ÐÐ ÎðÂàôÂÚ²Ü ºì ¶ÆîàôÂÚ²Ü Ü²Ê²ð²ðàôÂÚ²Ü

ºðºì²ÜÆ ÆÜüàðزÎÆî²ÚÆ äºî²Î²Ü øàȺæ

²è²æ²¸ð²Üøܺð

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ø²ÂºØ²îÆβÚÆò

( 2203 Ù³ëݳ·ÇïáõÃÛ³Ý II ÏáõñëÇ Ñ³Ù³ñ )

ϳ½Ù»óÇݪ è.Ô³½³ñÛ³Ý

ì.ê³ñ·ëÛ³Ý

ê.ø³ÕùóÛ³Ý

ºðºì²Ü 2007

2

3

№ 1

ú·ïí»Éáí ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó

·ïÝ»É f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ x=x0 Ï»ïáõÙ.

1. f(x) = 2x2-1 x0=3

2. f(x) = 3x2+4,

x0=1

3. f(x) = 2x3+1, x0=2

4. f(x) = 4/x2,

x0=1

5. f(x) = x2+3x,

x0=-1

6. f(x) = 2x2-x,

x0=2

7. f(x) = 2/x3,

x0=1

8. f(x) = 1

1

x

x,

x0=2

9. f(x) = 3x2-1,

x0=-1

10. f(x) = x3,

x0=2

11. f(x) = 5sin x,

x0= 2/

12. f(x) = 3sin 2x,

x0= 6/

13. f(x) = 2cos x,

x0= 3/

14. f(x) = 3cos 3x,

x0= 6/

15. f(x) = 2sin 3x,

x0= 3/

4

16. f(x) = x31 ,

x0=1

17. f(x) = x1 ,

x0=-8

18. f(x) = 12 x ,

x0=5

19. f(x) = x41 ,

x0=2

20. f(x) = 3 x , x0=1

21. f(x) = (x-1)(x+2), x0=1

22. f(x) = 2(x-2)(x+1), x0=2

23. f(x) = (x2-9)x, x0=3

24. f(x) = (x2-4)(x+1), x0=2

25. f(x) = (x-3)(x+2), x0=3

26. f(x) = tgx, x0= 4/

27. f(x) = ex-1 x0=1

28. f(x) = e2x+4, x0= -2

29. f(x) = ln(x+2), x0= -1

30. f(x) = ln(2x-1), x0=1

5

№ 2

гßí»É ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ

1. f(x) = tg32x - xexx

x 322

56sin

3cos

3

1

2. f(x) = arctg22arccos

11 41 xe x

x

3. f(x) = (2arctgx+ ln(1+x2))4+5sinx xe4

4. f(x) = 1

112

3

12

223

x

xxxxtg

5. f(x) = xexx

x 3

3

2

126cos

2sin

2

1

6. f(x) = ln3cos2x+ 3x sin2 3x+2

5

x

7. f(x) = (2arcsinx-x

xtgx

53)1

252

8. f(x) = e xxx

xxarctg 2sin3sin

5cos

5

1 214

9. f(x) = ex

xxxxx 2cos

1sin2

2arcsin

10. f(x) = x

xxx

x 72ln

8cos

4sin

4

1 25

11. f(x) = )2ln(3

10sin

2cos

5

1 25

xxx

x

12. f(x) = xxxtg ln32

1 3 22

x

x2

3

cos

sin

13. f(x) = 233

2

23 cossin3

43

13ln xxe

x

x x

14. f(x) = 193ln391 222 xxxarctgx

15. f(x) = xex x 2cos31arcsinln 322

16. f(x) = xxx

x x ln51

sin 33sin3

6

17. f(x) = tgxxxe

xx

221 2cos3cos

18. f(x) = xx

xe xarctg 3

4

1 sin32

14

19. f(x) =

1

31sin1ln

2

222

x

x

xarctgxx

20. f(x) = xx

x

xx 2cos5

sin

651arcsinln7

4

2

21. f(x) = x

xx 411ln

1arcsin3

22. f(x) =

43cos

12sin2cos3

322sin

x

xxx

23. f(x) =

x

xxxx

cos

ln2sin2

233cos

24. f(x) = 13

122sin 223 2

x

xxarctgxe x

25. f(x) = xxx

x x 1cos3

3

3ln

3sin

23

2

26. f(x) =

xexx

x

x

x 222

1

1

2sin1

2sinln

27. f(x) = 2

435

2

31sin

4

arcsin1

x

xtgx

x

x

28. f(x) = x

xxx

x

xtgx

3sin

2cosln

13 534

29. f(x) = xtgx

x

xxe x 3

ln

2

14cos 3

2

423 4

30. f(x) =

tgxxx

xxx ln1

cos2 2cos3cos3

7

№ 3

лﳽáï»É ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ ϳéáõó»É ·ñ³ýÇÏÁ

1. y = x3+3x2

2. y = x3-2x2

3. y = xx

93

3

4. y = )4()1( 2 xx

5. y = xxx

33

23

6. y = xxx

1223

23

7. y = x3+x

8. y = x3-3x

9. y = xx

163

3

10. y = x3-x2

11. y = 1

2

x

x

12. y = 12

x

x

13. y = x

x 12

14. y = 42

3

x

x

15. y = 12

3

x

x

16. y = 13

4

x

x

17. y = 14

32

x

x

18. y = x2e-x

19. y = x ex

20. y = x e-x

21. y = x(e-x+1)

22. y = (x-2)e3-x

23. y = (2x+3) e-2x+2

24. y = (3-x) e-x-2

25. y = x3 e-x

26. y = 23

462

x

xx

27. y = 1

332

x

xx

28. y = 2

2

x

x

29. y = 3

3

16 xx

30. y = 34 6xx

8

№ 4

Գտնել n-րդ կարգի ածանցյալները

1.y = x e2x 2. y = x ex

3. y = e-3x 4. y = xe3x

5. y= sin2x 6. y = cos2x

7. y = sin3x 8. y = cos3x

9. y =23x 10. y = 32x

11. y = x

1 12. y = lnx

13. y = x 14. y = x x

15. y = x2lnx 16. y = x3lnx

17. y = x sinx 18. y = x cosx

19. y = xsin2x 20. y = xcos2x

21. y = xsin3x 22. y = xcos3x

23. y = 2

1

x 24. y =

3

1

x

25. y = 1

12 x

26. y = 4

12 x

27. y = 23

12 xx

28. y = 32

12 xx

29. y = 3

2

1 x 30. y = 3

1

1 x

9

№ 5

Անմիջական ինտեգրումով հաշվել հետևյալ ինտեգրալները

1. ա) dxx

xx

3

26 143 բ) dx

xx2

2cos

2sin

2. ա) dxxx

4 3

11 բ)

dx

x

arctgx 2

3

1

3. ա) dxxx 3 բ) 3 2 1x

xdx

4. ա)

dxx

x

4

3

1 բ) xdxe x cossin

5. ա) dxxx22 1 բ) dx

x

x

cos

sin

6. ա)

dxx

x

2

1 բ) dx

x

xctg

2

2

cos

23

7. ա) dxx

x

3

1 բ) dx

xx

x sincos

2cos

8. ա) dxx

xx

46 2 բ) dx

x

x3ln

9. ա) dxx

xx

3

43 2

բ) dxxx 32

10.ա)

dx

xx

x2

1 բ) dx

x

x

5

4

11.ա)

dxx

exx x

2

2 1 բ)

dx

xx

xx

23

232

12.ա) dxxxx 11 բ)

dxx

x2

3

sin

sin1

13.ա) dxxxx 11 բ) xdxctg2

14.ա) dxx

xx

2

3223 բ) dx

x

xln

10

15.ա) dxx3

23 բ) dxxe x2

16.ա) 291 x

dx բ) 13x

dx

17.ա) 24 x

dx բ) dx

x

x 3 sin

cos

18.ա) 92 2x

dx բ) dxex xcossin

19.ա) 2251 x

dx բ) dxxx 55

20.ա)

dxe

ex

x 1 բ)

42x

xdx

21.ա) dxxx23 2 բ)

4

5

2x

xdx

22.ա) dxx

x

2

2

sin

sin54 բ)

dx

xx

x2

2

1

1

23.ա) dxx22 2 բ) xdx2sin

24.ա) dxxx 2sin56 2 բ) xdx3cos 2

25.ա) xdxxcossin 2 բ) dxx2

2

26.ա) dxxx sincos 4 բ) dxxx 23

27.ա) dxx

x

sin

2sin բ) dxxx 32

28.ա) dxex x

32 բ) xdxx

2

3

29.ա)

dxx

x

21

sinarg բ)

dx

x

xx2

24 523

30.ա) dxx

x2cos

2cos բ)

dx

x

x2

2

1

11

№ 6

Փոփոխականի փոխարինման մեթոդով

հաշվել հետևյալ ինտեգրալները

1. 1xx

dxx 2.

1212 xx

dx

3.

13 2

3

xx

dxx

4. dxxx 13

5. 12xx

dx (նշ.x=

t

1) 6.

11 x

dx

7.

dxx

xln1 8.

dxx

x2

21

9. dxxx 12 10. 22x

xdx

11. dxx

x4cos

sin 12.

13

2

x

dxx

13. 22

2

xa

dxx (նշ.x=asint) 14.

dx

x

tgx2cos

1

15. 3 2 xt

dx 16. xdxxcossin3

17. dxx

xln 18.

231arcsin xx

dx

19.

dxx

arctgx 2

2

1 20. xx

dx

ln

21. dxxx2cos 22.

xx

xdx

ln1

ln

23. dxx

e x

24. dx

x

x5

ln

25. xx

dx

1 26.

xx

dx

9

27. dx

x

x2cos1

sin 28. dx

x

x6

2

cos

sin (նշ.tgx=t)

29. dxxx 12 30. xdxx 32 cossin (նշ. sinx=t)

12

№7

سë»ñáí ÇÝï»·ñÙ³Ý Ù»Ãá¹áí

ѳßí»É Ñ»ï¨Û³É ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÁ

1. xarctgxdx 2. xdxarcsin

3. xx cos2 dx 4. x

xdx2cos

5. dxex x2 6. x

xdx2cos

7. x

xx3sin

cosdx 8. 2

3

1 x

dxx

9. dxxlnsin 10. dxx 1ln 2

11. dxx

x

arcsin

12. xdxe x sin

13. xdxx ln 14. dxexx x522

15. dxxe x 16. xdxx ln

17. xdxxcos 18. xdxxsin

19. xdxx 3sin12 20. xdxxx cos22

21. dxex x232 22. xdxx ln4

23. xdxx ln54 24. xdxxx ln43 2

25. dxx 4ln 2 26. dxx 14ln 2

27. xdxxarcsin 28. xdxxarccos

29. xdxe x 3cos 30. xdxe x 3sin2

13

№ 8

ÆÝï»·ñ»É é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÁ

1.

dx

xxx

x

65

1223

2

16.

dx

xx

x

21

12

2.

dx

xx

x

4

23

3

17.

dx

xx

xx

9

1822

2

3. 83x

dx 18.

dx

xxx

xx

21

695 2

4. dx

xx

x

12

3

19.

dx

xx

xx

4

83

45

5.

dx

x

x

16

164

6

20. 42xx

dx

6.

dx

xxx

x

1

123

4

21.

2

1

25

xx

dxx

7. 232

3

xx

dxx 22.

dx

xx

x

2

523

8.

dx

xx

xx3

2 323 23.

dx

xx

x

21

582

9.

dx

xx

x23 2

2 24.

dx

xx

x

76

652

10.

dxxx

x

2

21

1611 25.

dx

x

x

1

22

2

11.

dx

xxx

x234

3

65

97 26.

dx

x

x

4

42

2

12. 4

2

1 x

dxx 27.

dx

xxx

xx

34

4323

2

13.

dx

xx

x

102

632

28.

21

12

xx

dxx

14.

dx

xx

x

208

752

29.

dx

xx

x

4

432

15. dx

x

x

1

3

30. 273x

dx

14

№ 9

ä³ñ½³·áõÛÝ Çé³óÇáݳÉ

³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÇÝï»·ñáõÙ

1. 3 xx

dx 2.

3 xx

dx

3.

3

41 xx

dx 4.

xx

dxx

1

3 2

5. 31 x

dxx 6.

x

dxx

1

4

7. 31 x

xdx 8.

xxx

dx43

9. 1xx

dx 10.

1

3

x

xdx

11. 11 x

dx 12.

dx

x

x

1

2

13.

3

41 xx

dx 14.

3 xx

dxx

15. x

dx

1 16.

dx

x

x

1

3 2

17.

dx

xxx

x

1

136

.3

18.

dx

x

xx3

2

1

1

19.

dx

x

xx

2

23

20. 3 11 x

dx

21. dxx

x

3 12

1 22.

dxx

x

1

23. 21 xx

dx 24.

2321 xx

dx

25. dxxx 122 26. dxx

x

3 121

12

27.

3 11

1

x

dxx 28.

221

24

xx

dxx

15

29.

3 12112 xx

dx 30.

63 4 xx

dx

№ 10

Եռանկյունաչափական

ֆունկցիաների ինտեգրում

1. x

dx

cos3 2.

2cossin xx

dx

3. xx

dx

2sinsin2 4. xx

dx

cossin

5. 2cos3 x

dx 6. dx

x

x3

5

sin

cos

7. xdxx 42 cossin 8. xdx4sin

9. xdx4sin 10. x

dx4cos

11. dxx3sin 12.

x

dxxtg

4

3

cos

13. dxxx cos1sin3 14. dxxx2

cos3sin

15. xtgx

dx22sin

16. dxxx

tgx

cossin

17. xdxx 23 cossin 18. xdx5cos

19. xdxx 4cos6sin 20. xdxx 10cos8sin

21. xdxx 4sin2sin 22. xdxx 3sinsin

23. xdx5sin 24. dxx3cos

25. dxx

x2

4

cos

sin 26. xdxx 24 cossin

27. dx

x

x2

2

cos21

sin 28.

dx

tgx

tgx

1

1

29. dxx

x4

2

cos

sin 30. xdxx 3cos5sin

16

№ 11

гßí»É áñáßÛ³É ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÁ

1.

3

1

1dxx 2.

8

3 1 x

xdx

3.

4

0 1 x

dx 4.

34

43

2 1x

dx

5.

1

21

4

3

1 x

dxx 6.

0cos23 t

dt

7.

2ln

0

1dxe x 8.

2

0

22 sin1

xa

dx

9.

1

0

4

2

1x

dxx 10. dx

x

xe

1

4 ln1

11. dxx

1

0

24 12. dxe

eex

xx

5ln

03

1

13.

4

0 121 x

dx 14.

1

0

22 1 dxxx

15. 2

0

cos

xdxx 16. e

xdx1

2ln

17.

0

sin xdxe x 18. 1

0

22 dxex x

19.

2

1

ln23 xdxx 20.

1

0

21ln dxxx

21. 1

0

2arctgxdxx 22.

a

a xa

dxx

22

2

23. 1

0

arcsin xdx 24.

0

3 sin xdxx

25. 3

0

xarctgxdx 26.

e

dxx1

3ln1

17

27. 2

1

ln xdxx 28. 3

4

2sin

x

xdx

29.

1

0

1ln

e

dxx 30. dxx

e

1

3ln

№12

Գտնել տրված գծերով սահմանափակված

հարթ պատկերի մակերեսը

1. y = x2-2x, y = 4-2x

2. y = x2, y2 = x

3. y = x2+2x, y = x+2

4. y = x3 , y = 2x2

5. y = x2+1, y+x=7

6. y = 2

2x, x2+y2=8

7. xy = 4, x = 1, x = 4, y = 0

8. xy = 4, y = x, x = 4, y = 0

9. y = x, x+y = 4, y = 0

10. y = sinx, x0 , y = 0

11. xy = 3 , x+y = 4

12. 2x+y-3 = 0, x+y-1 = 0, y = 0

13. x-2y +4 = 0, x+y-5 = 0, y = 0

14. x-2y-5 = 0, y = -2x, y = 0

15. y = x2, y = 2x

16. y = x2, y = -3x

17. y = x2, y = 2x+1

18. y = x2, y = 2x+8

19. y = x2, y = x+2

20. y = x2,y = 5x-6

21. y = x2-2x+3, y = 3x-1

22. y = 2x2+1, y = x2+10

23. y = 2- x2, y = x

24. y = x2+1, x+y = 3

25. y = 2x-x2, x+y = 0

26. y = x2, x+y = 2

27. xy = 6, x+y =7

18

28. y = 6-x2, y = x

29. y = 4-x2, y = x2-2x

30. y = -x, y = 2x-x2

№13

¶ïÝ»É Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ ïñí³Í ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í

å³ïÏ»ñÇ åïïáõÙÇó ³é³ç³ó³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ

1. y = x, y = 0, x = 2, x = 6

2. xy = 2, y10, x = 1, x = 4

3. x-2y +6 = 0, y = 0, x = 2

4. x+2y-4 =0, y = 0 , x = 0

5. xy 2 , y = 0, x = 9

6. x2+y2 = 9, y = 0

7. x-2y = 0, y = 0, x = 10

8. y = sinx, y = 0, x0

9. y = cosx, y = 0, x = 0, 2

x

10. x2-y2 = 4, y = 0, x= 2, x= 4

11. x2+y2 = 4x, y = 0

12. y2 = 4x, y = x

13. y2 = 9x, y = -3x

14. y = x, x+y = 2, y = 0

15. y = lnx, y = 0, x = 1, x = e

16. y2 = 9 (x+3), x+3-y = 0

17. y = 2x, xy = 2, x = 4, y = 0

18. y2 = 4(x+2), x-y+2 = 0

19. ,1

2

2

2

2

b

y

a

x

y = 0, x = a, x = 2a

20. y = e –x, y = 0, x = 0, x = ln5

21. x2+y2 = 4, y = 0

22. ,1

164

22

yx

y = 0

23. 1

916

22

yx

, y = 0

24. ,2 xy y = 0, x = 16

25. y = x2-x-2, x = -1, x = 2

26. x2-y2 = 4, y = 0, x = 2, x = 4

27. ,1

49

22

yx

y = 0, x = 3, x=6

28. y2 = 4(x-2), y = 0, x = 0

29. y2 = 2(x+2), y = 0, x = 0

30. y = -x2-x, y = 0

19

№14

²ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³É

1.

1 x

dx 2.

12x

xdx 3. dx

x

x

2

ln

4.

222 xx

dx 5.

0

2xex dx 6. dxx

arctgx

1

21

7.

0

sin xdxx 8.

1

2x

dx 9.

0

21 x

dx

10.

0ln xx

dx 11. dxe x

0

12.

0

24 x

dx

13.

2

2 1x

xdx 14.

1

21dx

x

arctgx 15.

21 x

dx

16.

942 xx

dx 17.

3

2 107xx

dx 18.

2

0

ctgxdx

19. 1

0

ln xdx 20.

1

0 1 x

dx 21.

0

24 x

dx

22.

0

cos xdxx 23.

1

221 x

xdx 24.

e

xx

dx2ln

25.

4 xx

dx 26. dxxe x

1

27. dxxe x

0

28. dxx

x

1

3

ln 29. dxe ax

0

30.

1

2 xx

dx