A 1 Introduction

Mécanique des matériaux composites – Annexe A-1 Introduction à la méthode des éléments finis H2014

1

A-1 Introduction à la méthode des éléments finis

1.1 Contexte 1.2 Méthode des éléments finis

1.2.1 Principes 1.2.2 Discrétisation 1.2.3 Interpolation 1.2.4 Formulation des matrices élémentaires par les équations d’équilibre

1.2.4.1 Équations d’équilibre des noeuds 1.2.4.2 Formulation des matrices élémentaires

1.2.5 Assemblage de la matrice globale 1.2.6 Application des conditions aux limites 1.2.7 Résolution des équations pour les valeurs nodales : déplacements etc.. 1.2.8 Détermination des contraintes et réactions dans les éléments 1.2.9 Autres méthodes de formulation des matrices élémentaires

1.2.9.1 Énergie potentielle total minimale 1.2.9.2 Résidus pondérés

1.2.10 Algorithme de calcul par éléments finis 1.1 Contexte

Le point de départ de toute modélisation est la réalité physique. Or, la complexité des phénomènes étudiés rend très difficile la résolution des équations mathématiques qui sont en général, des équations différentielles. Des approximations sont alors souvent nécessaires. La figure 1.1 montre la démarche et la procédure de modélisation.

Réalité physique

Modélisation mathématiqueExpériemntation

Solution ?

Idéalistaion

Analytique approchéeNumérique approchée

Approximation

Comparaison

Contrôle des erreurs

Solution analytiqueexacte

Figure 1.1 Procédure de modélisation des systèmes (Adapté de réf. 1)


2

En pratique les solutions analytiques ne sont possibles que pour des cas simples. Deux causes évoquées souvent sont : la méconnaissance du champ à modélisé et la complexité de la géométrie. La première nécessite la proposition d’une allure générique du champ inconnu, tandis que le découpage du système en domaines plus simples est la solution pour contourner la deuxième difficulté. La méthode des éléments finis est la combinaison de ces deux principes, (figure 1.2).

Méthode de Rayleigh-Ritz Discrétisation

Champ inconnu Géométrie complexe

Méthode des éléments finis

Figure 1.2 Modélisation des systèmes complexes (Adapté de réf. 1)

En ce qui concerne la résolution du système d’équations différentielles décrivant le phénomène étudié, deux alternatives sont : analytique et numérique, (figure 1.3).

D(Φ) - f = 0 dans le volume avec les conditions aux limites

- Différence finies- Méthode de Ritz- Éléments finis- Volume fini- Éléments de frontière

- Séparation des variables- Solution similaires- Transformation de Fourrier ou de Laplace

Solutions analytiques Solutions numériques

Figure 1.3 Méthodes de résolution des problèmes mathématiques (Adapté de réf. 1)


3

1.2 Méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis permet de résoudre les types de problèmes présentés dans la figure 1.4.

Résolution des problèmes physiques par la méthode des éléments finis

• Mécanique des solide• Mécanique des fluides• Transfert de chaleur• Champ magnétique

Équilibre stationnaire Valeurs propres• Dynamique, vibration• Stabilité des structures• Flux laminaire• Acoustique

Dépendence du temps• Non linéarité• Dynamique (cas général)• Thermique transitoire• Propagation (fissures…)

Figure 1.4 Types de problèmes physiques modélisés par la méthode des éléments finis (Adapté de réf. 1)

Dans le cas de l’analyse des solides déformables, la méthode des éléments finis consiste à restreindre le champ de déplacement en tout point du milieu par la détermination du déplacement aux certains points définis du milieu qui sont les nœuds. Cette démarche s’appelle la discrétisation (figure 1.5).

Figure 1.5 Principe de l’approximation (Réf.1)


4

Le champ du domaine entre les valeurs nodales est interprété par la fonction de forme ou fonction d’interpolation.

1.2.1 Discrétisation

Une structure physique à analyser comporte des points permettant de définir sa géométrie, appelés nœuds physiques (joints de connexion, extrémités, etc..). Par ailleurs, les éléments finis crées par le découpage de cette structure en sous domaines selon la méthode des éléments finis sont connectés entre eux par certain point d’attache appelés, nœuds du maillage. Les deuxièmes se trouvent de façon naturelle aux premiers. La discrétisation des structures en différents types d’éléments selon les besoins.

Noeuds du maillage

Noeuds de

géométrie

Noeuds de

géométrie

Noeuds du maillage

Éléments 1 D

- Barres- Poutres- Coque axisymétrique

Éléments 2 D

- Élasticité plane- Axisymétrie- Plaque mince- Coque mince

Éléments 3 D

- Solide massif- Plaques épaisses- Coques épaisses

Figure 1.6 Discrétisation des systèmes (Adapté de réf. 1)


5

1.2.2 Types d’éléments

Les types d’éléments les plus utilisés sont présentés à la figure 1.7. Le classement se fait en fonction de l’espace et du degré du polynôme utilisés pour l’interpolation.

Figure 1.7 Différents types d’éléments (Réf. 1)


6

1.2.3 Interpolation

L’approximation du champ réel par le champ approximatif peut s’écrit par l’expression suivante :

x inoeuds

û(x, y, z) u(x, y, z) N (x, y, z).u≈ = ∑

où Ni (x, y, z) est la fonction de forme ou fonction d’interpolation associé au nœuds i et ui est le déplacement au même nœud. Les fonctions de forme représentent le poids associé à chacun des nœuds de l’élément permettant la prédiction de l’évolution du champ à l’intérieur du domaine d’interpolation.

Pour que l’interpolation soit illicite, la fonction de forme doit :

• être continue sur le domaine;

• conduire à des valeurs uniques du champ en tout point du domaine pour un jeu unique de valeurs nodales;

• i j j j

1 au noeud j=iN (x , y , z )

0 au noeuds j i

= ≠

Cette condition permet que :

i i i i j i i i ij i

u(x , y , z ) 1 u 0 u u(x , y , z ) u≠

= × + × → =∑

Exemple 1.1 :

Déterminez les fonctions de forme pour l’élément linéique (1D) suivant en utilisant les polynômes.

Solution

Élément 1D à 2 noeuds (interpolation linéaire) :

Le champ de déplacement est :

1 2 x

0 L


7

[ ]

[ ]{ }

00 1

1

au(x) a a x 1 x

a

u(x) X a

= + =

=

(1)

Les deux conditions nodales suivantes permettent de déterminer les coefficients a0 et a1 :

0 1 1

0 1 2

u(0) a a .0 uu(L) a a .L u

= + == + =

ou sous forme matricielle comme :

[ ]{ } { }

0 1

21

a uu(0) 1 0u(L) 1 L ua

B a q

= =

= =

(2)

d’où la solution de ce système d’équations est :

{ } { } { }

0 1

21

1

1 0a u1 1 ua

L La B q−

= −

=

(3)

d’où :

0 1

1 1 2

a u1 1a u u

L L

=−

= +

Substitution de (3) dans (1) :

[ ][ ] { }1u(x) X B q−= (4)

Afin de déterminer les fonctions de forme, considérons l’expression générale de l’approximation :

[ ]{ }

21

i i 1 1 2 2 1 2i 1 2

uu(x) N (x).u N (x).u N (x).u [N (x) N (x)]

u

u(x) N(x) q=

= = + =

=

∑ (5)

où Ni(x) sont les fonctions de forme.


8

La comparaison des deux équations (4) et (5) donne :

[ ] [ ][ ] [ ]11 0

x xN(x) X B 1 x 11 1 L LL L

−

= = = −−

d’où 1 2x xN (x) 1 et N (x)L L

= − =

Figure 1.8 Fonctions de forme de l’élément à 2 nœuds

1.2.4 Formulation des matrices élémentaires par les équations de l’équilibre

1.2.4.1 Les équations d’équilibre des noeuds

Exemple 1.2 La figure 1.10 illustre une attache en aluminium d’un système de levage. Sachant que son épaisseur est de 5mm et que la charge pèse 1.5KN, déterminez l’allongement et les contraintes au long de la pièce.

Solution

Considérons la membrure de section A et d’une longueur L soumise à une charge F telle

qu’illustrée à la figure 1.9. La contrainte axiale est FA

σ = , tandis que la


9

déformation est LL∆

ε = . Or selon la loi de Hooke Eσ = ε où E est le module d’élasticité.

La charge devient par conséquent AEF A ( ) LL

= σ = ∆ . Ce qui est semblable à l’équation

de la force du ressort F kx= . Il est donc possible de modéliser une membrure de section

uniforme soumise à une charge axiale par un ressort dont la rigidité est AEkL

= .

A L

F F

xΔL

Figure 1.9 Modélisation de la membrure de section uniforme soumise à une force externe F

A1

A2

A3

L 1

L 2

L 3

P P

u1

u2

u3

u4

k1

k2

k3

1

2

3

4

Figure 1.10 Discrétisation de la pièce en éléments et nœuds


10

Par conséquent, la pièce présentée à la figure 1.10 peut être modélisée comme un système de 3 (éléments) ressorts en série. Le diagramme du corps libre des noeuds avec les forces appliquées à chacun des nœuds de 1 à 4 est montré à la figure 1.11.

Figure 1.11 Diagramme du corps libre des nœuds

Les équations d’équilibre statique s’écrivent :

Nœud 1 : R1 – k1(u2 – u1) = 0

Nœud 2 : k1(u2 – u1) – k2(u3 – u2) = 0

Nœud 3 : k2(u3 – u2) – k3(u4 – u3) = 0

Nœud 4 : k3(u4 – u3) – P =0

ou sous forme matricielle :

Nœud 1

Nœud 2

Nœud 3

Nœud 4

R1

k1(u2-u1)

k2(u3-u2)

k3(u4-u3)

k3(u4-u3)

P

k1(u2-u1)

k2(u3-u2)


11

1 1 1 1

1 1 2 2 2

2 2 3 3 3

3 3 4

k k 0 0 u Rk k k k 0 u 0

(c)0 k k k k u 00 0 k k u P

− − − + − = − + − −

et en séparant par la suite les réaction et les forces externes :

1 1 11

1 1 2 2 2

2 2 3 3 3

3 3 4

k k 0 0 uR 0k k k k 0 u0 0

(d)0 k k k k u0 00 0 k k u0 P

−− − + − = − − + − −

{ } [ ]{ } { }R k u F= −

ou {Réaction} = [Rigidité] {Déplacement} − {Chargement}

Le déplacement du nœud (1) est nul à cause de la fixation de l’extrémité supérieure de la membrure. L’application de cette condition aux limites rend le système d’équations (c) à un nouveau système d’équations :

1

1 1 2 2 2

2 2 3 3 3

3 3 4

1 0 0 0 u 0k k k k 0 u 00 k k k k u 00 0 k k u P

− + − = − + − −

[Rigidité] {Déplacement} = {Chargement}

Sachant que u1 = 0, la résolution de ce système d’équations donne les valeurs nodales de déplacement. Le(s) réaction(s) peuvent se calculer à l’aide de la résolution du système d’équation (d).

1.2.4.2 Formulation des matrices élémentaires

Chaque élément du modèle de l’exemple 1.1 contient 2 nœuds avec chacun un déplacement associé. Il nous faut donc développer deux équations par élément. Les forces internes en fonction de la rigidité de l’élément et du déplacement nodal telles qu’illustrées à la figure 1.12 (b) sont :

i i i 1

i 1 i 1 i

f k (u u )f k(u u )

+

+ +

= −= −


12

ou sous forme matricielle :

i i

i 1 i 1

f uk kf k k u+ +

− = −

(Notons que les deux diagrammes du corps libre de l’élément sont équivalents.)

ui+1

ui

fi=k(ui+1-ui)

fi+1=k(ui+1-ui)ui+1

ui

fi=k(ui-ui+1)

fi+1=k(ui+1-ui)

y

(a) (b)

Figure 1.12 Diagramme du corps libre de l’élément

1.2.5 Assemblage de la matrice globale

La matrice de rigidité de l’élément (1) est :

[ ](1) 1 1

1 1

k kK

k k−

= −

et sa position dans la matrice globale est :

[ ]11 1

(1G) 21 1

3

4

uk k 0 0uk k 0 0

Ku0 0 0 0u0 0 0 0

− − =

Par analogie on obtient pour les éléments (2) et (3) :

[ ](2) 2 2

2 2

k kK

k k−

= −


13

[ ]1

(2G) 22 2

32 2

4

u0 0 0 0u0 k k 0

Ku0 k k 0u0 0 0 0

− = −

[ ](3) 3 3

3 3

k kK

k k−

= −

[ ]1

(3G) 2

3 3 3

3 3 4

0 0 0 0 u0 0 0 0 u

K0 0 k k u0 0 k k u

= − −

La matrice globale est assemblée par l’addition des matrices :

[ ] [ ] [ ] [ ](G) (1G) (2G) (3G)K K K K= + +

1 1 1

1 1 2 2 2

2 2 3 3 3

3 3 4

k k 0 0 uk k k k 0 u0 k k k k u0 0 k k u

− − + − − + − −

1.2.6 Application des conditions aux limites

Sachant que u1 = 0, le système d’équations devient :

1

1 1 2 2 2

2 2 3 3 3

3 3 4


− + − = − + − −

1.2.7 Résolution du système d’équations

1

1 1 2 2 2

2 2 3 3 3

3 3 4


− + − = − + − −

La résolution du système d’équations réduit nous donne les déplacements correspondants.


14

Application numérique :

Les déplacements nodaux et les contraintes dans les éléments se déterminent avec les données suivantes :

E = 70GPa; A1 = 480mm2; A2 = 120 mm2; A3 = 360 mm2; L1 = 3 mm; L2 = 10mm; L3 = 3mm; P = 1 800N.

1.2.8 Calcul des contraintes dans les éléments et les réactions

Les contraintes se calcul à l’aide de la loi de Hooke en connaissant les déplacements nodaux :

i 1 iu uE E( )L

+ −σ = ε =

Le tableau 1.1 présente les résultats.

Tableau 1.1 Propriétés des éléments, déplacements nodaux et contraintes

Élément Nœud A (mm2)

L (mm)

E (MPa)

k=(AE/L) (MPa)

u (mm)

σi=E(ui+1- ui)/L (MPa)

1 1 480 3 70 000 11 200 000 0 3.7567 2 0.000161

2 2 120 10 70 000 840 000 0.000161 15.001 3 0.002304

3 3 360 3 70 000 8 400 000 0.002304 4.993 4 0.002518

Vérification :

11

12

33

1800 3.754801800 151201800 5360

P MPaAP MPaAP MPaA

σ

σ

σ

= = =

= = =

= = =

Les réactions peuvent se calculer à l’aide du système d’équation(d). Ce qui donne une valeur de R1=P=1800N.


15

1.2.9 Autres méthodes pour la formulation des matrices élémentaires

1.2.9.1 Énergie potentielle totale minimale

Un corps solide soumis à des forces externes se déforme. Durant cette déformation le travail de ces forces est emmagasiné dans le corps solide sous forme de l’énergie de déformation. Figure 1.13, présente une membrure qui se déforme sous l’action d’une force axiale F. Lorsque la membrure s’allonge d’une distance dy’, l’énergie de déformation dans le matériau est :

Dans le cas d’un volume infiniment petit de la membrure cette énergie s’écrit :

Figure 1.13 Comportement élastique d’une membrure soumise au chargement axial

L’énergie totale de déformation emmagasinée dans la membrure s’écrit :

où V est le volume de la membrure.


16

L’énergie potentielle totale Π pour un corps solide comportant n éléments et m nœuds est la différence entre l’énergie de déformation totale et le travail fourni par les forces externes :

n m(e)

i ie 1 i 1

Fu= =

Π = Λ −∑ ∑

L’équilibre d’un corps solide se réalise lorsque cette énergie est minimale :

n m(e)

i ie 1 i 1i i i

Fu 0 pour i 1,2,3..., nu u u= =

∂Π ∂ ∂= Λ − = =

∂ ∂ ∂∑ ∑

L’application de ce théorème permet de déterminer les déplacements nodaux.

Les équations élémentaires peuvent s’obtenir par la minimisation de l’énergie potentielle totale de l’élément. En s’appliquant ce principe à l’exemple antérieur, l’énergie de déformation dans un élément quelconque du modèle s’écrit :

22 2i 1 i i 1 i

V

i 1 i

E AEdV (u u 2u u )2 2L

u uoù et V ALL

+ +

+

εΛ = = + −

−ε = =

∫

La différentiation de l’énergie de déformation donne les équations suivantes :

(e)

i i 1 i i 1i

AE (u u ) k(u u )u L + +

∂Λ= − = −

∂

(e)

i 1 i i 1 ii 1

AE (u u ) k(u u )u L + +

+

∂Λ= − = −

∂

(e)

i i(e)

i 1

i 1

u uk kk k u

u+

+

∂Λ ∂ − = −∂Λ ∂

où keq=(AmoyE)/L

et pour les forces externes agissant au nœuds i et i+1 on obtient :


17

Finalement la matrice de rigidité globale de la structure est obtenue en additionnant celle des éléments comme dans le cas de la méthode de formulation directe.

1.2.9.2 Résidus pondérés

Cette approche est basée sur le principe de minimiser l’erreur entre la solution proposée et la solution exacte de l’équation différentielle du phénomène étudié. La solution proposée doit satisfaire les conditions aux limites. Dans cette catégorie d’approche, il existe plusieurs méthodes. Seulement la méthode de Galerkin est présentée ici comme illustration.

Ex. 1.3 Soit une membrure en aluminium de section variable qui est fixée à une extrémité et soumise à une charge P à l’autre extrémité telle qu’illustrée à la figure 1.14. Sachant que son épaisseur est t tandis que le module d’élasticité de l’aluminium est E déterminez la répartition de l’allongement de la membrure suivant sa longueur.

Figure 1.14 La contrainte moyenne dans la membrure en fonction de la force appliquée

Solution exacte :

L’équilibre des forces suivant la direction y donne l’équation suivante:


18

où dudy

ε =

En réarrangeant les termes, on obtient :

PdyduEA(y)

=

Le déplacement en fonction de y est alors :

u L L

0 0 0 2 11

Pdy Pdyu(y) du w wEA(y) E(w ( )y)tL

= = =−

+∫ ∫ ∫

où la section à une distance y est :

2 11

w wA(y) (w ( )y)tL−

= +

Finalement :

2 11 1

2 1

(w w )PLu(y) ln w y ln wEt(w w ) L

− = + − −


Soit w1 = 50.8mm, w2 = 25.4mm, L = 254mm, t = 3.175mm, E = 71 705MPa, P = 4448N.

Tableau 1.2 Déplacement exacte suivant la longueur de la membrure

y (mm)

u(y) (mm)

0.0 0.000000 63.5 0.026089 127.0 0.056206 190.5 0.091828 254.0 0.135424

Solution par la méthode de Galerkin :

Reconsidérons l’exemple 1.2, l’équation de l’équilibre est :


19

duEA(y) P 0dy

− =

Proposons une solution de la forme :

2 31 2 3u(y) a y a y a y= + +

La fonction de l’erreur est alors :

22 11 1 2 3

A(y)

w w(w ( )y)t E (a 2a y 3a y ) PL− + + + − =ℜ

L’application des données numériques donne :

21 2 3(1.842 0.3175y)(a 2a y 3a y ) 0.062032

Eℜ= − + + −

La méthode de Galerkin implique :

b

ady 0 i 1,2,..., NΦℜ = =∫

où les fonctions de pondération sont Φ1=y; Φ2=y2 et Φ3=y3 pour le cas d’une solution proposée contenant 3 inconnus. Par conséquent :

L

0

L 2

0

L 3

0

y( )dy 0E

y ( )dy 0E

y ( )dy 0E

ℜ=

ℜ=

ℜ=

∫

∫

∫

L’intégration de ces équations donne le système d’équations suivant:

1

26

3

a3468595.2133333 1101278980.2333 302102849857.62 2001.0262045882550639490.11665 201401899905.07 59682096338527 a 338840.43731026100700949952.54 39788064225692 1.237489975502.(10) 64549a

= 103.307609

La résolution de système d’équations donne a1 = 0.000401, a2 = 1.577259.(10)-7 et a3 = 1.448925.(10)-9.

Le déplacement en fonction de y est par conséquent :


20

-7 2 -9 3u(y) 0.000401y +1.577259.(10) y +1.448925.(10) y .=


Soit w1 = 50.8mm, w2 = 25.4mm, L = 254mm, t = 3.175mm, E = 71 705MPa, P = 4448N.

Tableau 1.3 Déplacement suivant la longueur de la membrure obtenu par la méthode de Galerkin

y (mm)

Solution exacte Approximation par la méthode de Galerkin

u(y) (mm)

u(y) (mm)

0.0 0.000000 0.000000 63.5 0.026089 0.026447 127.0 0.056206 0.056391 190.5 0.091828 0.092060 254.0 0.135424 0.135678

1.2.10 Algorithme de calcul par la méthode des éléments finis

L’algorithme de calcul comporte trois phases :

Pré-processeur Définition du modèle, calcul des matrices élémentaires, l’assemblage de la matrice global et l’introduction des conditions aux limites

Solveur Résolution numérique du système matriciel pour l’obtention des déplacements nodaux

Post-processeur Calcul des contraintes des déformations et des réactions. Cette phase contient également le traitement graphique (illustrations, analyses, coupes, rapport etc.)


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Références

[1] Comprendre les éléments finis - Principes, formulations et exercices corrigés, Alain Chateauneuf, Ellipses, ISBN 978-2-7298-5430-0

[2] Finite Element Analysis – Theory and Application with ANSYS, 3rd Edition, Saeed Moaveni, Pearson Prentice Hall, ISBN 978-0-13-189080-0

[3] A first course in the Finite Element Method using Algor, Dany Logan, PWS publishing Co, ISBN 0-534-94692-5


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Exercices

1. Déterminez les fonctions de forme pour les éléments linéiques suivants en utilisant les polynômes :

Réponses : a) N1(x)= 1-3x/L+2x2/L2, N2(x)= 4x/L-4x2/L2, N3(x)= -x/L+2X2/L2

b) N1(x)= 1-11x/2L+9x2/L2-9x3/2L3,

N2(x)= 9x/L-45x2+27x3/2L3

N3(x)= -9x/2L+18x2/L2-27x3/2L3

N4(x)= x/L-9x2/2L2+9x3/2L3

2. La figure suivante présente une plaque d’acier qui est soumise à une force axiale F=3 500N. Sachant que l’épaisseur de la plaque est 1.6mm et que le module d’élasticité de l’acier est 210 GPa, calculer l’allongement et les contraintes au long de la plaque.

50m

m50

mm

25m

m

25mm 100mm 50mm

F

1 4

x 0 L

2 3

L/3 2L/3

(b)

1 3

x 0 L

2

L/2 (a)

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A 1 Introduction