ГЕОМЕТРИЙН БОДЛОГУУД № 211-240

211. Өгсөн шулуун дээр орших цэгээр шулууныг шүргэх өгсөн радиустай тойрог байгуул.

Бодолт:а шулуун, түүн дээр орших А цэг, R радиус өгсөн байг.

1. A-г дайрсан а шулуунд ⊥b шулуун байгуулна.

2. А цэгт төвтэй R радиустай тойрог татна.

3. Энэ тойрог b шулуун 2-н огтлолцлын цэгт төвтэй R радиустай

тойрог нь байгуулах ёстой тойрог болно.

212. Өгсөн өнцгийн нэг тал дээр орших цэгийг дайрсан өнцгийн талуудыг шүргэсэн тойрог

байгуул.

Бодолт:α өнцөг, түүний нэг тал дээр орших А цэг өгсөн байг.

1. Өгсөн өнцгийн биссектриссийг байгуулна.

2. А цэгийг дайрсан өгсөн өнцгийн талд ⊥шулуун татна.

3.Энэ 2 шулууны огтлолын цэгийг О гэвэл О цэгт төвтэй ОА

радиустай тойрог

нь байгуулах ёстой тойрог болно.

213. Параллель хоёр шулууны дунд өгсөн цэгийг дайрсан эдгээр шулуунуудыг шүргэсэн тойрог

байгуул.

Бодолт:a,b параллель шулуунууд ,тэдгээрийн дунд А цэг өгсөн байг.

1.Эдгээр шулуунд ⊥с шулуун байгуулна.

2.Үүсэх хэрчмийн дундаж цэгийг олно.

3. А цэгийг дайрсан өгсөн шулуунуудтай параллель шулуун

байгуулна.

4. Өгсөн А цэг дээр төвтэй дээрх хэрчмийн уртын хагастай

тэнцүү радиустай тойрог татна.

5. Энэ тойрог с шулуун хоёрын огтлолын цэг дээр төвтэй А цэгийг дайрсан тойрог нь

байгуулах тойрог болно.

214. Параллель хоёр шулуун, эдгээрийг огтолсон огтлогч өгөгджээ.Эдгээр гурван шулууныг

гурвууланг нь шүргэсэн тойрог байгуул.

Бодолт:a,bпараллель шулуунууд с огтлогч өгсөн байг.

1. a, b шулуунуудад ⊥d шулуун татна.

2. Энэ шулууны a,b шулуунуудын дунд хашигдсан хэрчмийн

уртыг олно.

3. Огтлогчийн нэг талд орших түүний параллель

шулуунуудтай үүсгэж байгаа өнцгүүдийн

биссектриссүүдийг байгуулна.

4. Эдгээр биссектриссүүдийн огтлолд төвтэй дээрх хэрчмийн

уртын хагастай тэнцүү урттай тойрог нь байгуулах ёстой тойрог болно.

215. Өгсөн цэгийг дайрсан, өгсөн шулууныг шүргэсэн тойрог байгуул.

Бодолт:α өнцөг, түүний гадна орших А цэг өгсөн байг.

1. Өгсөн цэгээс өгсөн шулуунд ⊥ шулуун байгуулна.

2. Үүсэх хэрчмийн дундаж дээр төвтэй өгсөн цэгийг дайрах

тойрог нь байгуулах тойрог болно.

216. Өгсөн тойргийг А,В цэгт шүргэсэн шүргэгчүүд М цэгт

огтлолцжээ. ОВ радиусын үргэлжлэл дээр ОВ=ВС байх С цэг

авсан бол ∠�� � = 3∠�� �гэж батал.

Бодолт: АМ,ВМ нь шүргэгч учир МО нь R АМВ-н

биссектрисс болно. Иймээс R АМО = R

ВМОболно. OB=BC,ОВ ⊥ ВМ учир ∆ОМС-а/х болно. Адил

хажуут гурвалжны өндөр, медиан , биссектрисс давхцах учир

R СМВ = R ВМО болно.

R АМС = R АMO + R OMB + R BMC = 3 R BMC болно.

217.r-ньa,b катеттай c гипотенузтай тэгш өнцөгт гурвалжинд

багтсан тойргийн радиус бол r=(a+b-c)/2 гэж батал.

Бодолт:A1 ,B1 ,C1нь энэ гурвалжинд багтсан тойргийн a,b,c

талуудыг шүргэсэн шүргэлтийн цэгүүд учир ОА1СВ1 дөрвөн

өнцөгт нь r талтай квадрат болно.

ВС1=A1B=a-r , AC1=AB1=b-r , AB= AC1+ ВС1=a-r+b-r=a+b-2r=c

болно. Иймээс r=(a+b-c)/2 болж батлагдав.

218.r- ньa,b,cталуудтай тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз болон катетуудын үргэлжлэлийг

шүргэсэн тойргийн радиус бол r=(a+b+c)/2 гэж батал.

Бодолт:A1 ,B1 ,C1нь ∆АВС-н катетуудын үргэлжлжлэл болон гипотенузыг шүргэсэн

шүргэлтийн цэг учир ОА1СВ1 дөрвөн өнцөгт нь r талтай квадрат болно. Тойргийн гаднах

цэгээс тойрогт татсан шүргэгчүүд тэнцүү байдаг тул AC1=AB1=r-a , ВС1=A1B=r-b байна. ,

AB= AC1+ ВС1 учир c=r-a+r-b=2r-a-b болно. Иймээс r=(a+b+c)/2 болж батлагдав.

219.Тойрогт багтсан АВС гурвалжны А оройгоос шүргэлтийн

цэг хүртэлх зай х, ВС=a бол х=p-a гэж батал.

Бодолт:AB=c AC=b бол BC1=BA1=c-x , B1C=CA1=b-x

болно. BC=BA1+A1C учир a=c-x+b-x x=(b+c-a)/2=p-a

болно.

220. Гурвалжны багтсан болон багтаасан тойргийн төвүүд давхцах бол уг гурвалжны

өнцгүүдийг ол.

Бодолт: О-нь багтаасан тойргийн төв ⇒ AO=BO=CO

⇒ ∆AOB-а/х ∆AOC-а/х ∆BOC-а/х ⇒ R OAB= R OBA,

R OBC= R OCB, R ACO= R CAO болно. О-нь

багтаасан тойргийн төв ⇒ R ACO= R OCB, R OAB=

R CAO, R ABO= R OBC болно. Иймээс R ACO= R

OCB= R OAB= R CAO= R ABO= R OBC болно. Иймээс

R ACB= R CBA=R CAB=60 ° .

221. 90°-ийн нумд тулсан хөвчийн урт 16 бол тойргийн төвөөс хөвч хүртэлх зайг ол.

Бодолт: ∆AOB-а/х, т/ө ⇒ OH= AH HB⋅ =8

222. Өгсөн тойргийг шүргэсэн, өгсөн радиустай тойргийн төвүүдийн геометр байрыг ол.

Бодолт: О цэгт төвтэй R1радиустай тойрог, R2радиус өгсөн байг. Шүргэлцсэн тойргийн

төвүүд болон шүргэлтийн цэгүүд нэг шулуун дээр оршдог учир байгуулах тойргийн төв

нь өгсөн тойргийн төвөөс 1 2R R+ эсвэл 1 2R R− оршино. Иймээс өгсөн тойргийг

шүргэсэн, өгсөн радиустай тойргийн төвүүдийн геометр байр нь О цэгт төвтэй 1 2R R+

эсвэл 1 2R R− радиустай тойрог байна.

223. Параллель хоёр шулуун болон тэдгээрийн хооронд өгсөн дугуйг гурвууланг шүргэсэн

тойрог байгуул.

Бодолт:a,bпараллель шулуунууд , тэдгээрийн хооронд О цэгт төвтэй R радиустай дугуй

өгсөн байг.

1. Өгсөн параллель 2 шулуунд ⊥ шулуун татаж тэдгээрийн хооронд хашигдсан

хэрчмийн уртыг олно.Энэ хэрчмийн уртыг m гэе.

2. Энэ хэрчмийн дунджийг дайрсан a,bшулуунуудтай

параллель с шулуун татна.

3. Өгсөн дугуйн төв дээр төвтэй (R+m/2) радиустай тойрог

татна.

4. Энэ тойрог с шулуун хоёрын огтлол дээр төвтэй m/2

радиустай тойрог нь байгуулах тойрог болно.

224. Өгсөн шулуун болон өгсөн тойргийг шүргэсэн өгсөн радиустай тойрог байгуул.

Бодолт:а шулуун, О цэгт төвтэй R радиустай тойрог, r радиус өгсөн байг.

1. Өгсөн шулуун дээр орших дурын 2 цэг дээр төвтэй r

радиустай хагас тойргийг өгсөн тойрог байгаа талд

байгуулна.

2. Энэ 2 хагас тойргийн ерөнхий шүргэгч b-г байгуулна.

3. О цэгт төвтэй (R+r) радиустай тойрог байгуулна.

4. Энэ тойрог b шулуун хоёрын огтлол дээр төвтэй r

радиустай тойрог нь байгуулах тойрог болно.

225. 1,4 радиустай тойргийн 120°-ийн нумд тулсан хөвчөөс тойргийн төв хүртэлх зайг ол.

Бодолт: R AОB=1200 ⇒ R OAB=300 ⇒ 0sin 30 OHAO

= ⇒ 0sin 30 1,4 0,5 0,7OH AO= ⋅ = ⋅ =

226.Радиус болон хөвчийн хоорондох өнцөг 40° бол төв өнцгийг ол.

Бодолт: ∆AOB-а/х учир R AОB= 0 0 0180 2 40 100− ⋅ =

227.110°-ийн төв өнцөгт тулсан хөвчийн төгсгөлийг

дайрсан радиусын үргэлжлэл, хөвч хоёрын

хоорондох өнцгийг ол.

Бодолт: BCDR нь BOCV -н гадаад өнцөг учир 0 0

0 0180 110 110 1452

BCD CBO BOC −= + = + =R R R

228. Тойргийн гадна орших А цэгийг дайрсан шулуун тойргийг В,С цэгээр огтолно. ��� =

42°,���� = 220°бол ∠ABD=?

Бодолт:0 0

0 0 0 0180 140360 220 140 202

BOC OBC −= − = ⇒ = =R R

0 00 0 0 0180 42 69 69 20 89

2OBD DBC−

= = ⇒ = + =R R

0 0 0 0180 180 89 91ABD DBC= − = − =R R

229.Хөвч тойргийг 7:11 харьцаатай хуваана. Хөвчийн төгсгөлийг дайрсан багтсан өнцгийг ол.

Бодолт: 7 11 18+ = 0 0360 18 20÷ = 0 020 7 140AB = ⋅ =(

(жижиг) 0 011 20 220AB = ⋅ =(

(том)

Багтсан өнцөг төв өнцгийнхөө хагастай тэнцүү байдаг учир 01 702

ADB ACB= =(

R

01 1102

ACB ADB= =(

R

230.AB,AC нь тойргийн хөвчүүд бөгөөд ��� = 110°, ��� = 40°бол ∠BAC=?

Бодолт:

a) 0 0110 110 ; AOBAB AOB= ⇒ =(

R V -а/х 035BAO⇒ =R

0 0 040 40 ; / х 70AC AOC AOC а CAO= ⇒ = − ⇒ =(

R V R 0105BAC BAO OAC= + =R R R

b) 0110AB =(

040AC =( 0 0

0110 40 352 2

BCBAC −= = =

(

R

231.АВ хөвч тойргийг хоёр нумд хуваана. Бага нум нь 130°, том нум

нь АС хөвчөөр 31:15 харьцаатай хуваагдана(А цэгийн талаас

тооцоход)∠ВАС=?

Бодолт: 0130ADB =( 0 0 0360 130 230ACB = − =

(31 15 46+ =

0230 46 5÷ = 0 05 15 75BC = ⋅ =( 037,5

2BCBAC = =

(

R

232.Тойргийг гурван цэгээр 7:11:6 харьцаатай гурван нумд хуваав. Эдгээр цэгүүдийг холбоход

үүссэн гурвалжны өнцгүүдийг ол.

Бодолт: : : 7 :11: 6AB BC AC =( ((

; 7 11 6 24+ + = ;0 0360 24 15÷ =

07 15 105AB⇒ = ⋅ =(

0 011 15 165BC = ⋅ =( 0 06 15 90AC = ⋅ =

(⇒

082,52

BCA = =(

R 0452

ACB = =(

R 052,52

ABC = =(

R

233. Тойргийн хөвчийн төгсгөлийг дайрсан перпендикуляр шулуун нь

тойргийн гүйцээлт нумыг 5:2 харьцаагаар хуваана. Хөвчид тулсан төв өнцгийг ол.

Бодолт: AB BC O AC⊥ ⇒ ∈ : 5 : 2AC BC =( ( 02 180AC ABC= ⋅ =

(R

002 2 180 72

5 5ACBC BOC ⋅ ⋅

= = = =(

(R 0 0 0180 72 108AOB = − =R

234. Гурвалжны медиан нь талынхаа хагастай тэнцүү бол энэ талын эсрэг өнцгийг 90° гэж

батал.

Бодолт: MA MB MC AMC= = ⇒V -а/х ACM α⇒ =R ;

BCM ACBβ α β= ⇒ = +R R

ABCV -н хувьд 0180A B C+ + =R R R

0 0180 90α β α β α β⇒ + + + = ⇒ + =

235. А,В цэгүүд хоёр өөр радиустай нумаар холбогдоно. C,D

нь эдгээр нумууд дээр орших дундаж цэгүүд бөгөөд ���� = 117°23′���� = 42°37′бол

∠CAD=?

Бодолт: 0 '2 117 23ACB AO B= =

(R 0 '

1 42 37ADB AO B= =(

R

( ) ( ) ( )0 ' 0 0 01 1 1 1 1 1 1117 23 23 160 402 2 2 2 2 2 4 4 4

BC BDCAD CAB BAD BC BD ACB ADB ACB ADB = + = + = + = + = + = + = ⋅ =

( (( ( ( ( ( (

R R R

236. Тойрогт багтсан трапец бүхэн адил хажуут гэж батал.

Бодолт: CD AB CDB DBA⇒ =P R R (солбисон өнцгүүд) AD BC AD BC⇒ = ⇒ =((

237.AMB сегментэд ACDB трапец багтжээ. AC=CD ба ∠CAB=51°20′бол �� �� -н төв өнцгийг ол.

Бодолт:AMB сегментэд ACDB трапец багтсан AC BD AC BD CD⇒ = ⇒ = =0 ' 03 3 51 20 154AMB CAB⇒ = ⋅ = ⋅ =

(R

238.AB нь тойргийн диаметр, C,D,Eнь хагас тойрог дээр орших цэгүүд. F,Gнь AB диаметр дээр

орших бөгөөд ∠CFA=∠DFB, ∠DGA=∠EGB болно. Хэрэв ��� = 60°��� = 20°бол ∠FDG=?

Бодолт:DF-н үргэлжлэлийн тойрогтой огтлолцох цэгийг С1 гэе. 1AFC DFB⇒ =R R (босоо

өнцгүүд) 01 1 60CFA DFB CFA C FA AC AC= ⇒ = ⇒ = =

( (R R R R Яг үүнтэй ижлээр

01 20EB E B= =

( ( ( ) ( )0 0 0 01 1 1 1

1 1 1 180 60 20 502 2 2

FDG C E AB AC BE= = − − = − − =(( ( (

R

239.Адил хажуут гурвалжны оройн цэг 40°, нэг хажуу тал нь хагас тойргийн диаметр

болно.Гурвалжны талууд энэ хагас тойргийг гурван хэсэгт хуваана. Эдгээр хэсгийг ол.

Бодолт: COEV -а/х 0 0100 100COE CE⇒ = ⇒ =(

R ABCV -а/х; 0 040 70C A B= ⇒ = =R R R

BOFV -а/х 0 0 0 0180 70 2 40 40BOF BF= − ⋅ = ⇒ =(

R 0 0 0 0180 100 40 40EF = − − =(

240. Адил талт гурвалжны нэг талаар диаметрээ хийсэн тойрог өгсөн байг. Хагас тойргоор

гурвалжны талууд хэрхэн хуваагдах вэ? Гурвалжны талуудаар хагас тойрог хэрхэн

хуваагдах вэ?

Бодолт: ABCV -а/т учир 060A B C= = =R R R О нь тойргийн төв

учир OA=OB=OE=OF AOEV -а/т 060AE⇒ =(

Яг үүнтэй ижлээр 060BF =

( 060EOF AB AE BF⇒ = − − =( ( (

R ⇒ Гурвалжны

талуудаар хагас тойрог гурван тэнцүү хэсэгт хуваагдана. О нь

AB-н дундаж цэг учир АО=OB. AOEV -а/т AO AE⇒ = ; BOFV -

а/т BF BO⇒ = ; ABCV -а/т AB BC AC⇒ = =

AE EC AO OB BF FC⇒ = = = = = . Иймээс Хагас тойргоор гурвалжны талууд тэнцүү

хэрчмүүдэд хуваагдана.