รายงาน

เร่ือง การโก่งตัวโดยวธิีของงานและพลงังาน (Deflection by Work and Energy)

เสนอ

ผศ.ดร.เรืองรุชดิ์ ชีระโรจน์

จัดท าโดย

1. นางสาวณฐัธยาน์ หอมพามา 56010310075 วศิวกรรมโยธา 2. นางสาวฝนทพิย์ แนบสนิท 56010310153 วศิวกรรมโยธา 3. นางสาวพรศิริ ประเสริฐสังข์ 56010310164 วศิวกรรมโยธา 4. นางสาวพชิญา ศรีเสน 56010310174 วศิวกรรมโยธา 5. นางสาววชิรญาล์ อรรถสาร 56010310228 วศิวกรรมโยธา 6. นายศักดิ์ดา พลสีดา 56010315170 วศิวกรรมโยธา

รายงานเล่มนีเ้ป็นส่วนหน่ึงของวชิา Structure of Theory ภาคการเรียนที ่2/2557 สาขาวศิวกรรมโยธา

คณะวศิวกรรมศาสตร์ มหาวทิยาลยัมหาสารคาม

ค าน า รายงานเล่มน้ีเป็นส่วนหน่ึงของรายวชิา Structure of Theory เร่ืองการโก่งตวัโดยวธีิของงานและ

พลงังาน (Deflection by Work and Energy) ซ่ึงผูจ้ดัท าไดศึ้กษาคน้ควา้จากหนงัสือและอินเทอร์เน็ตรวมถึงการเรียนการสอนในหอ้งเรียนท่ีเก่ียวกบัเน้ือหาและการปฏิบติัการในการปฏิบติัการ เพื่อความถูกตอ้งแม่นย าและคลาดเคล่ือนนอ้ยท่ีสุด หวงัเป็นอยา่งยิง่วา่รายงานเล่มน้ีจะใหป้ระโยชน์ต่อผูท่ี้สนใจไม่มากก็นอ้ย หากมีขอ้ผดิพลาดประการใดคณะผูจ้ดัท าจึงขออภยัมา ณ ท่ีน้ีดว้ย

คณะผูจ้ดัท า

บทท่ี 6 การโก่งตวัโดยวธีิของงานและพลงังาน (Deflection by Work and Energy)

การหาค่าการโก่งตวัของคานท่ีไม่มีความซบัซอ้น อาจใชว้ิธีพื้นท่ีของโมเมนตห์รือวธีิคานเสมือนแต่ในกรณีของคานต่อเน่ือง โครงขอ้หมุน หรือ โครงขอ้แขง็ การประยกุตใ์ชห้ลกัการของงานและพลงังานจะมีความง่ายกวา่วธีิเชิงเรขาคณิต เน่ืองจากไม่ตอ้งอาศยัรูปร่างการโก่งตวัของโครงสร้าง โดยหลกัการของงานและพลงังาน อาศยัหลกัการอนุรักษพ์ลงังาน กล่าวคือเม่ือมีแรงมากระท าต่อโครงสร้างจะท าใหเ้กิดงานภายนอก (External Work) และจะถูกเปล่ียนรูปร่างเป็นงานภายใน (Internal Work) หรือพลงังานความเครียด (Strain energy) ท าใหโ้ครงสร้างเกิดการเปล่ียนแปลง (Deformations)หรือเกิดการเคล่ือนท่ี(Displacement)หรือเกิดการโก่งตวั (Deflection) โดยท่ี

Ue = Ui …………………..6.1

Ue = งานภายนอก

Ui = งานภายใน

โดยท่ี Ue = W = PS ………………………6.2

6.1งาน(Work)

รูปท่ี 1

เม่ือมีแรง F แรงเล็กๆ F มากระท ากบัโครงสร้าง จะท าใหเ้กิดการเคล่ือนท่ีเป็นระยะเล็กๆ dx ในทิศทาง

เดียวกบัแรงดงันั้น งานเล็กๆ จึงมีค่าเท่ากบั

…………………………………….6.3

ถา้แรง F เพิ่มข้ึนจนมีค่าเท่ากบั P จะท าใหเ้กิดการโก่งตวัเท่ากบั ∆ ตามกราฟระหวา่ง F กบั x

…………………………….6.4

จากสมการ 6.4 คือพื้นท่ีสามเหล่ียมส่วนท่ีแรเงาท่ีไดจ้ากความสัมพนัธ์ระหวา่งแรงลบและการยดืตวันัน่เอง

และหากมีโมเมนตด์ดัขนาด M มากระท าต่อคานอยา่งง่าย ท าใหเ้กิดการหมุนไป d จะไดต้ามรูปท่ี 2 และ

เม่ือพิจารณาช้ินส่วน dx จะไดว้า่

dU = Mdθ

U = ∫ Mdθ

………………………………6.5

รูปท่ี 2

FdxdUe

FdxdUe

FdxUe

6.2พลงังานความเครียด (Strain Energy)

เม่ือมีแรง F มากระท ายอ่มท าใหเ้กิดแรงตา้นภายใน ซ่ึงมีขนาด N จากกฎของฮุค (Hooke’s Law)

จาก ε =

และ σ =

จะได ้ E =

=

ดงันั้น =

………………………6.6

จาก U = U เม่ือ P = N

จากสมการ U =

P

จะได ้ U = U =

∙

U =

……………...............6.7

ในท านองเดียวกนักบั การเกิดโมเมนต ์ซ่ึงจะท าใหเ้กิดโมเมนตด์ดัภายใน โดย

dθ =

dx

ดงันั้น dU =

dx

เพราะฉะนั้น U = ∫

………………………..6.8

6.3 วธีิงานเสมือน (Virtual Work Method)

สมมุติวา่คานน้ีมีระยะโก่งเพิ่มข้ึนอีกเพียงเล็กนอ้ย โดยน ้าหนกัหรือแรงกระท ายงัคงเดิม ส่วนของ

ระยะโก่งท่ีเพิ่มข้ึนอีกเพียงเล็กนอ้ยน้ีคือ 1 , 2 และ n เรียกวา่ การโก่งตวัเสมือน ซ่ึงในระยะโก่ง

น้ีไม่เกิดข้ึนจริง

จากกฎอนุรักษพ์ลงังาน พลงังานภายนอก = พลงังานภายใน

∴ ∑ P + (1)( ) =

∑N ∙ + ∑u′ ∙

…………………6.9

เม่ือ N เป็นแรงตา้นทานภายในโครงสร้าง ซ่ึงเกิดจากแรงภายนอกชุด P

∆ เป็นส่วนยดืหดจากแรงภายนอก u เป็นแรงตา้นภายใน ซ่ึงไดจ้ากแรงเสมือน

หากพิจารณาเฉพาะการกระท าของ แรง P จะไดว้า่

∑ P =

∑N ∙

………………………………………6.10

ดงันั้น งานเสมือนซ่ึงเกิดจากแรงเสมือน 1 หน่วย ไดจ้าก

(𝟏) = ∑𝐮 ∙ ………………………………..………6.11 สมการ 6.11 เป็นสมการเบ้ืองตน้ของวธีิงานเสมือน เพื่อใชห้าการโก่งตวัของโครงสร้างแบบต่างๆ

เม่ือรับน ้าหนกัหรือแรงกระท า โดยวธีิงานเสมือนบางคร้ังอาจเรียกวธีิแรงหน่ึงหน่วย ในท านองเดียวกนั หากสมมติใหมี้แรงคู่ควบเสมือนแรงหน่ึงหน่วย กระท าท่ีจุดและทิศทางท่ี

ตอ้งการหาการหมุนหรือมุมลาดเอียงของโครงสร้างเม่ือรับน ้าหนกัหรือแรงกระแทกกระท าจะไดส้มการเบ้ืองตน้ของวธีิงานเสมือนเพื่อหามุมลาดเอียง คือ

(1)( ) = ∑𝑢 ∙ ………………6.12 โดยท่ี 𝜽 การหมุนของโครงสร้าง หรือมุมลาดท่ีจุท่ีตอ้งการหา

u แรงตา้นภายใน ซ่ึงเกิดจากแรงคู่ควบเสมือน

∆ ส่วนยดืหด ซ่ึงเกิดจากแรงภายนอก

6.4 งานเสมือนภายในโครงสร้าง(Virtual Work in Structure)

6.4.1 แรงตามแนวแกน

พิจารณาช้ินส่วนอนัหน่ึงยาว L พื้นท่ีหนา้ตดั A และมีโมดูลสัของการยดืหยุน่ E และ N

เป็นแรงในแนวแกนของช้ินส่วนซ่ึงเกิดจากการกระท าของแรงภายนอก และ n เป็นแรงในแนวแกนของ

ช้ินส่วนซ่ึงเกิดจากการกระท าของแรงแบบเสมือนหน่ึงหน่วยตรงจุดและในทิศทางท่ีตอ้งการหาค่าการโก่ง

ตวั

ดงันั้น =

โดยท่ี N เป็นแรงในแนวแกนซ่ึงเกิดจากแรงภายนอก

L ความยาวของช้ินส่วน

A พื้นท่ีหนา้ตดั

E โมดูลสัของการยดืหยุน่

จากสมการของงานเสมือนจะได ้ =

โดยท่ี n เป็นแรงตามแนวแกนซ่ึงเกิดจากแรงเสมือน 1 หน่วยถา้มีช้ินส่วนรับแรงตามแนวแกน n ช้ิน

จะได ้ = ∑

…………….6.13

6.4.2 โมเมนตด์ดั

พิจารณาส่วนหน่ึง dx ของช้ินส่วนซ่ึงมีความยาว L พื้นท่ีหนา้ตดั A โมเมนตอิ์นนีเชีย I และ

โมดูลสัยดืหยุน่ E

ถา้ M เป็นโมเมนตด์ดัซ่ึงเกิดจากการกระท าของแรงภายนอกและ m เป็นโมเมนตซ่ึ์งเกิดจาก

การกระท าของแรงเสมือนหน่ึงหน่วยตรงจุดและในทิศทางท่ีตอ้งการหาค่าการโก่งตวั

จากสูตรแรงดดัจะวา่ u =

d และ =

d

จากสมการของงานเสมือนจะได ้ =∭

(

d ) (

d )

= ∫

d ∫ d

ดงันั้น = ∫

d

………………………..6.14

6.4.3 แรงเฉือน

พิจารณาช้ินส่วนหน่ึงท่ีมีความยาว dx ของช้ินส่วนท่ีมีความยาว L พื้นท่ีหนา้ตดั A โมดูลสั

ของการเฉือน G ถา้ V เป็นแรงเฉือนท่ีเกิดจากการกระท าของแรงภายนอก และ V เป็นแรงเฉือนท่ีเกิดจาก

การกระท าของแรงเสมือนหน่ึงหน่วย ตรงจุดและในทิศทางท่ีตอ้งการหาค่าการโก่งตวั

ดงันั้น 𝑢 =

( ) และ

เม่ือ = ตวัคูณประกอบซ่ึงข้ึนอยูก่บัรูตดัของช้ินส่วนจากนั้นแทนค่าต่างๆในสมการของงานเสมือน

(1)( ) = ∭

= ∫

หรือ = ∫

………6.15

6.4.4โมเมนตบิ์ด

พิจารณาช้ินส่วนหน่ึงท่ีมีความยาว dx ของช้ินส่วนท่ีมีความยาว L พื้นท่ีหนา้ตดั A โมดูลสัของการเฉือน G และ K เป็นตวัคูณประกอบซ่ึงขั้นอยูก่บัรูปตดัของช้ินส่วน ให ้T เป็นโมเมนตบิ์ด เน่ืองจากแรงภายนอก และ t เป็นโมเมนตบิ์ด เน่ืองจากแงเสมือนหน่ึงหน่วยท่ีกระท าตรงจุดและในทิศทางท่ีตอ้งการหาค่าการโก่งตวั

ดงันั้น มุมบิด d =

จากสมการของงานเสมือนสามารถเขียนไดใ้หม่เป็น

(1)( ) = ∫ d = ∫

หรือ = ∫

………6.16

สรุปไดว้า่

ทั้งหมด = แรงตามแนวแกน + โมเมนตด์ดั + แรงเฉือน + โมเมนตบิ์ด

= ∑

+ ∫

d

+ ∫

+ ∫

……………..6.17

โดยการโก่งตวัอาจเกิดจากแรงแบบหน่ึงแบบใดหรือทั้งหมดข้ึนอยูก่บัชนิดของโครงสร้างนั้นๆ 6.5 การวเิคราะห์การโก่งตัวของโครงข้อหมุนโดยวธีิงานเสมือน หากตอ้งการหาระยะโก่งตวัในแนวด่ิงของจุดต่อ L ซ่ึงเกิดจากการกระท าของแรงภายนอกชุด P ตามรูปดา้นล่าง

เร่ิมจากน าแรงเสมือนหน่ึงหน่วยมากระท าในแนวด่ิงท่ีจุด L ซ่ึงจะท าใหเ้กิดแรงตา้นทานภายใน (u) ในทุกๆช้ินส่วนของโครง หลงัจากนั้นก็น าแรงหรือน ้ าหนกัชุด P ท่ีก าหนดให ้P1 , P2 , P3 , P4 มากระท าให้เกิดการยดืหดตวั ( ) ในทุกๆช้ินส่วนของโครงสร้างจากหลกัการของงานเสมือนจะไดว้า่ ดงันั้น (1)( ) + WR = ∑(𝑢) ( )

รูปท่ี 3 การวเิคราะห์การโก่งตวัของโครงขอ้หมุนโดยวธีิงานเสมือน

เม่ือ = ระยะโก่งตวัในแนวด่ิง ณ จุดท่ีตอ้งการหา

WR = งานเสมือนภายนอกซ่ึงเกิดจากการเคล่ือนท่ีของท่ีรองรับ

= ส่วนยดืหดตวัของแต่ละช้ินส่วนนั้น นอกจากเกิดจากการกระท าของแรงหรือน ้าหนกัภายนอกแลว้ ยงัอาจเกิดจากการเปล่ียนแปลงอุณหภูมิ (t) หรือเกิดจากขอ้บกพร่องของการก่อสร้าง ดงันั้นสรุปไดว้า่

=

+ + จากการก่อสร้าง

โดยท่ี N = แรงตามแนวแกนของแต่ล่ะช้ินส่วน ซึงเกิดจากแรงภายนอกชุด P L = ความยาวของแต่ล่ะช้ินส่วน = สัมประสิทธ์ิของการขยายหรือหดตวัตามแนวแกนของวสัดุ t = จ านวนอุณหภูมิท่ีเปล่ียนแปลง A = พื้นท่ีหนา้ตดัของแต่ล่ะช้ินส่วน E = โมดูลสัยดืหยุน่ของช้ินส่วน เพราะฉะนั้นสมการทัว่ไปท่ีใชห้าการโก่งตวัของโครงสร้างของโครงขอ้หมุน คือ

(1)( ) + WR = ∑(𝑢)

+ + จากการก่อสร้าง …………….6.19

6.6การวเิคราะห์การโก่งตัวของคานโครงข้อแข็ง การโก่งตวัของโครงสร้างประเภทน้ีส่วนใหญ่จะเกิดเน่ืองจากโมเมนตด์ดั โดยเกิดจากการกระท า

ของแรงภายนอกชุด P นอกจากน้ีอาจเกิดการโก่งตวัเน่ืองจากสาเหตุอ่ืนๆ เช่นแรงเฉือน แรงตามแนวแกนหรือการเปล่ียนแปลงของ อุณหภูมิ เป็นตน้

รูปท่ี 4 คานและโครงขอ้แขง็

จากหลกัการของงานเสมือนจะไดส้มการทัว่ไปดงัน้ี

(1)( ) + WR = + ∫

d

+ ∫

+ ∑(𝑢) ( ) …………………..6.20

ในท่ีน้ี = ระยะโก่งตวั ณ จุดและในทิศทางเดียวกนักบัท่ีแรงเสมือนหน่ึงหน่วยกระท า M = โมเมนตด์ดับนช่วงความยาวของแต่ล่ะช้ินส่วนซ่ึงเกิดจากแรงภายนอกชุด P m = โมเมนตด์ดับนช่วงความยาวของแต่ล่ะช้ินส่วนซ่ึงเกิดจากแรงเสมือนหน่ึงหน่วย V = แรงเฉือนบนหนา้ตดัของแต่ล่ะช้ินส่วนซ่ึงเกิดจากแรงภายนอกชุด P v = แรงเฉือนบนหนา้ตดัของแต่ล่ะช้ินส่วนซ่ึงเกิดจากแรงเสมือนหน่ึงหน่วย = การยดืหดตวัของแต่ล่ะช้ินส่วนเน่ืองจากแรงภายนอก P และการเปล่ียนแปลง

อุณหภูมิ = (

+ )

I = โมเมนตอิ์นนีเชีย

G = โมดูลสัของการเฉือน =

( )

= ปัวซองเรโช 6.7 สรุปข้ันตอนการค านวณโดยวธีิคานเสมือน

1.วเิคราะห์การโก่งตวัของคาน = ∫

d

2.วเิคราะห์การหมุนหรือมุมลาดเอียงของโครงสร้าง θ = ∫

d

โดยท่ี M = โมเมนตด์ดัจากแรงจริง m = โมเมนตด์ดัจากแรง 1 หน่วย หา ∆ ท่ีจุดใดๆ 1.หา Reaction จากแรงจริง 2.หา M ท่ีเกิดจากแรงจริง 3.สมมติแรง 1 หน่วย กระท าท่ีจุดใดๆท่ีตอ้งการหา ∆ 4.หา Reaction จากแรง 1 หน่วย 5.หา m ท่ีเกิดจากแรง 1 หน่วย 6.แทนค่าในสมการหา ∆

หา 𝛉 ท่ีจุดใดๆ 1.หา Reaction จากแรงจริง 2.หา M ท่ีเกิดจากแรงจริง 3.สมมติโมเมนต ์1 หน่วย กระท าท่ีจุดใดๆท่ีตอ้งการหา 𝛉 4.หา Reaction จากแรง 1 หน่วย 5.หา m ท่ีเกิดจากแรง 1 หน่วย 6.แทนค่าในสมการหา 𝛉

3.วเิคราะห์การโก่งตวัของโครงขอ้หมุน 3.1 หาแรงปฏิกิริยาและแรงภายในช้ินส่วนทุกช้ินท่ีเกิดจากแรงจริง 3.2 สมมติแรงหน่ึงหน่วยกระท าท่ีจุดท่ีตอ้งการหาการโก่งตวั 3.3 หาแรงปฏิกิริยาและแรงภายในช้ินส่วนทุกช้ินท่ีเกิดจากการโก่งตวั

3.4 หาค่าการโก่งตวัจากสมการ =

6.8วธีิคาสติกลอิาโน (Castigliano Method)

คาสติกลิอาโนไดเ้สนอทฤษฏีวเิคราะห์โครงสร้างสองทฤษฏี โดยทฤษฏีแรกจะใชห้าน ้าหนกัท่ีมากระท าต่อโครงสร้างเม่ือทราบการโก่งตวัแต่ไม่เป็นท่ีนิยมเพราะในการท างานจริงน ้าหนกัท่ีมากระท าต่อโครงสร้างสามารถหาไดก่้อน และทฤษฏีท่ีสองจะใชห้าระยะโก่งตวัและการเปล่ียนต าแหน่งของโครงสร้าง ซ่ึงทฤษฏีท่ีสองน้ีไดถู้กประยกุตเ์ป็น ทฤษฏีของงานนอ้ยท่ีสุด (Theorem of least work)โดยทฤษฏีท่ีสองได้กล่าวไวว้า่ ในระบบอีลาสติก ค่าของอนุพนัธ์อนัดบัท่ีหน่ึงของพลงังานสะสมภายในท่ีเทียบกบัแรงกระท า ณ จุดใดๆ มีค่าเท่ากบัการโก่งตวั ณ จุดนั้น ในแนวและทิศทางท่ีแรงนั้นกระท า โดยในการพิสูจน์สมมติใหแ้รงชุด P(P P P ) กระท าบนคานช่วงเดียว AB และให ้ และ เป็นระยะโก่งตวัท่ีจุด 1,2 และ 3 ตามล าดบั

ดงันั้นพลงังานภานนอกเน่ืองจากแรงชุดP คือ W=

P +

P +

P

ถา้ท่ีจุด 1 มีน ้าหนกักระท าเพิ่มข้ึนอีก dP ระยะโก่งตวัท่ีจุก 1,2 และ 3 จะเพิ่มข้ึนอีก d d และ d ตามล าดบั

พลงังานภายนอกท่ีเพิ่มข้ึน dW=

dP ∙ d + P ∙ d + P ∙ d + P ∙ d

∴ พลงังานภายนอกทั้งหมด = W+dW

= ∙

+

∙

+

∙

+

dP ∙ d + P ∙

d + P ∙ d + P ∙ d หากสมมติวา่ น ้าหนกั (P + dP ),P และ P กระท าพร้อมกนัท่ีจุด 1,2 และ 3 ตามล าดบัจะไดว้า่

พลงังานภายนอก =

(P + dP )( + d ) +

(P )( + d ) +

(P )( + d )

∴ จะไดว้า่

P ∙ d +

P ∙ d +

P ∙ d =

dP ∙

หรือ P ∙ d + P ∙ d + P ∙ d = dP ∙ นัน่คือ dW=dP ∙ และจาก dW=dU จะไดว้า่ dU=dP ∙

ดงันั้น

= (ซ่ึงสมการน้ีคือทฤษฏีท่ีสองของคาสติกลิอาโน) ....(6.21)

ในท านองเดียวกนั หากตอ้งการหาการหมุน (Rotation) ท่ีจุดใด ก็ท าไดโ้ดยการใหโ้มเมนตด์ดั M กระท าเพิ่มข้ึนท่ีจุดนั้น พิสูจน์ไดว้า่

= θ …..(6.22)

โดยทฤษฏีท่ีสองของคาสติกลิกาโนไดรั้บความนิยมในการใชง้าน และใชใ้นการเรียนของบทน้ีดว้ย อยา่งไรก็จามสามารถสรุปทฤษฏีทั้งสองขอ้และการประยกุตท์ฤษฏีของคาสติกลิกาโนไดดี้งน้ี 6.8.1 ทฤษฏีท่ีหน่ึงของคาสติกลิอาโน (Theorem I)

ทฤษฏีท่ีหน่ึงของคาสติกลิอาโนกล่าวไวว้า่ในโครงสร้างอีลาสติกซ่ึงอยูใ่นสมดุล ขนาดของแรงภายนอกแรงใดแรงหน่ึงท่ีกระท าต่อโครงสร้างนั้นจะมีค่าเท่ากบัอนุพนัธ์อนัดบัท่ีหน่ึงของพลงังานความเครียดทั้งหมดท่ีสะสมในโครงสร้างเทียบกบัการเปล่ียนแปลงต าแหน่งท่ีจุดท่ีแรงนั้นกระท าในทิศทางเดียวกนั

P =

….(6.23)

โดยท่ี P = แรงภายนอกกระท าท่ีต าแหน่ง n U = พลงังานความเครียดท่ีสะสมในโครงสร้าง = การเปล่ียนต าแหน่ง ( Displacement) ท่ีต าแหน่ง n ในทิศทางของ P

6.8.2ทฤษฏีท่ีสองของคาสติกลิอาโน (Theorem II) ทฤษฏีท่ีสองของคาสติกลิอาโนกล่าวไวว้า่ในโครงสร้างอีลาสติกซ่ึงอยูใ่นสมดุล การเปล่ียนต าแหน่งท่ีจุดใดจุดหน่ึงของโครงสร้างเทียบกบัขนาดของแรงภายนอกท่ีกระท าท่ีจุดนั้นในทิศทางเดียวกนั

=

…(6.24)

6.8.3ทฤษฏีของงานนอ้ยท่ีสุด (Theorem of Least Work) ทฤษฏีของงานนอ้ยท่ีสุดในโครงสร้างอีลาสติกท่ีเป็นแบบอินดีเทอร์มิเนตทางสถิตยศาสตร์ ภายใตน้ ้าหนกับรรทุกกระท า รูปแบบของแรงส่วนเกินและแรงภายในท่ีอยูใ่นสมดุลกนัท่ีอาจเป็นไปไดน้ั้นรูปแบบของแรงส่วนเกินซ่ึงใหค้วามสอดคลอ้งทางเรขาคณิตดว้ยนั้น ตอ้งท าหพ้ลงังานความเครียดมีค่านอ้ยท่ีสุด

=

= …(6.25)

ทฤษฏีของงานนอ้ยท่ีสุด เป็นการปะยกุตท์ฤษฏีท่ีสองของคาสติกลิอาโน และน ามาใชส้ าหรับวเิคราะห์โครงสร้างอินดีเทอร์มิเนตเท่านั้น 6.9 พลงังานความเครียดในโครงสร้าง (Strain Energy in Structure) เม่ือวตัถุถูกแรงภายนอกมากระท าจะเกิดการเปล่ียนแปลงรูปร่างและจะเกิดพลงังานสะสมอยูภ่ายในอนัเป็นผลมาจากแรงภายใน (ซ่ึงสมดุลกบัแรงภายนอก) พลงังานน้ีเรียกวา่ พลงังานภายใน ถา้วตัถุมีการ

เคล่ือนท่ีภายในจะประกอบดว้ยพลงังานสองชนิดคือ พลงังานจลน์และพลงังานความเครียด จากหลกัการพลงังานไม่มีการสูญหายหรือหลกัการอนุรักษพ์ลงังานสามรถเขียนไดใ้นรูปสมการ

= + โดยท่ี W = งานภายนอก T = พลงังานจลน์ U = พลงังานความเครียด ในกรณีวตัถุอยูใ่นสถิตยศาสตร์ จะไดว้า่ T = 0 นัน่คือ W = U พลงังานความเครียดท่ีเกิดข้ึนภายในโครงสร้างตามหลกัการของคาสติกลีอาโนสามารถแบ่งประเภทออกไดต้ามชนิดของแรงภายในท่ีท าใหเ้กิดพลงังานั้นไดแ้ก่ 6.9.1 แรงตามแนวแกน ถา้ส่วนเล็กๆยาว dx ของช้ินส่วนซ่ึงมีความยาว L โมดูลสัของการยดืหยุน่ E พื้นท่ีหนา้ตดั A และรับแรงกระท าตามแนวแกน N ให ้ เป็นส่วนยดืหรือหดตวัของช้ินส่วน dx ในทิศทางของแรง N ท่ีกระท า

พลงังานความเครียด dU = N

แต่ =

ดงันั้น dU =

d

พลงังานความเครียดทั้งหมด U = ∫

d =

จาก =

จะไดว้า่ = ∫(

)

d

หรือ = ∑ (

)

________________________(6.26)

6.9.2 โมเมนตด์ดั ถา้ส่วนเล็กๆยาว dx ของช้ินส่วนซ่ึงมีความยาว L รับโมเมนตด์ดั M ท าใหช้ิ้นส่วนน้ีโก่งเป็นมุม d

พลงังานความเครียด dU = M

แต่ มุม d =

d

ในเม่ือ E คือโมดูลสัยดืหยุน่ของช้ินส่วน และ I คือโมเมนตอิ์นเนอร์เชียร์ของหนา้ตดัรอบแกนท่ีรับโมเมนตด์ดั

แทนค่าจะได ้ dU =

d

พลงังานความเครียด U = ∫

d

จาก =

ดงันั้นจะไดว้า่ = ∫ (

)

d _____________________(6.27)

6.2.3 แรงเฉือน ถา้ส่วนเล็กๆยาว dx ของช้ินส่วนซ่ึงมีความยาว L พื้นท่ีหนา้ตดั A รับแรงเฉือน V ท าใหช้ิ้นส่วนน้ียดืหรือหดตามแนวแรงเฉือนเป็นระยะ de

พลงังานความเครียด dU =

แต่ d =

d

ในเม่ือ G เป็นโมดูลสัของการเฉือน และ เป็นคูณประกอบ (Form Factor)

แทนค่าจะได ้ dU =

d

พลงังานความเครียดทั้งหมด U = ∫

d

จาก =

จะไดว้า่ = ∫ (

)

d

_________________(6.28)

6.9.4 โมเมนตบิ์ด ถา้ส่วนเล็กๆยาว dx ของช้ินส่วนซ่ึงมีความยาว L รับโมเมนตบิ์ด T ท าใหมุ้มบิดไป d

พลงังานความเครียด dU =

d

แต่ d =

d

ในเม่ือ G เป็นโมดูลสัของการเฉือน และ K เป็นสติฟเนสของการบิดของหนา้ตดั

แทนค่าจะได ้ dU =

d

พลงังานความเครียดทั้งหมด U = ∫

d

จาก =

จะไดว้า่ = ∫ (

)

d

_____________________(6.29)

จากหวัขอ้ 6.9.1-6.9.4 สามารถสรุปไดด้งัน้ี ทั้งหมด= แรงตามแนวแกน + โมเมนตด์ดั + แรงเฉือน + โมเมนตบิ์ด

= ∑ (

)

+ ∫

(

)

d

+ ∫

(

)

d

+ ∫

(

)

d

____________________(6.30)

6.10 สรุปข้ันตอนการวเิคราะห์การโก่งตัวของคานโดยวธีิคาสติกลอิาโน่ การวเิคราะห์การโก่งตวัโดยวิธีคาสติกลิอาโน่มีหลกัการคลา้ย ๆ กบัวธีิงานเสมือน แต่ต่างกนัคือวธีิคาสติกลิอาโน่จะใส่แรง P หรือโมเมนตด์ดั M ณ ต าแหน่งท่ีตอ้งการทราบการโก่งตวัหรือมุมเบ่ียงเบนใน

โครงสร้างจริงท่ีมีแรงภายนอกมากระท าโดยท่ี P = M = 0 และ = ∫ ( ⁄ )

d

ดงันั้นค่าท่ี

ตอ้งการหาคือ M และ

โดยวิธีคาสติกลิอาโน่จะแตกต่างกบัวธีิงานเสมือนคือวธีิงานเสมือนจะแยก

น ้าหนกัออกเป็นสองส่วน ส่วนแรกจะเป็นน ้าหนกัท่ีกระท าจริง ส่วนท่ีสองจะเป็นน ้าหนกัหน่ึงหน่วย ส าหรับวธีิคาสติกลิอาโน่จะรวมน ้าหนกักระท าจริงและสมมติไวใ้นโครงสร้างเดียวกนั

ตัวอย่างที ่1

• หาแรงปฏิกริิยาจากแรงจริง

•

การวเิคราะห์การโก่งตัวของคานโดยวธิีคาสติกลอีาโน

วธีิคาสติกลิอาโน (Castigliano Method) คาสติกลิอาโนไดเ้สนอทฤษฎีวเิคราะห์โครงสร้างอยูส่อง

ทฤษฎี โดยทฤษฎีแรกจะใชห้าน ้าหนกัท่ีมากระท ากบัโครงสร้างเม่ือทราบการโก่งตวั แต่ไม่นิยมเพราะใน

การท างานจริงเราสามารถหาน ้าหนกัท่ีมากระท ากบัโครงสร้างไดก่้อน ทฤษฎีท่ีสองจะใชห้าระยะการโก่งตวั

และการเปล่ียนต าแหน่งของโครงสร้าง ซ่ึงทฤษฎีน้ีถูกประยกุตเ์ป็นทฤษฎีของงานนอ้ยท่ีสุดท่ีน ามาใช้

ส าหรับวเิคราะห์โครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต ทฤษฎีท่ีสองน้ีไดก้ล่าวไวว้า่ ในโครงสร้างอีลาสติกซ่ึงอยูใ่น

สมดุล การเปล่ียนต าแหน่งท่ีจุดใดจุดหน่ึงของโครงสร้างจะมีค่าเท่ากบัอนุพนัธ์อนัดบัหน่ึงของพลงังาน

ความเครียดทั้งหมดท่ีสะสมในโครงสร้างเทียบกบัขนาดของแรงภายนอกท่ีจุดนั้นในทิศทางเดียวกนั

อ้างองิ

เอกสารประกอบการเรียนการสอน Structure of Theory