A! 3 Coord Generalizadas.pdf · capÍtulo 3. coordenadas generalizadas ! !" (>1,&,e1'(9$5,$%/(6'(3(1',(17(6'(/7,(032(1816,67(0$0(&b1, …

Como ya se sabe del capítulo 1, la configuración de un sistema mecánico esla posición de cada una de sus partículas en un instante dado. Por lo tanto, es de graninterés estudiar con suficiente detalle las herramientas a emplear para lograr una bue-na descripción de dicha configuración. En este capítulo se abordará el importantísimoaspecto relacionado con la ubicación de las partículas o partes que componen unsistema mecánico. Podrían emplearse, para tal fin, los sistemas de coordenadas es-tándares: el Cartesiano, el cilíndrico y el esférico. Sin embargo, existen un tipo muyparticular de coordenadas denominadas Coordenadas Generalizadas que puedenfacilitar la descripción de los sistemas mecánicos. No existe un método general paraencontrar un conjunto de estas coordenadas demanera que sean las más apropiadaspara llevar a cabo dicha descripción, es decir, aquellas que la hacen más sencilla y,por ende, haciendo también más secilla la interpretación física de los fenómenos queocurren. En realidad, la experiencia en un porcentaje elevado es aquella que permitelograr lo anterior.

En general, los textos de Mecánica Clásica suelen ser poco generosos a la hora detratar el tema referente a las coordenadas generalizadas. El presente capítulo con-stituye un esfuerzo para hacer que el estudiante logre una buena comprensión delsignificado de las mismas y, por lo tanto, se le haga más sencilla su escogencia a lahora de emprender la descripción de un sistema mecánico dado. Se busca, además,que el estudiante aprenda a escribir las distintas cantidades físicas en función de esteconjunto de coordenadas.

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CAPÍTULO 3. COORDENADAS GENERALIZADAS

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015. Pág.: 152

3.1. DEFINICIÓN DE VARIABLES DEPENDIENTES DEL TIEMPO EN UN SISTEMA MECÁNICO YSU RELACIÓN CON LAS COORDENADAS ESTÁNDARES

3.1. Definición de variables dependientes del tiempo en unsistema mecánico y su relación con las coordenadasestándares

Para establecer la relación entre las nuevas variables dependientes del tiempoque sean posibles de definir en un determinado sistema mecánico y las coordenadasestándares utilizadas para determinar su configuración, se analizarán varios sistemasmecánicos particulares.

Considérese el sistema mecánico mostrado en la figura 3.1(a), el cual consiste endos masas puntuales y unidas por una cuerda (cuya deformación y masa sondespreciables) ubicadas utilizando un sistema de coordenadas Cartesianas. Entoncespara este sistema se tiene,

# partículas

Posiciones

Ligaduras

.

...

.# ligaduras# G.de libertad

(3.1)

siendo las coordenadas del sistema,

(3.2)

que no son independientes debido a la presencia de ligaduras. Como el número degrados de libertad es significa que existe sólo una coordenada independiente, esdecir, que es posible usar una sola coordenada para describir el sistema. En este casoes posible usar sólo o sólo de manera que la posición de ambas partículas puedeser escrita como,



Si se usa

Si se usa

(3.3)

donde se ha usado . Por lo tanto, se puede decir que el sistema tiene una coorde-nada independiente que puede ser o .

Figura (3.1): Dos masas puntuales y unidas por una cuerda (cuya deformación y masa son des-preciables).

Supóngase que se define el ángulo ,

essi se mide en el cuarto cuadrante.si se mide en el tercer cuadrante.

(3.4)

como se muestra en la figura 3.1(b). Es fácil notar que si se cambia la posición deo la posición de el ángulo también cambiará, indicando que es también

una variable en función del tiempo y sugiriendo que este cambio está relacionadomatemáticamente con el cambio de todas o algunas de las coordenadas mostradasen (3.3). Efectivamente, de la figura 3.1(b) es fácil deducir que,

(3.5)

donde es positivo en el cuarto cuadrante y negativo en el tercero, mostrando larelación existente entre la nueva variable y las coordenadas y .

Nótese en (3.5) que conocer el valor de en cualquier instante de tiem-po significa conocer indirectamente las coordenadas y , esto abre laposibilidad de usar como una “coordenada”.



Si en (3.1) se elimina la coordenada sustituyéndola por su correspondiente valordado en (3.5) resulta,

# partículas

Posiciones

Ligaduras

.

...


(3.6)

Aquí el ángulo puede ser visto como una “coordenada” que sustituyó a la coorde-nada Cartesiana . La ligadura que originalmente en (3.1) asociaba a las coor-denadas y , ahora asocia a las coordenadas y . En vista de lo anterior, lascoordenadas del sistema son ahora,

(3.7)

que siguen siendo como originalmente eran al usar sólo coordenadas Cartesianas.

De forma análoga a (3.3), de (3.6) se puede observar que es posible usar sólo osólo de manera que la posición de ambas partículas puede ser escrita como,

Si se usa

Si se usa(3.8)

donde se ha usado de (3.6). Por lo tanto, se puede decir que el sistema tiene unacoordenada independiente que puede ser o .

Por otro lado, si en (3.1) en vez de sustituir el valor de se sustituye ahora el valor



de dado en (3.5) resulta,

# partículas

Posiciones

Ligaduras

.

...


(3.9)

Aquí el ángulo puede ser visto como una “coordenada” que sustituyó a la coorde-nada Cartesiana . La ligadura que originalmente en (3.1) asociaba a las coor-denadas y , ahora asocia a las coordenadas y . En vista de lo anterior, lascoordenadas del sistema son ahora,

(3.10)

que siguen siendo como originalmente eran al usar sólo coordenadas Cartesianas.De forma análoga a (3.3), de (3.9) se puede observar que es posible usar sólo o sólo

de manera que la posición de ambas partículas puede ser escrita como,

Si se usa

Si se usa(3.11)


Nótese hasta este momento lo siguiente:



1. De (3.6) y (3.9) que el número de grados de libertad del sistemamecáni-co se mantuvo inalterado a pesar de haber introducido la nueva variableangular .

2. La posibilidad de expresar la posición de las partículas sólo en función de, sólo de o sólo como se puede ver en (3.8) y (3.11), lo cual está en

concordancia con el número de grados de libertad del sistema .

3. Que, a diferencia de y , la variable no se refiere a una de las partícu-las del sistema sino al sistema como un todo.

Considérese el mismo sistema anterior. Defínase ahora la distancia desde un pun-to que está sobre el eje a una distancia constante del centro de coordenadashasta la partícula , como se muestra en la figura 3.1(c), de manera que,

(3.12)

El cambio de la posición de y hace que cambie en consecuencia, por lotanto esta última es una variable en función del tiempo y debe estar relacionadamatemáticamente con el cambio de todas o algunas de las coordenadas mostradasen (3.1). Efectivamente, de la figura 3.1(c) es fácil deducir que,

(3.13)

que muestra la relación entre la nueva variable y las coordenadas y .

Nótese en (3.13) que conocer el valor de en cualquier instante detiempo significa conocer indirectamente las coordenadas y , esto abrela posibilidad de usar como una “coordenada”.

Procediendo como antes, si en (3.1) se elimina la coordenada sustituyéndola por



su correspondiente valor dado en (3.13) resulta,

# partículas

Posiciones

Ligaduras

.

...


(3.14)

Aquí la distancia puede ser vista como una “coordenada” que sustituyó a la co-ordenada Cartesiana . La ligadura que originalmente en (3.1) asociaba a lascoordenadas y , ahora asocia a las coordenadas y . En vista de lo anterior, lascoordenadas del sistema son ahora,

(3.15)

que son como originalmente eran en (3.1). De forma análoga a (3.3), de (3.14) sepuede observar que es posible usar sólo o sólo de manera que la posición deambas partículas puede ser escrita como,

Si se usa

Si se usa(3.16)






# partículas

Posiciones

Ligaduras

.

...


(3.17)

Aquí ahora la distancia puede ser vista como una “coordenada” que sustituyó a lacoordenada Cartesiana . La ligadura que originalmente en (3.1) asociaba a lascoordenadas y , ahora asocia a las coordenadas y . En vista de lo anterior, lascoordenadas del sistema son ahora,

(3.18)

que siguen siendo como originalmente eran al usar sólo coordenadas Cartesianas.De forma análoga a (3.3), de (3.17) se puede observar que es posible usar sólo o sólo

de manera que la posición de ambas partículas puede ser escrita como,

Si se usa

Si se usa(3.19)


Nótese, como ocurrió antes con , lo siguiente:



1. De (3.14) y (3.17) que el número de grados de libertad del sistemamecánico se mantuvo inalterado a pesar de haber introducido la nue-va variable .

2. La posibilidad de expresar la posición de las partículas sólo en función de, sólo de o sólo como se puede ver en (3.16) y (3.19), lo cual está

en concordancia con el número de grados de libertad del sistema .

3. Que, a diferencia de y , la variable no se refiere a una de las partícu-las del sistema sino al sistema como un todo.

Considérese ahora un segundo ejemplo, el péndulo simple mostrado en la figu-ra 3.2(a) de masa pendular ubicada utilizando un sistema de coordenadas Carte-sianas.Entonces para este sistema se tiene,

Figura (3.2): Péndulo simple de masa pendular .



# partículasPosiciones

Ligaduras.


(3.20)


(3.21)

que no son independientes debido a la presencia de ligaduras. Como el número degrados de libertad es significa que existe sólo una coordenada independiente, esdecir, que es posible usar una sola coordenada para describir el sistema. En este casoes posible usar sólo o sólo de manera que la posición de la masa pendular puedeser escrita como,

Si se usa

Si se usa(3.22)

donde se ha usado . Por lo tanto, se puede decir que el sistema tiene una coorde-nada independiente que puede ser o .

Supóngase ahora que se define el ángulo como se muestra en la figura 3.2(b)y cuyos signos vienen dados de la misma manera que en (3.4) para . Es fácil darsecuenta que si se cambia la posición de entonces el ángulo también cambia,indicando que es una variable igualmente en función del tiempo y sugiriendo queeste cambio está relacionado matemáticamente con el cambio de todas o algunasde las coordenadas mostradas en (3.20). Efectivamente, de la figura 3.2(b) es fácildeducir que,

(3.23)

mostrando la relación existente entre la nueva variable y las coordenadas y . Estaes la descripción que comúnmente se encuentra en los textos para este sistema.

Nótese en (3.23) que conocer el valor de en cualquier instante detiempo significa conocer indirectamente las coordenadas y , esto abre laposibilidad de usar como una “coordenada”.



Procediendo como antes, si en (3.20) se elimina la coordenada sustituyéndola porsu correspondiente valor dado en (3.23) resulta,


Ligaduras.


(3.24)

Aquí el ángulo puede ser visto como una “coordenada” que sustituyó a la coorde-nada Cartesiana . La ligadura que originalmente en (3.20) asociaba a las co-ordenadas y , ahora asocia a las coordenadas y . En vista de lo anterior, lascoordenadas del sistema son ahora,

(3.25)

que son como originalmente eran en (3.20). De forma análoga a (3.22), de (3.20) sepuede observar que es posible usar sólo o sólo de manera que la posición de lamasa pendular puede ser escrita como,

Si se usa

Si se usa(3.26)


Por otro lado, si en (3.20) en vez de sustituir el valor de se sustituye ahora el valorde dado en (3.23) resulta,


Ligaduras.


(3.27)

Aquí ahora el ángulo puede ser visto como una “coordenada” que sustituyó a lacoordenada Cartesiana . La ligadura que originalmente en (3.20) asociaba a las



coordenadas y , ahora asocia a las coordenadas y . En vista de lo anterior, lascoordenadas del sistema son ahora,

(3.28)

que siguen siendo como originalmente eran al usar sólo coordenadas Cartesianasy son dependientes. De forma análoga a (3.22), de (3.27) se puede observar que esposible usar sólo o sólo de manera que la posición de ambas partículas puede serescrita como,

Si se usaSi se usa

(3.29)


Nótese, como ocurrió antes con y , lo siguiente:


2. La posibilidad de expresar la posición de sólo en función de , sólo deo sólo como se puede ver en (3.26) y (3.29), lo cual está en concordan-cia con el número de grados de libertad del sistema .

3. Que, a diferencia de y , la variable no se refiere a la partícula sino alsistema como un todo.

Considerando el mismo sistema anterior, si es la longitud de arco quedescribe la masa pendular como es mostrado en la figura 3.2(c), entonces es posibledefinir,

si se mide en el cuarto cuadrante.si se mide en el tercer cuadrante.

(3.30)

en concordancia con los signos de

como nueva variable. De la figura es fácil encontrar que las relaciones con las coor-denadas estándares vienen dadas por,

(3.31)



que muestra la relación entre la variable y las coordenadas y .




Ligaduras.


(3.32)

Aquí la longitud de arco puede ser vista como una “coordenada” que sustituyó a lacoordenada Cartesiana . La ligadura que originalmente en (3.20) asociaba a lascoordenadas y , ahora asocia a las coordenadas y . En vista de lo anterior, lascoordenadas del sistema son ahora,

(3.33)

que son como originalmente eran en (3.20) y son dependientes. De forma análoga a(3.22), de (3.32) se puede observar que es posible usar sólo o sólo de manera quela posición de ambas partículas puede ser escrita como,

Si se usa

Si se usa(3.34)







Ligaduras.


(3.35)

Aquí ahora la longitud de arco puede ser vista como una “coordenada” que susti-tuyó a la coordenada Cartesiana . La ligadura que originalmente en (3.20) aso-ciaba a las coordenadas y , ahora asocia a las coordenadas y . En vista de loanterior, las coordenadas del sistema son ahora,

(3.36)

que siguen siendo como originalmente eran al usar sólo coordenadas Cartesianasy son dependientes. De forma análoga a (3.22), de (3.35) se puede observar que esposible usar sólo o sólo de manera que la posición de puede ser escrita como,

Si se usaSi se usa

(3.37)


Nótese, como ocurrió antes con , y , lo siguiente:


2. La posibilidad de expresar la posición de la masa pendular sólo en fun-ción de , sólo de o sólo como se puede ver en (3.34) y (3.37), lo cualestá en concordancia con el número de grados de libertad del sistema.




Por último, si para el mismo sistema se considera ahora el área del sector circularbarrido por la cuerda que se muestra en la figura 3.2(d)1,

(3.38)

donde corresponde a la amplitud de dicho sector y si, además, se definen sus signosmediante,


(3.39)

entonces es fácil darse cuenta, a partir de la mencionada figura, que es posible es-cribir las coordenadas y como,

(3.40)

que muestra la relación entre la variable y las coordenadas y .




Ligaduras.


(3.41)

Aquí el área puede ser vista como una “coordenada” que sustituyó a la coorde-nada Cartesiana . La ligadura que originalmente en (3.20) asociaba a las co-ordenadas y , ahora asocia a las coordenadas y . En vista de lo anterior, lascoordenadas del sistema son ahora,

(3.42)

1El área de un sector circular de radio y amplitud o ángulo central (ángulo entre los dos radios queforman el sector) viene dada por .



que son como originalmente eran en (3.20) y son dependientes. De forma análoga a(3.22), de (3.41) se puede observar que es posible usar sólo o sólo de manera quela posición de puede ser escrita como,

Si se usa

Si se usa(3.43)


Por otro lado, si en (3.20) en vez de sustituir el valor de se sustituye ahora el valorde dado en (3.40) resulta,


Ligaduras.


(3.44)

Aquí ahora el área puede ser vista como una “coordenada” que sustituyó a la co-ordenada Cartesiana . La ligadura que originalmente en (3.20) asociaba a lascoordenadas y , ahora asocia a las coordenadas y . En vista de lo anterior, lascoordenadas del sistema son ahora,

(3.45)

que siguen siendo como originalmente eran al usar sólo coordenadas Cartesianasy son dependientes. De forma análoga a (3.22), de (3.44) se puede observar que esposible usar sólo o sólo de manera que la posición de puede ser escrita como,

Si se usaSi se usa

(3.46)


Nótese, como ocurrió antes con , , y , lo siguiente:




2. La posibilidad de expresar la posición de la masa pendular sólo en fun-ción de , sólo de o sólo como se puede ver en (3.43) y (3.46), lo cualestá en concordancia con el número de grados de libertad del sistema.


Hasta ahora sólo se han considerado sistemas de dos dimensiones. Para finalizar ladiscusión, considérese ahora el sistema mecánico tridimensional mostrado en la figura3.3(a), que consiste en una partícula demasa obligada amoverse sobre la superficieinterna del cono liso , con un ángulo constante.Entonces para este

Figura (3.3): Partícula de masa obligada a moverse sobre la superficie interna del cono liso, con un ángulo constante: (a) partícula posicionada usando coordenadas Cartesianas, (b)

usando coordenadas cilíndricas y (c) usando coordenadas esféricas.

sistema se tiene,



# partículasPosicionesLigaduras .# ligaduras# G.de libertad

(3.47)


(3.48)

que no son independientes debido a la presencia de ligaduras. Como el número degrados de libertad es significa que existen sólo dos coordenadas independiente, esdecir, que es posible usar dos coordenadas para describir el sistema. En este caso esposible usar sólo y o y o y de manera que la posición de puede ser escritacomo,

Si se usa y

Si se usa y

Si se usa y

(3.49)

donde se ha usado . Por lo tanto, se puede decir que el sistema tiene dos coorde-nadas independientes que pueden ser y o y o y .

Es posible definir las variables,

distancia entre y el origen del sistema de coordenadasCartesianas, .

ángulo entre la proyección de sobre el plano y eleje , .

(3.50)

como se observa en la figura 3.3(b), siendo fácil encontrar que la relación entre estasvariables y las coordenadas Cartesianas de la posición de vienen dadas por,

(3.51)

manteniéndose la coordenada inalterada. Estas no son más que las usuales coorde-nadas cilíndricas.



Nótese en (3.51) que conocer el valor de y en cualquier instante detiempo significa conocer indirectamente las coordenadas y , esto abre laposibilidad de usar y como “coordenadas”.

Procediendo como antes, si en (3.47) se eliminan la coordenadas y sustituyén-dolas por sus correspondientes valores dados en (3.51) resulta,


(3.52)

Aquí y pueden ser vistas como “coordenadas” que sustituyeron a las coordenadasCartesianas y . La ligadura que originalmente en (3.47) asociaba a las coor-denadas , y ahora asocia a las coordenadas y . En vista de lo anterior, lascoordenadas del sistema son ahora,

(3.53)

que son como originalmente eran en (3.47). De forma análoga a (3.49), de (3.52) sepuede observar que es posible usar sólo y o y de manera que la posición depuede ser escrita como,

Si se usa ySi se usa y

(3.54)

donde se ha usado de (3.52). Por lo tanto, se puede decir que el sistema tiene doscoordenadas independientes y o y .

Nótese, como ocurrió antes con , , , y , lo siguiente:



1. De (3.52) que el número de grados de libertad del sistema mecánico semantuvo inalterado a pesar de haber introducido las nuevas variables y.

2. La posibilidad de expresar la posición de sólo en función de y o sólode y como se puede ver en (3.54), lo cual está en concordancia conel número de grados de libertad del sistema.

3. En este caso y si se refieren a una partícula al igual que las coorde-nadas Cartesianas.

Si ahora para el mismo sistema se definen las variables,

distancia entre y el origen del sistema de coordenadasCartesianas, .

ángulo entre la proyección de sobre el plano y el eje, .

ángulo entre el eje y el vector de posición de , .

(3.55)

como se observa en la figura 3.3(c), es fácil encontrar que la relación entre estas va-riables y las coordenadas Cartesianas de la posición de vienen dadas por,

(3.56)

que no sonmás que las usuales coordenadas esféricas, donde es la colatitud o ángu-lo polar y es el azimut o longitud. Hay que hacer constar que los rangos anteriores noson los únicos usados. Algunos autores usan la latitud (de de a , situándoseel en el plano ) en lugar de la colatitud, y el azimut en sentido horario y variandoentre a .

Nótese en (3.56) que conocer el valor de , y en cualquier instantede tiempo significa conocer indirectamente las coordenadas , y , queabre la posibilidad de usar , y como “coordenadas”.

Procediendo como antes, si en (3.47) se eliminan la coordenadas y sustituyén-



dolas por sus correspondientes valores dados en (3.56) resulta,


(3.57)

Aquí , y pueden ser vistas como “coordenadas” que sustituyeron a las coorde-nadas Cartesianas , y , es decir, las sustituyen en su totalidad. La ligadura queoriginalmente en (3.47) asociaba a las coordenadas , y , ahora fija a la coordena-da . En vista de lo anterior, las coordenadas del sistema son ahora,

(3.58)

que son como originalmente eran en (3.47), donde tiene un valor fijo. De formaanáloga a (3.49), de (3.57) se puede observar que es posible usar sólo y de maneraque la posición de puede ser escrita como,

Si se usa y (3.59)

donde se ha usado de (3.57). Por lo tanto, se puede decir que el sistema tiene doscoordenadas independientes y .

Nótese, como ocurrió con las anteriores variables definidas, lo siguiente:

1. De (3.57) que el número de grados de libertad del sistema mecánico semantuvo inalterado a pesar de haber introducido las nuevas variables ,y .

2. La posibilidad de expresar la posición de sólo en función de y comose puede ver en (3.59), lo cual está en concordancia con el número degrados de libertad del sistema.

3. En este caso , y si se refieren a una partícula al igual que las coorde-nadas Cartesianas.



Por último, si para el mismo sistema se definen ahora las variables,

distancia entre y el punto que se encuentra sobre el eje a unadistancia sobre el origen del sistema de coordenadas Cartesianas, .

ángulo entre y el eje , .ángulo entre la proyección de sobre el plano y el eje , ,

es decir, la misma de las cilíndricas y las esféricas.(3.60)

como se muestra en la figura 3.4(a), es posible encontrar que la relación entre estasvariables y las coordenadas Cartesianas de la posición de vienen dadas por,

Figura (3.4): Partícula de masa obligada a moverse sobre la superficie interna del cono liso, con un ángulo constante: (a) relación entre las coordenadas Cartesianas y las nuevas

variables , y , (b) relación entre las coordenadas cilíndricas y las nuevas variables , y(aquí la nueva variable coincide con la coordenada cilíndrica ).

(3.61)

pudiéndose escribir la posición de la partícula como,

(3.62)




Procediendo como antes, si en (3.47) se eliminan la coordenadas , y sustituyén-dolas por sus correspondientes valores dados en (3.61) resulta,

# partículasPosicionesLigaduras

# ligaduras# G.de libertad

(3.63)

Aquí , y pueden ser vistas como “coordenadas” que sustituyeron a las coorde-nadas Cartesianas , y , es decir, las sustituyen en su totalidad. La ligadura queoriginalmente en (3.47) asociaba a las coordenadas , y , ahora relaciona a lascoordenadas y . En vista de lo anterior, las coordenadas del sistema son ahora,

(3.64)

que son como originalmente eran en (3.47) donde tiene un valor fijo. De forma análo-ga a (3.59), de (3.63) se puede observar que es posible usar, por ejemplo, sólo y demanera que la posición de puede ser escrita como,

Si se usa y (3.65)

donde se ha usado de (3.63). Por lo tanto, se puede decir que el sistema tiene doscoordenadas independientes y .

Nótese, como ocurrió con las anteriores variables definidas, lo siguiente:

1. De (3.63) que el número de grados de libertad del sistema mecánico semantuvo inalterado a pesar de haber introducido las nuevas variables ,y .

2. La posibilidad de expresar la posición de sólo en función, por ejemplo,de y como se puede ver en (3.65), lo cual está en concordancia conel número de grados de libertad del sistema .



Como se sabe, no sólo es posible emplear coordenadas Cartesianas para ubicarlas partículas que constituyen un sistemamecánico dado sino que también se puedenemplear para tal fin cualesquiera de las coordenadas estándares conocidas. En lapresente sección, hasta aquí, sólo se han empleado coordenadas Cartesianas. Si seutilizan cualesquiera de los restantes sistemas de coordenadas estándares, igualmentelas nuevas variables temporales posibles de definir estarán relacionadas matemática-mente con dichas coordenadas. Considérese nuevamente el ejemplo mostrado en lafigura 3.3(a). En la figura 3.4(b) se muestra el mismo sistema mecánico en el cual sehan empleado coordenadas cilíndricas , y para ubicar a la partícula de masay se han definido las nuevas variables , , que son las mismas definidas en (3.60).

Es fácil encontrar, al analizar la mecionada figura, relaciones matemáticas entre estasvariables nuevas y las coordenadas cilíndricas resultando,

(3.66)

y la nueva variable coincide con la coordenada cilíndrica , por lo tanto no sufrecambios. Entonces la posición de la partícula se puede escribir ahora como,

(3.67)


Para este caso se tiene,

# partículasPosicionesLigaduras


(3.68)

Además de longitudes de arco, ángulos y áreas también es posible usar otras canti-dades como coordenadas, incluso, cantidades físicas. Con referencia al ejemplo mos-trado en la figura 3.3a, se tiene que la energía potencial de la partícula viene dadapor,

(3.69)



a partir de la cual se tiene que,

(3.70)

de esta manera la tabla 3.47 puede ser reescrita como,

# partículas

Posiciones

Ligaduras .


(3.71)

siendo las coordenadas ahora,

(3.72)

es decir, se puede usar como coordenada. Podría emplearse también, por ejemplo,la energía cinética de la partícula. En efecto,

(3.73)

pudiéndose escribir ahora la ecuación de la ligadura como,

(3.74)

No sólo se pueden usar longitudes como coordenadas, también sepueden usar cantidades angulares, áreas, energías, etc. Los sistemas de co-ordenadas resultantes pueden estar constituidos por cantidades que sontodas longitudes, áreas, energías, etc. o una combinación de las mismas.

Se podría continuar definiendo nuevas variables temporales de infinidad de man-eras diferentes. Existen muchas posibilidades de elección y por ende, en general, sepodrían encontrar relaciones matemáticas entre éstas y las coordenadas estándaresutilizadas para ubicar las partículas del sistema, empleando para ello procedimientosanálogos a los mostrados en los anteriores ejemplos. Dichas relaciones matemáticaspueden involucrar más de una de estas nuevas variables a la vez, como se evidenciaen (3.51) y (3.56), y ser muy simples o muy complicadas, lo cual dependerá de la es-tructura geométrica del sistema mecánico, del número de variables definidas y de laforma como sean definidas. Esto último dependerá muchísimo de la experiencia quese tenga.



De todos los ejemplos mostrados anteriormente y las correspondientes discusiones,es posible concluir lo siguiente:

1. Dado un sistema mecánico es posible, en general, escribir las coordenadas están-dares (todas o algunas de ellas) de las posiciones de sus partículas como funciónde una o más nuevas variables definidas a conveniencia en el mismo, es decir, esposible parametrizarlas por medio de éstas. Estas relaciones serán más o menoscomplicadas dependiendo de la forma cómo se defina cada una de las nuevasvariables, de la cantidad de ellas y de la geometría del sistema mecánico objetode estudio.

2. Como consecuencia de lo anterior, la nuevas variables pueden ser usadas comocoordenadas y conformar en conjunto, solas o en combinación con algunas coor-denadas estándares, nuevos sistemas de coordenadas que permiten la descripciónde sistema mecánico dado.

3. Ahora es posible construir infinitos conjuntos de coordenadas que pueden estar for-mados por:

a) Sólo coordenadas estándares.

b) Sólo coordenadas nuevas.

c) Una mezcla de coordenadas estándares y coordenadas nuevas.

4. Otro aspecto importantísimo de hacer notar es que, a diferencia de los sistemasestándares que pueden ser empleados inalterados para la descripción de cual-quier sistemamecánico, los nuevos sistemas de coordenadas creados con la partic-ipación de las nuevas variables son para un sistemamecánico en particular, debidoa la naturaleza de de las mismas.

5. Las nuevas variables dependientes del tiempo pueden tener dimensiones de ángu-lo, longitud, área, energía, etc. En general pueden tener cualquier dimensión, entrelas que se pueden incluir además de las anteriores: momento, presión, torque, etc.,e incluso ser completamente adimensionales, pudiendo no tener ningún significa-do físico asociado. Otro aspecto importante de las nuevas coordenadas es queéstas no necesariamente se refieren individualmente a cada una de las partículasque constituyen al sistema mecánico, también pueden referirse al sistema como untodo, tal cual ocurre con en (3.40).

6. El número de grados de libertad para un mismo sistema mecánico permaneceinalterado al usar distintos de estos nuevos sistemas de coordenadas al momentode describirlos, es decir, son una propiedad del mismo.



7. El número de ligaduras presentes también permanece inalterado. Si existen ligadu-ras entre las coordenadas estándares empleadas originalmente para la ubicaciónde las partículas del sistema mecánico entonces, en general, algunas o todas las li-gaduras podrán ser expresadas en función de las nuevas variables. De esta manerase pueden establecer ligaduras entre únicamente la nuevas variables o entre éstasy las coordenadas estándares que se mantuvieron inalteradas.

8. El número de coordenadas de un sistema mecánico permanece inalterado alemplear distintos sistemas de coordenadas para su descripción. Luego de expresa-da la posición de sus partículas en función de las nuevas variables definidas y lascoordenadas estándares que se mantuvieron inalteradas, su número total vendrá

dado por,

es decir, es igual al número total de coordenadas estándares que fueron utilizadasoriginalmente antes de la definición de las nuevas variables.

9. En las coordenadas cilíndricas y esféricas, las variables , y pueden ser vistas co-mo nuevas variables cuando se ha partido de las coordenadas Cartesianas comosistema estándar.

Las nuevas variables pueden ser tratadas como coordenadas por es-tar relacionadas con las coordenadas estándares, dando origen a nuevossistemas de coordenadas que sirven para la descripción de los sistemasmecánicos.

Supóngase que se tiene un sistema de partículas sujeto a ligaduras holóno-mas y ligaduras no-holónomas. Como se vio en el capítulo 2, existirá un conjuntototal de coordenadas Cartesianas (dependientes independientes) que cons-tituyen las coordenadas estándares de posición de las partículas, las cuales estaránrelacionadas directamente mediante las ligaduras holónomas e indirectamentemediante las ligaduras no-holónomas, y en vista de lo estudiado antes, lo mismoocurre para los nuevos sistemas de coordenadas aquí introducidos.

Para describir un sistemamecánico se requiere que las coordenadas del sistema decoordenadas a utilizar sean independientes. Es posible construir a partir de las co-ordenadas (dependientes independientes) un conjunto de este tipo. Para lograrlo,las ligaduras pueden ser introducidas a la formulación de dos formas:



1. En forma implícita: las ligaduras son utilizadas para eliminar las coordenadas depen-dientes mediante el despeje de estas últimas a partir de las primeras. Es obvio queesto es sólo posible, en general, para el caso de las ligaduras holónomas y semi-holónomas.

2. En forma explícita: las ligaduras son introducidas directamente a la formulación me-diante el empleo, al menos para la forma de las ligaduras a estudiar en el pre-sente texto, del denominado Método de los Multiplicadores de Lagrange, el cualserá empleado para tal fin en los capítulos 8 y 9; introduciendo la ventaja adicionalde permitir el cálculo de las fuerzas de ligadura que, como se sabe, no son cono-cidas a priori. Lo anterior no permite eliminar las coordenadas dependientes perohace que estas últimas puedan ser consideradas ahora como independientes. Estaes la forma utilizada para introducir las ligaduras no-holónomas ya que no es posi-ble usarlas para eliminar coordenadas. También puede ser usada para el caso deligaduras holónomas y semi-holónomas cuando no se desee reducir el número decoordenadas.

Específicamente, se puede construir un conjunto de coordenadas independientes:

1. Si el sistema es holónomo:

a) Mediante la introducción en forma implícita de las ligaduras holónomas enlas coordenadas, obteniéndose así coordenadas independientes.

b) Mediante la introducción en forma explícita de las ligaduras holónomas,pudiéndose considerar las coordenadas ahora como independientes.

2. Si el sistema es no-holónomo:

a) El sistema sólo tiene ligaduras no-holónomas: mediante la introducción de lasligaduras no-holónomas en forma explícita, pudiéndose considerar ahora

las coordenadas como independientes.

b) El sistema tiene ligaduras holónomas y no-holónomas:

i. Mediante la introducción en forma implícita de las ligaduras holónomasy las no-holónomas en forma explícita, obteniéndose así coor-denadas independientes.

ii. Mediante la introducción en forma explícita de tanto las ligaduras holó-nomas como las no-holónomas, pudiéndose considerar las coorde-nadas ahora como independientes.



De todo lo anterior ahora se puede definir la cantidad ,

Se definirá como el número mínimo de coordenadas dependientes oindependientes con las que se puede describir completamente un determi-nado sistema mecánico y que viene dado por,

independientes sistema holónomodependientes sistema no-holónomo

(3.75)

Es fácil llegar a la conclusión de que,

para un sistema holónomopara un sistema no-holónomo

(3.76)

es decir,

De una forma más detallada,

Si no existen ligaduras.Si existen únicamente ligaduras holónomas que son

usadas explícitamente.Si existen únicamente ligaduras no-holónomas.Si existen ligaduras holónomas y no-holónomas donde

las primeras son usadas explícitamente.Si únicamente existen ligaduras holónomas

que son usadas implícitamente.Si existen ligaduras holónomas y

no-holónomas donde las primeras son usadasimplícitamente.

(3.77)pudiéndose observar que,


3.2. COORDENADAS GENERALIZADAS

3.2. Coordenadas Generalizadas

3.2.1. Definición

A los nuevos sistemas de coordenadas encontrados en la sección anterior se lesdenomina, en Mecánica Clásica, Sistemas de Coordenadas Generalizadas, mientrasque a cada una de sus coordenadas se les denominará Coordenada Generalizada,esto es debido a la gran diversidad de variables que pueden ser usadas como coor-denadas para describir completamente un sistema mecánico. Suelen ser denotadascon la letra .

Se denominan Coordenadas Generalizadas a un conjunto devariables ( ) con las cuales es posible, para cualquier instantede tiempo , describir la configuración de un sistema de partículas dado.

Estas coordenadas son llamadas también, en algunos textos, Coordenadas La-grangianas. Poseen las siguientes ventajas:

1. No son únicas lo que es realmente ventajoso ya que permite una gran flexibilidaden su elección. Sin embargo, una elección apropiada puede simplificar el análisisconsiderablemente.

2. Pueden englobar en su propia elección las ligaduras del sistema (todas o al menosuna parte de ellas). De esta forma se consigue una doble ventaja:

a) El número de coordenadas puede ser menor que el correspondiente directa-mente a las coordenadas de todas las partículas.

b) El número de ecuaciones de ligadura y el número de ecuaciones necesariaspara describir el sistema puede verse igualmente reducido.

3. La introducción de las coordenadas generalizadas obedece al hecho de, que enmuchos sistemas físicos no es necesario conocer, en cada instante, las coordenadasde posición (coordenadas estándares) de todas y cada una de las partículas quelos constituyen.

4. Proveen la oportunidad de engrandecer el horizonte al poder aceptar, como co-ordenadas, las amplitudes de los desarrollos en series de Fourier o ciertas funcionesfísicas de las coordenadas estándares, por ejemplo.



5. Facilitan el cambio de énfasis a partir del mundo físico de la Mecánica VectorialNewtoniana al mundo más matemático de la Mecánica Analítica correspondientea las Mecánicas de Lagrange y Hamilton, que serán estudiadas a partir del capítulo8.

3.2.2. Ecuaciones de transformación entre las coordenadas estándaresy las coordenadas generalizadas

En general, existirán relaciones entre los vectores de posición de cada una de laspartículas de un sistema mecánico y coordenadas generalizadas para fijar

la configuración del mismo, las cuales están relacionadas mediante,

, con ; (3.78)

que conforman el sistema de ecuaciones,

...

(3.79)

A los vectores de posición de cada partícula serán denominados, por extensión,«Coordenadas Vectoriales». Está claro que éstas son equivalentes a definir las coor-denadas cartesianas correspondientes. Podrá existir dependencia explícita del tiempoen (3.78) cuando se hayan tomado sistemas de coordenadas móviles, o bien cuandohayan ligaduras reónomas.

Las expresiones (3.78) establecen la relación entre las viejas coordenadas y lasnuevas coordenadas generalizadas . Se supone que se puede realizar siempre latransformación en sentido contrario o transformación inversa para así obtener cual-quier como una función de las coordenadas vectoriales y el tiempo, es decir,

, con ; (3.80)


3.3. ESPACIO DE CONFIGURACIÓN

que representan el sistema de ecuaciones,

...

(3.81)

Se denomina Sistema Natural a todo aquél en el que el conjunto deecuaciones (3.78) y (3.80) no dependen explícitamente del tiempo, es decir,

, con ; (3.82)

3.3. Espacio de Configuración

Dado un sistema de partículas, se puede representar su estado mediante unpunto en un espacio denominado Espacio de Configuración.

Se da el nombre de Espacio de Configuración al espacio abstractoconstituído por cualquier conjunto de coordenadas generalizadas es-cogidas para describir el sistema.

La dimensión de este espacio es y cada dimensión de este espacio correspondea una de las coordenadas generalizadas . Cada punto en este espacio, denomina-do Punto de Configuración, describe la Configuración del Sistema en un instante par-ticular y la historia temporal del mismo vendrá representada mediante una curva. (verfigura 3.5).

A través de cada punto pasa un infinito número de curvas que representan “movimien-tos” posibles del sistema. Cada curva corresponde a un conjunto particular de condi-ciones iniciales. Por lo tanto, se puede hablar del “camino” de un sistema como si éstese “moviese” a través del espacio de configuración. Sin embargo,

se debe tener cuidado de no confundir esta terminología con aquellaaplicada al movimiento de una partícula a lo largo de un camino en elespacio tridimensional ordinario.



Figura (3.5): El historial temporal de un sistema es representado mediante una curva en el espacio deconfiguración. Se muestran cuatro posibles.

En el espacio de configuración, a este camino se le denomina Camino Dinámico.

El movimiento de un sistema completo es posible así describirlo median-te una única trayectoria en el espacio de configuración -dimensional,en vez de un conjunto de trayectorias en el espacio de posición -dimensional ordinario.

En el caso de existir ligaduras holónomas, el punto de configuración se mueve enun espacio reducido de dimensiones debido a que debe permaneceren cada una de las superficies de ligadura, es decir, en su intersección común.De esta manera, ciertas regiones del espacio de configuración -dimensional no sonaccesibles.

En contraste, en el caso de ligaduras no-holónomas, son los movimientos diferen-ciales los que están limitados. Puesto que las ecuaciones diferenciales que represen-tan a estas ligaduras no-holónomas no son integrables, no existen superficies de liga-dura finitas en el espacio de configuración y no hay reducción de la región accesible.En otras palabras, mediante la elección apropiada del camino dinámico, es posiblealcanzar cualquier punto en el espacio de configuración a partir de cualquier otro.

Se puede definir un nuevo espacio que involucre a las coordenadas generalizadasy sus correspondientes velocidades generalizadas :


3.4. ALGUNAS MAGNITUDES FÍSICAS EN COORDENADAS GENERALIZADAS

Se da el nombre de Espacio de Estado al espacio abstracto dimen-sional constituído por cualquier conjunto de coordenadas generalizadasy sus correspondientes velocidades generalizadas .

Aquí, al contrario de lo que ocurre en el espacio de configuración, las ligadurasno-holónomas limitan la región accesible del espacio de estado. Este espacio guardauna relación íntima con el Espacio de Fase, a ser estudiado en el 9, conformado por

coordenadas generalizadas y los correspondientes momentos generalizados.

3.4. Algunas magnitudes físicas en coordenadas generali-zadas

Seguidamente serán expresadas, en coordenadas generalizadas, algunasmag-nitudes físicas de uso frecuente.

3.4.1. Desplazamiento

El desplazamiento puede ser encontrado al hallar el diferencial total de(3.78). En efecto,

, con (3.83)

3.4.2. Velocidad

Nuevamente, partiendo de las transformaciones (3.78) pero ahora hallando suderivada total con respecto al tiempo resulta que,

, con (3.84)

Aquí a las cantidades se les da el nombre de Velocidades Generalizadas.



Para el caso particular de un sistema natural se puede escribir,

, con (3.85)

puesto que .

3.4.3. Aceleración

Al derivar con respecto al tiempo (3.85) resulta,

(3.86)

pero,

(3.87)

(3.88)

entonces, al sustituir (3.87) y (3.88) en (3.86) resulta,

(3.89)

y como los índices que suman son mudos en las sumatorias de los últimos dos términoses posible escribir,

, con (3.90)

Para el caso particular en el que el sistema considerado sea natural se tiene que,

, con (3.91)



3.4.4. Trabajo Mecánico

El trabajo mecánico total realizado sobre un sistema de partículas vienedado por,

(3.92)

y al sustituir a partir de (3.83) resulta,

o,

(3.93)

donde,

, con (3.94)

son las llamadas Fuerzas Generalizadas. Puesto que las coordenadas generalizadasno necesariamente tienen dimensión de longitud, entonces las no necesariamentetienen dimensión fuerza:

1. Si es una longitud, entonces es una fuerza.

2. Si es un ángulo, entonces es un torque.

3. Si es una superficie, entonces es una tensión.

4. Si es un volumen, entonces es una presión.

Sin embargo, el producto siempre tiene dimensión de trabajo como lo exige(3.93).

En el caso de un sistema conservativo, las fuerzas se derivan de una función deenergía potencial ,

, con (3.95)



donde el superíndice indica que las fuerzas son derivables de una función de ener-gía potencial o, equivalentemente, de una función potencial. Ahora, al sustituir (3.95)en (3.94) resulta,

(3.96)

pero,

(3.97)

donde el índice indica la coordenada , , , entonces,

, con para sistemas conservativos (3.98)

En el caso de una función de energía potencial dependiente de las velocidades ydel tiempo se tiene que,

(3.99)

notándose que cuando se reduce a (3.98). Una energía potencial del tipose aplica a un tipo muy importante de campo de fuerzas: el de las

fuerzas electromagnéticas sobre cargas móviles.

Cuando se está describiendo un sistema natural (3.93) se reduce a,

(3.100)

3.4.5. Energía Cinética

Como ya se sabe, la energía cinética total de un sistema de partículasviene dada por,

(3.101)



Ahora, al sustituir aquí la expresión (3.84) resulta,

o,

(3.102)

donde , y son funciones definidas de las y y, por lo tanto, de las y dadaspor,

con (3.103)



Si el sistema es natural se anulan los primeros dos términos de (3.102) resultando,

(3.104)

y, por lo tanto, será siempre una forma cuadrática homogénea respecto a las veloci-dades generalizadas2. En efecto, si se halla la derivada parcial de (3.104) con respectoa las velocidades generalizadas resulta,

no depende de las , ver (3.103).

, con (3.105)

multiplicando ahora por y sumando sobre se obtiene,

(3.106)

y como en este caso todos los índices son mudos (ya que todos suman), los dos térmi-nos de la derecha son idénticos entonces,

(3.107)

Este importante resultado es un caso especial del Teorema de Euler (ver apéndiceB), el cual establece que,

2El subíndice de en (3.102) indica el grado de homogeneidad de la función en su dependencia conrespecto a las velocidades generalizadas.


3.5. FORMA GENERAL EN COORDENADAS GENERALIZADAS DE LAS LIGADURASHOLÓNOMAS, NO-HOLÓNOMAS Y SEMI-HOLÓNOMAS

Si es una Función Homogénea de las que es de grado , es decir,

(3.108)

siendo , entonces,

, con (3.109)

Al comparar (3.109) con (3.107) finalmente se verifica que, para el caso de un sis-tema natural, será siempre una forma cuadrática ( ) homogénea respecto a lasvelocidades generalizadas.

3.5. Forma general en coordenadas generalizadas de lasligaduras holónomas, no-holónomas y semi-holónomas

En vista de que las ligaduras tienen un rol importantísimo en el estudio de lossistemas mecánicos y de que en los capítulos 8 en adelante, cuando se estudie laMecánica de Lagrange y la Mecánica de Hamilton, estarán involucradas en las ecua-ciones de movimiento escritas en coordenadas generalizadas; se procederá ahora areescribir en estas coordenadas las formas generales de las ligaduras holónomas, noholónomas y semi-holónomas ya estudiadas en la sección 2.3.3.

3.5.1. Ligaduras holónomas en coordenadas generalizadas

La forma general de las ligaduras holónomas (2.13) se puede escribir en coorde-nadas generalizadas como,

, ; (3.110)

En el particular caso de las ligaduras holónomas en forma diferencial (2.17) y en formade velocidad (2.18) se tiene que,

, (3.111)



que representan las restricciones sobre los desplazamientos y,

, (3.112)

que representan las restricciones sobre las velocidades generalizadas .

En el caso de ligaduras holónomas esclerónomas se tiene que,

, (3.113)

3.5.2. Ligaduras no-holónomas y semi-holónomas en coordenadas ge-neralizadas

Las ligaduras (2.14) se pueden escribir como,

, ;si son no-holónomas

si son semi-holónomas

(3.114)

sean no-holónomas o semi-holónomas.

Considérese ahora el caso particular de las ligaduras (2.58). Para escribir esta expre-sión en función de las nuevas coordenadas se sustituye en ellas la expresión (3.83)para los desplazamientos resultando,

(3.115)


3.6. UN MÉTODO PARA DETERMINAR SI UNA LIGADURA EN FORMA DE DIFERENCIAL ODE VELOCIDAD ES HOLÓNOMA O NO-HOLÓNOMA

donde,

, ; (3.116)

que son las ecuaciones de transformación para los coeficientes y desde las viejascoordenadas a las nuevas coordenadas . De forma análoga se procede con lasligaduras en la forma de velocidades (2.59) obteniéndose estas mismas ecuacionesde transformación. Por lo tanto, en general, se puede escribir ahora,

,

(3.117)que representan las restricciones lineales sobre los desplazamientos y,

, (3.118)

que representan las restricciones lineales sobre las velocidades generalizadas .

En el caso de ligaduras no-holónomas esclerónomas y semi-holónomas

esclerónomas se tiene que,

,

,

(3.119)

3.6. Un método para determinar si una ligadura en formade diferencial o de velocidad es holónoma o no-holónoma

Para que las ligaduras del tipo (3.117) o (3.118) puedan ser integrables, es decir,para que puedan representar ligaduras semi-holónomas, deben constituir una difer-



encial exacta o una diferencial inexacta pero que se pueda convertir en exacta me-diante el uso de un factor integrante. Supóngase que de todas las ligaduras en(3.117), la -ésima es semi-holónoma. Por lo tanto, al ser integrada debe ser posibleencontrar una función del tipo (3.110) cuyo diferencial total viene dado por,

, donde (3.120)

El caso más general de (3.120) se da cuando es dividida por un factor integrante, es decir,

(3.121)

entonces, al comparar (3.117) con (3.121) resulta,

, con

, con

o,

(3.122)

es decir, para que una ligadura dada por (3.117) sea semi-holónoma, debe existir unafunción y un factor integrante que satisfagan las ecuaciones (3.122) ala vez.

De la integración de las ecuaciones (3.122), encontrado ya el factorintegrante e identificadas las funciones , a partir de lasligaduras dadas, es posible hallar la función .

Para verificar lo anterior se procede a derivar parcialmente las ecuaciones (3.122)con respecto a las coordenadas generalizadas,

Permutando

, con (3.123)



Permutando

, con (3.124)

donde se ha requerido que para garantizar que las derivadas sean en paresde coordenadas diferentes. De las anteriores expresiones, al igualar las derivadas par-ciales cruzadas en cada caso, resultan las siguientes expresiones,

, con (3.125)

concluyéndose de aquí que si existe un factor integrante tal que se satisfaganestas relaciones, entonces la -ésima ligadura es semi-holónoma.

Después de indentificadas las funciones y a partir de lasligaduras dadas, las ecuaciones (3.125) ayudan a encontrar el factor inte-grante . Al identificar este factor, se sustituye en las ecuaciones (3.122)pudiéndose encontrar así las función mediante su integración.

Este procedimiento puede tornarse difícil para sistemas mecánicos cuyos gradosde libertad son superiores a ya que no existen directrices generales para encontrar elfactor integrante . Este factor suele encontrarse por inspección en algunos casos.Si el único factor integrante posible es , entonces la ligadura correspondiente esno-holónoma por no poderse integrar. De existir un factor integrante entonces laligadura es semi-holónoma y, por lo tanto, es posible integrarla.

En resumen, dada una ligadura del tipo (3.117) o equivalentemente del tipo (3.118)se pueden llevar a cabo los pasos siguientes para determinar si es una ligadura no-holónoma o una semi-holónoma y así integrarla:



1. Se determina el número de coordenadas generalizadas y el númerode ligaduras presentes del tipo.

2. Con los datos del paso se desarrolla la sumatoria presente en (3.117)o (3.118) según sea el caso y se compara con las ligaduras dadas,obteniéndose así los coeficientes y .

3. Se busca el factor integrante de tal manera que se cumplan lascondiciones dadas por (3.125),

, con

4. Si , entonces la ligadura correspondiente es no-holónoma por nopoderse integrar.

5. Si , entonces la ligadura correspondiente es semi-holónoma porser integrable y para integrarla se usan las ecuaciones (3.122),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.1Supóngase que se tiene un sistema mecánico de coordenadas

generalizadas y en el cual está presente la ligadura diferencial,

Determine si es semi-holónoma o no-holónoma. Si es semi-holónoma, intégrela.

SOLUCION: esta es una ligadura del tipo (3.117).Se determina el número de coordenadas y de ligaduras presentes: en este caso

hay coordenadas de manera que y una ligadura (nose ha utilizado la etiqueta o porque aún no se sabe si la ligadura es integrable ono), por lo que .

Se encuentran los coeficientes y : al desarrollar la sumatoria en (3.117) hasta



con resulta,

(3.126)

Ahora, al comparar esta expresión con la ligadura diferencial dada resulta,

(3.127)

Se busca el factor integrante : en el caso de dos variables, de la primera de lascondiciones (3.125) se puede escribir que,

o,

(3.128)

La segunda de las condiciones (3.125) no es considerada ya que no existe parte tem-poral en la ligadura dada. La condición (3.128) se cumple para un factor integrante,

(3.129)

En efecto, al sustituir este factor y (4.3) en (3.128) resulta,

verificándose así la igualdad. Esto garantiza que la ligadura dada es integrable y, porlo tanto, semi-holónoma.

Se integra la ligadura: de (3.122) para se tiene que,

(3.130)

que al ser integradas resultan en,

(3.131)



Por último, al comparar las expresiones (3.131) se obtiene,

(3.132)

resultando finalmente,

(3.133)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.2Supóngase que se tiene un sistema mecánico de coordenadas

generalizadas y en el cual está presente la ligadura diferencial,

Determine si es semi-holónoma o no-holónoma. Si es semi-holónoma, intégrela.


hay coordenadas de manera que y una ligadura (nose ha utilizado la etiqueta o porque aún no se sabe si la ligadura es integrable ono), por lo que .

Se encuentran los coeficientes y : al desarrollar la sumatoria en (3.117) hastacon resulta,

(3.134)

Ahora, al comparar esta expresión con la ligadura diferencial dada resulta,

(3.135)

Se busca el factor integrante : en el caso de dos variables, de la primera de lascondiciones (3.125) se puede escribir que,



o,(3.136)

La segunda de las condiciones (3.125) no es considerada ya que no existe parte tem-poral en la ligadura dada. La condición (3.136) se cumple para un factor integrante,

(3.137)

En efecto, al sustituir este factor y (3.135) en (3.136) resulta,

verificándose así la igualdad. Esto garantiza que la ligadura dada es integrable y, porlo tanto, semi-holónoma.

Se integra la ligadura: de (3.122) para se tiene que,

(3.138)

que al ser integradas resultan en,

(3.139)

Por último, al comparar las expresiones (3.139) se obtiene,

(3.140)

resultando finalmente,

(3.141)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.3Muestre que la ligadura,



presente en un determinado sistema mecánico de coordenadas generalizadas ,y , es no-holónoma.


hay coordenadas de manera que y una ligadura noholónoma, por lo que .

Se encuentran los coeficientes y : al desarrollar la sumatoria en (3.118) hastacon resulta,

(3.142)

Ahora, al comparar esta expresión con la ligadura dada resulta,

(3.143)

Se busca el factor integrante : en el caso de tres variables, de la primera de lascondiciones (3.125) se puede escribir que,

(3.144)

(3.145)

(3.146)

La segunda de las condiciones (3.125) no es considerada ya que no existe parte tem-poral en la ligadura dada. Si realmente la ligadura dada es no-holónoma, el únicofactor integrante posible sería . En efecto, de las expresiones (3.144) a (3.146)debido a la dependencia funcional de cada una de las se obtiene,

(3.147)

(3.148)

(3.149)


3.7. EJEMPLOS DE DETERMINACIÓN DE NUEVOS SISTEMAS DE COORDENADASEMPLEANDO NUEVAS VARIABLES DEPENDIENTES DEL TIEMPO

entonces al sustituir (3.143) en (3.147) a (3.149) resulta,

(3.150)

(3.151)

(3.152)

Finalmente, si se despeja de (3.152), luego se sustituye en (3.151) y de aquí sedespeja para sustituirla en (3.150) resulta,

(3.153)

siendo así,

(3.154)

el único valor posible para el factor integrante, mostrándose que la ligadura dada esno-holónoma.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7. Ejemplos de determinación de nuevos sistemas de co-ordenadas empleando nuevas variables dependientesdel tiempo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.4La figura 3.6 muestra un péndulo simple cuya masa pendular es

ubicada mediante las coordenadas Cartesianas , y . Construir un nuevo conjuntode coordenadas que describa el sistema, de tal manera que esté conformado por:(a) las dos nuevas variables y (introducidas al eliminar dos de las coordenadasestándares) y por las restantes coordenadas estándares originales y (b) las tresnuevas variables , y (introducidas al eliminar tres de las coordenadas estándares)y por las restantes coordenadas estándares originales. La variable esun ángulo que se mide desde el eje hasta donde está ubicada la masa pendular ylos signos de y son,





Figura (3.6): Sistemamecánico formado por un péndulo simple demasa pendular , ubicadamediantecoordenadas Cartesianas y en el cual se definen las nuevas variables y .

SOLUCION: en coordenadas Cartesianas se tiene que,

Coordenadas estándares

coordenadas

Ligaduras Grados de libertad

ligaduras holónomas

(3.155)

Aquí la ligadura obliga a que el movimiento de la masa pendular sea en elplano y liga el movimiento de la misma al punto de soporte del péndulo.

(a) Se eliminarán las coordenadas estándares y y se mantendrá la coordenadaestándar . De la figura 3.6 se deduce fácilmente que,

(3.156)



por lo tanto las relaciones entre las coordenadas estándares y las nuevas variables son,

(3.157)

Al sustituir (3.156) en resulta,

Obsérvese que esta última expresión tiene la forma , la cual secumple si A=B reduciéndose a la conocida identidad . De estamanera,

o,(3.158)

Finalmente de todo lo anterior se tiene que,

Nuevas coordenadas Transformaciones

coordenadas



(3.159)

(b) Se eliminarán las coordenadas estándares , y y no se mantendrán ningunade las coordenadas estándares. Es fácil encontrar de la figura 3.6 que las relacionesentre las coordenadas estándares y las nuevas variables son,

(3.160)



y al sustituir (??) en y resulta,

(3.161)



coordenadas



(3.162)

Observaciones:

1. El número de grados de libertad del sistema se mantiene igual para los dos nuevosconjuntos de coordenadas encontrados.

2. El número de ligaduras se mantiene igual.

3. Las coordenadas estándares usadas tienen todas unidades de longitud, mientrasque en los nuevos conjuntos de coordenadas éstas tienen algunas unidades delongitud y otras unidades angulares.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.5La figura 3.7 muestra el mismo sistema mecánico del ejemplo 3.4

pero ahora la masa pendular es ubicada mediante las coordenadas esféricas , y. Construir un nuevo conjunto de coordenadas que describa el sistema, de tal mane-

ra que esté conformado por las dos nuevas variables y (introducidas al eliminar dosde las coordenadas estándares) y por las restantes coordenadas estándaresoriginales. Los signos de y son los mismos del ejemplo anterior.

SOLUCION: en coordenadas esféricas se tiene que,



Figura (3.7): Sistemamecánico formado por un péndulo simple demasa pendular , ubicadamediantecoordenadas esféricas y en el cual se definen las nuevas variables y .


coordenadas



(3.163)

Aquí la ligadura obliga a que el movimiento de la masa pendular sea en elplano y liga el movimiento de la misma al punto de soporte del péndulo.

Se eliminarán las coordenadas estándares y y se mantendrá la coordenadaestándar . De la figura 3.7 se deduce fácilmente que,

(3.164)


(3.165)




o,(3.166)



coordenadas



(3.167)

Observaciones:

1. El número de grados de libertad del sistema para el nuevo conjunto de coorde-nadas es igual que para conjunto de coordenadas estándares que se usó original-mente.

2. El número de grados de libertad se mantiene igual que al mostrado en el ejemplo3.4 por ser el mismo sistema.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.6La figura 3.8 muestra el mismo sistema mecánico de los ejemplos

3.4 y 3.5 con la masa pendular ubicada mediante las coordenadas Cartesianas, y . Construir un nuevo conjunto de coordenadas que describa el sistema, detal manera que esté conformado por las dos nuevas variables y (introducidas aleliminar dos de las coordenadas estándares) y por las restantes coordenadasestándares originales. El área es la misma área definida en uno de los ejemplos dela sección 3.1. Los signos de son los mismos del ejemplo anterior y los de son losdados por,




Figura (3.8): Sistemamecánico formado por un péndulo simple demasa pendular , ubicadamediantecoordenadas Cartesianas y en el cual se definen las nuevas variables y .

SOLUCION: en coordenadas Cartesianas se tiene el mismo cuadro mostrado enel ejemplo 3.4. Se eliminarán las coordenadas estándares y y se mantendrá lacoordenada estándar . De la figura 3.8 se deduce fácilmente que,

(3.168)

a que , por lo tanto las relaciones entre las coordenadas estándares y las nuevasvariables son,

(3.169)


o,

(3.170)





coordenadas



(3.171)

Observaciones:

1. El número de grados de libertad del sistema se mantiene igual para los dos nuevosconjuntos de coordenadas encontrados.

2. El número de grados de libertad se mantiene igual que al mostrado en los ejemplos3.4 y 3.4, por ser el mismo sistema.


4. Las coordenadas estándares usadas tienen todas unidades de longitud, mientrasque en el nuevo conjunto dos de las coordenadas tienen unidades de longitud y larestante tiene unidad de área.

5. En vista de que en los ejemplos 3.4, 3.5 y en el presente el sistema estudiado es elmismo, existen más de un conjunto de coordenadas posibles para la descripciónde un mismo sistema mecánico.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.7La figura 3.9 muestra un sistema mecánico compuesto por dos

masas puntuales y unidas por una cuerda (cuya deformación y masa son de-spreciables), al igual que uno de los sistemas estudiados en la sección 3.1, ubicadasmediante las coordenadas Cartesianas , y . Construir un nuevo conjunto de co-ordenadas que describa el sistema, de tal manera que esté conformado por las dosnuevas variables y (introducidas al eliminar dos de las coordenadas estándares) ypor las restantes coordenadas estándares originales. El rango de es,

distancia entre y el punto que se encuentra sobre el eje a unadistancia sobre el origen del sistema de coordenadas Cartesianas, .



Figura (3.9): Sistema mecánico formado por dos masas puntuales y unidas por una cuerda (cuyadeformación y masa son despreciables), ubicadas mediante coordenadas Cartesianas y en el cual sedefinen las dos nuevas variables y .

los signos de son los mismos de los ejemplos anteriores.

SOLUCION: en coordenadas Cartesianas se tiene que,


coordenadas



(3.172)

Aquí las ligaduras hasta , en conjunto, obligan a que la masa se muevasólo sobre el eje y la masa sólo sobre el eje . La ligadura vincula el movimientode con el movimiento de .



Se eliminarán las coordenadas estándares y y se mantendrán las coordenadasestándares , , y . De la figura 3.9 se deduce fácilmente que,

(3.173)


(3.174)


o,(3.175)



coordenadas



(3.176)



Observaciones:



3. Las coordenadas estándares usadas tienen todas unidades de longitud, mientrasque en el nuevo conjunto cinco de las coordenadas tienen unidades de longitud yla restante tiene unidad angular.

4. Las coordenadas estándares están referidas a cada una de las partículas del sis-tema, mientras que en el nuevo conjunto no ocurre lo mismo con y .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.8La figura 3.10 muestra el mismo sistema mecánico del ejemplo

3.7 con sus masas ubicadas usando las mismas coordenadas estándares. Construir unnuevo conjunto de coordenadas que describa el sistema, de tal manera que estéconformado por las dos nuevas variables y (introducidas al eliminar dos de lascoordenadas estándares) y por las restantes coordenadas estándares originales.El rango de y los signos de son los mismos de los ejemplos anteriores.

Figura (3.10): Sistemamecánico formado por dos masas puntuales y unidas por una cuerda (cuyadeformación y masa son despreciables), ubicadas mediante coordenadas Cartesianas y en el cual sedefinen las dos nuevas variables y .

SOLUCION: en coordenadas Cartesianas se tiene el mismo cuadro del ejemplo 3.7.Se eliminarán las coordenadas estándares y y se mantendrán las coordenadas



estándares , , y . De la figura 3.10 se deduce fácilmente que el área vienedada por,

(3.177)

donde se ha colocado un signo menos para garantizar que los signos de sean losdados en el enunciado del ejemplo. Ahora como,

(3.178)

entonces al sustituir (4.15) en (4.14) es posible escribir que,

o,

(3.179)

Por lo tanto, al sustituir (4.16) en (4.15) resulta que,

(3.180)

Por otro lado, de la figura 3.10 es también fácil encontrar que,

o,(3.181)

Entonces las relaciones entre las coordenadas estándares y las nuevas variables vienendadas por,

(3.182)

Al sustituir (4.17) y (4.18) en resulta,

o,

(3.183)





coordenadas



(3.184)

Observaciones:


2. El número de grados de libertad se mantiene igual que al mostrado en el ejemplo3.7 por ser el mismo sistema.


4. Las coordenadas estándares usadas tienen todas unidades de longitud, mientrasque en el nuevo conjunto cinco de las coordenadas tienen unidades de longitud yla restante tiene unidad angular.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.9La figura 3.11 muestra el mismo sistema mecánico del ejemplo 3.7

y 3.8 con sus masas ubicadas usando las mismas coordenadas estándares. Construir



un nuevo conjunto de coordenadas que describa el sistema, de tal manera que estéconformado por las dos nuevas variables y (introducidas al eliminar dos de las co-ordenadas estándares) y por las restantes coordenadas estándares originales.Aquí es la energía potencial total del sistema tomando como origen de poten-cial ( ). Los signos de son los mismos de los ejemplos anteriores.

Figura (3.11): Sistemamecánico formado por dos masas puntuales y unidas por una cuerda (cuyadeformación y masa son despreciables), ubicadas mediante coordenadas Cartesianas y en el cual sedefinen las dos nuevas variables y .

SOLUCION: en coordenadas Cartesianas se tiene la misma tabla del ejemplo 3.7.Se eliminarán las coordenadas estándares y , manteniéndose las coordenadasestándares , , y . De la figura 3.11 se deduce fácilmente la energía potencialtotal del sistema viene dada por,

(3.185)

de manera que,

, con (3.186)

y además,(3.187)

por lo tanto las relaciones entre las coordenadas estándares y las nuevas variablesvienen dadas por,

(3.188)



Al sustituir (4.21) y (4.22) en resulta,

o,(3.189)



coordenadas



(3.190)

Observaciones:


2. El número de grados de libertad se mantiene igual que al mostrado en los ejemplos3.7 y 3.8 por ser el mismo sistema.


4. Las coordenadas estándares usadas tienen todas unidades de longitud, mientrasque en el nuevo conjunto cuatro de las coordenadas tienen unidades de longitud,una tiene unidad de longitud y la restante tiene unidad de energía.



5. En vista de que en los ejemplos 3.7, 3.8 y en el presente el sistema estudiado es elmismo, existen más de un conjunto de coordenadas posibles para la descripciónde un mismo sistema mecánico.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.10Considérese el sistema de la sección 3.1 mostrado por la figura

3.4b, en el cual se ubica a la partícula mediante coordenadas cilíndricas. Construirun nuevo conjunto de coordenadas que describa el sistema, de tal manera que estéconformado por las dos nuevas variables y (introducidas al eliminar dos de lascoordenadas estándares) y por las restantes coordenadas estándares originales.Los rangos de , y son los mismos dados en los ejemplos anteriores.

SOLUCION: en coordenadas cilíndricas se tiene que,


coordenadas


ligadura holónoma

(3.191)

Aquí la ligadura obliga a que el movimiento de la partícula demasa se realicesobre la superficie del cono .

Se eliminarán las coordenadas cilíndricas y , manteniéndose la coordenada .Las relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las nuevas variables es dada por,

(3.192)


(3.193)





coordenadas


ligadura holónoma

(3.194)

Observaciones:



3. En el conjunto de coordenadas estándares dos de ellas tienen unidades de longitudy la restante tiene unidad angular. En el nuevo conjunto una de las coordenadastiene unidad de longitud y las dos restantes tienen unidades angulares.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.11La figura 3.12 se muestra un péndulo simple donde la masa pen-

dular es ubicada mediante las coordenadas esféricas , y . Construir un nuevoconjunto de coordenadas que describa el sistema de tal manera que esté conforma-do por las dos nuevas variables y (energía potencial), manteniéndose la coorde-nada estándar ( restantes coordenadas estándares originales).




Figura (3.12): Péndulo simple donde la masa pendular es ubicada mediante las coordenadas esféri-cas , y .

SOLUCION: en coordenadas esféricas se tiene que,


coordenadas



(3.195)

Aquí la ligadura obliga a que el movimiento de la masa pendular se realicesobre el plano y obliga a que la misma describa un arco de circunferenciacomo trayectoria.

Se eliminarán las coordenadas esféricas y , manteniéndose la coordenada . Dela figura (3.12) es fácil observar que,

(3.196)

que expresa la coordenada esférica en función de la nueva variable . Por otro lado,se sabe que la energía potencial de la masa pendular viene dada por,

(3.197)

pero en coordenadas esféricas de manera que,

(3.198)



Ahora, al sustituir (4.41) en (4.43) resulta,

o,(3.199)

que representa la coordenada esférica expresada en función de las nuevas variables, y la coordenada que se montuvo inalterada. Entonces, de (4.41) y (4.44) las

relaciones entre las coordenadas esféricas y las nuevas variables es dada por,

(3.200)

y las ligaduras dadas en la tabla mostrada al principio se convierten en,

ligaduras holónomas(3.201)

donde se obtuvo al sustituir en (4.44) en la ligadura mostrada en la mencionadatabla.



coordenadas



(3.202)

Observaciones:





3. En el conjunto de coordenadas estándares dos de ellas tienen unidades de longitudy la restante tiene unidad angular. En el nuevo conjunto dos de las coordenadastienen unidades de ángulo y la restante tiene unidad de energía.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


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A! 3 Coord Generalizadas.pdf · capÍtulo 3. coordenadas generalizadas ! !" (>1,&,e1'(9$5,$%/(6'(3(1',(17(6'(/7,(032(1816,67(0$0(&b1, …