Групи 21-Т, 21-Д. Фізика.

Тема1. Механічні коливання і хвилі.

Завдання для самостійної роботи студентів.

Завдання 1. Скласти конспект за планом.

1. Коливання: затухаючі, незатухаючі, вимушені.

2. Гармонічні коливання і їх характеристики

3. Гармонічний осцилятор. Маятники: математичний, пружинний, фізичний, секундний.

4. Розповсюдження коливань . Хвилі. Механічні хвилі.

5. Поняття про рівняння хвилі.

Література: Дмитрієва В.Ф. Фізика: Навч.посіб. – К. : Техніка, 2008. -648 с.

Гармонічні коливання і їх характеристики

Вивчення гармонічних коливань важливе з двох причин:

1) коливання, які зустрічаються у природі й техніці, при певних наближеннях є

гармонічними;

2) різні періодичні процеси (процеси, які повторюються через рівні проміжки часу),

можна подавати як суперпозицію гармонічних коливань.

Гармонічні коливання деякої фізичної величини х описуються таким рівнянням:

),cos( tAx 0

де А – максимальне значення коливної величини x, яке називається амплітудою коливань;

0 – колова, або циклічна частота;

– початкова фаза коливань для моменту часу t = 0;

)( t0 – фаза коливань для довільного моменту часу t.

Оскільки косинус змінюється в межах від +1 до -1, то х може набувати

значень від +А до -А.

Запишемо першу й другу похідні фізичної величини х гармонічного коливання, тобто

визначимо швидкість і прискорення коливання:

);cos()sin(2

0000

tAtA

dt

dx

),cos()cos( tAtAdt

xd 2

0

2

00

2

02

2

тобто маємо гармонічні коливання тієї ж циклічної частоти.

Швидкість і прискорення а коливної точки будуть дорівнювати:

);cos()sin(2

0000

tAtA

).cos()cos( tAtAa 0

2

00

2

0

Сила, яка діє на матеріальну точку при гармонічних коливаннях, пропорційна зміщенню

матеріальної точки від положення рівноваги і спрямована в протилежну сторону:

.xmF2

0

Кінетична енергія матеріальної точки, яка здійснює прямолінійні гармонічні

коливання, дорівнює

),(sin

tmAm

К 0

22

0

22

22

або

К = .)(cos

tmA

0

2

0

2

212

Потенціальна енергія матеріальної точки, яка здійснює гармонічні коливання під

дією пружної сили F, дорівнює

П = - ),(cos

tmAxm

Fdx

x

0

2

2

0

2

0

22

0

22 або П = .)(cos

t

mA0

2

0

2

212

Повна енергія гармонічного коливання:

.2

2

0

2mAПКЕ

Хвильові процеси. Поздовжні і поперечні хвилі

Процес поширення коливань у суцільному пружному середовищі називається

хвильовим процесом (або хвилею). При поширенні хвилі частинки середовища не

рухаються разом із хвилею, а коливаються біля своїх положень рівноваги. Разом із

хвилею від частинки до частинки середовища передається лише стан коливального руху

і його енергія. Тому основною властивістю усіх хвиль незалежно від їхньої природи є

перенесення енергії без перенесення речовини.

Серед різноманітних хвиль, які зустрічаються в природі й техніці, можна виділити

такі їх типи: хвилі на поверхні рідини, пружні механічні і електромагнітні хвилі. Пружні

механічні хвилі виникають і поширюються лише в пружному середовищі. Пружні хвилі ще

діляться на поздовжні й поперечні. У поздовжніх хвилях частинки середовища

коливаються в напрямку поширення хвилі, у поперечних – у площинах,

перпендикулярних до напрямку поширення хвилі.

Поздовжні хвилі можуть поширюватися в середовищах, у яких виникають пружні

сили при деформаціях стиску і розтягу. Це означає, що поздовжні хвилі поширюються

у твердих, рідких і газоподібних середовищ.

Поперечні хвилі можуть поширюватися в середовищах, у яких виникають пружні

сили при деформаціях зсуву, тобто фактично тільки у твердих тілах. У рідинах і газах

виникають лише поздовжні хвилі, а у твердих тілах – як поздовжні, так і поперечні хвилі.

Пружна хвиля називається синусоїдальною (або гармонічною), якщо відповідні їй

коливання частинок середовища є гармонічними. На рис. 1 показана синусоїдальна

поперечна хвиля, яка поширюється зі швидкістю υ уздовж осі х, тобто показана

залежність між зміщенням U(x,t) частинок середовища, у хвильовому процесі, і відстанню

х цих частинок від джерела коливань для будь-якого фіксованого моменту часу t.

Відстань між найближчими частинками, які коливаються в одній фазі, називається

довжиною хвилі λ (рис. 1). Довжина хвилі дорівнює відстані, на яку поширюється

фаза коливань за час в один період, тобто

.

(1)

x

x

),( txU

A 0

Рис. 1

Геометричне місце точок, які коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою

поверхнею. Хвильових поверхонь можна провести безліч.

Хвильові поверхні можуть мати довільну форму. В найпростішому випадку хвильові

поверхні є сукупністю площин або сукупністю концентричних сфер. Відповідно хвиля

називається плоскою або сферичною.

Якщо хвилі, поширюючись в пружному середовищі з кінцевою швидкістю,

переносять енергію, то вони називаються біжучими. Перенесення енергії в хвильовому

русі кількісно характеризується вектором густини потоку енергії.

Рівняння біжучої хвилі:

),(cos,

x

tAU tx (2)

де А – максимальне зміщення виділеної коливної точки В від положення рівноваги;

ω – циклічна частота генератора коливань джерела.

Якщо плоска хвиля поширюється в протилежному напрямку, то

).(cos,

x

tAU tx

В загальному випадку рівнянням плоскої синусоїдальної хвилі, яка поширюється

без поглинання енергії уздовж позитивного напрямку осі х, має вигляд

,)(cos,

0

xtAU tx (3)

де А – амплітуда хвилі; ω – циклічна частота хвилі; 0 – початкова фаза коливань,

обумовлена вибором початкових значень х і t; *ω (t - x/υ) + φ0] – фаза плоскої

хвилі.

Швидкість поширення механічних хвиль у пружному середовищі залежить від

пружних властивостей цього середовища і його густини

.||

E

Оскільки модуль Юнга характеризує стиснення або розтяг пружного середовища,

то одержана швидкість є фазовою швидкістю лише поздовжніх хвиль.

Фазова швидкість поперечних хвиль, які можуть існувати лише в твердому

пружному середовищі, визначають заміною модуля Юнга на модуль зсуву G

.

G

Приклади розв’язування задач.

Задача 1. Частинка здійснює гармонічні коливання вздовж осі х біля положення

рівноваги х = 0. Циклічна частота коливань = 4 c-1. В момент часу t = 0 координати

частинки х0 = 25,0 см, а її швидкість υ = 100 см/с. Знайти координату х і швидкість υ

цієї частинки через t = 2,40 с.

Дано: = 4 с-1; х0 = 25,0 см; υ= 100,0 см/с; t = 2,40 с

х – ? υ – ?

Розв’язування. Рівняння гармонічних коливань має вигляд:

x = A cos ( t + ). (1)

Швидкість частинки в довільний момент часу дорівнює:

υ = - A sin ( t + ) . (2)

В початковий момент часу t = 0 величини х і υ відповідно дорівнюють х0 і υ0:

x0 = A cos i υ0 = - A sin . (3)

Розв’язавши систему рівнянь (3), одержимо значення амплітуди коливань і

початкової фази:

22

2

0

2

2

0

AA

x = 1 звідки А =

2

2

02

0

x ;

cos = A

x0 звідки = arc cos A

x0 .

Числові значення амплітуди і початкової фази в одиницях умови задачі

A = 16

10625

4

= 35,5 cм,

= arc cos 4535

25

, .

Скориставшись значеннями амплітуди коливань і початкової фази, знаходимо

координату х і швидкість υ в момент часу t:

x = 35,5 cos (4 2,40 + /4) = - 20,2 см,

υ = - 35,5 4sin (4 2,40 + /4) = 115,7 см/с.

Відповідь: х = - 20,2 см; υ = 115,7 см/с.

Задача 2.. На шосе рухаються назустріч дві автомашини з швидкостями u1 = 30 м/c і u2 =

20 м/с. Перша з них подає звуковий сигнал частотою 1 = 600 Гц. Визначити частоту, яка

буде сприйматись водієм другої автомашини в двох випадках: а) до зустрічі; б) після

зустрічі. Швидкість звуку в повітрі c = 340 м/с.

Дано: u1 = 30 м/с; u2 = 20 м/с; 0 = 600 Гц; c = 340 м/с

2 – ? 2 – ?

Розв’язування. Зміна частоти коливань при русі джерела звуку і приймача в цих випадках

визначається за допомогою формули ефекту Допплера:

;

uc

vс

а) до зустрічі

30340

203400

1

22

uc

uс 600 = 696 Гц;

б) після зустрічі

30340

203400

1

22

uc

uс 600 = 519 Гц.

Відповідь: 2 = 696 Гц; 2 = 519 Гц.

Завдання для самостійної роботи студентів ( продовження).

Завдання 2. Дайте відповіді на запитання.

1. Які хвилі йдуть від звукового сигналу: повздовжні чи поперечні?

2. Як по звуку можна визначити зміну числа обертів двигуна?

3.Чи можна по звуку визначити наближення чи віддалення автомобіля?

4. Як водії визначають по звуку, чи всі циліндри двигуна працюють?

5. Звуки, які одержують при роботі двигунів, шкідливі і з ними борються, встановлюючи

глушники. Чому?

Завдання 3. Розв’язати задачі.

Задача 1. Точка виконує гармонічні коливання. Найбільше зміщення хmax дорівнює 10

см, найбільша швидкість υмах = 20 см/с. Знайти циклічну частоту ω коливань і максимальне

прискорення amax.

Відповідь: 2 с-1; 40 см/с2.

Задача 2. Матеріальна точка виконує гармонічні коливання уздовж осі х за

законом: ),(cos, 200t06x , де t – час у секундах, х – у сантиметрах. Визначити

амплітуду зміщення А и період коливань Т. Знайти зміщення х, швидкість і прискорення

а матеріальна точки в момент часу t = 4,0 с.

Відповідь: А = 6,0 см; Т = 2 с; х = 4,85 см; υ = 11,07 см/с;

а = 47,6 см/с2.

Тема2. Явища, що пояснюються хвильовими властивостями.

Завдання для самостійної роботи студентів.

Завдання 1. Скласти конспект за планом.

1. Інтерференція світла. Когерентність та монохроматичність світлових хвиль.

2. Інтерференція світла в тонких плівках. Кільця Ньютона

3. Дифракція світла. Принцип Гюйгенса-Френеля.

4 . Дифракція Фраунгофера на одній щілині і на дифракційній решітці.

4. Взаємодія світла з речовиною: поглинання світла.

Література: Дмитрієва В.Ф. Фізика: Навч.посіб. – К. : Техніка, 2008. -648 с.

Світлу притаманні всі властивості електромагнітних хвиль: відбиття, заломлення,

інтерференція, дифракція, поляризація. Світло може чинити тиск на речовину,

поглинатися середовищем, викликати явище фотоефекту. Має кінцеву швидкість

поширення у вакуумі 300 000 км / с, а в середовищі швидкість убуває.

Найбільш наочно хвильові властивості світла виявляються в явищах інтерференції і

дифракції.

Інтерференція світла

У випадку когерентних хвиль, тобто хвиль однакових циклічних частот, амплітуд,

хвильових чисел і сталої різниці фаз, інтенсивності хвиль не додаються, а

перерозподіляються в просторі з утворенням максимумів і мінімумів. Таке явище в фізиці

називається інтерференцією.

У випадку світлових хвиль перерахованих умов когерентності не завжди достатньо.

Треба ще щоб вектори E

електромагнітних полів інтерферуючих хвиль коливались

вздовж однакового напрямку, тобто, щоб інтерферуючі хвилі були поляризовані в одній

площині.

Реально інтерферують одночасно досить багато хвиль, які випромінюються

величезною кількістю атомів. При цьому пучок променів не завжди строго когерентний. З

цих причин довжина когерентності різко зменшується. Зменшується також час

когерентності.

Важливо знати:

1. Відстань, яку проходять світлові промені між двома точками простору,

називаються геометричним шляхом l.

2. Геометричний шлях, помножений на показник заломлення середовища,

називається оптичним шляхом ln.

3. Коли розглядають явище інтерференції світла, то мають на увазі лише оптичний

шлях.

4. Інтерферують лише когерентні промені, оптична різниця ходу яких перебуває в

межах довжини когерентності.

Інтерференція світла від двох когерентних джерел. Дослід Юнга.

Ще в кінці 17 ст. Гюйгенс, вивчаючи фізичні процеси пов’язані з поширенням світла,

встановив принцип, який дозволяв за відомим положенням хвильового фронту визначити

його положення в наступні моменти часу. Цей принцип дістав назву принципу Гюйгенса.

Згідно з принципом Гюйгенса будь-яка точка хвильової поверхні (поверхні однієї

фази) може бути розглянута як вторинне точкове джерело світлових хвиль (рис.1).

Рис. 1

Запропонований Гюйгенсом принцип дозволяє пояснити з хвильової точки зору

закони відбивання і заломлення світла, а також механізм одержання когерентних хвиль в

досліді Юнга.

Юнг здійснив такий дослід: малий отвір А (рис. 2) в непрозорому екрані

освітлюється інтенсивним джерелом монохроматичного (одноколірного) світла. Згідно з

принципом Гюйгенса отвір А стає новим вторинним точковим джерелом світла. Це світло

падає на два наступні малі отвори B1 і B2, які в свою чергу стають джерелами когерентних

хвиль, оскільки вони утворені з однакових цугів.

Когерентні хвилі від двох вторинних точкових джерел світла B1 і B2 накладаються і

на екрані E створюють інтерференційну картину з перерозподілом інтенсивності. В точці

накладання хвиль буде спостерігатись максимум інтенсивності, якщо в оптичній різниці

ходу цих хвиль 21 lll буде вкладатись ціле число хвиль або парне число півхвиль

22

kkl ; (5)

Якщо в різниці ходу l двох хвиль вкладається непарне число півхвиль, то вони

гасять одна одну, тобто спостерігається мінімум інтерференції

2)12(

kl , (6) де ...3,2,1k – порядок максимуму або мінімуму.

A

E

l

1l

2l

2B

1B

d

max йk

max 0 й

ky

Рис. 2

В інших дослідах інтерферуючі хвилі можуть проходити різні середовища, і як наслідок

мати різні фазові швидкості. У цьому випадку замість геометричної різниці ходу променів

слід говорити про оптичну різницю ходу, тобто

22n 2211

klnll (max), (7)

2)12(2211

klnlnl (min). (8)

Інтерференцію можна спостерігати й у білому світлі, тобто немонохроматичному

світлі. У цьому випадку кожна смуга буде райдужно пофарбована, інтерференція

супроводжується розкладанням світла на монохроматичні складові (чим більше значення

, тим на більшій відстані перебуватимуть максимуми один від одного).

Інтерференція світла в тонких плівках. Кільця Ньютона.

Не слід вважати, що інтерференцію світла можна спостерігати лише в лабораторних

умовах із застосуванням спеціального обладнання. Кожному з нас не раз доводилось

спостерігати за свіченням мильних плівок, олійних плям на поверхні води, кольори

гартованих предметів, кольори найтонших металевих покрить фарфорових виробів,

різноколірність крил різних метеликів, бджіл тощо. В усіх цих випадках інтерференція

світла спостерігається в досить тонких прозорих плівках, товщина яких близька до

довжини хвилі і перебуває в межах довжини когерентності.

Розглянемо плоско паралельну прозору плівку товщиною d , на яку падає під кутом

плоска монохроматична хвиля.

α

AD

1' 2'

C

B

n1

nd β nnn 11 ;1

Рис. 4

Плівка має товщину d (рис. 4) і показник заломлення n . Падаюча хвиля в точці А

ділиться на дві частини, одна з яких 1', змінивши фазу на протилежну, відбивається під

кутом до перпендикуляра в точці падіння. Друга частина 2' після заломлення у точці A і

C відбивається в точці B. Далі промені 1' і 2' поширюються паралельно.

Накладання променів 1' і 2' здійснюється на сітківці ока спостерігача. Результати

інтерференції залежать від оптичної різниці ходу цих променів.

Знайдемо оптичну різницю ходу променів 1' і 2', яка відповідно до рис. 4 буде

дорівнювати

)2

()(

ADnBCAB , (9)

де cos

dBCAB ; sinACAD ; dtgAC 2 .

Підставивши значення, одержимо 2)sin1(

cos

2 2

dn

,

або

2cos2

dn . (10)

Формула (10) дає залежність оптичної різниці ходу хвиль від кута заломлення і

параметрів плівки.

Знайдемо залежність оптичної різниці ходу хвиль 1' і 2' від кута падіння ,

вважаючи що

2sin1cos і що n

sin

sin.

Тому

2

2sin1cos

n

,

або

2sin2 22

nd . (11)

В залежності від того, яке число півхвиль вкладається в оптичній різниці ходу хвиль

, плівка буде світлою (умова max) або темною (умова min).

Важливо знати:

1. При освітленні плівки білим світлом для деяких хвиль виконується умова max, а

для деяких – умова min. Тому плівка буде забарвлена певним кольором.

2. Колір плівки залежить від кута падіння променя, а тому полоси інтерференції в

цьому випадку називаються полосами однакового нахилу.

3. Можливість ослаблення білого світла внаслідок інтерференції широко

використовується у сучасних оптичних приладах (фотоапаратах, біноклях тощо).

Для цього на поверхню лінзи наносять тонкий шар прозорої плівки з

показником заломлення, меншим, ніж у лінзи, і більшим, ніж у повітря.

Товщину прозорої плівки беруть такою, щоб мінімуми інтерференції

спостерігалися в середній частині видимого спектра ( м7105,5 ). Таку

оптику називають просвітленою .

Окремим видом інтерференції світла є інтерференція в повітряному зазорі у

вигляді клина між опуклою стороною плоско опуклої лінзи і поверхнею плоскої пластинки

(рис. 6).

kr

R

d

dR

0

Рис. 6

Промені 1 і 2 одержані з одного променя, а тому є когерентні. Оптична різниця

ходу променів у повітряному зазорі дорівнює

22

dn , (12)

де n – показник заломлення середовища між лінзою і плоско паралельною пластинкою;

d – товщина зазору в указаному місці.

Промені 1 і 2 є відбитими, тому розглядається результат інтерференції у відбитому

світлі. Аналогічно можна розглянути інтерференцію світла у прохідному світлі. В цьому

випадку фаза поміняється на протилежну, а різниця ходу на 2

.

Знайдемо радіуси світлих і темних кілець Ньютона у відбитому світлі.

Для світлих кілець 2

2

k , а для темних кілець 2

)12(

k , де ...3,2,1k

Радіус k-го кільця визначаємо з рисунка, де розглядаємо прямокутний трикутник.

222 )( krdRR , (13)

або 2222 2 krdRdRR

Нехтуючи нескінченно малою величиною 2d , одержимо Rdrk 2 . (14)

Для знаходження радіусів світлих кілець необхідно оптичну різницю ходу для

променів у зазорі прирівняти до умови max, тобто

22

22

kdn , звідки

nkd

4)12(

, ...3,2,1k ,

тому

n

kR

n

kRrk

2

)12(

4

)12(2

. (15)

Вираз (15) дає радіуси світлих кілець Ньютона.

Для темних кілець

2)12(

22

kdn , звідки

n

kd

2

,

тому

n

kRrk

, ...3,2,1k (16)

Вираз (16) визначає радіуси темних кілець Ньютона.

Важливо знати:

1. Правильна форма кілець Ньютона легко спотворюється при різних, навіть

незначних, дефектах при шліфуванні різних поверхонь. Тому спостереження

форми кілець Ньютона є найтоншим контролем якості шліфування поверхонь.

2. Явище інтерференції світла використовується у ряді дуже точних

вимірювальних приладів, які називаються інтерферометрами. В цьому випадку

точність вимірювань лінійних розмірів сягає 10-8 мм.

3. Кільця Ньютона утворюються в зазорі між опуклою лінзою і плоско

паралельною пластинкою при однаковій (різна для різних кілець) товщині

зазору. Тому полоси інтерференції, якими є кільця Ньютона, носять назву

полоси однакової товщини.

Дифракція світла

1. Метод зон Френеля. Дифракція Фраунгофера на круглому отворі

Дифракцією називають сукупність явищ, які спостерігаються в середовищі з різними

неоднорідностями і пов’язані з відхиленням світлових променів від законів геометричної

оптики. Це означає, що світлові промені мають властивість огинати перешкоди.

Явища інтерференції і дифракції світла не містять суттєвих відмінностей. В кожному

із цих явищ відбувається перерозподіл інтенсивності.

Розрізняють два види дифракцій – дифракція Френеля, яка відбувається на різних

неоднорідностях від точкових джерел світла і дифракція Фраунгофера, яка відбувається у

паралельних променях від далеких джерел.

За допомогою принципу Гюйгенса-Френеля легко пояснити з точки зору хвильових

властивостей світла закон прямолінійного поширення світла в однорідному середовищі.

Розглянувши взаємну інтерференцію вторинних хвиль, Френель застосував прийом, який

дістав назву методу зон Френеля.

Розглянемо основні положення принципу Гюйгенса-Френеля:

– кожен елемент хвильової поверхні площею S виступає в ролі точкового джерела

вторинних сферичних хвиль, амплітуда яких пропорційна площі цього елемента;

– вторинні джерела, які еквівалентні точковому джерелу 0S , є когерентними, а тому

випромінювання в них дає явище інтерференції;

– з однакових площ хвильових поверхонь випромінюється однакова енергія;

– найбільше енергії від вторинних джерел випромінюється в напрямі нормалі до цієї

поверхні.

Розглянемо дифракцію сферичних хвиль або дифракцію Френеля, яка здійснюється у

випадку, коли дифракційна картина спостерігається на скінченній відстані в від

перешкоди, яка викликала дифракцію.

Сферична хвиля, яка поширюється від точкового джерела 0S , зустрічає на своєму

шляху діафрагму Д з круглим отвором (рис.1).

P

E

в

Д

0S

Рис.1

Дифракційну картину спостерігають на екрані Е, який перебуває на відстанні в від

хвильової поверхні, на мить зафіксованої в круглому отворі радіусом r.

Вигляд дифракційної картини залежить від кількості зон Френеля, які вкладаються в

отворі. Для отримання зон Френеля необхідно до найкоротшої відстані від екрана до

хвильової поверхні добавити 2

, а потім радіусом

2в

на випуклій частині хвильової

поверхні нарисувати коло (рис.1). Потім до відстані 2

в

додають ще 2

і радіусом в

на хвильовій поверхні рисують наступне коло і т.д.. Смуги на хвильовій поверхні

називаються зонами Френеля. Вони побудовані так, що фаза хвиль від початку зони до її

кінця змінюється на протилежну.

Це означає, що кожна наступна зона випромінює світло в протилежній фазі до

попередньої зони. Побудовані так зони Френеля мають однакові площі, а тому

випромінюють однакову енергію. Кут між перпендикуляром до будь-якої зони і

напрямком на точку Р зростає, а це означає що енергії від кожної наступної зони прийде в

точку Р менше, ніж від попередньої зони.

Дифракція Фраунгофера на щілині

Нехай на досить довгу вузьку прямокутну щілину шириною b перпендикулярно до неї

падає плоска світлова хвиля. Розмістимо за щілиною збиральну лінзу, а у фокальній

площині екран для спостережень результатів дифракції (рис. 1).

Щілину шириною b ділять на N вузьких смуг шириною

,N

bb (1)

де b – ширина щілини; N – число смуг на які поділено щілину;

b – ширина однієї смуги.

Оптична різниця ходу двох променів від однієї смуги шириною b буде дорівнювати

sinb . (2)

EM

b

Рис. 1

Оптична різниця ходу пов’язана з оптичною різницею фаз співвідношення

,sin2

sin

N

bbkk (3)

де

2k – хвильове число, – кут дифракції .

Для знаходження результуючої амплітуди від всіх смуг, яка буде збуджуватися в точці

М (рис.1), використаємо формулу результуючої амплітуди при інтерференції багатьох

хвиль

,

sinsin

sinsin0

N

b

b

N

AA (4)

де 0A – амплітуда хвиль від всієї щілини , N – число смуг, на які поділена щілина

шириною b; – кут дифракції.

Розглянемо випадок, коли N . У цьому випадку

sinsinsin

N

b

N

b

. (5)

Формула (4) з урахуванням (5) перепишеться

.sin

sinsin

sin

sinsin00

b

b

A

b

bN

NAA (6)

Оскільки інтенсивність світлових хвиль I пропорційна 2A , то

.sin

sinsin

2

2

22

2

0

b

b

II (7)

Знайдемо умови мінімуму й максимуму дифракції світлових хвиль, які приходять у

точку М (рис.3) від однієї щілини. У точці М інтенсивність світлових хвиль буде

дорівнювати нулю, якщо 0sinsin2

b. Це можливо лише у випадку, коли

k

bsin , звідки

,sin kb (8)

де b – ширина щілини; – кут дифракції;

k – порядок максимуму, – довжина хвилі монохроматичного світла.

Умова (8 ) є умовою мінімуму дифракції від однієї щілини.

У точці М буде спостерігатись максимум дифракції, якщо 1sinsin2

b. Це

можливо за умови, коли 2

12sin

k

b, звідки

2

12sin

kb . (9)

Дифракційна решітка.

Дифракційною решіткою називається оптичний прилад, який складається з великої

кількості однакових щілин, розділених між собою однакової ширини непрозорими

проміжками. Відстань d між серединами двох сусідніх щілин, називається сталою

дифракційної решітки.

Якщо розмістити паралельно решітці збиральну лінзу, то в її фокальній площині на

екрані можна буде спостерігати результати дифракції світла від решітки (рис.1).

Оптична різниця ходу променів від двох сусідніх щілин дорівнює

sind (1)

Оптична різниця фаз в цьому випадку буде дорівнювати :

sin

2d (2)

В точку P на екрані приходять промені від усіх щілин. Всі ці промені зсунуті за фазою на

однакову величину .

Для знаходження результуючої амплітуди всіх хвиль, які прийшли в точку Р слід

скористатися формулою результуючої амплітуди при інтерференції багатьох хвиль

.

2sin

2sin

0

N

AA (3)

d

0 EP

Рис. 1

З урахуванням (2) результуюча амплітуда pA буде дорівнювати

,

sinsin

sinsin

0

d

dN

AAp (4)

де 0A – амплітуда хвиль від однієї щілини; N – число щілин у решітці;

d – стала дифракційної решітки, – довжина хвилі монохроматичного світла.

Умова головних максимумів дифракції на дифракційній решітці:

kd sin . (5)

.2

12sinN

kd

(6)

Вираз (6) є умовою побічних максимумів дифракції на дифракційній решітці.

в) побічні мінімуми дифракції на дифракційній решітці одержуємо коли

k

dNsin (7)

звідки

N

kd

sin . (8)

Формула (8) є умовою побічних мінімумів на дифракційній решітці.

Важливо знати:

а) внаслідок немонохроматичності біле сонячне світло після проходження

дифракційної решітки дає максимуми ІІ, ІІІ і більш високих порядків у вигляді спектрів.

б) хороша решітка з малим d і великим N дає дифракційні спектри з великою

роздільною здатністю. Характерною ознакою дифракційних спектрів є рівномірний

розподіл кольорів у спектрі. На відміну від дифракційного спектра, призматичний спектр

стиснутий в області червоних кольорів і розширений в області фіолетових кольорів.

Приклад 1. Дифракційна гратка містить 200 смуг на 1 мм. На гратку падає

перпендикулярно монохроматичне світло з довжиною хвилі 0,6 мкм. Максимуми якого

найбільшого порядку дає ця гратка?

Дано:

N = 200

l = 1 мм

= 0,6 мкм

____________

kmax – ?

Розв’язування. Головні максимуми дифракції на дифракційній гратці (рис.1)

спостерігаються згідно з умовою

d sin = k ,

де dsin = – oптична різниця ходу двох суміжних променів;

k – порядок дифракційної смуги; – довжина хвилі світла.

Порядок дифракційної смуги з цієї умови дорівнює:

sindk .

Якщо sin = 1, то k = kmax , тому

dk max .

Сталу дифракційної гратки знайдемо із умови : N

ld

Тому

N

lk max .

Підставимо числові значення 381060200

10k

6

3

,.

max

.

Відповідь: kmax = 8.

Завдання для самостійної роботи студентів ( продовження).

Завдання 2. Дати відповіді на запитання.

1. Як зміниться вигляд багатоколірної мильної бульбашки, якщо освітити іі

монохроматичним світлом?

2. Чи утворюватимуться кільці Ньютона, якщо на поверхню скла покласти короткофокусну

лупу?

Рисунок 1.

3.Необхідно записати інформацію про фазу світлових хвиль. Що треба використати для

цього – голографію чи фотографію?

Завдання 3. Розв’язати задачі.

Задача 1.

На дифракційні грати, що мають 500 штрихів на міліметр падає монохроматична хвиля

довжиною 0,4 мкм. Визначити найбільший порядок спектра, який можна спомтерігати,

коли промені на грати падають нормально.

Задача №2.

На мильну плівку в повітрі під кутом 610 падає паралельний пучок монохроматичних

променів довжиною 0,52 мкм. При якій найменшій товщині плівки буде видно

інтерференційні смуги, якщо спостереження ведуть у відбитому світлі?

Показник заломлення світла 1.33

Тема 3. Фотометрія. Спектри.

Завдання для самостійної роботи студентів

Завдання 1. Скласти конспект за планом.

План.

1. Фотометрія. Світловий потік. Освітленість.

2. Яскравість первинних та вторинних джерел струму. Сила світла. Означення кандели.

3. Закони освітленості.

4. Фотометр.

5. Види спектрів: спектри випромінювання та поглинання, їх характеристика.

Література: Дмитрієва В.Ф. Фізика: Навч.посіб. – К. : Техніка, 2008. -648 с.

Дія світла зумовлена насамперед наявністю певної світлової енергії. Безпосередньо

світло, зумовлене дією світлової енергії, сприймається чутливими елементами ока. Те

саме відбувається в будь-якому приймачі, здатному реагувати на світло, наприклад у

фотоелементі, термоелементі, фотопластинці. Саме вимірювання світла зводиться до

вимірювання світлової енергії або до вимірювання величин, з нею пов’язаних.

Розділ оптики, що вивчає методи і засоби вимірювання променевої енергії, називається

фотометрією.

Нехай через деяку площину за час t пройде світлова енергія Е.

Відношення

показує, яка кількість енергії проходить через площину за одиницю часу і називається

потоком променевої енергії через цю площину.

Потік променевої енергії виражається в одиницях потужності, наприклад у ватах. Проте

для сприйняття світлової енергії надзвичайно важливу роль відіграє око. Тому поряд з

енергетичною оцінкою світла користуються оцінкою, заснованою на безпосередньому

світловому сприйнятті ока. Потік променевої енергії, оцінений за зоровими відчуттями,

називається світловим потоком.

Отже, у світлових вимірюваннях користуються двома системами позначень і двома

системами одиниць: одна з них ґрунтується на енергетичній оцінці світла, друга — на

зорових відчуттях. Оскільки чутливість ока до світла різної довжини хвилі (різного кольору)

неоднакова, то оцінки світлового потоку за зоровим відчуттям і його потужністю можуть

істотно відрізнятися. Тому для зорової оцінки світлових потоків треба знати чутливість ока

до світла різної довжини хвилі.

Здебільшого дію світла визначають на відстані R, значно більшій від радіуса r світної

кульки, тому розмірами її можна знехтувати. Тоді можна вважати, що світло

випромінюється немов би з однієї точки — центра світної кульки. У таких випадках

джерело світла називається точковим. Зрозуміло, що точкове джерело не є точкою в

геометричному розумінні, а має, як і будь-яке фізичне тіло, скінченні розміри. Джерело

безмежно малих розмірів не має фізичного змісту, бо таке джерело мало б з одиниці своєї

поверхні випромінювати потік нескінченно великої потужності, що практично неможливо.

Крім того, джерело, яке вважають точковим, не завжди має бути малим. Істотним є не

абсолютні розміри джерела, а співвідношення між його розмірами і тими відстанями від

джерела, на яких досліджується його дія. Так, для всіх практичних цілей найкращим

точковим джерелом є зірки, хоча вони мають величезні розміри, але їхні відстані від Землі

в багато разів перевищують ці розміри.

Визначимо тепер більш точно, що розуміють під рівномірним випромінюванням світла в

усі боки. Для цього скористаємось уявленнями про тілесний кут Ω, який дорівнює

відношенню поверхні σ, вирізаної на сфері конусом із вершиною в її центрі, до квадрата

радіуса сфери r2:

Це відношення не залежить від радіуса, оскільки зі зростанням r поверхня а, яку вирізує

конус, збільшується пропорційно r2.

Якщо r = 1, то Ω = σ, тобто тілесний кут вимірюється поверхнею, вирізаною конусом на

сфері одиничного радіуса.

Одиницею тілесного кута є стерадіан (ср) — такий тілесний кут, якому на сфері

одиничного радіуса відповідає поверхня з площею, що дорівнює одиниці.

Тілесний кут, який охоплює весь простір навколо джерела, дорівнює 4π ср, бо повна

поверхня сфери одиничного радіуса є 4π.

Повне випромінювання будь-якого джерела розподіляється в тілесному куті 4π ср.

Випромінювання називають рівномірним, якщо в однакові тілесні кути, виділені в будь-

якому напрямі, випромінюється потік однакової потужності.

Звичайно, чим менші тілесні кути, в яких порівнюємо потужності, випромінювані

джерелом, тим точніше перевіряємо рівномірність випромінювання.

Отже, точковим джерелом є таке джерело, розміри якого малі порівняно з відстанню

до місця спостереження і яке посилає світловий потік рівномірно в усі боки.

Повний світловий потік характеризує випромінювання, яке поширюється від джерела в

усіх напрямах. Для практичних цілей часто потрібно знати не повний світловий потік, а той

потік, який іде в певному напрямі й падає на певну площину. У зв’язку з цим встановлено

два допоміжних поняття — силу світла І і освітленість Е.

Силою світла називають світловий потік, розрахований на тілесний кут, що дорівнює

стерадіану; вона вимірюється відношенням світлового потоку Ф, замкненого всередині

тілесного кута Ω, до цього кута:

Освітленість — це світловий потік, розрахований на одиницю площини, яка орієнтована

нормально до світлового потоку, що падає на неї; вона вимірюється відношенням

світлового потоку Ф, що падає на таку площину, до цієї площини σ:

Зрозуміло, що формули (11.3) і (11.4) визначають середню силу світла та середню

освітленість. Вони будуть тим ближчими до істинних, чим рівномірніший потік, або чим

менші Ω і σ. Виходячи із формул (11.2)—(11.4), можна дістати таку залежність:

тобто освітленість площини, перпендикулярної до падаючого світлового потоку, дорівнює

силі світла, поділеній на квадрат відстані до точкового джерела.

Порівнюючи освітленості площин, розміщених на різних відстанях від точкового джерела,

знайдемо

і т. д., або

тобто освітленості обернено пропорційні квадратам відстаней від освітлюваної площини

до точкового джерела. Цей закон називають законом обернених квадратів.

Якщо площина, що освітлюється точковим джерелом, орієнтована в просторі так, що кут

між напрямом падаючих променів і нормаллю до неї становить а, то співвідношення (11.5)

набирає вигляду

тобто освітленість площини прямо пропорційна косинусу кута між напрямом світлового

потоку і нормаллю до площини. Цей закон освітленості називають законом косинуса.

Проте в багатьох випадках джерела світла є протяжними: під час розгляду цих джерел око

розрізняє їхню форму і розміри.

Для таких джерел світла сила світла не є достатньою характеристикою. Справді, з двох

джерел, що випромінюють світло однакової сили, але мають різні розміри (площі), менше

здається більш яскравим, оскільки воно дає більшу силу світла з одиниці площі.

Однією з характеристик протяжних джерел є яскравість.

Яскравість протяжного джерела вимірюється силою світла, яка випромінюється одиницею

поверхні, що світиться в заданому напрямі.

У системі світлових одиниць за вихідну величину взято силу світла.

Одиницею сили світла є кандела (кд).

Кандела — сила світла у заданому напрямі від джерела, що випромінює монохроматичне

випромінювання частотою 540 ∙ 1012 Гц, енергетична сила світла якого в цьому напрямі

становить 1/683 Вт/ср.

Кандела входить до основних одиниць виміру Міжнародної системи одиниць (СІ):

*Одна кандела приблизно дорівнює силі світла, що випромінюється однією свічкою.

Для вимірювання сили світла іноді використовуються застаріла одиниця, свічка.

Одна свічка приблизно дорівнює одній канделі.

За одиницю світлового потоку взято люмен (лм).

Люмен — це світловий потік, випромінюваний точковим джерелом світла в одну канделу

всередині одиничного тілесного кута (тобто кута в 1 ср). Якщо точкове джерело має силу

світла 1 кд, то повний світловий потік, який воно створює в усіх напрямах, тобто всередині

тілесного кута 4π ср, дорівнюватиме 4π лм.

За одиницю освітленості взято люкс (лк).

Люкс — це освітленість такої поверхні, на 1 м2 якої падає рівномірно розподілений по

площині світловий потік в 1 лм. Освітленість в один люкс дістаємо на поверхні сфери

радіуса 1 м, якщо в центрі її розміщується точкове джерело світла 1 кд.

Одиницею виміру яскравості є кандела на квадратний метр (кд/м2). Таку яскравість має

плоска поверхня, що світиться, в напрямі нормалі до неї, якщо в цьому напрямі сила світла

з одного квадратного метра поверхні дорівнює одній канделі.

Завдання для самостійної роботи студентів ( продовження).

Завдання 2. Дайте відповідь на запитання.

1. Який світловий потік (у лм) від : а) праски потужністю 500 Вт,

б) ідеального джерела зеленого світла потужністю 1 Вт?

2.Яка вода – прозора чи непрозора – більше нагріватиметься потоком світла?

3. Яке із штучних джерел світла з великою тривалістю світіння має найбільшу яскравість і

силу світла?

Завдання 3.

Розв’язати задачі.

Задача 1.

Атомобільна лампочка має дві нитки: для далекого світла з світловим потоком 264 лм і

для ближнього світла з світловим потоком 37.7 лм. Знайти силу світла кожної нитки.

Задача №2.

Лампу потужністю 1000 Вт підвішено на стовпі зввишки 8 м. Визначити освітленість на

землі під лампою і на відстані 8 м від основи стовпа. Визначити світловий потік і силу

світла, припустивши, що лампа є сферичним випромінювачем.

Література

1. В.Ф. Дмитрієва фізика. Навч. Посібник. – К.: Техніка, 2008. – 648 с.

2. Фізика: Довідник з прикладами розв’язування задач / Ю.А. Соколович,

Г.С.Богданова, -- 2-ге вид. Х.: Веста: Видавництво «Ранок», 2008. – 464 с.

3. Загальна фізика. Збірник задач: навч. Посібник / А.П.Кир’янов, С.І.Кубарев,

С.М.Разінова, І.П. Шапкарін; Під редакцією І.П.Шапкаріна. М. : КНОРУС, 2008. – 3