1

A kvadratrixról

A kvadratrix – más néven triszektrix – nevű síkgörbéről az [ 1 ] és [ 2 ] munkákban is

olvashatunk. A keletkezéséről készített animáció itt tekinthető meg:

http://hu.wikipedia.org/wiki/Kvadratrix#mediaviewer/File:Quadratrix_animation.gif

Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő – 1. ábra.

1. ábra

A kvadratrix görbe egy pontját az önmagával párhuzamosan, nagyságú sebes -

séggel haladó AB egyenes, valamint a C középpont körül nagyságú szög -

sebességgel forgó AC egyenes metszéspontjaként állítjuk elő, ahol .

Feltétel: az A’ pont ugyanakkor ér C - be, mint amikor az A” pont D - be ér.

A mozgástani egyenletek a – P indexet elhagyva – a t idővel az alábbiak:

( 1 )

( 2 )

A mozgás T ideig tart; eközben az A’ pont nagyságú utat tesz meg, míg az

A” pont nagyságú szögelfordulást végez. Megformulázva:

2

( 3 )

( 4 )

A mozgás időtartama ( 3 ) és ( 4 ) - ből:

( 5 )

Most ( 2 ) és ( 1 ) hányadosát képezve:

( 6 )

Majd ( 5 ) - ből:

( 7 )

Ezután ( 6 ) és ( 7 ) - tel:

( 8 )

A P metszéspont ordinátája az 1. ábra szerint:

( 9 )

Most ( 8 ) és ( 9 ) - cel:

( 10 )

Majd ( 10 ) - et végigosztva R - rel:

( 11 )

bevezetve a dimenziótlan

( 12 )

mennyiségeket, ( 11 ) és ( 12 ) - vel kapjuk, hogy

( 13 )

A ( 13 ) függvény grafikonja az 1. ábra piros vonala, amely - gel készült.

Vegyük észre, hogy alakú, így értékét a L’Hospital szabállyal határozhatjuk

meg. Részletezve – ld. [ 3 ]! – :

3

tehát:

( 14 )

Ugyanez az 1. ábrát is készítő Graph szolgáltatásával: ymax = 0,63662. ☺

A kvadratrix / triszektrix a szögharmadolás kapcsán is szóba kerül – [ 1 ].

Ehhez tekintsük a 2. ábrát is!

2. ábra

Itt feltüntettük egy tetszőleges P kvadratrixponthoz tartozó φP és ΦP szögeket is, ahol

( 15 )

4

A P ponton át húzott vízszintes szelővel kaptuk a T pontot. A PT szakasz harmadolásával

kapott Q ponton átmenő függőleges szelő a kvadratrixot az S pontban metszi.

A CT egyeneshez képest a P pont ΦP , az S pont ΦS szög alatt látszik.

Azt állítjuk, hogy

( * )

Az igazolás az alábbi.

- rel, ( 8 ) szerint:

( 16 )

( 17 )

A QT szakasz hossza a harmadolási feltétel szerint:

innen:

( 18 )

Most ( 15 ) - ből:

( 19 )

hasonlóképpen:

( 20 )

Majd ( 16 ) és ( 19 ) - cel:

( 21 )

Ezután ( 17 ), ( 18 ), ( 20 ) és ( 21 ) - gyel:

tehát:

( 22 )

a ( * ) állítással megegyezően.

5

Megjegyzések:

M1. A triszektrix elnevezés is a szögharmadolásra utal. Ezt az elméletileg fontos problé -

mát, illetve megoldását az i. e. V. századi HIPPIÁSZ - nak tulajdonítják – v. ö.: [ 1 ], [ 2 ]!

Ez a megoldás azért lényeges elméletileg, mert a szögharmadolás körzővel és vonalzóval

általában nem megoldható szerkesztési feladat.

M2. Gyakorlatilag érdektelenek a fentiek, hiszen megmérjük az adott szöget egy

szögmérővel, elosztjuk hárommal, majd ezt az értéket felhordjuk az eredeti szög egyik

és / vagy másik szárára, és ezzel készen is vagyunk a szögharmadolással.

M3. A szögharmadolás a 2. ábráról is lemérhetően ténylegesen megvalósult.

M4. Az eddigiekre visszatekintve megállapíthatjuk, hogy a szögharmadolás kulcsa:

egy olyan függvény által leírt görbe, melyre egy ( 8 ) típusú összefüggés a jellemző,

vagyis amelynél valamely szög nagysága arányos valamely szakasz hosszával.

Ezt mozgástani alapon nem volt annyira nehéz felderíteni.

( Persze, ez már csak utólagos okoskodás, az eredmény ismeretében, a XXI. században.)

Ja, hogy ezt a görbét elő is kell állítani? Hát, ahhoz meg szerkeszteni kell, a mozgástani

származtatás szerint. Csakhogy van itt egy kis probléma – 3. ábra.

3. ábra – forrása: [ 2 ]

Ez pedig az, hogy az ábra szerinti T pont gyakorlatilag két – itt – vízszintes egyenes

„metszéspontjaként” állna elő, ami elvileg és gyakorlatilag is gondot okozhat.

Ezt úgy oldhatjuk meg, hogy

6

~ elvileg: határérték - számítást alkalmazunk, ami a ( 14 ) eredményre vezet;

~ gyakorlatilag: az elég sűrűn szerkesztett görbepontokból a görbe vége is eléggé pontosan

megrajzolható, tekintettel az ismert elméleti végeredményre , illetve a rajzoló program

„tudására” is.

A 3. ábra a görbe körzővel és vonalzóval végzett szerkesztésének mikéntjét is megmu -

tatja: ez az AD távolság és adódó törtrészei sorozatos felezésével, valamint a DAB derék -

szög és adódó törtrészei sorozatos felezésével történik.

M5. A 3. ábrán bemutatott szerkesztés azt is szemlélteti, hogy hogyan lehet egy szöget n

egyenlő részre osztani, azaz

Így írnak erről [ 2 ] - ben, a 3., vagyis az ottani 40.

ábrára hivatkozva – ld. 4. ábra! – :

4. ábra

M6. Az érdeklődő Olvasó az interneten még számos információt találhat témánkról.

M7. Az alábbi három függelékben további finomságok várják az érdeklődő Olvasót.

Irodalom:

[ 1 ] – Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete

3. kiadás, Gondolat Kiadó, Budapest, 1986.

[ 2 ] – Sain Márton: Nincs királyi út!

Matematikatörténet

Gondolat, Budapest, 1986.

[ 3 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv

2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963.

7

1. FÜGGELÉK

A kvadratrix érintőjének szerkesztése

Írta: Hajdu Endre

A kvadratrix bármely pontjában tetszőleges pontossággal megszerkeszthető az

érintő. Mivel a görbe két mozgó egyenes – a v sebességgel haladó e egyenes és

az ω szögsebességgel forgó f egyenes – közös P pontjának pályája, kézenfekvő

ötlet, hogy a közös pont sebességvektorát állítsuk elő, melynek állása azonos az

érintőével – F1 ábra.

F1 ábra

A sebességvektor meghatározásához a relatív mozgások sebességtétele nyújt

lehetőséget, mely szerint va = vs + vr , ahol

va a mozgó pont abszolút sebessége,

vs a szállítósebesség (a „szállító” alakzat azon pontjának sebessége, mely

pillanatnyilag egybeesik a relatív mozgást végző ponttal),

vr a relatívsebesség, mely az alakzathoz képest mozgó pont sebessége.

Ha a görbe P pontját a v sebességgel haladó e egyeneshez képest relatív mozgást

végző pontnak tekintjük, akkor P szállítósebessége vve

s , a relatívsebességéről

csak annyit tudunk, hogy állása merőleges vs-re.

Ha P-t az f egyeneshez képest tekintjük relatív mozgást végző pontnak, akkor

szállítósebessége ( PCr jelöléssel) rv f

s . Az ω szögsebesség meghatározása

8

végett – egyszerűség kedvéért – legyen AC =1 és a kvadratrix befutásához

szükséges időtartam T=1. Ekkor vT = 1, ωT = π/2, v/ω = 2/π ≈ 0,6366.

A fentiekkel rvrrv f

s 571,12

, r ≈ 0,75. f

rv párhuzamos az f egyenessel.

A relatív mozgások fenti sebességképletének értelmében a vP vektor végpontja a

két relatív sebességvektor egyenesének M metszéspontja. A P-beli érintő a PM

egyenes. Az ábrával kapcsolatban még megemlítendő, hogy a sebességvektorok

ábrázolásához használt hosszegység fele a távolságegységnek.

Az A pontbeli érintő megszerkesztése a fentiek alapján alig igényel

magyarázatot; a két szállítósebesség egybeesik az AC, ill. AB egyenessel.

Sopron, 2014. 12. 16.

2. FÜGGELÉK

A kvadratrix érintőjének számítása

A görbe egy tetszőleges P pontjában az érintő egyenlete, középiskolai tanulmányaink

alapján:

( 23 )

ahol az érintő x tengellyel bezárt szöge a P pontban. A közvetlen feladat tehát

meghatározása. Ehhez tekintsük a F2 / 1. ábrát is! Itt azt látjuk, hogy a görbe egy P pont -

jában az érintő mentén elhelyezkedő va sebességvektort felbontottuk egy vízszintes vx és

egy függőleges vy összetevőre. Eszerint írhatjuk – a „P” indexet már nem kiírva – , hogy

( 24 )

Könnyebbség kedvéért ideírjuk a korábbi eredményeket is:

( 1 )

( 2 )

( 9 )

( 25 )

9

F2 / 1. ábra

Most ( 24 ) - hez ( 1 ) - ből:

( 26 )

Majd ( 24 ) - hez ( 9 ) - ből, ( 2 ) és ( 26 ) - tal is:

( 27 )

ezután ( 24 ), ( 25 ), ( 26 ) és ( 27 ) szerint:

tehát:

( 29 )

10

innen:

( 30 )

Most határozzuk meg az érintő hajlásszögét a görbe két szélső pontjában!

a.)

( 29 ) szerint:

( 31 / 1 )

ez egyezik a Graph rajzoló szoftver által kiadott

f ’(x = 0) =1.570796 ( 31 / 2 )

értékkel. ☺

Majd ( 30 ) alapján:

( 31 / 3 )

b.)

( 29 ) alapján:

( 32 / 1 )

tehát határozatlan alakú kifejezés. Ennek feloldására alkalmazzuk a L’Hospital - szabályt!

tehát:

( 32 / 2 )

A Graph szoftver szerint numerikusan: f ’( x = 0.99955 ) = 0.000471. ☺ ( 32 / 3 )

11

Számpélda

Adatok:

( A )

Eredmények:

( E 1 )

( E 2 )

( E 3 )

( E 4 )

( E 5 )

( E 6 )

( E 7 )

A Graph szoftver szolgáltatásaival:

x = 0.4 , y = 0.435926 , f ’(x ) = 0.713435 . ( E 8 )

Az ( E 8 ) eredmény egyezik a megfelelő ( E 1 ), ( E 3 ), ( E 6 ) eredményekkel. ☺

A P pontbeli érintő egyenlete:

tehát:

( E 9 )

A Graph szerinti eredmény:

y = 0.713435 x + 0.150551 . ( E 10 )

Az ( E 9 ) eredmény egyezik a megfelelő ( E 10 ) - zel. ☺

12

3. FÜGGELÉK

Egy rokon feladatról

Hajdu Endre vetette fel az ötletet, hogy mi van akkor, ha a haladó mozgást végző egyenes

a transzlációs gyorsulása is, meg a forgó mozgást végző egyenes β rotációs gyorsulása is

állandó. Most ezt a kérdést válaszoljuk meg.

A két összetevő mozgás időfüggvényei, hasonló kezdeti feltételekkel:

( 33 )

( 34 )

Képezve e két egyenlet hányadosát:

( 35 )

Ilyet már korábban is láttunk. De nézelődjünk tovább! A mozgás időtartamára ( 33 ) és

( 34 ) - ből:

( 36 )

( 37 )

most ( 36 ) és ( 37 ) egyenlőségéből:

( 38 )

A P metszéspont pályagörbéjének egyenlete – mint korábban is – :

( 39 )

majd ( 35 ) és ( 39 ) - cel:

( 40 )

továbbá ( 38 ) és ( 40 ) - nel:

( 41 )

A ( 41 ) egyenlet megegyezik a ( 10 ) egyenlettel, vagyis mondhatjuk, hogy e mozgás

pályagörbéje is kvadratrix. Ennek az a magyarázata, hogy mindkét mozgásgeometriai

feladatra igaz, hogy a két összetevő mozgás törvénye ugyanolyan: az előbbinél lineáris,

az utóbbinál másodfokú parabola jellegű.

13

Összeállította: Galgóczi Gyula

mérnöktanár

Sződliget, 2014. 12. 18.