ค ำชี้แจง เรื่อง กำรอินทิเกรต ( INTEGRATION¸šทเรียนโปรแกรมอ... · 2. สามารถหาบทประยุกต์ของอินทิกรัลไมจ

1

ค ำชแจง บทเรยนโปรแกรม เรอง กำรอนทเกรต (INTEGRATION)

ในบทเรยนโปรแกรม ทนกเรยนจะไดศกษาตอไปน เปนบทเรยนทนกเรยนจะตองศกษาตามความสามารถของตนเอง ขอใหนกเรยน อานค าชแจงและปฏบต ตามแตละขนตอน ตงแตตนจนจบ อยางครบถวน ดงตอไปน 1. ในแตละหนาของบทเรยนโปรแกรม จะแบงออกเปน 2 กรอบ ดงนคอ กรอบทอยซายมอเปน กรอบเฉลยกจกรรม กรอบทอยดานขวามอ คอ กรอบความร (กรอบเนอหา) สวนหนาแรกจะมกรอบเดยว

กรอบเฉลย กจกรรมท.....

กรอบความรท.... หรอ กรอบเนอหาสาระ

2. นกเรยนควรศกษาบทเรยนโปรแกรมทละกรอบ เรมจากกรอบท 1 ซงภายในแตละกรอบจะม เนอหาสาระ ความร ตวอยาง และ วธท าอยางละเอยด ใหนกเรยนไดศกษา เพอใหนกเรยนไดแนวตอบค าถาม ในกรอบกจกรรม ไดถกตอง 3. นกเรยนไมควรอานขามกรอบ เพราะในแตละกรอบ จะมกจกรรมฝกหดเรยงจากงายไปหายาก นกเรยนท ากจกรรมฝกหดใหครบทกขอ เพอใหเกดความช านาญ 4. นกเรยนท ากจกรรม เขยนวธท าและตอบค าถาม ลงในสมด ครบทกขอแลว นกเรยนสามารถตรวจค าตอบไดดวยตนเอง โดยค าตอบของกรอบแรก จะอยในกรอบถดไปทางซายมอ เกบคะแนนกจกรรม สงคร 5. นกเรยนไมควรดเฉลยค าตอบ กอนท ากจกรรม นกเรยนตองมความซอสตยตอตนเองใหมาก เพราะจะท าใหการเรยนบทเรยนโปรแกรมน มประสทธภาพดมาก

6. ถาผลการตรวจค าตอบ พบวา ตอบผด ใหนกเรยนยอนกลบไปศกษา กรอบความร ในเนอหาสาระเดม ท าความเขาใจใหมจนกวาจะเขาใจและท ากจกรรมเดม ใหไดและใหถกตอง จงศกษาในกรอบความรท 2 ตอไป 7. นกเรยนศกษากรอบความรท 2,3 ,…ไปเรอยๆ ตามขนตอน 1- 6 จนถงกรอบท 12 เมอศกษาบทเรยน ครบทกกรอบแลว ใหนกเรยนท าแบบทดสอบ วดผลสมฤทธทางการเรยน หลงเรยน และตรวจค าตอบเกบคะแนนสงคร เมอนกเรยนพรอมแลว ใหเรมศกษา ได ณ บดน

2

เรอง กำรอนทเกรต (INTEGRATION) หรอ ปฏยำนพนธ

หรอ กระบวนกำรยอนกลบของอนพนธ

เนอหำสำระ 1. อนทกรลไมจ ากดเขต 2. การประยกตของ อนทกรลไมจ ากดเขต 3. อนทกรลจ ากดเขต 4. การหาพนท ทปดลอม ดวยเสนโคง

จดประสงคกำรเรยนร 1. สามารถหาอนทกรลไมจ ากดเขตของฟงกชนได 2. สามารถหาบทประยกตของอนทกรลไมจ ากดเขตได 3. สามารถหาอนทกรลจ ากดเขตของฟงกชนได 4. สามารถหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงทก าหนดใหได

ท ำแบบทดสอบวดผลสมฤทธทำงกำรเรยน กอนเรยน ในหนำถดไป

3

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทำงกำรเรยน กอนเรยน เรอง กำรอนทเกรต (INTEGRATION)

ค ำชแจง ใหนกเรยนกาเครองหมาย ทบตวอกษรทตรงกบค าตอบทถกทสดเพยงขอเดยว *********************************************************************************************

จดประสงค 1. สามารถหาอนทกรลไมจ ากดเขตของฟงกชนได

1. ให -1

-2 2f (x)=2x +x +3 จงหา f(x) ตรงกบขอใด

ก. -3

2 21

-4x - x +c2

ข. 1

-1 22x -2x +c

ค. 1

2-2

+2x +3x+cx

ง. 1

-1 2-2x +x +3x+c

2. ให 2 4

2

dy 2-3x -x=

dx x จงหาคา y

ก. -2 0 2x -3x -x +c ข. 3 5

3 x x2x-x - - +c

3 5

ค. 5

3 x2x-x - +c

5 ง.

32 x-3x- +c

x 3

3. ให f (x)=2x+1 จงหา f(x) ตรงกบขอใด ก. 22x +x+c ข. 2x + x +c

ค. 2x

+x+32

ง. 2+c

4. ให f (x)=-2 โดยท f (-1)=4 และจด (1,2) เปนจดบน เสนโคง y=f(x) จงหา f(x) ก. 24x-x -1 ข. 2-x +5x-2 ค. 22x-x +1 ง. 2-x +6x-3 5. จงหาคา 3(5-2x+4x )dx ตรงกบขอใด ก. 2-2+6x-12x +c ข. 4 3 2x -x +x -5x+c ค. 26x-12x +2 ง. 3 4 2x -x -x +5+c

จดประสงค 2. สามารถหาบทประยกตของอนทกรลไมจ ากดเขตได

6. ใหความชนของเสนสมผสเสนโคงทจด x,y ใด ๆ เทากบ x-1

2จงหาสมการเสนโคง

ทผานจด 2,2

ก. 2x

-x-22

ข. 2x

-x+32

ค. 2x

+3-x4

ง. 2x -3-x

4

7. วตถชนหนงเคลอนทในแนวตรงดวยความเรง 10 เมตรตอวนาท2 ภายใน 5 วนาทแรกไดระยะทาง 500 เมตร และเวลาทเรมตน ใชความเรว 40 เมตรตอวนาท จงหาสมการความเรว (V) ในรปของเวลา (t)

ก. V=5t+40 ข. V=10t+40 ค. V=10t+10 ง. 5t

V= -40t2

8. ก าหนดความชนเสนโคงทจด ,x y ใด ๆ เปน3 23x -2x -x

x จงหาสมการเสนโคง


ก. 3

22x 16y= -x -x+

3 3 ข.

322x 16

y= -x -x-3 3

ค. 3

22x 16y= -x +x+

3 3 ง.

322x 16

y= -2x -x+3 3

9. ใหอตราการเปลยนแปลงของความชนของเสนสมผสเสนโคง Y=f x เทากบ 2x-2 และทจด 1,3 มความชนเทากบ 1 จงหา f x ก. -1 ข. -2 ค. -3 ง. -4 10. บรษทแหงหนงผลตสนคาออกจ าหนาย มอตราการเปลยนแปลงของตนทนเมอเทยบ กบจ านวนสนคาทผลตเทากบ 22+3x (Xเปนจ านวนสนคา)และกอนการผลตสนคา ตอง ลงทน ดานอปกรณการเงน 20,000 บาท จงหาตนทนการผลตสนคาจ านวน 10 ชน ก. 20,000 บาท ข. 19,000 บาท ค. 21,200 บาท ง. 21,020 บาท จดประสงค 3. สามารถหาอนทกรลจ ากดเขตของฟงกชนได

11.จงหา 2

1-

2 dx 2x) - (3x

ก. 6 ข. 5 ค. 4 ง. 3

12. คาของ 2

3

-1

x-2xdx

2x คอขอใด

ก. -1 ข. -2 ค. -3 ง. 3

2

5


2

-13x -2x+1 dx คอขอใด

ก. 3 ข. 6 ค. 9 ง. -3

14.จงหา 3

1

2 dx 3) 2x - (x

ก. 14

3 ข. 14

3

ค. 20

3 ง. 20

3

15. จงหา 3

1

2 dx 2) - x (3x ก. -26 ข. 26 ค. 23 ง. -23

จดประสงค 4. สามารถหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงทก าหนดใหได 16. พนทระหวางกราฟ 2y=x +1 และ y=x ตงแต x=-1 ถง x=2 ก. 35 ตารางหนวย ข. 4.0 ตารางหนวย ค. 4.5 ตารางหนวย ง. 5.0 ตารางหนวย 17. ก าหนดใหอตราการเปลยนแปลงของความตองการ ในการใชไมของสหรฐอเมรกา ป 1970 (t = 0) ถกประมาณโดยสมการ 2Q (t)=12+0.006t เมอ 0 50t โดยมหนวย เปน 1 ลาน ลกบาศกฟต/ป ถาQ(t) เปนจ านวนไมทผบรโภคตองการใชหลงป 1970 (tป) Q(t) มหนวยเปน 1 ลาน ลกบาศกฟต จงหาจ านวนไมป 1980 ถงป 1990 เทากบขอใด ก. 142 ข. 134 ค. 124 ง. 112 18. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = x2+x+1 จาก x = 2 ถง x =3 ก. - 59

3 ข. 59

3

ค. 23

6 ง. 23

6

19. ให f (x)=2-0.2x เมอ 0 8x เปนอตราการเปลยนแปลงของราคา ( หนวยเปนหมนบาท)ตอจ านวนสนคา x ชน จงหาราคาทเปลยนทเปลยนแปลงไปเมอบรษทผลตสนคาจาก 2 ชน เปน8 ชน ก 64,000 บาท ข. 63,000 บาท ค. 62,000 บาท ง. 60,000 บาท

6

20.จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = x2 + 2x – 15 จาก x = -2 ถง x =2 ก. 125

3 ข. 125

3

ค. 164

3 ง. 164

3

เฉลยแบบทดสอบวดผลสมฤทธทำงกำรเรยน กอนเรยน เรอง กำรอนทเกรต (INTEGRATION)

ชนมธยมศกษำปท 6 ขอ เฉลย ขอ เฉลย 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ค ง ข ค ง ค ข ก ค ง

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

ก ข ค ง ข ค ข ข ง ง

7

ถา 2f(x)=x จะได 2x(x)f ; ถา 3xf(x) จะได 23x(x)f ถา 4xf(x) จะได 34x(x)f ; ถา 5xf(x) จะได 45x(x)f

ตอไปนจะศกษาวธการกระท าทยอนกลบ กบการหาอนพนธซงเรยกวา “กำรอนทเกรต” (Integration) หรอ ปฏยานพนธของฟงกชน

ตวอยำง ขนแรก

จาก 2x อนทเกรตจะได x2

หรอ x อนทเกรตจะได 2x

2...............(1)

จาก 3x2 อนทเกรตจะได x3

หรอ x2 อนทเกรตจะได ................(2)

จาก 4x3 อนทเกรตจะได

หรอ x3 อนทเกรตจะได ................(3)

อนทเกรต

3x

3

4x

กรอบความรท 1

ก าหนดให y=f(x) ใชวธการหาอนพนธ ผลลพธคอ f (x)

ผลลพธคอ f(x)

ใหนกเรยนพจารณาการหาอนพนธของฟงกชน f(x) ตาง ๆ ตอไปน

4x

4

ก าหนดให /f (x)

8

จาก (1) , (2) และ (3)

สรป จาก nx อนทเกรต จะได n+1x

n+1

ขนตอไป พจำรณำ 2x +0 หาอนพนธ 2x 2x +1 หาอนพนธ 2x 2x +7 หาอนพนธ 2x จะมอนพนธลกษณะเหมอนกนคอ 2x ตางกนทคาคงตว ฉะนนเราตองบวกดวย c ไว โดยท c เปนคาคงตวใด ๆ นนคอ

จาก nx อนทเกรต จะได n+1x

+cn+1

ตวอยำงท 1 ให f (x) เปนอนพนธของฟงกชน จงหา f(x)

1. ถา 6f (x)=x จะได 7x

f(x)= +c7

2. ถา 10f (x)=x จะได 11x

f(x)= +c11

3. ถา -8f (x)=x จะได -7x

f(x)= +c-7

4. ถา -2f (x)=x จะได -1x

f(x)= +c-1

5. ถา 2

3f (x)=x จะได 5

3xf(x)= +c

5

3

6. ถา 1


3xf(x)= +c

4

3

7. ถา -1


5xf(x)= +c

4

5

9

กจกรรมท 1

จงหำ f(x) เมอก ำหนด f (x) ให 1. ให 5f (x)=x จงหา f(x)

2. ให 2

3f (x)=x จงหา f(x)

3. ให 3

4f (x)=x จงหา f(x) 4. ให -2f (x)=x จงหา f(x)

5. ให 1

2f (x)=x จงหา f(x) 6. ให f (x)= X จงหา f(x)

7. ให 1f (x)=

X จงหา f(x)

8. ให f (x)= X จงหา f(x)

ทกอยำงมอปสรรคเมอเรมตน EVERYTING IS DIFFICULT AT FIRST

10

กรอบเฉลย กจกรรมท 1

1. 6x

f(x)= +c6

2. 5

33xf(x)= +c

5

3. 7

44xf(x)= +c

7

4. -1f(x)=-x +c

5. 3

22xf(x)= +c

3

6. 32 x

f(x)= +c3

7. 1

2f(x)=2x +c

8. 5

44xf(x)= +c

5

ตงตนทดเทากบ

ส าเรจไปแลวครงหนง

Well began is half one

กรอบควำมรท 2

จาก nx อนทเกรต จะได n+1x

+Cn+1

อนทเกรต แทนดวยสญลกษณคอ อานวา อนทกรล (Integral)

จะได n+1

n xx dx= +C

n+1

f (x)dx=f(x)+C f(x)dx=F(x)+C เราเรยก f (x)dx วา อนทกรลไมจ ากดเขต ของเอฟแดดเอกซดเอกซ

ตวอยำง จงหาปฏยานพนธของฟงกชน โดยใช อนทกรล

1. 4x dx=? วธท า 5

4 xx dx= +C

5 Ans.

2. -7x dx=? วธท า -6

-7 xx dx= +C

-6 Ans.

3. 1

2x dx=? วธท า 3

1 22

2xx dx= +C

3 Ans.

4. 2


2 33

3xx dx= +C

5 Ans.

5. -1


-1 55

5xx dx= +C

4 Ans.

6. xdx=? วธท า 3

22xxdx= +C

3 Ans.

7. xdx=? วธท า 5

44xxdx= +C

5 Ans.

11


จงหำปฏยำนพนธโดยใชสญลกษณอนทกรลไมจ ำกดเขต

1. 2dx ........................................... 2. xdx ...........................................

3. 1

2x dx ...........................................

4. 2

1dx

x ...........................................

5. -3x dx ...........................................

6. 5

3

xdx

x ...........................................

7. 2

5

xdx

x ...........................................

8. xdx

x ...........................................

9. x xdx ........................................... 10. 2x xdx ...........................................

ถาขาดความตงใจกเหมอนมนยนตาบอด

The eye is blind if the mind is absent.

12


1. 2x+C

2. 2x

+C2

3. 3

22x+C

3

4. 1- +C

x

5. 2

2+C

2x

6. 3x

+C3

7. 2

-1+C

2x

8. 3

22x+C

3

9. 5

22x+C

5

10. 7

22x+C

7


ใหนกเรยนศกษำ กำรหำปฏยำนพนธของฟงกชนโดยใชสตร ให k และ c เปนคาคงท สตรท 1. kdx =kx+c

2. nx dx 1nc1n

x;

1n

3. kf(x)dx =k f(x)dx

4. [f(x)±g(x)]dx = f(x)dx± g(x)dx ตวอยำงท 1 จงหาปฏยานพนธ โดยใช สตรท 1

kdx =kx+c

1. 5dx=?

5dx= 5x+c Ans. 2. (-7)dx=?

(-7)dx=-7x+c Ans.

3. 3( )dx=?

2

3 3x( )dx= +c

2 2 Ans.

4. 3dx=?

3dx= 3x+c Ans.

คนทคดอะไรงาย ๆ มกพบกบความยงยากเสมอ

He who counts things easy will have many difficulties.

13

ตวอยำงท 2 การหาปฏยานพนธ โดยใช สตรท 2

nx dx 1n;c1n

x 1n

1. 3x dx=?

4

3 xx dx= +c

4 Ans.

2. 2tdt=?

2

22t2tdt= +c=t +c

2 Ans.

3. -2t dt=?

-1

-2 -1tt dt= +c=-t +c

-1 Ans.

ตวอยางท 3 การหาปฏยานพนธโดยใช สตรท 3 kf(x)dx =k f(x)dx

1. 24x dx=?

3

2 4x4x dx= +c

4 Ans.

2. 47x dx=?

5

4 7x7x dx= +c

5 Ans.

3. 3 xdx=?

3

23x3 xdx= +c

3

2

Ans.

4. 53x dx=? 5 53x dx=3 x dx

63x

= +c6

6x

= +c2

Ans.

14


1. 2dx ...........................

2. 3dt ...........................

3. 1dy

2 ...........................

4. 1du

3 ...........................

5. udu ...........................

6. 3u du ...........................

7. 3xdx ...........................

8. 2x

dx3

...........................

9. 23x dx ...........................

10. 2

3dx

x ...........................

คนทจะเอาชนะตองตอส

We that will conquer must fight.

15


1. 2x+c 2. 3t+c

3. y+c

2

4. u+c

3

5. 2u

+c2

6. 4u

+c4

7. 23x

+c2

8. 3x

+c9

9. 33x

+c2

10. -1-3x +c

หรอ -3+c

x


ใหนกเรยนศกษาตวอยางการหาปฏยานพนธโดยใช สตรท 4

f(x)±g(x) dx= f(x)dx± g(x)dx

ตวอยำงท 1 จงหาปฏยานพนธตอไปน 1. 2 5(x +x )dx=?

2 5 2 5(x +x )dx= x dx+ x dx

3 6x x

= + +c3 6

Ans.

2. 3 4(x -x )dx=?

3 4 3 4(x -x )dx= x dx- x dx

4 5x x

= - +c4 5

Ans.

3. 1

2 2(x +3x +4x)dx=?

1 1

2 22 2(x +3x +4x)dx= x dx+3 x dx+4 xdx

3

3 22x 3x 4x= + + +c

33 2

2

3

3 22x 2x

= + +2x +c3

Ans.

4. 3

2

x -3dx=?

x

3 3

2 2 2

x -3 x 3dx= - dx

x x x

-2= xdx-3 x dx

2 -1x 3x

= - +c2 -1

2x 3

= + +c2 x

Ans.

16

ตวอยำงท 2 จงหาคาของ 2-6 x dx=?

3 x

วธท ำ -1 1

3 22

-6 x dx= 2x -6x dx3 x

-1 1

3 2=2 x dx-6 x dx

-1 1

+1 +13 22x 6x

= - +c-1 1

+1 +13 2

2 3

3 22x 6x= - +c

2 3

3 2

2 3

3 2=3x -4x +c Ans.

ตวอยำงท 3 ให 2dy x +x+1

=dx x

จงหา y

วธท ำ จากโจทย 2dy x x 1

= + +dx x x x

3 1 -1

2 2 2dy

=x +x +xdx

3 1 -1

2 2 2dy= x +x +x dx

3 1 -1

2 2 2dy= x +x +x dx

3 1 -1

2 2 2dy= x dx+ x dx+ x dx

5 3

12 22

2x 2xy= + +2x +c

5 3 Ans.

17

ตวอยำงท 4 จงหาคาของ 3 2x x -2x dx

วธท ำ 3 2 4 3x x -2x dx= x dx-2 x dx

5 4x 2x

= - +c5 4

5 4x x

= - +c5 2

Ans.

ตวอยำงท 5 ให 2

3

t +2t-1f (t)=

t จงหา f t

วธท ำ จาก 2

3 3 3

t 2t 1f (t)= + -

t t t

1 1 -1

2- 1-3 3 3f t =t +2t -t

5 2 -1

3 3 3f t =t +2t -t

5 2 -1

3 3 3f t dt= t dt+2 t dt- t dt

8 253 33

3t 3 3tf t = +2 t - +c

8 5 2

8 5 2

3 3 33t 6t 3tf t = + - +c

8 5 2 Ans.

18


จงหา ปฏยานพนธของฟงกชนตอไปน

1. 23x -2x-5 dx=?

2. 1

-2 2dy

=5x +2x +1dx

จงหาคา y

3. 2dy=2t-3t -2

dx จงหาคา y

4. 4 -510x -8x -2 dx=?

5. 23 x + dx=?

x

6. 5

4

x -2xdx=?

x

7. 4

3

2x -xdx=?

x

8. 2x -3+x dx=?

อะไรทแกไมไดตองอดทนตอไป What cannot be cured must be endured.

19


1. 3 2x -x -5x+c

2. 3

2-5 4xy= + +x+c

x 3

3. 2 3y=t -t -2t+c 4. 5 -42x +2x -2x+c

5. 3 1

2 22x +4x +c

6. 2

-2x+x +c

2

7. 2 1x + +c

x

8. 7

3 22

2x-2x + +c

7


นกเรยนศกษาตวอยางการหาปฏยานพนธของฟงกชนเตมรป

ตวอยำงท 1 ให 3 2f x =x +4x -6 เมอก าหนด f 1 =5 จงหา f x

วธท ำ โจทยก าหนด f x ให จะหา f x ตองใชการอนทเกรต จาก 3 2f x =x +4x -6

3 2f x dx= x +4x -6 dx

3 2f x dx= x dx+4 x dx- 6dx

จะได 4 3x 4x

f x = + -6x+c............(1)4 3

จาก f 1 =5 จะไดวา

4 31 4(1)

5= + -6(1)+c4 3

เพราะฉะนน 1 4c=5+6- -

4 3

60+72-3-16c=

12

113c=

12

แทนคา (1) จะได

4 3x 4x 113

f x = + -6x+4 3 12

Ans.

20

ตวอยำงท 2 ให 2

2 3f (x)=2x -4x +1 จงหา f x ซงกราฟดงกลาวนนผานจด 0,5

วธท ำ จาก 2

2 3f (x)=2x -4x +1 อนทเกรต

2

2 3f x dx= 2x -4x +1 dx

5

3 32x 4xf x = - +x+c

53

3

5

3 32x 12xf x = - +x+c

3 5

กราฟ f x ผานจด 0,5 แสดงวา x=0 และ f x =5 แทนคา (1) ; 5 0 0 0 c , c=5

แทนคา c จะได

5

3 32x 12xf x = - +x+5

3 5Ans.

ตวอยำงท 3 ให

2 2f t = 2t+1 t-6 และ

f 1 =2 จงหา f t วธท ำ จาก

2 2f t = 2t+1 t-6

2 2f t = 4t +4t+1 t -12t+36 4 3 2f t =4t -44t +97t +132t+36 4 3 2f t dt= 4t -44t +97t +132t+36 dt

5 4 3 24t 44t 97t 132t

f t = - + + +36t+c5 4 3 2

5 3

4 24t 97tf t = -11t + +66t +36t+c..........(1)

5 3

แทนคา t=1 ; เมอ 1 2f ใน (1)

4 972= -11+ +66+36+c

5 3

-1832c=

15

ดงนน 5 3

4 24t 97t 1832f t = -11t + +66t +36t-

5 3 15 Ans.

21

กำรหำปฏยำนพนธ อนดบท สอง

1. อตราการเปลยนแปลงของความชนของเสนสมผส ณ

จด (x,y) ใด ๆ คอ f (x) หรอ 2

2

d y

dx

ให f (x) อนทเกรตครงท 1 ได f (x) อนทเกรตครงท 2 ได f(x) 2. ความเรงของการเคลอนทของวตถ ณ เวลา t ใด ๆ

คอ f (t) หรอ 2

2

d s

dt

ให f (t) อนทเกรตครงท 1 ได f (t) อนทเกรตครงท 2 ได f(t) ตวอยำงท 4 ให f x =2x+1 และ f x =2 ท x=-1 และ y=2 จงหา f x วธท ำ ก าหนด f x ตองอนทเกรต 2 ครงดงน จาก f x =2x+1 f x dx= 2x+1 dx 2

1f x =x +x+c ...........................(1) ก าหนดให f (x)=2 ท x=-1

2

12=(-1) +(-1)+c 1c =2 แทนคาใน(1) 2f x dx=x +x+2

อนทเกรตครงท 2 จะได 3 2

2

x xf x = + +2x+c

3 2

ก าหนดให f x =y=2

เมอ x=-1, 3 2

2

-1 -12= + +2(-1)+c

3 2

2

23c =

6

ดงนน 3 2x x 23

x = + +2x+3 2 6 Ans.

ไมมอะไรยากส าหรบผทตงใจจรง

NOTHING IS DIFFICULT TO A WILLING MIND.

22

ตวอยำงท 5 ให f (x)=2 โดยท f x =4 ทจด 1,4 และเปนจดบนเสนโคง y=f x จงหา f x วธท ำ จาก f x =2 อนทเกรตจะได 1f x =2x+c .............(1) ก าหนดให f (x)=4 เมอ x=1 แทนคาใน (1) 14=2(1)+c

1c =2 แทนคา 1c ใน (1)

f x =2x+2 อนทเกรตจะได

2

2f x =x +2x+c ............(2) ก าหนดใหจด 1,4 เปนจดบนกราฟ f x แสดงวา f x =4 เมอ 1x แทนคาใน (2) 2

24=1 +2(1)+c

2c =1 แทนคาใน (2) จะได 2f x =x +2x+1 Ans.

ไมวาจะท าอะไรตองท าอยางสดความสามารถ What ever you do with all your might.

23


จงหา f x ตามเงอนไขทก าหนดใหแตละขอตอไปน

1. ให f x =2x-3 และ f 0 =5 2. ให 2f x =6x -4 และ f 0 =3,000

3. ให 20

f x =x

และ f 1 =40

4. ให f x =x และ f 0 =1;f 0 =2 5. ให f x =1 และ f 1 =2;f 2 =6 6. ให f x =2x+1 และ f 1 =4;f 0 =5

ความฉลาด...................ตองซอดวยประสบการณ WISDOM MUST BE BOUGHT BY EXPERIENCE

24


1. 2x -3x+5 2.

3 22x -2x +3,000

3. 40 x

4. 3x

+x+26

5. 2x

+x+22

6. 3 2x x

+ +2x+53 2


ใหนกเรยนศกษำเกยวกบขอควำมทบงบอกวำเปนอนพนธของฟงกชน f(x)

อนพนธอนดบหนง

1. อตราการเปลยนแปลงของ Y เทยบกบ

ขณะ X ใด ๆ คอ f (x) หรอ dy

dx

2. ความชนของเสนสมผสเสนโคง y=f(x) ณ จด (x,y) ใด ๆ คอ f (x) 3. ความเรวของการเคลอนทของวตถ ณ เวลา t ใด ๆ

คอ f (x) หรอ ds

dt

อนพนธอนดบสอง

1. อตราการเปลยนแปลงของความชนของเสนสมผส ณ

จด (x,y) ใด ๆ คอ f (x) หรอ 2

2

d y

dx

2. ความเรงของการเคลอนทของวตถ ณ เวลา t ใด ๆ

คอ f (t) หรอ 2

2

d s

dt

25

ตวอยำงท 1 จงหาสมการของเสนโคงทผานจด 2,1 และมความชนของเสนสมผส ทจด x,y ใด ๆ เทากบ 3x วธท ำ ใหสมการเสนโคงเปน y=f(x) จากความชนทจด ใดๆ f (x)=3x อนทเกรตจะได f (x)dx= 3xdx

23x

f x = +c.............(1)2

เสนโคงผานจด 2,1 แสดงวา f(x)=1

เมอ X=-2 แทนคาใน (1) 23(-2)

1= +c2

c=-5 แทนคา c ใน (1 )

23xf x = -5

2

เปนสมการเสนโคง Ans. ตวอยำงท 2 ถาก าหนดความชนเสนโคงทจด x,y ใด ๆ เปน 23x -4x-5 แลวจงหาสมการของเสนโคง ทผานจด 1, 6 วธท ำ ใหสมการเสนโคงเปน y=f(x) จากความชน 2f x =3x -4x-5 ใชการอนทเกรต 2f x dx= 3x -4x-5 dx

3 23x 4x

f x = - -5x+c3 2

3 2f x =x -2x -5x+c..............(1) เสนโคงผานจด 1, 6 ; X=1 และ f x =-6 แทนคาใน (1) ,

3 2-6=1 -2(1) -5(1)+c ดงนน c=0 แทนคา c=0 ใน (1) 3f x =x -2x-5x เปนสมการเสนโคง Ans.

26

ตวอยำงท 3 ใหอตราการเปลยนแปลงของความชนของ

เสนสมผสเสนโคงเทากบ 4

6

x และเสนโคงดงกลาว สมผส

เสนตรง 2x-y=5 ทจด 1, 3 จงหาสมการเสนโคง y=f x วธท ำ ใหสมการเสนโคงเปน y=f x จากอตราความชน -4f x =6x

ใชการอนทเกรตจะได -3

1

6xf (x)= +C

-3

-3

1f (x)=-2x +C .........(1) กราฟ y=f x สมผสเสนตรง 2x-y=5 ทจด 1, 3 แสดงวา ทจด X=1 ความชนของเสนสมผส y=2x-5 คอ

f (1)=2 แทนคาใน (1) -3

12=-2(1) +C ดงนน 1C =4 แทนคา จะได -3f x =-2x +4 ใชการอนทเกรตอก

-2

2f x =x +4x+C ..........(2) จด 1, 3 อยบนกราฟเสนโคง แสดงวา X=1 และ f x =-3 แทนคาใน (2) จะได -2

2-3=(1) +4(1)+C ดงนน 2C =-8 แทนคา 2C จะได -2f x =x +4x-8 เปนสมการเสนโคง Ans.

27


1. จงหาสมการของเสนโคงทผานจด P(-1,3) และมความชนของเสนสมผส ทจด x,y ใด ๆ เทากบ 2x

2. เสนโคงทผานจด (1,2) และมความชนทจด x,y ใด ๆ เปน 3 เทา ของ X จะตดกราฟของเสนตรง y=2x ทจดใด

3. ให f x =12x จงหาสมการเสนโคง f x ทผานจด P(-1,2) และ เสนสมผสทจด P ขนานกบเสนตรง 4x-2y+1=0

4. ให f x =6x จงหาสมการเสนโคง f x ถาเสนโคงผานจด P(1,2) และมความชนทจด P เทากบ 3

5. ถาอตราการเปลยนแปลงของความชนของเสนสมผสเสนโคง y=f(x) เทากบ X+2 ทจด 1,2 ความชนของเสนสมผส เทากบ -1 จงหา f 3

28


1. 2f x =x +2 2. 1,2 และ

1 2,

3 3

3. 3f x =2x -4x 4. 3f x =x +1

5. 22

3


ใหนกเรยนศกษำจำกตวอยำงตอไปน ตวอยำงท 1 บรษทแหงหนงผลตสนคาชนดหนงออกจ าหนาย ตางประเทศ ถา X เปนจ านวนสนคา (หนวยเปนชน) ทผลตได และมอตราการเปลยนแปลงของตนทนเมอเทยบกบจ านวนสนคา ทผลตไดเทากบ 23x -4 บาท กอนเรมการผลตสนคาบรษทตอง ลงทน ดานอปกรณและสถานทเปนเงน 50,000 บาท จงหาวา ตนทนการผลตสนคา จ านวน 5 ชน เปนเทาไร วธท ำ ใหตนทนในการผลตสนคา X ชน เปน f x จากโจทยจะได 2f x =3x -4 ใชการอนทเกรตจะได 3f x =x -4x+C.............(1) กอนเรมการผลต X=0ลงทน f x =50,000 บาท แทนคาใน (1) 50,000=0-0+C แทนคา C ใน (1) จะได 3f x =x -4x+50,000 สนคา 5 ชน X=5 จะได 3f 5 =5 -4(5)+50,000 นนคอ ตนทนในการผลต 5 ชน เทากบ 50,105 บาท Ans.

ตวอยางท 2 วตถชนหนงเคลอนทในแนวเสนตรงดวยความเรง 2 ฟต/วนาท 2 ถาภายใน 2 วนาทแรกวตถดงกลาวเคลอนท ได ระยะทาง 200 ฟตและทเวลาเรมตนความเรวของวตถเทากบ 30 ฟต/วนาทจงหาสมการของความเรวและระยะทางในรปของเวลา วธท า ใหเวลาเปน t วนาท ระยะทางเปน S=f t ฟต ความเรวเปน V=f (t) ฟต/วนาท ความเรงเปน a=V =f t ฟต/วนาท 2

จากโจทย f t =2 อนทเกรตได 1f t =2t+C .................(1) เวลาเรม t=0 ความเรว f t =30

29

แทนคาใน (1) จะได 1 130=2(0)+C C =30 แทนคาใน (1) จะได f t =2t+30 *****

ใชการอนทเก 2

2

2tf t = +30t+C ..............(2)

2

ภายใน 2 วนาท t=2 ไดระยะทาง f t =200 ฟต แทนคาใน (2) 2

2200=2 +30(2)+C ดงนน 2C =136 แทนคา 2C ใน(2) จะได 2f t =t +2t+136 ***** สมการความเรวคอ v=f (t)=2t+30 และระยะทางคอ 2S=f t =t +2t+136 ตวอยำงท 3 จากยอดตกแหงหนงซงสง 160 ฟตชายคนหนง หยอนกอนหนลงมา จงหาวาเมอใดทกอนหนกระทบพน (ไมคดแรงตานทานของอากาศ) วธท ำ กอนหนตกลงมาดวยแรงดงดดของโลก ในทางฟสกสความเรงเทากบ 32 ฟต/วนาท 2

จะได dva= =32

dt (a คอ ความเรง)

ใชอนทเกรตจะได 1V=32t+C ..................(1) ทจดเรมตน t=0 และ V=0 จะได 1C =0 ให V คอ ความเรว และ S คอระยะทาง

ดงนน dsV= =32t

dt

ใชอนทเกรต 2

2

32tS= +C

2

2

2S=16t +C ทจดเรมตน t=0 และ S=0 จะได 2C +0 จะได 2S=16t แตตกสง 160 ฟต ; 2160=16t

2t =10 จะได t= 10 นนคอ กอนหนจะตกถงพนดนตองใชเวลา 10 วนาท Ans.

30

ตวอยำงท 4 จากการผลตสนคาเพอไปจ าหนายของบรษทแหง หนงพบวาอตราการเปลยนแปลงของก าไรเมอเทยบกบ จ านวนสนคาทผลตไปจ าหนายเทากบ 46-4x บาท เมอ x คอจ านวนชนของสนคา ถาในการผลตสนคาไป จ าหนาย 5 ชน บรษทไดก าไร 110 บาท จงหาก าไร ทบรษทจะไดรบในการผลตสนคาไปจ าหนาย 10 ชน วธท ำ ใหก าไรจากการขายสนคา X ชน เปน f x จากโจทย f (x)=46-4x ใชวธการอนทเก 2f x =46x-2x +C...........(1) แตโจทยบอก X=5 และ f x =110 แทนคาใน (1) จะได 2110=46(5)-2(5 )+C ดงนน C=-70 แทนคา C ใน (1) จะได 2f x =46x-2x -70 ถาจ าหนาย 10 ชน X=10 จะได 2f x =46(10)-2(10 )-70

190 นนคอ บรษทไดก าไร 190 บาท Ans.

31


1. จากยอดตกซงสงจากพนดน 400 ฟต กอนหนกอนหนงถกหยอนลงมาจงหา

1.1 เมอใดทกอนหนจะตกถงพน 1.2 ความเรวขณะทกอนหนตกกระทบพนดน

2. วตถชนหนงเคลอนทตามแนวเสนตรงจากจดเรมตน ถาความเรงของวตถในขณะเวลา t มคาเทากบ 6t-4 และเมอ t=1 จะไดระยะทาง S=2 หนวย จงหา

2.1 ความเรวของวตถขณะเวลา t 2.2 ระยะทาง S เมอ t = 2

3. ในการลงทนผลตสนคาของโรงงานแหงหนง ปรากฏวาอตราการเปลยนแปลงของตนทนตอจ านวนสนคาเทากบ 4x-30 บาท เมอ X คอ จ านวนชนของสนคาทผลตได ถาในขณะทยงไมไดท าการผลตสนคามตนทนเทากบ 400 บาท จงหาตนทนในการผลตสนคาจ านวน 10 ชน

4. ตวแทนจ าหนายสนคาของบรษทแหงหนงพบวาอตราการเปลยนแปลงของก าไรตอจ านวนสนคาเทากบ 120+4x บาท เมอ X คอ จ านวนสนคาทจ าหนายได ในการจ าหนายสนคาตวแทนจะไดก าไร 100 บาท เมอจ าหนายได 2 ชน จงหาก าไรทตวแทนจ าหนายสนคาจะไดรบ ถาจ าหนายไป 5 ชน

32


1. 1.1 t=5 1.2 V=160 วนาท 2. 2.1 2V=3t -4t 2.2 f 2 =3 3. 300 บาท 4. 502 บาท


ใหนกเรยนศกษำนยำมตอไปน

นยำมอนทกรลจ ำกดเขต ถาให F(x) เปนปฏยานพนธของ f(x) อนทกรลจ ากดเขตของฟงกชนตอเนอง f บนชวง x=a ถง x=b

คอ b

a

b bf(x)dx=F(x) = F x

a a

=F(b)-F(a) เมอ F (x)=f(x) โดยท a คอขอบลาง และ b คอขอบบน

สรปวธกำรค ำนวณ 1. หา F(x) โดยการน า f(x) ไปหาอนทกรลไมจ ากดเขตแตไมตองบวกคาคงตว เชน f(x)dx=F(x) หรอ f x dx=f(x) 2. เมอได F(x) จากขอ 1 แลว ใหน าคา a และ b ไปแทนในฟงกชน F(x) และค านวณ F b -F a

ตวอยำงท 1 จงหา 1

03-x dx=?

วธท ำ ให f x =3-x จะได f(x)dx= (3-x)dx

นนคอ 2x

F x =3x-2

21 5

b=1;F(1)=3(1)- =2 2

และ

a=0;F(0)=3(0)-0=0

นนคอ 2

1

0

1x 53-x dx= 3x- =F(1)-F(0)=

02 2

Ans.

33


2

-13x -2x dx=?

วธท ำ ให 2f(x)=3x -2x

จะได 3 23x 2x

F x = -3 2

3 2F x =x -x จาก 3 2b=2;F 2 =2 -2 =4 จาก 3 2a=-1;F -1 =(-1) -(-1) =-2 จะได f(2)-F(-1)=4-(-2)=6 Ans.

แบบสน ๆ หรอ 2

2 3 2

-1

23x -2x dx= x -x

-1

3 23 22 2 1 1

4 ( 2) 6 Ans.


-22x-1 =?

วธท ำ 2

2

-2

22x-1 dx= x -x

-2

222 2 2 2

2 6 4 Ans.


2

-1x -4x dx=?

วธท ำ 3

22 2

-1

2xx -4x dx= -2x

-13

33

2 212

2(2) 2( 1)3 3

16 7

3 3

3 Ans.

34


1. 4

13dx=?

2. 3

13xdx=?

3. 1

2

-1x dx=?

4. 5

17-x dx=?

5. 2

2

-16x +1 dx=?

6. 3

2

13x +x-2 dx=?

7. 9

0

xdx=?

2

8. 2

16 x+ x dx=?

ทกอยำงมอปสรรคเมอเรมตน

EVERYTHING IS DIFFICULT AT FIRST

35


1. 9 2. 12

3. 2

3

4. 16 5. 21 6. 26 7. 9 8. 5 8 2

กรอบควำมรท 9 ใหนกเรยนศกษำเกยวกบสมบตในกำรหำอนทกรลจ ำกดเขต

ขอท a

a1. f(x)dx=0

ตวอยำงท 1 จงหำ 5

5xdx=?

วธท ำ 2

5

5

5xxdx=

52

25 250

2 2 Ans.

ขอท b a

a b2. f(x)dx=- f(x)dx

ตวอยำงท 2 จงหำ 1

2

-3x +3x-4 dx และ

-3

2

1- x +3x-4 dx

วธท ำ 1

3

1

3

232 4x

2

3x

3

xdx43xx

1 3 27 274 12

3 2 3 2

56........................(1)

3

3 2

-32

1

-3x 3xx +3x-4 dx=- + -4x

13 2

27 27 1 312 4

3 2 3 2

56........................(2)

3

สรปไดวำ 1 2

36

ตงตนดเทำกบ ส ำเรจไปแลวครงหนง

WELL BEGAN IS HALF DONE.

ขอท b c b

a a c3. f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx เมอ ,c a b

ตวอยำงท 3 จงแสดงวำ

3 2 3

2 2 2

-1 -1 2x -3x dx= x -3x dx+ x -3x dx

วธท ำ 3 2

32

-1

3x 3xx -3x dx= -

-13 2

3 2127 27 3( 1)

3 2 3 2

18 27 1 3

2 3 2

9 11

2 6

8.......................(1)

2

3 2

22

-1

2x 3xx -3x dx= -

-13 2

8 1 36

3 3 2

10 11

3 6

3........................(2)

2

3 2

32

2

3x 3xx -3x dx= -

23 2

27 89 6

2 3

9 10

2 3

7

.......................... 36

จำก 8 3 7

3 2 6

8 8

3 3

สรป จะไดวำ 1 2 3

37

ขอท b b

a a4. kf(x)dx=k f(x)dx;k เปนคำคงตว

ตวอยำงท 4 จงแสดงวำ 3 32 2

-1 -13x dx=3 x dx

วธท ำ 33

32

-1-1

3x3x dx=

3

3

27 1 28.......................... 1

33

32

-1-1

x3 x dx=3

3

3

1273

3 3

13 9

3

28.......................... 2 สรปไดวำ 1 2

ขอท b

a5. kdx=k b-a ;k เปนคำคงตว

ตวอยำงท 5 จงหำคำของ 6

14dx=?

วธท ำ 6

6

11

4dx=4x

4(6) 4(1) 4 6 1 20 Ans.

38

ขอท b b b

a a a6. f x ±g x dx = f x dx± g x dx


3 3 3

2 2

0 0 03x +2x dx= 3x dx+ 2xdx

วธท ำ 3 3 33 2 3 2

0 0 0

3x 2x 3x 2x+ = +

3 2 3 2

27 9 0 0 27 0 9 0

36 36 แสดงวำ

3 3 32 2

0 0 03x +2x dx= 3x dx+ 2xdx


2 2 2

3 2 3 2

1 1 1x -2x dx= x dx- 2x dx

วธท ำ 24 3

2 23 2

1 11

x 2x- = x dx- 2x dx

4 3

2 24 3 4 3

1 1

2 2(2) 1 2 2

4 3 4 3 4 3

x x

16 3 8 16 1 16 24

3 12 4 4 3 3

4 5 15 14

3 12 4 3

16 5 45 56

12 12 12

11 11

12 12

แสดงวำ 2 2 2

3 2 3 2

1 1 1x -2x dx= x dx- 2x dx

ถำขำดควำมสนใจกเหมอนมนยตำบอด

The eye is blind if the mind is absent.

39


1.จงใชสมบตของอนทกรลจ ากดเขตตรวจสอบวาขอความใด จรงหรอเทจ

1. 6

2

1x +7 dx

3 72 2

0 3= x +7 dx+ x +7 dx

2. 2

28+3x dx 0

3. 10

15dx 50

4. 7

3

03x dx

73

0=3 x dx

5. 2

2

-19+7x-x dx

2 2 22

-1 -1 -19dx+ 7xdx- x dx

6. 4

23

1dx

x

32

4=- x dx

7. 4

-23dx 18

8. 3

1xdx

4 3

1 4= xdx+ dx

2. จงหาอนทกรลจ ากดเขตตอไปน

1. 3

-3dx ?

2. 2

05-2x dx ?

3. 5

22

2dx

7x ?

4. 3 2

4

21

x +x -1dx

x ?

5. 4

1

13 x + dx

2 x

?

คนทคดอะไรงาย ๆ มกพบกบความยงยากเสมอ He who counts things easy will have

many difficulties.

40


1. 1. เทจ 2. จรง 3. เทจ 4. จรง 5. จรง 6. เทจ 7. จรง 8. เทจ 2. 1. 6 2. 6

3. 3

35

4. 39

4

5. 15

กรอบควำมรท 10 ใหนกเรยนศกษาตวอยางการประยกตของอนทกรลจ ากดเขตตอไปน

ตวอยำงท 1 บรษทแหงหนงตองการผลตสนคาชนดหนง โดยทอตราการเปลยนแปลงของตนทนตอจ านวนสนคาท ผลตเทากบ 20.03x +0.12x+5 บาท เมอ x เปน จ านวนสนคาทผลต จงหาวาถาบรษทผลตสนคาเพมจาก 10 ชน เปน 20 ชน ตนทนทใชในการผลตจะเพมขนเทาใด วธท ำ ให f x เปนตนทนในการผลตสนคา x ชน จากโจทย 2f x =0.03x +0.12x+5

จะได 20 20

2

10 10f x dx= 0.03x +0.12x+5 dx

20

3 2

10

= 0.01x +0.06x +5x

80 24 100 10 6 50

138 นนคอ ตนทนทใชในการผลตจะเพมขน 138 บาท Ans. ตวอยำงท 2 โรงงานฟอกยอมผาแหงหนงไดปลอยของเสย ลงในแมน าเจาพระยา ดวยอตราซงกองควบสงแวดลอมทาง

น าไดท าการวดไดดงน 5t;01)t(t(t)p

โดยท P t คอ จ านวนของเสยทถกปลอยลงในแมน า เจาพระยามหนวยเปนตนภายในเวลา t ป จงหาจ านวน ของเสยทถกปลอยลงในแมน าเจาพระยาภายในชวงทโรงงาน ด าเนนการตงแตปท 3 ถงปท 5

41

คนทจะเอำชนะตองตอส

We that will conquer must fight.

วธท ำ P t เปนจ านวนของเสยทถกปลอยลงใน แมน าเจาพระยา ภายในเวลา t ป จากโจทย P t =t t+1

2t t จะได

5 52

3 3P t dt= t +t dt

53 2

3

t t= +

3 2

125 25 27 9

3 2 3 2

นนคอจ านวนของเสย 122

3 ตน Ans.

ตวอยำงท 3 บรษทน ามนแหงหนงไดประมาณการขดเจาะ น ามน ในพนทแหงหนงไววา อตราราการเปลยนแปลงของ ปรมาณน ามนดบทน ามาใชตอป (หนวยเปนพนบารเรล) เมอเทยบกบจ านวนปทเรมน ามาใชเทากบ 2100t +5 โดยท t คอ เวลา (ป) และ 0 20t จงหาจ านวน น ามนดบทน ามาใช ในชวงปท 10 ถงสนปท 20 วธท ำ ให f t เปนปรมาณน ามนดบทน ามาใชในเวลา t ป จากโจทย -2f t =100t +5

จะได 20 20

-2

10 10f t dt= 100t +5 dt

20

-1

10

= -100t +5t

20

10

-100= +5t

t

100 1005(20) 5(10)

20 10

95 40 55 นนคอ จ านวนน ามนดบทน ามาใชในชวงเวลาดงกลาว เทากบ 55,000 บารเรล Ans.

42


1. บรษทแหงหนงผลตสนคาชนดหนงไปจ าหนาย โดยทอตราการเปลยนแปลงของก าไรตอจ านวนสนคาทผลตเทากบ 42-2x เมอ x คอ จ านวนสนคาทผลต จงหาก าไรทจะไดรบเพมขน ถาบรษทผลตสนคาไปจ าหนาย เพมจาก 10 ชนไปเปน 20 ชน

2. ถาอตราการเปลยนแปลงของราคาสนคาตอจ านวนสนคา เทากบ 2+2x บาท เมอ x คอจ านวนสนคา จงหาราคาสนคาทเปลยนแปลงไปเมอจ านวนสนคาเปลยนจาก 5 ชน เปน 10 ชน

3. ถารถยนตคนหนงวงดวยอตราเรว 220t+t ไมลตอชวโมง จงหาระยะทางทรถยนตวงไดในชวงเวลา t=0 ถง t=3 ชวโมง

4. อตราการเปลยนแปลงของจ านวนแบคทเรยเทากบ 212 1t t เมอ t คอจ านวนชวโมงนบจากเวลาเรมตน จงหาจ านวนแบคทเรยทเปลยนแปลงไปในระหวางเวลา 1 ถง 3 ชวโมง

ไมวำจะท ำอะไรตองท ำอยำงสดควำมสำมำรถ What ever you do with all your might.

43

Y

f(x)

4 (4,4)

3

2

1

0 1 2 3 4 X


1. 120 บาท 2. 85 บาท 3. 99 ไมล 4. 344 ตว อะไรทแกไมได ตองอดทนตอไป What cannot be cured must be endured.


ใหนกเรยนศกษำ กำรหำพนทภำยใต กรำฟ

เนองจากพนทรปสามเหลยม 1

2 ฐาน สง

14 4

2

8 ตารางหนวย ใหนกเรยนสงเกต อนทกรลจ ากดเขตของ f x ตงแต X=0 ถง X=4

พบวา 4 4

0 0f x dx= xdx

42

0

x

2

24

02

ตารางหนวย

ผลลพธทไดมคาเทากบพนททอยระหวางกราฟ f x =X ตงแต X=0 ถง X=4

ไมวำจะท ำอะไรตองท ำอยำงสดควำมสำมำรถ

What ever you do with all your might.

44

พนทภำยใตเสนโคงเมอเสนโคงอยเหนอแกน X หรอ f x 0

ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด ,a b และ f x 0 แลวพนท ทลอมรอบดวยเสนโคง y=f x กบแกน X

เสนตรง X=a และ X=b คอพนท b

aA= f(x)dx

ตวอยำงท 1 จงหาพนทลอมรอบดวยเสนโคง 2f x =6x-x กบแกน X ตงแต X=1 ถง X=4 วธท ำ ให A เปนพนททตองการ

จะได 4

1A= f x dx แทนคาจะได

4

2

1A= 6x-x dx

43

2

1

x= 3x -

3

64 148 3

3 3

48 21 3

24

นนคอ พนทใตเสนโคงเทากบ 24 ตร.หนวย Ans.

45

ตวอยำงท 2 จงหาพนทภายใตเสนโคง 2f x =x +1 กบแกน X ตงแต X=-1 ถง X=2 วธท ำ ให A เปนพนททตองการ

จะได 2

-1A= f x dx

2

2

-1A= x +1 dx

23

-1

x= +x

3

33 122 1

3 3

14 4

3 3

18

3

นนคอ พนทใตเสนโคงเทากบ 18

3 ตร.หนวย Ans.

ตวอยำงท 3 จงหาพนททถกลอมรอบดวยกราฟ 2y=9-x กบแกน X วธท ำ หาจดตดแกน X จากสมการ 2y=9-x ให y=0 , 29-x =0 x-3 x+3 =0 ดงนน

3

-3A= f x dx

3

2

-3= 9-x dx

33

-3

x= 9x-

3

33 -33= 9(3)- - 9 -3 -

3 3

18 18 36 นนคอ พนททตองการคอ 36 ตร.หนวย Ans.

46

ในกรณทเสนโคงอยใตแกน X หรอ f(x) 0 พนทระหวางเสนโคง y=f x กบแกน X ตงแต X a ถง X b คอ

b

a-f x dx หรอ

b

a- f x dx

ตวอยำงท 4 จงหาพนทระหวางเสนโคง 2f x =x -2x กบแกน X ตงแต X=1 ถง X=2

วธท ำ ให A เปนพนททตองการหา 2

1A= -f(x) dx

2

2

1= - x -2x dx

2

2

1= 2x-x dx

23

2

1

x= x -

3

3 3

2 22 1= 2 - - 1 -

3 3

8 14 1

3 3 2

3

นนคอ พนททตองการเทากบ 2


หมำยเหต ถานกเรยนใช b

af x dx จะไดผลออกมาเปน

2

3

แตคาของพนทจะเปนจ านวนจรงลบไมได

47

ตวอยำงท 5 จงหาพนททถกลอมรอบดวยกราฟ 2y=x -2x กบแกน X และเสนตรง X=-1 และ X=4 วธท ำ หาจดตดแกน X โดยให y=0 จะได 2x -2x=0

x x-2 =0.........................x=0,2 มพนททตองการหา 3 สวน จะตองใช

b c b

a a cf x dx= f x dx+ f x dx

สวนท 1. f x 0

0

-1A= f x dx

0

2

-1= x -2x dx

03

2

-1

x= -x

3

1 4

0 0 13 3

สวนท 2. f x 0

2

0A= -f x dx

2

2

0= 2x-x dx

23

2

0

x= x -

3

8 4

= 4- - 0-0 =3 3

สวนท 3. f(x) 0

A 4 4

2

2 2= f x dx= x -2x dx

43

2

2

x= -x

3

3 3

2 24 2= -4 - -2

3 3

64 8 2016 4

4 3 3

ดงนน มพนททงหมด 4 4 20 28

3 3 3 3 ตร.หนวย Ans.

48

ตวอยำงท 6 จงหาพนททลอมรอบดวยกราฟเสน โคง 3y=x -4x กบแกน X และเสนตรง X=-1และ X=3 วธท ำ หาจดตดแกน X ให y=0 จะได 3x -4x=0 2x(x -4)=0 x(x+2)(x-2)=0 x=0,2,-2 พนททตองการหาม 3 สวน ใช

b c b

a a cf x dx= f x dx+ f(x)dx

พนทสวนท 1. f x 0

0

-1A= f x dx

0

3

-1= x -4x dx

04 2

-1

x 4x= -

4 2

1

0 0 24

7

4


2

0A= -f x dx

2

3

0= 4x-x dx

3

3

2= x -4x dx

24

2

0

x= 2x -

4

= 4


3

2( )A f x dx

342

2

x= -2x

4

168 (0 0)

4

81 1618 8

4 4

25

4

พนททงหมด 7 254 12

4 4 ตร.หนวย Ans.

หรอ 3 0 2 3

-1 -1 0 2f(x)dx= f(x)dx+ -f(x)dx+ f(x)dx

49


1. ใหนกเรยนหาพนทระหวางกราฟทก าหนดใหตอไปนกบแกน X

1. y=2x+4 ตงแต X=1 ถง X=3 2. 2y=3x ตงแต X=1 ถง X=2 3. 2y=x +2 ตงแต X=-1 ถง X=0 4. 2y=4-x ตงแต X=-1 ถง X=2

2. จงหาพนทของบรเวณทถกลอมดวยกราฟทก าหนดใหกบแกน X 1. 2f(x)=x+6-x 2. 3 2f(x)=x -4x +3x 3. 3 2f(x)=x -4x +4x

ควำมฉลำด............ตองซอดวยประสบกำรณ Wisdom must be bought by experience.

50


1. 1) 16 ตร.หนวย 2) 7 ตร.หนวย

3) 7

3 ตร.หนวย

4) 9 ตร.หนวย 2.

1) 125


2) 37


3) 4


ไมมอะไรยาก

ส าหรบผทต งใจจรง

Nothing is difficult

to a willing mind.


กำรหำพนทระหวำงกรำฟเสนโคง พจารณาพนทระหวาง f(x) และ g(x) เมอ f(x) g(x) 0 ขอสงเกต f(x) ไมต ากวา g(x) และ เสนกราฟทงสองตองอยเหนอแกน X ในชวง X a ถง X=b พนทระหวาง f(x) กบ g(x) คอ พนท A= พนท B - พนท C จะได

b b

a aA= f x dx- g(x)dx

หรอ b

aA= f(x)-g(x) dx

51

พนทระหวำงเสนโคง ถา f และ g เปนฟงกชนตอเนอง และ f(x) g(x) บนชวง a,b แลวพนทระหวางเสนโคง f(x) และg(x) ตงแต

X=a ถง X=b จะไดพนท b

aA= f(x)-g(x) dx

ใหนกเรยนศกษำตวอยำง

ตวอยำงท 1 จงหาพนทระหวางกราฟ 1f(x)= x+3

2 และ

2g(x)=1-x ตงแต X=-2 ถง X=1

วธท ำ จาก 1f(x)= x+3

2 และ 2g(x)=1-x

เนองจาก f(x) g(x) ตองการหาพนทภายในชวง 2,1

จะได 1

-2A= f(x)-g(x) dx

1

2

-2

x= +3 - 1-x dx

2

1

2

-2

x= x + +2 dx

2

13 2

-2

x x= + +2x

3 4

1 1 8 42 4

3 4 3 4

33

4

นนคอ พนททตองการหาเทากบ 33


52

ตวอยำงท 2 จงหาพนททถกลอมรอบดวยกราฟ 2f(x)=5-x และ g(x)=2-2x วธท ำ โจทยไมก าหนดชวงในการหาพนทมาให แสดงวากราฟตดกน ตองหาจดตดของกราฟ จาก 2y=f(x)=5-x ...............(1)

y=g(x)=2-2x.............(2) 1 2 ;

25-x =2-2x 2x -2x-3=0 x-3 x+1 =0 นนคอ x=3,-1 เนองจาก f(x) g(x) พนทภายในกราฟทงสองตงแต x=-1 ถง x=3

จะได 3

1( ) ( )A f x g x dx

3

2

15 2 2x x dx

3

2

13 2x x dx

33

2

1

33

xx x

27 19 9 3 1

3 3

59

3 32

3

นนคอ พนททตองการเทากบ 32

3ตร.หนวยAns.

53

กจกรรมท 12 1. จงหาพนทระหวางเสนโคงทก าหนดให 1) 2f(x)=x +2x+3 และ g(x)=x+5 2) 2y=x +2x+3 และ y=2x+4 3) 2y=x -4x-10 และ 2y=14-2x-x 2. จงหาพนทระหวางเสนโคง 2y=3-x +x และ y=2x-3

ในชวง 2,4 3. จงหาพนทระหวางเสนโคง 2y=x -2x-3 และ 3y x ในชวง 2,3 4. จงหาพนทระหวางเสนโคง 2y=x +1 และ y=2x-2 ตงแต X=-1 ถง X=2

ถำขำดควำมสนใจกเหมอนนยนตำบอด The eye is blind if the mind is absent.

54


1.

1) 9

2 ตารางหนวย

2) 4


3) 343


2. 94


3. 125


4. 9 ตารางหนวย

คนทจะเอาชนะตองตอส

We that will conquer must

figth.

ตงใจท ำขอสอบหลงเรยน

นะครบ...หำมลอกกน...นะครบพ

55

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทำงกำรเรยน หลงเรยน เรอง กำรอนทเกรต (INTEGRATION)

ค ำชแจง ใหนกเรยนกาเครองหมาย ทบตวอกษรทตรงกบค าตอบทถกทสดเพยงขอเดยว ************************************************************************************ จดประสงค 1. สามารถหาอนทกรลไมจ ากดเขตของฟงกชนได 1. ให f (x)=2x+1 จงหา f(x) ตรงกบขอใด ก. 22x +x+c ข. 2x + x +c

ค. 2x

+x+32

ง. 2+c

2. ให -1

-2 2f (x)=2x +x +3 จงหา f(x) ตรงกบขอใด

ก. -3

2 21

-4x +- x +c2

ข. 1

-1 22x -2x +c

ค. 1

2-2

+2x +3x+cx

ง. 1

-1 2-2x +x +3x+c

3. จงหาคา 3(5-2x+4x )dx ตรงกบขอใด ก. 2-2+6x-12x +c ข. 4 3 2x -x +x -5x+c ค. 26x-12x +2 ง. 3 4 2x -x -x +5+c

4. ให 2 4

2

dy 2-3x -x=

dx x จงหาคา y

ก. -2 0 2x -3x -x +c ข. 3 5

3 x x2x-x - - +c

3 5

ค. 5

3 x2x-x - +c

5 ง.

3-2 x-3x- +c

x 3

5. ให f (x)=-2 โดยท f (-1)=4 และจด (1,2) เปนจดบน เสนโคง y=f(x) จงหา f(x) ก. 24x-x -1 ข. 2-x +5x-2 ค. 22x-x +1 ง. 2-x +6x-3 จดประสงค 2. สามารถหาบทประยกตของอนทกรลไมจ ากดเขตได

6. ใหความชนของเสนสมผสเสนโคงทจด x,y ใด ๆเทากบ x-1

2 จงหาสมการเสนโคง


ก. 2x

-x-22

ข. 2x

-x+32

ค. 2x

+3-x4

ง. 2x -3-x

56

7. ก าหนดความชนเสนโคงทจด ,x y ใด ๆ เปน3 23x -2x -x

x จงหาสมการเสนโคง


ก. 3

22x 16y= -x -x+

3 3 ข.

322x 16

y= -x -x-3 3

ค. 3

22x 16y= -x +x+

3 3 ง.

322x 16

y= -2x -x+3 3

8. ใหอตราการเปลยนแปลงของความชนของเสนสมผสเสนโคง Y=f x เทากบ และทจด 1,3 มความชนเทากบ 1 จงหา f x ก. -1 ข. -2 ค. -3 ง. -4 9. บรษทแหงหนงผลตสนคาออกจ าหนาย มอตราการเปลยนแปลงของตนทนเมอเทยบ กบจ านวนสนคาทผลตเทากบ 22+3x (Xเปนจ านวนสนคา)และกอนการผลตสนคาตอง ลงทน ดานอปกรณการเงน 20,000 บาท จงหา ตนทนการผลตสนคาจ านวน 10 ชน ก. 20,000 บาท ข. 19,000 บาท ค. 21,200 บาท ง. 21,020 บาท 10. วตถชนหนงเคลอนทในแนวตรงดวยความเรง 10 เมตรตอวนาท2 ภายใน 5 วนาท

แรกไดระยะทาง 500 เมตร และเวลาทเรมตน ใชความเรว 40 เมตรตอวนาท จงหาสมการความเรว (V) ในรปของเวลา (t)

ก. V=5t+40 ข. V=10t+40 ค. V=10t+10 ง. 5t

V= -40t2

จดประสงค 3. สามารถหาอนทกรลจ ากดเขตของฟงกชนได


2

-13x -2x+1 dx คอขอใด

ก. 3 ข. 6 ค. 9 ง. -3


3

-1

x-2xdx

2x คอขอใด

ก. -1 ข. -2 ค. -3 ง. 3

2

57

13.จงหา 2

1-

2 dx 2x) - (3x

ก. 6 ข. 5 ค. 4 ง. 3

14. จงหา 3

1

2 dx 2) - x (3x ก. -26 ข. 26 ค. 23 ง. -23

15.จงหา 3

1

2 dx 3) 2x - (x

ก. 14

3 ข. 14

3

ค. 20

3 ง. 20

3

จดประสงค 4. สามารถหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงทก าหนดใหได 16.จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = x2 + 2x – 15 จาก x = -2 ถง x =2 ก. 125

3 ข. 125

3

ค. 164

3 ง. 164

3

17. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = x2+x+1 จาก x = 2 ถง x =3 ก. - 59

3 ข. 59

3

ค. 23

6 ง. 23

6

18. ก าหนดใหอตราการเปลยนแปลงของความตองการ ในการใชไมของสหรฐอเมรกา ป 1970 (t = 0) ถกประมาณโดยสมการ 2Q (t)=12+0.006t เมอ 0 50t โดยมหนวย เปน 1 ลาน ลกบาศกฟต/ป ถา Q(t) เปนจ านวนไมทผบรโภคตองการใชหลงป 1970 (t ป), Q(t) มหนวยเปน 1 ลาน ลกบาศกฟต จงหาจ านวนไมป 1980 ถงป 1990 เทากบขอใด ก. 142 ข. 134 ค. 124 ง. 112 19. พนทระหวางกราฟ 2y=x +1 และ y=x ตงแต x=-1 ถง x=2 ก. 35 ตารางหนวย ข. 4.0 ตารางหนวย ค. 4.5 ตารางหนวย ง. 5.0 ตารางหนวย

58

20. ให f (x)=2-0.2x เมอ0 8x เปนอตราการเปลยนแปลงของราคา(หนวยเปนหมนบาท)ตอจ านวนสนคา x ชน จงหาราคาทเปลยนทเปลยนแปลงไปเมอบรษทผลตสนคาจาก 2 ชน เปน8 ชน ก 64,000 บาท ข. 63,000 บาท ค. 62,000 บาท ง. 60,000 บาท

เฉลยแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน หลงเรยน

เรอง การอนทเกรต (INTEGRATION) ชนมธยมศกษาปท 6

ขอ เฉลย ขอ เฉลย 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ข ค ง ง ค ค ก ค ง ข

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

ค ข ก ข ง ง ข ข ค ง

59

บรรณำนกรม

กองเกยรต โอภาสวงการ. หวใจคณตศำสตร. กรงเทพมหานคร: เทพรตนการพมพ. ณรงค ปนนม. เฉลยขอสอบเขำมหำวทยำลย คณตศำสตร กข ฉบบรวม 10 พ.ศ. กรงเทพมหานคร: ส านกพมพภมบณฑต. ทศพร คลายอดม. (2527). แคลคลสและเรขำคณตวเครำะห 2. มหาวทยาลยรามค าแหง. กรงเทพมหานคร: เทพจ านง แสงสนทรและคณะ. (2538). เฉลยขอสอบเขำมหำวทยำลยแผนกวทย พ.ศ. 2538. กรงเทพมหานคร: ส านกพมพภมบณฑต. ธนกาญจน ภทรากาญจน. (2520). แคลคลสและเรขำคณตวเครำะห เลม 2.

มหาวทยาลยรามค าแหง. กรงเทพมหานคร: ลออ เพมสมบตและสเทพ กตตพทกษ. คณตศำสตรแผนใหม. กรงเทพมหานคร: กรงสยามการพมพสมย เหลาวานชย. คณตศำสตร ม. 4-5-6 ฉบบปรบปรงใหมลำสด. บรษทไฮเอด พบลชชง จ ากด. กรงเทพมหานคร: สมย เหลาวานชยและพวพรรณ เหลาวานชย. คณตศำสตรแนวใหม. กรงเทพมหานคร: ส านกพมพภมบณฑต. _________________________________. คณตตศำสตร ม. 6 เลม 5 ตรงตำม หลกสตรใหม สสวท. บรษทไฮเอดพบลชชง จ ากด. กรงเทพมหานคร: สเทพ จนทรสมศกดและสเทพ ทองอย.(2536). คมอเตรยมสอบคณตศำสตรหลกสตรใหม. กรงเทพมหานคร: ส านกพมพภมบณฑต.

60

ประวตผวจย

ชอ นายณรงค ใตชยภม วน เดอน ปเกด 10 เมษายน 2500 สถำนทเกด อ าเภอเมองชยภม จงหวดชยภม ประวตกำรศกษำ ปรญญาโท ศกษาศาสตรมหาบณฑต สาขาคณตศาสตรศกษา มหาวทยาลยรามค าแหง จงหวดขอนแกน สถำนทท ำงำน โรงเรยนชยภมภกดชมพล อ าเภอเมองชยภม จงหวดชยภม ต ำแหนงปจจบน คร ช านาญการพเศษ

Documents

ค ำชี้แจง เรื่อง กำรอินทิเกรต ( INTEGRATION¸šทเรียนโปรแกรมอ... · 2. สามารถหาบทประยุกต์ของอินทิกรัลไมจ