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FISICA DEL SISTEMA CARDIOCIRCOLATORIO
A. Fondamenti di reologia
B. Il circuito cardiocircolatorio
C. Dati relativi al sistema cardiocircolatorio
D. Fenomeni di elasticità nei condotti del sangue
Conferenza organizzata dalla Fondazione Livia Tonolini e dalla Sezione Mathesis di Bergamo, a cura di F. Tonolini il 22 aprile 2005
quantità di una grandezza=intervallo di tempo
1. Portata
Fondamenti di reologia
=intervallo di tempo x area della superficie
2. Corrente quantità di una grandezza
3. Fluido che scorre in una condotta
a) Portata Volumetrica πv = volumeintervallo di tempo
= Sv∆t∆t
= Sv
b) Portata di massa πm = ρ πv
c) Portata in peso πp = γ πv
2
Fondamenti di reologiaEffetto di una stenosi e di un varice sulla velocità del fluido
3
Fondamenti di reologiaVelocità del fluido a varie postazioni e in corrispondenza di ramificazioni
4
4. Moto stazionario di un fluido: la velocità è costante in ogni punto del condotto
Fondamenti di reologia
5. Moto permanente: portata costante (nessuna sorgente, nessun pozzo)
6. Trasporto della quantità di moto in regime laminare (gli strati di fluido mantengono la loro individualità)
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Fondamenti di reologiaViscosità dei fluidi
Trasporto della quantità di moto in un regime laminare
6
Fondamenti di reologia
7. Legge di Newton
Sforzo di taglio FS
= – η ∆vY
=
7
Fondamenti di reologia
8. Legge di Newton espressa mediante la corrente della quantità di moto Q = mv
F = ma = m dvdt
d(mv)dt
= = dQdt
2a legge della dinamica
La legge di Newton sullo scorrimento dei fluidi diventa
FS
= dQSdt
= Corrente di quantità d moto JQ
JQ = – η ∆vY
= – η · gradiente di velocità
8
Fondamenti di reologia
9. Unità di misura della viscosità
N·sm2 cm2
Nel SI Nel SGSdina ·s
1cm2
dina ·s= 1 poise 1 cp = 10–2 poise
9
Fondamenti di reologiaViscosità dei fluidi
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Fondamenti di reologia
10. Liquidi newtoniani e non newtoniani
a) Liquidi newtoniani : η = costante
b) Liquidi non newtoniani : η dipende dal gradiente di velocità
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Fondamenti di reologiaViscosità dei fluidi
Reogrammi di liquidi newtoniani e non newtoniani
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Fondamenti di reologiaViscosità dei fluidi
Regime laminare
Regime di Poiseuille
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Fondamenti di reologia
11. Legge di Poiseuille in regime laminare in condotto cilindrico
v = ∆p4 η l
a) liquido ideale: profilo rettangolare
b) liquido reale: profilo parabolicoSi può mostrare infatti che: (a2 - r2)
Per r = a v= 0
Per r = 0 vmax =∆p
4 η la2
v =vmax
2∆p
8 η la2
=
La portata πv = Sv π= ∆p8 η l
a4 legge di Poiseuille
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Fondamenti di reologia
12. Resistenza fluidodinamica
= ∆pπa4
Dalla legge di Poiseuille
Poniamo:
∆V
8 η l
resistenza fluidodinamica
πv
πa4
8 η l = Rf
Per analogia con la legge di Ohm: = Ri
Abbiamo: ∆p Rf= • πv
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Fondamenti di reologia
13. Condotti in serie e condotti in paralllelo
=Per condotti in serie Rf Rf1+ Rf2+... + Rfn
= Per condotti in paralleloRf
1 + Rf1
1 + Rf2
1 ... + 1Rfn
Rc (capillare) > Ra (arteriole) > R (aorta)
ma
Rtotale (arteriole) = Na
Ra
Rtotale (capillare) = Nc
Rc16
Fondamenti di reologiaViscosità dei fluidi
Regime vorticoso e numero di Reynolds
Vc = Rlη
aρ
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Fondamenti di reologia
14. Regime vorticoso - numero di Reynolds
= VcRl ηa ρ
Vc = velocità critica
Rl ≈ 2000 per vasi lontani da gomiti, ostruzioni, curvature
In caso contrario:
Rl < 2000 e la velocità critica dimiuisce
Il regime lamiare è silenzioso, quello vorticoso è rumoroso
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Fondamenti di reologiaViscosità dei fluidi
Resistenza fluidodinamica
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Fondamenti di reologiaConservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
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Fondamenti di reologiaConservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Posizione orizzontale del corpo e tratto breve del condotto
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Il circuito cardiocircolatorioConservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Linea del carico totale di un liquido ideale
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Il circuito cardiocircolatorioConservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Linea dei carichi nel caso di un liquido viscoso: perdita di carico
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Il circuito cardiocircolatorioConservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Linea del carico totale di un liquido ideale con effetto di una pompa
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Il circuito cardiocircolatorioConservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Linea dei carichi totali nel caso di liquido viscoso. Ripristino della perdita di carico per mezzo di una pompa
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Il circuito cardiocircolatorioConservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Circuito sanguigno del corpo umano
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Il circuito cardiocircolatorioConservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Circuito sanguigno del corpo umano
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Il circuito cardiocircolatorioConservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Schema della macchina cuore come pompa
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Il circuito cardiocircolatorioConservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Schema delle fasi di un ciclo della macchina cuore
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Il circuito cardiocircolatorioConservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Andamento delle pressioni nell’aorta, nel ventricolo e nell’atrio in funzione delle variefasi del pompaggio (ciclo cardiaco)
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Il circuito cardiocircolatorioConservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Portata del sangue in uscita dal cuore.
M s dt
Dove Ms = gettata
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Il circuito cardiocircolatorio
Conservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Distribuzione di pressione nel circuito sanguigno
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Dati relativi al sistema cardiocircolatorio
1. La portata in uscita del cuore è pulsata. Il flusso da pulsato si trasforma in continuo per effetto della elasticità dei vasi
2. Il ciclo dura mediamente 1/75 di minuto = 0,8 s.
0,25 secondi sono dedicati alle sistole ventricolari, i rimanenti 0,55 secondi alla pausa tra una gettata e la successiva.
3. La gettata media ms è compresa normalmente tra 40 g e 75g. La frequenza tra 70 min-1
e 80 min-1 .
4. La frequenza e la gettata non sono indipendenti: se la frequenza aumenta troppo, la gettata diminuisce.
5. La portata media è data da:
Essa varia da un minimo di 40 • 70 g/min= 2800 g/min a un massimo di 75 • 80 g/min = 6000 g/min
πp = Msν
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Dati relativi al sistema cardiocircolatorio
6. Consideriamo una portata di 4500 g/min e come valori di pressione 30 mmHg per il cuore destro e 100 mmHg per il cuore sinistro.
Ricordiamo che per un circuito chiuso in regime permanente la perdita di carico è data da
∆pγ
Abbiamo allora:
R3,4 = 30 kg
735 cm2
1γ
= 40,8 cm (= HD)
R1,2 = 100 kg
735 cm2
1γ
= 136 cm (= HS)
Perdite di carico e prevalenza delle pompe
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Dati relativi al sistema cardiocircolatorio
7. Potenza: P = H (energia/peso) • (peso/tempo) = energia/tempo
Potenza delle pompe del cuore
πp
PD = HD • πp = 40,8 • 4500 = 0,3 W PS = HS • πp = 136 • 4500 = 1 W
Pt = PD + PS = 1,3 W per un rendimento del 10% Peff = Pt • 10 = 13 W
In un giorno viene erogata una potenza :
(13 • 24) Wh/giorno = 312 Wh/giorno
Poiché 1 Kcal = 4,18 • 103 joule, abbiamo:
312 • 3,6 • 103
4,18 • 103= 268 Kcal/giorno
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Consideriamo un segmento di vaso cilindrico di raggio R (un segmento di vena o arteria) contenente un liquido, in questo caso sangue, ad una pressione p, detta anche nel gergo dei fisiologi pressione trasmurale.
A causa di questa pressione, tutti i punti della superficie della membrana del vaso sono sollecitati da una trazione T, tangente in ogni punto della superficie della membrana.
La trazione T varia da 170 N/m per l’aorta (raggio uguale a ~1,3 cm) a 0,016 N/m per i capillari (raggio 4·10 -4)
Fenomeni di elasticità nei condotti del sangue
T = p ·RPressione di Laplace per un condotto cilindrico
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Riportiamo (come in figura 2a) in funzione di R la trazione T = P1R e la tensione elastica Tel.Possiamo allora osservare che il punto A1 di intersezione tra la retta e la curva corrispondente al raggio R1 , rappresenta un punto di equilibrio stabile.
Fenomeni di elasticità nei condotti del sangue
Se per svariate cause, fra cui l’invecchiamento, si ha un deterioramento delle caratteristiche elastiche, per cui l’andamento della curva della tensione elastica Tel differisce dal caso esaminato in fig. 2a, e cioè presenta una concavità verso il basso, si hanno 2 punti di intersezione A1 ed A1’ , ma solo A1’ è un punto di equilibrio stabile. Per pressione superiore a P2la retta (ad esempio T=P3 R) che rappresenta la trazione non intercetta più la curva Tel . Non si hanno quindi punti di equilibrio: la trazione supera sempre la tensione elastica e il vaso si rompe.
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