovog novog vektora [If]

[Vf]=[Z] [If] (8.2.24)

Jednačina (8.2.24) je ekvivalentna jednačini (8.2.22) zbog sljedećeg razvoja

[If]=[I]-[0,0,0,...If,...0]T

iz koje se jednačina(8.2.24) razvija kao

[Vf]=[Z]{[I]-[0,0,0,...If,...0]T}

Ili

[Vf]=[V]-[Z][0,0,0,...If,...0]T

Što je ekvivalentno jednačini (8.2.22).

Sada kada su naponi kvara poznati, struje po granama između sabirnica mogu se izračunati iz originalnih admitansi grana:

Korekcija je neophodna na sekundarnoj strani regulacionog transformatora što je dato izrazom

Odnoseći se na sliku na sliku 8.7, doprinos struje kvara generatora je

IiMf=(Ei

M-Vif)yi

M

Ili zamjenom Ii=yiMEi

M (iz jednačine (8.2.1)).

IiMf= Ii

M- Vif yi

M (8.2.27)

8.3. Analiza nesimetričnih kvarova 

Ako je mreža nesimetrično pokvarena☺ ili opterećena, ni fazne struje niti fazni naponi, neće imati trofaznu simetriju. Analiza neće moći dalje biti ograničena na jednu fazu i admitanse svakog elementa će biti predstavljene kao matrica 3x3 koja će, pretpostavljajući da je proizvodni sistem simetričan, biti simetrična tj:

Slika 8.7. Zamjenska šema generatora koja prikazuje doprinos struje kvara

Matrica (8.3.1) može biti dijagonalizirana pomoću transformacije simetričnih komponenti (T*)tYT u komponentenuldtog direktnog i inverznog redosljeda tj:

Gdje su:

Osim toga, za ztacionarne balnsirane elemente sistema admitanse abY i acY su jednake i jednačina (8.3.3) pokazuje da korespondentne (odgovarajuće) admitanse direktnog i inverznog redosljeda su takođe jednake. Često se koridti i pojednostavljujuća pretpostavka, da su admitanse direktnog i inverznog redosljeda rotirajućih mašina jedanke. Ova pretpostavka ima samo smisla kada se koriste subtrnzijentne admitanse (ovo je dobro za programe kad se pišu jer zauzima se znatno manje memorije računara, što nas neinteresuje ☺).

Matrice admitansi 

Podatci koji karakterišu svaki element sistema se tada koriste da bi se formirale sljedeće tri čvorne jednačine (jednačine čvorova):

Gdje su:

0Ii-nulta komponeneta injektirane struje u sabirnicu i

1Vi-direktna komponenta napona na sabirnici i

2yni-admitansa inverznog redosljeda na sabirnici i

Gornje jednačine se mogu napisati i kao:

Gdje je

γYij=-γyij za i=1...,n; j=1...,n j≠i γ=0,1 ili 2

i γYii=∑ za i=1...,n; γ=0,1 ili 2

Matrice simetričnih komponenti (misli se na direktnu inverznu i nultu komponentu tj matrice 0Y 1Y i 2Y) mogu biti sada pretvorene u trougaone matrice metodom bifaktorizacije. Pošto su sve tri matrice admitansi indentične sutrukture, proces može biti efikasnije tako što se one simultano (istovremeno) prebacuju u trougaone matrce (opet kaže da je to dobro za programere lakše im pokazivače na vektore napravit ☺).

Proračun kvarova (kratkih spojeva) 

Kako je već objašnjeno, matrica impedansi čvorova za tofazni kratak spoj sada se može izračunati direkno iz reduciranih matrica admitanci čime se dobijaju sljedeće jednačine za simetrične komponente matrica impedansi:

Pošto se predpostavlja da je sistem simetričan prije kvara, vektori nulte i invezne komponente su jednaki nuli, tj. nepostoji nulta i inverzna komponenta napona prije nastanka kvara.

Mreža (zamjenska šema učili smo to iz mreža koga interesuje može se podsjetit ☺) direktnog redosljeda sada zapravo predstavlja uslove u mreži prije kvara,a jednačina (8.3.11) se korisi za iztačunavanje napona u mreži prije nastanka kvara. Ako su naponi,korišteni u mašinskom modelu, dobiveni iz proračuna tokova snaga, tada jednačina (8.3.11)neće pridonjeti pobošanju rezultata (ovo je nebitno);međutim ako su početni naponi predpostavljeni sa apsolutnom vrijednošću 1 p.u. i uglom nula, proračun pomoću izraza (8.3.11) će obezbjediti tačnije vrijednosti za napone prije kvara.

Jednofazno ekvivalentno kolo se dobiva sada povezivanjem tri jednofazna kola, (koja predstavljaju pojedine od simetričnih komponenti) međusobno, ovisno o vrsti kvara koja se analizira.

Kratki spojevi 

Pogodan način za simulaciju mjesta kvara F, radi analize kratkih spojeva, prikazan je na slici 8.8..

On uključuje tri impedanse kvara aZ, bZ i cZ i tri injektirane struje aIf, bIf i cIf. Za sve vrste kratkih spojeva, moguće je napisati jednačine koje povezuju struje i napone na mjestu kvara. Npr. slika 8.9 prikazuje slučaj jednopolnog kratkog spoja sa zemljom na sabirnici k .

Slika 8.8 Mjesto kvara

Slika 8.9. Jednofazni kratak spoj sa zemljom

Jednačine koje povezuju napone i struje su:

Koristeči izraze (8.3.13) i (8.3.14), i simetrične komponente dobija se:

Takođe, simetrične komponente napona na mjestu kvara mogu biti opisane sljedećim jednačinama:

Iz jednačina od (8.3.15) do (8.3.19) dobija se sljedeće:

Na sličan način se dolazi do izraza za struje kod ostalih tipova kratkih spojeva. Rezultati za jednopolni kratak spoj sa zemljom (Line to Ground), dvopolni kratak spoj (Line-to-Line), dvopolni kratak spoj sa zemljom (Line-to-Line-to-Ground) i tropolni kratak spoj(Line-to-Line-to-Line) su dati u sljedećoj tabeli.

Tabela 8.1. Struje kvara za kratke spojeve

Kvar L-L-L-G treba biti L-L-L ili je greška u tekstu

Gdje su:

Ove struje na mjestu kvara se zatim dodaju vektorima struja [0I],[1I] i [2I] i na taj način se dobijaju vektori struja kvara [0If],[ 1If] i [2If]. Za kvar na sabirnici k ove struje su:

Naponi kvara se sada dobivaju iz jednačina od (8.3.10) do (8.3.12) tako što se vektori struja prije kvara mjenjaju vektorima struja kvara tj.: