a≠ 0 için 𝑎−1 =1

𝑎 dır.

122

14 +

11𝑚

=

14

14 + 𝑚

=

14

1 + 4𝑚4

=1

4.

4

1+4𝑚=

1

1+4𝑚=

1

13

1+4m=13, 4m=12, m=3

0,2=2

10 , 0,4 = 4

10 a3 = a.a.a

2.(0,2)3 + (0,4)3 = 2.(2

10)

3+ (

4

10)

3

= 2.8

1000+

64

1000=

16 + 64

1000=

80

1000

= 0,08

İkinci kesrin paydasını karekökten kurtaralım.

(Paydayı rasyonel yapalım)(Pay ve paydayı

paydanın eşleniği ile çarpalım)[(1-√𝑎)(1+√𝑎)=1-a]

1 + √𝑎

1 − 𝑎−

𝑎

1 − √𝑎=

1 + √𝑎

1 − 𝑎−

𝑎(1 + √𝑎)

(1 − √𝑎)(1 + √𝑎)

=1 + √𝑎

1 − 𝑎−

𝑎 + 𝑎√𝑎

1 − 𝑎=

1 + √𝑎 − 𝑎 − 𝑎√𝑎

1 − 𝑎

=1−𝑎+√𝑎(1−𝑎)

1−𝑎=

(1−𝑎)(1+√𝑎)

1−𝑎= 1 + √𝑎

1+√𝑎 =5

3 , √𝑎 =

5

3− 1 =

2

3 , a=

4

9

Sayıları çözümleyelim:

(100A+10B+D)-(100B+10B+C)=294

100(A-B)+D-C=294

D-C farkı 94 olamayacağından:

A-B=3 VE D-C=-6 DIR.

10A+C-(10B+D)=10(A-B)+C-D

= 10.3+6=36

a2 – a = b2- b

a2 – b2 = a – b

(a – b)(a + b) = a – b

a + b = 1 İki tarafın karesini alalım.

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 = 12

a2 + 2(-1) + b2 = 1

a2 + b2 = 3

2x = (2.3)x+y-1 = 2x+y-1.3x+y-1

2x = 2x.2y-1.3x.3y-1

3x.2y-1.3y-1 = 1

3x.(2.3)y-1 = 1

3x.6y-1 = 1

3x = 1

6𝑦−1 = 61-y

x + y < 0 < x < y + z eşitsizliğinde;

x + y < x ve y < 0

x + y < y + z ve x < z

0 < x dır.

Bu üç eşitsizlik birleştirildiğinde;

y < x < z bulunur.

a+b = 𝑥

𝑥−𝑦+ 𝑦

𝑥+𝑦= 𝑥(𝑥+𝑦)+𝑦(𝑥−𝑦)

(𝑥−𝑦)(𝑥+𝑦)

= 𝑥2+2𝑥𝑦−𝑦2

𝑥2−𝑦2

a+b-1=𝑥2+2𝑥𝑦−𝑦2

𝑥2−𝑦2− 1

= 𝑥2+2𝑥𝑦−𝑦2−𝑥2+𝑦2

𝑥2−𝑦2

= 2𝑥𝑦

𝑥2−𝑦2

a.b=𝑥

𝑥−𝑦.

𝑦

𝑥+𝑦=

𝑥𝑦

𝑥2−𝑦2

𝑎+𝑏−1

𝑎.𝑏=

2𝑥𝑦

𝑥2−𝑦2

𝑥𝑦

𝑥2−𝑦2

=2𝑥𝑦

𝑥2−𝑦2.

𝑥2−𝑦2

𝑥𝑦= 2

[(𝑛+1)!]2+(𝑛!)2

[(𝑛+1)!]2−(𝑛!)2=

[(𝑛+1)𝑛!]2+(𝑛!)2

[(𝑛+1).𝑛!]2−(𝑛!)2

=(𝑛 + 1)2(𝑛!)2 + (𝑛!)2

(𝑛 + 1)2(𝑛!)2 − (𝑛!)2

=(𝑛!)2((𝑛 + 1)2 + 1)

(𝑛!)2((𝑛 + 1)2 − 1)

=𝑛2+2𝑛+2

𝑛2+2𝑛=

61

60

n2 + 2n -120 = 0

(n – 10)(n +12) = 0

n = 10

|x-y|=|y-x| Mutlak değer özelliği.

y - |x-y| = y - |y-x| = y -|1| = y – 1 = 2

y = 3

y – x = 1 ⇒ 3 – x = 1 ⇒ x = 2

x + y = 2 + 3 = 5

OKEK(2,3,5) = 2.3.5 = 30

2x = 3y = 5z = 30k

x = 15k, y = 10k, z = 6k

x + y+ z = 15k + 10k + 6k = 31k < 100

k = 3 için; x+ y + z = 31.3 =93

A = 13+26+39+ … +169

= 13(1+2+3+ … + 13)

1+2+3+ … + 13 =𝑛(𝑛+1)

2=

13(13+1)

2

= 13.14

2= 13.7

A = 13.13.7 0lur ki A’yı tam bölen

asal sayılar 13 ve 7 dir. 13+7 = 20

Ardışık tek sayılar: 2x+1 , 2x+3 , 2x+5 ,

(2x-5)+(2x-3)+(2x-1)+(2x+1)+(2x+3)

+(2x+5) = 12x

12x = 4.(2x+5) , 12x = 8x + 20,

4x =20, x = 5

2x + 5 = 2.5 + 5 = 15

√3 + √5 ≠ √8 p≡ 0, Yanlış

√5 + √3 ≠ √2 q≡ 0, Yanlış

√3. √5 = √15 r≡ 1, 𝐷𝑜ğ𝑟𝑢

p⇒ (𝑞⋀𝑟) ≡ 0 ⇒ (0⋀1) ≡ 0 ⇒ 0 ≡ 1

p∧ (𝑟 ∨ 𝑞) = 0 ∧ (1 ∨ 0) = 0 ∧ 1 = 0

(p∨ 𝑞) ∧ 𝑟 = (0 ∨ 0) ∧ 1 = 0 ∧ 1 = 0

r⇒ (𝑝 ∧ 𝑞) = 1 ⇒ (0 ∧ 0) = 1 ⇒ 0 = 0

p∧ (𝑟 ⇒ 𝑞) = 0 ∧ (1 ⇒ 0) = 0 ∧ 0 = 0

Olabilecek sıralamalar:

2 < 6 < a < 9 < b b = 10, ….

2 < 6 < a < b < 9 b = 8

2 < b < a < 6 < 9 b = 3, 4

b < 2 < a < 6 < 9 b = 1

b , 5 olamaz.

EBOB (a,b) = d ise

a = d.x ve b = d.y dir.

d, a ve d yi böler.

a2 = d2.x2 ; d2 sayısı, a2 sayısını böler.

a2+b=d2.x+d.y=d(d.x+y) ; d2 sayısı,

a2+b sayısını bölmez.

a2 + b2=d2.x+d2.y=d2(x2+y2) ; d2 sayısı

a2 + b2 sayısını böler.

I ve III her zaman doğrudur.

Toplamın en büyük olması için;

f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=3+4+5+6=18

(en büyük, farklı dört değer)

Toplamın en büyük olması için;

f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+2+3+4=10

(en küçük, farklı dört değer)

18 -10 = 8

4∆1 ≠ 1 △ 4 1 ∉ 𝑀(4)

4∆2 = 2 △ 4 = 4 2 ∈ 𝑀(4)

4∆3 ≠ 3∆4 3 ∉ 𝑀(4)

4∆4 = 4∆4 = 3 4 ∈ 𝑀(4)

4∆5 = 5∆4 = 2 5 ∈ 𝑀(4)

M(a)={b∈A | a∆𝑏 = 𝑏∆𝑎}

M(4) = {2, 4, 5}

İki basamaklı en büyük doğal sayı: 99

x – y = 65 ⇒ x = 65 + y

y’ nin en küçük değeri: 10

x = 65 + 10 =75

x’ in en küçük değeri: 75

75 ≤ 𝑥 ≤ 99

x’in alabileceği doğal sayı değerleri

99 – 75 + 1 = 25 tanedir.

37 + 2 = 39 = 3.13

59 + 2 = 61

67 + 2 = 69 = 3.23

73 + 2 = 75 = 3.25

83 + 2 = 85 = 5.17

73 Chen asalı değildir.

I. f(a+b)=2(a+b)=2a+2b

f(a)=2a, f(b)=2b, f(a).f(b)=2a.2b

2a + 2b ≠2a.2b

II. f(a+b)=2a+b=2a.2b

f(a)=2a, f(b)=2b , f(a).f(b)=2a.2b

2a+b = 2a.2b YALNIZ II

III. f(a+b)=(a+b)2=a2+2ab+b2

f(a)=a2, f(b)=b2 , f(a).f(b)=a2.b2

a2+2ab+b2 ≠ a2.b2

A + 𝐷2 Ahmet’in zamlı maaşı

A + 𝐷

2 + D = 2.A

𝐷

2 + D =2.A – A

3𝐷

2= 𝐴

2.A = 3.D

2009, 2010 ve 2011 yıllarında elde

ettiği karlar sırasıyla x, y ve z olsun.

2012 yılında: z + z.25

100 =

5𝑧

4

İlk ortalama = 𝑥+𝑦+𝑧

3 =4

x+y+z=12

İkinci ortalama = 𝑥+𝑦+𝑧+

5𝑧

4

4= 4,5

12+

5𝑧

4

4= 4,5 ⇒ 12 +

5𝑧

4= 18

5𝑧

4= 6 ⇒ z = 4,8

Erkek farelere günde: 24:12=2 adet,

2.0,5=1 gram ilaç,

Dişi farelere günde: 24:8=3 adet,

3.1=3 gram ilaç verilmiş.

x tane erkek fare ve y tane dişi fare;

x.1 + y.3 = 85

x.2 + y.3 = 95 taraf tarafa çıkarırsak

x = 10, 10 +3y = 85 , y =25

x + y = 10 + 25 = 35 fare.

Sınıfa getirilen malzeme sayısı;

36+36+36=108

Sınıfta bulunan öğrenci sayısı = x olsun

Dağıtılan malzeme sayısı;

3x+2x+x=6x

6x +42 = 108, x = 11 öğrenci var.

11.2=22 kalemtraş dağıtılmış.

36 – 22 = 14 kalemtraş artmış.

20-08-2008 den sonraki

ilk simetrik gün 20-09-2009 dur.

Bir yıl, bir ay sonraki tarih.

10.36 =360 gün =1 yıl

36 gün = 1 ay

360 +36 =396 gün sonra olur.

Ali: A+B den B yi, B+D den D yi ve

A+B+C den de C yi bulur.

Banu: A+B den A yı, B+D den D yi ve

A+B+C den de C yi bulur.

Can; A+B+C den A+B yi bulur. Başka bir

şey bulamaz.

Doğa: B+D den B yi, A+B den A yı ve

A+B+C den de C yi bulur.

Paylaşım şu şekillerden biri ile olur.

1-1-3 :C(5,1).C(4,1).C(3;3)=5.4.1=20

1-2-2 :C(5,1).C(4,2).C(2,2)=5.6.1=30

1-3-1 :C(5,1).C(4,3).C(1,1)=5.4.1=20

20 + 30 + 20 = 70 Farklı şekilde.

Olabileceklerin kümesi (Örnek uzayı)

E ={(5,10),(6,9),(7,8),(8,7),(9,6),(10,5)}

İstenenlerin kümesi (Olay)

A ={(7,8),(8,7)}

Olasılık: P(A) = 𝑠(𝐴)

𝑠(𝐸)=

2

6=

1

3

Çubuklara takılan toplam boncuk sayısı:

1+2+3+4+5+6+7+ … +n = 𝑛(𝑛+1)

2 dir.

n = 20 için; 20.(20+1)

2= 210 olur.

Çubuk sayısı 5 olduğundan,

20:5 = 4 tam turda 20 boncuk

V. çubuğa takılır.

220 – 210 = 10 kalan boncuk sayısı.

O boncuklar da I. çubuğa takılır.

SORU İPTAL EDİLDİ…

Her turda V. Çubuğa takılan boncuk

sayısının bir fazlası I. çubuğa takılarak

denmeli idi.

YOL = HIZ x ZAMAN

İkizkenar üçgenin dik kenar

uzunluklarını birer birim alısak;

Ayça: 1+1=2 br.

Barış: √12 + 12 = √2 br.

Cem: √2

2. 𝜋 br. yol alır.

Ayça: 2/4 = 1/2 saatte,

Barış: √2/2 saatte,

Cem: √2

2. 𝜋: 3 saatte yarışı bitirir.

1

2<

√2

2<

√2𝜋

6

Olduğundan;

Ayça, Barış, Cem varış sırasıdır.

Ayşe ile Kemalin boylarına x dersek;

Bora, Kemal’den 2 cm. kısa: x – 2

Mehmet, Ayşe’den 3 cm. uzun: x + 3

Elif, Mehmet’ten 6 cm. uzun: x+3 + 6

x + 9 = 174 Elif.

x = 165 Ayşe ile Kemal.

x + 3 = 168 Mehmet.

x – 2 = 163 Bora.

Ortalama =163+165+165+168+174

5

= 167

ABCD yamuğunda: 70o+2y=180o

Y = 55o

BCDE paralelkenarında: 55o + x = 180o

x = 125o

Azalan kısım: A(EOF)=𝑥𝑥

2= 18 br2

x = 6 br.

Sondan başa gidelim:

K3 karesinin bir kenar uzunluğu 27 br.

ise, küçük karelerinden birinin boyu:

27:3 = 9 br. dir.

2. şekilde; K2 nin kenarı 4’e

ayrıldığından, K2 nin kenarı: 4.9=36 br.

olur.

K2 de küçük karelerden birinin boyu:

36:3 = 12 br. dir.

1. şekilde; K1 in kenarı 4’e ayrıldığından,

K1 in kenarı: 4.12 =48 br. olur.

48 :3 =16 br. küçük karelerin boyu.

16.4 = 64 = a

VEYA: 𝑎

4. 3 =

3𝑎

4 , K1 için.

3𝑎

4

4 .3=

9𝑎

16 , K2 için ve

9𝑎

16

4. 3 =

27𝑎

64 K3 için.

27𝑎

64= 27 a = 64 br. bulunur.

OT⊥PT Teğet, yarıçapa değme

noktasında diktir.

OTP dik üçgeninde Pisagordan;

42 + |TP|2 =62

|TP|2 =20

|TP| = 2√5 cm.

Silindirin hacmi = 𝜋𝑟2ℎ

5 dakikada akan su miktarı = 𝜋32. 2

1 dakikada akan su miktarı = 18𝜋/5

x dakikada: x.(18𝜋/5) = 𝜋.22.h

x.(18𝜋/5) = 𝜋. 32.(h-2)

Taraf tarafa eşitlersek;

4𝜋. ℎ = 9𝜋(ℎ − 2)

4h = 9h – 18, h = 18/5

Yerine yazılırsa;

x.(18𝜋/5) = 4𝜋. (18/5)

x = 4 dakika.

BCD, 30o-120o-30o ikizkenar üçgeni: |BD|=4√3 = |PL|

KPL dik üçgeninde pisagordan: x2 = 12 +(4√3)2 , x2 =49 , x = 7 cm.

İki nokta arasındaki uzaklık:

√(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2

|OB|=√(8 − 0)2 + (4 − 0)2 = √64 + 16 = √80 = 4√5

|AC|=√(5 − 3)2 + (0 − 4)2 = √4 + 16 = √20 = 2√5

|OB|+|AC| = 4√5 + 2√5 = 6√5

TH⊥AB çizildiğinde; |TH|=|OC|=1

COA≅THA (AKA)

|AH|=|OA|=2

ATB dik üçgeninde Öklid bağıntısından:

|TH|2=|AH|.|HB|

12 = 2.|HB|

|HB|=1/2

B noktasının apsisi= |OA|+|AH|+|HB|

= 2 + 2 + ½ = 9/2

LYS’ DE BAŞARILAR…