1

EKSTREMUMI FUNKCIJA VIE PROMENLJIVIH ( II deo )

USLOVNI EKSTREMUM

Ovde osim funkcije imamo zadate i uslove. Najee je to jedan uslov, ali u ozbiljnijim primerima mogu biti dva i

vie njih.

Ako je recimo zadata funkcija f (x) , i uslov (x) mi najpre oformimo funkciju :

( ) ( ) ( )F x f x x = +

je nepoznati koeficijenat koji traimo:

- naemo prve parcijalne izvode i izjednaimo ih sa nulom

- odatle izrazimo x i y preko

- zamenimo x i y u uslov (x) i odredili smo vrednost za ( moe ih biti i nekoliko)

- vratimo tu vrednost u x i y , dobijamo tako stacionarne take.

- traimo drugi totalni diferencijal 2d F da bi ispitali da li je u pitanju maksimum ili minimum

( ako je 2 0d F < u pitanju je max, a ako je 2 0d F > u pitanju je min.)

primer 1.

Nai uslovne ekstremume funkcije z ax by= + ako je uslov 2 2 1x y+ = Reenje: Dakle, prvo oformimo funkciju:

2 2( 1)F ax by x y= + + + pazite , stavlja se uslov izjednaen sa nulom! 2 2 2 21 1 0x y x y+ = + =

Dalje traimo prve parcijalne izvode i izjednaavamo ih sa 0.

2

2 2( 1)

2

2

2 02

2 02

F ax by x y

Fa x

x

Fa y

y

aa x x

bb y y

= + + +

= +

= +

+ = =

+ = =

Ovo zamenimo u uslov da naemo vrednost za :

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2

1 2

1

( ) ( ) 12 2

14 4

44 4 2

2 2

x y

a b

a b

a b a b a ba b

a b a b

+ =

+ =

+ =

+ + ++ = = = =

+ += + =

Imamo dve vrednosti , to znai da imamo dve stacionarne take. Najpre emo zameniti 1

2 2

12

22

a b

a ax x

+= +

= = 2 2

2

a b+ 2 2

22

ax

a b

b by y

= +

= = 2 2

2

a b+ 2 2

2 2 2 2( , )

by

a b

a bM

a b a b

= +

+ +

Ispitujemo da li je maksimum ili minimum preko totalnog diferencijala drugog reda:

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

Fa x

x

Fa y

y

F

x

F

y

F

x y

= +

= +

=

=

=

pa je odavde:

2 2 22 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

1

2

2

2 0 2

2 ( )

2

2

F F Fd F dx dxdy dy

x x y y

d F dx dy

d F dx dy

a b

d F

= + +

= + +

= +

+= +

=2 2

2

a b+ 2 2

2 2 2 2 2 2

( )

( ) 0

dx dy

d F a b dx dy d F

+

= + + >

Kako je 2 0d F > , taka je minimum, zamenjujemo je u poetnu funkciju da naemo tu minimalnu vrednost:

min

min2 2 2 2

2 2

min2 2 2 2

2 2

min2 2

2 2

min

( ) ( )

z ax by

a bz a b

a b a b

a bz

a b a b

a bz

a b

z a b

= +

= + + +

= + +

+=

+

= +

Sad isti postupak radimo i za drugu vrednost 2 2

22

a b

+= :

2 2

22

22

a b

a ax x

+=

= =

2 2

2

a b+ 2 2

22

ax

a b

b by y

=+

= =

2 2

2

a b+ 2 2

2 2 2 2( , )

by

a b

a bN

a b a b

=+

+ +

4

2 2 2

2 2

2

2

2 ( )

2

2

d F dx dy

a b

d F

= +

+=

= 2 2

2

a b+ 2 2

2 2 2 2 2 2

( )

( ) 0

dx dy

d F a b dx dy d F

+

= + +

1 2 2( , , )

3 3 3M je minimum

1 2 2( , , )

3 3 3

min

2 2

1 2 22 2 ( ) 3

3 3 3

3

u x y z

u

u

= +

= + =

=

6

Za 23

2 =

1 1

2 3

1 2

3

1 2

3

1 2 2( , , )3 3 3

x x

y y

z z

N

= =

= =

= = +

pa je

2

2

2

2

2

2

2 2 2 2 2 2 2

2

1 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 ( )

2

F Fx

x x

F Fy

y y

F Fz

z z

d F d x d y d z d x d y d z

d F

= + =

= + =

= + =

= + + = + +

=3

(2

2 2 2

2 2 2 2 2

)( )

3( ) 0

d x d y d z

d F d x d y d z d F

+ +

= + +