1
A kvadratrixról
A kvadratrix – más néven triszektrix – nevű síkgörbéről az [ 1 ] és [ 2 ] munkákban is
olvashatunk. A keletkezéséről készített animáció itt tekinthető meg:
http://hu.wikipedia.org/wiki/Kvadratrix#mediaviewer/File:Quadratrix_animation.gif
Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő – 1. ábra.
1. ábra
A kvadratrix görbe egy pontját az önmagával párhuzamosan, nagyságú sebes -
séggel haladó AB egyenes, valamint a C középpont körül nagyságú szög -
sebességgel forgó AC egyenes metszéspontjaként állítjuk elő, ahol .
Feltétel: az A’ pont ugyanakkor ér C - be, mint amikor az A” pont D - be ér.
A mozgástani egyenletek a – P indexet elhagyva – a t idővel az alábbiak:
( 1 )
( 2 )
A mozgás T ideig tart; eközben az A’ pont nagyságú utat tesz meg, míg az
A” pont nagyságú szögelfordulást végez. Megformulázva:
2
( 3 )
( 4 )
A mozgás időtartama ( 3 ) és ( 4 ) - ből:
( 5 )
Most ( 2 ) és ( 1 ) hányadosát képezve:
( 6 )
Majd ( 5 ) - ből:
( 7 )
Ezután ( 6 ) és ( 7 ) - tel:
( 8 )
A P metszéspont ordinátája az 1. ábra szerint:
( 9 )
Most ( 8 ) és ( 9 ) - cel:
( 10 )
Majd ( 10 ) - et végigosztva R - rel:
( 11 )
bevezetve a dimenziótlan
( 12 )
mennyiségeket, ( 11 ) és ( 12 ) - vel kapjuk, hogy
( 13 )
A ( 13 ) függvény grafikonja az 1. ábra piros vonala, amely - gel készült.
Vegyük észre, hogy alakú, így értékét a L’Hospital szabállyal határozhatjuk
meg. Részletezve – ld. [ 3 ]! – :
3
tehát:
( 14 )
Ugyanez az 1. ábrát is készítő Graph szolgáltatásával: ymax = 0,63662. ☺
A kvadratrix / triszektrix a szögharmadolás kapcsán is szóba kerül – [ 1 ].
Ehhez tekintsük a 2. ábrát is!
2. ábra
Itt feltüntettük egy tetszőleges P kvadratrixponthoz tartozó φP és ΦP szögeket is, ahol
( 15 )
4
A P ponton át húzott vízszintes szelővel kaptuk a T pontot. A PT szakasz harmadolásával
kapott Q ponton átmenő függőleges szelő a kvadratrixot az S pontban metszi.
A CT egyeneshez képest a P pont ΦP , az S pont ΦS szög alatt látszik.
Azt állítjuk, hogy
( * )
Az igazolás az alábbi.
- rel, ( 8 ) szerint:
( 16 )
( 17 )
A QT szakasz hossza a harmadolási feltétel szerint:
innen:
( 18 )
Most ( 15 ) - ből:
( 19 )
hasonlóképpen:
( 20 )
Majd ( 16 ) és ( 19 ) - cel:
( 21 )
Ezután ( 17 ), ( 18 ), ( 20 ) és ( 21 ) - gyel:
tehát:
( 22 )
a ( * ) állítással megegyezően.
5
Megjegyzések:
M1. A triszektrix elnevezés is a szögharmadolásra utal. Ezt az elméletileg fontos problé -
mát, illetve megoldását az i. e. V. századi HIPPIÁSZ - nak tulajdonítják – v. ö.: [ 1 ], [ 2 ]!
Ez a megoldás azért lényeges elméletileg, mert a szögharmadolás körzővel és vonalzóval
általában nem megoldható szerkesztési feladat.
M2. Gyakorlatilag érdektelenek a fentiek, hiszen megmérjük az adott szöget egy
szögmérővel, elosztjuk hárommal, majd ezt az értéket felhordjuk az eredeti szög egyik
és / vagy másik szárára, és ezzel készen is vagyunk a szögharmadolással.
M3. A szögharmadolás a 2. ábráról is lemérhetően ténylegesen megvalósult.
M4. Az eddigiekre visszatekintve megállapíthatjuk, hogy a szögharmadolás kulcsa:
egy olyan függvény által leírt görbe, melyre egy ( 8 ) típusú összefüggés a jellemző,
vagyis amelynél valamely szög nagysága arányos valamely szakasz hosszával.
Ezt mozgástani alapon nem volt annyira nehéz felderíteni.
( Persze, ez már csak utólagos okoskodás, az eredmény ismeretében, a XXI. században.)
Ja, hogy ezt a görbét elő is kell állítani? Hát, ahhoz meg szerkeszteni kell, a mozgástani
származtatás szerint. Csakhogy van itt egy kis probléma – 3. ábra.
3. ábra – forrása: [ 2 ]
Ez pedig az, hogy az ábra szerinti T pont gyakorlatilag két – itt – vízszintes egyenes
„metszéspontjaként” állna elő, ami elvileg és gyakorlatilag is gondot okozhat.
Ezt úgy oldhatjuk meg, hogy
6
~ elvileg: határérték - számítást alkalmazunk, ami a ( 14 ) eredményre vezet;
~ gyakorlatilag: az elég sűrűn szerkesztett görbepontokból a görbe vége is eléggé pontosan
megrajzolható, tekintettel az ismert elméleti végeredményre , illetve a rajzoló program
„tudására” is.
A 3. ábra a görbe körzővel és vonalzóval végzett szerkesztésének mikéntjét is megmu -
tatja: ez az AD távolság és adódó törtrészei sorozatos felezésével, valamint a DAB derék -
szög és adódó törtrészei sorozatos felezésével történik.
M5. A 3. ábrán bemutatott szerkesztés azt is szemlélteti, hogy hogyan lehet egy szöget n
egyenlő részre osztani, azaz
Így írnak erről [ 2 ] - ben, a 3., vagyis az ottani 40.
ábrára hivatkozva – ld. 4. ábra! – :
4. ábra
M6. Az érdeklődő Olvasó az interneten még számos információt találhat témánkról.
M7. Az alábbi három függelékben további finomságok várják az érdeklődő Olvasót.
Irodalom:
[ 1 ] – Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete
3. kiadás, Gondolat Kiadó, Budapest, 1986.
[ 2 ] – Sain Márton: Nincs királyi út!
Matematikatörténet
Gondolat, Budapest, 1986.
[ 3 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv
2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963.
7
1. FÜGGELÉK
A kvadratrix érintőjének szerkesztése
Írta: Hajdu Endre
A kvadratrix bármely pontjában tetszőleges pontossággal megszerkeszthető az
érintő. Mivel a görbe két mozgó egyenes – a v sebességgel haladó e egyenes és
az ω szögsebességgel forgó f egyenes – közös P pontjának pályája, kézenfekvő
ötlet, hogy a közös pont sebességvektorát állítsuk elő, melynek állása azonos az
érintőével – F1 ábra.
F1 ábra
A sebességvektor meghatározásához a relatív mozgások sebességtétele nyújt
lehetőséget, mely szerint va = vs + vr , ahol
va a mozgó pont abszolút sebessége,
vs a szállítósebesség (a „szállító” alakzat azon pontjának sebessége, mely
pillanatnyilag egybeesik a relatív mozgást végző ponttal),
vr a relatívsebesség, mely az alakzathoz képest mozgó pont sebessége.
Ha a görbe P pontját a v sebességgel haladó e egyeneshez képest relatív mozgást
végző pontnak tekintjük, akkor P szállítósebessége vve
s , a relatívsebességéről
csak annyit tudunk, hogy állása merőleges vs-re.
Ha P-t az f egyeneshez képest tekintjük relatív mozgást végző pontnak, akkor
szállítósebessége ( PCr jelöléssel) rv f
s . Az ω szögsebesség meghatározása
8
végett – egyszerűség kedvéért – legyen AC =1 és a kvadratrix befutásához
szükséges időtartam T=1. Ekkor vT = 1, ωT = π/2, v/ω = 2/π ≈ 0,6366.
A fentiekkel rvrrv f
s 571,12
, r ≈ 0,75. f
rv párhuzamos az f egyenessel.
A relatív mozgások fenti sebességképletének értelmében a vP vektor végpontja a
két relatív sebességvektor egyenesének M metszéspontja. A P-beli érintő a PM
egyenes. Az ábrával kapcsolatban még megemlítendő, hogy a sebességvektorok
ábrázolásához használt hosszegység fele a távolságegységnek.
Az A pontbeli érintő megszerkesztése a fentiek alapján alig igényel
magyarázatot; a két szállítósebesség egybeesik az AC, ill. AB egyenessel.
Sopron, 2014. 12. 16.
2. FÜGGELÉK
A kvadratrix érintőjének számítása
A görbe egy tetszőleges P pontjában az érintő egyenlete, középiskolai tanulmányaink
alapján:
( 23 )
ahol az érintő x tengellyel bezárt szöge a P pontban. A közvetlen feladat tehát
meghatározása. Ehhez tekintsük a F2 / 1. ábrát is! Itt azt látjuk, hogy a görbe egy P pont -
jában az érintő mentén elhelyezkedő va sebességvektort felbontottuk egy vízszintes vx és
egy függőleges vy összetevőre. Eszerint írhatjuk – a „P” indexet már nem kiírva – , hogy
( 24 )
Könnyebbség kedvéért ideírjuk a korábbi eredményeket is:
( 1 )
( 2 )
( 9 )
( 25 )
9
F2 / 1. ábra
Most ( 24 ) - hez ( 1 ) - ből:
( 26 )
Majd ( 24 ) - hez ( 9 ) - ből, ( 2 ) és ( 26 ) - tal is:
( 27 )
ezután ( 24 ), ( 25 ), ( 26 ) és ( 27 ) szerint:
tehát:
( 29 )
10
innen:
( 30 )
Most határozzuk meg az érintő hajlásszögét a görbe két szélső pontjában!
a.)
( 29 ) szerint:
( 31 / 1 )
ez egyezik a Graph rajzoló szoftver által kiadott
f ’(x = 0) =1.570796 ( 31 / 2 )
értékkel. ☺
Majd ( 30 ) alapján:
( 31 / 3 )
b.)
( 29 ) alapján:
( 32 / 1 )
tehát határozatlan alakú kifejezés. Ennek feloldására alkalmazzuk a L’Hospital - szabályt!
tehát:
( 32 / 2 )
A Graph szoftver szerint numerikusan: f ’( x = 0.99955 ) = 0.000471. ☺ ( 32 / 3 )
11
Számpélda
Adatok:
( A )
Eredmények:
( E 1 )
( E 2 )
( E 3 )
( E 4 )
( E 5 )
( E 6 )
( E 7 )
A Graph szoftver szolgáltatásaival:
x = 0.4 , y = 0.435926 , f ’(x ) = 0.713435 . ( E 8 )
Az ( E 8 ) eredmény egyezik a megfelelő ( E 1 ), ( E 3 ), ( E 6 ) eredményekkel. ☺
A P pontbeli érintő egyenlete:
tehát:
( E 9 )
A Graph szerinti eredmény:
y = 0.713435 x + 0.150551 . ( E 10 )
Az ( E 9 ) eredmény egyezik a megfelelő ( E 10 ) - zel. ☺
12
3. FÜGGELÉK
Egy rokon feladatról
Hajdu Endre vetette fel az ötletet, hogy mi van akkor, ha a haladó mozgást végző egyenes
a transzlációs gyorsulása is, meg a forgó mozgást végző egyenes β rotációs gyorsulása is
állandó. Most ezt a kérdést válaszoljuk meg.
A két összetevő mozgás időfüggvényei, hasonló kezdeti feltételekkel:
( 33 )
( 34 )
Képezve e két egyenlet hányadosát:
( 35 )
Ilyet már korábban is láttunk. De nézelődjünk tovább! A mozgás időtartamára ( 33 ) és
( 34 ) - ből:
( 36 )
( 37 )
most ( 36 ) és ( 37 ) egyenlőségéből:
( 38 )
A P metszéspont pályagörbéjének egyenlete – mint korábban is – :
( 39 )
majd ( 35 ) és ( 39 ) - cel:
( 40 )
továbbá ( 38 ) és ( 40 ) - nel:
( 41 )
A ( 41 ) egyenlet megegyezik a ( 10 ) egyenlettel, vagyis mondhatjuk, hogy e mozgás
pályagörbéje is kvadratrix. Ennek az a magyarázata, hogy mindkét mozgásgeometriai
feladatra igaz, hogy a két összetevő mozgás törvénye ugyanolyan: az előbbinél lineáris,
az utóbbinál másodfokú parabola jellegű.
13
Összeállította: Galgóczi Gyula
mérnöktanár
Sződliget, 2014. 12. 18.