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Matemáticas 2º Bachillerato Profesora: María José Sánchez Quevedo
1
LLAA IINNTTEEGGRRAALL IINNDDEEFFIINNIIDDAA
11.. LA INTEGRAL INDEFINIDA
22.. INTEGRALES INMEDIATAS
33.. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
44.. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
55.. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES CON EL DENOMINADOR DE RAÍCES COMPLEJAS SIMPLES
66.. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE
1. LA INTEGRAL INDEFINIDA Llamamos primitiva de una función )(xf a otra función )(xF cuya derivada sea )(xf ,
esto es: )(xF es primitiva de )(xf si )()( xfxF
Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Al conjunto de todas las primitivas de una función )(xf se le denomina integral in-
definida y se denota por:
RCCxFdxxf )()(
Ejemplos: obtener las primitivas de las siguientes funciones
Cx
dxx 3
55
32
Cxx
dxxx 2
32
32
CxLndxx
22
CxLndxx
xsendx
x
xsendxx
cos
coscostan
2. INTEGRALES INMEDIATAS
TIPO POTENCIAL
Simple Cn
xdxx
nn
1
1
General Cn
xfdxxfxf
nn
1
)()()(
1
22 2 2 21 1 1
1 2 1 1 2 12 2 4
x x dx x x dx x x dx x C
2
3 3
3
2 11 1 12 1 2 1 2
2 2 22 1
xdx x dx x dx C
x
Matemáticas 2º Bachillerato Profesora: María José Sánchez Quevedo
2
Cx
dxxxdxxxdxxx
2
3
1
2
121
2
111
2
32
2
12
2
122
TIPO EXPONENCIAL
Simples Cedxe xx Compuestas: Cedxxfe xfxf )()( )(
C
a
adxa
xx ln
Ca
adxxfa
xfxf ln
)()(
)(
Cedxexdxex xxx 222
2
12
2
1
Cedxedxe xxx 333
3
13
3
1
TIPO COSENO
Simple Cxsendxxcos Compuesta Cxfsendxxfxf )()(cos)(
Cxsendxxdxx 22
12cos2
2
12cos
3. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
Se utiliza a veces para resolver integrales en las que el integrando es el producto de dos funciones y la integral del 2º miembro es inmediata o más sencilla que la inicial. Siendo
duvvudvu
duvvuddvu
duvvuddvu
dvuduvvudvuy
,
,
,
Se obtiene así la fórmula para la integración por partes:
duvvudvu
Ejemplos: 1. Efectuar por partes la integral:
xxx
xxxxx
edxevdxedv
dxduxu
Ceexdxeexdxex
2. Efectuar por partes la integral:
xdxxsenvdxxsendv
dxduxu
Cxsenxxdxxxxdxxxxdxxsenx
cos
coscoscoscoscos
Matemáticas 2º Bachillerato Profesora: María José Sánchez Quevedo
3
3. Efectuar por partes la integral:
3
1ln
9ln
3
33
1ln
33
1ln
333ln
1
3ln
3ln
322
33
332
323332
xdxxvdxxdv
dxx
duxu
Cx
xx
xx
xdxxx
xdx
xxxdx
x
xx
xdxxx
4. Efectuar por partes la integral:
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2
2 2 2
2
x x x x x x x x
x x x x x x
x x xx x x
x e dx x e xe dx x e xe dx x e x e e dx
x e x e e x e x e e C
u x du dxu x du xdx
dv e dx v e dx edv e dx v e dx e
5. Efectuar por partes la integral:
Cxsenexe
I
xsenexeIIxsenexeIentoncesrepiteSe
xsendxxvdxxdv
dxedueu
Ixsenexedxxsenexsenexe
dxxsenexsenexedxxexe
xdxxsenvdxxsendv
dxedueu
dxxexedxexxedxxseneI
xx
xxxx
xx
xxxxx
xxxxx
xx
xxxxx
2
cos
cos2cos,
coscos
coscos
coscoscos
cos
coscoscoscos
Matemáticas 2º Bachillerato Profesora: María José Sánchez Quevedo
4
4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
Son integrales de la forma
spolinómicafuncionesxQxPcondxxQ
xP,
Método:
Si xQgradoxPgrado se realiza la división de los dos polinomios y se descom-
pone el integrando así:
xQ
xRxC
xQ
xRxCxQ
xQ
xP
xQgradoxRgradodondexRxCxQxP
:que cumplirá sedivisión laEn
Si xQgradoxPgrado , se calculan las raíces del denominador xQ , se facto-
riza y se realiza la descomposición en fracciones simples teniendo en cuenta la natura-leza de las raíces y la multiplicidad, de modo que Caso de raíces reales: a cada raíz le corresponderá tantas fracciones como grado indi-que la multiplicidad de la forma siguiente:
..............................
.............
............
.........
2
2
2
1
22
1
2
1
1
11
321
33
22
11
2221
111
31211
xx
H
xx
G
xx
F
xx
E
xx
D
xx
C
xx
B
xx
A
xxxxxx
xP
xQ
xP
rdadmultiplicidex
rdadmultiplicidex
rdadmultiplicidex
xQdeRaíces
rrr
rrr
rrr
Ejemplos:
1. dxxxx
xx
2
2323
4
Como el grado del numerador el mayor que el grado del denominador, efectuamos la división de los dos polinomios:
234 xx xxx 223
1x 234 2xxx
232 23 xxx
xxx 223
23 2 xx
Matemáticas 2º Bachillerato Profesora: María José Sánchez Quevedo
5
Entonces, teniendo en cuenta: xp xq xrxcxqxp
xr xc
xq
xrxc
xq
xr
xq
xcxq
xq
xrxcxq
xq
xp
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
xxx
xx
2
231
2
2312
2
2323
2
23
223
23
4
De donde la integral se descompone:
I
dxxxx
xxx
x
dxxxx
xxdxxdx
xxx
xxxdx
xxx
xx
2
23
2
2
231
2
231
2
23
23
22
23
2
23
2
23
4
Efectuemos a parte dxxxx
xxI
2
2323
2
donde ya el grado del numerador es inferior
al del denominador. Descomponemos el integrando en fracciones simples:
12
23
2
23
2
23 2
2
2
23
2
xxx
xx
xxx
xx
xxx
xx
las raíces del denominador son x = 0, x = -2 y x = 1 todas simples, entonces la descom-posición sería:
3
2321
3
4
6
8682
1220
211223
12
2112
1212
23
2
2
CCx
BBx
AAx
xxCxxBxxAxx
xxx
xxCxxBxxA
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Volvemos con ésta descomposición a la integral:
1
3
22
3
4
1
1
3
2
2
1
3
41
1
3
2
2
3
4
1
1
3
2
2
3
4
1
2
2323
2
xLnxLnxLndxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxxxx
dxxxx
xxI
Matemáticas 2º Bachillerato Profesora: María José Sánchez Quevedo
6
Luego la integral original vale:
CxLnxLnxLnxx
dxxxx
xxx
xdx
xxx
xx
I
1
3
22
3
4
22
23
22
23 2
23
22
23
4
2.
dxxx
xx
22
2
13
963 como el grado del numerador es inferior al del denomi-
nador, efectuamos la descomposición en fracciones simples, las raíces del de-nominador son x = 3 y x = .1, ambas de multiplicidad 2.
DBDBDB
DBDBDB
DBDBDCBAx
DBDBDCBAx
AAx
CCx
xxDxCxxBxAxx
xx
xxDxCxxBxA
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
xx
8836464246464120144
124372241872245472
64126410814488
348
8
274188484181
722724277298
393
8
27999390
8
27
16
5416543
8
31661
133311963
13
133311
113313
963
22222
22
2222
2222
2
Resolvemos el sistema:
16
3316
92424
6248
388
3124
16
3316
388
6248
388
3124
BBDB
DB
DB
DB
DDDB
DB
DB
DB
Con los valores de A, B, C y D volvemos a la integral:
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxxx
xx
1
1
16
3
1
1
8
3
3
1
16
3
3
1
8
27
1
16
3
1
8
3
3
16
3
3
8
27
13
963
22
2222
2
Matemáticas 2º Bachillerato Profesora: María José Sánchez Quevedo
7
116
3
1
1
8
33
16
3
1
3
8
27
1
1
16
31
8
3
3
1
16
33
8
27
1212
22
xLnx
xLnx
dxx
dxxdxx
dxx
CxLn
xxLn
x
xLnxxLnx
116
3
1
1
8
33
16
3
3
1
8
27
116
31
8
33
16
33
8
27 11
3. Análogamente, efectuar las siguientes integrales:
dxxx
xx
2
4 1 dx
xxx
x
23 2
12 dx
xx
x 122
4
dxx
x 14
82
2
Ejercicios:
1. Calcular xf de manera que 0014ln 2 fyxxf
Será Cdxxfxf
Calculamos dxx 14ln 2 por partes:
xdxvdxdv
dxxx
duxu
814
114ln
2
2
2
121
2
1
2
121
2
1
12121
1212
1212
12121212
1
14
1
:simples fraccionesen ción descomposi la hacemos 14
1
14
1214ln
14
11214ln
14
11214ln
14
114214ln
14
4214ln
14
814ln
14
814ln14ln
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
22
2
22
AAx
BBx
xBxA
xx
xBxA
x
B
x
A
xxx
dxx
Efectuemos
dxx
xxx
dxx
dxxxdxx
xx
dxx
xxxdx
x
xxx
dxx
xxxdx
x
xxxxdxx
I
Matemáticas 2º Bachillerato Profesora: María José Sánchez Quevedo
8
12n
4
1 12n
4
1
12
2
4
1
12
2
4
1
12
1
2
1
12
1
2
1
12
2
1
12
2
1
14
12
xLxLdxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
Volvemos a la integral original:
CxLxLxxx
xLxLxxx
dxx
xxxdxx
I
12n2
1 12n
2
1214ln
12n4
1 12n
4
1214ln
14
1214ln14ln
2
2
2
22
Calculamos el valor de la constante de integración C para que
12n2
1 12n
2
1214ln
0 1n2
1 1n
2
10
12n2
1 12n
2
1214ln
2
2
xLxLxxxxfLuego
CCCLLf
CxLxLxxxxf
00 f
Matemáticas 2º Bachillerato Profesora: María José Sánchez Quevedo
9
55.. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES CON EL DENOMINADOR DE RAÍ-
CES COMPLEJAS SIMPLES dxcbxax
A 2
Ejemplo: dxxx 1
32
calculamos las raíces del denominador:
2
3
2
1
2
31
2
31
2
411012 ii
xxx
La descomposición se realiza teniendo en cuenta:
32
13
2
111
.
22
2
2
222
xxxx
pimagrealpxacbxax
Cx
x
dxx
dxx
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dxxx
32
1
3arctan3
132
1
3
3
1
3
132
1
33
3
132
1
3
1
12
1
3
1
1
12
1
3
13
13
32
1
13
32
1
3
1
3
2
222
2222
66.. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES CON EL DENOMINADOR DE RAÍ-
CES COMPLEJAS SIMPLES dxcbxax
BAx
2
Ejemplo: dxxx
x
22
252
calculamos las raíces del denominador:
ii
xxx
12
22
2
42
2
8420222
La descomposición se realiza teniendo en cuenta:
1111122
.
2222
222
xxxx
pimagrealpxacbxax
Matemáticas 2º Bachillerato Profesora: María José Sánchez Quevedo
10
CxarxLndxx
xLn
dxx
dxx
xLn
dxx
dxx
dxx
x
dxx
dxx
dxx
x
dxx
dxx
xdx
xdx
x
x
dxx
dxx
xdx
x
xdx
xx
x
11tan3112
5
11
1311
2
5
11
12
11
1511
2
5
11
12
11
2
2
5
11
22
2
5
11
12
11
2
11
22
2
5
11
12
11
222
2
5
11
12
115
11
2
11
5
11
25
22
25
22
2
2
22
2
222
222
2222
2222
7. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE
Tipo producto de potencias de seno por coseno:
tx
t
txt
txotxs
txs
tx
dxxxsenI nm
mn
2an casocualquier En
an haremospar esn y par es m Si
cosen haremosimpar esn y impar es m Si
en haremosimpar esn y par es m Si
cos haremospar esn y impar es m Si
cos,
Ejercicios: Calcular las siguientes integrales
dxx
xsen cos
3
Hacemos el cambio
222222 11cos1cos
cos
txsentxtx
dtdxxsentx
Cx
xLn
ttLndtt
tdt
t
tdx
x
xsenxsendx
x
xsen
2
coscos
2
11
coscos
2
2223
dxxxsen 23 cos
1 Hacemos el cambio
Matemáticas 2º Bachillerato Profesora: María José Sánchez Quevedo
11
2
2222222
1
111cos1cos
cos
t
dt
xsen
dtdxdtdxxsen
txsentxsentxtx
dtdxxsentx
dt
tttdt
tttdt
tt
t
dt
tttdx
xxsenxsendx
xxsen
22222222
22222223
11
1
11
1
1
1
111
1
cos
1
cos
1
Integral racional, hacemos la descomposición infracciones simples:
222
22
2222222222
222222
11
11
11111111
111111
1
ttt
tttF
ttEtttDttCtttBttA
t
F
t
E
t
D
t
C
t
B
t
A
ttt
tttF
ttEtttDttCtttBttA
22
2222222222
11
111111111
Dando valores a t calculamos los coeficientes:
014
3
4
1
4
3
4
1 FEDCBA
De donde se obtiene;
C
xxLn
xxLn
x
ttLn
ttLn
t
ttLn
ttLn
t
dttdtt
dttdtt
dtt
dtt
dtt
dtt
dtt
dtt
dtttttt
dtttt
cos
1cos1
4
3
cos1
1
4
1cos1
4
3
cos1
1
4
1
11
4
3
1
1
4
11
4
3
1
1
4
1
121
4
3
12
1
4
11
4
3
12
1
4
1
1
1
4
31
4
1
1
1
4
31
4
1
1
14
3
14
1
14
3
14
1
1
14
3
14
1
14
3
14
1
11
1
121212
222
222
222222
Matemáticas 2º Bachillerato Profesora: María José Sánchez Quevedo
12
dxxsen 53
1 Hacemos el cambio:
222
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
22
2222
2
2
2
2
222222
22
2
1
2
12
11
12
22cos2
1
1
11
1
22coscos
11
11
1
11
2cos1
2
12
cos2
1cosel comoy 1
1
2cos
1
2cos
11
2sec1
2tan1
2tan
1
2
2tan1
2
2
1
2tan1
2tan
t
t
t
t
t
t
t
xsen
xxsen
t
t
t
t
t
xsen
xx
t
t
t
t
t
xxsen
xxsensen
t
x
tx
tx
tx
tx
t
dt
x
dtdxdtdx
xt
x
3
131
33
1
3
13
3
3
13
3
1
1
33
1
1
3
2
33
13
2
3103
2
33
133103
36
810
3
1
6
810
6
810
6
6410
6
361001003103
3103
2
21013
1
1
2
1
1013
1
1
2
1
253
1
53
1
2
2
2
2
22
2
22
2
tBtA
tt
tBtA
t
B
t
A
tt
dt
tt
dt
tt
dttt
tttt
ttt
dttt
dtttt
dt
t
ttt
dt
t
tdx
xsen
Dando valores a t obtenemos A y B 8
3
24
9 BA
Matemáticas 2º Bachillerato Profesora: María José Sánchez Quevedo
13
Tipo irracional:
,......,..,.......,, qnmcmsiendotxdxxxxRI q
p
n
m
(De los denomi-
nadores de los exponentes) Ejercicios:
dxx
x
1 Efectuamos el cambio
xt
dttdxtx
22
2 2 3 3
2
3 22
3 2
22 2 2
1 1 11 1
12 1 2 1
1 3 2
2 13 2
2 13 2
x t t t tdx t dt t dt dt dt
t t tx t
t tt t dt dt t Ln t
t
x xx Ln x
x x xx Ln x C
dxxx
3
1 Efectuamos el cambio
6
5
66
63,2xt
dttdxmcmsiendotx
CxLntxx
xLntxx
tLnttt
dtt
dttt
dtt
tdt
tt
tdtt
ttdtt
ttdx
xx
123
6
123
6123
61
116
16
166
16
11
63
6
26
3623
2
3
32
55
23
5
3 663
Tipo irracional:
,......,..,.......,, qnmcmsiendot
dcx
baxdx
dcx
bax
dcx
baxxRI
q
p
n
m
(De los denominadores de los exponentes)
Matemáticas 2º Bachillerato Profesora: María José Sánchez Quevedo
14
Ejercicios:
dxx
x
3
2
21 Efectuamos el cambio
2
1
21
2
332
21
3
3
22
3
tx
xt
dtt
dxdttdx
tx
C
xxx
tttdttttdtttt
dtttdtt
t
tdt
t
t
t
dxx
x
5
212
2
21
8
21
8
3
5
2
288
32
8
321
8
3
18
3
2
3
4
1
2
32
1
21
53
23
83
5284736
232232
23
3
2
Tipo producto de seno por coseno,…..
dxbxaxIdxbxsenaxsenIdxbxaxsenI coscoscos
Se transforman los productos en sumas teniendo en cuenta:
BAsenBAsenBAsen cos2)()(
BsenAsenBABA 2)cos()cos(
Ejercicios:
xsenxdxxxsen
dxxxsendxxxxxsendxxxsen
5cos5
1
2
1cos5
2
1
cos52
123cos23
2
12cos3
Tipo irracional:
dttadxtsenax
tsenta
dtta
dtt
adttadttatsena
dttatsenaadttatsenaadxxaI
cos
22
1
2
2cos122
2cos1coscos1
coscos
2
222222
2222222
BABABA coscos2)cos()cos(
Matemáticas 2º Bachillerato Profesora: María José Sánchez Quevedo
15
Ejercicios:
1. Calcular una función f(x) que se anule en x = 0 y tal que su derivada sea
xxf 3
Será Cdxxfxf
xxx dxdxdxxf 33ln
133ln
3ln
13
Entonces: CCdxxfxf x
33ln
1
Calculamos el valor de C para que 00 f
3ln
13
3ln
1
3ln
10
3ln
100
3ln
11
3ln
13
3ln
103
3ln
1 0
x
x
xfLuego
CCf
CCCfCxf
2. Obtener una primitiva de xsenxf cuya gráfica pase por el origen.
Será Cdxxfxf
xdxxsendxxf cos
Entonces: CxCdxxfxf cos
Calculamos el valor de C para que 00 f
1cos
10100
10cos0cos
xxfLuego
CCf
CCfCxxf
3. Calcular la primitiva de xx
xxf tan1
1tan2 que pase por el punto
0,A
Será Cdxxfxf
CxLnxLnx
dxx
xsendx
xdxxdxxdx
xdxx
dxxx
xdxxx
xdxxf
costan
cos
1sectan
11tan
tan1
1tantan1
1tan
22
22
Matemáticas 2º Bachillerato Profesora: María José Sánchez Quevedo
16
Entonces: CxLnxLnxCdxxfxf costan
Calculamos el valor de C para que 0f
LnxLnxLnxxfLuego
LnLnCCLnf
CLnCLn
CLnLnfCxLnxLnxxf
costan
00
00
costancostan
4. Encontrar una función tal que la derivada segunda sea
xsenxf 22 y que verifique 02
10
ff
Será Cdxxfxf
DCxxsenCxdxxdxCxdxxf
Cxdxxsendxxf
22
12cos2
2
12cos
2cos22
Entonces: DCxxsenxf 22
1
Calculamos el valor de C y D para que se verifique 02
10
ff
DCxxsenxf 22
1
12
22
1
201
2
1
02
1
2222
2
1
2
0022
10
22
1
xxsenxfLuego
CC
D
DC
D
DC
DCsenf
DDCsenf
DCxxsenxf